FUNÇÃO E MAPAS: CONSTRUINDO CONCEITOS1
Prof.a. Ms. Renata Camacho Bezerra
UNIOESTE Campus de Foz do Iguaçu
[email protected]
Prof.a. Ms. Patrícia Sândalo Pereira
UNIOESTE Campus de Foz do Iguaçu
[email protected]
Introdução
Dados dois conjuntos, A e B, não-vazios, dizemos que a relação f de A em
B é uma função se, e somente se, para qualquer x pertencente ao conjunto A existe, em
correspondência, um único y pertencente ao conjunto B, de tal forma que o par
ordenado (x,y) pertença a f. Chamamos o conjunto de saída (A) de Domínio, o conjunto
de chegada (B) de contradomínio, e de imagem os elementos de B que efetivamente
correspondem a algum valor de A.
Esta definição de função é muito conhecida e aplicada em todos os níveis
educacionais que estudam esse conteúdo. Infelizmente a idéia que se apresenta nessa
definição é dissociada da realidade, não se vê, dessa forma, um significado concreto
para essa formalização. Por outro lado, no dia-a-dia fazemos uso de diversos conceitos
matemáticos em várias situações e nem nos damos conta disso, podemos ver por
exemplo, a idéia de função presente em atividades do cotidiano, mesmo sem a aplicação
formal de sua definição.
São vários os motivos que facilitam esta dissociação entre a realidade e o
conteúdo estudado, dentre eles, a crença de algumas pessoas numa matemática rígida,
pronta, acabada, abstrata, indicada para poucos privilegiados e onde se privilegia a
formalização dos conceitos e não a compreensão dos mesmos.
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Uma primeira versão deste minicurso foi apresentada na VIII Semana Acadêmica de Matemática e I
Encontro de Educação Matemática do CEFET de Pato Branco/PR.
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Devido aos argumentos acima, pretende-se introduzir o conceito de função
através de atividades práticas e que a princípio não seja necessário formalizar o conceito
de função. Com isso pretende-se iniciar um trabalho, visando mudanças na concepção
de uma matemática pronta e acabada e distante da realidade dos alunos.
Vale ressaltar, que não estamos desmerecendo a formalização dos conceitos
matemáticos e muito menos sugerindo sua exclusão dos programas de ensino, mas
sugerindo a necessidade de criar, sempre que possível, conexões entre os mesmos e o
dia-a-dia de nossos alunos, facilitando assim a aprendizagem dos mesmos.
A idéia deste minicurso é que a formalização do conceito de função surja
como uma necessidade e não como ponto de partida para o estudo do conteúdo. É nosso
objetivo também que além de estudarmos “função”, possamos chamar atenção para o
contexto social em que as atividades estão inseridas, bem como explorar conteúdos que
teoricamente só seriam vistos na aula de geografia como “mapas, escalas, continentes,
conhecimento gerais”.
Desenvolvimento
Como os alunos deste minicurso, certamente já viram e já ouviram, diversas
vezes a definição do conceito de função, e certamente como nós, sentiram falta de algo
mais plausível ao ensinar função optamos por começar contando rapidamente um pouco
da história do surgimento da formalização matemática deste conceito. Em seguida,
descreveremos algumas atividades que serão desenvolvidas neste minicurso.
Um Pouco de História
Na antigüidade, podemos constatar as 1as idéias de função. Entre os
babilônios, 2000 a. C. as tabelas sexagesimais, de quadrados e de raízes quadradas
segundo Oliveira, N.(1996) já revelavam “um instinto funcional”. Na Grécia Antiga
houve o surgimento da concepção de função na matemática e nas Ciências Naturais.
Entre os pitagóricos, aparece a idéia de função nos estudos da interdependência
quantitativa de diferentes quantidades físicas. Mas a primeira vez que a noção de função
aparece numa forma mais genérica é no século XII, nas escolas de Filosofia Natural de
Oxford e de Paris.
No século XVII uma nova interpretação de funcionalidade aparece e neste
período inicia-se um novo método de introduzir funções: o método analítico, por meio
de fórmulas e de equações.
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Em 1673 pela primeira vez a palavra função aparece em um manuscrito,
com Leibniz. Porém ele não a utiliza para designar a relação formal que liga a ordenada
de um ponto de uma curva com a abcissa.
