Explicações de Matemática A - 10o Ano
Referenciais Cartesianos no Espaço
Coordenadas no Espaço
1. Observa o referencial o. m. Oxyz apresentado na figura e indica as
coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G, H, I e J. No mesmo referencial
marca os pontos K(3, 4, 2), L(−4, 4, 3), M (3, 4, −4) e N (3, −3, 3).
2. Considera o prisma quadrangular regular ao qual se aplicou um referencial o. m. Oxyz tal que O pertence à face [DCGH] e os eixos coordenados
são paralelos a arestas da figura tal como é sugerido na figura.
2.1 Dos pontos indicados na figura, indica os que pertencem ao plano:
2.1.1 yOz;
2.1.2 xOy;
2.1.3 xOz;
2.2 Indica um vértice que se situe no:
2.2.1 4o octante;
2.2.2 8o octante;
2.3 Qual dos
denadas do ponto A:
2.3.1
2.3.2
2.3.3
seguintes ternos ordenados pode corresponder às coor(−3; −3; 2);
(−3; −3; −2);
(3; −3; −2)
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3. Considera, num referencial o. m. Oxyz o ponto P (a2 −a, a+1, a−1).
Determina o valor de a sabendo que:
3.1 P pertence ao eixo Oy;
3.2 P pertence ao plano yOz.
4.
Na figura estão representados um cubo [OABCDEF G] e um
tetraedro [OBEG] num referencial o. m. Oxyz. Sabe-se que F (6, 6, 6) e
que os vértices A, C e D, tal como a figura sugere, pertencem aos eixos
coordenados. Considera que a unidade é o centı́metro.
4.1 Determina as coordenadas dos vértices do tetraedro.
4.2 Determina a medida da aresta do tetraedro.
4.3 Determina o volume do tetraedro. (Nota: VT etraedro = VCubo −
4 × VP [OABE] )
5.
No referencial o. m. Oxyz está representado um cubo com 2
unidades de aresta bem como o seu dual, o octaedro. O e B são dois vértices
do cubo pertencentes ao eixo Oy.
5.1 Determina as coordenadas dos vértices do cubo.
5.2 Determina as coordenadas dos vértices do octedro.
5.3 Representa o cubo e o octaedro noutro referencial escolhido de
forma que as coordenadas de todos os vértices, do cubo e do seu dual, sejam
números inteiros.
5.4 Determina essas coordenadas.
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Planos perpendiculares aos eixos coordenados.
Simetrias no espaço
6. Considera o cubo representado na figura que tem o centro na origem
do referencial o. m. Supõe que o cubo tem 6 cm de aresta.
6.1 Escreve uma equação que defina os planos que contêm as faces:
[ABEF ]; [BCGF ]; [EF GH];
6.2 Indica o ponto simétrico de E, relativamente:
6.2.1 ao eixo Oz, ao eixo Ox e ao eixo Oy;
6.2.2 ao plano xOy, ao plano yOz e ao plano xOz;
6.2.3 à origem do referencial;
7.
Na figura está representado um prisma regular. Considera o
centı́metro como unidade de medida e admite que:
• os planos que contêm as faces do prisma são perpendiculares aos eixos
coordenados e a origem O do referencial o. m. é o ponto de intersecção
das suas diagonais espaciais;
• [ABCD] é um quadrado contido no plano de equação z = −3;
• o volume do prisma é 96 cm3 .
7.1 Verifica que (2, 2, 3) são as coordenadas do ponto F;
7.2 Indica as coordenadas dos restantes pontos;
7.3 Indica pares de vértices simétricos relativamente a cada um dos
eixos coordenados;
7.4 Determina as coordenadas do ponto V, do eixo das cotas e interior
ao prisma, sabendo que o volume da pirâmide [ABCDV ] é igual à quarta
parte do volume do prisma.
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