1
2.1. SOLUÇÃO GERAL PARA EQUAÇÃO DE ONDAS
1.138J/2.062J, PROPAGAÇÃO DE ONDAS
Outono, 2000 MIT
Observações de C. C. Mei
CAPÍTULO DOIS
ONDAS MONODIMENSIONAIS
1
Solução geral para equação de ondas
É fácil verificar por meio de substituição direta que a maioria das soluções gerais das equações de
ondas monodimensionais:
(1.1)
podem ser resolvidas por meio de
(1.2)
onde f (ξ) e g(ξ) são funções arbitrárias de ξ. No plano x, t (espaço, tempo) f (x – ct) é constante ao
longo da linha reta x – ct = constante. Assim, para o observador (x, t) que se move em velocidade
uniforme c ao longo do eixo positivo x, a função f é estacionária. Assim, para um observador que se
move da esquerda para a direita em velocidade c, o sinal descrito inicialmente por f (x) em t = 0
permanece imutável na fórmula, à medida que t aumenta, ou seja, f se propaga à direita em
velocidade c. Semelhantemente, g se propaga para a esquerda em velocidade c. As linhas x – ct =
constante e x + ct = constante são chamadas curvas características (linhas) ao longo das quais os
sinais se propagam. Uma outra forma de escrever (1.2) é
(1.3)
Ilustraremos uma aplicação.
2
Ramificação das artérias
Referências: Y C Fung: Biomechanics, Circulation. Springer 1997.
M.J. Lighthill: Waves in Fluids, Cambridge 1978
2
2.2. RAMIFICAÇÃO DAS ARTÉRIAS
Lembre-se das equações governantes para pressão e velocidade
(2.1)
(2.2)
As duas estão relacionadas pela equação de momentum
(2.3)
As soluções gerais são:
(2.4)
(2.5)
Já que
e
onde os números primos indicaram diferenciação usual em relação ao argumento. A equação (2.3)
pode ser solucionada se
(2.6)
Estipule a descarga por Q = uA e, em seguida,
(2.7)
onde
(2.8)
é o índice de pressão da taxa de fluxo chamada impedância. Ela é a propriedade do tubo.
3
2.2. ONDAS DEVIDO À PERTURBAÇÃO INICIAL
Agora, examinaremos os efeitos das ramificações. Referindo-se à figura x, os tubos
principais se ramificam em duas velocidades de onda caracterizadas C1 e C2 e impedâncias Z1 e Z2.
Uma onda incidente que se aproxima da junção causará reflexos no mesmo tubo
(2.9)
e as ondas transmitidas nas ramificações são p1(t – x / c2). Na junção x = 0, supomos a continuidade
da pressão e dos fluxos, deste modo
(2.10)
(2.11)
Defina o coeficiente de reflexão R como sendo a razão das amplitudes da onda refletida na onda
incidente, portanto
(2.12)
Semelhantemente, os coeficientes de transmissão são
(2.13)
Observe que ambos os coeficientes são constantes, dependendo apenas das impedâncias. Deste
modo, as ondas transmitidas são semelhantes na fórmula para ondas incidentes exceto as mais
fracas pelo fator T. A onda total na lateral de incidência é, no entanto, muito diferente.
3
Ondas em um domínio infinito devido a perturbações iniciais
Lembre-se da equação governante para ondas monodimensionais em uma corda tensa
(3.1)
4
2.2. ONDAS DEVIDO À PERTURBAÇÃO INICIAL
Permita que o deslocamento transverso inicial e a velocidade ocorram ao longo da corda inteira.
(3.2)
(3.3)
onde f(x) e g(x) são diferentes de zero apenas no domínio finito de x. Em x → ±∞, u e ∂u / ∂t são
zero para qualquer t finito. Essas condições são exibidas melhor no diagrama de espaço-tempo,
conforme mostra Figura 1.
Figura 1: Resumo do problema do valor limite inicial
Em (3.1.1) a maior derivativa de tempo é de segunda ordem e os dados iniciais são
prescritos para u e ∂u / ∂t. As condições iniciais que especificam todas as derivativas de todas as
ordens menores do que a mais elevada na equação diferencial chamam-se condições iniciais de
Cauchy.
Lembre-se de que a solução geral é
(3.4)
onde ø e ψ são, até agora, funções arbitrárias das variáveis representativas ξ = x + ct e η = x – ct,
respectivamente.
