INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
ENG. GILMAR TADEU FIGUEIREDO CAINELLI
MODELAGEM, IMPLEMENTAÇÃO E CONTROLE COM
VÍDEO-SENSORIAMENTO DE UMA ESFERA SOBRE
PLATAFORMA
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de
Mestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar
de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do
título de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: Prof. Geraldo Magela Pinheiro Gomes, Dr.
ENSAE
Co-Orientador: Prof. Antonio Eduardo Carrilho da
Cunha, Dr. Eng. UFSC
Rio de Janeiro
2005
c2005
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
Praça General Tibúrcio, n◦ 80 - Praia Vermelha
Rio de Janeiro - RJ - CEP.: 22290-270
Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-lo
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arquivamento.
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a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade
comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s)
orientador(es).
C135M Cainelli,G.T.F.
Modelagem, Implementação e Controle com Vídeo-Sensoriamento de uma
Esfera Sobre Plataforma - Eng. Gilmar Tadeu Figueiredo Cainelli.
161 p.: il., graf., tab.
Dissertação (Mestrado) - Instituto Militar de Engenharia - Rio de Janeiro,
2005
1. Controle de Sistemas Dinâmicos. 2. Controle Robusto Paramétrico.
3. Controle PRCBI. 4. Sistema Plataforma-Esfera (Ball-Plate). I.
Cainelli,G.T.F. II. Instituto Militar de Engenharia. III. Modelagem, Implementação e Controle com Vídeo-Sensoriamento de uma Esfera Sobre
Plataforma.
CDD 629.8312
2
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
ENG. GILMAR TADEU FIGUEIREDO CAINELLI
MODELAGEM, IMPLEMENTAÇÃO E CONTROLE COM
VÍDEO-SENSORIAMENTO DE UMA ESFERA SOBRE PLATAFORMA
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica
do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: Prof. Geraldo Magela Pinheiro Gomes, Dr. ENSAE.
Co-Orientador: Prof. Antonio Eduardo Carrilho da Cunha, Dr. Eng. UFSC.
Aprovada em 05 de Agosto de 2005 pela seguinte Banca Examinadora:
Prof. Geraldo Magela Pinheiro Gomes, Dr. ENSAE do IME - Presidente
Prof. Antonio Eduardo Carrilho da Cunha, Dr. Eng. UFSC do IME
Prof. Luciano Luporini Menegaldo, D.Sc. USP do IME
Prof. Mauro Speranza Neto, Ph.D. PUC da PUC
Rio de Janeiro
2005
3
4
Eu dedico este trabalho a DEUS e aos homens de
bom coração.
5
AGADECIMENTOS
Chegou o momento de agradecer e sinto-me até sem jeito nesta hora, porque foram
tantas as pessoas que de alguma forma contribuíram para a concretização deste trabalho,
que por medo de ser traído pela memoria e não mencionar o nome de todas, irei apenas
agradecer a DEUS, que na sua infinita sabedoria e bondade, colocou no meu caminho:
O Instituto Militar de Engenharia - IME, em especial o Departamento de Engenharia
Elétrica - SE/3, que me deu a oportunidade de realizar o curso de mestrado.
O Cel. Geraldo Magela Pinheiro Gomes que na qualidade de orientador, me ensinou,
auxiliou, corrigiu e guiou durante a realização do curso de mestrado.
O Cap. Antonio Eduardo Carrilho da Cunha que na qualidade de co-orientador,
não mediu esforços para a concretização desta dissertação. Tanto foi o seu empenho, em
muitas horas de trabalho ao meu lado, que passou a ser considerado um amigo.
O Cel. Ney Bruno que me acolheu com paciência e carinho, auxiliando com interesse
na implementação da planta.
O amigo João Carlos José dos Santos (Téc. Lab. Automação e Controle) que dispôs
de muitas horas de atenção, do seu vasto conhecimento prático, a meu favor.
Os professores Maj. Roberto Ades, Maj. Paulo Cesar Pellanda, Maj. José Vicente
Medlig de Souza, Dr. Fabrício Bandeira Cabral, Dr. Paulo Fernando Ferreira Rosa,
Cap. Leila Neves Gouveia, TC. Decilio e Dr. Fernando Ribeiro da Silva, que foram os
responsáveis pelos excelentes ensinamentos ministrados durante o curso de mestrado, em
especial o Cap. Juraci Ferreira Galdino, que num momento de fragilidade me animou
com palavras de incentivo.
O Dr. Rex Nazaré Alves que, sempre solícito, durante o curso de mestrado permitiu
utilizarmos as dependências e os equipamentos do SE-7, para que pudéssemos desenvolver
os nossos estudos.
Os professores da Faculdade de Engenharia Industrial - FEI, Dr. João Antônio
Martino, Dr. José Bueno de Camargo e Dr. Orlando Del Bianco Filho que além de
participarem da minha instrução profissional, no curso de graduação, também confiaram
a mim suas indicações ao curso de mestrado do IME.
6
Os professores convidados que participaram da banca examinadora, Prof. Luciano
Luporini Menegaldo, D.Sc. do IME e Prof. Mauro Speranza Neto, Ph.D. da PUC que
mesmo com seus dias cheios de afazeres prestigiaram-me com suas presenças.
Os colegas de turma Luis Felipe Sivolella, CC(en). Orlando Ribeiro Vita Junior, Cap.
Fabiano Gomes da Silva, Cap. Francisco Eduardo Lima de Medeiros, 1o Ten. Fernando
Apolinário Pereira, 1o Ten. Carlos Alberto Padilha Pinheiro, 1o Ten. Ricardo Coutinho
Valle, 1o Ten. João Fábio Soares dos Santos pela amizade sem interesse e excelente
ambiente de estudo proporcionado durante as aulas do curso de mestrado, em especial o
Cap. Jacy Montenegro Magalhães Neto que em todos os momentos de necessidade correu
em meu socorro sempre disposto a ajudar, por este motivo deixou de ser um amigo para
se tornar um irmão.
Os colegas Alberto Rubim da Cruz (Téc. Lab. Fotônica), Maria de Lourdes Santarem
Rodrigues (Secretária SE/3), Daniel dos Santos Nery (Téc. Lab. Eletrônica Básica) e
José Roberto Ferreira (Téc. Lab. de Informática) que sempre estiveram de prontidão
para me ajudar.
O colega 1o Ten. Diogo Peligrinelli Dutra que sem saber foi usado como mensageiro
de Deus para indicar a solução de um dos problemas ocorridos neste trabalho.
A minha esposa, amante, amiga e companheira Ruth Andrade Chamusca, que durante o transcorrer do curso de mestrado, se dedicou a me compreender, apoiar, incentivar
e amar, abdicando de muitas horas de lazer.
Os meus pais Gilmar Vicentini Cainelli e Maria Lucia Figueiredo Cainelli que, embora
distantes, suportaram as saudades e me deram força e incentivo durante essa jornada.
A CAPES, que incentivou a pesquisa por meio da bolsa de estudos fornecida durante
o ano da dissertação.
7
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1
Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2
Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4
Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5
Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
MODELAGEM DO SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA . . . . . . . . 27
2.1
Descrição do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2
Modelagem Matemática da Planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Relações Cinemáticas do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Dinâmica da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Dinâmica da Plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.5 União das Dinâmicas da Esfera e da Plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.6 Acoplamento Mecânico Entre o Motor Elétrico e a Plataforma . . . . . . . . . . . . 37
2.2.7 Dinâmica do Motor Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.8 União da Dinâmica do Motor Elétrico e do Acoplamento Mecânico . . . . . . . . . 40
2.2.9 União das Dinâmicas do Sistema Plataforma-Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3
Representação em Equação de Espaço de Estados no Tempo Discreto
do Modelo do Sistema Plataforma-Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4
Ensaio dos Modelos Não linear, Linear Continuo e Linear Discreto . . . . . . . . . 50
3
SÍNTESE DOS CONTROLADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2
Controlador LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.2 Síntese LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8
3.3
Controlador LQG-LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.2 Síntese LQG-LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.3 Rastreamento do Ponto de Operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4
Aplicação do Controle LQG-LTR Sobre o Modelo do Sistema
Plataforma-Esfera - 1a Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5
Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6
Controlador PRCBI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.2 Qualidade de Identificação Bayesiana em Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.3 Síntese PRCBI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6.4 Hiperesfera Percentual de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6.5 Diagrama de Sensibilidade dos Pólos de MF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.7
Aplicação do Controle PRCBI Sobre o Modelo do Sistema PlataformaEsfera - 1a Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.8
Comparação do Desempenho dos Controladores LQG-LTR e PRCBI
Sobre o Modelo do Sistema Plataforma-Esfera - 1a Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.9
Comparação da Robustez em Estabilidade dos Controladores LQGLTR e PRCBI Sobre o Modelo do Sistema Plataforma-Esfera - 1a Fase . . . . . 85
3.10
Análise dos Resultados Obtidos - 1a Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.11
Aplicação do Controle LQG-LTR Degradado Sobre o Modelo do Sistema Plataforma-Esfera - 2a Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.12
Aplicação do Controle PRCBI Sobre o Modelo do Sistema PlataformaEsfera - 2a Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.13
Comparação do Desempenho dos Controladores LQG-LTR Degradado
e PRCBI Sobre o Modelo do Sistema Plataforma-Esfera - 2a Fase . . . . . . . . . . 98
3.14
Comparação da Robustez em Estabilidade dos Controladores LQGLTR Degradado e PRCBI Sobre o Sistema Plataforma-Esfera - 2a Fase . . . . . 100
3.15
Análise dos Resultados Obtidos - 2a Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4
IMPLEMENTAÇÃO
DO
CONTROLE
DO
SISTEMA
PLATAFORMA-ESFERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1
Descrição do Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1.1 Sensor de Aquisição da Posição da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1.2 Sensor do Ângulo de Inclinação da Plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9
4.1.3 Atuador do Comando da Inclinação da Plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2
Descrição do Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3
Ensaios Práticos do Sistema Plataforma-Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4
Análise dos Resultados Obtidos - Fase Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5
Comentários Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5
CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.1
Pontos Observados e Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2
Pontos Não Observados e Limitações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3
Perspectivas de Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7
APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1
APÊNDICE 1: VALORES NOMINAIS DAS VARIÁVEIS DO SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2
APÊNDICE 2: PERÍODO DE DISCRETIZAÇÃO (Ts ) DO SISTEMA
PLATAFORMA-ESFERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3
APÊNDICE 3: SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES MATRICIAIS DE LYAPUNOV133
7.4
APÊNDICE 4: SELEÇÃO DO VETOR DE PARÂMETROS SENSÍVEIS DO SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.5
APÊNDICE 5: INTERFERÊNCIA LUMINOSA NA AQUISIÇÃO DE
IMAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.6
APÊNDICE 6: CONFIGURAÇÕES DA PLACA PCL812-PG . . . . . . . . . . . . . 145
7.7
APÊNDICE 7: PROJETO DO DRIVER PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.8
APÊNDICE 8: DETALHES DE PROGRAMAÇÃO DO APLICATIVO DE CONTROLE DO SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA . . . . . . . . . 152
7.8.1 Aquisição da Posição da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.8.2 Aquisição do Ângulo de Inclinação da Plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.8.3 Comando da Inclinação da Plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.9
APÊNDICE 9: TRANSFORMAÇÃO DAS COORDENADAS EM
PIXEL PARA COORDENADAS EM METROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.10
APÊNDICE 10: ATRITO DE ROLAMENTO OU RESISTÊNCIA DE
ROLAMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIG.2.1
Foto do Sistema Plataforma-Esfera Idealizado no IME. . . . . . . . . . . . . . . . 27
FIG.2.2
Diagrama em Blocos do Sistema Plataforma-Esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
FIG.2.3
Etapas de um Projeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
FIG.2.4
Esquema do Sistema Plataforma-Esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
FIG.2.5
Esquema da Dinâmica do Sistema Plataforma-Esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
FIG.2.6
Esquema das Forças e Momentos na Esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
FIG.2.7
Esquema das Forças e Momentos na Plataforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
FIG.2.8
Esquema da Dinâmica do Acoplamento Mecânico Entre Motor e
Plataforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
FIG.2.9
Esquema da Dinâmica do Motor Elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
FIG.2.10 Distribuição de Forças Entre Plataforma e Polia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
FIG.2.11 Pólos de MA do Sistema Plataforma-Esfera no Tempo Continuo. . . . . . . 47
FIG.2.12 Pólos de MA do Sistema Plataforma-Esfera no Tempo Discreto. . . . . . . . 49
FIG.2.13 Ensaio dos Modelos Não linear, Linear Continuo e Linear Discreto. . . . . 50
FIG.2.14 Resposta ao Degrau dos Modelos Não linear, Linear Continuo e
Linear Discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
FIG.3.1
Estrutura LQR com Observador Preditor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
FIG.3.2
Estrutura LQG com Filtro de Kalman Preditor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
FIG.3.3
Estrutura LQG com Filtro de Kalman Corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
FIG.3.4
Algoritmo Recursivo de Kalman Para Cálculo de Kf. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
FIG.3.5
Diagrama do Rastreador de Ponto de Operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
FIG.3.6
Ensaio do Modelo Linear Discreto com Controlador LQG-LTR. . . . . . . . . 62
FIG.3.7
Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador
LQG-LTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
FIG.3.8
Resposta ao Sinal Senoidal do Modelo Linear Discreto com Controlador LQG-LTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
FIG.3.9
Equivalência do Bloco Controlador Discreto LQG-LTR - Nominal. . . . . . 65
FIG.3.10 Qualidade de Identificação Paramétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
FIG.3.11 Estrutura LQG-LTR do Problema Abordado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
FIG.3.12 Síntese PRCBI Atuando no Controlador e na Matriz de Entrada
de Ruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
FIG.3.13 Ensaio do Modelo Linear Discreto com Controlador PRCBI. . . . . . . . . . . 79
11
FIG.3.14 Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador
PRCBI Otimizado por Kcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
FIG.3.15 Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador
PRCBI Otimizado por Fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
FIG.3.16 Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador
PRCBI Otimizado por Kcd e Fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
FIG.3.17 Respostas do Sistema Plataforma-Esfera com os Controladores
LQG-LTR e PRCBI Otimizado por Kcd , nas Condições de Valores
Nominais da Planta e com Perturbações Paramétricas de +10%
e -10%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
FIG.3.18 Respostas do Sistema Plataforma-Esfera com os Controladores
PRCBI Otimizado por Fd e PRCBI Otimizado por Kcd e Fd , nas
Condições de Valores Nominais da Planta e com Perturbações
Paramétricas de +10% e -10%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
FIG.3.19 Hiperesferas Percentuais de Estabilidade do Sistema PlataformaEsfera com os Controladores LQG-LTR e PRCBI Otimizado por
Kcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
FIG.3.20 Hiperesferas Percentuais de Estabilidade do Sistema PlataformaEsfera com os Controladores PRCBI Otimizado por Fd e PRCBI
Otimizado por Kcd e Fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
FIG.3.21 Diagramas de Sensibilidade de Pólos do Sistema Plataforma-Esfera
MF com os Controladores LQG-LTR e PRCBI Otimizado por
Kcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
FIG.3.22 Diagramas de Sensibilidade de Pólos do Sistema Plataforma-Esfera
MF com os Controladores PRCBI Otimizado por Fd e PRCBI
Otimizado por Kcd e Fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
FIG.3.23 Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador
LQG-LTR Degradado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
FIG.3.24 Resposta ao Sinal Senoidal do Modelo Linear Discreto com Controlador LQG-LTR Degradado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
FIG.3.25 Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador
PRCBI Otimizado por Kcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
FIG.3.26 Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador
PRCBI Otimizado por Fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12
FIG.3.27 Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador
PRCBI Otimizado por Kcd e Fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
FIG.3.28 Respostas do Sistema Plataforma-Esfera com os Controladores
LQG-LTR degradado e PRCBI Otimizado por Kcd , nas Condições
de Valores Nominais da Planta e com Perturbações Paramétricas
de +10% e -10%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
FIG.3.29 Respostas do Sistema Plataforma-Esfera com os Controladores
PRCBI Otimizado por Fd e PRCBI Otimizado por Kcd e Fd , nas
Condições de Valores Nominais da Planta e com Perturbações
Paramétricas de +10% e -10%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
FIG.3.30 Hiperesferas Percentuais de Estabilidade do Sistema PlataformaEsfera com os Controladores LQG-LTR degradado e PRCBI
Otimizado por Kcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
FIG.3.31 Hiperesferas Percentuais de Estabilidade do Sistema PlataformaEsfera com os Controladores PRCBI Otimizado por Fd e PRCBI
Otimizado por Kcd e Fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
FIG.3.32 Diagramas de Sensibilidade de Pólos do Sistema PlataformaEsfera MF com os Controladores LQG-LTR degradado e PRCBI
Otimizado por Kcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
FIG.3.33 Diagramas de Sensibilidade de Pólos do Sistema Plataforma-Esfera
MF com os Controladores PRCBI Otimizado por Fd e PRCBI
Otimizado por Kcd e Fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
FIG.4.1
Tensão Aplicada aos Potenciômetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
FIG.4.2
Fluxograma do Programa de Controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
FIG.4.3
Período de Amostragem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
FIG.4.4
Posição da Esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
FIG.4.5
Ângulo do Eixo X da Plataforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
FIG.4.6
Ângulo do Eixo Y da Plataforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
FIG.4.7
Tensão Aplicada ao Motor do Eixo X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
FIG.4.8
Tensão Aplicada ao Motor do Eixo Y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
FIG.4.9
Período de Amostragem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
FIG.4.10 Posição da Esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
FIG.4.11 Ângulo do Eixo X da Plataforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
FIG.4.12 Ângulo do Eixo Y da Plataforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13
FIG.4.13 Tensão Aplicada ao Motor do Eixo X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
FIG.4.14 Tensão Aplicada ao Motor do Eixo Y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
FIG.7.1
Pólos de MA Para Ts de 10s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
FIG.7.2
Pólos de MA Para Ts de 1s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
FIG.7.3
Pólos de MA Para Ts de 0,1s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
FIG.7.4
Pólos de MA Para Ts de 0,01s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
FIG.7.5
Pólos de MA Para Ts de 0,001s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
FIG.7.6
Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal
do Parâmetro Indicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
FIG.7.7
Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal
do Parâmetro Indicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
FIG.7.8
Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal
do Parâmetro Indicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
FIG.7.9
Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal
do Parâmetro Indicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
FIG.7.10 Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal
do Parâmetro Indicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
FIG.7.11 Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal
do Parâmetro Indicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
FIG.7.12 Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% dos Valores Nominais dos Parâmetros Indicados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
FIG.7.13 Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% dos Valores Nominais dos Parâmetros Indicados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
FIG.7.14 Incidência do Reflexo Luminoso na Imagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
FIG.7.15 Gráficos PWM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
FIG.7.16 Driver PWM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
FIG.7.17 Diagrama em Blocos do Percurso da Tensão de Controle Até o
Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
FIG.7.18 Característica de Transformação dos Drivers PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
FIG.7.19 Eixos Coordenados da Imagem e do Sistema Plataforma-Esfera. . . . . . . . 157
FIG.7.20 Exemplo de Deformação Ocorrida no Atrito de Rolamento. . . . . . . . . . . . 160
14
LISTA DE TABELAS
TAB.3.1
Valores Para Síntese LQG-LTR - 1a Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
TAB.3.2
Resultados da Síntese LQG-LTR - 1a Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
TAB.3.3
Notação Adotada.
TAB.3.4
Resultados da Síntese PRCBI - 1a Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
TAB.3.5
Raios da Hiperesfera Percentual de Estabilidade do Sistema
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Plataforma-Esfera com os Controladores LQG-LTR e PRCBI - 1a
Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
TAB.3.6
Valores Para Síntese LQG-LTR - 2a Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
TAB.3.7
Resultados da Síntese LQG-LTR - 2a Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
TAB.3.8
Resultados da Síntese PRCBI - 2a Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
TAB.3.9
Raios da Hiperesfera Percentual de Estabilidade do Sistema
Plataforma-Esfera com os Controladores LQG-LTR degradado e
PRCBI - 2a Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
TAB.4.1
Zona Morta dos Motores X e Y do Sistema Plataforma-Esfera. . . . . . . . . 108
TAB.4.2
Zona Morta dos Motores X e Y do Sistema Plataforma-Esfera Com
PWM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
TAB.4.3
Valores Para Síntese LQG-LTR Não Degradado no Tempo Continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
TAB.4.4
Resultados da Síntese LQG-LTR Não Degradado no Tempo Continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
TAB.7.1
Endereço de Entrada/Saída da PCL812-PG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
TAB.7.2
Estado de Espera da PCL812-PG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
15
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
ABREVIATURAS
A,B,C,D
-
Matrizes de representação de espaço de estado no tempo continuo
Φ, Γ, Cd , Dd
-
Matrizes de representação de espaço de estado no tempo discreto
A/D
-
Digital/Analógico
Amp
-
Amplificador
Bm
-
Coeficiente de atrito viscoso do motor
CM
-
Centro de massa da plataforma
D/A
-
Analógico/Digital
DMA
-
Direct Memory Access
E[·]
-
Esperança matemática de uma variável aleatória
EQ(S)
-
Equação(ões)
F(·)
-
Função objetivo
f(·)
-
Função qualquer
F = Fd
-
Matriz de entrada de ruído na planta
FIG(S)
-
Figura(s)
FK
-
Filtro de Kalman
Fp
-
Força aplicada na plataforma
FT
-
Função de Transformação
Fx
-
Força aplicada no fio pela polia
G
-
Aceleração da gravidade
G−1
θ0
-
Matriz da qualidade de identificação bayesiana
H(·)
-
Ganho do Rastreador do ponto de operação
Hp
-
Distância da superfície superior da plataforma até o eixo de giro da junta
universal
I
-
Matriz identidade
Ia
-
Corrente elétrica consumida pelo motor
Ip
-
Momento de inércia da plataforma
IRQ
-
Interrupt Request
J(·)
-
Custo
Je
-
Momento de inércia da esfera
16
Jm
-
Momento de inércia do eixo do motor
JP
-
Jumper
K = Kv = K t
-
Constantes do motor [Tensão e Torque]
Kc = Kcd
-
Ganho do controlador
Kf = Kfd
-
Ganho do observador de Kalman (filtro de Kalman)
Kp
-
Ganho do potenciômetro
Lf
-
Comprimento do fio com a plataforma em θx = 00 , conforme FIG. 2.8
Lp
-
Metade do comprimento da plataforma
LQG
-
Linear Quadratic Gaussian
LQG-LTR
-
Linear Quadratic Gaussian - Loop Transfer Recovery
LQR
-
Linear Quadratic Regulator
LTI
-
Linear Time Invariant
MA
-
Malha aberta
Me
-
Massa da esfera
MF
-
Malha fechada
Mp
-
Massa da plataforma
N
-
Relação da caixa de redução das engrenagens motor-polia
P
-
Matriz de covariância do erro de estimação
P’
-
Matriz de covariância do erro de predição
PE
-
Plataforma-esfera
PID
-
Proporcional Integral e Derivativo
Pp
-
força peso exercida pela plataforma
PP
-
Programa principal
PRCBI
-
Parameter Robust Control by Bayesian Identification
PRLQG
-
Parameter Robust Linear Quadratic Gaussian
PWM
-
Pulse width modulation
Q
-
Matriz de covariância do ruido da planta
Q1
-
Matriz de ponderação do ruído da planta
Q2
-
Matriz de ponderação do ruído do sensor
R
-
Matriz de covariância do ruido do sensor
Re
-
Raio da esfera
RES(·)
-
Resolução gráfica
Rm
-
Resistência do enrolamento da armadura do motor
n
-
Conjunto de vetores reais de ordem n
R
17
Rn×m
-
Conjunto de matrizes reais de ordem n por m
Rp
-
Raio da polia
SW
-
Switch
TAB(S)
-
Tabela(s)
Tr(·)
-
Traço de uma matriz
Ts
-
Período de discretização
v
-
Vetor de entrada de ruído nas medidas dos sensores
Vpot
-
Tensão fornecida pelo potenciômetro proporcional ao ângulo de inclinação da plataforma
Vref
-
Tensão de referência para o driver PWM
Vsc
-
Tensão de saída do comparador do driver PWM
Vt
-
Tensão de pico a pico aplicada ao potenciômetro
Vtri
-
Tensão da onda triangular gerada pelo driver PWM
x1,2,3,4
-
Variáveis de estado
x̂
-
Vetor x estimado
x̂k/k−1
-
Vetor x predito, estimado no tempo k com base nos valores conhecidos
no tempo k-1
x̂k/k
-
Vetor x corrente, estimado no tempo k com base nos valores conhecidos
no tempo k
y
-
Posição da esfera
ẏ
-
Velocidade da esfera
ÿ
-
Aceleração da esfera
w
-
Vetor de entrada de ruído na planta
z−1
-
Retardo unitário discreto
18
SÍMBOLOS
·
-
Um argumento qualquer
(·)0
-
Estado nominal do argumento
(·)p
ˆ
(·)
-
Estado perturbado do argumento
-
Argumento estimado
¯
(·)
-
Argumento predito
⊗
-
Produto de Kronecker
ε
-
Valor percentual de perturbação das variáveis do vetor de parametros
sensíveis
θ
-
Vetor paramétrico ou vetor de parametros sensíveis
θm
-
Ângulo de rotação do motor
θpol
-
Ângulo de rotação da polia
θpot
-
Ângulo de rotação do potenciômetro
θx
-
Ângulo de inclinação da plataforma com a horizontal
θ̇x
-
Velocidade angular da plataforma
θ̈x
-
Aceleração angular da plataforma
Γm
-
Torque do motor
Γp
-
Torque na polia
Γx
-
Torque na plataforma
β
-
Ângulo de giro da esfera em relação ao eixo Z’ móvel
α
-
Ângulo de giro da esfera em relação ao eixo Z fixo
µ
-
Número de voltas do potenciômetro
ρy
-
Vetor distância
~e
-
Vetor unitário
λ(·)
-
Autovalores de uma matriz
φ
-
Ângulo entre Fx e Fp
δ
-
Ângulo idêntico ao ângulo θx
ψ
-
Ângulo de inclinação do fio com a plataforma
η
-
Ângulo de inclinação da plataforma coma vertical
19
RESUMO
Neste trabalho são apresentados os estudos feitos sobre o sistema Plataforma-Esfera
desenvolvido no Laboratório de Automação e Controle da Seção de Ensino de Engenharia
Elétrica do IME. A função deste sistema é controlar uma esfera que rola sobre uma
plataforma articulada, seja em posição fixa ou percorrendo uma trajetória especifica,
impulsionada por inclinações na plataforma.
O trabalho apresenta o resultado de um estudo que tem como objetivos: aprimorar
e validar a modelagem matemática do sistema; analisar a aplicação, sobre o modelo, das
