Automação e Controle IPT 2008 AGENOR DE TOLEDO FLEURY Centro Universitário da FEI E-mail: [email protected] Escola Politécnica da USP E-mail: [email protected] Automação e Controle IPT 2008 DIA Quarta 10 junho Quarta 17 junho Sexta 19 junho Quarta 24 junho Quarta 02 julho Sexta 04 julho Quarta 16 julho Quarta 23julho Quarta 30julho Quarta 06 agosto Quarta 13 agosto Quarta 20 agosto Quarta 27 agosto Sexta 29 agosto Quarta 03 setemb TEMA Introdução; Proposta do Curso; Conceitos de Automação e Controle; Realimentação História; Estágio Atual: Pesquisa e Prática; Simuladores Sistemas Dinâmicos: Conceitos e Técnicas de Modelagem Sistemas Contínuos e Discretos. Simulação (Matlab e Scilab) Simulação: Sistemas Discretos e Contínuos. Exemplos. Modelagem, incluindo Redes Neurais e Lógica Fuzzy Controladores Industriais tipo PID (Pneumáticos, Hidráulicos, Eletrônicos); Projeto e Sintonia de Controladores PID Controle por Computador (Vars. Estado – Alocação) Controle por Computador (LQ) Controle Adaptativo (DMC, GPC, IMC) Controle sob Incerteza (LQG) Controle Robusto (LQG/LTR, H, LMI) Sistemas Supervisórios e de DiagnósticoQuarta Apresentação de Trabalhos Finais AUTOMAÇÃO E CONTROLE Existe uma separação clara entre os conceitos de Automação e Controle? Meu ponto de vista separa três conceitos, muito próximos: - Informatização: obtenção de sequências de dados relativos a um dado processo que permitam tomar uma decisão. Exs: investidor no mercado de ações, estação de meteorologia. - Automação: geração de uma sequência de ações que permitam realizar um dado processo, baseado apenas em informações de início e fim de uma ação (eventos discretos). Exs: máquina de lavar roupa, portão de garagem de prédio. - Controle: decisão sobre uma ação (ou sequência de ) baseada na diferença (erro) entre a informação medida no processo e a informação desejada.Exs: dirigir um automóvel, piloto automático de um avião, controle de temperatura de forno. AUTOMAÇÃO E CONTROLE Esses 3 conceitos têm 4 elementos básicos comuns: - um sistema de informações /medições (um relógio pode ser incluido como elemento de informação) - um sistema de tomada de decisões (o cérebro, um algoritmo programado para comparações, etc) - um sistema de atuação (o que tenta, com maior ou menor grau de influência, executar a decisão) - um sistema dinâmico que alimenta os anteriores (o automóvel, o avião, a máquina de lavar, o mercado de ações), o OBJETO do sistema de automação e controle PLANTA, SISTEMA AUTOMAÇÃO E CONTROLE REPRESENTAÇÃO EM DIAGRAMAS DE BLOCOS Informatização Saídas Ação Tomada de Decisão Processo/Planta Informações AUTOMAÇÃO E CONTROLE REPRESENTAÇÃO EM DIAGRAMAS DE BLOCOS Automação Saídas Ação Relógio Tomada de Decisão Processo/Planta AUTOMAÇÃO E CONTROLE REPRESENTAÇÃO EM DIAGRAMAS DE BLOCOS Controle Referências Erros Tomada de Decisão Ações Informações Saídas Processo/Planta AUTOMAÇÃO E CONTROLE Um segundo ponto, sempre obscuro na literatura, é a distinção entre controle de processos e servomecanismos: não vale a pena discutir! CONTROLE DE PROCESSOS / REGULAÇÃO Não há mudança na Referência ao longo do tempo (set-point fixo) Referência ou Set-Point Erros Tomada de Decisão Ações Informações Processo/Planta Saídas AUTOMAÇÃO E CONTROLE Se a Referência não muda, para quê o bloco de tomada de decisões? Em qualquer sistema existem efeitos não previstos ou não incluidos na análise -> PERTURBAÇÕES Perturbações Referência ou Set-Point Erros Tomada de Decisão Ações Informações Processo/Planta Saídas AUTOMAÇÃO E CONTROLE Exs.: Avião em vôo de cruzeiro – rajadas; temperatura numa sala – dia/noite SERVOMECANISMOS -> Seguimento, Acompanhamento A referência é variável ao longo do tempo (set-point variável) Exs: Robô; Centro de Usinagem; Mudança