A partir das condições iniciais, obtemos
(3.5)
A última equação pode ser integrada em relação à x
(3.6)
5
2.2. ONDAS DEVIDO À PERTURBAÇÃO INICIAL
onde K é uma constante arbitrária. Agora, ø e ψ podem ser resolvidas a partir de (3.1.6) e (3.17)
como funções de x,
Figura 2: Domínio de dependência e limite de influência
onde K e x0 são algumas constantes. Trocando os argumentos de ø por x e de ψ por x – ct e
substituindo os resultados em u, obtemos
(3.7)
que é a solução d’Alembert para a equação de onda homogênea sujeita às condições gerais iniciais
de Cauchy.
Para visualizar o significado físico, vamos desenhar no diagrama de espaço-tempo um
triângulo formado por duas linhas representativas através do observador em x, t, como mostra a
Figura 2. A base do triângulo ao longo do eixo inicial t = 0 começa em x – ct e termina em x + ct. A
solução (3.1.9) depende do deslocamento inicial apenas nos dois ângulos x – ct e x + ct, e da
velocidade inicial apenas ao longo do segmento de x – ct a x + ct. Fora do triângulo, nada interessa.
No entanto, para o observador em x, t, o domínio da dependência é a base do triângulo
representativo formado por duas características passando por x, t. Por outro lado, os dados em
qualquer ponto x na linha inicial t = 0 devem influenciar todos os observadores no ângulo de
definição formado por duas características extraídas de x, 0 para a região de t > 0; este ângulo de
definição característico chama-se limite de influência.
6
2.2. ONDAS DEVIDO À PERTURBAÇÃO INICIAL
Figura 3: Ondas devido ao deslocamento inicial
Vamos ilustrar os efeitos físicos do deslocamento e da velocidade iniciais, separadamente.
Caso (i): Apenas o deslocamento inicial: f(x) ≠ 0 e g(x) = 0. A solução é
e é apresentada para um simples f(x) na Figura 3 em sucessivos períodos de tempo. Obviamente, a
perturbação inicial é dividida em duas ondas iguais que se propagam em direções opostas à
velocidade c. As ondas de saída preservam o perfil inicial, embora suas amplitudes sejam reduzidas
pela metade.
Caso (ii): Apenas a velocidade inicial: f(x) = 0 e g(x) ≠ 0. Considere o simples exemplo
onde
Referindo-se a Figura 4, dividimos o diagrama x ~ t em seis regiões pelas características em relação
à B e C no eixo em x = –b e +b, respectivamente. A solução em várias regiões é:
7
2.2. ONDAS DEVIDO À PERTURBAÇÃO INICIAL
Figura 4: Ondas devido à velocidade inicial
no ângulo de definição AB;;
na faixa EBIF;
no triângulo BCI;
no ângulo de definição FIG;
na faixa GICH; e
na faixa HCD. A variação espacial de u é traçada por vários instantes na Figura 4. Observe que as
frentes de onda em ambas as direções avançam em velocidade c. Em comparação com o caso (i), a
perturbação persiste por todo tempo na região entre as duas frentes.
8
3.2. REFLEXÃO DA EXTREMIDADE FIXA
4
Reflexão da extremidade fixa de uma corda
Vamos utilizar a solução de d’Alembert para um problema na metade de um domínio infinito x > 0.
Considere uma corda longa e tensa esticada de x = 0 ao infinito. Como as perturbações geradas
perto da extremidade esquerda se propagam como resultado de um deslocamento e velocidade
iniciais?
No limite esquerdo x = 0, deve-se agora adicionar a condição
(4.1)
No diagrama de espaço-tempo vamos desenhar duas características passando por x, t. Para um
observador na região x > ct, o triângulo característico não faz interseção com o eixo de tempo,
porque t ainda é muito pequeno. O observador não sente a presença da extremidade fixa em x = 0,
então a solução (3.1.9) para uma corda infinitamente longa se aplica,
(4.2)
Mas para x < ct, este resultado não é mais válido. Para se certificar de que a condição-limite é
satisfatória, empregamos a idéia de reflexão de espelho. Considere uma extensão fictícia de corda
para –∞ < x ≤ 0. Se na lateral x < 0 os dados iniciais são impostos de tal forma que f(x) = –f(–x),
g(x) = –g(x), então u(0, t) = 0 é garantido pela simetria. Agora, temos as condições iniciais
declaradas por todo o eixo x
onde
Estas condições são resumidas na Figura 5. Portanto, a solução para 0 < x < ct é
(4.3)
9
3.2. REFLEXÃO DA EXTREMIDADE FIXA
Figura 5: Problema do valor limite inicial e a reflexão de espelho
Figura 6: Reflexão de uma extremidade fixa
10
3.4. ONDAS FORÇADAS EM UM DOMÍNIO INFINITO
Considere a equação de onda não-homogênea
onde h(x, t) representa forçamento. Por causa da linearidade, podemos tratar os efeitos dos dados
iniciais separadamente. Vamos, no entanto, focar a atenção apenas nos efeitos de forçamento
persistente e permitir que os dados iniciais sejam zero,
(5.1)
As condições-limite são
(5.2)
Permita que a transformação de Fourier de qualquer função f(x) e seu inverso
por
sejam definidos
(5.3)
(5.4)
A equação de onda transformada agora é uma equação diferencial ordinária para a transformação de
onde
significa a transformação da função de forçamento. As condições iniciais para ū são:
Vamos ocultar a dependência paramétrica em α, por enquanto. A solução geral para a equação
diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea é
(5.5)
11
3.5. CORDA ENVOLTA NUM AMBIENTE ELÁSTICO
onde ū1 e ū2 são soluções homogêneas
e W é Wronskiano
As duas condições iniciais exigem que C1 = C2 = 0, portanto a transformação de Fourier é
(5.6)
A transformação inversa é
(5.7)
Assim, o observador é influenciado apenas pelo forçamento dentro do triângulo
característico definido pelas duas características que passam através de (x, t).