técnicas de controle LQG-LTR (Linear Quadratic Gaussian - Loop Transfer Recovery) e
PRCBI (Parameter Robust Control by Bayesian Identification); comparar os resultados
teóricos pelas simulações, analisando os aspectos de robustez em estabilidade e desempenho e, finalmente, implementar o sistema de controle em tempo real contando com um
sistema de vídeo-sensoriamento para medir as coordenadas da esfera sobre a plataforma.
20
ABSTRACT
In this work are presented the studies made on the Ball-Plate system developed
in the Laboratory of Automation and Control of the Section of Education of Electric
Engineering of the IME. The function of this system is to control a sphere that rolls
on a articulated platform, either in fixed position or covering a trajectory it specifies,
stimulated for inclinations in the platform.
The work presents the result of a study that has as objective: to improve and to validate the modelling mathematical of the system; to analyze the application, on the model,
of the techniques of control LQG-LTR (Linear Quadratic Gaussian - Loop Transfer Recovery) and PRCBI (Parameter Robust Control by Bayesian Identification); to compare
the theoretical results for the simulations, being analyzed the aspects of robustness in
stability and performance and, finally, to implement the system of control in real time
counting on a video-sensoriamento system to measure the coordinates of the sphere on
the platform.
21
1 INTRODUÇÃO
Controlar um sistema mecânico para um engenheiro da área elétrica é sempre um
desafio emocionante e atraente, pois envolve conhecimentos que estão fora do alcance
destes engenheiros. É exatamente o caso apresentado nesta dissertação.
O desejo se torna mais emocionante ainda quando este sistema é implementado fisicamente, pois permite vir a tona alguns verdadeiros problemas da engenharia do controle
moderno, tais como: viabilizar o controle via comunicação com um microcomputador inserido na malha; compensar as perturbações de natureza mecânica (atritos, folgas, zonas
mortas, etc); enfrentar o ruído elétrico presente nos sinais dos sensores e muitos outros.
Dois outros grandes desafios foram vencidos neste trabalho. O primeiro foi o desenvolvimento do hardware e software necessários para o sensoriamento da posição da esfera
sobre a plataforma, atividade altamente complexa e que foi obtida após longo trabalho e
com tentativas frustradas. O segundo desafio foi achar o caminho para operar a comunicação da placa PCL812-PG com a planta, pelo software MATLAB. A placa PCL812-PG
é responsável pela aquisição dos dados dos sensores transferidos para o microcomputador
(conversão A/D) e pela transferência dos sinais de atuação sobre os motores (conversão
D/A) que movimentam a plataforma.
Este trabalho apesar de apresentar, na parte teórica, as características comparativas entre os controladores desenvolvidos pelas sínteses LQG-LTR e PRCBI aplicados ao
sistema Plataforma-Esfera, apresenta muito mais contribuições práticas. Uma vez que
os hardware e software aqui desenvolvidos já foram utilizados nos sistemas do Levitador
Magnético e no Manipulador Robótico, sendo este último utilizado na tese de mestrado
de VALLE (2005), ambos do Laboratório de Automação e Controle do IME.
O tempo consumido no desenvolvimento prático do sistema, impossibilitou uma melhor e mais profunda análise das técnicas de controle (LQG-LTR, PRCBI e outras) na
busca por soluções mais robustas. Este fato poderia ter sido evitado pela compra de um
sistema semelhante vendido por uma empresa internacional de equipamentos para ensino
em controle conhecida por TQ. Quanto à compra de um experimento fechado de um
fabricante, BERNSTEIN (2003) aponta que tais experimentos possuem riqueza muito
menor para o aprendizado científico-tecnológico que os experimentos desenvolvidos no
próprio laboratório.
22
Numa primeira implementação do sistema procurou-se obter estas características de
robustez pelo do aprimoramento físico da planta. Foi feito o aperfeiçoamento do sistema
de video-sensoriamento, que inicialmente utilizava o software Color-Track desenvolvido
pela Seção de Ensino de Engenharia de Sistemas, que por se mostrar instável foi substituído por um algoritmo desenvolvido neste trabalho, que usa o Image Acquisition Toolbox
do MATLAB. Além deste foi utilizada a técnica de modulação PWM para diminuir o
efeito da zona morta do motor elétrico.
1.1 HISTÓRICO
A idéia da implementação do sistema Plataforma-Esfera foi concebida pelo Prof.
Geraldo Magela Pinheiro Gomes, inspirado por uma demonstração feita durante o 1a
ECC (European Control Conference), realizado em Grenoble, na França.
Em 1999 o tema foi apresentado em um trabalho de IP (Iniciação a Pesquisa) para
alunos do curso básico pelo Prof. Ney Bruno, onde foi concebido a primeira abordagem
do modelo matemático e realizados estudos com simulações em MATLAB.
No ano 2000 o tema foi apresentado, desta vez, como PFC (Projeto Final de Curso)
pelos alunos Lisboa, Freitas, Cunha e Marques.
No ano 2003 foi novamente abordado como objeto de estudo por dois grupos. O
primeiro, formado pelo grupo de GAMA (2003), que melhoraram o modelo, projetaram
um controlador com observador de ordem reduzida e realizaram estudos com simulações
em MATLAB. O segundo grupo, formado por alunos de Pós-Graduação da Seção de Ensino de Engenharia Elétrica, em trabalho da disciplina de Controle Ótimo, projetaram
um controlador LQG, realizaram estudos com simulações em MATLAB e tentaram implementar o funcionamento da planta.
A partir de Março de 2004 o tema vem sendo abordado neste trabalho de dissertação
de Mestrado em Engenharia Elétrica.
23
1.2 MOTIVAÇÃO
O sistema Plataforma-Esfera apresenta desafios interessantes para o ensino de Teoria
de Controle. Uma vez em funcionamento o controle por computador, o sistema pode
ser utilizado nas disciplinas de controle da SE/3, tanto da graduação quanto da pósgraduação, por outras seções de ensino do IME que possuam disciplinas de controle no
currículo de seus cursos, e por pesquisadores na pós-graduação.
Há registro de sistemas semelhantes implementados na literatura, como em AWTAR
(2002) e GOODWIN (2001), havendo também disponível um sistema a venda por um
comerciante internacional de equipamentos para ensino em controle (TQ).
O sistema Plataforma-Esfera envolve problemas de controle encontrados em aplicações reais, particularmente as militares. Pode-se citar o controle do guiamento de
mísseis ou da navegação de veículos aéreos autônomos ou teleoperados. Dois projetos
interdisciplinares em andamento no IME (PELLANDA (2004) e AMORIM (2004)) são
beneficiados por este projeto, que permitirá testar os novos algoritmos de controle e estabilização de plataformas desenvolvidos no seu contexto. Outra aplicação militar de
interesse é a estabilização de canhões de uma embarcação naval ou de um carro de combate em movimento de modo que não se perca a mira face às perturbações, sejam de
ondas do mar, ventos ou desníveis do terreno conforme o caso.
As motivações que levaram aos estudos apresentados neste trabalho são as seguintes:
• Implementação pela primeira vez do sistema Plataforma-Esfera. Os trabalhos anteriores detiveram-se a estudar as caracteristicas do modelo do sistema apenas por
simuladores gráficos;
• Melhorar o modelo matemático do sistema pelas diferenças encontradas entre o
modelo e a planta durante a implementação;
• Oportunidade de fazer uma análise do comportamento do sistema sob ação dos
controladores LQG-LTR e PRCBI;
• Oportunidade de complementar o trabalho com os dados obtidos nos ensaios práticos com a planta. Pois, segundo BERNSTEIN (1998) e APKARIAN (2003), nenhuma pesquisa é completa se estiver apoiada somente em estudos teóricos ou somente em experimentação, há a necessidade que um complemente o outro.
24
1.3 OBJETIVOS
Os objetivos previstos para este trabalho são os seguintes:
a) Aperfeiçoar e validar, por ensaios, o modelo matemático do Sistema PlataformaEsfera;
b) Aplicar as técnicas de Controle LQG-LTR (Linear Quadratic Gaussian - Loop
Transfer Recovery) e PRCBI (Parameter Robust Control by Bayesian Identification) ao modelo, verificando as características dos controladores quanto ao desempenho e robustez em estabilidade;
c) Implementar os controladores LQG-LTR e PRCBI em tempo real sobre a planta;
d) Desenvolver software e hardware de apoio ao sistema implementado em tempo real.
1.4 METODOLOGIA
Este trabalho se divide em três fases fundamentais, sendo que cada uma trata de um
problema relacionado ao sistema Plataforma-Esfera.
A primeira fase trata da melhoria da modelagem do sistema. Partindo-se do estudo
de modelos anteriores, serão propostas as inclusões de algumas dinâmicas ainda não
implementadas. Uma vez terminado os cálculos do novo modelo, sua validação será
obtida por meio de simulações em MATLAB.
A segunda fase trata do desenvolvimento de controladores pelas sínteses LQG-LTR
e PRCBI. O principal objetivo desta fase e comparar o desempenho e a robustez em
estabilidade desses controladores aplicados ao modelo desenvolvido na primeira fase.
A terceira fase trata da implementação dos controladores desenvolvidos na segunda
fase em tempo real. Para que isto seja possível serão criados hardware de apoio ao
funcionamento da planta e desenvolvidos softwares para aquisição de dados, aquisição de
imagem e comando para auxiliarem o sistema de controle.
Para a realização deste trabalho utilizaram-se os seguintes recursos:
• As dependências do Laboratório de Automação e Controle da Seção de Ensino de
Engenharia Elétrica do IME;
• Computador modelo PC convencional com 256MBytes de memória RAM, 10GBytes
de HD e processador Pentium III de 600MHz;
25
• Softwares de simulação matemática, de aquisição de dados e comando (MATLAB
7.0.1 e SIMULINK);
• Placas de aquisição de dados e comando (PCL726 e PCL812-PG);
• WEBCAM para aquisição de imagem;
• Planta Plataforma-Esfera, e
• Componentes discretos e circuitos integrados comerciais.
1.5 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
A seguir é apresentado um pequeno resumo dos tópicos tratados em cada capítulo
desta dissertação. O Capítulo 2 apresenta os tópicos referentes ao levantamento é melhorias do modelo do sistema Plataforma-Esfera utilizado neste trabalho, bem como sua
linearização e discretização, e testes comparativos entre os modelos não linear, linear
contínuo e linear discreto. O Capítulo 3 apresenta os controladores desenvolvidos para o
sistema Plataforma-Esfera a saber um controlador LQG-LTR e um controlador PRCBI.
Neste capítulo, pode-se observar também os ensaios de desempenho e a respectiva robustez do sistema MF de cada controlador calculado. O Capítulo 4 apresenta o desenvolvimento prático e os ensaios do sistema Plataforma-Esfera, sendo mostradas todas as
dificuldades encontradas e as soluções implementadas. O Capítulo 5 apresenta a conclusão deste trabalho, analisando seu conteúdo em termos dos objetivos propostos, e as
perspectivas para trabalhos futuros.
26
2 MODELAGEM DO SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA
2.1 DESCRIÇÃO DO SISTEMA
O Sistema Plataforma-Esfera é um sistema que tem por finalidade principal manter
o equilíbrio de uma esfera, parada em uma posição pré-definida mesmo sujeito a uma
perturbação de posição ou seguir uma trajetória estipulada, sobre uma plataforma plana.
Este projeto está sendo possível graças ao esforço de várias pessoas envolvidas e que
foram citadas no histórico. Em particular, as partes mecânicas foram montadas graças a
habilidade do professor Ney Bruno. O trabalho exige conhecimentos de mecânica, atritos,
folgas, zonas mortas e outras caracteristicas físicas inerentes ao problema proposto. Devido sua complexidade, cada parte do projeto foi criada separadamente e sua integração
final necessitou de ajustes posteriores para que o sistema como um todo cumprisse sua
finalidade.
A FIG 2.1 dá uma visão do sistema proposto juntamente com o computador que o
controla.
FIG. 2.1: Foto do Sistema Plataforma-Esfera Idealizado no IME.
27
Esse sistema atualmente permite entradas de posição para a esfera por arquivo préprogramado. Contudo, no futuro poderão ser implementadas as entradas de posição e a
trajetória da esfera pelo teclado ou por um simples clique do mouse na imagem.
O monitoramento e o comando do sistema ocorrem da seguinte forma:
• A posição da esfera se dá por uma câmera de vídeo;
• As Leituras dos ângulos de inclinação da plataforma são feitas por potenciômetros
sensores de ângulo;
• A inclinação da plataforma é produzida por ação de dois motores DC, um para
cada eixo.
A FIG. 2.2 ilustra a operação do sistema de controle do Plataforma-Esfera, em diagrama de blocos, para uma melhor compreensão do que será descrito a seguir.
FIG. 2.2: Diagrama em Blocos do Sistema Plataforma-Esfera.
Para o controle do sistema foram desenvolvidos dois controladores diferentes. O
primeiro se baseia na síntese de controle ótimo LQG-LTR sendo responsável por auxiliar
a planta a posicionar a esfera na posição solicitada com o melhor desempenho. O segundo
se baseia na síntese de controle robusto PRCBI tendo também o objetivo de auxiliar a
planta a posicionar a esfera na posição desejada. Contudo, visa a estabilidade do sistema
frente as variações paramétricas que possam ocorrer.
No instante em que a esfera atinge a posição desejada, o sistema, comandado pelo
programa principal, entra em regulação mantendo a estabilidade, aguardando uma nova
posição desejada.
28
O sistema Plataforma-Esfera ainda será provido de dois subsistemas auxiliares. O
primeiro protege a estrutura física, não permitindo que os motores inclinem a plataforma
o
em ângulo superior a 10 , evitando que o sistema chegue ao fim de curso, o que poderia
ocasionar danos na parte eletromecânica. O segundo é um sistema de calibração do
programa principal, que produz duas adequações: primeiramente, calibra a plataforma
na horizontal em relação às irregularidades da superfície da mesa onde está apoiada,
evitando falhas no controle da esfera; A outra, ajusta a imagem nas dimensões reais da
plataforma, vinculando cada pixel a uma posição física.
2.2 MODELAGEM MATEMÁTICA DA PLANTA
2.2.1 INTRODUÇÃO
No contexto deste trabalho, a modelagem consiste em determinar um conjunto de
equações (algébricas e/ou diferenciais) que definem o comportamento (dinâmico e/ou
estático) do sistema no tempo.
O principal objetivo de se determinar um modelo
matemático reside no fato dele ser necessário para predizer o funcionamento do sistema,
o que permite a sua análise, simulação, identificação, síntese, otimização e seu controle
(SILVA (2001)).
O problema de se modelar um sistema como este consiste em conhecer com precisão
o conjunto das equações matemáticas que melhor representem sua dinâmica e dentro de
certas restrições que dependem da natureza de sua implementação.
A Figura 2.3 ilustra as etapas de modelagem durante a concepção de um projeto
(SILVA (2001)).
FIG. 2.3: Etapas de um Projeto.
29
2.2.2 RELAÇÕES CINEMÁTICAS DO SISTEMA
O Sistema Plataforma-Esfera possuí dois conjuntos eletromecânicos, idênticos, independentes e dispostos a 90o entre si, responsáveis pela rotação dos eixos x e y, conforme
observado na FIG. 2.4. O apoio da plataforma é implementado no sistema usando-se uma
junta universal com dois graus de liberdade. Acrescentando-se o fato de que o sistema
possui conjuntos eletromecânicos idênticos, pode-se desenvolver os cálculos do modelo
para o plano yz e, por similaridade, para o plano xz. Considera-se o atrito desprezível
na junta universal, por ter pequena influência na dinâmica do sistema, e por simplificar
o modelo.
FIG. 2.4: Esquema do Sistema Plataforma-Esfera.
30
Observa-se, nas FIGS. 2.4 e 2.5, que existe um fio ligando os centros dos lados opostos
da plataforma, passando por três polias , sendo que uma delas polias está ligada a um
dos dois motores. À medida que o eixo do motor gira, uma força de tração é gerada no
fio que faz com que a plataforma sofra inclinações de ângulos θx . A ação da força no fio
que puxa a plataforma é representada por um torque Γx no centro da plataforma.
FIG. 2.5: Esquema da Dinâmica do Sistema Plataforma-Esfera.
Analisando a plataforma e a esfera na dimensão y, obtém-se o vetor distância ρ~y entre
o centro de rotação da plataforma e o centro de massa da esfera, conforme FIG. 2.5:
ρ~y = y.~ey0 +(Re + Hp ).~ez0
(2.1)
−
→
onde −
e→
y 0 e ez 0 são os vetores unitários dos eixos y’e z’, Re é o raio da esfera e Hp é a medida
a partir da superfície superior da plataforma até o eixo de giro da junta universal.
31
−
→
Os vetores unitários −
e→
y 0 e ez 0 podem ser descritos em função dos vetores unitários dos
−
−
eixos y e z, designados →
ey e →
ez , da seguinte maneira:
~ey0 = cos (θx ) .~ey +sen (θx ) .~ez
(2.2)
~ez0 = −sen (θx ) .~ey +cos (θx ) .~ez
(2.3)
Substituindo as EQS. 2.2 e 2.3 na EQ. 2.1 chega-se à expressão:
ρ~y = (y.cos (θx ) −(Re + Hp ).sen (θx ) ).~ey +(y.sen (θx ) +(Re + Hp ).cos (θx ) ).~ez
(2.4)
Derivando duas vezes a EQ. 2.4 em relação ao tempo e lembrando que as derivadas
−
−
temporais dos vetores unitários →
ey e →
ez são nulas, tem-se:
1o Derivada
ρ~˙y = ( ẏ .cos (θx ) −y.sen (θx ) . θ˙x −(Re + Hp ).cos (θx ) . θ˙x ).~ey +
+( ẏ .sen (θx ) +y.cos (θx ) . θ˙x −(Re + Hp ).sen (θx ) . θ˙x ).~ez
(2.5)
2o Derivada
³ ´2
ρ~¨y = ( ÿ .cos (θx ) − ẏ .sen (θx ) . θ˙x − ẏ .sen (θx ) . θ˙x −y.cos (θx ) . θ˙x +
³ ´2
−y.sen (θx ) . θ¨x +(Re + Hp ).sen (θx ) . θ˙x −(Re + Hp ).cos (θx ) . θ¨x ).~ey +
³ ´2
+( ÿ .sen (θx ) + ẏ .cos (θx ) . θ˙x + ẏ .cos (θx ) . θ˙x −y.sen (θx ) . θ˙x +
³ ´2
+y.cos (θx ) . θ¨x −(Re + Hp ).cos (θx ) . θ˙x −(Re + Hp ).sen (θx ) . θ¨x ).~ez
32
(2.6)
A EQ. 2.6 é referenciada ao sistema de coordenadas fixo yz, voltando para o sistema
da coordenadas móvel y’z’, tem-se:
³ ´2
³ ´2
¨
˙
¨
˙
¨
ρ~y = ( ÿ −y. θx −(Re + Hp ). θx ).~ey0 +(2. ẏ . θx +y. θx −(Re + Hp ). θ˙x ).~ez0
(2.7)
Ou
ρ~¨y = ay0 .~ey0 +az0 .~ez0
(2.8)
Em que ay0 e az0 são as componentes da aceleração da esfera nos eixos y’ e z’, respectivamente.
2.2.3 DINÂMICA DA ESFERA
A esfera terá um movimento de rotação em torno de seu centro de massa à medida
em que a plataforma tenha inclinação θx . As forças que atuam sobre a esfera são o seu
peso P e a força de reação da plataforma sobre a esfera ao se movimentar, decomposta
nas forças Fz0 e Fy0 , conforme indicado na FIG. 2.6.
FIG. 2.6: Esquema das Forças e Momentos na Esfera.
33
Na FIG. 2.6, o movimento angular total da esfera, representado pela variação do ângulo βx , é decomposto em dois movimentos, o primeiro é função da rotação da plataforma
com a variação do ângulo θx , e o segundo é o movimento de rolamento da esfera sobre a
plataforma, variação do ângulo αx .
Hipóteses importantes no movimento da esfera:
• Supõe-se que a esfera gire sem deslizar;
• Não é considerado o movimento de spin da esfera em torno de si mesma, sem que
haja movimento de translação sobre a plataforma.
As relações entre αx , βx e θx são:
y = β x .Re
αx = β x −θx =
(2.9)
y
−θx
Re
(2.10)
O equilíbrio das forças nos eixos y’ e z’ e o momento gerado no eixo x (Mx ) devido
à rotação da esfera são descritos pelas equações abaixo:
X
X
X
Fy0 = Fy0 −Me .G.sen (θx ) = Me .ay0
(2.11)
Fz0 = Fz0 −Me .G.cos (θx ) = Me .az0
(2.12)
Mx = −Fy0 .Re = Je . α¨x = Je .
ÿ
−Je . θ¨x
Re
(2.13)
onde Me é a massa da esfera, Je é o momento de inércia da esfera e G é a aceleração da
gravidade.
34
2.2.4 DINÂMICA DA PLATAFORMA
A plataforma se movimenta sob a ação do torque Γx , definido na seção 2.2.2. A
plataforma sofre reações de mesma intensidade que as das forças Fz0 e Fy0 , idênticas às
que ela mesma exerce sobre a esfera, conforme indicado na FIG. 2.7.
FIG. 2.7: Esquema das Forças e Momentos na Plataforma.
O somatório dos momentos no ponto de apoio da plataforma é:
X
Mx = Ip . θ¨x
(2.14)
Hp
.sen (θx ) −Fz0 .y= Ip . θ¨x
2
(2.15)
Γx +Fy0 .Hp + Mp .G.
onde Ip é o momento de inércia da plataforma e Mp é a massa da plataforma.
35
2.2.5 UNIÃO DAS DINÂMICAS DA ESFERA E DA PLATAFORMA
Substituindo-se as acelerações encontradas na EQ. 2.7, nas equações resultantes para
a dinâmica da esfera e da plataforma, tem-se para a esfera:
µ
Fy 0 = M e .
¶
³ ´2
˙
¨
ÿ −y. θx − (Re +Hp ) . θx +Me .G.sen (θx )
³ ´2 ¶
Fz0 = Me . 2. ẏ . θ˙x +y. θ¨x − (Re +Hp ) . θ˙x
+Me .G.cos (θx )
(2.16)
µ
Fy 0 =
Je . θ¨x
ÿ
−Je .
Re
(Re )2
(2.17)
(2.18)
E para a plataforma:
Hp
Fy0 .Hp − Fz0 .y = Ip . θ¨x −Mp .G. .sen (θx ) −Γx
2
(2.19)
Igualando a EQ. 2.16 à EQ. 2.18, obtém-se a equação final da dinâmica da esfera.
·
¸
¸
·
Je
Je
+Me . (Re +Hp ) . θ¨x −Me .y. θ˙x . θ˙x +Me .G.sen (θx ) = 0
Me + 2 . ÿ −
Re
Re
(2.20)
Da mesma maneira, substituindo as EQS. 2.16 e 2.17 na EQ. 2.19, obtém-se a equação
resultante da dinâmica da plataforma.
·
¸
Hp .Je
2 Hp .Je
. ÿ + Ip + Me .y −
. θ¨x +2.Me .y. ẏ . θ˙x +
Re
Re 2
µ
¶
+H
p
−Me . (Re +Hp ) .y. θ˙x + Me .G.y.cos (θx ) −Mp .G.
.sen (θx ) = Γx
2
36
(2.21)
2.2.6 ACOPLAMENTO MECÂNICO ENTRE O MOTOR ELÉTRICO E A
PLATAFORMA
Na FIG. 2.8 mostra-se um esquema da disposição das polias e engrenagens, seus
acoplamentos ao motor e ao potenciômetro. Os números dentro de cada círculo representam os números de dentes de cada engrenagem.
FIG. 2.8: Esquema da Dinâmica do Acoplamento Mecânico Entre Motor e Plataforma.
Por inspeção da FIG. 2.8, a equação que relaciona o ângulo de rotação da polia θpol
com o ângulo de inclinação da plataforma θx é a seguinte:
µ
θpol =
Lp
Rp
¶
.θx
onde Lp é a Metade da Dimensão da Plataforma e Rp é o Raio da Polia.
37
(2.22)
Por outro lado, a relação entre o ângulo de rotação do motor θm com o ângulo de
rotação da polia θpol é expresso por:
θm = N.θpol
(2.23)
onde N é a relação das engrenagens de transmissão motor-polia, que por inspeção da
FIG. 2.8 é expresso por:
µ
N = 30.
70
48
¶
(2.24)
Já a relação entre o ângulo de rotação do potenciômetro θpot e o ângulo de rotação
da polia θpol e, conseqüentemente, o ângulo de inclinação da plataforma θx são expressos
por:
µ
θpot =
96
36
¶
µ
.θpol =
96
36
¶ µ ¶
Lp
.
.θx
Rp
(2.25)
Por fim, a relação entre a tensão de saída do potenciômetro Vpot e o ângulo de
inclinação da plataforma θx é expresso por:
Vpot = Kp .θx
(2.26)
onde Kp é o ganho do potenciômetro, expresso por:
µ
Kp =
VT
µ.2.π
¶ µ ¶ µ ¶
96
Lp
.
.
volts/rad
36
Rp
(2.27)
onde µ é o número de voltas do potenciômetro e VT é a tensão de pico a pico aplicada
ao potenciômetro.
38
2.2.7 DINÂMICA DO MOTOR ELÉTRICO
Os motores utilizados são de corrente contínua, fabricados pela MAXON, número de
catálogo da RS do Brasil 440329, com caixa de redução interna de valor 30. Na FIG.
2.9, pode-se visualizar o análogo elétrico (analogia torque-corrente) de um motor DC
controlado pela armadura atuando sobre uma carga mecânica (OGATA (1987)).
FIG. 2.9: Esquema da Dinâmica do Motor Elétrico.
A dinâmica do motor DC é obtida pela analogia torque-corrente, da qual se obtém-se
as expressões:
Ia =
u − Kv . θ˙m
Rm
Γm = Kt Ia − (Bm . θ˙m +Bm . θ¨m )
(2.28)
(2.29)
Substituindo a EQ. 2.28 na EQ. 2.29, e levando-se em conta que Kv = Kt = K
(numericamente), quando adotado o sistema MKS, obtém-se:
µ
¶
K2
K
.u− Bm +
. θ˙m −Jm . θ¨m
Γm =
Rm
Rm
39
(2.30)
2.2.8 UNIÃO DA DINÂMICA DO MOTOR ELÉTRICO E DO ACOPLAMENTO
MECÂNICO
O ângulo de rotação da polia está relacionado com o ângulo de rotação do motor por
um fator de redução N, EQ. 2.24. Portanto, substituindo o valor do ângulo de rotação
da polia em função do ângulo na plataforma, EQ. 2.22, na EQ. 2.24 resulta na seguinte
relação:
θm =
Lp .N
.θx
Rp
(2.31)
O torque no motor, em função do ângulo de rotação da plataforma, é resultante da
substituição da EQ. 2.31 na EQ. 2.30, o que resulta em:
µ
¶
K
K2
L.N ˙
L.N ¨
Γm =
.u− Bm +
.
. θx −Jm .
. θx
Rm
Rm
Rp
Rp
A FIG. 2.10 mostra como as forças exercidas pela polia agem na plataforma.
FIG. 2.10: Distribuição de Forças Entre Plataforma e Polia.
40
(2.32)
Nota-se, que o fio que une a plataforma à polia não fica a 90o quando a plataforma
se movimenta. Com isso, tem-se que o ângulo φ, de decomposição da força Fx em Fp ,
não é igual a θx . A seqüencia de cálculos a seguir mostra como o ângulo φ se relaciona
com o ângulo θx .
θx = 90 − η
(2.33)
η = 90 − δ
(2.34)
Substituindo a EQ. 2.34 na EQ. 2.33, obtém-se:
φ = θx −ψ
(2.35)
Sabe-se que:
µ
Lp − b
Lf + a
¶
µ
Lp − b
tan (ψ) =
⇔ ψ = arctan
Lf + a
µ
¶
Lp − Lp . (cos (θx ))
⇔ ψ = arctan
Lf + Lp . (sen (θx ))
!
Ã
1− (cos (θx ))
⇔ ψ = arctan Lf
+ (sen (θx ))
Lp
¶
⇔
(2.36)
onde Lf é o comprimento do fio com a plataforma na posição horizontal (θx = 0o ).
Substituindo a EQ. 2.36 na EQ. 2.35 encontra-se a relação entre os ângulos φ e θx .
Ã
φ = θx −arctan
1− (cos (θx ))
Lf
+ (sen (θx ))
Lp
!
(2.37)
Pode-se considerar φ ≈ θx para ângulos na faixa de 0 a 0, 05 radianos. Porém, para
o Sistema Plataforma-Esfera, que os ângulos podem chegar a 0, 17 radianos, a parcela do
arco tangente da EQ. 2.37 representa, no pior caso, um erro de 7,40% no ângulo φ. Por
esta razão, considera-se a EQ. 2.37 como sendo a relação entre φ e θx .
41
Os torques na plataforma (Γx ) e na polia (Γp ) são expressos, respectivamente, por:
Γx = Fx .cos (φ) .Lp
(2.38)
Γp = Fx .Rp
(2.39)
Assim, isolando-se Fx na EQ. 2.39 e na EQ. 2.38 e igualando as duas equações
resultantes, têm-se a relação entre o torque na polia e o torque na plataforma.
Γx =
Lp .cos (φ)
.Γp
Rp
(2.40)
Utilizando o fator de redução motor-polia N, obtém-se a relação:
Γp = N.Γm
(2.41)
Portanto, o torque na plataforma se relaciona com o torque no motor, substituindo
a EQ. 2.41 na EQ. 2.40, resultando na expressão:
Γx =
Lp .N.cos (φ)
.Γm
Rp
(2.42)
Substituindo a EQ. 2.42 na EQ. 2.32, obtém-se o resultado final do torque na
plataforma em função de u, θ˙x e θ¨x .
µ
¶ µ
¶2
Lp .N.K
K2
Lp .N
Γx =
.cos (φ) .u− Bm +
.
.cos (φ) . θ˙x +
Rp .Rm
Rm
Rp
µ
¶2
Lp .N
.cos (φ) . θ¨x
−Jm .
Rp
42
(2.43)
2.2.9 UNIÃO DAS DINÂMICAS DO SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA
Para obter um modelo completo do Sistema Plataforma-Esfera, deve-se substituir o
valor de Γx da EQ. 2.43 na EQ. 2.21, encontrando-se a seguinte relação:
!
Ã
µ
¶2
L
.N
Hp .Je
H
.J
p
p e
2
+Jm .
.cos (φ) . θ¨x +
2 . ÿ + Ip + Me .y −
R
R
Re
e
p
!
Ã
µ
¶ µ
¶2
K2
Lp .N
.
.cos (φ) . θ˙x +
+ 2.Me .y. ẏ −Me . (Re + Hp ) .y+ Bm +
Rm
Rp
µ
¶
Hp
Lp .N.K
+ Me .G.y.cos (θx ) −Mp .G. .sen (θx ) =
.cos (φ) .u
2
Rp .Rm
(2.44)
Com isso o Sistema Plataforma-Esfera fica descrito por duas equações de segunda
ordem, a saber, a EQ. 2.20 e a EQ. 2.44.
2.3 REPRESENTAÇÃO EM EQUAÇÃO DE ESPAÇO DE ESTADOS NO TEMPO
DISCRETO DO MODELO DO SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA
Para que seja possível descrever o sistema em função de variáveis de estado, é
necessário, inicialmente, representar as EQS. 2.20 e 2.44 com os termos ÿ e θ¨x isolados. Para isso, definem-se alguns coeficientes para as EQS. 2.20 e 2.44, afim de facilitar
os cálculos.
c11 . ÿ +c12 . θ¨x +c13 . θ˙x +c14 = 0
(2.45)
c21 . ÿ +c22 . θ¨x +c23 . θ˙x +c24 = c25 .u
(2.46)
Esses coeficientes são descritos por:
c11 = Me +
Je
Re 2
¸
Je
c12 = −
+Me . (Re + Hp )
Re
(2.47)
·
43
(2.48)
c13 = −Me .y. θ˙x
(2.49)
c14 = Me .G.sen (θx )
(2.50)
c21 =
Hp .Je
Re 2
Hp .Je
+Jm .
c22 = Ip + Me .y −
Re
2
(2.51)
µ
Lp .N
Rp
µ
K2
c23 = 2.Me .y. ẏ −Me . (Re + Hp ) .y+ Bm +
Rm
c24 = Me .G.y.cos (θx ) −Mp .G.
c25 =
¶2
.cos (φ)
(2.52)
¶ µ
¶2
Lp .N
.
.cos (φ)
Rp
(2.53)
Hp
.sen (θx )
2
(2.54)
Lp .N.K
.cos (φ)
Rp .Rm
(2.55)
Isolando os termos com ÿ e θ¨x , têm-se:
c11 . ÿ +c12 . θ¨x = −c13 . θ˙x −c14
(2.56)
c21 . ÿ +c22 . θ¨x = −c23 . θ˙x −c24 +c25 .u
(2.57)
Os termos ÿ e θ¨x são calculados utilizando a Regra de Cramer, que soluciona o sistema
a partir de quocientes de determinantes.
∆x
θ¨x =
∆
(2.58)
∆y
∆
(2.59)
ÿ =
44
Onde ∆x e ∆y e ∆ são os determinantes dos coeficientes das EQS. 2.56 e 2.57, como
a seguir:
¯
¯ c
−c13 . θ˙x −c14
¯ 11
∆x = ¯
¯ c21 −c23 . θ˙x −c24 +c25 .u
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−c13 . θ˙x −c14
c12
¯
∆y = ¯
¯ −c23 . θ˙x −c24 +c25 .u c22
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ c
¯ 11 c12
∆ =¯
¯ c21 c22
¯
¯
¯
¯
¯
(2.60)
(2.61)
(2.62)
As variáveis de estado do Sistema Plataforma-Esfera são: a posição da esfera sobre a
plataforma (x1 = y); o ângulo de inclinação da plataforma (x2 = θx ); a velocidade da esfera
sobre a plataforma (x3 = ẏ); a velocidade angular de inclinação da plataforma (x4 = θ˙x ).
A tensão u aplicada ao motor do Sistema Plataforma-Esfera será o sinal de entrada do
Sistema de Equação de Espaço de Estados. Com estas variáveis, as equações diferenciais
não lineares para os elementos do vetor de estados são:
x˙1 = ẏ = x3 = f 1
x˙2 = θ˙x = x4 = f 2
x˙3 = ÿ =
∆y
= f3
∆
∆x
x˙4 = θ¨x = = f 4
∆
45
Para conseguir um modelo linear e invariante com o tempo em espaço de estados,
tem-se que linearizar as equações das variáveis de estado, e só então consegue-se as
equações no seguinte formato:
ẋ = A.x + B.u
(2.63)
y = C.x + D.u
(2.64)
A linearizarão será desenvolvida pela técnica da Matriz Jacobiana (D’AZZO (1984)),
→
em torno do ponto de operação x = [x1 x2 x3 x4 ]T = 0 e u = 0, deste modo a representação
em Espaço de Estados será:







•
x1
•
x2
•
x3
•
x4


 
 
 
= 
 
 
∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂f3
∂x1
∂f4
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
∂f3
∂x2
∂f4
∂x2
∂f1
∂x3
∂f2
∂x3
∂f3
∂x3
∂f4
∂x3
∂f1
∂x4
∂f2
∂x4
∂f3
∂x4
∂f4
∂x4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ x=0
u=0

"
y=



x1

 
 x  
 2  
.
+ 
 x3  

 
x4
∂f1
∂u
∂f2
∂u
∂f3
∂u
∂f4
∂u

¯
¯
¯
¯
¯
¯
.u
¯
¯
¯
¯
¯ x=0
(2.65)
u=0
x1
 " #
# 
 x 
1 0 0 0
0
 2 
.
.u
+
 x3 
0 1 0 0
0


x4
(2.66)
Executando as derivadas dos elementos das matrizes A e B, da EQ. 2.65, e substituindo as variáveis pelos seus respectivos valores (Vide Apêndice 7.1), chega-se as
equações de Espaço de Estados no Tempo Continuo da Planta Linear Nominal do Sistema Plataforma-Esfera:

•
x1


 

0
0
1
0
 •  
 x  
0
0
0
1
 2  
 • =
 x3   −0, 0120 −6, 9994 0 −0, 5465
 

•
−0, 7055 0, 0382 0 −32, 1746
x4
46
x1


0
 
 
  x  
0
  2  
+
.
  x3   0, 0158
 
 
0, 9297
x4



 .u


(2.67)

"
y=

x1
 " #
# 


0
1 0 0 0
 x2 
.u
.
+
 x3 
0
0 1 0 0


x4
(2.68)
Os autovalores da matriz A são os pólos de MA (Malha Aberta) do sistema em tempo
continuo.


−32, 1755

 0, 5328

autovalores de A = 
 −0, 2659

−0, 2659




+0, 4663i 

−0, 4663i
As posições dos pólos podem ser visualizadas na FIG. 2.11.
FIG. 2.11: Pólos de MA do Sistema Plataforma-Esfera no Tempo Continuo.
47
O modelo do sistema será também representado em tempo discreto, uma vez que
as sínteses de controle que serão aplicadas, no decorrer deste trabalho, assim o exigem.
Portanto, as equações de Espaço de Estados no tempo discreto são do tipo:
x(k+1) = Φ.x(k) +Γ.u(k)
(2.69)
y(k) = Cd .x(k) +Dd .u(k)
(2.70)
Para se obter as matrizes Φ, Γ, Cd e Dd do sistema discreto equivalente, segundo o
método descrito por (FRANKLIN (1998)), deve-se desenvolver as expressões 2.71, 2.72,
2.73 e 2.74, com as matrizes A, B, C e D das EQS. 2.67 e 2.68, para um Ts = 0, 1s
(Período de Discretização)(Vide Apêndice 7.2):
(A.Ts )2 (A.Ts )3
Φ = I + A.Ts +
+
+...
2!
3!
Ã
A. (Ts )2 (A)2 . (Ts )3
Γ= B. I.Ts +
+
+...
2!
3!
(2.71)
!
(2.72)
Cd = C
(2.73)
Dd = D
(2.74)
Assim, obtém-se as EQS. de Espaço de Estados no Tempo Discreto da Planta Linear
Nominal do Sistema Plataforma-Esfera:


x1(k+1)

 x
 2(k+1)

 x3(k+1)

x4(k+1)

 

1, 0000
−0, 0350
0, 1000
−0, 0018
 
  −0, 0015 1, 0001 −0, 0001 0, 0298
 
=
  0, 0001 −0, 7000 1, 0000 −0, 0316
 
−0, 0211 0, 0016 −0, 0015 0, 0401
48
x1(k)
 
  x
  2(k)
.
  x3(k)
 
x4(k)


0, 0000

 
  0, 0020 

 
 .u
+
  −0, 0001  (k)

 
0, 0277
(2.75)


"
y(k) =
x1(k)
# 

1 0 0 0
 x2(k)
.
 x3(k)
0 1 0 0

x4(k)
 " #

0

.u(k)
+

0

(2.76)
Os autovalores da matriz Φ são os pólos de MA (Malha Aberta) do sistema em tempo
discreto.


