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unesp
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
Departamento de Engenharia Mecânica
TRANSFERÊNCIA DE CALOR INDUSTRIAL
Prof. Dr. João Batista Campos Silva
Ilha Solteira, outubro de 2012
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_____________________________________________RESUMO
Este material foi escrito para servir de apoio aos alunos da disciplina: Transferência de
Calor Industrial, do Curso de Engenharia Mecânica da UNESP-Ilha Solteira. Os temas
abordados nesta disciplina são: 1) revisão de transferência de calor; 2) geradores de vapor e 3)
projeto termo-hidráulico de trocadores de calor caco-tubo. O objetivo da disciplina é dar aos
alunos uma visão dos processos de troca de calor que ocorre em escala industrial, além de
firmar os conceitos de transferência de calor.
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SUMÁRIO
Transferência de Calor Industrial .......................................................................................... 6 1.1 Conceitos Fundamentais .................................................................................................... 6 1.1.1 Importância de Transferência de Calor (Energia) e Massa ........................................ 6 1.1.2 Conceitos .......................................................................................................................... 7 1.1.2.1. Sistema Físico ............................................................................................................... 7 1.1.2.2 Equilíbrio Termodinâmico .......................................................................................... 8 1.1.2.3 Equilíbrio Termodinâmico Local ................................................................................ 8 1.1.2.4 Meio Contínuo .............................................................................................................. 9 1.1.2.5 Modos Principais de Transferência de Energia ......................................................... 9 1.1.2.6 Objetivos e Convenções .............................................................................................. 10 1.2. Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente .................................... 13 1.2.1 Paredes Planas ............................................................................................................... 13 1.2.1.1 Resistência Térmica.................................................................................................... 14 1.2.1.2 Paredes Compostas ..................................................................................................... 14 1.2.1.3 Coeficiente Global de Transferência de Calor ......................................................... 15 1.2.2 Cascas Cilíndricas ......................................................................................................... 17 1.2.3 Cascas Esféricas ............................................................................................................. 20 1.2.4 Raio Crítico de Isolação ................................................................................................ 22 1.2.5 Superfícies Estendidas (Aletas - Fins) ......................................................................... 24 1.2.5.1 Melhoria da Transferência de Calor ........................................................................ 24 1.2.5.2 Aletas de Seção Transversal Constante .................................................................... 25 1.2.5.3 Aletas de Seção Transversal Variável....................................................................... 32 1.2.5.4 Superfícies Estendidas com Movimento Relativo e Geração Interna de Calor .... 34 1.2.5.4.1 Equação Geral de Condução .................................................................................. 34 1.2.5.4.2 Extrusão de Plásticos e Trefilação ......................................................................... 35 1.2.5.4.3 Cabos Elétricos ........................................................................................................ 36 1.3. Condução de Calor Multidimensional em Regime Permanente ................................. 38 1.3.1 Soluções Analíticas ........................................................................................................ 41 1.3.2 Métodos aproximados ................................................................................................... 49 1.3.2.1 Método integral ........................................................................................................... 49 1.3.2.2 Método de análise de escala ....................................................................................... 50 1.3.2.3 Método gráfico ............................................................................................................ 51 1.3.3 Métodos numéricos ........................................................................................................ 53 1.3.3.1 Volume finito ............................................................................................................... 53 1.3.3.2 Diferença finita ........................................................................................................... 55 1.3.3.3 Elemento finito ............................................................................................................ 57 1.3.4 Resolução das Equações Geradas pelo Método de Diferenças Finitas ..................... 60 1.3.4.1 Método de Inversão de Matriz .................................................................................. 60 1.3.4.2 Método de Iterativo de Gauss-Seidel ........................................................................ 60 1.3.5 Separação de Variáveis em outros sistemas de coordenadas .................................... 61 1.4. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente ................................... 62 1.4.1 O modelo da capacitância concentrada ....................................................................... 62 1.4.2 O modelo do sólido semi-infinito .................................................................................. 64 1.4.2.1 O modelo do sólido semi-infinito: temperatura constante no contorno ................ 65 1.4.2.2 O modelo do sólido semi-infinito: fluxo de calor constante no contorno .............. 67 1.4.2.3 O modelo do sólido semi-infinito: superfície em contato com um fluido .............. 68 1.4.3 Condução unidimensional............................................................................................. 68 1.4.3.1 Placa de espessura constante ..................................................................................... 68 1.4.3.2 Cilindro longo ............................................................................................................. 71 4
