Gabarito
Matemática D – Extensivo – V. 3
Resolva
Aula 9
9.03) C
9.01) B
Em AC, temos:
8–x+7–x=9
6 = 2x
x=3
PQRO é um losango. Assim, os ângulos opostos são
iguais.
2 D + 200 = 360
D = 80o
9.02) B
Aula 10
10.01)
Comprimento: 2 S . 2 = 4 S
Comprimento: 2 S . 9 = 18 S
4 S ____ D
18 S ___ 360o
4S
18
S
9
2
Com Pitágoras em PTS, decorre PT = 4.
RT = RQ
D
360o
9 D = 720o
D = 80o
Com Pitágoras em PRQ, temos:
(4 + x)2 = 82 + x2
16 + 8x + x 2 = 64 + x 2
8x = 48
x=6
10.02) a)
Matemática D
1
Gabarito
d1 . d2 = 1 . 3 + 2 . 4
4x = 2 . 6 + 2 . 4
x=5
11.02) D
b)
D2 = 202 + 202
D = 20 2
(x + 1) + (3x + 1) = (3x) + (2x)
4x + 2 = 5x
2=x
11.03)
10.03) B
r= 1h
3
r= 1 . 3
2
3
10 . x = 2 . 3
r= 1. 9 3
3
2
x= 6
10
r= 3 3
2
x= 3
5
Aula 12
Aula 11
11.01) D
12.01)
(2a)2 = x2 + a2
4a2 = x2 + a2
x2 = 3a2
ABC é triângulo retângulo em B.
x=a 3
Logo, BC = 8.
Como OBC é isósceles, P é ponto médio de BC .
Usando Pitágoras em OPC, temos OP = 3.
Portanto, SOBC = 8 . 3 = 12.
2
2
Matemática D
Gabarito
12.02) D
2 3
4
12.03) D
S = 15
9 3
10 . h = 15
2
2 = 36
=6
4x = 3 4x = 18
5h = 15
h=3
x= 9
2
D= 2 = 9
2
2
Testes
Aula 9
9.03) A
9.01)
102 = (6 + x)2 + (4 + x)2
100 = 36 + 12x + x2 + 16 + 8x + x2
0 = 2x2 + 20x – 48 › 2
x2 + 10x – 24 = 0
x’ 2
x " 12
x=2
Perímetro = 10 + 8 + 6 = 24
42 = x 2 + 2 2
x2 = 12
x=2 3
9.04) B
9.02)
252 = x2 + 152
x = 20
r2 = 3 2 + 3 2
r=3 2
Matemática D
3
Gabarito
9.05) C
^
OAC é isósceles Á ACO = 35o
^
Como AO // BC , temos ACB = 35o
^
OBC é isósceles Á OBC = 70o
Assim, x = 70o
9.08) E
Temos uma circunferência de raio r = 3 inscrita
16
num triângulo equilátero.
r= 1 .h Á 3 = 1 .h Á h= 9
3
16
3
16
x=h– 1
2
CA = 50
Semelhança entre CED e CDA
x= 9 – 1
2
16
CE
CD
CD
CA
x= 98
16
CE
20
20
50
CE = 8
x= 1
16
9.09) C
9.06) E
132 = x2 + 52
x = 12
Perímetro: 10 y y x 10 x
20
Perímetro: 12 x x y 12 y
24
9.10)
9.07)
4
Matemática D
Gabarito
9.14) A
9.11)
x = 90o + 50o
x = 140o
Em ABC, temos:
40o + 50o + x + 65o = 180o
x = 25o
9.15) A
9.12) C
2
132 = 32 + BD
BD =
160
4 10
2
132 = 52 + AC
16o + 116o + x = 180o
x = 48o
9.13) D
AC = 12
9.16) D
x=4
AB = 8
Os ângulos assinalados têm mesmo valor, pois am.
bos "miram" o mesmo arco AB
Assim, D = 95º.
Matemática D
5
Gabarito
04. Falsa
alsa.
9.17) B
a2 = 122 + 162
a = 20
2
2
2
2 =( 3) +x
4 = 3 + x2
x=1
Assim, OBC é equilátero e T = 60o.