0, 0401

 1, 0547

autovalores de Φ = 
 0, 9727 +0, 0454i

0, 9727 −0, 0454i






As posições dos pólos podem ser visualizadas na FIG. 2.12.
FIG. 2.12: Pólos de MA do Sistema Plataforma-Esfera no Tempo Discreto.
49
2.4 ENSAIO DOS MODELOS NÃO LINEAR, LINEAR CONTINUO E LINEAR DISCRETO
Foi elaborada uma primeira análise por intermédio de simulações no ambiente
MATLAB para a comparação entre os três modelos: Não Linear; Linear Contínuo; Linear
Discreto. Os modelos foram submetidos a uma mesma entrada do tipo degrau, no valor
de 24 volts, para que seja possível comparar suas saídas (conforme FIG. 2.14).
FIG. 2.13: Ensaio dos Modelos Não linear, Linear Continuo e Linear Discreto.
Por inspeção da FIG. 2.14, nota-se que os modelos começam a diferenciar-se a partir
de aproximadamente 1,4rad (gráfico do Ângulo da Plataforma), o que ocorre em t=2s.
Isto implica deslocamentos diferentes da esfera a partir desse mesmo instante. Como
o Sistema Plataforma-esfera somente atua na região de -0,175rad a +0,175rad, concluise que o modelo Linear Discreto representa o modelo Não Linear, dentro da região de
operação do sistema, satisfazendo os objetivos deste trabalho. Portanto, segue-se ao
Capítulo 3, com os cálculos dos controladores para o sistema.
50
FIG. 2.14: Resposta ao Degrau dos Modelos Não linear, Linear Continuo e Linear
Discreto.
51
3 SÍNTESE DOS CONTROLADORES
Neste capítulo, será realizada uma explanação teórica sobre os tipos de controladores
(Ótimo e Robusto) desenvolvidos para o Sistema Plataforma-Esfera. Serão também levantadas as características de desempenho e robustez em estabilidade do sistema MF
com estes controladores.
3.1 INTRODUÇÃO
Os projetos de controladores até o inicio da década de 60 eram baseados em técnicas
freqüenciais e gráficas, tais como o Root Locus e os diagramas de Nyquist, Bode e Nichols.
Estas técnicas conduziram a controladores de avanço e atraso, PID e as noções de Margem
de Ganho e de Fase que podem ser consideradas as primeira exigências de robustez.
Entre os anos 60 e 70, com a introdução da modelagem pela formulação por Espaço
de Estados, surgiram as técnicas de Controle Ótimo que utilizam os critérios quadráticos
LQR (Linear Quadratic Regulator ) e LQG (Linear Quadratic Gaussian), que são de natureza temporal, utilizam a realimentação completa ou estimada do vetor de estados. A
técnica que utiliza a estrutura do regulador quadrático (LQR), quando todos os estados
estão disponíveis para a realimentação, possui excelentes Margens de Ganho e de Fase
(ADES (1994)), mas nada se pode afirmar quanto a sua robustez paramétrica. A estrutura LQG, quando não dispondo do vetor de estados completo para a realimentação,
estima-o com base num observador ótimo (Filtro de Kalman - FK) que, por esta razão, é
muito sensível a variações paramétricas e possui Margens de Ganho e de Fase pequenas.
Uma das vantagens destas técnicas, em relação às convencionais, é a facilidade no tratamento de Sistemas Multivariáveis, permitindo uma análise global do seu desempenho e
um projeto simultâneo para as diversas malhas de realimentação.
O conceito de robustez constitui uma peça fundamental na teoria de controle, já que
não existe um modelo que represente perfeitamente a realidade. Os modelos são, em sua
maioria, aproximações de processos reais e, em conseqüência, aparecem os erros dinâmicos
que tornam os sistemas vulneráveis a toda sorte de perturbações. Um regulador robusto,
portanto, deve ser capaz de manter a estabilidade e assegurar uma maior insensibilidade
do desempenho de um sistema que está submetido a um tipo específico de perturbação
(GOMES (1991)).
52
A síntese PRCBI (Parameter robust Control by Bayesian Identification), discutida
neste capítulo, baseia-se na estrutura LQG e visa torná-la mais robusta em relação às
variações paramétricas. Portanto, torna-se necessário rever, mesmo que de forma sucinta
e direcionada, alguns conceitos importantes a respeito de Controle Ótimo Quadrático,
antes da abordagem desta técnica. Uma abordagem mais completa sobre PRCBI poderá
ser vista nas referencias deste trabalho (GOMES (1991), PELLANDA (1993) e ADES
(1994)).
3.2 CONTROLADOR LQR
3.2.1 INTRODUÇÃO
As técnicas de controle por realimentação de estado pressupõem que todas as variáveis de estado são mensuráveis na planta. Na prática, em muitas aplicações de controle,
mesmo quando disponíveis, é física ou economicamente inviável a instalação de transdutores capazes de sensoriar todas as variáveis de estado. O problema se agrava quando o
sistema é de ordem elevada, com muitas variáveis de estado envolvidas no processo.
Este problema pode ser contornado com a introdução de observadores que estimam
os estados a partir das saída. A capacidade de se reconstituírem os estados do processo a
controlar, no entanto, exige que o sistema seja completamente observável (PELLANDA
(1993)). O objetivo desta Seção é apresentar a síntese de controle ótimo LQR, com realimentação de estados estimados por um Observador, discreto, do tipo estimador corrente
(FRANKLIN (1998)).
3.2.2 SÍNTESE LQR
Considere o sistema multivariável discreto LTI (Linear Time Invariant) descrito pelas
equações de espaço de estados a seguir:
(
xk+1 = Φ.xk +Γ.uk
yk = C.xk
onde:
x é o vetor de estados (x ∈ Rn )
u é o vetor de entrada (u ∈ Rp )
y é o vetor de saída (y ∈ Rq )
53
(3.1)
Φ é a matriz de transição de estados discreta (Φ ∈ Rn×n )
Γ é a matriz de Entrada discreta (Γ ∈ Rn×p )
C é a matriz de saída (C ∈ Rq×n )
Sujeito a lei de controle:
uk = −Kc.x̂k
(3.2)
onde x̂k é a representação simplificada de x̂k/k−1 , ou seja, é o vetor de estados estimado
no tempo k, com base na medida yk−1 da planta, e Kc é o ganho do controlador calculado
pela minimização do custo quadrático, dado pela expressão:
JLQR(Discreto) =
X¡
T
xT
k .Q1 .xk +uk .Q2 .uk
¢
(3.3)
k
onde Q1, uma matriz simétrica e positiva semi-definida, e Q2, uma matrix simétrica e
positiva definida, são matrizes de ponderação dos estados da planta, usadas no critério
da EQ. 3.3, escolhidas arbitrariamente pelo projetista para atender um desempenho desejado.
Os estados reais da planta poderão ser realimentados caso estejam disponíveis na
saída, o que geralmente não ocorre. A FIG. 3.1 mostra uma estrutura LQR com Observador Preditor.
Para que o critério da EQ. 3.3 convirja, o par (Φ, Γ) deve ser controlável (ADES
(1994)). Este problema possui solução analítica pela resolução da equação algébrica de
Ricatti. Em FRANKLIN (1998) também propoe-se uma solução recursiva para este
problema.
A dinâmica em MF da estrutura LQR com observador preditor, conforme FIG. 3.1,
é dada por:

xk+1


Φ
|
−Γ.Kc
 
xk


Γ


 
 
 

 − − −  =  − − − | − − − − − − − − −  .  − − −  +  −−  .rk

 
 
 

Γ0
x̂k/k−1
K0 .C | Φ0 −Γ0 .Kc −K0 .C0
x̂k+1/k
54
(3.4)
FIG. 3.1: Estrutura LQR com Observador Preditor.
onde K0 é o ganho do observador, Kc é o ganho do controlador, Φ0 , Γ0 e C0 são as
matrizes da representação em espaço de estados nominais do modelo e Φ, Γ e C são as
matrizes da representação em espaço de estados da planta.
O ganho do observador (K0 ) é determinado pelo projetista de forma que os autovalores de (Φ0 −K0 .C0 ), conhecidos como pólos do observador, sejam estáveis e que a
constante de tempo dos seus pólos dominantes seja inferior à constante de tempo dos
pólos dominantes do controlador. Uma das maneiras de se determinar K0 é pela utilização das fórmulas duais de Bass-Gura ou de Ackermann para observadores no caso escalar
(KAILATH (1980)).
55
3.3 CONTROLADOR LQG-LTR
3.3.1 INTRODUÇÃO
No item anterior foi apresentada uma síntese de controle ótimo para um sistema
determinístico, ou seja, sensor e planta considerados ideais e que não sofrem ação de
ruídos. Neste caso, a matriz K0 (ganho do observador) era determinada a partir de uma
escolha do projetista. Nesta seção será apresentado o enfoque do uso da filtragem de
Kalman para determinação desta mesma matriz de ganho, que será denominada de Kf .
A síntese LQG utiliza os mesmos princípios da síntese LQR para cálculo do controlador. No entanto, as diferenças principais residem no fato de que a estimação do
estado no método LQG é obtida por estimador ótimo, onde o sistema está submetido a
ruídos atuando na planta e na saída, de natureza estocástica e de distribuição Gaussiana
(PELLANDA (1993), ADES (1994)).
A síntese LQG-LTR considera que o modelo de atuação do ruído na planta é idêntico
ao da entrada uk , o que implica em F = Γ. O ruído, dito de medidas, é causado pelas
imperfeições dos sensores que adicionam sinais aleatórios ao sinal de saída da planta.
3.3.2 SÍNTESE LQG-LTR
Seja o Sistema Estocástico Discreto LTI:
(
xk+1 = Φ.xk +Γ.uk +F.wk
yk = C.xk +vk
onde:
x é o vetor de estados (x ∈ Rn ).
u é o vetor de entrada (u ∈ Rp ).
y é o vetor de saída (y ∈ Rq ).
Φ é a matriz da dinâmica do modelo discreto (Φ ∈ Rn×n ).
Γ é a matriz de entrada do modelo discreto (Γ ∈ Rn×p ).
C é a matriz de saída (C ∈ Rq×n ).
F é a matriz de entrada de ruído na planta (F ∈ Rn×p ).
w é o ruído na planta (w ∈ Rp ).
v é o ruído nas medidas de saída dos sensores (v ∈ Rq ).
56
(3.5)
Sujeito a lei de controle:
uk = −Kc.x̂k
(3.6)
onde x̂k é a expressão simplificada de x̂k/k , ou seja, do estado estimado no instante k,
conhecendo-se a medida yk . E ainda, wk e vk possuem algumas particularidades, a saber
(ADES (1994)):
• São ruídos brancos, gaussianos e não correlacionados entre si;
• E [wk ] = E [vk ] = 0, onde E [a] denota a esperança (valor esperado) da variável
aleatória a;
£
¤
• E wk .wT
k = W;
£
¤
• E vk .vT
k = R;
h
i
£
¤
£
¤ T
T
T
• Q = E (F.wk ) . (F.wk )T = E F.wk .wT
= F.E wk .wT
k .F
k .F = F.W.F ;
• Q é uma matriz simétrica e positiva semi-definida;
• R é uma matriz simétrica e positiva definida.
Quando é utilizado um filtro de Kalman preditor o controle obedece a lei dada pela
EQ. 3.6, onde x̂k = x̂k/k−1 . Sendo x̂k/k−1 o vetor de estado estimado no tempo k, conhecida
a saída no instante k-1. A matriz de ganho de realimentação de estado Kc é calculada
pela minimização do critério quadrático, dado por:
JLQG(Discreto)
"
#
X¡
¢
T
=E
xT
k .Q1 .xk + uk .Q2 .uk
(3.7)
k
O ganho ótimo Kf é calculado de modo a minimizar o traço da matriz de covariância
do erro de predição P0 , calculada da seguinte forma:
0
P = Pk/k−1 = E
h¡
¢T i
¢ ¡
x̂k/k−1 −xk . x̂k/k−1 −xk
57
(3.8)
A dinâmica da estrutura LQG com filtro de Kalman preditor, conforme FIG. 3.2, é
dada por:

xk+1


Φ
|
 
−Γ.Kc
xk

 

 

 − − −  =  − − −− −|− − − − − − − − − −−  .  − − −  +
 

 

Kf .C
|
Φ0 −Γ0 .Kc − Kf .C0
x̂k+1/k
x̂k/k−1

Γ


F
|
0
 
wk




 



 

+
 − − −  .rk +  − − − −|− − − −  .  − − − 
Γ0
0
|
Kf
vk
(3.9)
FIG. 3.2: Estrutura LQG com Filtro de Kalman Preditor.
O ganho ótimo em regime permanente é dado por (OGATA (1987)):
¡
¢−1
T
0
Kf = Φ0 .P0 .CT
0 . C0 .P .C0 +R
58
(3.10)
onde P0 é a solução da EQ. Algébrica de Ricatti Discreta, dada por:
¡
¢
T
T −1
0
0
P0 − Φ0 .P0 .ΦT
+Φ
.P
.C
.
R+
C
.P
.C
.C0 .P0 .ΦT
0
0
0
0
0
0 −Q = 0
(3.11)
Como se observa na EQ. 3.9 e FIG. 3.2, o estado realimentado no instante k é
estimado em função das medidas obtidas no instante anterior, yk−1 . Isto significa que o
valor atual do controle não depende dos valores atuais de observação. Conseqüentemente
o controle pode não ser tão preciso como deveria.
Existe também a estrutura LQG com filtro de Kalman corrente, conforme FIG. 3.3,
que se baseia na estimação corrente x̂k/k e na medida corrente yk que também fica sujeita
à lei de controle dada pela EQ. 3.6. Porém, x̂k = x̂k/k (PELLANDA (1993)).
FIG. 3.3: Estrutura LQG com Filtro de Kalman Corrente.
59
A dinâmica da estrutura LQG com Filtro de Kalman Corrente é dada por:

 
xk+1
Φ
|
−Γ.Kc

 
 − − −−  =  − − −− −|− − − − − − − − − − − − − − − − − −

 
x̂k+1/k+1
Kf .C.Φ
|
(I − Kf .C0 ) . (Φ0 −Γ0 .Kc ) −Kf .C.Γ.Kc

xk


Γ


F
|
0
 
wk


.



 



 
 +  − − −  .rk +  − − − −|− − − −  .  − − − 
.
−
−
−

 



 
vk
Kf .C.F
|
Kf
x̂k/k
Γ0
(3.12)
O ganho ótimo em regime permanente do filtro de Kalman corrente também se
relaciona com o ganho ótimo do filtro de Kalman predito pela equação:
Kf = Φ−1
0 .Kf
(3.13)
onde Kf é calculada pela da EQ. 3.10 e a matriz de covariância do erro de estimação dos
estados em regime assintótico é dada por:
−T
0
P = Pk/k = Φ−1
0 . (P − Q) .Φ0
(3.14)
onde P’ é a solução da equação de Ricatti discreta dada pela EQ. 3.11.
Outra forma de cálculo de Kf é pelo algoritmo da FIG. 3.4, que utiliza a formulação
recursiva de Kalman (FRANKLIN (1998)). A matriz P é simétrica e positiva definida
e, para uma melhor convergência do algoritmo, deve ser inicializada com os valores da
diagonal principal muito maiores do que os demais.
FIG. 3.4: Algoritmo Recursivo de Kalman Para Cálculo de Kf.
60
Na FIG. 3.4, ρ é um escalar muito maior que 1, I é uma matriz identidade de ordem
nxn, K = 0 é um vetor nulo, K̃ = 1 é um escalar e |K0 − K| é o módulo/norma da diferença
de dois vetores, que ao ser calculado retorna um escalar.
3.3.3 RASTREAMENTO DO PONTO DE OPERAÇÃO
Foram vislumbrados três objetivos para o controle do sistema Plataforma-Esfera. O
primeiro é levar a esfera de qualquer posição sobre a plataforma à posição estacionaria
no centro da mesma. O segundo é fazer o mesmo para qualquer posição final sobre a
Plataforma. E o terceiro é fazer com que a esfera siga trajetórias pré-determinadas sobre
a plataforma.
Para atingir ao primeiro objetivo, o sistema de controle regulador apresentado anteriormente é suficiente. Para os dois objetivos seguintes é necessário um sistema de controle
rastreador. Num rastreador, a saída do sistema deve seguir uma referência informada ao
sistema de controle, conforme FIG. 3.5.
FIG. 3.5: Diagrama do Rastreador de Ponto de Operação.
Segundo ADES (1994), para o cálculo do rastreador utiliza-se a equação abaixo:
Hz = lim (C. (z.I − Φ + Γ.Kc ) .Γ)
z→1
(3.15)
3.4 APLICAÇÃO DO CONTROLE LQG-LTR SOBRE O MODELO DO SISTEMA
PLATAFORMA-ESFERA - 1a FASE
Foi criado um ensaio, conforme FIG. 3.6, onde o modelo linear discreto, é submetido
a dois tipos de entrada.
61
FIG. 3.6: Ensaio do Modelo Linear Discreto com Controlador LQG-LTR.
A primeira entrada é uma serie de quatro degraus que representam o deslocamento
da esfera de um extremo ao outro da plataforma e fornece informações sobre o tempo
de estabilização, oscilações do sistema e erro de estado estacionário. A segunda entrada
é um sinal senoidal que faz com que a esfera se desloque pela plataforma sem parar e
fornece informações do desempenho do sistema para o controle da esfera em continuo
movimento. Os resultados deste ensaio podem ser conferidos nas FIGS. 3.7 e 3.8.
A síntese LQG-LTR exige que se defina alguns valores que serão utilizados nos cálculos do controlador LQG-LTR. Esses valores podem ser observados na TAB. 3.1.
TAB. 3.1: Valores Para Síntese LQG-LTR- 1a Fase.
Matriz de Ponderação dos Estados da Planta (Q1 )
100
 0

 0
0
Matriz de Ponderação da Entrada da Planta (Q2 )
Matriz de Covariância do Ruído da Planta (Q)
Matriz de Covariância do Ruído do Sensor (R)
Matriz de Entrada de Ruído do Sistema (Fd =Γ)
0
100
0
0
0
0
100
0

0
0 

0 
100
[1]
[100]
·
¸
0, 01
0
0, 01
 0
0, 0000
 0, 0020 


 −0, 0001 
0, 0277
O resultado da síntese LQG-LTR pode ser visto na TAB. 3.2.
TAB. 3.2: Resultados da Síntese LQG-LTR - 1a Fase.
Controlador Discreto (Kcd )
Filtro de Kalman Discreto (Estimador de Estados) (Kfd )
Rastreamento de Ponto de Operação Para LQG-LTR (H)
Custo de Robustez (Jrob _LQGLTR)
62
[-9,17 93,91 -17,24 3,17]


0, 2992 −0, 0587
 −0, 0587
0, 2275 


 0, 5504 −0, 4211 
0, 0328
0, 4571
[-8,4098]
93,61
FIG. 3.7: Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador LQG-LTR.
63
FIG. 3.8: Resposta ao Sinal Senoidal do Modelo Linear Discreto com Controlador
LQG-LTR.
64
Observa-se que o bloco "Controlador Discreto LQG-LTR - Nominal", mostrado na
FIG. 3.6, é o resultado do agrupamento de outros blocos, conforme FIG. 3.9.
FIG. 3.9: Equivalência do Bloco Controlador Discreto LQG-LTR - Nominal.
O equacionamento que levou a essa simplificação gráfica é mostrado a seguir:
• Equações do filtro de Kalman:
x̄(k+1) = Φ.x̂(k) +Γ.u(k)
(3.16)
x̂(k+1) = (I − Kfd .Cd ) .x̄(k+1) + Kfd .y(k)
(3.17)
65
• Equação do sinal de entrada na planta:
u(k) = −Kcd .x̂(k) +H.r(k)
(3.18)
Substituindo as EQS. 3.16 e 3.18 na EQ. 3.17, temos:
x̂(k+1) = (I − Kfd .Cd ) . (Φ−Γ.Kcd ) .x̂(k) +Kfd .y(k) + (I − Kfd .Cd ) .Γ.H.r(k)
(3.19)
Portanto, o par de EQS. 3.18 e 3.19 formam o conjunto de equações de espaço de
estados que representam o bloco Controlador Discreto LQG-LTR - Nominal. Agrupandose os termos, tem-se uma melhor se visualização das matrizes de estados desse bloco,
conforme mostrado na EQ. 3.20.


Bcont

Acont
z
}|
{

h
i  y(k)

z
}|
{

.


x̂(k+1) = [(I − Kfd .Cd ) . (Φ−Γ.Kcd )] .x̂(k) + Kfd .. (I − Kfd .Cd ) .Γ.H . 

 ···




r(k)


D
cont

Ccont

}|

hz
i{  y(k) 
{
z }|


.


u(k) = [−Kc] .x̂(k) + 0 0 .. H . 
··· 






r(k)




(3.20)
3.5 OTIMIZAÇÃO
O método de Powell das direções conjugadas e o método da aproximação polinomial
são as técnicas de otimização utilizadas neste trabalho (ADES (1994)). Estes métodos
combinados são utilizados na síntese PRCBI (seção 3.6) para encontrar um controlador
que deixa o sistema MF mais robusto frente as variações paramétricas. Os métodos são
numéricos e somente podem ser utilizados por meio de programas de computador (ADES
(1994)).
66
3.6 CONTROLADOR PRCBI
3.6.1 INTRODUÇÃO
Faz-se necessário explicar que uma das formas de tornar mais robusto um sistema
significa torná-lo mais insensível às variações de alguns parâmetros da planta.
Algumas técnicas de controle robusto, com base na estrutura LQG, apóiam-se na
modelagem das incertezas de um sistema conhecido. A mais conhecida é a LQG-LTR
(Linear Quadratic Gaussian - Loop Transfer Recovery), que utiliza uma representação
externa das incertezas sob a forma de uma matriz de erro (DOYLE (1979) e DOYLE
(1981)). Essa estrutura apresenta problemas para lidar com incertezas paramétricas.
Porém, é bem adaptada às incertezas não estruturais e baseia-se em modelos freqüenciais
que são inadequados para representá-la, ao contrário dos modelos temporais (representação por Espaço de Estado). Torna-se, portanto, muito difícil adaptar as normas de
erros, definidas nos domínios de Laplace, para os domínios temporais. Além disso uma
pequena variação paramétrica pode provocar uma variação de ganho e/ou de fase tal que
tornaria impraticável esta técnica. Ainda mais limitante é o fato da incompatibilidade
da técnica LQG-LTR com os sistemas de fase não mínima (zeros fora do domínio de
estabilidade) (PELLANDA (1993)).
Para compensar a deficiência de insensibilidade paramétrica da técnica LQG-LTR,
foi proposta outra técnica de controle robusto voltada para as variações paramétricas
(TAHK (1987)), conhecida pela sigla PRLQG (Parameter Robust Linear - Quadratic
Gaussian), que se baseia na representação interna das incertezas e cuja metodologia
de síntese consiste em utilizar as propriedades assintóticas do método LQG. Os autores
mostraram que o seu método é mais geral, isto é, a técnica LQG-LTR é um caso particular
da técnica PRLQG e que esta possui qualidades de desempenho e robustez paramétrica
bem superiores.
A representação interna das incertezas, no entanto, envolve uma decomposição da
matriz ∆A em três matrizes, onde ∆A é a diferença entre a matriz da dinâmica de
espaço de estados do sistema com perturbação paramétrica menos a matriz nominal. A
grande dificuldade dessa técnica é que essa decomposição nem sempre é muito evidente.
Esta decomposição exige que os parâmetros sensíveis estejam explícitos em A. Outra
limitação é o fato de nem sempre ser possível tal decomposição, principalmente quando
os parâmetros sensíveis envolvem muitos elementos da matriz de transição de Estados.
67
GOMES (1991) desenvolveu e apresentou uma nova síntese denominada por PRCBI,
baseada no estudo da qualidade dos estimadores bayesianos de GAUVRIT (1982). Esta
técnica explora o fato de que uma má qualidade de identificação paramétrica de um
sistema em malha aberta é obtida sempre que um sistema apresenta excelentes qualidades
em desempenho e estabilidade e, por outro lado, todo pólo próximo da instabilidade
provoca, em malha aberta, uma auto-excitação do sistema o que facilita a identificação.
Trata-se, portanto, de uma síntese de controle robusto aplicável a plantas puramente
oscilantes ou pouco amortecidas (PELLANDA (1993)).
Ao contrário das técnicas auto-adaptativas, onde os parâmetros sensíveis são efetivamente identificados em tempo real, a técnica PRCBI utiliza uma formulação matemática
que permite obter um critério de robustez calcado na qualidade de identificação em
regime permanente e inclui um processo de busca (off-line) dos ganhos do controlador
que minimizam tal critério associado a uma má qualidade de identificação. Trata-se, em
suma, de procurar os ganhos que fornecem a maior variância do erro de identificação em
regime assintótico do conjunto de parâmetros sensíveis do sistema. GOMES (1991) e
BOURRET (1993) citam razões que confirmam que esta abordagem possui um respaldo
teórico muito forte. Essas razões confirmam a estreita dependência entre a robustez à
estabilidade e ao desempenho e a qualidade da identificação.
Na próxima seção serão abordadas as propriedades em regime assintótico da identificação dos parâmetros desconhecidos em malha fechada e na seção seguinte trataremos
da síntese do regulador robusto a partir desta nova medida de robustez.
3.6.2 QUALIDADE DE IDENTIFICAÇÃO BAYESIANA EM MALHA FECHADA
É importante salientar que a identificação bayesiana é usada pela síntese PRCBI apenas com a finalidade de gerar um critério a ser aplicado na otimização, para se obter um
controlador que seja robusto em relação a variação de um dado conjunto de parâmetros.
A seguir será apresentada uma breve e resumida explicação da síntese PRCBI.
Considera-se um sistema linear Sθ , discreto, representado por:
(
xk+1 = Φ (θ) .xk +F.wk
Sθ :
yk = C.xk +vk
onde wk e vk são ruídos brancos, gaussianos, independentes, de média nula e covariâncias
E[wk .wk T ]= Q e E[vk .vk T ]= R.
68
A matriz Φ depende de um conjunto de parâmetros que formam um vetor paramétrico
θ ∈ RT e θ0 é o conjunto assumindo os valores nominais designados pelo sistema.
A identificação bayesiana consiste em obter a função densidade de probabilidade
´
³
k
condicional p θ/y
partindo do conhecimento de uma condição inicial p0 (θ) e de
yk = {y0 , y1 , y2 , ..., yk } que represente o conjunto de todas as medidas obtidas até o instante k.
Aplicando a regra de Bayes obtém-se:
³
´ ¡
¢
³
´ p θ/yk−1 .p yk /θ, yk−1
³
´
p θ/yk =
p yk /yk−1
(3.21)
Uma formulação matemática é obtida a partir desta relação recorrente (EQ. 3.21)
que pode ser resumida na expressão:
³
´
³
´
¡
¢
p θ/yk = p θ0 +∆θ/yk = f G−1
θ0
(3.22)
Obtém-se uma matriz que representa a grosso modo, o inverso da variância do vetor
paramétrico estimado θ̂0 , obtendo-se assim a qualidade da identificação.
A FIG. 3.10 mostra, para o caso escalar, que a qualidade de identificação está fortemente associada com o valor da variância. Uma pequena variância implica em uma boa
identificação e, portanto, uma menor sensibilidade do sistema a variações paramétricas.
O efeito contrário, ou seja, a máxima variância implica em uma forte insensibilidade do
sistema em relação a variações paramétricas. Assim o critério pode ser explicado desta
forma:
£ ¡
¢¤
min Tr G−1
⇔ max (σθ0 ) ⇔ Boa Robustez
θ0
69
FIG. 3.10: Qualidade de Identificação Paramétrica.
A notação usada para a variação paramétrica é a seguinte:
∆ (·) = (·)p − (·)0
(3.23)
onde, (·) representa um argumento qualquer, o índice p indica que o argumento pertence
ao vetor de parâmetros sensíveis e sofreu uma variação em relação ao valor nominal, e
finalmente, o índice 0 que representa que o argumento é função do vetor paramétrico
nominal, No entanto, alguns argumentos dependem da estrutura LQG como um todo
(FIG. 3.2 e 3.3), isto é, serão ditos nominais se a planta e o filtro de Kalman estiverem
em função dos valores nominais dos parâmetros sensíveis, caso contrario estes argumentos
serão considerados perturbados.
A TAB. 3.3 faz referência a notação adotada e a FIG. 3.11 ilustra a estrutura do
problema abordado.
TAB. 3.3: Notação Adotada.
Planta
Filtro de Kalman
Covariância do Erro de Predição do Vetor de Saída
θ0
θ0
M0
θ0 + ∆θ
θ0
Mp
h
i
Sendo M = E (yk − ŷk ) . (yk − ŷk )T em regime estacionário (k → ∞), onde
ŷk = C.x̂k .
70
A síntese PRCBI será aplicada no sentido de tornar robusto a estrutura LQG-LTR
em relação as variações paramétricas. Estrutura esta que já foi apresentado na seção 3.3,
conforme FIG. 3.11.
FIG. 3.11: Estrutura LQG-LTR do Problema Abordado.
Considere então o seguinte conjunto de expressões que definem as relações entre o
sistema nominal e o perturbado:


Φp = Φ0 +∆Φ




 M = M +∆M
p
0

Kfdp = Kfd0 +∆Kfd




 P 0 = P 0 + ∆P0
p
(3.24)
0
onde M é a matriz de covariância do erro de predição do vetor de saída, Kfd é o ganho
do FK e P’ é a matriz de covariância do erro de predição do vetor de estado.
Para o cálculo da matriz G−1
θ0 , devem-se considerar as seguintes definições:
³
∆θ =
ii
i
∆θ = ∆θ =
∆θij =
ε1 ε2 · · · εi · · · εr
³
0 · · · 0 εi 0 · · · 0
´T
´T
,i = 1···r
³
0 · · · 0 εi 0 · · · 0 εj 0 · · · 0
71
(3.25)
´T
, i 6= j
(3.26)
(3.27)
onde:
• θ é o vetor de parâmetros sensíveis. Em outras palavras, é o vetor composto pelas
variáveis que ao sofrerem alterações no seu valor nominal, fazem com que o sistema
caminhe para instabilidade;
• ε é o valor percentual entre a variável nominal e a perturbada.
£
¤
Além disso, define-se Tr M−1
0 .∆M ∆θij como sendo um valor calculado em função da
perturbação ∆θij , então:
∆
gii =
G−1
θ0
£
¤
Tr M−1
0 .∆M ∆θ i
(i, i) =
ε2i
¢ ¯¯
£ −1
¤
¡ 2
2
.g
+
ε
.g
Tr
M
.∆M
−
ε
∆
0
j jj ¯
i ii
∆θ ij
gij = G−1
¯
θ0 (i, j) =
¯
2.εi .εj
(3.28)
(3.29)
i6=j
Para o cálculo de M0 e ∆M utilizam-se as seguintes equações:
M0 = C0 .P0 0 .CT
0 +R
(3.30)
∆M = C0 .∆P0 .CT
0
(3.31)
onde P0 0 pode ser calculado a partir da EQ. 3.11. Calcula-se então as matrizes auxiliares
L, N e ∆P0 , conforme as equações a seguir:
L = (Φ0 − Γ0 .Kc ) .L. (Φ0 − Γ0 .Kc )T +
+ (Φ0 − Γ0 .Kc ) .Kfd0 .M0 .Kfd0 T . (Φ0 − Γ0 .Kc )T
(3.32)
T
N = (Φ0 −Γ0 .Kc ) .N. (I − Kfd0 .C0 )T .ΦT
0 − (Φ0 −Γ0 .Kc ) .L.∆Φ̃ +
³
´
− (Φ0 −Γ0 .Kc ) .Kfd0 .M0 . ∆Φ̃.Kfd0 +Φ0 .∆Kfd
72
(3.33)
T
T
∆P0 = Φ0 . (I − Kfd0 .C0 ) .∆P0 . (I − Kfd0 .C0 )T .ΦT
0 −∆Φ̃.N. (I − Kfd0 .C0 ) .Φ0 +
³
´
³
+ ∆Φ̃.Kfd0 +Φ0 .∆Kfd .M0 . ∆Φ̃.Kfd0 +Φ0 .∆Kfd
´T
T
+∆Φ̃.L.∆Φ̃ +
T
−Φ0 . (I − Kfd0 .C0 ) .NT .∆Φ̃
(3.34)
∆Φ̃= ∆Φ − ∆Γ.Kc
(3.35)
onde:
As EQS. 3.32, 3.33 e 3.34 são equações matriciais de Lyapunov do tipo:
X= F.X.G+H
(3.36)
A solução destas equações encontra-se no Apêndice 7.3.
Entretanto, uma matriz não é um bom parâmetro para comparação de robustez e
também não define precisamente uma medida de robustez. Foram investigados (GOMES
(1991)) diversos índices relacionados com a matriz G−1
θ0 (traço, determinante, autovalor
de maior módulo, etc.) tendo sido escolhido como critério de robustez:
¡
¢
Jrobusto =Tr G−1
θ0
(3.37)
3.6.3 SÍNTESE PRCBI
Conhecendo-se a estrutura de controle em MF descrita na Seção 3.6.2 e considerando
a medida de robustez representada pela EQ. 3.37, conforme ilustrado na FIG. 3.11. A
medida de robustez com base na qualidade da identificação bayesiana dos parâmetros
sensíveis necessita do conhecimento das matrizes F, Q e R e que as características estocásticas dos ruídos atuam no FK. Desta forma, três situações podem ocorrer:
73
a) O caso estocástico significa que as caracteristicas de ruido do sistema são parametros
impostos pelo problema. Neste caso estas matrizes são impostas pelo modelo sendo
consideradas como dados do problema. O ganho de Kalman é determinado em
função destas matrizes e dos valores nominais do sistema, restando agir sobre o
ganho de realimentação de estados Kc, conforme FIG. 3.12, a fim de minimizar o
seguinte critério de robustez:
£ ¡
¢¤
J1 = min Tr G−1
θ0
Kc
(3.38)
b) Quando as caracteristicas dos ruídos não são relevantes para o sistema, neste caso as
variância de ruído são usadas como graus de liberdade para a sintonia do controlador
e o sistema é considerado como determinístico ou no caso onde os ruídos não afetam
fortemente a precisão do modelo, utilizam-se as matrizes F, Q e R como grandezas
variáveis no processo de minimização da medida de robustez em malha fechada,
conforme FIG. 3.12. Assim, os ruídos são considerados fictícios e o filtro de Kalman
passa a atender as características de robustez desejadas e o critério de robustez a
ser minimizado é descrito da seguinte forma:
£ ¡
¢¤
J2 = min Tr G−1
θ0
F,Kc
(3.39)
c) Numa terceira abordagem, o controlador Kc pode ser calculado para atender as
condições de desempenho, ficando a minimização dependente unicamente do filtro,
para tornar o sistema mais robusto, conforme FIG. 3.12. Para este caso o critério
de robustez a ser minimizado é descrito da seguinte forma:
¢¤
£ ¡
J3 = min Tr G−1
θ0
F
74
(3.40)
FIG. 3.12: Síntese PRCBI Atuando no Controlador e na Matriz de Entrada de Ruído.
A síntese PRCBI utilizará os métodos de otimização citados na seção 3.5. Os processos ilustrados serão repetidos até que o traço mínimo de G−1
θ0 sejam obtidos. Após as
otimizações, as matrizes Frobusto e Kcrobusto são introduzidas no regulador, que passará a
ser robusto em relação às variações do vetor de parâmetros sensíveis θ.
75
3.6.4 HIPERESFERA PERCENTUAL DE ESTABILIDADE
A hiperesfera de estabilidade pode ser definida como aquela de maior raio percentual
de perturbação que poderá ser inscrita na região de estabilidade dentro do domínio
paramétrico, centrada no ponto do espaço em que os parâmetros assumem seus valores
nominais. Quando o vetor de parâmetros sensíveis é de segunda ordem, a hiperesfera
transforma-se em uma circunferência, sendo portando possível visualizá-la, bem como a
região de estabilidade do domínio paramétrico (ADES (1994)). Este tipo de gráfico será
empregado para visualizar e comparar a robustez do sistema Plataforma-Esfera com os
controladores LQG-LTR e PRCBI.
Uma figura de mérito dos controladores trabalhados será o raio da hiperesfera percentual de estabilidade, que é definido como a maior percentagem de perturbação admissível pelo sistema, considerando qualquer dimensão do espaço paramétrico. Um algoritmo
usado para calcular esse raio foi apresentado em GOMES (1991). Inicia-se do ponto em
que os parâmetros assumem seus valores nominais com raio bem pequeno. Testa-se
aleatoriamente um grande número de direções com este raio. Caso o sistema seja estável
para todas as direções testadas, isto é, os pólos de MF de todos os modelos perturbados estão inseridos no círculo unitário do plano Z, então aumenta-se o raio e repete-se o
processo. Quando for alcançada a instabilidade, reinicializa-se o processo com um raio
percentual intermediário entre o atual e o anterior, até que seja obtida a precisão desejada
para o referido raio. É de bom senso que, ao aumentar o raio, também seja aumentado
o número de direções testadas.
O raio percentual da hiperesfera é definido como:
q
R = r21 +r22 + · · · +r2n
(3.41)
onde R é uma grandeza escalar e constante. Os modelos perturbados são gerados a partir
dos seguintes vetores de parâmetros sensíveis:


(1 + r1 ) θ1N

 (1 + r ) θ
2
2N

θ =
..

.

(1 + rn ) θnN
76






(3.42)
3.6.5 DIAGRAMA DE SENSIBILIDADE DOS PÓLOS DE MF
Pelo diagrama de sensibilidade é possível apresentar os resultados da insensibilização
dos pólos de MF do sistema Plataforma-Esfera com controlador PRCBI em relação ao
sistema Plataforma-Esfera com controlador LQG-LTR. Este gráfico é obtido fazendo-se
uma variação dos parâmetros da planta dentro de um domínio pre-estabelecido (raio percentual constante) e traçando-se as posições dos pólos de MF do sistema correspondente
a essas variações (ADES (1994)).
No caso do sistema Plataforma-Esfera o vetor de parâmetros sensíveis é de segunda
ordem. Logo:
Ã
θ=
θ1
!
e portanto, θ ∈ <2
θ2
(3.43)
Seja θ0 o vetor com valores nominais dos parâmetros considerados, então:
Ã
θ0 =
θ1N
!
(3.44)
θ2N
Considere ainda ℵ o conjunto de pares (r1 , r2 ) que pertencem ao círculo de raio R e
satisfazem a seguinte equação:
q
R=
r21 +r22
(3.45)
Pelo conjunto ℵ, é possível obter vetores paramétricos perturbados com raio percentual R, do seguinte modo:
Ã
θ=
(1 + r1 ) θ1N
(1 + r2 ) θ2N
77
!
(3.46)
A partir da EQ. 3.46, a determinação dos modelos perturbados, com raio percentual
constante torna-se elementar, já que as matrizes do sistema (transição de estados e de
entrada) são funções de θ. As referidas matrizes podem ser de sistemas contínuos ou
discretos. No sistema Plataforma-Esfera, estas matrizes representam o sistema discreto.
Portanto:
Φ → Φ (θ) e Γ → Γ (θ)
(3.47)
Com as matrizes discretas obtidas após as perturbações paramétricas e com as matrizes que representam a dinâmica da estrutura LQG-LTR (com FK corrente), consegue-se
calcular os pólos de MF do sistema com perturbação para criar o referido diagrama.
Este diagrama permite a fácil visualização ou comparação entre a sensibilidade dos
pólos de MF dos diversos controladores considerados.
3.7 APLICAÇÃO DO CONTROLE PRCBI SOBRE O MODELO DO SISTEMA
PLATAFORMA-ESFERA - 1a FASE
Nesta seção serão apresentados os resultados da aplicação dos controladores PRCBIs
sobre o sistema Plataforma-Esfera.
Os controladores obtidos pela síntese PRCBI foram calculados pelos métodos de
¡
¢
otimização já citados, envolvendo o critério de minimização do Tr G−1
θ0 , para os seguintes
casos:
• Variando apenas o ganho Kcd ;
• Variando apenas a matriz de entrada de ruido Fd ;
• Variando Kcd junto com Fd .
Os valores de Kcd e Fd , usados como ponto de partida para a minimização do critério
da síntese PRCBI, estão definidos na seção 3.4.
O vetor de parâmetros sensíveis escolhido, para torna mais robusto o controlador,
foi:
Ã
θ=
Lp
K
78
!
onde Lp é a metade do comprimento da plataforma e K é a constante do motor elétrico.
A escolha desses dois parâmetros é devido sua grande influência no deslocamentos dos
pólos MF. Outros parâmetros seriam muito mais importantes se fosse levado em consideração outros critérios. Maiores detalhes sobre a escolha destes parâmetros poderão ser
encontrados no Apêndice 7.4.
Na TAB. 3.4 serão apresentados os resultados dos controladores PRCBIs obtidos.
TAB. 3.4: Resultados da Síntese PRCBI - 1a Fase.
Variáveis Utilizadas →
Kcd
Fd
Kcd e Fd
Variáveis Obtidas ↓
Kcd _PRCBI
[-2,97 107,96 -5,79 25,01]
——
[-4,72 278,01 -14,57 31,66]
H_PRCBI
[-2,2147]
—— 
[-3,9590]



Fd _PRCBI
——

Kfd _PRCBI
——
Jrob _PRCBI
40,90



0, 0021
 0, 0017 


 0, 0070 
0, 0308
−0, 3564 0, 0263
−0, 0263 0, 2141
−0, 6757 0, 1645
−0, 4037 0, 4072
65,45








0, 0027
 0, 0018 


 0, 0018 
0, 0260
−0, 3675 0, 0012
−0, 0012 0, 2164
−0, 5770 0, 5069
−0, 4452 0, 3794




2, 00x10−3
Esses controladores são testados em uma simulação, conforme FIG. 3.13, onde as
entradas foram definidas por uma seqüência de degraus, apresentada na seção 3.4.
FIG. 3.13: Ensaio do Modelo Linear Discreto com Controlador PRCBI.
Os desempenhos dos controladores podem ser observados nas FIGS. 3.14, 3.15 e 3.16.
79
FIG. 3.14: Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador PRCBI
Otimizado por Kcd .
80
FIG. 3.15: Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador PRCBI
Otimizado por Fd .
81
FIG. 3.16: Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador PRCBI
Otimizado por Kcd e Fd .
82
3.8 COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO DOS CONTROLADORES LQG-LTR E
PRCBI SOBRE O MODELO DO SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA - 1a FASE
Nesta seção é feita uma comparação das respostas do sistema Plataforma-Esfera,
com os controladores LQG-LTR e PRCBI, nas condições de valores nominais da planta
e com perturbações paramétricas de +10% e -10%. O resultado pode ser observado nas
FIGS. 3.17 e 3.18.
FIG. 3.17: Respostas do Sistema Plataforma-Esfera com os Controladores LQG-LTR e
PRCBI Otimizado por Kcd , nas Condições de Valores Nominais da Planta e com
Perturbações Paramétricas de +10% e -10%.
83
FIG. 3.18: Respostas do Sistema Plataforma-Esfera com os Controladores PRCBI
Otimizado por Fd e PRCBI Otimizado por Kcd e Fd , nas Condições de Valores
Nominais da Planta e com Perturbações Paramétricas de +10% e -10%.
84
3.9 COMPARAÇÃO DA ROBUSTEZ EM ESTABILIDADE DOS CONTROLADORES LQG-LTR E PRCBI SOBRE O MODELO DO SISTEMA
PLATAFORMA-ESFERA - 1a FASE
Faz-se necessário lembrar que, neste trabalho, procura-se, como primeira prioridade,
um controlador PRCBI capaz de deixar mais robusto o sistema Plataforma-Esfera frente
suas variações paramétricas. Tendo como segunda prioridade, a busca de uma resposta
rápida e sem ultrapassagem do valor solicitado (sistema criticamente amortecido ou
amortecido).
Uma vez verificado que o desempenho dos sistemas MF, encontrados pela aplicação
da síntese PRCBI, não apresentaram respostas satisfatórias, conforme resultados obtidos nas FIGS. 3.17 e 3.18, deve-se verificar também a robustez em estabilidade desses
sistemas. Para isso, serão levantados os gráficos da hiperesfera percentual de estabilidade e os diagramas de sensibilidade de pólos dos sistemas MF com os controladores
PRCBI, calculados na seção 3.7, e compara-los com os mesmos gráficos do sistema MF
com controlador LQG-LTR calculado na seção 3.4.
a) Gráficos da hiperesfera percentual de estabilidade.
A TAB. 3.5 apresenta os máximos raios da hiperesfera obtidos pelos controladores
LQG-LTR e PRCBIs.
TAB. 3.5: Raios da Hiperesfera Percentual de Estabilidade do Sistema
Plataforma-Esfera com os Controladores LQG-LTR e PRCBI - 1a Fase.
Controlador
LQG-LTR
PRCBI com otimização de Kcd
PRCBI com otimização de Fd
PRCBI com otimização de Kcd e Fd
Raio da Hiperesfera Percentual de Estabilidade
52 %
42 %
50 %
41 %
85
FIG. 3.19: Hiperesferas Percentuais de Estabilidade do Sistema Plataforma-Esfera com
os Controladores LQG-LTR e PRCBI Otimizado por Kcd .
86
FIG. 3.20: Hiperesferas Percentuais de Estabilidade do Sistema Plataforma-Esfera com
os Controladores PRCBI Otimizado por Fd e PRCBI Otimizado por Kcd e Fd .
87
b) Diagramas de sensibilidade de pólos determinados com pertubação de 52 % (maior
raio de hiperesfera percentual encontrado).
FIG. 3.21: Diagramas de Sensibilidade de Pólos do Sistema Plataforma-Esfera MF com
os Controladores LQG-LTR e PRCBI Otimizado por Kcd .
88
FIG. 3.22: Diagramas de Sensibilidade de Pólos do Sistema Plataforma-Esfera MF com
os Controladores PRCBI Otimizado por Fd e PRCBI Otimizado por Kcd e Fd .
89
3.10 ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS - 1a FASE
Apesar da síntese PRCBI indicar uma redução no valor do critério de robustez e
consecutivamente um aumento de robustez em estabilidade, a inspeção dos gráficos da
hiperesfera percentual de estabilidade e dos diagramas de sensibilidade de pólos do sistema, encontrados nas FIGS. 3.19 a 3.22, mostra que a síntese PRCBI não obteve bons
resultados, uma vez que tornou o sistema Plataforma-Esfera mais suscetível à instabilidade, do que a síntese LQG-LTR.
Cabe ressaltar que a síntese PRCBI tem a tendência de aumentar a área da região
de estabilidade, sem, no entanto, aumentar o raio da hiperesfera de estabilidade. Este
fato já foi observado em trabalhos anteriores (GOMES (1991)) e também ocorreu aqui,
basta comparar as FIGS. 3.19 e 3.20.
Esse fato se explica pela síntese PRCBI ser, por natureza, voltada para sistemas
flexíveis (PELLANDA (1993)) e o sistema Plataforma-Esfera, apesar de apresentar uma
dinâmica instável em MA, é não flexível. Razões pela qual os resultados dos controladores
PRCBIs se mostram inferiores ao resultado do controlador LQG-LTR.
Para comprovar esta característica natural da síntese PRCBI, considerando que é
aplicada na estrutura LQG-LTR MF, como se MA fosse, será realizada uma degradação
no desempenho do controlador LQG-LTR, tornando a estrutura mais flexível, para em
seguida aplicar a síntese PRCBI.
Este será o objetivo das próximas seções bem como dos resultados nelas apresentados.
90
3.11 APLICAÇÃO DO CONTROLE LQG-LTR DEGRADADO SOBRE O MODELO
DO SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA - 2a FASE
Nesta seção é calculado um novo controlador LQG-LTR, que deixa o sistema MF
com desempenho inferior e menos robusto em estabilidade, que o controlador LQG-LTR
calculado na seção 3.4. A intenção é mostrar que a partir desse LQG-LTR degradado é
possível conseguir um controlador PRCBI, que deixe o sistema MF com melhor desempenho e mais robusto em estabilidade, que o sistema MF com o LQG-LTR degradado.
Para encontrar o controlador LQG-LTR discreto degradado, que torne o sistema
Plataforma-Esfera pouco amortecido, foram redefinidos os valores descritos na TAB. 3.6.
TAB. 3.6: Valores Para Síntese LQG-LTR - 2a Fase.
Matriz de Covariância do Ruído da Planta (Q)
Matriz de Covariância do Ruído do Sensor (R)
·
[10]
¸
0, 1
0
0
0, 1
Os novos resultados da síntese LQG-LTR podem ser vistos na TAB. 3.7.
TAB. 3.7: Resultados da Síntese LQG-LTR - 2a Fase.
Controlador Discreto (Kcd )
Filtro de Kalman Discreto (Estimador de Estados) (Kfd )
Rastreamento de Ponto de Operação Para LQG-LTR (H)
Custo de Robustez (Jrob _LQGLTR)
[-9,17 93,91 -17,24 3,17]