1.4.3.3 Esfera ........................................................................................................................... 72 1.4.4 Condução multidimensional transiente ....................................................................... 74 1.4.5 Fontes e sumidouros concentrados .............................................................................. 78 1.4.5.1 Fontes e sumidouros instantâneos ............................................................................. 78 1.4.5.2 Fontes e sumidouros persistentes (contínuos) .......................................................... 80 1.4.5.3 Fontes de calor móveis ............................................................................................... 82 1.4.6 Solidificação e fusão ...................................................................................................... 84 1.4.6.1 Solidificação e fusão unidimensional ........................................................................ 84 1.4.6.2 Solidificação e fusão multidimensional ..................................................................... 87 1.5 Convecção .......................................................................................................................... 90 1.5.1 Coeficiente de Transferência de Calor Convectiva .................................................... 90 1.5.2 Convecção Forçada Externa ......................................................................................... 91 1.5.2.1 Escoamentos Laminares ............................................................................................ 91 1.5.2.1.1 Camada Limite Térmica ......................................................................................... 92 1.5.2.1.2 Camada Limite Térmica Espessa (Parede Isotérmica) ........................................ 94 1.5.2.1.3 Camada Limite Térmica Fina (Parede Isotérmica) ............................................. 95 1.6 Convecção Forçada Interna........................................................................................... 102 1.6.1 Fator de atrito de Fanning e Queda de Pressão........................................................ 102 1.6.2 Entrada Térmica ......................................................................................................... 103 1.6.3 Escoamentos Turbulentos ........................................................................................... 107 1.6.4. Variação da temperatura média de mistura ............................................................ 115 1.6.5 Taxa total de transferência de calor .......................................................................... 115 1.7 Convecção Livre ............................................................................................................. 118 1.7.1 Análise de escala em regime laminar ......................................................................... 118 1.7.2 Parede isotérmica (escoamento laminar) .................................................................. 122 1.7.3 Transição e Efeito de Turbulência sobre a Transferência de calor ........................ 125 1.7.4 Fluxo de Calor Uniforme na Parede .......................................................................... 127 1.7.5 Outras Configurações de Escoamentos Externos ..................................................... 128 1.7.5.1 Reservatório Fluido Estratificado Termicamente ................................................. 128 1.7.5.2 Paredes Inclinadas .................................................................................................... 129 1.7.6 Configurações de Escoamentos Internos ................................................................... 131 1.7.6.1 Canais Verticais ........................................................................................................ 131 1.7.6.2 Cavidades Aquecidas do Lado ................................................................................ 134 1.7.6.3 Cavidades aquecidas por Baixo ............................................................................... 137 1.7.6.4 Cavidades Inclinadas................................................................................................ 137 1.7.6.5 Outras Formas de Cavidades: Espaço Anelar entre Cilindros e Esferas
Concêntricas .......................................................................................................................... 138 1.8 Convecção com Mudança de Fase................................................................................. 139 1.8.1 Transferência de Calor na Condensação................................................................... 139 1.8.1.1 Filme Laminar sobre uma Superfície Vertical ...................................................... 139 1.8.1.2 Filme Turbulento sobre uma Superfície Vertical .................................................. 144 1.8.1.3 Filme de Condensação em Outras Configurações ................................................. 146 1.8.1.4 Condensação em gotas por Contato Direto ............................................................ 150 1.8.2 Transferência de Calor na Ebulição .......................................................................... 150 1.8.2.1 Regimes de Ebulição em Vaso Aberto .................................................................... 150 1.8.2.2 Nucleação da Ebulição e Fluxo de Calor de Pico................................................... 152 1.8.2.3 Filme da Ebulição e Mínimo Fluxo de Calor ......................................................... 154 1.8.2.4 Escoamento com Ebulição ....................................................................................... 155 1.9. Radiação ......................................................................................................................... 157 1.9.1 Radiação em corpo negro ........................................................................................... 160 5