9.18) A
Pelos dados do problema, ( AD = 3, AC = 4 e CD
= 5), o triângulo ACD é retângulo e, portanto, CD
é diâmetro do círculo.
12
h Á h = 9,6
20 16
08. Verdadeira
erdadeira.
n (n 3) = n
2
n (n 3) 2 n
n=5
16. Verdadeira
erdadeira.
9.20) A
^
^
, decorre
Como B e D "miram" o mesmo arco AC
^
^
que B = D = E . Em ADC, D + E = 90o.
Logo, em PBC, P = 90o.
= E.
Assim, em APC, A
Logo, ABC é isósceles e x = 4.
= 60o e AO = DO = r, vem que ADO é
Como A
equilátero.
9.19) 25
01. Verdadeira
erdadeira.
x + y + z = 180o
x = y
3
2
z
4
xyz
9
180
9
Maior: z = 20o Á z = 80o
4
02. Falsa
alsa.
x + x + 2x + 2x = 60
6x = 60
x = 10
Lados: 10 e 20
6
Matemática D
o
= 20o
Como DE é paralelo a AB , temos que D = 60o.
Assim, no triângulo DEO, D = 60o e assim, DEO é
equilátero.
Logo, x = r; DE
AB
2
Gabarito
r= 4
S
C = 14
2 S R = 14
Aula 10
10.01) C
R= 7
S
R–r= 7 – 4 = 3
S
S
S
10.07) C
3x + 60o = 180o
3x = 120o
x = 40o
+ =6+8
2 = 14
=7
72 = h2 + 12
h=
10.08) C
48 = 4 3
10.02) C
AE
EC
1 Á EC
3
EA . EC
3 AE ; BE = 8; ED = 6
132 = 52 + x2
x = 12
EB . ED
EA . 3 EA = 8 . 6
2
EA = 16 Á EA = 4 Á EC = 12
10.09)
Á AC = 4 + 12 = 16
10.03) C
r = 400 mm
C = 2 S . 400 # 800 . 3,14
C = 2512 mm
C = 2,512 m
=3
10.04) E = 1,5 rad e AB
=r. D
3 = r . 1,5
r=2
Como AC = 1,5, temos OC = 3,5.
Usando novamente = r . D , obtemos:
= 3,5 . 1,5
CD
= 5,25
CD
AT = 4
TN = 2
2
ON = 32 + 22
ON =
13
10.10) C
10.05) D
Comprimento: C = 2 . 47 = 94
C = 2Sr
94 = 2 S r
94 = 2r
S
2r # 30 m
10.06) B
C=8
2Sr = 8
(9 + x)2 = (2x)2 + 92
81 18x x 2
3x2 – 18x = 0
4x 2 81
›3
Matemática D
7
Gabarito
x2 – 6x = 0
x’
x"
0
6
10.14) D
S = {6}
10.11) E
(x + 2,5)2 = 62 + 2,52
D + 90o + 90o + 150o = 360o
x 2 5x 2, 52
D = 30o = S rad
6
=r.2
36 2, 52
x2 + 5x – 36 = 0 18 .
5S
3S
3
S = {4}
10.12) B
S
6
= 261,666...
261,60
= 500 .
10.15) C
D = 300º = 5S rad
3
=r. D
–
PA
2
9x 2
2 = r . 5S
3
r # 0,382 km
r # 382 m
PC . PB
10.16) A
x . PB
r = 0,15 = 15
100
9x = PB
3
20
D = 60o = S rad
3
=r. D
PB = 9 . PC
10.13) C
= 3 . S
20 3
S
20
10.17) E
AB . AC = AD . AE
7 . AC = 6 . 10
R1
R3
AC = 60
7
R2
5
BC = AC – AB
(R1 + 5)2 = (R1 – 5)2 + R12
R12 10R1 25
R12 – 20R1 = 0
8
Matemática D
R12 10R1 25 R12
R1 ’ 0
R 2 " 20
60 – 7
BC =
7
BC = 60 49
7
11
7
Gabarito
10.18) D
O comprimento de um dos arcos é:
=r. D
Aula 11
11.01) A
= 5 . S = 5S
3
3
Os três arcos: 3 . 5S = 5 S
3
10.19)
r= 2
sen T = 2 = 1
2
4
o
Á T = 30
2
2
R= d
2
c = 2 S r = 2S . = S 2
C = 2 S R = 2S . 2 = S 2
S 2 =
S
C
c
D = 150o = 5S rad
3
=r. D
= 1 . 5S
3
2
11.02) R = 2 h
3
R= 2 . 3
3
2
= 5S
3
3
10.20) 63
01. Correto
Correto.