do Volume produzido num Reator, etc. AUTOMAÇÃO E CONTROLE Um curso com foco em Projeto de Automação e Controle deve abordar: - Modelagem Estudo do sistema (planta) que se pretende controlar: sua dinâmica, definição das variáveis de interesse, relações entrada-saída, especs; - Sensores Como medir as variáveis de saída escolhidas - Atuadores Como modificar o sistema através de ações externas sobre ele - Análise e Síntese de Controladores Estratégias capazes de lidar com a complexidade do sistema (planta), sensores e atuadores e garantir que o sistema em malha fechada tenha o desempenho especificado. AUTOMAÇÃO E CONTROLE PROPOSTA DO CURSO (GRANDES ITENS) Modelagem Variáveis de Estado, Representação Complexa (Funções de Transferência), Redes Neurais, Modelos de Regras (Controle Fuzzy), Equivalências, Exemplos Controladores Industriais PID, PI, PD, On-Off, Hidráulicos, Pneumáticos, Eletrônicos Técnicas de Análise e Projeto Critérios de Estabilidade: Routh, Lugar das Raízes, Diagramas de Bode, Compensadores, Técnicas de Sintonia, Robustez. Controle Moderno Controlabilidade e Observabilidade, Projeto por Alocação de Pólos, Projeto LQ, Observadores de Estado, Projeto LQG, Controladores Robustos, Controladores Adaptativos AUTOMAÇÃO E CONTROLE AVALIAÇÃO - Projeto em Grupo - Uso de Softwares de CACSD (Matlab, Scilab) - 2 avaliações: meio (informal) e final de curso BIBLIOGRAFIA - Notas de Aula -Friedland -Liptak -Stephanopoulos -Coughanwour AUTOMAÇÃO E CONTROLE 1. 2. 3. 4. OS 4 OBJETIVOS DE UM SISTEMA DE CONTROLE Estabilizar plantas originalmente instáveis. Ex.: foguete, pêndulo invertido Conformar a resposta dinâmica ( no tempo). Ex.: controle de temperatura de um reator (estável, mas lento em malha aberta) Rejeitar perturbações. Exs.: rajada num avião; mudança dos coeficientes de troca de calor num reator; insumos no mesmo reator Seguir referências. Exs.: antena rastreando um avião; mudança das temperaturas no interior de um reator para seguir processo químico AUTOMAÇÃO E CONTROLE OS 4 OBJETIVOS –Continuação Não existe como projetar um sistema de controle capaz de satisfazer simultaneamente todos os objetivos. Em geral, projeta-se o sistema de modo a satisfazer os 2 primeiros requisitos (estabilidade e desempenho); Na sequência, verifica-se o comportamento do sistema quanto a rejeição de perturbações e quanto ao acompanhamento de referência; O procedimento é repetido até que uma solução de compromisso entre as especificações de desempenho, perturbações e seguimento seja obtido. AUTOMAÇÃO E CONTROLE UM POUCO DA HISTÓRIA DO CONTROLE Relógios d’Água China (500 AC) Roma A Porta de Hero (Egito) Moinhos de Vento A Incubadora de Drebble (1624) No entanto, atribui-se o início das tecnologias de controle ao aparecimento do Pêndulo de Watt AUTOMAÇÃO E CONTROLE AUTOMAÇÃO E CONTROLE UM POUCO DA HISTÓRIA O Pêndulo de Watt (~1750) AUTOMAÇÃO E CONTROLE James Maxwell (1868) A Era da Transição (1850-1940) Lyapunov(início do século XX) A Ciência de Controle (1940-1960) Nyquist e o grupo do MIT 2ª Guerra Mundial: Controle de Tiro Fabricação por CNC Centrais de Operação (1957, industria química) O Controle Moderno (1960-.....) Rudolph Kalman AUTOMAÇÃO E CONTROLE Estágio Atual Pesquisa: Técnicas Robustas, Sistemas Não-Lineares, Expansão para as mais variadas aplicações (Biotecnologia, Medicina, etc.) Prática: Integração em todos os níveis, usando meios eletrônicos – métodos modernos nos sistemas com tecnologias de ponta; métodos tradicionais nas industrias consolidadas. AUTOMAÇÃO E CONTROLE Os vários níveis de Automação e Controle AUTOMAÇÃO E CONTROLE O MECANISMO DA REALIMENTAÇÃO Nenhum mecanismo é mais disseminado na natureza ou na tecnologia que a realimentação. Exs: - Temperatura do corpo, regulada