Para os dados iniciais diferentes de zero u(x, 0) = f(x) e ut(x, 0) = g(x), obtemos a solução
completa de d’Alembert através da sobreposição linear
(5.8)
O domínio de dependência está inteiramente dentro do triângulo característico.
6
Corda envolta num ambiente elástico
Referência: Graff: Waves in Elastic Solids
12
2.6. CORDA ENVOLTA NUM AMBIENTE ELÁSTICO
Se o movimento lateral da corda é refreado por molas elásticas ao longo de todo
comprimento, a equação governante pode ser encontrada a partir do §1.1, trocando a pressão
externa pela força restauradora elástica – KV por unidade de comprimento,
(6.9)
que pode ser escrita assim
(6.10)
onde
(6.11)
6.1
Ondas monocromáticas
Para qualquer problema linear, se a variação da coordenada espacial x for (–∞, ∞), e todos os
coeficientes forem independentes de x, t, então a primeira tarefa é examinar as propriedades físicas
do trem de ondas senoidais da fórmula:
(6.12)
onde A = |A|eiøA é um número complexo com magnitude |A| e ângulo de fase øA. Após examinar o
significado físico deste tipo especial de ondas, é possível utilizar o princípio da sobreposição para
formular mais soluções gerais. Costuma-se omitir o símbolo
redução, ou seja,
= “a parte real de”, visando a
(6.13)
Em primeiro lugar, algumas definições sobre ondas senoidais em geral. Devemos chamar
(6.14)
13
2.6. CORDA ENVOLTA NUM AMBIENTE ELÁSTICO
a fase de onda. Obviamente, a função trigonométrica é periódica em fase em relação ao período 2π.
No plano x, t, V possui um valor de constante ao longo de uma linha de fase constante. Em
particular, θ = 2nπ, (n = 0, 1, 2, ...) corresponde às cristas das ondas onde V = |A| é a maior. Por
outro lado, θ = (2n + 1)π, (n = 0, 1, 2, ...) corresponde aos sulcos da onda onde V = –|A| é a menor.
|A| é a metade da separação entre as cristas e os sulcos adjacentes e chama-se amplitude de onda;
representa o número de linha de
também chamamos A de amplitude complexa. Obviamente,
fase por unidade de distância, ou seja, a densidade de linhas de fase, em um dado instante; ela é
chamada de número de ondas,
(6.15)
Por outro lado,
representa o número de linhas de fase passando por um x fixo por unidade de
tempo; ele é chamado de freqüência de onda.
(6.16)
Para prolongar uma determinada linha de fase constante, digamos uma crista, deve-se ter
em outras palavras, deve-se movimentar em velocidade de fase,
(6.17)
Agora, de volta à corda. Substituindo (6.18) pela (6.9), obtemos
(6.18)
ou
(6.19)
14
2.6. CORDA ENVOLTA NUM AMBIENTE ELÁSTICO
A velocidade de fase é
(6.20)
Observe que, devido ao reforço do apoio lateral, a velocidade de fase é sempre maior que c0 e
diminui uniformemente em relação ao número de ondas. As ondas mais longas (|k| pequeno) são
mais rápidas, enquanto as ondas mais curtas (|k| grande) são mais lentas. À medida que |k| aumenta,
c se aproxima do limite finito c0 para as ondas mais curtas. Em geral, uma onda senoidal, cuja
velocidade de fase depende do comprimento de onda, ou seja, ω é uma função não-linear de k
chamada onda dispersiva, e (6.19) ou seu equivalente (6.28) chama-se relação de dispersão.
