Geometria das Abelhas: uma forma de abordar geometria no
Ensino Médio
Leticia Cavaglieri1 ([email protected])
Melissa Meier2 ([email protected])
Neiva Teresinha Badin3 ([email protected])
Introdução
O objetivo deste trabalho é apresentar uma proposta de oficina para o ensino de
geometria no ensino médio através da associação com as abelhas. O trabalho foi idealizado na
disciplina de Laboratório de Prática de Ensino-Aprendizagem II do 8º período do curso de
Licenciatura em Matemática. O objetivo era desenvolver uma oficina que deveria ser aplicada
duas vezes, com turmas do ensino médio, na primeira aplicação a oficina seria assistida por
outro acadêmico que deveria fazer sugestões para melhorar possíveis falhas, a oficina seria
então novamente aplicada, agora com as mudanças e deveria obter um melhor resultado do
que a primeira aplicação.
A intenção era elaborar uma oficina que trabalhasse com conceitos matemáticos
utilizando como base um assunto que fosse do conhecimento dos alunos, que eles pudessem
ver no seu cotidiano e que lhes despertasse curiosidade. Para isto utilizou-se uma base de
modelagem matemática indo “além das simples resoluções matemáticas, muitas vezes sem
significado para o aluno, e leva-lo a adquirir uma melhor compreensão tanto da teoria
matemática quanto da natureza do problema a ser modelado.” (BIEMBENGUT; HEIN, 2011,
p.18).
O conteúdo escolhido para o oficina foi geometria, a ideia era trabalhar com algo que os
alunos conhecessem ou pudessem buscar aprender um pouco mais, decidiu-se que o tema
seria abordado através da geometria das abelhas, assunto que os alunos de alguma forma
conhecem, trabalhando com os conceitos de área e volume e com máximos e mínimos.
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Primeiro autor – acadêmico responsável pelo trabalho.
Orientadora do trabalho.
Orientadora do trabalho.
Instituto Federal Catarinense
Câmpus Camboriú
Licenciatura em Matemática
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Planejamento
A oficina foi uma adaptação do guia de acompanhamento do vídeo “Abelhas
Matemáticas” disponível no site Matemática Multimídia de recursos educacionais da
Unicamp. As atividades desenvolvidas são baseadas em informações fornecidas pelo vídeo,
trabalhando de maneira prática as informações fornecidas em linguagem matemática no
vídeo.
Objetivo
O objetivo da oficina era que os alunos conseguissem compreender a relação de área e
volume nos prismas, através da comparação experimental, relacionando posteriormente com
os cálculos. Passar um conceito inicial de máximos e mínimos e com a ajuda do vídeo
conhecer uma parte histórica deste conteúdo matemático.
Estratégia
As atividades desenvolvidas na oficina serão realizadas em grupos, o ideal é que a
turma seja dividida em seis grupos, mas podem-se montar grupos de acordo com a
necessidade da turma, sendo necessário apenas adequar o número de materiais distribuídos na
turma.
Para iniciar a oficina será apresentado o vídeo “Abelhas Matemáticas” que conta um
pouco sobre as abelhas e apresenta a explicação do porque da utilização dos hexágonos para
construção dos alvéolos, tratando da ideia de gastar o mínimo de cera para guardar o máximo
de mel, com conceitos matemáticos e explicação histórica. Serão trabalhados com os alunos
dois conceitos principais apresentados no vídeo, o ladrilhamento e o volume do prisma.
Após apresentar o filme fazer dois questionamentos para os alunos, as respostas destas
questões serão encontradas com a realização das atividades. As questões serão do tipo:

Como estocar o maior volume de mel utilizando a menor quantidade de cera
possível para construir os alvéolos?

Por que as abelhas utilizam os hexágonos?
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A partir destas questões, apresentar aos alunos a primeira atividade a ser realizada.
Como visto no vídeo a ideia é que as abelhas utilizam a menor quantidade de cera para
fabricar os alvéolos, para isso é necessário que não existam espaços entre os alvéolos, sabe-se
que os hexágonos utilizados pelas abelhas não deixa este espaço, mas deseja-se descobrir se o
mesmo acontece com outros polígonos. Para isto será realizada a primeira atividade, o
ladrilhamento.
Para fazer o ladrilhamento cada grupo irá receber um molde de um polígono regular
diferente (triângulos equiláteros, quadrados, pentágonos, hexágonos, heptágonos e
octógonos), deverá recortar em uma cartolina pelo menos dez deste polígono para fazer o
ladrilhamento, neste os polígonos iguais devem se encaixar sem espaços vazios ou
sobreposições. Os alunos devem observar que a ladrilhamento é possível com triângulo,
quadrado e hexágono e não é possível com os outros.