O raio sempre forma 90o com uma tangente à
circunferência.
02. Correto
Correto.
Conforme teoria.
04. Correto
Correto.
Conforme item 01.
08. Correto
Correto.
J é um ângulo de segmento.
Assim, J =
2
E
2
D
16. Correto
Correto.
ângulo inscrito = ângulo central
2
32. Correto
Correto.
Conforme itens 08 e 16.
2 . 3 Á =3
3
2
Perímetro: 9
11.03) 2 3
3
2
=4 Á R=4
C = 2S . 4 = 8S m
11.04) C
180o(n – 2) = 2160o
n – 2 = 12
n = 14
Note que o número de diagonais que passam pelo
centro de um polígono é sempre K , em que K é o
2
número de lados (K par).
Matemática D
9
Gabarito
Exemplo
10
10 = 3
2
Número de diagonais
D = 14 . (14 3) = 77
2
20 = 3
Passam pelo centro: 14 = 7
2
Não passam pelo centro: 77 – 7 = 70
Razão entre os lados
3R
11.05) D
3
20
3.10
20
3
2
3
11.07)
D = 100o
o
D = 100 .
S
180o
D = 5S
9
=r. D
= 3 . 5S
9
11.06) D
5S
3
No triângulo inscrito, temos:
x= 2 .h
3
x= 2 . 3
3
2
= 3x
3
No triângulo circunscrito, temos:
R= 2h
3
R= 2 . 3
3
2
3R = 3
10
Matemática D
x = 1 H Á x = 1 . L 3 Á L = 6x
3
3
3
2
3x
Razão: L
3
6x
3
3
6
1
2
Gabarito
11.08) Todo hexágono inscrito tem = R.
r = 30
S
C = 2 S . 30
S
C = 60
11.10) D
Temos 18 arcos de mesmo comprimento.
Vamos obter o comprimento de um deles, por exemplo
, e multiplicar o resultado por 18.
OC
=r. D
= 5 . 60o
OC
=5. S
OC
3
x + 30o + 30o = 180o
x = 120o
Soma total: 18 . 5S = 30 S
3
11.11)
11.09)
150 S
150
S
100
S
3
2
15 0 10 0 . É 150 Ù
Ê
Ú
Ë S
Û
3 = 300 – 2 S
5
300
S
= 60
S
r= 2
x é o apótema do hexágono:
x = 12 3 = 6 3 .
2
Diagonal do quadrado
2 = 24
= 24 . 2
2
2
= 12 2
Apótema do quadrado
y = 12 2 = 6 2
2
Matemática D
11
Gabarito
Distância entre as cordas
x–y=6 3 –6 2 =6.( 3 –
11.14) B
2 ) cm
11.12)
D = 16
R=8
y é o dobro do apótema do hexágono:
y= 2. 3 =2 3
2
R= 2h
3
x2 = y2 + 12
x2 = 12 + 1
4
x=
Perímetro de ABC
3 +
3 + 2 = 2( 13 + 1) m
11.15) A
11.13) B
Lado do triângulo: = 3
Lado do hexágono: 6 = 1
Raio do círculo: R = 2 h = 2 . 3
3
3
2
R= 3
3
3 3 =
3
3
Lado do hexágono + diâmetro: 1 + 2 3
12
2h
3
12 = h
Mediana = 12
8
13
Matemática D
R= L
2
e EF
, CD
juntos forObserve que os arcos AB
mam uma circunferência, cujo raio é L .
