Pindyck & Rubinfeld, Capítulo 5, Incerteza :: EXERCÍCIOS
1. Considere uma loteria com três possíveis resultados: uma probabilidade de
0,1 para o recebimento de $100, uma probabilidade de 0,2 para o recebimento de
$50 e uma probabilidade de 0,7 para o recebimento de $10.
a.
Qual é o valor esperado dessa loteria?
O valor esperado, VE, da loteria é igual à soma dos retornos
ponderados por suas probabilidades:
VE = (0.1)($100) + (0.2)($50) + (0.7)($10) = $27.
b.
Qual é a variância dos resultados dessa loteria?
A variância, σ2, é a soma dos quadrados dos desvios da média, $27,
ponderados por suas probabilidades:
σ2 = (0.1)(100 - 27)2 + (0.2)(50 - 27)2 + (0.7)(10 - 27)2 = $841.
c.
Quanto uma pessoa neutra a riscos pagaria para participar dessa loteria?
Uma pessoa neutra a riscos pagaria o valor esperado da loteria:
$27.
2. Suponha que você tenha investido em uma nova empresa de computadores
cuja lucratividade dependa de: (1) aprovação ou rejeição, por parte do Congresso
dos EUA, de um imposto de importação que aumente o preço de venda dos
computadores japoneses, e (2) crescimento lento ou rápido da economia dos EUA.
Quais seriam os quatro cenários (mutuamente exclusivos) com os quais você
deveria se preocupar?
Os quatro cenários mutuamente
representados da seguinte forma:
exclusivos
podem
ser
O Congresso aprova
a tarifa
O Congresso não aprova a
tarifa
Taxa de
crescimento
baixa
Cenário 1:
Baixo crescimento
com tarifa
Cenário 2:
Baixo crescimento sem
tarifa
Taxa de
crescimento
alta
Cenário 3:
Crescimento rápido
com tarifa
Cenário 4:
Crescimento rápido sem
tarifa
3. Richard está decidindo sobre a aquisição de um bilhete da loteria estatal.
Cada bilhete custa $1, e a probabilidade dos seguintes prêmios é apresentada na
tabela abaixo:
Probabilidade
Retorno
a.
0,50
$0,00
0,25
$1,00
0,20
$2,00
0,05
$7,50
Qual seria o valor esperado do payoff de Richard caso ele adquirisse um
bilhete de loteria? Qual seria a variância?
O valor esperado da loteria é igual à soma dos retornos ponderados
por suas probabilidades:
VE = (0,5)(0) + (0,25)($1,00) + (0,2)($2,00) + (0,05)($7,50) = $1,025
A variância é a soma dos quadrados dos desvios da média, $1,025,
ponderados por suas probabilidades:
σ2 = (0,5)(0 - 1,025)2 + (0,25)(1 - 1,025)2 + (0,2)(2 - 1,025)2 + (0,05)(7,5 - 1,025)2,
ou
σ2 = $2,812.
b.
O apelido de Richard é “Rick sem risco”. Trata-se de uma pessoa
extremamente avessa a riscos. Ele adquiriria o bilhete?
Um indivíduo extremamente avesso a riscos provavelmente não
compraria o bilhete, apesar do ganho esperado ser maior que o
preço, $1,025 > $1,00. A diferença no retorno esperado não seria
suficiente para compensar Rick pelo risco de aquisição do bilhete.
Por exemplo, se sua riqueza fosse $10 e ele comprasse um bilhete
de $1,00, ele obteria, sob cada um dos possíveis cenários, $9,00,
$10,00, $11,00, e $16,50, respectivamente. Supondo que sua função
de utilidade fosse U = W0,5, onde W é sua riqueza, sua utilidade
esperada seria:
EU = (0.5)(90.5 )+ (0.25)(100.5 )+ (0.2 )(110.5 )+ (0.05)(16.50.5 ) = 3.157.
que seria menor que a utilidade obtida sem o bilhete, 3.162:
(U(10) = 100,5 = 3,162). Ele preferiria uma renda certa igual a $10.
c.