Segundo os autores Oliveira; Rosa & Hein (2000) e Oliveira (1996) a
primeira definição explícita de uma função como expressão analítica foi divulgada por
Jean Bernoulli (1667-1748). Ele a definia da seguinte forma: “Chamamos de função de
uma grandeza variável uma quantidade composta de qualquer modo que seja dessa
grandeza variável e de constantes”.
Bernoulli utilizou a letra φ para simbolizar uma função; φ representava uma
função da variável x; utilizando essa idéia, ele escrevia φx.
No século XVIII, Euler foi uma figura essencial para o desenvolvimento do
conceito de função. Ele começou por definir noções iniciais, discriminando as
quantidades variáveis das constantes. Depois, distinguiu as funções entre contínuas e
descontínuas. Foi ele quem criou o símbolo de função que hoje utilizamos.
Condorcet (1778), Cauchy (1789), Lacroix (1797), Fourier (1821),
Lobatchevsky (1837) se inspiraram nos trabalhos de Euler e estudaram e aprofundaram
a concepção de função, além de corrigirem e estudarem algumas noções limitadas de
Euler sobre funções.
Dirichlet, em 1837 sugeriu uma definição mais ampla do que era função
chegando bem perto do conceito moderno que hoje temos, no entanto o conceito de
conjunto e de número real ainda não tinham sido estabelecidos.
Através deste breve resgate histórico, podemos constatar que o conceito de
função passou por uma evolução até chegarmos a definição formal que temos hoje.
Se o conceito de função foi construído através dos tempos, porque temos
que dá-los a nossos alunos como se fosse algo pronto e acabado? Pois bem é essa
indagação que sempre nos incomodou e que nos levou a refletirmos exaustivamente até
o nascimento desta proposta que ora apresentamos a vocês.
Atividade
Depois de uma discussão histórica, faremos atividades rápidas que visem
explicitar os conceitos de relação e de escala, e exploraremos atividades baseadas em
nossas vivências diárias (dentro e fora da escola), onde o conceito de função está
implícito.
Iremos utilizar a “Torre de Hanói” , que consiste em um famoso quebracabeças matemático, que foi inventado por Edouard Lucas em 1883 e que pode ser
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dividido em três níveis: iniciante, intermediário e avançado, e o próprio professor junto
com seus alunos podem construir.
Cada aluno construirá sua “Torre de Hanói” com material de baixo custo, de
forma que a sugestão possa ser levada e implementada em suas escolas. O objetivo da
Torra de Hanói é introduzirmos a necessidade da formalização de uma função para
facilitar descobrirmos o número da movimentos necessário para movimentar de um pino
ao outro uma grande quantidade de discos.
Logo após desenvolveremos uma atividade de caráter lúdico e
transdisciplinar que será a atividade com mapas (Mapa Mundi, Mapa da América
Central, da América do Sul, da América do Norte e Mapa do Brasil).
Os alunos serão divididos em grupos de três ou quatro alunos e receberão
desafios. Ao todo teremos 15 desafios, todos os grupos receberão o mesmo desafio e
após resolvê-lo receberão o próximo e assim sucessivamente até o décimo quinto.
Vamos estabelecer uma disputa onde será necessário que os alunos tenham
além
de
conhecimentos
matemáticos,
também,
conhecimentos
geográficos,
conhecimentos gerais e de atualidades.
Conclusão
Estas atividades, pretendem introduzir o conceito de função como algo
passível de conexões entre o dia-a-dia de nossos alunos e a sala de aula, e ainda, tirar
aquela visão da matemática estagnada, pronta e acabada, fria e sem espaço para a
criatividade. É claro que com apenas algumas atividades não se muda as concepções, no
entanto temos a convicção de que se dá um primeiro passo rumo a estas mudanças.
Utilizando fatos reais ou atividades lúdicas é importante que durante nossas
aulas, os alunos sejam capazes de perceber a matemática como fornecedora de
instrumentos necessários para que possamos descrever e analisar fenômenos do mundo,
e que consigam relacionar o mundo abstrato com o mundo real. E dessa forma,
esperamos que as aulas de matemática sejam interessantes, dinâmicas e criativas,
facilitando assim a construção do conhecimento por parte dos nossos alunos.
Por fim, é importante ressaltar que estas sugestões devem ser modificadas e
implementadas sempre que o professor julgar necessário, visto que, é ele quem melhor
conhece a realidade da sua sala de aula.
Palavras Chaves: Educação Matemática, Função e Mapas
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Referências Bibliográficas
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Encontro Regional de Educação Matemática e VIII Semana Acadêmica de
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