2
C = 2S . L = S L
2
Gabarito
Comprimento da correia
11.18)
CD
EF
= 3L + S L =
L + L + L + AB
= L . ( S + 3)
11.16) A
R= 2h= 2 . 3
3
3
2
R= 2 .4 3. 3 =4
3
2
D é central.
D = 2 . 60o = 120o
D = 2S rad
3
11.17) C
42 = 2 2 + a 2
a=
12
a=2 3m
11.19)
cos 60o =
x
6x
1 = x
2
6x
Observe que todas as diagonais têm a mesma
2x = 6 – x
3x = 6
x=2
sen 60o =
medida: PS PR TQ TR QS x.
Usando Ptolomeu no quadrilátero PRST, temos:
6x
3 = 4
2
=2 3
Perímetro: 3 = 6 3
PS . TR = 1 . 1 + 1 . PR
x2 = 1 + x
x2 – x – 1 = 0
' = 1 – 4 . 1 . (–1) = 5
x = 1” 5
2
x = 1 5
2
Matemática D
13
Gabarito
11.20) E
Por semelhança, temos:
5
3
x
4x
3x = 20 – 5x
8x = 20 Á x = 5
2
Smaior: 5 . x
2
5. 5
2
2
Observe que EC = AD = AC = x.
Usando Ptolomeu no quadrilátero EACD, temos:
Smenor: 3 . (4 x )
2
AD . EC = 1 . 1 + 1 . AC
x2 = 1 + x
x2 – x – 1 = 0
Diferença: 25 9
4
4
Aula 12
25
4
3 . ÉÊ 4 5 ÙÚ
2Û
Ë
2
3. 3
2
2
9
4
16 = 4
4
12.03)
12.01) B
x = raio = 2
AC = 8
CB = 6
Área = 6 . 8 = 24
2
202 = 122 + x2 Á x = 16
S=
12 . 16
= 96
2
12.04)
12.02) D
b2 + c2 = 212
S = bc
2
Elevando b + c = 20 ao quadrado, temos:
(b + c)2 = 202
b2 + c2 + 2bc = 400
212 + 2bc = 400
2bc = 188
14
Matemática D
Gabarito
bc = 94
S=
Á S = bc = 94 = 47
2
2
1
. b . 6 . sen D Á S = 3 . b . sen D
2
b
6
b = 6 cos D
cos D =
12.05) D
Assim:
S = 3 . b . sen D
S = 3 . 6 cos D . sen D
S = 9 . 2 cos D . sen D
S = 9 . sen 2 D
O valor máximo da expressão: S = 9 . sen 2 D é 9.
SEDC = SABCD – SABE – SBEC
= 12 . 5 – 4 . 5 12 . 5 =
2
2
= 60 – 10 – 30 =
= 20
12.08) A
12.06) E
tg 60o = h
x
3 = h
x
x2 = a2 + b2
x=
a2 b2
x= h . 3
3
3
D + E = 90o
E + J + D = 180o
J = 90o
O triângulo hachurado é retângulo.
S= x.x
2
x2
2
x= h 3
3
a2 b2
2
Semelhança entre BFQ e BDR
x
2
12.07)
h 3
3
3
2
h
3
2
h
3
2
3 . ÉÊ h 3 ÙÚ
Ê
3 ÚÛ
Ë
3 h
Desde que C não coincida com A ou B, teremos
^
sempre um triângulo retângulo com C = 90o.