0, 2153 −0, 0249
 −0, 0249
0, 0117 


 0, 2644 −0, 0626 
0, 0044
0, 0064
[-8,4098]
133,26
Para o teste do sistema Plataforma-Esfera com controlador LQG-LTR degrado, foi
utilizado o mesmo ensaio descrito na seção 3.4, conforme FIG. 3.6, onde o sistema MF é
submetido aos mesmos dois tipos de entrada citadas naquela seção. Os resultados deste
ensaio podem ser conferidos nas FIGS. 3.23 e 3.24.
91
FIG. 3.23: Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador
LQG-LTR Degradado.
92
FIG. 3.24: Resposta ao Sinal Senoidal do Modelo Linear Discreto com Controlador
LQG-LTR Degradado.
93
3.12 APLICAÇÃO DO CONTROLE PRCBI SOBRE O MODELO DO SISTEMA
PLATAFORMA-ESFERA - 2a FASE
Nesta seção serão apresentados os resultados da aplicação dos controladores PRCBIs,
calculados a partir do controlador LQG-LTR degradado, sobre o sistema PlataformaEsfera.
Os novos controladores obtidos pela síntese PRCBI foram calculados pelas otimizações descritas na seção 3.7.
Os valores de Kcd e Fd , usados como ponto de partida para a minimização do critério
da síntese PRCBI, são os que foram redefinidos na seção 3.11.
O vetor de parâmetros sensíveis escolhido é o mesmo descrito na seção 3.7.
Na TAB. 3.8 serão apresentados os resultados dos controladores PRCBIs obtidos:
TAB. 3.8: Resultados da Síntese PRCBI - 2a Fase.
Variáveis Utilizadas →
Kcd
Fd
Kcd e Fd
Variáveis Obtidas ↓
Kcd _PRCBI
[-26,23 855,19 -80,56 9,69]
——
[-1,75 49,41 -3,75 12,96]
H_PRCBI
[-25,4753]
——
[-0,9860]




Fd _PRCBI
——

Kfd _PRCBI
——
Jrob _PRCBI
59,89



0, 0304
 0, 0203 


 0, 0365 
0, 3700
0, 3823
0, 0252
0, 0252
0, 2507
0, 6177 −0, 4404
0, 6874
0, 5616
69,83








0, 1265
 2, 1520 


 −0, 5298 
2, 0940
0, 3216
0, 0397
0, 0397
0, 9955
0, 5959 −0, 2822
0, 0890
0, 9636




39,35
Esses novos controladores PRCBIs são testados da mesma forma que os controladores
PRCBIs descritos na seção 3.7 e seus desempenhos podem ser observados nas FIGS. 3.25,
3.26 e 3.27.
94
FIG. 3.25: Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador PRCBI
Otimizado por Kcd .
95
FIG. 3.26: Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador PRCBI
Otimizado por Fd .
96
FIG. 3.27: Resposta aos Degraus do Modelo Linear Discreto com Controlador PRCBI
Otimizado por Kcd e Fd .
97
3.13 COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO DOS CONTROLADORES LQG-LTR
DEGRADADO E PRCBI SOBRE O MODELO DO SISTEMA PLATAFORMAESFERA - 2a FASE
Nesta seção é feita uma comparação das respostas do sistema Plataforma-Esfera, com
os controladores LQG-LTR degradado e PRCBI, nas condições de valores nominais da
planta e com perturbações paramétricas de +10% e -10%. O resultado pode ser observado
nas FIGS. 3.28 e 3.29.
FIG. 3.28: Respostas do Sistema Plataforma-Esfera com os Controladores LQG-LTR
degradado e PRCBI Otimizado por Kcd , nas Condições de Valores Nominais da Planta
e com Perturbações Paramétricas de +10% e -10%.
98
FIG. 3.29: Respostas do Sistema Plataforma-Esfera com os Controladores PRCBI
Otimizado por Fd e PRCBI Otimizado por Kcd e Fd , nas Condições de Valores
Nominais da Planta e com Perturbações Paramétricas de +10% e -10%.
99
3.14 COMPARAÇÃO DA ROBUSTEZ EM ESTABILIDADE DOS CONTROLADORES LQG-LTR DEGRADADO E PRCBI SOBRE O SISTEMA
PLATAFORMA-ESFERA - 2a FASE
Nesta seção, mesmo que o desempenhos dos sistemas MF com controladores PRCBIs
tenham apresentados respostas satisfatórias, conforme resultados obtidos nas FIGS. 3.25,
3.26 e 3.27, será necessário verificar a robustez em estabilidade desses sistemas. Para isso,
serão levantados os gráficos da hiperesfera percentual de estabilidade e os diagramas de
sensibilidade de pólos dos sistemas MF com os controladores PRCBI, calculados na seção
3.12, e compara-los com os mesmos gráficos do sistema MF com controlador LQG-LTR
degradado calculado na seção 3.11.
a) Gráficos da hiperesfera percentual de estabilidade.
A TAB. 3.9 apresenta os máximos raios da hiperesfera obtidos pelos controladores
LQG-LTR degradado e PRCBIs.
TAB. 3.9: Raios da Hiperesfera Percentual de Estabilidade do Sistema
Plataforma-Esfera com os Controladores LQG-LTR degradado e PRCBI - 2a Fase.
Controlador
LQG-LTR degradado
PRCBI com otimização de Kcd
PRCBI com otimização de Fd
PRCBI com otimização de Kcd e Fd
Raio da Hiperesfera Percentual de Estabilidade
21 %
28 %
50 %
38 %
100
FIG. 3.30: Hiperesferas Percentuais de Estabilidade do Sistema Plataforma-Esfera com
os Controladores LQG-LTR degradado e PRCBI Otimizado por Kcd .
101
FIG. 3.31: Hiperesferas Percentuais de Estabilidade do Sistema Plataforma-Esfera com
os Controladores PRCBI Otimizado por Fd e PRCBI Otimizado por Kcd e Fd .
102
b) Diagramas de sensibilidade de pólos determinados com pertubação de 50 % (maior
raio de hiperesfera percentual encontrado).
FIG. 3.32: Diagramas de Sensibilidade de Pólos do Sistema Plataforma-Esfera MF com
os Controladores LQG-LTR degradado e PRCBI Otimizado por Kcd .
103
FIG. 3.33: Diagramas de Sensibilidade de Pólos do Sistema Plataforma-Esfera MF com
os Controladores PRCBI Otimizado por Fd e PRCBI Otimizado por Kcd e Fd .
104
3.15 ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS - 2a FASE
A inspeção das FIGS. 3.30 a 3.33 mostra que os controladores obtidos com a síntese PRCBI são superiores, em estabilidade e desempenho, que o controlador LQG-LTR
degradado, confirmando o que já havia sido citado na seção 3.10. Porém, nota-se também que nenhum dos controladores superou a estabilidade e o desempenho do controlador
LQG-LTR não degradado.
105
4 IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLE DO SISTEMA
PLATAFORMA-ESFERA
Este capítulo mostra como o sistema Plataforma-Esfera está instalado, configurado
e programado. Também expõe as dificuldades encontradas e as soluções implementadas
para o sistema. Para dar uma forma didática, o sistema será explicado em duas partes
distintas Hardware e Software.
4.1 DESCRIÇÃO DO HARDWARE
Esta seção tem como finalidade descrever os procedimentos para as configurações
usadas nas placas de aquisição e comando, e nos circuitos de apoio ao sistema.
O computador utilizado é um modelo PC convencional com 256MBytes de memória
RAM, 10GBytes de HD e processador Pentium III de 600MHz.
4.1.1 SENSOR DE AQUISIÇÃO DA POSIÇÃO DA ESFERA
As coordenadas da posição da esfera na plataforma são obtidas pela imagem feita
por uma câmera video. Inicialmente foi utilizada uma câmera modelo CAMERA-II-IKM28SA da SUN em conjunto com uma placa de captura de imagem PIXELVIEW PLAY
TV PRO da PROLINK. Este conjunto permitia fazer aquisições de imagens de 30 quadros
por segundo e resolução mínima de 720x480 pixels. Atualmente está sendo usada uma
Webcam modelo LIC-100-USB da LG, que permite adquirir 30 quadros por segundo e
utilizar resolução mínima de imagem de 160x120 pixels. A razão da mudança do hardware
de aquisição de imagem deve-se ao fato de que quanto maior a resolução da imagem
adquirida, maior o tempo para o processamento das coordenadas da esfera, o que gera,
consecutivamente, um maior período de amostragem do sistema. A resolução de 120x160
pixels fornecida pela WEBCAM mostrou-se mais que satisfatória para identificação da
posição da esfera na imagem.
Outro problema encontrado na aquisição de imagem, foi a interferência luminosa
causada pelos reflexos das luzes do ambiente na leitura das coordenadas da esfera. A
solução deste problema se encontra no Apêndice 7.5.
106
4.1.2 SENSOR DO ÂNGULO DE INCLINAÇÃO DA PLATAFORMA
Os ângulos de inclinação do sistema Plataforma-Esfera são obtidos por potenciômetros acoplados, por engrenagens, aos eixos dos motores. Estes potenciômetros, ligados
como divisores de tensão resistivos, estão submetidos a uma tensão de entrada VT e, conforme a posição da plataforma, fornecem uma tensão proporcional ao ângulo de inclinação
VPot (Vide FIG. 4.1).
FIG. 4.1: Tensão Aplicada aos Potenciômetros.
As tensões fornecidas pelos potenciômetros são lidas pela placa de aquisição de dados
PCL812-PG da ADVANTECH e transferidas ao programa de controle do sistema. A
PCL812-PG possui 16 canais de entrada A/D, bipolares, capazes de identificar tensões
de -10V a +10V. No entanto, somente são utilizados os dois primeiros canais, sendo o
primeiro responsável pela leitura da tensão correspondente ao ângulo de inclinação do
eixo X e o segundo pela leitura da tensão correspondente ao ângulo de inclinação do eixo
Y.
Optou-se por trabalhar com VT = 18V advindo de uma fonte de tensão simétrica de
±9V. Esta escolha se deu prevendo uma possível variação nos valores do circuito de
alimentação dos potenciômetros, o que acarretaria na ultrapassagem dos valores limites
da PCL812-PG (±10V).
No Apêndice 7.6 mostram-se as configurações feitas na placa PCL812-PG para o uso
de dois canais A/D no sistema Plataforma-Esfera.
107
4.1.3 ATUADOR DO COMANDO DA INCLINAÇÃO DA PLATAFORMA
Nas primeiras experiências práticas, o comando da inclinação da plataforma era
gerado por uma placa PCL726 da ADVANTECH, que possui 6 canais de saída D/A
bipolares capazes de gerar tensões de -5V a +5V.
No entanto, após a montagem do sistema, foi identificado que para os motores
vencerem os atritos estáticos e dinâmicos seriam necessárias tensões iniciais superiores às
tensões de comando geradas pelos controladores. Este fenômeno é conhecida como zona
morta do sistema, e ocorre devido a tensão de comando para o motor ser pequena e
insuficiente para produzir um torque capaz de iniciar e manter o movimento.
A TAB. 4.1 mostra as tensões de ruptura da zona morta nos motores dos eixos X e
Y para o sistema.
TAB. 4.1: Zona Morta dos Motores X e Y do Sistema Plataforma-Esfera.
Tensão
Tensão
Tensão
Tensão
Tensão
Tensão
Tensão
Tensão
Tensão Aplicada
Positiva no Motor X - AE
Positiva no Motor X - AD
Negativa no Motor X - AE
Negativa no Motor X - AD
Positiva no Motor Y - AE
Positiva no Motor Y - AD
Negativa no Motor Y - AE
Negativa no Motor Y - AD
AE = Atrito Estático
Sem PWM
1,30V
1,21V
-1,30V
-1,22V
1,40V
1,31V
-1,30V
-1,16V
AD = Atrito Dinâmico
Para diminuir o problema da zona morta foi implementado um circuito que converte a tensão de comando do motor, gerada pelo programa de controle do sistema, em
uma tensão PWM (Pulse Width Modulation), denominado driver PWM. O driver PWM
mantém o motor submetido a tensão máxima de 24V, controlando a velocidade do motor
pelo tempo em que a tensão é aplicada nele. A modulação PWM do sinal de controle
propicia torque máximo constante com velocidade variada, diminuindo a zona morta do
sistema (CUNHA (1994) e FERNANDES (1994)). O Apêndice 7.7 mostra o projeto do
driver PWM desenvolvido.
Com a implementação do driver PWM foi possível substituir os dois canais D/A
bipolares da PCL726 por dois canais D/A unipolares da PCL812-PG capazes de gerar
tensões de 0V a +5V. No Apêndice 7.6 é mostrado as configurações feitas na placa
PCL812-PG para o uso de dois canais D/A no sistema Plataforma-Esfera.
108
Entretanto, ainda com o driver PWM verificou-se a existência de uma pequena zona
morta para pequenas tensões de comando. Também verificou-se que tais tensões de zona
morta dependem da freqüência de chaveamento do PWM. Os dados da zona morta para
o PWM está na TAB. 4.2. Acredita-se que tal problema se dá pelas peculiaridades do
circuito implementado, onde existe uma descontinuidade na característica de freqüência
entre a tensão de entrada e a tensão de saída do driver PWM, como visto no Apêndice
7.7.
TAB. 4.2: Zona Morta dos Motores X e Y do Sistema Plataforma-Esfera Com PWM.
Tensão Aplicada
Tensão
Tensão
Tensão
Tensão
Tensão
Tensão
Tensão
Tensão
Com PWM
f = 100Hz | f = 250Hz | f = 400Hz
Positiva no Motor X - AE
Positiva no Motor X - AD
Negativa no Motor X - AE
Negativa no Motor X - AD
Positiva no Motor Y - AE
Positiva no Motor Y - AD
Negativa no Motor Y - AE
Negativa no Motor Y - AD
AE = Atrito Estático
0,25V
0,15V
-0,25V
-0,10V
0,45V
0,25V
-0,10V
-0,10V
|
|
|
|
|
|
|
|
0,50V
0,35V
-0,65V
-0,45V
0,55V
0,45V
-0,55V
-0,40V
|
|
|
|
|
|
|
|
0,75V
0,65V
-0,70V
-0,55V
1,35V
0,85V
-0,85V
-0,60V
AD = Atrito Dinâmico
Um estudo mais aprofundado de drivers PWM e a utilização de circuitos integrados
PWM comerciais é uma proposta para a melhoria do desempenho deste sistema.
O circuito do driver PWM desenvolvido neste trabalho foi reutilizado no projeto de
uma fonte chaveada do curso de graduação do IME (OLIVEIRA (2005)).
4.2 DESCRIÇÃO DO SOFTWARE
Esta seção tem a finalidade de mostrar as configurações do software e os algoritmos
implementados no programa de controle para que o sistema Plataforma-Esfera tenha o
melhor desempenho.
O sistema operacional instalado para gerenciar as atividades do computador é o
WINDOWS XP-SP2 e o software aplicativo escolhido é o MATLAB 7.0.1, por ser mais
bem adaptado ao tipo de problema e por permitir diferentes ambientes de programação.
No caso do sistema Plataforma-Esfera utilizam-se o Data Acquisition Toolbox, Image
Acquisition Toolbox e Image Processing Toolbox. A utilização em conjunto destes ambientes permite a aquisição de dados da placa PCL812-PG e da câmera, o processamento
destes dados e o posterior envio de comandos à placa PCL812-PG. A programação da
109
aplicação com estes toolboxes pode ser feita em linha de comando (arquivos .m) ou em
blocos do SIMULINK. Pelas particularidades de interação com o usuário, tal como a
calibração da imagem, optou-se pela programação em linha de comando.
A principal desvantagem da utilização destes toolboxes é o seu funcionamento não
possuir características de tempo real, a saber: não há controle do intervalo de tempo entre
a obtenção de duas amostras consecutivas, não há prioridade do sistema de controle sobre
os serviços do sistema operacional, e, particularmente, a aquisição da imagem da câmera
é lenta. Estes fatores dificultaram a implementação do controle do sistema, como visto
na seção 4.3.
Uma alternativa ao uso dos toolboxes citados será o uso do REAL-TIME
WORKSHOP em conjunto com o REAL-TIME WINDOWS TARGET, dois toolboxes
do MATLAB que permitem a iteração em tempo real de aplicações desenvolvidas
no MATLAB/SIMULINK com dispositivos de entrada e saída do tipo das placas
ADVANTECH. O grande problema é que tal alternativa não possui suporte para
aquisição da imagem em tempo real disponível. Há uma ferramenta adicional para
aquisição de imagem em tempo real que é integrada ao REAL-TIME WORKSHOP
fornecida pela empresa THECON, entretanto não disponível na execução deste trabalho.
Isto inviabiliza por momento a utilização desta ferramenta na implementação do controle
do sistema Plataforma-Esfera.
Como desenvolvimento posterior deste trabalho, esta sendo feito um projeto de um
sistema de aquisição de imagem em tempo real, como comentado na seção 5.3.
A seguir descreve-se o programa de controle desenvolvido cujo o fluxograma equivalente é mostrado na FIG. 4.2.
Inicialmente, a posição da esfera é obtida seguindo-se dois passos. O primeiro é
aquisição da imagem da câmera de video, que é possível pela utilização do Image Acquisition Toolbox. O segundo é o calculo das coordenadas da posição da esfera a partir da
imagem adquirida. Esse processo é feito pelo Image Processing Toolbox.
Em seguida, o programa de controle faz as aquisições dos sinais de tensão dos potenciômetros, que são proporcionais aos ângulos das inclinações da plataforma, pelo Data
Acquisition Toolbox. O próximo passo seria calcular os valores dos ângulos pela EQ. 2.26
com os dados obtidos. Porém, durante a montagem do sistema, percebeu-se que seria
muito difícil ajustar o 0V para a posição horizontal da plataforma. Devido esse fato,
a EQ. 2.26 sofreu modificações, visando adequar-se aos erros de medida dos ângulos da
plataforma. Dessa forma, a relação entre a tensão de saída do potenciômetro Vpot e o
110
ângulo de inclinação da plataforma θx é modificada para:
µµ
θx =
VT
µ.2.π
¶ µ ¶ µ ¶¶−1
¡
¢
96
Lp
.
.
. Vpot −VERRO_θX
36
Rp
(4.1)
A EQ. 4.1 só terá validade se os erros dos ângulos estiverem calibrados. A calibração
dos erros dos ângulos do sistema Plataforma-Esfera deve ser feita toda vez que o sistema
for deslocado de posição ou se o sistema for desmontado para manutenção. Para ser
feita a calibração dos erros dos ângulos utilize o programa CALIBRAÇÃO_ANGULO.m
disponível no CD anexado a este trabalho.
Uma vez obtidos os valores das coordenadas da esfera e dos ângulos de inclinação
da plataforma, o programa de controle por aplicação das equações de espaço de estado
do controlador calcula as tensões necessárias de comando para os motores. Estas tensões
são colocadas nas EQS. 7.11 e 7.12 para se descobrir quais as tensões de comparação que
devem ser aplicadas ao circuito PWM para que este gere uma tensão em pulsos de onda
quadrada de valor médio equivalente a tensão de controle. As tensões de comparação são
as tensões que serão mandadas para fora do computador pelo Data Acquisition Toolbox.
Os detalhes de programação encontram-se no Apêndice 7.8.
FIG. 4.2: Fluxograma do Programa de Controle.
111
4.3 ENSAIOS PRÁTICOS DO SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA
Os ensaios práticos, descritos nesta seção, foram feitos com as mesmas condições
iniciais, isto é, coordenadas iniciais da esfera (0,1;0,1)m e ângulos iniciais de inclinação
da plataforma (0;0)rad.
O controlador implementado para esses ensaios foi o LQG-LTR não degradado,
cujo objetivo é levar a esfera para as coordenadas (0;0)m com ângulos de inclinação
da plataforma em (0;0)rad.
Nestes ensaios a massa da esfera (Me ) e raio da esfera (Re ) foram modificados em
relação aos ensaios teóricos. Isso porque houve a necessidade de se mudar a cor de fundo
da plataforma devido a interferência luminosa do ambiente. Este fato ocasionou a troca
da esfera branca (Me = 67, 0g e Re = 12, 70mm) utilizada na simulação teórica, por uma
esfera preta (Me = 30, 6g e Re = 10, 95mm). Observa-se que foram refeitos os cálculos
do controlador para estas novas condições apenas para esta implementação.
As FIGS. 4.3 e 4.9 mostram o período de amostragem médio de cada ensaio e o
período que cada ciclo de execução do sistema de controle levou para obter as informações
necessárias ao controle e comandar os motores nos ensaios práticos. Este período de
amostragem médio é uma medida de quanto o período de amostragem esta ruim em
relação ao período de discretização do sistema. Observa-se que na maioria da vezes o
período de 100ms foi obtido. Entretanto, em muitos ciclos o tempo entre a obtenção
das amostras ficou muito acima. Isto é um problema desta implementação e se deve
principalmente ao fato de que o software não possui requisitos de tempo real.
As FIGS. 4.7 e 4.8, relativas ao sistema Plataforma-Esfera sem PWM, mostram que
as tensões de controle para os motores chegaram a picos de 0,75V e mantiveram-se com
0,50V até o fim do ensaio. Essas tensões não foram suficientes para movimentarem o
sistema, conforme observado nas FIGS. 4.4, 4.5 e 4.6. A razão é que as tensões baixas
geradas pelo controlador não ultrapassaram as zonas mortas do sistema que estão na faixa
de tensão de 1,10 a 1,40V. Já nas FIGS. 4.13 e 4.14, relativas ao sistema PlataformaEsfera com PWM, as tensões de controle não ultrapassaram 0,50V e foram suficientes
para movimentar o sistema, conforme observado nas FIGS. 4.10, 4.11 e 4.12. A razão
é que as tensões geradas pelo controlador estavam acima das zonas mortas residuais do
sistema que estão na faixa de tensão de 0,10 a 0,45V (para 100Hz). Porém, a FIG.
4.10 mostra que o sistema não atingiu o seu objetivo de controle. A razão para isto é o
período de amostragem alto que o sistema proporciona, somado á sua não regularidade,
como ilustrado na FIG. 4.9. Este fato será analisado em detalhe na seção 4.4.
112
• Sistema Plataforma-Esfera sem PWM:
FIG. 4.3: Período de Amostragem.
FIG. 4.4: Posição da Esfera.
113
FIG. 4.5: Ângulo do Eixo X da Plataforma.
FIG. 4.6: Ângulo do Eixo Y da Plataforma.
114
FIG. 4.7: Tensão Aplicada ao Motor do Eixo X.
FIG. 4.8: Tensão Aplicada ao Motor do Eixo Y.
115
• Sistema Plataforma-Esfera com PWM:
FIG. 4.9: Período de Amostragem.
FIG. 4.10: Posição da Esfera.
116
FIG. 4.11: Ângulo do Eixo X da Plataforma.
FIG. 4.12: Ângulo do Eixo Y da Plataforma.
117
FIG. 4.13: Tensão Aplicada ao Motor do Eixo X.
FIG. 4.14: Tensão Aplicada ao Motor do Eixo Y.
118
4.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS - FASE EXPERIMENTAL
Por inspeção das FIGS. 4.4 e 4.10, nota-se que o sistema Plataforma-Esfera com
controlador LQG-LTR não degradado implementado está ineficiente para levar a esfera
da posição de origem à posição desejada. Esta ineficiência denota uma não conformidade,
uma vez que nos ensaios teóricos não foi levantada nenhuma ineficiência para o sistema
com controlador LQG-LTR não degradado nas condições nominais.
A principal razão desta ineficiência é o período de amostragem médio, imposto pelo
sistema de controle (computador = hardware + software), estar acima do período de
discretização utilizado (Ts = 100ms), conforme FIGS. 4.3 e 4.9. Também, por inspeção
das mesmas figuras, nota-se que o período de amostragem não é constante durante a
execução do ensaio, chegando em alguns casos a ultrapassar 60 % do valor especificado
para o período de discretização.
Verificou-se a hipótese do período de amostragem alto pela realização dos seguintes
passos:
• Calcular o controlador LQG-LTR não degradado para o sistema Plataforma-Esfera
no tempo continuo:
A síntese LQG-LTR exige que se defina alguns valores que serão utilizados nos
cálculos do controlador LQG-LTR não degradado continuo. Esses valores podem
ser observados na TAB. 4.3.
TAB. 4.3: Valores Para Síntese LQG-LTR Não Degradado
no Tempo Continuo.