em décimos de °C ou menos, mesmo quando a temperatura ambiente varia 50°C; - Um ser bípede, como o homem, pode andar sem cair; - Dirigir um carro (realimentação e pré-alimentação). Para discutir a realimentação, consideremos: processo u entrada H Y saida AUTOMAÇÃO E CONTROLE Introduzindo um comparador e um amplificador: Yd Saida desejada + Yd-y K u H Y saida real - Suponha que o processo possa ser representado por uma relação algébrica simples: y=Hu AUTOMAÇÃO E CONTROLE O erro será: e = yd – y e o amplificador é tal que u=Ke Então, y = K H e = K H (yd – y) , de onde: y = ( H K/(1 + H K)) yd Quando K, ganho do amplificador, é grande o suficiente para que HK>>1: y ~= yd AUTOMAÇÃO E CONTROLE Satisfeitas todas as hipóteses : - a saída y acompanha exatamente a entrada yd; - o resultado vale para qualquer saída desejada yd; - o resultado vale para qualquer processo H. Problema: um processo nunca é representado por um H algébrico um processo é sempre dinâmico. Exemplo simples: a saída de H é uma réplica da entrada a não ser por um pequeno atraso . AUTOMAÇÃO E CONTROLE y (t ) u (t ) Y(t)=u(t-) u(t) t AUTOMAÇÃO E CONTROLE u (t ) Ke(t ) K y d (t ) y(t ) y(t ) K yd (t ) y(t ) Entrada em degrau Yd(t)=0 , t<0 Yd(t)=1 , t>0 Com isso: u(t)=K(1-0)=K , 0<t<, y(t)=K , <t<2 AUTOMAÇÃO E CONTROLE Na sequência: u(t)=K(1-K)=K-K2 , <t<2 y(t)=K-K2 , 2<t<3 . . y(t)=K-K2+K3-K4+...+(-1)n-1Kn-1, n<t<(n+1) O que ocorre? - K<1 , limt->y(t)=K-K2+K3-K4+...=K/(1+K) - K=1 , y(t)=0 ou y(t)=1 - K>1, limt->y(t)= AUTOMAÇÃO E CONTROLE Como sempre existe algum atraso em qualquer processo, K só pode ser <1, neste exemplo, independente do atraso. Nos sistemas da Engenharia: - H, dinâmica do sistema, nunca é constante; - K não é um amplificador e sim, um compensador ou, mais comumente, um controlador, cujo projeto corrige as distorções do sistema. Automação e Controle MODELAGEM Automação e Controle “Dizer que a Engenharia é uma ciência exata é, certamente, uma afirmação não exata”. Começamos a falar sobre Modelagem de Sistemas Dinâmicos com a brincadeira acima que reflete uma maneira diferente de encarar a Engenharia, fora dos livrostexto que mostram, na sua quase totalidade, os exemplos com uma única resposta ou um único encaminhamento. Quem pratica Engenharia sabe que projetar, desenvolver, construir, testar e colocar em operação um sistema qualquer (automóvel, avião, máquina, reator químico, forno siderúrgico, etc, etc) envolve, ao contrário da forma fechada dos problemas dados na graduação, tomar decisões. Automação e Controle Decisões podem ser tomadas com base na intuição (assim evitamos falar em “chute”), com base nas experiências prévias (se existirem) ou com base em modelos, muitos deles advindos das experiências prévias. Isso vale para os sistemas da Engenharia, mas vale também para toda e qualquer atividade humana: O Big Bang e a criação do Universo? A lei da atração dos corpos (Newton) e as forças que variam com o inverso da distância ao quadrado? Isso não é exato, mas, essencialmente funciona razoavelmente dentro dos limites que conseguimos imaginar e, eventualmente, medir... .A medicina usa sintomas para chegar a um diagnóstico; a psicologia classifica as pessoas pela observação de seus comportamentos. São modelos empíricos, baseados na experiência e só eventualmente quantificados, mas são modelos. Automação e Controle Para o Engenheiro, no sentido estrito do termo, conhecer e ser capaz de criticar as limitações dos modelos que deverá usar para desenvolver um projeto é requisito essencial. Para se diferenciar como Engenheiro, terá também que ser capaz de criar modelos para as situações não encontradas e/ou não disponíveis. Não é uma tarefa fácil. Escolas de Engenharia, em qualquer parte do