Uma característica física interessante das ondas dispersivas em geral pode ser encontrada
através da sobreposição de dois trens de freqüências e números de ondas levemente diferentes:
(6.21)
onde
(6.22)
Vamos aproximar ω± de
então
(6.23)
onde
(6.24)
O fator exp(ikx – iωt) chama-se onda portadora e A(x, t) , envoltória. Assim, o resultado é um trem
de onda senoidal com uma envoltória que possui um comprimento de onda bastante longo 2π/k′ >>
2π/k, variando lentamente, e que se move em velocidade de grupo
(6.25)
que é, em geral, diferente da velocidade de fase das ondas dispersivas.
Em nosso problema da corda, a velocidade de grupo é facilmente encontrada a partir da
relação de dispersão (6.19)
15
2.6. CORDA ENVOLTA NUM AMBIENTE ELÁSTICO
(6.26)
Assim, a velocidade de grupo é sempre menor que a velocidade de fase e aumenta em relação ao
número de ondas de 0, para a onda mais longa, ao limite finito c0 (igual à velocidade de fase) das
ondas mais curtas.
Quando ω > ωc, onde
(6.27)
chama-se freqüência de corte ωc, k é real
(6.28)
sendo a raiz quadrada verdadeira e positiva. V(x, t) é a onda de propagação, com o sinal de adição
(subtração) correspondente ao movimento de onda direita (esquerda). Se ω < ωc, k = ±iκ é
imaginário, com κ sendo a raiz positiva:
(6.29)
Então,
. Para limitação, deve-se escolher o sinal de subtração (adição) para x > 0 (x <
0). As oscilações são localizadas ou infinitesimais; não existe nenhuma radiação de onda.
Como uma aplicação simples, (6.12) é a reação em uma corda semi-infinita forçada a
oscilar na extremidade esquerda x = 0,
(6.30)
Se ω > ωc, então
(6.31)
onde |k| é definido por (6.28). O requisito de que as ondas, devido à perturbação local, podem
irradiar apenas para fora é chamada de condição de radiação. Falaremos ainda sobre este assunto
mais adiante. Se ω < ωc, devemos exigir limitação no infinito, de forma que
(6.32)
16
2.7. DISPERSÃO DE UMA PERTURBAÇÃO LOCALIZADA
Na freqüência de corte, k = 0, V é constante em x; a corda infinitamente longa oscilaria em
harmonia. Este resultado improvável significa o rompimento da teoria linear.
6.2
Transporte de energia
Ao longo do comprimento de uma unidade da corda, as densidades de energia cinética por unidade
de comprimento são
(6.33)
A energia potencial em qualquer segmento dx da corda é o trabalho necessário para deformá-la a
partir do equilíbrio estático. A parte devida ao alongamento da corda em relação à tensão é
Adicionando a parte em relação às molas, a energia potencial total por unidade de comprimento é
(6.34)
Agora, calculamos o tempo médio. Se as duas funções harmônicas de tempo fossem escritas na
fórmula complexa:
(6.35)
o tempo médio de seu resultado é dado por
(6.36)
Usando esta fórmula, as densidades de energia da média do período são,
17
2.7. DISPERSÃO DE UMA PERTURBAÇÃO LOCALIZADA
onde θ ≡|k|x – ωt é a fase de onda. Portanto,
(6.37)
após usar a relação de dispersão.
Agora, a taxa média de transporte de energia através de qualquer estação x é
Assim, a velocidade do transporte de energia é a velocidade de grupo. Este resultado é bastante
genérico para muitos problemas físicos e não se limita às molas.
7
Dispersão de uma perturbação inicial localizada
A solução para ondas monocromáticas já mostra que as diferentes ondas de comprimento se movem
em velocidades diferentes. Então, qual é a conseqüência de uma perturbação inicial? Já que uma
perturbação inicial genérica delimitada em espaço pode ser representada por uma integral de
Fourier, que equivale à soma de muitas sinuosidades em relação a um amplo espectro, devemos
empregar as ferramentas de transformação de Fourier.
Além da equação governante:
(7.1)
adicionamos as condições (de Cauchy) iniciais
(7.2)
Vamos definir a transformação de Fourier e seu inverso através de
(7.3)
As transformações de (7.1) são
(7.4)
18
2.7. DISPERSÃO DE UMA PERTURBAÇÃO LOCALIZADA
e as condições iniciais são
(7.5)
A solução para a transformação é
(7.6)
onde
(7.7)
A inversão de Fourier é
(7.8)
Qualquer função real f(x) pode ser expressa como a soma de uma função par e ímpar de x.