Matriz de Ponderação dos Estados da Planta (Q1 )
Matriz de Ponderação da Entrada da Planta (Q2 )
Matriz de Covariância do Ruído da Planta (Q)
Matriz de Covariância do Ruído do Sensor (R)
Matriz de Entrada de Ruído do Sistema (Fd =Γ)



100
0
0
0
0
100
0
0
0
0 

0 
100
[1]
·
[100]
¸
0, 01
0
0, 01
 0
0, 0000
 0, 0020 


 −0, 0001 
0, 0277
O resultado da síntese LQG-LTR pode ser visto na TAB. 4.4.
119
0
0
100
0
TAB. 4.4: Resultados da Síntese LQG-LTR Não Degradado no Tempo Continuo.
Controlador Continuo (Kcc )
Filtro de Kalman Continuo (Estimador de Estados) (Kfc )
Rastreamento de Ponto de Operação Para LQG-LTR (H)
[-10,35 104,45 -19,96 4,71]


3, 5856 −0, 7928
 −0, 7928
2, 6634 


 6, 7426 −5, 0550 
0, 1006
3, 8613
[-10,0060]
• Obter os pólos de MF do sistema Plataforma-Esfera com o controlador LQG-LTR
não degradado continuo:
Pelo principio da separação temos,
Os pólos MF do sistema com o controlador Kcc :

−33, 4908

 −0, 9227

autovalores de (A − B.Kcc ) = 
 −0, 9286 +1, 1158i

−0, 9286 −1, 1158i







Os pólos MF do sistema com o filtro de Kalman Kfc :


−32, 0446


 −1, 4983 +1, 9388i 


autovalores de (A−Kfc .C) = 

 −1, 4983 −1, 9388i 


−3, 3825
• Segundo FRANKLIN (1998), a dinâmica do sistema de controle deve ser de 5 a 10
vezes mais rápida que a dinâmica da planta. Portanto, com o maior pólo obtido no
item anterior deve-se calcular o período de amostragem que o sistema de controle
deve ter para conseguir controlar o sistema:
Ts1 =
³
2.π
10. maior pólo
´=
2.π
= 18, 8 ms
10.(33, 4908)
´=
2.π
= 37, 5 ms
5.(33, 4908)
Ou
Ts2 =
³
2.π
5. maior pólo
120
• Comparar o período de discretização calculado com o período de amostragem
fornecido pelo sistema de controle:
Percebe-se que o período de amostragem fornecido pelo sistema de controle (100ms)
esta muito acima do valor de Ts2 calculado no item anterior. O ideal seria que o
período de amostragem do sistema estivesse entre os valores de Ts1 e Ts2 ou pelo
menos nas imediações de Ts2 , fato que não ocorre.
Conforme os resultados obtidos, percebe-se que a hipótese do período de amostragem
alto é um dos fatores contribuintes para ineficiência do sistema. Porém, o período de
amostragem do sistema de controle está elevado devido:
a) A câmera que faz a aquisição de imagem. A maioria das câmeras comerciais permitem fazer no máximo a aquisição de 30 quadros por segundo. Isto faz com que
só a aquisição de um quadro para determinação das coordenadas da esfera leve em
torno de 33,33ms;
b) O uso do Data Acquisition Toolbox e do Image Acquisition Toolbox em programas
feitos por linha de comando (arquivos .m) não possuem caracteristicas de tempo
real. Isto permite que o sistema operacional (WINDOWS) divida o tempo de uso
do processador com outras atividades além do programa de controle.
4.5 COMENTÁRIOS FINAIS
Não foi possível realizar a comparação experimental dos controladores LQG-LTR e
PRCBI projetados no Capítulo 3. A principal razão é a ineficiência do sistema de controle
desenvolvido.
A primeira ineficiência diz respeito ao sistema de controle que não possui requisitos
de tempo real. A alternativa é partir para programação fora do MATLAB, e no caso,
após a eficácia comprovada, a migração para o MATLAB.
A segunda ineficiência diz respeito a um parâmetro não modelado no sistema, mas
com influência determinante, que é a zona morta dos atuadores. A primeira abordagem
foi o projeto do driver PWM. Porém, o driver apresenta uma não total eficiência por não
ter eliminado totalmente a zona morta.
A primeira abordagem foi projetar um driver PWM. Porém, o driver apresenta uma
não total eficiência por não ter eliminado totalmente a zona morta do sistema.
121
5 CONCLUSÕES
5.1 PONTOS OBSERVADOS E CONTRIBUIÇÕES
Pode-se citar como contribuição efetiva para melhoria no modelo matemático a decomposição da força transmitida pela polia para a plataforma, conforme FIG. 2.10. Os
modelos anteriores consideram a força transmitida pela polia de mesma intensidade que
a força aplicada na plataforma. Esta consideração pode ser válida para uma variação de
até 2o de inclinação da plataforma. Porém, o sistema foi previsto para inclinações de até
10o , que faz com que essas forças sejam diferentes. Essa contribuição fica sujeita somente
ao modelo não linear. Isso porque durante o processo de linearização do modelo, essa
diferença é encoberta, tornando o valor das forças iguais.
Outra modificação feita, que não pode ser considerada como melhoria mas deve ser
considerada como outro método de solução, foi o tratamento com as equações de segunda
ordem do sistema. Os modelos anteriores linearizaram as equações de segunda ordem,
antes de agregar a elas a dinâmica do motor elétrico e o acoplamento mecânico, que eram
linearizadas à parte. Com isso, as equações eram mais fáceis de analisar. Neste trabalho,
todas as dinâmicas foram unidas antes do processo de linearização. O resultado mostrou
matrizes de estados do sistema muito próximas das matrizes dos modelos anteriores.
Para a fase do cálculo dos controladores tinha-se por perspectiva obter um controlador
pela síntese PRCBI mais robusto em estabilidade frente as perturbações paramétricas
que o controlador obtido pela síntese LQG-LTR. Porém, durante os ensaios da primeira
fase, os resultados mostraram-se contraditórios ao esperado. A explicação se encontra
no fato que a síntese PRCBI possuir melhor desempenho quando aplicada a sistemas
puramente oscilantes ou pouco amortecidos (PELLANDA (1993)). Considerando que o
sistema Plataforma-Esfera é instável, mas sem oscilações, a aplicação da síntese PRCBI
não resultaria em bons controladores para esse sistema.
122
Os resultados da primeira fase levaram a uma segunda fase, onde é calculado um
controlador LQG-LTR que deixa o sistema pouco amortecido. Em cima desse controlador degradado calculou-se um novo controlador PRCBI. O resultado obtido foi um controlador PRCBI mais robusto em estabilidade que o controlador LQG-LTR degradado.
Contudo, o controlador PRCBI da segunda fase não superou a robustez em estabilidade
do Controlador LQG-LTR da primeira fase, mostrando que para o sistema PlataformaEsfera a síntese LQG-LTR é melhor adaptada.
Foram feitos ensaios com os controladores LQG-LTR e PRCBIs da primeira fase com
o modelo Não Linear. Os resultados obtidos foram idênticos aos resultados dos ensaios
dos controladores com o modelo Linear Discreto. Esse fato mostra mais uma vez que o
modelo Linear Discreto representa o modelo Não Linear dentro da região de operação do
sistema. Os resultados destes ensaios foram suprimidos para que não houvesse repetições
de figuras.
Na fase de implementação pode-se citar como contribuição que os hardwares e
softwares aqui desenvolvidos já foram utilizados em outros sistemas, como por exemplo os sistemas do Levitador Magnético e do Manipulador Robótico Teleoperado, sendo
este último utilizado na tese de mestrado de VALLE (2005), e o Conversor CC/CC Para
Conexão De Sistemas Fotovoltaicos À Rede Elétrica de OLIVEIRA (2005). Esses hardwares e softwares facilitarão a implementação de muitos outros sistemas, permitindo aos
alunos compararem os resultados das simulações teóricas com os ensaios práticos. Esse
fato vem de encontro com os ideais de BERNSTEIN (1998) e APKARIAN (2003).
5.2 PONTOS NÃO OBSERVADOS E LIMITAÇÕES
O objetivo de implementar os controladores em tempo real sobre a planta não foi
alcançado uma vez que o uso do Data Acquisition Toolbox e do Image Acquisition Toolbox
em programas feitos por linha de comando (arquivos .m) não possuem caracteristicas de
tempo real.
O sistema de controle foi implementado utilizando-se o controlador projetado pela
síntese LQG-LTR. Porém, pelo fato do período de amostragem fornecido pelo sistema de
controle (Hardware e Software) ser muito maior que o período de discretização calculado
pelos pólos da planta, o sistema Plataforma-Esfera com controlador LQG-LTR ficou
ineficiente. Por este motivo optou-se por não implementar o controlador PRCBI.
123
O período de amostragem versus período de discretização é uma das principais diferenças entre o modelo e a planta, uma vez que nas simulações teóricas o período de
discretização de 100ms se mostrou suficiente para estabilizar o sistema, o que não ocorre
nos ensaios práticos.
O atrito de rolamento na esfera é um efeito dinâmico que pode ser modelado, apesar
de não estar presente no modelo utilizado, devido a dificuldade de se encontrar literatura
sobre o assunto em tempo viável à execução deste trabalho.
Durante a implementação do sistema algumas dinâmicas não modeladas interferiram no processo. Porém, suas influências foram contornadas ou minimizadas, conforme
descrito a seguir:
• Zona Morta do Sistema: Dinâmica atenuada pela implementação de um driver
PWM;
• Interferência Luminosa do Meio Ambiente na Aquisição das Coordenadas da Esfera: Solução pela mudança da lógica do algoritmo de obtenção das
coordenadas da esfera;
• Processamento da Imagem Versus Resolução da Imagem: Quanto maior a
resolução da imagem maior o tempo consumido no processamento para obtenção
das coordenadas da posição da esfera. A solução adotada foi diminuir ao máximo a
resolução sem prejudicar o processamento. O levantamento foi obtido experimentalmente;
• Ajuste da Horizontal da Plataforma: Solução pela modificação da equação de
transformação de tensão em radianos.
5.3 PERSPECTIVAS DE TRABALHOS FUTUROS
As perspectivas de continuação deste trabalho se apresentam da seguintes forma:
• Melhorias no Modelo Matemático do Sistema Plataforma-Esfera:
– Estudos sobre a dinâmica do atrito de rolamento. Durante a execução deste
trabalho, houve algumas discussões sobre a existência de um atrito de rolamento na esfera. Para que essas discussões não atrasassem o andamento do
trabalho, foi considerado que esse atrito seria nulo. Porém, já na fase de implementação da planta, notou-se a necessidade de ângulos de inclinação da
124
plataforma maiores que os esperados, para a movimentação da esfera. Com
isso voltou-se a pesquisar sobre o atrito de rolamento, que acabou gerando
o conteúdo do Apêndice 7.10. É importante informar, que devido a fase em
que o trabalho se encontrava, não foi viável a implementação da dinâmica do
atrito de rolamento no modelo do sistema utilizado, ficando essa tarefa para
os próximos trabalhos que utilizarem esse sistema como base de estudo;
– Estudos sobre os atritos e inércias das engrenagens do sistema mecânico da
plataforma, que contribuem aumentando o efeito da zona morta do motor
elétrico.
• Melhorias na Planta do Sistema Plataforma-Esfera:
– Mudança da Webcam por uma câmera mais rápida. Outra alternativa seria
modificar o sensoriamento da posição da esfera, utilizando, por exemplo, duas
barras de sensores de posição. Por fim, há disponível para o REAL-TIME
WORKSHOP uma ferramenta adicional para aquisição de imagem em tempo
real fornecida pela empresa THECON;
– Estudos sobre a implementação do programa de controle em tempo real fora
do ambiente MATLAB, desenvolvendo neste programa a captura da posição
instantânea da esfera sobre a plataforma com eficiência para o controle do sistema. Este programa também deve se preocupar em manter o período de amostragem constante. Após a eficácia comprovada, a migrar para o MATLAB;
– Substituição das placas de aquisição e comando PCL726 e PCL812-PG, que
possuem encaixe ISA, por placas com encaixe PCI, viabilizando a troca do
computador com processador Pentium III de 600MHz por um com processador
Pentium IV de 2,8GHz, diminuindo o período de amostragem do sistema de
controle;
– Estudo mais aprofundado de drivers PWM visando, por exemplo, descobrir
porque existe uma variação do valor da zona morta do motor elétrico quando
se varia a freqüência do conversor PWM, conforme demonstrados na TAB.
4.2., e a utilização de circuitos integrados PWM comerciais.
125
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Conjuntos Pré-Selecionados Via Imposição De Pólos. Tese mestrado, IME Instituto Militar De Engenharia, Rio De Janeiro, Brasil, Janeiro 2005.
127
7 APÊNDICES
128
7.1 APÊNDICE 1: VALORES NOMINAIS DAS VARIÁVEIS DO SISTEMA
PLATAFORMA-ESFERA
Dados da Plataforma:
Mp = 1, 170 [kg] → Massa da Plataforma
Lp =
0,364
2
[m] → Metade do Comprimento da Plataforma (Quadrada)
Hp = 6, 00x10−3 [m] → Medida a partir da superfície superior da plataforma até o
eixo de giro da junta universal
Ip = 147, 73x10−4 [Kg.m2 ] → Momento de Inércia da Plataforma em Relação ao
Ponto de Apoio
Dados da Esfera:
Me = 67x10−3 [kg] → Massa da Esfera
Re =
Je =
0,0254
2
[m] → Raio da Esfera
2.Me.(Re)2
5
[Kg.m2 ] → Momento de Inércia da Esfera
Dados do Conjunto Eletromecânico:
Rp = 12,7x10−3 [m] → Raio da Polia
K = 55,2x10−3 [Tensão e Torque] → Constante do Motor Elétrico
N = 30. 70
→ Relação da Caixa de Redução das Engrenagens Motor-Polia
48
Bm = 0,00 [N.m/(rad/s)] → Coeficiente de Atrito Viscoso do Motor (Fabricante)
Lf = 1,475x10−1 [m] → Comprimento do Fio com a Plataforma em θx = 00 , conforme
FIG. 2.8
Jm = 2,33x10−6 [Kg.m2 ] → Momento de Inércia do Eixo do Motor
Rm = 40,0 [Ohms] → Resistência do Enrolamento da Armadura do Motor (Indutância Desprezível)
Grandezas Físicas
G = 9,8 [m/s2 ] → Aceleração da Gravidade
A menos de Lf , obtido neste trabalho, todos os valores acima relacionados foram
extraídos de GAMA (2003).
129
7.2 APÊNDICE 2: PERÍODO DE DISCRETIZAÇÃO (TS ) DO SISTEMA
PLATAFORMA-ESFERA
Para a escolha do período de discretização (Ts ) deve ser levado em consideração que:
• Pela EQ. 2.71, se o Ts tender a zero, a Matriz Φ tende a ser uma matriz I (matriz
identidade) e os pólos do sistema discretizado (autovalores de Φ) tendem ao valor
1 , que é o valor do limite da região do circulo de estabilidade do plano Z, o que
resultaria em uma não representação do sistema. Neste caso, a discretização estará
mascarando a dinâmica da planta;
• Se o Ts tender a +∞, os pólos fora do circulo unitário do plano Z, tendem a ficar
mais instáveis, dificultando o controle do sistema.
Foram feitos ensaios com alguns valores de Ts , conforme FIGS. 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 e
7.5, de modo a auxiliar na escolha do valor adequado à discretização do sistema. Esta
análise conduziu a escolha de Ts = 0,1s, por apresentar a melhor relação de compromisso
das condições acima citadas.
FIG. 7.1: Pólos de MA Para Ts de 10s.
130
FIG. 7.2: Pólos de MA Para Ts de 1s.
FIG. 7.3: Pólos de MA Para Ts de 0,1s.
131
FIG. 7.4: Pólos de MA Para Ts de 0,01s.
FIG. 7.5: Pólos de MA Para Ts de 0,001s.
132
7.3 APÊNDICE 3: SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES MATRICIAIS DE LYAPUNOV
A existência e unicidade da solução da EQ. 3.36 é deduzida do seguinte teorema:
Teorema 7.1 (LANCASTER, 1970). A equação do tipo: X = F.X.G + H admite
solução única se, e somente se:
ρ(F).ρ(G) < 1
(7.1)
Onde:
• ρ(F) = max[| λ(F) |];
• λ(F) representa o conjunto de autovalores de F.
Segundo o Teorema 7.1, para as equações matriciais lineares 3.32, 3.33 e 3.34, da
síntese PRCBI em malha fechada, é necessário e suficiente que:
h
i
ρ [(Φ0 −Γ0 .Kc )] .ρ (Φ0 −Γ0 .Kc )T < 1
h
T
ρ [(Φ0 −Γ0 .Kc )] .ρ (I − K0 .C)
.ΦT
0
(7.2)
i
<1
h
i
ρ [Φ0 . (I − K0 .C)] .ρ (I − K0 .C)T .ΦT
0 < 1
(7.3)
(7.4)
Então, a condição necessária e suficiente para que exista uma única solução para
o sistema matricial envolvido é, neste caso, que os autovalores de (Φ0 −Γ0 .Kc ) sejam
estáveis, isto é, que os pólos de controle do sistema MF estejam no interior do circulo
unitário do Plano Z (GOMES, 1991; PELLANDA, 1993).
A solução da EQ. 3.36 é dada pela seguinte relação:
x = U−1 .h
133
(7.5)
Onde:

T
T
f11 .G −I f12 .G

 f .GT f .GT −I
22
 21
U = F ⊗ GT −I ⊗ I = 
.
..
..

.

T
fm1 .G
fm2 .GT
T
···
f1m .G
···
..
.
f2m .GT
..
.