globo, não estimula pensar em como os sistemas, no mundo real, se encadeiam ou podem se encadear. Para não parecer puro delírio, é importante destacar que ao menos duas iniciativas multinacionais estão em curso na Europa partindo das mesmas premissas: Automação e Controle Projeto Dynlab, que tem sua sede na Universidade Tcheca de Tecnologia, em Praga, capital da República Tcheca, e envolve outras 5 universidades e industrias na Alemanha, Inglaterra, Irlanda e Suécia, suportado pela Comunidade Européia; Projeto Modelica, sediado no conceituadíssimo Instituto Lund de Tecnologia, na Suécia, já com uma comunidade cativa de associados. Os dois projetos se propõe a criar e desenvolver cursos e linguagens de Modelagem, Simulação e Controle que permitam unificação e ensino à distância num assunto que seus idealizadores reputam crucial para o desenvolvimento acadêmico e industrial da Europa . como um todo Automação e Controle “O tema Dinâmica e Controle permeia todos os aspectos da tecnologia moderna e desempenha papel determinante na competição global pelo mercado de produtos de engenharia. Sua importância aumenta com as exigências sempre crescentes por velocidade operacional, eficiência, segurança, confiabilidade ou proteção ambiental. Várias autoridades nacionais e empresários na Europa, entretanto, mencionam falta de pessoal bem qualificado nesses campos assim como o crítico declínio global do interesse em estudos de engenharia entre os jovens. Associações profissionais solicitam mudanças radicais no currículo de engenharia e abordagens inovativas no treinamento vocacional. Os cursos existentes são criticados nominalmente por desencorajar os jovens em relação à engenharia pela excessiva sobrecarga em teorias e/ou em matemática, à custa da redução da ênfase nos aspectos práticos da profissão. Dinâmica é ministrada em diversos cursos separados ao longo das fronteiras entre as disciplinas tradicionais da engenharia apesar do fato de que a maioria dos produtos atuais da engenharia são de natureza multidisciplinar. Cursos de Controle são criticados por apresentarem apenas problemas tipo “livro-texto”, manipulados para encaixar a teoria sem levar em conta a modelagem realista dos sistemas sob controle. Automação e Controle Computadores são quase sempre usados para trabalhar velhos exercícios sem modificações profundas do currículo de forma a incorporá-los de maneira a explorar totalmente suas capacidades computacionais atuais.” Herman Mann, coordenador do Projeto Dynlab O QUE EU PRECISO MODELAR ? Um automóvel, um avião ou uma máquina de usinagem são exemplos de sistemas em que vários subsistemas são afetados por diferentes formas de acúmulo, fluxo e troca de energias provenientes de diversas fontes. No entanto, se o interesse estiver centrado no projeto de um sistema, como uma nova suspensão de um veículo de passeio, a dinâmica de trocas de calor ou de variações de temperatura dentro do motor podem ser desprezadas. Em outras palavras, acúmulos, fluxos ou trocas de energia térmica do motor e dea outras partes do automóvel têm pouco ou nenhum significado na dinâmica da suspensão Automação e Controle Da mesma maneira, trocas de calor dentro da cabine têm pouca ou nenhuma influência sobre a dinâmica da trajetória, em translação e rotação, de um avião comercial. Por outro lado, a superfície (pista) por onde o veículo deve trafegar é fundamental para o projeto da suspensão, seja a suspensão ativa ou passiva, para um carro de passeio ou um fora de estrada. Também, a dinâmica da atmosfera tem de ser levada em conta na forma de modelos de rajadas no projeto do avião, no seu chamado envelope de vôo. O primeiro passo no processo de Modelagem (crucial, fundamental, indispensável) é identificar o