Figura 1: Ladrilhamento com figuras geométricas
Os alunos perceberam que a forma utilizada pelas abelhas é uma boa forma, mas
existem outras que também podem ser utilizadas. Agora para poder ver se o polígono
utilizado pelas abelhas é mesmo o mais econômico, será feito um estudo sobre o volume que
um prisma que tenhas estes polígonos de base suporta, será verificado então se o maior
volume é o do prisma triangular, quadrangular ou hexagonal.
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A próxima atividade realizada servirá para verificar estes volumes. Para isto cada grupo
recebera a planificação dos três prismas que devem ter a mesma área lateral, para que no caso
das abelhas a quantidade de cera utilizada fosse a mesma. Os alunos deverão desenhar as
planificações em cartolina, para que fiquem mais firmes, e montar os prismas.
Figura 2: Planificação prismas
Após os prismas estarem montados será escolhido um destes que servirá como base de
comparação com os outros. Este será preenchido com arroz, depois este arroz será transferido
para os outros prismas e os alunos deverão comparar qual coube mais arroz e qual coube
menos, percebendo assim qual possui maior volume e seria então o mais econômico. Os
alunos concluíram que as abelhas estavam certas e que o prisma hexagonal é o que possui
maior volume com a mesma área.
Depois de realizadas as atividades será apresentado então de forma matemática tudo
aquilo que os alunos já viram com os experimentos. Para iniciar apresentar aos alunos um
triângulo, um quadrado e um hexágono que tenham o mesmo perímetro, que é o que acontece
com os prismas montados, e a partir desta relação deixar as áreas dependentes da mesma
variável
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Figura 3: Perímetro e área polígonos
Se os alunos ainda não souberem calcular volume, apresentar a partir do Principio de
Cavalieri, utilizando os polígonos feitos na primeira atividade mostrar que o volume formado
ao empilha-los é o mesmo independente da inclinação. Calcular então o volume que ficará
dependente da altura, que é a mesma para todos os primas, e da área que já havia sido
calculada. Os alunos perceberam então que o hexágono possui maior volume.
Para concluir os alunos perceberam que o volume do prisma hexagonal é o mais
econômico e que, então, as abelhas realmente são matemáticas e constroem seus alvéolos
utilizando a menor quantidade de cera e armazenando a maior quantidade de mel.
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Experimentação
Primeira Aplicação
A primeira aplicação aconteceu com uma turma de 2º ano do ensino médio, do curso
técnico em agropecuária do IFC, em um período de 2 horas. A oficina teve um pequeno atraso
no início. A turma ficou dividida em grupos de quatro alunos e um grupo de seis alunos.
Como previsto o vídeo foi passado no inicio da oficina. E depois foram realizadas as
atividades de ladrilhamento e do volume dos prismas. Foi necessária uma explicação do
cálculo de volume, pois os alunos só tem este conteúdo no terceiro ano.
Os alunos eram bastante agitados, sendo difícil conseguir a atenção de todos para
explicar as atividades e necessário muitas vezes ficar ao lado dos grupos para que fizessem o
que era solicitado, os alunos não apresentavam muito interesse pelas atividades.
Análise
A oficina tratava de conteúdos de geometria e abordados através de um tema conhecido
pelos alunos, forma utilizadas então as atividades práticas e o vídeo para que os alunos
despertassem o interesse em aprender um conteúdo que está tão presente em seu cotidiano,
principalmente ao trabalhar com máximos e mínimos e comparações fazendo com que os
alunos utilizem além do puro conhecimento matemático.
O ensino da geometria possui três grandes objetivos: conteúdo, formação
e demonstração. O conteúdo é de grande utilidade prática e presente no
nosso cotidiano de forma intensa; a formação de um adulto com visão de
espaço e suas propriedades é muito importante; mas, talvez, o objetivo maior
seja a formação de um ser racional, capaz de analisar e tirar conclusões
logicas. (ROSA NETO, 1998, p. 190)
A principal atividade da oficina era a construção dos prismas e a comparação dos
volumes dos mesmos, todos os alunos participantes mesmo ainda não tendo estudado o
conteúdo de geometria conseguiram fazer a analise dos volumes e compreender em seguida a
explicação matemática do volume. Ao analisar está compreensão dos alunos percebe-se que
muitas vezes trabalhar com o concreto e com aquilo que eles conhecem pode tornar o ensino
mais simples.
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Buscou-se durante o planejamento da oficina, que a construção do conhecimento
deveria iniciar no concreto e encerrar de maneira abstrata, chegando a uma generalização do
modelo que partiram. Para justamente trabalhar com os alunos de forma diferente da que
ocorre a maior parte das vezes em sala de aula, como afirma Machado (2011, p. 42) se busca:
[...] para o processo de construção do conhecimento, uma definição entre as
alternativas: ou ele se daria a partir de um movimento, de uma ascensão do concreto
para o abstrato, ou ele teria as abstrações como referência inicial, atingindo-se, a
partir delas, a realidade concreta. Embora o discurso pedagógico frequentemente
constitua um elogio acentuado da ascensão do concreto ao abstrato, [...], o caminho
que conduz do abstrato ao concreto é amplamente hegemônico nas atividades
escolares.