Matemática D
15
Gabarito
3 – h = 3h
3 = 4h
h= 3
4
SBFC = . h
2
PB
3
1
PB
3
3
Á PB
2
32 = PB PA
. 3
2 4
2 3
8
9 = 3 + PA
PA
12.09) B
3
3
2
2
6
6. 3 = 3 2
2
2
SABP = PA . PB =
2
12.11) a = 10; b = 17; c = 21
Perímetro: 48
Área:
S=
p (p a) . (p b) . (p c)
S=
24 (24 10) . (24 17) . (24 21)
S=
24 . 14 . 7 . 3
S=
23 . 3 . 2 . 7 . 7 . 3
S=
24 . 32 . 72
S = 22 . 3 . 7 = 84
S = a.b.c
4r
cos 60o = 2 3
x
4
84
10 . 17 . 21
4r
16r = 170
8r = 85
1 = 2 3
2
x
x=4 3
›2
12.12) A
S = 1 . ab sen D
2
cos 30o = 2 3
y
7
3
2
o
= 1 . 14 . 8 . sen 30
2
2 3
y
= 56 . 1 = 28
2
y=4
S = 4 3 .4 = 8 3
2
12.13) D
BA = 2 . 3a = 6a
Altura = 2 . 3a = 6a
12.10)
S = 6a . 6a = 18a2
2
12.14)
4 D + 4 E = 360
o
D + E = 90o
Assim, ABP é um triângulo retângulo.
sen D = 1 .
3
16
Matemática D
Gabarito
D = 2J
12.16) E
D + E = 90
o
2 J + E = 90o
E = 90 – 2 J
2 E + J = 90o
2 . (90 – 2 J ) + J = 90o
180o – 4 J + J = 90o
90o = 3 J
J = 30o
D = 60o
E = 30o
Logo, ABC é equilátero.
tg 30o = h
x
Em ABD, temos:
tg 60o = 8
AB
3 = h
x
3
8
3 =
AB
x = 3h . 3
3
3
AB = 8 . 3
3
3
x=h 3
sen 30o = AC
8
AB = 8 3
3
1 = AC
2
8
= 8 3
3
S = 2 .
AC = 4
3
4
cos 30o = BC
8
16
S = 64 . 3 . 3
9
4
16 3
3
3
3
2
BC
8
BC = 4 3
12.15) B
Semelhança
h
AC
h
4
8x
BC
8h 3
4 3
h 3 =8–h 3
2h 3 = 8
x
5
3Á
x
6
5 .3
S= 2
2
15 Á x
6
5
2
h= 4 . 3
3
3
h= 4 3
3
15
4
Matemática D
17
Gabarito
12.19) B
Área de APB
8. 4 3
3
S=
2
S = 16 3
3
12.17) D
Smaior = 2Smenor
É BC Ù
Ú
Ê
Ë DE Û
Smaior
Smenor
É BC Ù
ÊÊ
ÚÚ
Ë DE Û
2 . Smenor
Smenor
Ù
É
2 = Ê BC Ú
Ë DE Û
BC =
DE
2
Em PQR, temos:
122 = 62 + QR
2
QR =
2
108 = 6 3
AB = 6 3
Em PQR, temos:
2
cos E
6
12
1
2
E = 60o
2
Logo, PAC é equilátero e, assim, D = 30o.
12.18) B
S = 1 . AC . AB . sen D
2
S= 1 .9. 6 3 . 1
2
2
S = 27 3
2
12.20) 70
a2 = 102 + 202
a2 = 100 + 400
a2 = 500
SABC = 10 . 20 = 100
2
S ABC
S APC
É a Ù
Ê Ú
Ë 10 Û
100
S APC
a2
100
100
S APC
500
100
2
SAPC = 20
SBPC = 100 – 20 = 80
18
Matemática D
Área
S = 2x . 8 = 8x
2
Gabarito
S = p . r = 2 2x . 3 = ( + x) . 3
2
Á 8x = 3 + 3x
5x = 3 Á = 5x
3
2 = x 2 + 82
25x 2 = x2 + 64
9
25x2 = 9x2 + 576
16x2 = 576
x2 = 36
x=6
= 10
01. Incorreto
Incorreto.
h=8
02. Correto
Correto.
8–3=5
04. Correto
Correto.
08. Incorreto
Incorreto.
Base = 12
16. Incorreto
Incorreto.
O centro do círculo circunscrito está sobre PC .
Se distar 1,25 da base, não será eqüidistante
dos vértices.
32. Incorreto
Incorreto.
S = a.b.c
4r
3
48 = 12 . 10 . 10
4r
Área
S = 8x
S = 48
48 r = 300
r = 6,25
64. Correto
Correto.
Matemática D
19