1.9.2 Transferência de calor entre superfícies negras ....................................................... 164 1.9.2.1 O Fator de Forma Geométrico ................................................................................ 164 1.9.2.2 Relações entre fatores de forma .............................................................................. 167 1.9.2.3 Cavidade de duas superfícies ................................................................................... 168 1.9.3 Radiação em corpos cinzas ......................................................................................... 169 1.9.3.1 Emissividade ............................................................................................................. 169 1.9.3.2 Absortividade e Refletividade.................................................................................. 171 1.9.3.3 Lei de Kirchhoff ........................................................................................................ 172 1.9.4 Transferência de calor entre superfícies cinzas ........................................................ 173 2. Geradores de Vapor - GV ................................................................................................ 178 2.1. Introdução e Classificação ............................................................................................ 178 2.2 Caldeiras .......................................................................................................................... 178 2.2.1 Caldeiras flamotubulares ou fogotubulares .............................................................. 178 2.2.2 Caldeiras aquatubulares ............................................................................................. 181 2.3 Fornalha .......................................................................................................................... 184 2.4. Superaquecedores .......................................................................................................... 188 2.5. Economizador ................................................................................................................ 190 2.6 Pré-Aquecedores de Ar de Combustão......................................................................... 191 2.7 Sistema de Tiragem ........................................................................................................ 191 2.8. Tratamento de Água de Alimentação .......................................................................... 192 2.9 Perdas num Gerador de Vapor ..................................................................................... 194 2.10. Rendimento de um Gerador de Vapor ...................................................................... 195 2.11 Consumo de Combustível ............................................................................................ 195 3. Trocadores de calor .......................................................................................................... 196 3.1 Classificação de trocadores de calor ............................................................................. 196 3.2 Coeficiente global de transferência de calor ................................................................ 200 3.3 Diferença média logarítmica de temperatura .............................................................. 203 3.4 Efetividade - NTU ........................................................................................................... 208 3.5 Queda de pressão ............................................................................................................ 213 3.6 Trocadores de calor compactos ..................................................................................... 214 3.7 Método de Bell-Delaware ............................................................................................... 214 3.7.1 Coeficiente de Transferência de Calor do lado do Casco. ....................................... 216 3.7.2 Queda de Pressão do Lado do Casco. ........................................................................ 219 Bibliografia ............................................................................................................................ 222 6
Transferência de Calor Industrial
1.1 Conceitos Fundamentais
Neste tópico são apresentados conceitos fundamentais; uma breve descrição,
importância e alguns exemplos de aplicações de transferência de calor e massa.
1.1.1 Importância de Transferência de Calor (Energia) e Massa
A Civilização Moderna depende fortemente de como ela manuseia e usa sua energia,
energia esta suprida através de recursos naturais, nem sempre fáceis de serem explorados.
O uso de energia pode ser identificado como trabalho, potência e calor, mas na
realidade o trabalho e potência que são usados finalmente degeneram em calor. Calor é a troca
de energia entre objetos (sistemas) “quentes” e “frios” e a troca ocorre espontaneamente do
“quente” para o “frio”
(Transferência) de Calor é a ciência que explica e prediz quão rápida ocorre a troca de
energia como calor. É a ciência que integra as várias ferramentas analíticas e empíricas
provendo um fórum, um corpo de conhecimento, para projetistas, construtores, operadores,
gerentes e pesquisadores de forma mais acurada estudar calor como uma troca de energia.
A preocupação com energia, sua conservação ou economia pela sociedade requer
numa extensão importante a compreensão dos conceitos de transferência de calor e
transferência de massa.