Para simplificar, vamos supor que f(x) é par em x, de forma que
seja real e par em k, então
que pode ser manipulado para
(7.9)
O primeiro termo na integrante representa a onda de movimento à direita, enquanto a segunda, à
esquerda. Cada parte corresponde a uma sobreposição de trens de ondas senoidais por todo o
intervalo do números de ondas, dentro de uma pequena faixa (k, k + dk) a amplitude é
.A
chama-se amplitude de espectro de Fourier. Em geral, a avaliação explícita das
função
integrais de Fourier não é viável. Devemos, portanto, procurar apenas os dados aproximados.
O método da fase estacionária é particularmente útil aqui. Ele tem por objetivo a
aproximação assintótica da integral
(7.10)
19
2.7. DISPERSÃO DE UMA PERTURBAÇÃO LOCALIZADA
para o grande t. Vamos primeiro oferecer uma derivação rápida do resultado matemático. Suponha
que F(k), ø(k) sejam funções ordinárias de k. Se t é grande, então à medida que k aumenta ao longo
do caminho de integração, ambas as partes reais e imaginárias da função exponencial
oscila rapidamente entre -1 e +1, a menos que exista um ponto de fase estacionária k0 dentro de (a,
b), de forma que
(7.11)
Então, a importante contribuição para a integral de Fourier vem apenas da região de k0. Próximo ao
ponto da fase estacionária, aproximamos a fase pela
e a integral pela
Com um erro de O(1/t), também substituímos os limites da última integral por ±∞; a justificativa é
omitida. Agora, sabe-se que
Conclui-se que
(7.12)
onde o sinal é + (ou –), se ø″(k0) for positivo (ou negativo). Pode-se mostrar que se não existe um
ponto estacionário na faixa (a, b), então a integral I(t) é pequena
(7.13)
Vamos aplicar o resultado à onda que vem da direita
20
2.8. DIFUSÃO DE ONDAS SENOIDAIS
(7.14)
Para uma constante fixa = x / t, temos
(7.15)
Para um observador que viaja em velocidade x / t, existe um ponto estacionário k0 na raiz de
(7.16)
veja a figura x. Já que
(7.17)
o resultado final é esse
(7.18)
A transformação
onde
representou o perfil específico da perturbação inicial. Para o caso especial
(7.19)
que possui uma área S e largura característica b, a transformação de Fourier é
(7.20)
Para um determinado observador identificado pela velocidade de deslocamento x / t, o
resultado aproximado pode ser visto como um simples trem de onda harmônica com número de
ondas k0, freqüência ω(k0) e amplitude
21
2.8. DIFUSÃO DE ONDAS SENOIDAIS
(7.21)
Já que ω′(k) aumenta a partir de 0 em relação ao aumento de k ao máximo finito T / pc0 = c0, um
observador mais rápido que c0 não visualiza nenhuma onda. Entretanto, qualquer observador mais
lento que c0 é acompanhado por um trem de ondas progressivas senoidais. O comprimento de onda
local k0 é tal que a velocidade de grupo corresponde à velocidade do observador. Quanto mais
rápido o observador, mais curtas as ondas. Se uma foto for tirada, então a onda mais curta, cuja
velocidade de fase é a mais baixa, é vista de frente, a qual se move tão rápido quanto as cristas das
ondas mais curtas. As cristas de ondas longas avançam muito mais rápido do que a envoltória local.
Como
é a maior em k = 0, a envoltória das ondas mais longas que permanece próximo à fonte
é a maior. A envoltória das ondas mais curtas é mais baixa em amplitude e se propaga em relação à
frente de onda. Toda a perturbação se atenua com o tempo, como t–1/2.
Observe que bem próximo à onda, cg → c0; a segunda derivativa ø″(k0) = –ω′′(k)
desaparece. Desse modo, a fórmula assintótica falha. É necessário uma aproximação melhor, mas
ela foi suprimida aqui. (Consulte C. C. Mei, 1989, Applied Dyamics of Ocean Surface Waves).
Por fim, examinaremos a propagação de energia das ondas neste problema transitório.