Suponha que tenha sido oferecido a Richard um seguro contra a perda de
qualquer quantia. Se ele adquirisse 1.000 bilhetes de loteria, qual valor
ele estaria disposto a pagar para segurar sua aposta?
Se Richard comprasse 1.000 tickets, seu ganho esperado seria
$1.025 menos o montante pago de $1.000, ou seja, $25.
Possivelmente, ele não compraria nenhum seguro, tendo em vista
que o retorno esperado, $1.025, seria maior que o custo, $1.000; a
aquisição de um número elevado de bilhetes poderia funcionar
como um seguro indireto para ele. Entretanto, dado que Richard é
avesso a riscos, ele possivelmente estaria disposto a comprar o
seguro. O montante que ele estaria disposto a pagar para evitar o
risco seria dado pelo prêmio de risco. Veja a figura 5.4 no texto.
Para calcular o prêmio de risco, é necessário conhecer a função de
utilidade de Richard. Se a função de utilidade fosse U = W0,5, a
utilidade esperada associada à aquisição dos 1.000 bilhetes de
loteria seria:
EU = (0.5)(00.5 )+ (0.25)(1000 0.5 ) + ( 0.2)(20000.5 )+ ( 0.05)(7500 0.5 )= 21.18.
que seria menor que a utilidade associada à sua riqueza certa de
$1000, dada por U=10000,5=31,62. Para calcular o prêmio de risco,
é necessário, primeiro, calcular o nível de renda que garantiria a
Richard a utilidade de 21,18, que é $448,59. Ele estaria, portanto,
disposto a pagar até $1000-$448,59=$551,41 para segurar sua
aposta.
d.
A longo prazo, levando em consideração o preço do bilhete de loteria e as
informações da tabela anterior sobre probabilidade/retorno, o que você
imagina que o governo faria a respeito dessa loteria?
No longo prazo, a loteria irá à falência! Dado o preço do bilhete e as
probabilidades envolvidas, a loteria é deficitária. O governo
deveria aumentar o preço do bilhete ou reduzir a probabilidade dos
ganhos positivos.
4.
Suponha que um investidor esteja preocupado com uma escolha de
investimentos envolvendo três alternativas possíveis, cujas respectivas
probabilidade e retornos são os seguintes:
Probabilidade
Retorno
0,2
$100
0,4
50
0,4
-25
Qual é o valor esperado do investimento incerto? Qual é sua variância?
O valor esperado do retorno nesse investimento é
VE = (0,2)(100) + (0,4)(50) + (0,4)(-25) = $30,
A variância é
σ2 = (0,2)(100 - 30)2 + (0,4)(50 - 30)2 + (0,4)(-25 - 30)2 = $2.350.
5. Você é um corretor de seguros e deve preencher uma apólice para um novo
cliente cujo nome é Sam. A empresa de Sam, a Sociedade para Alternativas
Criativas para a Maionese (SACM), está trabalhando no desenvolvimento de um
substituto para a maionese contendo baixos teores de gordura e colesterol, que
será fornecido à indústria de condimentos de sanduíche. Esta última pagaria
altas somas em dólares para o primeiro que inventasse um substituto para a
maionese. A SACM tem para você o aspecto de uma empresa de alto risco. Você
já calculou os possíveis retornos de Sam e os apresentou na tabela a seguir.
Probabilidade
a.
Retorno
0,999
-$1.000.000
0,001
$1.000.000.000
(Sam vai à falência)
(Sam é bem-sucedido e
vende sua fórmula)
Qual é o retorno esperado do projeto de Sam? Qual é sua variância?
O retorno esperado, ER, do investimento é
ER = (0,999)(-1.000.000) + (0,001)(1.000.000.000) = $1.000.