Alguns casos de aplicação de transferência de calor:
-
isolamento (por fibra de vidro) de tetos e paredes de edifícios para manter determinadas
condições climáticas;
-
quantificação da perda de energia através de janelas modernas e isoladas para manter o
ambiente confortável tanto no inverno quanto no verão;
-
projeto e operação de geradores de vapor (caldeiras) ou ebulidores requer a compreensão
da transferência de calor que ocorre da queima (combustão) de carvão, gás ou óleo para a
água nos tubos;
-
projeto e construção de um radiador (convector) para um motor de automóvel para mantêlo “frio” quando em operação envolve transferência de calor e massa;
-
dissipação de calor em linhas de potência elétrica devido à resistência elétrica;
7
-
proteção de cabos elétricos contra fogo e altas temperaturas;
-
manutenção de temperaturas adequadas em circuitos de computadores e outros sistemas;
-
condicionamento de ar para conforto térmico;
-
processos sanitários, manuseio de lixo, esterilização;
-
manuseio e processamento de alimentos.
Transferência de massa é o estudo do movimento de massa de um local para outro
através do uso de dispositivos mecânicos ou naturalmente devido à diferença de densidade. A
diferença de densidade provoca difusão (transporte microscópico) de massa (uma espécie
penetra em outra) ou convecção natural (transporte macroscópico) de massa. Os dispositivos
mecânicos (bombas, ventiladores e compressores) provocam difusão e convecção forçada de
massa. Exemplos onde ocorrem transferência de massa:
-
processos químicos;
-
poluição do ar;
-
combustão;
-
processos criogênicos (baixas temperaturas) tais com produção de N2, H2 e O2 líquidos,
gelo seco (CO2 líquido)
1.1.2 Conceitos
1.1.2.1. Sistema Físico
Um sistema físico pode ser considerado com sendo constituído de um sistema material
(subsistema 1) mais um campo de radiação (subsistema 2). O sistema material, geralmente,
considerado como meio contínuo, é composto a nível elementar de moléculas (incluindo íons
e átomos), de elétrons e de partículas fictícias tais como fónons (quanta de energia vibracional
num sólido), etc.
Um meio pode ser considerado como contínuo quando o menor elemento de volume
ainda contém de 1015 a 1020 moléculas. Sob determinadas condições físicas, tais elementos
podem ser caracterizados estatisticamente por propriedades físicas macroscópicas médias
sobre todas as moléculas que eles contém (massa média, velocidade, pressão ou temperatura).
O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela
definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Δ de uma quantidade Iν′ , a
intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da
8
distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem
massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem
energia e = hν , onde h = 6, 6256 x10−34 Js é a constante de Planck.
1.1.2.2 Equilíbrio Termodinâmico
Em termodinâmica, o conceito de equilíbrio termodinâmico perfeito envolve equilíbrio
térmico (T uniforme), equilíbrio mecânico (p uniforme) e equilíbrio químico (potencial
químico μ uniforme) e é utilizado para equacionamento dos problemas. O equilíbrio térmico
significa que o sistema material é isotérmico a temperatura T; o campo de radiação tem uma
distribuição uniforme dependente apenas de T; o campo de radiação e sistema material estão
na mesma temperatura. Entretanto, para ocorrer transferência de calor, os sistemas devem
estar em não equilíbrio térmico.
1.1.2.3 Equilíbrio Termodinâmico Local
O não equilíbrio térmico causa a transferência de calor devido colisões entre
moléculas ou entre moléculas e uma parede; interações moléculas/fótons (absorção, emissão
espontânea, emissão estimulada); interações entre fónons, entre fónons e elétrons, elétrons e
fótons, outras interações. Como as leis da termodinâmica são utilizadas para equacionar
problemas de transferência, tem-se que lançar mão do conceito de equilíbrio termodinâmico
local (LTE).