Utilizando (7.21) a densidade da energia local é:
Em qualquer dado t, as ondas entre dois observadores que se movem em velocidades um pouco
diferentes, cg(k1) e cg(k2), ou seja, entre dois pontos x1 / t = cg(k1) e x2 / t = cg(k2) são basicamente
harmônica simples, de forma que a energia total é
Já que x = ω′(k0)t para t fixo, temos
Agora, para x2 > x1, k2 > k1, conclui-se que
Portanto, a energia total entre dois observadores se movimentando em velocidade de grupo local
permanece a mesma em todos os momentos. Em outras palavras, as ondas são transportadas pela
velocidade de grupo local mesmo em dispersão transitória.
22
2.8. DIFUSÃO DE ONDAS SENOIDAIS
8
Difusão de ondas senoidais
Se ao longo de uma haste não existem homogeneidades, um trem de ondas senoidais que se
aproxima será metade refletido e metade transmitido. Os sinais dispersos nos dizem alguma coisa
sobre o dispersor. Para determinar as propriedades de dispersão de um dispersor conhecido chamase o problema de dispersão. Para determinar o dispersor a partir de dados de dispersão chama-se o
problema de dispersão inverso. Estudaremos apenas o padrão.
Várias técnicas matemáticas são necessárias em diversos casos: (i) Dispersores fracos
caracterizados pela baixa amplitude em relação ao comprimento de onda ou variação lenta dentro de
um comprimento de onda, (ii) Dispersores fortes, se as dimensões forem comparáveis ao
comprimento da onda.
8.1
Difusão fraca
Permita que a haste longa tenha um corte transversal levemente não-uniforme,
(8.1)
onde a(x) se reduz a zero em x ~ ±∞. Então, a solução pode ser procurada pelo método de
perturbação
(8.2)
Substituindo pela equação governante
(8.3)
e equacionando os coeficientes de força semelhantes de a zero, obtemos, com base nas expressões
de ordem O( 0):
(8.4)
A solução é simplesmente a onda incidente
(8.5)
23
2.8. DIFUSÃO DE ONDAS SENOIDAIS
Na ordem O( ), obtemos
ou,
(8.6)
Assim, a onda difusa é no máximo da ordem de e é governada por uma equação não-homogênea.
Vamos definir a solução fundamental (função de Green) pela
(8.7)
(8.8)
Foi mostrado em aula que
(8.9)
Por clara diferenciação, pode-se confirmar que
(8.10)
Já que U0(x′) = eikx′, temos
Mais à direita, temos
.
(8.11)
.
(8.12)
24
2.8. DIFUSÃO DE ONDAS SENOIDAIS
(8.13)
Assim, a modificação da lateral de transmissão das ondas incidentes pode ser no máximo da ordem
de O( 2). Mais à esquerda x ~ –∞,
(8.14)
O coeficiente de reflexão é
(8.15)
Por exemplo, se a for uma elevação da área adimensional total da unidade e o comprimento b,
(8.16)
então
(8.17)
Desse modo, a reflexão é pequena se kb for maior, ou seja, obstáculos longos e sutis não são
eficazes na reflexão de ondas curtas. Para ondas bem longas ou um obstáculo curto, a reflexão
também é pequena através do desaparecimento. O coeficiente máximo de reflexão é R = i a0 /2
quando kb = ½.
Trabalho de casa: Verifique se a equação governante em O( 2) para U2 é:
(8.18)
Coloque em prática a solução para encontrar o coeficiente de transmissão T a partir da amplitude de
U0 + U1 + 2U2 em x ~ ∞, e mostre que a energia é conservada na ordem O( 2).
8.2
Difusão forte de ondas de água através de uma plataforma
Considere o fundo do oceano com uma variação escalonada de profundidade.
(8.19)
25
2.8. DIFUSÃO DE ONDAS SENOIDAIS
Como o passo interrompe a propagação de uma onda incidente de unidade de amplitude que chega
de x ~ –∞?
Em cada zona de profundidade constante (i = 1, 2, 3), as equações de águas rasas
aconselham:
(8.20)
(8.21)
Para ondas senoidais
(8.22)
obtemos
(8.23)
(8.24)
ou
(8.25)
Em uma junção, a pressão e o fluxo devem ser iguais, então
(8.26)
(8.27)
As fórmulas das soluções em cada zona de profundidade constante são:
(8.28)
(8.29)
(8.30)
26
2.8. DIFUSÃO DE ONDAS SENOIDAIS
Os coeficientes de reflexão e transmissão R e T, bem como A e B ainda são desconhecidos.
Aplicando as condições correspondentes à junção esquerda, obtemos duas relações
(8.31)
(8.32)
De forma semelhante, as condições correspondentes em x = a proporciona
(8.33)
(8.34)
Essas quatro equações podem ser resolvidas para proporcionar
(8.35)
(8.36)
(8.37)
(8.38)
onde
(8.39)
A energia associada às ondas transmitidas e refletidas é:
(8.40)
(8.41)
É evidente que |R|2 + |T|2 = 1.