sistema, separar entradas e saídas e levantar os processos externos que podem ser desprezados. Isso corresponde a propor um MODELO FÍSICO do sistema ou do fenômeno que se pretende estudar. Automação e Controle IPT 2008 Uma conceituação de SISTEMA Fronteira ENTRADAS SISTEMA SAÍDAS Interação AMBIENTE Automação e Controle IPT 2008 Formas de interação sistema-ambiente: Entradas (do ambiente para o sistema) Saídas (do sistema para o ambiente) Saídas correspondem às respostas do sistema às entradas. Com isso, diz-se que um SISTEMA DINÂMICO é aquele para o qual uma entrada variante no tempo implica modificação na forma da saída. SISTEMA : parâmetros e estados ENTRADAS : controle e perturbações Automação e Controle IPT 2008 y . x f ( x, y , ) z Aplicações: PROJETO: dados y e z, avaliar ; PRÉ-OPERAÇÃO OU OPERAÇÃO (Simuladores): obter z dados y e , ou, obter y dados z e (é necessário modelo dinâmico, eqs movimento); CONTROLE DE PROCESSOS: dado , manter y e z iguais a valores ou funções de referência; OTIMIZAÇÃO (ESTÁTICA OU DINÂMICA): achar y e z tais que a função objetivo (x,y) seja máxima ou mínima, com g(x,y,z, )<0. Automação e Controle IPT 2008 A ARTE DA MODELAGEM Máxima Suprema no Projeto de Controle: “Todo controlador é tão bom quanto bom é o modelo que representa a dinâmica do sistema que se pretende controlar” (Friedland, 87; Eykhoff, 94, entre outros). Em outras palavras: Modelo Bom Possíveis bons controladores Modelo Ruim Controladores ruins Automação e Controle IPT 2008 O QUE É MODELO? Síntese de todo o conhecimento que se dispõe sobre o fenômeno ou sistema em estudo (MODELO FÍSICO) Equações diferenciais (cinética); Funções de Transferência; Redes Neurais Treinadas; Conjuntos de Regras não são Modelos Físicos. São a representação matemática ou lógica do Modelo Físico. Essa distinção é vital em Automação e Controle. Automação e Controle A ARTE DA MODELAGEM Máxima Suprema no Projeto de Controle: “Todo controlador é tão bom quanto bom é o modelo que representa a dinâmica do sistema que se pretende controlar” (Friedland, 87; Eykhoff, 94, entre outros). Em outras palavras: Modelo Bom Possíveis bons controladores Modelo Ruim Controladores ruins Automação e Controle IPT 2008 Fase de Projeto Perturbações Referência MODELO Controlador Sensores Fase de Implementação Perturbações Referência Controlador PLANTA Sensores Automação e Controle IPT 2008 Após projeto, o controlador implementado continua a enxergar o modelo da fase de projeto e não a planta. Se o modelo não for aderente à planta, não há o que fazer para conseguir convergência (estabilidade). Sofisticar a estratégia de controle é, em geral, inútil, a menos que haja um esquema de adaptação (aprender o modelo) acoplado. Onde está a arte de modelagem em projetos de Engenharia? Automação e Controle IPT 2008 ANÁLISE/SÍNTESE CRIAÇÃO Modelo Físico Modelo Matemático Parâmetros Iniciais Redefinir parâmetros Análise Fenômeno Sistema N Satisfaz? Projeto S S Otimizar? FIM Automação Controle etc Automação e Controle IPT 2008 CONSTRUÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS F ma,V Ri,... Sistema/Modelo Físico Leis Físicas Identificação Modelo Automação e Controle IPT 2008 Tipos de Modelos Matemáticos - Estáticos (Regime Permanente) X Dinâmicos - Contínuos (Tempo - Variáveis de Estado, Equações Diferenciais ou Freqüências - Transf. Laplace, Funções de Transferência) X Discretos (Tempo - Variáveis de Estado, Equações de Diferenças ou Freqüências - Transformada Z, Funções Amostradas) - Lineares X Não Lineares - Parâmetros Concentrados (EDO) X Parâmetros Distribuidos (EDDP) - Determinísticos X Probabilísticos - Eventos Discretos X Mudanças Orientadas Automação e Controle IPT 2008 ALGUNS EXEMPLOS DE MODELAGEM DE SISTEMAS DA ENGENHARIA