A variância é
σ2 = (0,999)(-1.000.000 - 1.000)2 + (0,001)(1.000.000.000 - 1.000)2 , ou
σ2 = 1.000.998.999.000.000.
b.
Qual seria o maior valor que Sam estaria disposto a pagar pelo seguro?
Suponha que ele seja neutro a riscos.
Tendo em vista que Sam é neutro a riscos e o resultado esperado é
$1.000, Sam não está disposto a contratar o seguro.
c.
Suponha que você tenha descoberto que os japoneses estão na iminência
de lançar seu próprio substituto para a maionese já no próximo mês. Sam
não dispõe dessa informação, sendo que acaba de recusar sua oferta final
de $1.000 para fazer o seguro. Caso Sam venha lhe dizer que a SACM está
a apenas seis meses da conclusão do projeto, você, conhecedor dos fatos
relacionados aos japoneses, aumentaria ou reduziria o valor do prêmio da
apólice em outra eventual proposta que viesse a fazer a ele? Baseando-se
nas informações de que dispõe, Sam aceitaria sua proposta?
A entrada dos japoneses no mercado reduz a probabilidade de Sam
obter um payoff positivo.
Por exemplo, supondo que a
probabilidade do payoff de 1 bilhão de dólares caia para zero, o
resultado esperado é:
(1.0)(-$1.000.000) + (0.0)(($1.000.000.000) = -$1.000.000.
Logo, você deveria aumentar substancialmente o valor do prêmio
da apólice. Contudo, por não saber da entrada dos japoneses no
mercado, Sam continuaria a recusar suas propostas de seguro.
6. Suponha que a função de utilidade de Natasha seja expressa por: u(I) = I0,5,
na qual I representa sua renda anual em milhares de dólares.
a.
Natasha é amante do risco, neutra a riscos, ou avessa a riscos? Explique.
Natasha é avessa a riscos. Isso pode ser verificado da seguinte
forma. Suponha que ela tenha $10.000 e lhe seja oferecida uma
aposta na qual ela ganha $1.000 com probabilidade 0,5 e perde
$1.000 com probabilidade 0,5. A utilidade associada a $10.000 é
3.162, (u(I) = 100,5 = 3.162). A utilidade esperada da aposta é:
EU = (0,5)(90.5 ) + (0,5)(110.5 ) = 3.158 < 3.162.
logo, ela não aceitaria a aposta. Se ela fosse neutra a riscos, ela
seria indiferente entre os $10.000 e a aposta; e se fosse amante do
risco, ela preferiria a aposta.
Sua aversão a riscos também pode ser verificada pela representação
gráfica da função de utilidade (veja a Figura 5.6), que mostra que a
função
apresenta
utilidade
marginal
decrescente.
(Alternativamente, observe que a segunda derivada da função é
negativa, o que implica utilidade marginal decrescente.)
U tilidade
5
U (I )
4
3
2
1
R enda (em $1000)
5
10
15
20
Figura 5.6
b.
Suponha que Natasha atualmente esteja recebendo uma renda de $10.000
(I = 10), podendo com certeza obter a mesma renda no ano que vem. Ela
recebe, então, uma oferta para um novo emprego com rendimentos de
$16.000, com probabilidade de 0,5 e rendimentos de $5.000, com
probabilidade de também 0,5. Ela deveria assumir o novo emprego?
A utilidade de seu salário atual é 100,5, ou seja, 3.162. A utilidade
esperada do novo emprego é
EU = (0,5)(50,5 ) + (0,5)(160,5 ) = 3.118,
que é menor que 3.162. Logo, ela recusaria o novo emprego.
c.
No item (b), Natasha estaria disposta a adquirir um seguro para poder se
proteger contra a renda variável associada ao novo emprego? Em caso
afirmativo, qual o valor que estaria disposta a pagar por tal seguro?
(Sugestão: Qual é o prêmio de risco?)