Acima da plataforma a superfície livre é dada por
27
2.8. DIFUSÃO DE ONDAS SENOIDAIS
(8.42)
Recordando o fator tempo e–iωt, vemos que a superfície livre sobre a plataforma consiste em dois
trens de ondas avançando em direções opostas. Entretanto, ao longo da plataforma as duas ondas
podem interferir entre si de forma construtiva, com as cristas de uma coincidindo com a da outra no
mesmo momento. Em outros lugares, a interferência é destrutiva, com a crista de um trem de ondas
coincidindo com a calha da outra. A envoltória da energia sobre a plataforma é dada por
(8.43)
Na borda da plataforma, x = a, a envoltória é
(8.44)
Observe que os coeficientes de reflexão e transmissão são oscilatórios em k2a. Em
particular para 2k2a = nπ, n = 1, 2, 3..., que é 4a / λ = n, |R| = 0 e |T| = 1. A plataforma é
transparente para as ondas incidentes, que correspondem à interferência mais construtiva e a
transmissão mais forte. A transmissão mínima e a reflexão máxima
Figura 7: Coeficientes de transmissão e reflexão para uma plataforma retangular. Com base em Mei,
C. C., Applied Dynamic of Ocean Surface Waves.
28
2.8. DIFUSÃO DE ONDAS SENOIDAIS
ocorre quando 2k2a = (n – ½)π, ou 4a / λ = n – ½, quando a interferência é mais destrutiva. Os
coeficientes de transmissão e reflexão correspondentes são
(8.45)
Veja a Figura 7
As características de interferência podem ser explicadas fisicamente. O trem de ondas
incidente consiste em cristas e calhas periódicas. Quando uma das cristas bate primeiro na borda
esquerda em x = a, parte dela é transmitida para a plataforma e parte é refletida em direção à x ~ –∞.
Após alcançar a borda direita em x = a, a crista transmitida possui uma parte refletida à esquerda e
refletida novamente pela borda x = –a à direita. Quando a crista refletida chega à borda direita pela
segunda vez, a distância total do deslocamento é 4a. Se 4a for uma integral múltipla do
comprimento de onda λ2, a crista estará em fase com todas as outras cristas entrando pela
plataforma tanto antes (a terceira, quarta, quinta, ... vez) ou depois. Assim, todas as cristas
aumentam a força umas das outras na borda direita. Esta é uma interferência construtiva, que leva à
transmissão mais forte à direita de x ~ ∞. Por outro lado, se 2k2a = (n – ½)π ou 4a / λ = n – ½,
algumas cristas estarão em fase oposta a outras cristas, que conduzem à interferência destrutiva na
borda direita e à transmissão mais baixa.
9
Identidades gerais na difusão por não-homogeneidades
arbitrárias
Difusão devido a não-homogeneidades, causada por não-uniformidades em geometria ou em
propriedade de materiais, exige a solução de equações diferenciais ordinárias em relação a
coeficientes variáveis. Em geral, deve-se lançar mão de meios numéricos. Visando a verificação da
exatidão numérica e o ganho de percepção física, as identidades que devem ser fiéis são úteis.
Normalmente, elas são deduzidas por meio de típicos argumentos na derivação ou pelo uso do
teorema de Green.
Ilustramos essas identidades através do exemplo de uma haste infinitamente longa com
corte transversal variável S(x),
(9.1)
E e ρ são tidas como constantes. S(x) é não-uniforme apenas em uma região finita em torno de x =
0. Em algum outro lugar, S = S0 = constante. Considere as ondas monocromáticas
(9.2)
29
2.9. IDENTIDADES GERAIS SOBRE DIFUSÃO
de forma que U(x) seja governada pela equação diferencial ordinária
(9.3)
As condições-limite dependem da origem das ondas incidentes.