A hipótese de equilíbrio termodinâmico local permite definir variáveis físicas
T ( r , t ), p ( r , t ), μ ( r , t ) , etc. em qualquer instante de tempo e para cada ponto r . Sob esta
hipótese, pode-se assumir que durante um intervalo dt e em um elemento de volume
arbitrariamente pequeno (mas macroscópico, contínuo) o sistema material está localmente
infinitamente próximo a um estado de equilíbrio, descrito por propriedades intensivas e
extensivas.
Em LTE adotado para estudo de problemas de transferência de calor o sistema físico é
o local dos seguintes processos macroscópicos irreversíveis com os quais um fluxo está
associado:
-
relativo a um elemento de matéria, o efeito cumulativo em escala macroscópica do
transporte de várias quantidades físicas (carga elétrica, no de um dado tipo, energia) por
9
partículas (moléculas, elétrons, fónons, etc.) traduz para fluxos por difusão: condução
elétrica, difusão de uma espécie em outra, condução térmica;
-
simultaneamente associado com cada transferência macroscópica por um movimento
global de parte do sistema material estão associados fluxos macroscópicos de carga
elétrica, energia, etc. Estes são chamados fenômenos convectivos: convecção elétrica,
convecção térmica, etc.;
-
interações entre moléculas do sistema material e os fótons do campo de radiação, quando
eles não estão em equilíbrio térmico resulta num fluxo macroscópico de energia na forma
de radiação.
1.1.2.4 Meio Contínuo
Em teoria cinética dos gases o conceito de meio contínuo é apresentado através da
seguinte definição de temperatura:
3
Nk B T =
2
N
∑
s =1
mv s2
2
(1.1.1)
na qual N é o no de átomos idênticos de massa m cada em equilíbrio térmico num elemento de
volume dV ( N ≈ 1015 − 10 20 ) o meio é considerado contínuo; k B = 1,38054 x10 −23 J / K é a
constante de Boltzmann e v s é velocidade de um átomo em relação a dV.
1.1.2.5 Modos Principais de Transferência de Energia
Os modos principais de transferência de energia na forma de calor são condução,
convecção e radiação. A condução térmica ocorre através de um elemento material no qual
existe um gradiente de temperatura. Ela representa o efeito global do transporte de energia por
portadores elementares (moléculas, fónons, elétrons, etc.).
Em fluidos os portadores elementares (moléculas, átomos, íons, etc.) são
caracterizados por energia de translação, possivelmente vibração e rotação, energia eletrônica.
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Em sólidos os átomos são arranjados em uma estrutura cristalina mais ou menos
perfeita. Os vetores de energia são fónons (quanta de vibração da estrutura cristalina) e talvez
elétrons livres (condução elétrica e térmica).
Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um
campo de radiação pelos seguintes processos:
-
emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de
vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fónons, etc. para uma energia radiativa
(de fótons);
-
absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica.
Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meio, Figura 1.1.1:
-
meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas
transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência;
-
meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente (Ii) que pode ser absorvida (Ia)
ou refletida (Ir). O meio opaco também pode emitir a radiação (Ie);
-
meio semitransparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou a transmite
em distâncias finitas.
Figura 1.1.1 Radiação em meios transparente e opaco
1.1.2.6 Objetivos e Convenções
O objetivo principal é determinar para qualquer sistema em LTE, a evolução do campo
de temperatura T (r , t ) e o fluxo de energia (para todas as formas de energia) que é necessário
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para controlar o processo. Um processo será em regime transiente (RT) se as quantidades
físicas A (escalares, vetores, tensores) dependem do tempo, isto é,
∂A(r , t )
≠0
∂t
(1.1.2)
Para processos em regime permanente (RP), não há variação das grandezas físicas com o
tempo. Ou seja,
∂A( r , t )
=0
∂t
(1.1.3)
Define-se fluxo de energia como a potência dΦ (em Watts) atravessando um elemento
de superfície dS , cuja normal é n e cujo vetor densidade de fluxo é q [W/m2], Figura 1.1.2.
Numericamente,
dΦ = q • n dS
.
(1.1.4)
Define-se a densidade de fluxo [W/m2] como
q ′′ = q • n
.