Automação e Controle IPT 2008 SISTEMAS LINEARES - EXEMPLOS Suspensão Ativa - 1/4 carro - 2 Graus de Liberdade Só Vertical Entradas? Saídas? Automação e Controle IPT 2008 Equações de movimento: .. . . M 1 x1 b1 ( x1 x 2 ) K1 ( x1 x2 ) U .. . . . . M 2 x 2 b1 ( x1 x 2 ) K1 ( x1 x2 ) b2 ( w x2 ) K 2 ( w x2 ) U Variáveis de entrada: w, perfil da pista (perturbação); U, força de controle Variáveis de saída: deslocamentos no carro ou aceleração no chassis ou .... (escolher entre as 6 ou combinação delas!) Automação e Controle IPT 2008 SISTEMAS LINEARES - EXEMPLOS Carro inteiro Movimentos? Automação e Controle IPT 2008 Automação e Controle IPT 2008 SISTEMAS NÃO LINEARES Movimento do avião é não-linear; tratamento em envelopes (cruzeiro, subida, descida, etc) com dinâmica linear Automação e Controle IPT 2008 CONTROLE DO FLAP DE UM AVIÃO Automação e Controle IPT 2008 A dinâmica do sistema hidráulico é muito mais rápida que a dinâmica do avião; Para o avião, a mudança no flap (entrada) pode ser considerada instantânea; O sistema de comando (manche) da cabine é muito mais rápida que o hidráulico; Na análise do sistema hidráulico, a dinâmica importante é a da válvula; Para a válvula, considera-se escoamento incompressível em orifício com área variável. Automação e Controle IPT 2008 Corte de uma válvula hidráulica de controle Automação e Controle IPT 2008 Automação e Controle IPT 2008 Analogia Elétrica - Ponte de Wheatstone Qs Q2 Q1 QL carga Ps Q4 Qs Q3 Automação e Controle IPT 2008 Posição neutra: xv=0 - posição simétrica do carretel Da análise da Ponte: QL=Q1-Q4 ; QL=Q3-Q2 PL=P1-P2 Vazões nos orifícios: Q1 Cd A1 2( Ps P1 ) Q3 .....;Q4 ..... Q2 Cd A2 2( Ps P2 ) Automação e Controle IPT 2008 As áreas dependem do deslocamento do carretel: A1=A1(xv); A2=A2(-xv); A3=A3(xv); A4=A4(-xv) Temos, então, 13 incógnitas e 11 equações (2 de vazão, 1 de pressão, 4 de escoamento e 4 de área). O que queremos é a EQUAÇÂO DA VAZÃO em função da posição da válvula e da pressão na carga, ié: QL=QL(xv, PL) Simplificações normalmente aceitas para solução do sistema: orifícios simétricos e acoplados: A1=A3; A2=A4; A1(xv)=A2(-xv); A3(xv)=A4(-xv) as áreas variam linearmente com a posição do carretel: Ai=xv; i=1,..,4 Automação e Controle IPT 2008 Com isso, resulta: QL Cd A1 Ps PL Cd A2 Ps PL Para se fazer análise dinâmica, é necessário linearizar em torno de um ponto de operação conhecido (em geral, xv=0): QL QL QL QL1 xv PL (2) xv PL Automação e Controle IPT 2008 Definindo GANHO DE VAZÃO, Kc: QL Kc xv e o COEFICIENTE VAZÃO-PRESSÃO, KP: QL Kp xv resulta a Equação da Válvula: QL Kc xv K p PL Automação e Controle IPT 2008 SISTEMAS NÃO LINEARES - Um 2º exemplo Suspensão Magnética de uma Esfera Automação e Controle IPT 2008 Experimento muito utilizado no desenvolvimento de mancais magnéticos, trata da suspensão de uma esfera metálica. O sistema é não-linear e instável em malha aberta, isto é, só funciona se houver um controlador no sistema. As equações de movimento podem ser obtidas de: -Lei de Newton ou Teorema do Movimento do Baricentro para a esfera ki2/x2 2 ki m x 2 mg x .. x m mg Automação e Controle IPT 2008 - Lei de Kirschoff para circuitos elétricos: R VL VR V (t ) L di Ri V dt L V i A entrada desse sistema é a tensão elétrica V(t). A saída de interesse é a posição da esfera x(t). Nas equações de movimento, x e V estão relacionadas pela corrente i(t). Automação e Controle IPT 2008 Para se obter uma relação entre x e V, é preciso eliminar i. Como? No sistema não linear essa passagem é complicada! Se o sistema for linearizado, as relações ficam bem mais simples. Linearizando em torno de x1eq = 0,5 m; x2eq = 0; x3eq = (Mgx1eq)0,5, e considerando apenas pequenos deslocamentos da esfera, as equações de movimento, em Espaço de Estados, são: x1 0 . g x2 x1eq . x3 0 . 