Se as ondas incidentes chegam de x ~ –∞, a fórmula assintótica da solução deve ser
(9.4)
e
(9.5)
onde T1 e R1 são os coeficientes de transmissão e reflexão, que são parte da solução desconhecida
do problema de incidência esquerda. Vamos definir a função de Jost através de
(9.6)
então
(9.7)
e
(9.8)
Por outro lado, se as ondas incidentes chegarem de x ~ ∞, a fórmula assintótica da solução
deve ser
(9.9)
e
(9.10)
30
2.9. IDENTIDADES GERAIS SOBRE DIFUSÃO
onde T2 e R2 são os coeficientes desconhecidos de transmissão e reflexão do problema de incidência
à direita. Semelhantemente, definimos a função de Jost pela solução assintótica a seguir:
(9.11)
e
(9.12)
Já que ambos f1 e f2 satisfazem (9.3), temos
(9.13)
Multiplicando a primeira por f2 e a segunda por f1 e, em seguida, pegando a diferença, obtemos a
integração parcial,
ou
(9.14)
A constante C pode ser relacionada com os limites assintóticos em k|x| >> 1 onde S → S0. Distante
da lateral incidente, o Wronskiano é
Distante da lateral de transmissão, o Wronskiano é
31
2.9. IDENTIDADES GERAIS SOBRE DIFUSÃO
Já que os dois Wronskianos são iguais, concluímos que
(9.15)
Assim, os coeficientes de transmissão complexos são iguais para as ondas incidentes que vêem de
qualquer lado, não importa o quão assimétrica a geometria possa ser no campo próximo!
A seguir, consideramos o problema de incidência esquerda. Multiplicando o primeiro de
(9.3) pelo conjugado complexo de
conjugado complexo, obtemos
, e pegando a diferença do resultado junto com seu
(9.16)
então
(9.17)
Utilizando-se a expressão assintótica (9.4) na lateral de incidência, obtemos
Semelhantemente, utilizando-se a expressão assintótica (9.5) na lateral de transmissão, obtemos
Equacionando-se os dois limites, concluímos que
(9.18)
ou
(9.19)
32
2.10. REFRAÇÃO EM UM AMBIENTE DE VARIAÇÃO LENTA
Esta é simplesmente uma declaração do fluxo de conservação: a taxa de fluxo da energia total
dispersada (refletida e transmitida) é igual à taxa de fluxo da energia da onda incidente; a
velocidade do transporte de energia sendo a mesma em ambas as laterais do dispersor. Obviamente,
a mesma conservação de energia pode aguardar pelo problema de incidência direita.
(9.20)
Se o problema de dispersão for resolvido numericamente por, digamos, elementos finitos é
necessário que os coeficientes de dispersão computada R e T satisfaçam as identidades (9.15) (9.19)
e (9.20).
10
Refração em um ambiente de variação lenta
Para os casos de tempo harmônico, utilizamos mais uma vez as ondas de águas rasas como
demonstração. A equação governante é
(10.1)
Considere o fundo do mar que varia lentamente dentro de um comprimento de onda, ou seja,
(10.2)
As análises anteriores sugerem que a reflexão é insignificantemente pequena. Assim, espera-se que
a solução seja uma onda progressiva localmente com o número de ondas e a amplitude variando
muito mais lentamente do que a fase de onda em x. Portanto, tentaremos a solução
(10.3)
onde θ(x) – ωt é a função de fase e
(10.4)
é o número de ondas local e A é a amplitude complexa. Observe a taxa espacial de variação da
função de fase, ou seja, o número de ondas geralmente não é pequeno. Portanto, θ não é uma função
de variação lenta de x. Vamos calcular a primeira derivativa:
33
2.10. REFRAÇÃO NUM AMBIENTE DE VARIAÇÃO LENTA
e suponha que
De fato, devemos supor que cada derivativa de h, A ou k é µ vezes menor que kh, kA ou k2. Além do
mais,
Observe que a amplitude complexa A pode ser escrita como
(10.5)
A fase de A: θA, é uma função variante lenta de x. Ela pode ser considerada como parte da fase de
onda, embora seu gradiente espacial seja muito menor do que k.
Agora, vamos expandir
(10.6)
com A1 / A0 = O(µ), A2 / A0 = O(µ2), .... A partir de O(µ0), a relação de dispersão resulta:
(10.7)
Assim, o número de ondas local e a profundidade local estão relacionados à freqüência, de acordo
com a famosa relação de dispersão para profundidade constante. À medida que a profundidade
diminui, o número de ondas aumenta. Portanto, a velocidade de fase local
(10.8)
também diminui.
A partir de O(µ), obtemos
34
2.10. REFRAÇÃO EM UM AMBIENTE DE VARIAÇÃO LENTA
ou após a multiplicação por
,
que significa
ou
(10.10)
Já que a velocidade de grupo das águas rasas se iguala à velocidade de fase, o resultado acima
significa que a taxa do fluxo de energia é a mesma para todo x e é compatível com a premissa
original de propagação unidirecional. Além disso, a amplitude local aumenta de acordo com a
profundidade como em
(10.11)
Este resultado é chamado de lei de Green.
Em resumo, a solução da ordem principal é
(10.12)