(1.1.5)
.
(1.1.6)
ou
q ′′ =
dΦ
dS
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Figura 1.1.2 Vetor densidade de fluxo através de um elemento dS com normal n .
Nos processos de condução térmica, define-se o vetor densidade de fluxo condutivo,
pela Lei de Fourier, como
q cd = − k∇T
,
(1.1.7)
na qual k é denominada condutividade térmica do material que pode depender da temperatura
e da direção espacial (caso em que k é um tensor e q cd = − k • ∇T ). O sinal negativo na Lei
de Fourier é requerido pela 2a Lei da Termodinâmica. O fluxo condutivo pode, então, ser
calculado na forma
q ′′ = q cd • n = − k∇T • n = − k
∂T
∂n
,
(1.1.8)
para q ′′ no sentido da normal ao contorno.
Compare a Lei de Fourier com as leis de Ohm e Fick. A Lei de Ohm estabelece que o
vetor densidade de corrente j é dado na forma:
j = σE = −σ∇Vel
,
(1.1.9)
na qual E é o campo elétrico, σ é a condutividade elétrica e Vel é o potencial elétrico. Já a
Lei de Fick de difusão de massa, estabelece que a taxa de difusão jα de uma espécie α numa
espécie β é definida pela equação
jα = − Dαβ ∇Cα
,
(1.1.10)
na qual Dαβ é a difusividade de α em β e Cα é a concentração molar definida por
Cα =
ρ nα
M n
,
onde ρ é a massa específica da mistura e M é o peso molecular da mistura.
(1.1.11)
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1.2. Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente
A equação da condução de calor nos casos mais genéricos pode ser encontrada em
livros textos de transferência de calor. No caso unidimensional em regime permanente, há
fluxo de calor predominante em uma dada direção, independente do tempo.
1.2.1 Paredes Planas
Considere o caso de uma parede plana de espessura L ao longo do eixo x, e infinita em
y e z, com temperaturas especificadas, T0 em x = 0 e TL em x = L, Figura 1.2.1. Suponha que
o material da parede seja isotrópico e homogêneo e que não há geração interna de energia na
parede. Com as hipóteses consideradas, este problema é governado pelo conjunto de
equações:
d 2T
=0
dx 2
(1.2.1)
T = T0 em x = 0
(1.2.2)
T = TL em x = L
(1.2.3)
Figura 1.2.1 Condução através de uma parede plana. Resistência térmica.
A solução da Eq. (1.2.1) é obtida integrando-se duas vezes a Eq. (1.2.1), obtendo-se o
resultado: T = c1 x + c2 . As constantes de integração podem ser obtidas usando as Eqs. (1.2.2)
e (1.2.3), cujo resultado final é uma variação linear da temperatura com x na forma:
T = T0 + (TL − T0 )
x
L
(1.2.4)
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A partir da Eq. (1.2.4) obtém-se que o gradiente de temperatura ao longo da parede é
independente de x , devido à variação linear da temperatura, dT / dx = (TL − T0 ) / L , e,
portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser calculado como
dT k
= (T0 − TL )
dx L
q′′ = − k
(1.2.5)
A taxa de calor atravessando a fronteira é obtida multiplicando o fluxo de calor pela
área da superfície A , assim,
q = q′′A =
kA
(To − TL )
L
(1.2.6)
1.2.1.1 Resistência Térmica
O inverso de kA / L é denominado de resistência térmica da camada e, portanto,
define-se:
Rt =
L
kA
(1.2.7)
Combinado as Eqs. (1.2.7) e (1.2.6) resulta
q=
To − TL
Rt
(1.2.8)
Observe que a taxa de calor como calculada pela Eq. (1.2.8) é completamente análoga à
corrente elétrica que atravessa um circuito com uma única resistência em que há uma
diferença de potencial elétrico. A resistência térmica é ilustrada na Figura 1.2.1
1.2.1.2 Paredes Compostas
Se a parede for constituída de várias camadas de espessura Li e condutividade térmica
ki , a resistência térmica de cada camada será
Rt ,i =
Li
ki A
(1.2.9)
A resistência térmica total será a associação em série das resistências individuais, ou seja,
Rt = ∑
i
Li
ki A
(1.2.10)
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Como exemplo, considere o caso de uma parede composta de três camadas de
materiais isotrópicos homogêneos, como ilustrado na Figura 1.2.2. Neste caso, a taxa de calor
pode ser calculada como
q=
To − TL
L1 / k1 A + L2 / k2 A + L3 / k3 A
(1.2.11)
Figura 1.2.2 Parede composta e sua resistência térmica.