1 0 0 0 2 g Mx1eq R L x1 0 x 0 V 2 1 x3 L Automação e Controle IPT 2008 SISTEMAS COM PARÂMETROS DISTRIBUIDOS - TROCADOR DE CALOR CASCO E TUBO Vapor Liquido Tz+z Tz T1 T2 z Vapor z Automação e Controle IPT 2008 Temperatura do fluido varia com o tempo e com a coordenada z entre as temperaturas de entrada e saída, T1 e T2 . Procura-se um modelo para a variação da temperatura T do fluido. Para simplificar, admite-se que não há variação de temperatura no sentido radial. BALANÇO DE ENERGIA: Acumulação de entalpia durante t = Fluxo de entrada de entalpia durante Δt + Entalpia transferida do vapor para o liquido através da parede Fluxo de saída da entalpia durante Δt Automação e Controle IPT 2008 C p zT (t t ) T (t ) C pVAT ( z )t Qt (Dz ) C pVAT ( z z )t com: - Q, quantidade de calor do vapor para o liquido por unidade de tempo e por unidade de área de troca de calor; - A, área da seção transversal do tubo interno; - V, velocidade do liquido, admitida constante; - D, diâmetro externo do tubo interno; - ρ, densidade do fluido; - Cp, calor específico a pressão constante. Dividindo os dois lados por Δz. Δt e levando ao limite para Δz 0 e Δt 0: Automação e Controle IPT 2008 T T C p A C p AV DQ t z Usa-se aproximar: Q U (Tvapor T ) onde U, coeficiente global de troca de calor entre vapor e liquido; Tvapor, temperatura do vapor saturado. Chega-se, então, a: T T C p A C p AV DU (Tvapor T ) t z Automação e Controle IPT 2008 Essa é uma Equação Diferencial a Derivadas Parciais, de 1ª ordem, linear e não homogênea (existe um termo forçante); A solução de uma EDDP como essa sempre existe através de Separação de Variáveis; A solução se forma através de exponenciais negativas (o que diz a intuição?) Pode-se procurar soluções numéricas através de códigos de Volumes Finitos, Diferenças Finitas, CFD’s, etc. Automação e Controle IPT 2008 SISTEMAS COM PARÂMETROS DISTRIBUIDOS - Braço de robô: m ω Sistema com parâmetros distribuidos: Automação e Controle IPT 2008 m x P(x,t) Modelo de Euler-Bernoulli para uma viga: desconsidera y inércia de rotação, deformação por cisalhamento e amortecimento estrutural 2 x 2 2 y 2 y EI ( x) 2 mv ( x) 2 P( x, t ) x t com: E, módulo de elasticidade; I(x), momento de inércia da seção transversal; mv(x), massa distribuida por unidade de comprimento Automação e Controle IPT 2008 Claro que só se vai lidar com modelos desse grau de complexidade se houver necessidade de respostas muito precisas (controle de painéis e robôs em satélites, por exemplo). Aproximações: 1. Técnicas sofisticadas como o Método dos Elementos Finitos; 2. Concentração de parâmetros (lumping), por intuição: - Preservar o efeito da viga vibrando por massas e molas equivalentes k1 m1 k2 m2 kn m mn k n+1 Automação e Controle IPT 2008 - Concentrar em pouquíssimas massas e molas k1 m1 m k2 - Considerar apenas o efeito elástico da viga, vista como uma mola equivalente keq m A forma de fazer concentração de parâmetros é totalmente dependente do problema em estudo e reflete na precisão dos resultados. Automação e Controle IPT 2008 Para encerrarmos este capítulo introdutório, é importante destacar novamente a associação da qualidade dos modelos com as precisões que se pretende atingir. LIMITE DE CONHECIMENTO Exemplo- Sistemas Inerciais (Giroscópios e Acelerômetros) O valor de cada leitura corresponde ao valor indicado no instrumento mais algo como 17 termos de correção (modelo); testes exaustivos DESCONHECIMENTO DO FENÔMENO FÍSICO Exemplo - Amortecedor de Nutação, transição de escoamentos IMPOSSIBILIDADE DE MEDIÇÃO Não há instrumentação disponível-> software sensors, sensorless Exemplo- Processos Bioquímicos
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