Supondo que Natasha aceitasse o novo emprego, ela estaria
disposta a pagar um prêmio de risco igual à diferença entre $10.000
e o nível de renda certa associado à utilidade da aposta, de modo a
garantir um nível de utilidade igual a 3.162. Sabemos que a
utilidade da aposta é igual a 3.118. Inserindo esse valor na sua
função de utilidade, obtemos 3.118 = I0.5, e resolvendo para I
encontramos a renda associada à aposta de $9.722. Logo, Natasha
estaria disposta a pagar pelo seguro o valor dado pelo prêmio de
risco: $10.000 - $9.722 = $278.
7. Desenhe uma função de utilidade sobre a renda u(I) capaz de satisfazer a
condição de que um determinado consumidor seja apreciador de risco quando
sua renda é baixa, porém se torne avesso a riscos quando sua renda é alta. Você
poderia explicar a razão pela qual tal função de utilidade seria capaz de
descrever razoavelmente bem os gostos de uma pessoa?
Considere um indivíduo que necessita de determinado nível de
renda, I*, para sobreviver. Um aumento na renda além de I*
apresentará utilidade marginal decrescente. Abaixo de I*, o
indivíduo será amante do risco e aceitará apostas muito arriscadas
com o objetivo de obter aumentos de renda significativos. Acima de
I*, o indivíduo comprará seguro contra possíveis perdas.
U tilidade
U (I )
I*
Figura 5.7
R enda
8. Um município está estudando o valor mais adequado para o gasto com
parquímetros. As seguintes informações encontram-se à disposição do
administrador municipal:
a.
i.
A contratação de um funcionário para fazer a medição custa
$10.000 por ano.
ii.
Havendo uma pessoa contratada para o monitoramento, a
probabilidade de um motorista ser multado cada vez que estacione
ilegalmente é igual a 0,25.
iii.
Havendo duas pessoas, a probabilidade é de 0,5; se forem três, a
probabilidade passa para 0,75; e se forem quatro pessoas, a
probabilidade é igual a 1.
iv.
A multa atualmente cobrada por estacionamento além do tempo
permitido é de $20, havendo duas pessoas contratadas para efetuar
o monitoramento dos medidores.
Suponha que todos os motoristas sejam neutros a riscos. Qual a multa
que você estabeleceria para o estacionamento ilegal e quantas pessoas
contrataria para o monitoramento (1, 2, 3, ou 4) a fim de, com o mínimo
custo, poder atingir os atuais níveis de desencorajamento ao
estacionamento ilegal?
Se os motoristas são neutros a riscos, seu comportamento depende
apenas da multa esperada. Com duas pessoas monitorando os
estacionamentos, a probabilidade de detecção do estacionamento
ilegal é 0,5 e a multa é $20. Logo, a multa esperada é $10 =
(0,5)($20). A mesma multa esperada pode ser obtida através da
contratação de apenas um funcionário, aumentando-se a multa
para $40, da contratação de três funcionários, diminuindo-se a
multa para $13,33, ou da contratação de quatro funcionários,
diminuindo -se a multa para $10.
Supondo que o único custo a ser minimizado seja o custo de
contratação dos funcionários responsáveis pelo monitoramento dos
estacionamentos, isto é, $10.000 por ano, você deveria minimizar o
número de funcionários, contratando apenas um funcionário e
aumentando a multa para $40.
b.
Agora suponha que os motoristas sejam substancialmente avessos a
riscos. Como você modificaria sua resposta para a questão (a)?
Se os motoristas são avessos a riscos, a utilidade de um valor obtido
com certeza é maior do que a utilidade de um valor esperado igual
ao valor certo, o que significa que eles se esforçarão mais do que
motoristas neutros a riscos para evitar uma multa. Logo, uma
multa inferior a $40 seria suficiente para manter o atual nível de
desincentivo ao estacionamento ilegal.
c.