(7.6)
· · · fmm .GT −I
Onde ⊗ é conhecido como produto de Kronec.
Além disso, x e h são vetores constituídos pelos elementos das matrizes X e H, como
descrito:
h
h=−
h11 h12 · · · h1n h21 · · · h2n · · · hmn
h
x=
x11 x12 · · · x1n x21 · · · x2n · · · xmn
iT
iT
Onde F ∈ Cm×m , G ∈ Cn×n , H ∈ Cm×n , X ∈ Cm×n e U ∈ Cm.n×m.n .
134
(7.7)
(7.8)
7.4 APÊNDICE 4: SELEÇÃO DO VETOR DE PARÂMETROS SENSÍVEIS DO
SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA
O vetor de parâmetros sensíveis é o vetor composto pelas variáveis de sistema
que, ao modificarem seus valores nominais, podem levar o sistema MF a perder em
desempenho e até mesmo chegar a instabilidade. No caso do Sistema Plataforma-Esfera
com controlador LQG-LTR discreto, serão pesquisadas as variáveis citadas no Apêndice
7.1, para uma variação de -50% a +100% do seu valor nominal. A influência destas
variações serão visualizadas pelos deslocamentos dos pólos de MF do sistema no plano
Z, conforme FIGS. 7.6 a 7.11.
FIG. 7.6: Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal do
Parâmetro Indicado.
135
FIG. 7.7: Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal do
Parâmetro Indicado.
136
FIG. 7.8: Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal do
Parâmetro Indicado.
137
FIG. 7.9: Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal do
Parâmetro Indicado.
138
FIG. 7.10: Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal do
Parâmetro Indicado.
139
FIG. 7.11: Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% do Valor Nominal do
Parâmetro Indicado.
140
É importante informar que as variáveis Je , N e Bm não fizeram parte da pesquisa,
pois, Je depende de Me e Re , N não varia e Bm é dado como desprezível pelo fabricante.
Pretende-se encontrar, dentre os gráficos apresentados, um par de variáveis que façam
com que o sistema MF, com controlador LQG-LTR, tenda para instabilidade. Nota-se,
por inspeção dos gráficos, que as variáveis:
• Hp , Mp , Ip , Re , Me , Rm , Jm e Lf alteram muito pouco ou quase não alteram a
posição dos pólos de MF;
• Lp , K e Rp levam o sistema para próximo da instabilidade.
Uma vez observada a influência das variáveis isoladamente no sistema, parte-se
para a pequisa do par de variáveis que, em conjunto, causam maiores variações nos
pólos de MF no sentido da instabilidade. Os resultados desta nova pesquisa podem ser
observados nas FIGS. 7.12 e 7.13.
FIG. 7.12: Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% dos Valores Nominais dos
Parâmetros Indicados.
141
FIG. 7.13: Pólos de MF Para a Variação de −50% a +100% dos Valores Nominais dos
Parâmetros Indicados.
Por inspeção das FIGS. 7.12 e 7.13 escolhe-se o par de variáveis Lp e K como sendo
as componentes do vetor de parâmetros sensíveis da síntese PRCBI.
142
7.5 APÊNDICE 5: INTERFERÊNCIA LUMINOSA NA AQUISIÇÃO DE IMAGEM
O problema da interferência luminosa na aquisição de imagem configura-se da
seguinte forma:
• A esfera utilizada no experimento pode ser vermelha, branca ou amarela;
• O reflexo da luz na plataforma, se mostra como um borrão branco, que dependendo
do ângulo de inclinação da plataforma, pode ser mais ou menos intenso;
• A plataforma foi coberta por um papel preto fosco onde foi desenhado um mapa
cartesiano que possibilita verificar visualmente se a esfera atingiu seu objetivo. Este
papel por mais fosco que seja, ainda reflete a luz;
• A câmera captura a imagem, com a esfera e o reflexo da luz, e entrega para o
algoritmo de procura das coordenadas da posição da esfera. O algoritmo procura
na matriz correspondente à imagem os maiores valores da cor vermelha e calcula
o centro de massa da região de maior intensidade luminosa. Quando há o borão
de luz, o algoritmo retorna as coordenadas da posição da esfera erradas, o que
prejudica a precisão do controle (vide FIG. 7.14).
A troca do papel por um vidro anti-reflexivo aumentaria muito a inércia da
plataforma e faria com que a esfera deslizasse ao invés de rolar, sendo que este tipo
de movimento é indesejável. Qualquer outro material mais fosco aumentaria o atrito de
rolamento da esfera (este atrito não foi modelado). A diminuição da intensidade luminosa
do ambiente gera dois problemas: a dificuldade das pessoas enxergarem o experimento e
a dificuldade da câmera visualizar a esfera, prejudicando a precisão do controle. A colocação de papel vegetal envolvendo as fontes de luz do ambiente, para gerar luz difusa,
possui a inconveniência de se ter de preparar o ambiente antes da experiência.
143
FIG. 7.14: Incidência do Reflexo Luminoso na Imagem.
A solução escolhida foi a seguinte:
• Trocar o papel preto da plataforma por papel branco;
• Trocar a esfera branca por uma esfera preta, e
• Mudar o algoritmo de procura das coordenadas da posição da esfera que invés de
procurar a região de cor mais intensa, passa a procurar a região de cor menos
intensa.
Com isso, o reflexo luminoso que é branco, passou a não influenciar mais nas coordenadas da posição da esfera.
144
7.6 APÊNDICE 6: CONFIGURAÇÕES DA PLACA PCL812-PG
Configurações feitas na placa PCL812-PG para a utilização dos canais A/D no sistema Plataforma-Esfera:
• Seleção do endereço de entrada/saída (SW1 a SW5):
TAB. 7.1: Endereço de Entrada/Saída da PCL812-PG.
FIXO DE FÁBRICA SW1 SW2 SW3 SW4 SW5
1
0
0
0
1
0
A9
A8
A7
A6
A5
A4
• Chave de programação 6 (SW6): Não tem função na PCL812-PG.
• Seleção do estado de espera (SW7 e SW8):
TAB. 7.2: Estado de Espera da PCL812-PG.
SW7 SW8
0
0
• Seleção da entrada de Trigger :
JP1 = Interno
• Seleção da entrada de Clock :
JP2 = Interno
• Seleção da prioridade de interrupção - IRQ:
JP5 = 7
• Seleção do acesso direto a memória - DMA:
JP6 = 1
JP7 = 1
• Seleção da tensão máxima dos canais de entrada A/D:
JP9 = ±10V
145
Configurações feitas na placa PCL812-PG para a utilização dos canais D/A no sistema Plataforma-Esfera:
• Seleção da referência de tensão D/A:
JP3 (Canal 1) = Interno
JP4 (Canal 2) = Interno
• Seleção da tensão de referência D/A:
JP8 = ±10V
146
7.7 APÊNDICE 7: PROJETO DO DRIVER PWM
Nesta seção será mostrado como funciona e como se calibra o driver PWM para o
uso no sistema Plataforma-Esfera.
O principio básico para um modulador PWM é fazer com que uma variação de
amplitude se converta, de forma linear, em variação do tempo transcorrido entre dois
eventos.
A maneira mais tradicional de se fazer a modulação PWM é fazendo a comparação de
uma tensão de referência (Vref ) com uma onda triangular (Vtri ), simétrica ou assimétrica,
conforme indicado na FIG. 7.15. Enquanto a Vref for menor que a tensão mínima da Vtri ,
a tensão de saída do comparador (Vsc ) permanece em 0V (FIG. 7.15(a)), quando a Vref
estiver entre as tensões mínima e máxima da Vtri , a Vsc fica pulsando entre 0V e 24V
(FIG. 7.15(b)), e quando a Vref for maior que a tensão máxima da Vtri , a Vsc permanece
em 24V (FIG. 7.15(c)).
O driver PWM projetado para o Plataforma-Esfera é mostrado na FIG. 7.16. A
freqüência dos pulsos PWM é ajustada pelo trimpot de 50KΩ. A freqüência PWM é a
mesma freqüência da onda triangular (f) e está fixada em 100Hz.
Como este circuito só faz comparações com tensões positivas, é possível utilizar canais
D/A unipolares para as saídas do programa de controle do sistema. Porém, é necessário
lembrar que a tensão de saída, do controlador do sistema Plataforma-Esfera, varia entre -24V e +24V. Isso implica em utilizar uma função de transformação (FT) que faça
a equivalência dessa tensão com uma tensão que possa sair pela placa D/A. Como é
observada na FIG. 7.17, a FT desejada deve fazer a mesma transformação que a placa
PWM só que no sentido oposto. Portanto, encontrando a FT equivalente ao circuito
PWM e invertendo-a, tem-se a FT que deve ser usada no programa de controle. Contudo, observando-se a característica de transformação PWM, FIG. 7.18, nota-se uma
descontinuidade no gráfico do circuito PWM. Essa descontinuidade provoca os seguintes
problemas:
• Aproximar o gráfico por uma equação do 1o grau provoca diferenças grandes nas
respostas de baixas tensões;
147
• Aproximar o gráfico por duas equações do 1o grau provoca implementação de algoritmo de decisão de qual equação usar, aumentando o tempo de amostragem do
sistema.
Como as tensões de controle são baixas quando o sistema se aproxima do ponto de
equilíbrio optou-se por aproximar a curva do circuito PWM por duas equações do 1o
grau, que são:
• Tensões Negativas do circuito PWM
Vout = 8, 32.Vin − 21, 03
(7.9)
• Tensões Positivas do circuito PWM
Vout = 8, 10.Vin − 22, 07
(7.10)
Como dito anteriormente, achando-se as funções inversas das equações do circuito
PWM, obtém-se as FTs que devem ser usadas no programa de controle:
• Tensões Negativas do Sistema de Controle
Vin =
Vout +21, 03
8, 32
(7.11)
• Tensões Positivas do Sistema de Controle
Vin =
Vout +22, 07
8, 10
148
(7.12)
FIG. 7.15: Gráficos PWM.
149
FIG. 7.16: Driver PWM.
150
FIG. 7.17: Diagrama em Blocos do Percurso da Tensão de Controle Até o Motor.
FIG. 7.18: Característica de Transformação dos Drivers PWM
151
7.8 APÊNDICE 8: DETALHES DE PROGRAMAÇÃO DO APLICATIVO DE
CONTROLE DO SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA
7.8.1 AQUISIÇÃO DA POSIÇÃO DA ESFERA
Para a aquisição da imagem, pelo Image Acquisition Toolbox, é necessário configurar
inicialmente uma variável chamada de objeto de vídeo. Essa variável é responsável por
conter informações do tipo:
• Tipo de camera que será utilizada;
• Se a imagem será preto e branco ou colorida;
• Nível de resolução da imagem;
• Quantidade de quadros capturados cada vez que o objeto de video for solicitado;
• Como e quando o comando de Trigger será repetido.
A variável objeto de vídeo recebeu, na área de trabalho do MATLAB, o nome VIDEO
e foi configurada da seguinte maneira:
a) "VIDEO = videoinput(’winvideo’,1,’RGB24_160x120’);":
Dispositivo
genérico de aquisição de imagem do Windows colorido com definição de imagem de
160x120 localizado no primeiro endereço;
b) "set(VIDEO,’FramesPerTrigger’, 1);": Considerando que por definição, a
placa captura 10 quadros por sinal de Trigger, esta opção permite alterar para
apenas 1 quadro por sinal de Trigger, ganhado-se em precisão da posição da esfera
e redução do período de amostragem;
c) "set(VIDEO,’TriggerRepeat’, Inf );": Quantidade de repetições do sinal de
Trigger. Foi definido como infinito por não se saber quantas aquisições seriam
necessárias;
d) "triggerconfig(VIDEO,’manual’);": dispara o Trigger somente quando o comando for solicitado.
152
Uma vez configurado o objeto de vídeo, captura-se a imagem conforme a seguinte
seqüência de comandos:
a) "start(VIDEO);": Ativa o dispositivo de aquisição de imagem. Este comando é
obrigatório, pois sem ele o comando de aquisição não é executado;
b) "trigger(VIDEO);": Inicia a captura da imagem, depois de limpar a posição de
memória onde será guardada a imagem;
c) "TELA = getdata(VIDEO, 1);": Faz a aquisição de um quadro e guarda na
variável TELA;
d) "stop(VIDEO);": Desativa o dispositivo de aquisição de imagem. Este comando
é obrigatório e a sua não execução provocará erro e parada na próxima execução
do programa.
Após a aquisição da imagem, começa o processamento para obtenção das coordenadas
da posição da esfera.
A variável TELA contém um conjunto de 3 matrizes, correspondentes as cores R(red ),
G(green) e B(blue) da imagem adquirida. O processamento da imagem, para obtenção
das coordenadas da esfera, consome muito tempo e conseqüentemente aumenta o período
de amostragem, em média, de 120ms para cada matriz de cor que entrar no processamento. Por este motivo optou-se por trabalhar com apenas uma das matrizes de cores,
sendo a escolhida a matriz R.
Para calcular as coordenadas da posição da esfera na imagem obtida, usa-se o seguinte
algoritmo:
a) Faz-se uma varredura na matriz R elemento por elemento;
b) Determina-se o menor elemento da matriz, que corresponde ao ponto mais escuro
da tela. Coma esfera é preta esse mínimo estará no interior dela;
c) Considera-se uma tolerância de 20 % sobre o valor mínimo encontrado e este valor
será o limiar de decisão para determinar o contorno geométrico da esfera;
d) Uma vez determinado o contorno, passa-se para o cálculo do centro geométrico que,
por sua vez, fornece as coordenadas da esfera na imagem em pixel ;
153
e) Essas coordenadas em pixel são colocadas nas EQS. 7.25 e 7.26, do Apêndice 7.9,
de onde se obtém as coordenadas da posição da esfera em metros.
As coordenadas em metros, determinadas pelo algoritmo descrito, são usadas pelo
controlador para obter o sinal de controle para o sistema.
7.8.2 AQUISIÇÃO DO ÂNGULO DE INCLINAÇÃO DA PLATAFORMA
Para a aquisição do ângulo de inclinação da plataforma, pelo Data Acquisition Toolbox, é necessário configurar inicialmente uma variável chamada de objeto de entrada.
Essa variável é responsável por conter informações do tipo:
• A característica do conjunto de sinais de tensão a serem adquiridos;
• Quais canais serão adquiridos;
• Qual a taxa de amostragem por Trigger.
A variável de objeto de entrada recebeu, na área de trabalho do MATLAB, o nome
de AI (Analog Input) e foi configurada da seguinte maneira:
a) "AI = analoginput(’advantech’, 1);": Dispositivo de aquisição de dados da
ADVANTECH localizado no primeiro endereço.
b) "addchannel(AI,0:1);": Especifica os canais do dispositivo de aquisição de dados
que serão usados.
c) "set(AI.Channel([1 2]),’UnitsRange’,[-10 10]);": Escala dos dados adquiridos
em cada canal.
d) "set(AI.Channel([1 2]),’InputRange’,[-10 10]);": Intervalo em que os dados
adquiridos podem ocorrer.
e) "set(AI,’TransferMode’,’InterruptPerPoint’);": Os dados são individuais e
que serão transferidos para a memória por interrupções.
f) "set(AI,’TriggerType’,’Manual’);": Define que o sinal de Trigger será acionado
durante a execução do programa.
154
g) "set(AI,’SamplesPerTrigger’,1);": Considerando que por definição, a placa
captura 100 informações de cada canal por sinal de Trigger, esta opção permite
alterar para apenas 1 informação de cada canal por sinal de Trigger, ganhado-se
em precisão no ângulo de inclinação e redução do período de amostragem.
h) "set(AI,’TriggerRepeat’, Inf );": Quantidade de repetições do sinal de Trigger.
Foi definido como infinito por não se saber quantas aquisições seriam necessárias
até a estabilização do sistema.
Uma vez configurado o objeto de entrada, pode-se adquirir as tensões equivalentes
aos ângulos de inclinação conforme a seguinte seqüência de comandos:
a) "start(AI);": Ativa o dispositivo de aquisição de dados. Este comando é obrigatório, pois ele é responsável pela inicialização da placa de aquisição de dados.
b) "trigger(AI);": Execução manual do sinal de Trigger.
c) "XYangulo = getdata(AI);": Faz a aquisição da informação de cada canal e
guarda na variável XYangulo.
d) "stop(AI);": Desativa o dispositivo de aquisição de dados. Este comando é obrigatório e a sua não execução provocará erro e parada na próxima execução do
programa.
7.8.3 COMANDO DA INCLINAÇÃO DA PLATAFORMA
Para o comando dos motores pelo Data Acquisition Toolbox é necessário configurar
inicialmente uma variável chamada de objeto de saída. Essa variável recebeu, na área
de trabalho do MATLAB, o nome de AO (Analog Output) e foi configurada da seguinte
maneira:
a) "AO = analogoutput(’advantech’, 1);": Dispositivo de saída de dados da
ADVANTECH localizado no primeiro endereço.
b) "addchannel(AO,0:1);": Especifica os canais do dispositivo de saída de dados
que serão usados.
c) "set(AO,’SampleRate’,500);": Taxa de conversão de saída por canal.
155
Uma vez configurado o objeto de saída, pode-se gerar as tensões de comparação na
placa de saída de dados conforme a seguinte seqüência de comandos:
a) "data_0 = [TMX TMY];": Variável responsável por carregar o vetor de tensões.
b) "putdata(AO,data_0);": Informa ao objeto de saída qual o vetor de tensões
usado.
c) "start(AO);": Ativa o dispositivo de saída de dados. Este comando é obrigatório,
pois sem ele o comando de saída não é executado, deixando de gerar as tensões.
d) "pause(0.05);": Gera uma pausa conforme o valor especificado em segundos. A
utilização desse comando não é prevista pelo Data Acquisition Toolbox. Porém,
descobriu-se que sem ele a placa de saída de dados não conseguia gerar a tensão
desejada pois o tempo entre o comando de start e stop é muito pequeno, e não
permite que a placa de saída se ajuste.
e) "stop(AO);": Desativa o dispositivo de saída de dados. Este comando é obrigatório, a sua não execução provoca erro e parada na próxima execução do programa.
156
7.9 APÊNDICE 9: TRANSFORMAÇÃO DAS COORDENADAS EM PIXEL PARA
COORDENADAS EM METROS
Nesta seção é mostrado o desenvolvimento matemático que fornece as equações de
transformação das coordenadas em pixels para as coordenadas em metros.
É importante lembrar que:
• A imagem obtida pela câmera possui eixos coordenados diferentes dos eixos coordenados definidos para o sistema Plataforma-Esfera.
• A imagem possui coordenadas em pixel e o sistema precisa de coordenadas em
metros.
Portanto, o problema se divide em duas frentes de trabalho conhecidas. A primeira é
fazer a translação e a rotação dos eixos coordenados da imagem para o eixos do sistema.
A segunda é definir o fator de conversão pixel /metro.
A FIG. 7.19 é a base para se compreender o desenvolvimento a seguir.
FIG. 7.19: Eixos Coordenados da Imagem e do Sistema Plataforma-Esfera.
157
A seguir é mostrado o desenvolvimento das equações para a translação e rotação dos
eixos coordenados da imagem para os eixos coordenados do sistema.
Nos eixos coordenados da imagem temos:
XO0 (IMAGEM) =
(X1 +X4 )
2
Xesfera(IMAGEM) = Xpixel (conhecido)
YO0 (IMAGEM) =
(Y1 +Y2 )
2
Yesfera(IMAGEM) = Ypixel (conhecido)
(7.13)
(7.14)
(7.15)
(7.16)
Nos eixos coordenados do sistema temos:
Xesfera(SISTEMA) = Xesfera(IMAGEM) −XO0 (IMAGEM)
(7.17)
Yesfera(SISTEMA) = YO0 (IMAGEM) −Yesfera(IMAGEM)
(7.18)
Substituindo as EQS. 7.13 e 7.14 na EQ. 7.17, e EQS. 7.15 e 7.16 na EQ. 7.18,
obtemos as equações que fornecem as coordenadas da esfera em pixel :
(X1 +X4 )
2
(7.19)
(Y1 +Y2 )
−Ypixel
2
(7.20)
Xesfera(SISTEMA) = Xpixel −
Yesfera(SISTEMA) =
158
O próximo passo é definir o fator de conversão pixel /metro para o sistema. Na
realidade esse fator de conversão nada mais é que a resolução gráfica da imagem em
relação a unidade de medida metro, independente do sistema de coordenadas adotado e
de igual valor em qualquer um deles. Portanto, por inspeção da FIG. 7.19, tem-se:
µ
RESX =
µ
RESY =
(X4 −X1 )
0, 20
(Y1 −Y2 )
0, 20
¶
(7.21)
¶
(7.22)
A resolução gráfica também pode ser calculada da seguinte forma:
RESX =
Xesfera(SISTEMA)pixel
Xesfera(SISTEMA)metro
(7.23)
RESY =
Yesfera(SISTEMA)pixel
Yesfera(SISTEMA)metro
(7.24)
Substituindo as EQS. 7.19 e 7.21 na EQ. 7.23, e EQS. 7.20 e 7.22 na EQ. 7.24,
obtemos as equações de transformação das coordenadas em pixel para as coordenadas
em metros, que serão utilizadas pelo programa de controle:
³
³
Xpixel −
³
Xesfera = 
(X1 +X4 )
2
(X4 −X1 )
0,20
 ³³ (Y
Yesfera = 
1 +Y 2 )
2
³
´
´
´´ 

(7.25)
´
−Ypixel

´
(Y1 −Y2 )
0,20
(7.26)
É de necessidade saber que o equacionamento mostrado nesta seção só terá validade
se a imagem, obtida pela câmera, estiver calibrada. A calibração da imagem do sistema Plataforma-Esfera deve ser feita toda vez que o sistema for alterado fisicamente,
isto é, se o sistema for deslocado de posição, se mexerem na câmera, ou simplesmente
se esbarrarem no sistema. Para ser feita a calibração da imagem utilize o programa
CALIBRAÇÃO_IMAGEM.m disponível no CD anexado a este trabalho.
159
7.10 APÊNDICE 10: ATRITO DE ROLAMENTO OU RESISTÊNCIA DE
ROLAMENTO
Segundo SEELY (1958), se em uma roda, rolo ou esfera, que esteja suportando
uma carga vertical sobre uma superfície horizontal, for aplicada uma força horizontal,
por menor que seja, e esta desenvolver uma velocidade constante, significa que existe
outra força, resistente ao movimento, de mesma intensidade e de sentido contrário a
força aplicada. Esta força resistente ao movimento é chamada de atrito de rolamento ou
resistência de rolamento. Esse fato se deve ou pela superfície, imediatamente na frente da
roda, estar sendo deformada pelo peso do conjunto roda mais carga ou pela deformação
da roda devido ao peso da carga mais a força de reação da superfície horizontal.
A FIG. 7.20 mostra uma roda submetida a uma carga vertical P e a uma força F
horizontal que faz com que a roda se movimente com velocidade constante.
FIG. 7.20: Exemplo de Deformação Ocorrida no Atrito de Rolamento.
A força na superfície deformada é distribuída sobre a área de contato. A reação
resultante R da superfície na roda é aplicada no ponto B da área de contato e passa
pelo ponto O que é o centro da roda. Uma vez que sistema se encontra com velocidade
constante, as forças estão em equilíbrio permitindo aplicar a equação do equilíbrio no
ponto B:
X
MB = P × AB − F × OA = 0
160
(7.27)
Como a deformação da superfície é geralmente pequena, o segmento OA é aproximadamente igual ao raio da roda r. Usando esta aproximação e denotando o segmento
AB por "a", o valor de F é encontrado a partir da EQ. 7.27, sendo reescrita da seguinte
forma:
F=
P.a
r
(7.28)
O componente horizontal da reação R é igual a F e é chamado de resistência de
rolamento ou de atrito de rolamento. A distância "a" é chamada às vezes de coeficiente
da resistência de rolamento. Entretanto, desde que "a" é uma quantidade linear e não
um adimensional, não pode ser considerado um coeficiente verdadeiro. O valor de "a"
é geralmente expresso em unidades de comprimento. Porém, as leis da resistência de
rolamento não são bem estabelecidas, e há uma necessidade de uma investigação mais
profunda sobre este assunto. Coulomb supôs que o coeficiente da resistência de rolamento
é independente do raio da roda. O teste por Dupuit indica que este coeficiente varia
como a raiz quadrada do diâmetro. Se a conclusão de Dupuit está correta ou não, parece
razoável supor que do coeficiente depende do diâmetro da roda. Os valores levantados
desse coeficiente, por vários pesquisadores, não são próximos uns dos outros. Portanto,
devem ser usados com cuidado.
A força de atrito de rolamento poderá ser inserida na dinâmica do sistema
Plataforma-Esfera modificando-se as EQS. 2.11, 2.12 e 2.13. Contudo, antes desta modificação, deverá ser feito um levantamento do coeficiente "a" para os materiais usados na
esfera (borracha) e na superfície da plataforma (papel).
Faz-se necessário lembrar que a dinâmica do atrito de rolamento não foi inserida
no modelo utilizado neste trabalho. A intenção deste apêndice é fornecer apenas informações iniciais sobre o assunto, para trabalhos futuros que venham a utilizar o sistema
Plataforma-Esfera.
161