Para ajudar neste processo de construção de conhecimento utilizou-se também o vídeo,
que, após a análise da oficina se percebeu que não tinha gerado bons resultados sobre a
oficina, como já apresentava todas as informações matemáticas antes de os alunos realizarem
as atividades eles não estavam tão motivados a chegar a resultados através das atividades
práticas. Então após a primeira aplicação da oficina foi sugerida uma mudança, para tornar a
oficina mais interessante para os alunos.
Para a nova aplicação da oficina a apresentação do vídeo foi dividida em duas partes, no
inicio da oficina foi apresentado à parte inicial do filme que fala apenas das abelhas e cita o
fato de serem matemáticas por utilizarem hexágonos para armazenar maior quantidade de
mel. Foi alterado também o questionamento inicial, que passou a ser se existe a possibilidade
de provar matematicamente que as abelhas são matemáticas.
Foram realizadas então as atividades e no fim das atividades foi apresentado o vídeo,
para que os alunos vissem que o que fizeram estava certo e para conhecerem um pouco da
história matemática por trás das atividades que realizaram.
O conteúdo abordado também não foi de grande interesse para os alunos que
participarão da oficina, que por serem do curso técnico em agropecuária já haviam trabalhado
uma disciplina sobre abelhas, como era algo que tinham grande conhecimento não
despertaram grande interesse.
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Segunda Aplicação
A segunda aplicação foi realizada em uma escola de Ensino Médio estadual, no
município de Camboriú, também com uma turma de segundo ano. A oficina foi realizada em
um período de uma hora e trinta minutos.
Aplicando as alterações feitas na oficina, os alunos assistiram apenas a parte inicial do
vídeo e foram introduzidas as atividades, no final o restante do vídeo foi apresentado então.
Ocorreu também uma modificação no questionamento que serviria como base para as
respostas que os alunos deveriam encontrar com as atividades. O vídeo foi apresentado até o
momento em que se informa que as abelhas utilizam o hexágono para gastando o mínimo de
cera na construção dos alvéolos armazenarem o máximo de mel, questionou-se então:

Será que é possível comprovar com a matemática?
Com a apresentação apenas inicial do vídeo, os alunos se sentiram então mais
interessados em realizar as atividades, pois não tinham ainda uma comprovação de que as
abelhas estavam certas e muitos se sentiam motivados a encontrar um resultado que
contrariasse o que dizia o vídeo e o que as abelhas utilizavam.
Foi possível realizar todas as atividades, os alunos já haviam aprendido o cálculo de
volume, não sendo necessário está explicação. No fim foi necessário passar as informações de
maneira mais rápida para poder concluir a oficina, já que havia ocorrido um pequeno atraso
no inicio da oficina e alguns grupos demoraram certo tempo para realizar as atividades.
Conclusão
O objetivo inicial de planejamento de uma oficina era a aplicação da mesma duas vezes,
para que os pequenos erros encontrados em uma primeira vez fossem corrigidos e se
percebesse melhores resultados com uma segunda aplicação. A realização da oficina permitiu
perceber este resultado mesmo sendo ela realizada em duas realidades escolares bem
diferentes.
A mudança na apresentação do vídeo, e também o fato de os alunos que participaram na
segunda realização da oficina não possuírem o conhecimento sobre abelhas que possuíam os
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alunos do IFC, tornou a segunda aplicação da oficina bem mais interessante e os alunos mais
participativos.
Foi possível perceber que o vídeo foi bem mais válido para estes alunos também, eles
mantiveram a atenção tanto durante a explicação sobre as abelhas quanto na parte final, que
era um pouco mais histórica e com a apresentação dos dados só no fim de todas as atividades
ficou mais significativa e melhor compreendida pelos alunos.
De modo geral a segunda aplicação pareceu levar mais conhecimento para os alunos do
que na primeira e apresentou resultados mais interessantes, mais discussões sobre o que
deveria ser feito e maior busca por significados nas atividades realizadas, não apenas o fazer
por fazer.
Referências
ABELHAS Matemáticas. São Paulo: Casablanca, 2010. P&B.
<http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1042>. Acesso em: 19 ago. 2014.
Disponível
em:
BIEMBENGUT, Maria Salete; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. São
Paulo: Contexto, 2011.
MACHADO, Nílson José. Epistemologia e didática: as concepções de conhecimento e
inteligência e a prática docente. 7. ed. São Paulo: Cortez, 2011.
ROSA NETO, Ernesto. Didática da matemática. 11 ed. São Paulo: Ática, 1998.
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