(Para discussão) O que ocorreria se os motoristas pudessem fazer seguros
contra o risco de multa por estacionamento ilegal? Seria de interesse
público a autorização para que houvesse tal modalidade de seguro?
Os motoristas podem proceder de várias formas com o objetivo de se
proteger do risco das multas por estacionamento ilegal; por
exemplo, eles podem estacionar longe de seu destino, em local sem
parquímetro, ou podem utilizar o transporte público.
Uma
companhia de seguro privada poderia oferecer uma apólice de
seguro que protegesse os motoristas contra o risco das multas por
estacionamento ilegal, cujo prêmio dependeria da probabilidade de
cada motorista ser multado e do custo de oportunidade desse
serviço. (Observação: um seguro total geraria problemas de risco
moral, conforme será discutido no Capítulo 17.)
A política pública deve procurar maximizar a diferença entre os
benefícios e os custos para todas as partes. Dados os custos de
transação envolvidos, a oferta de seguro privado pode não ser a
solução ótima. Uma solução alternativa seria a oferta de outro tipo
de seguro, como a venda de adesivos para estacionamento; os
automóveis estacionados ilegalmente deveriam ser multados.
9. Um investidor moderadamente avesso a riscos investe 50% de sua carteira
em ações e os outros 50% em títulos do Tesouro, considerados ativos sem risco.
Mostre de que forma cada um dos eventos abaixo afetaria a linha de orçamento
do investidor e a proporção de sua carteira investida em ações:
a. O desvio padrão do retorno das ações aumenta, mas seu retorno
esperado permanece inalterado.
Conforme a seção 5.4, a equação da linha do orçamento é
 R − Rf
Rp =  m
 σm

σ p + R f ,

onde Rp é o retorno esperado da carteira, Rm é o retorno esperado do
ativo arriscado, Rf é o retorno esperado do ativo sem risco, σm é o
desvio padrão do retorno do ativo arriscado, e σp é o desvio padrão
do retorno da carteira. A linha do orçamento mostra a relação
positiva entre o retorno da carteira, Rp, e o desvio padrão do
retorno da carteira, σp.
No caso em questão, o aumento do desvio padrão do retorno das
ações, σm, torna a linha do orçamento menos inclinada, de modo
que, para qualquer nível de retorno da carteira, o desvio padrão
associado ao retorno aumenta. Logo, a proporção da carteira
investida em ações deve diminuir.
b. O retorno esperado das ações aumenta, mas seu desvio padrão
permanece inalterado.
O aumento do retorno esperado das ações, Rm, torna a linha do
orçamento mais inclinada, de modo que, para qualquer nível de
desvio padrão do retorno da carteira, σp, o retorno aumenta. Logo,
a proporção da carteira investida em ações deve aumentar.
c. O retorno dos títulos do Tesouro aumenta.
Nesse caso, ocorre um aumento de Rf, tal que a linha do orçamento se torna
menos inclinada e se desloca para cima. Em conseqüência, a proporção da
carteira investida em ações pode aumentar ou diminuir. Por um lado, os títulos
do Tesouro apresentam retorno mais elevado e são, portanto, mais atrativos. Por
outro lado, dado o maior retorno de cada título, o investidor pode obter, a partir
de uma menor quantidade de títulos, o mesmo fluxo total de pagamentos que
recebia antes. Por essa razão, o investidor pode estar disposto a direcionar mais
recursos para o ativo arriscado. O resultado final depende das preferências
específicas do investidor, bem como das magnitudes dos retornos dos dois ativos.
Uma situação análoga ocorre na determinação do nível de poupança quando a
taxa de juros aumenta: por um lado, a poupança poderia aumentar devido ao
maior retorno; por outro lado, ela poderia diminuir pelo fato de que, a partir de
um menor montante de poupança, o consumidor poderia auferir o mesmo nível
de renda no futuro.