1.2.1.3 Coeficiente Global de Transferência de Calor
No caso de trocadores de calor, por exemplo, geralmente, a parede separa dois campos
de escoamento, com um fluido “quente” em uma das faces da parede e outro fluido “frio” na
outra face; Figura 1.2.3. A transferência de calor do fluido quente para a parede e da parede
para o fluido frio pode ser estimada através do coeficiente de transferência convectiva
definido no capítulo 1. Suponha que do lado do fluido quente a temperatura seja Th com um
coeficiente hh caracterizando a troca de calor do fluido para a parede, e do lado frio a
temperatura seja Tc com um coeficiente hc caracterizando a troca de calor da parede para o
fluido. Neste caso, têm-se as seguintes equações:
Th − T0 =
q′′
hh
(1.2.12)
T0 − TL =
L
q′′
k
(1.2.13)
TL − Tc =
q′′
hc
(1.2.14)
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Figura 1.2.3 parede banhada por fluidos em suas faces. Coeficiente global de troca de calor.
Somando as Eqs. (1.2.12) – (1.2.14) obtém-se
⎛1 L 1
Th − Tc = ⎜ + +
⎝ hh k hc
⎞
⎟ q′′
⎠
(1.2.15)
Numa forma mais compacta a Eq. (1.2.15) pode ser reescrita como
Th − Tc =
q′′
U
(1.2.16a)
Ou na forma
q′′ = U (Th − Tc )
(1.2.16b)
Na qual o coeficiente global de transferência de calor é definido por
1 1 L 1
= + +
U hh k hc
(1.2.17)
Exercício 1.2.1: A parede de um incubador de ovos é composta por uma camada de fibra de
vidro de 8 cm entre duas camadas de fórmica de 1 cm cada uma. Do lado de fora a
temperatura é Tc = 10o C e o coeficiente de troca de calor do lado externo do incubador é
hc = 5W / m 2 K . Do lado interno, a temperatura é Th = 40o C e devido um ventilador forçar o
ar internamente sobre os ovos, o coeficiente de troca convectiva é hh = 20 W / m 2 K . Calcule o
fluxo de calor através da parede do incubador.
17
1.2.2 Cascas Cilíndricas
Muitos trocadores de calor são constituídos por cascas cilíndricas, como no caso do
trocador de calor conhecido como casco-tubo. Nestes casos, o fluxo de calor não se conserva
como ocorre na parede plana, visto que o gradiente de temperatura depende da posição radial.
Entretanto, a taxa de calor que atravessa a casca deve se conservar pela primeira lei da
termodinâmica. Considere uma casca cilíndrica de comprimento l ; de raio interno ri e cuja
superfície interna esteja a Ti . O raio externo é ro e a temperatura da superfície externa é To . O
fluxo de calor do lado interno é qi′′ e do lado externo será qo′′ ; Figura 1.2.4.
Figura 1.3.4 Condução radial numa casca cilíndrica.
A taxa de calor pode ser calculada se for determinado o fluxo de calor do lado interno,
por exemplo. Esta taxa pode ser estimada como
q = ( 2π rli ) qi′′
(1.2.18)
O fluxo de calor na direção radial pode ser obtido na forma:
⎛ dT ⎞
qi′′ = − k ⎜
⎟
⎝ dr ⎠ r = ri
(1.2.19)
O que obriga a determinação do campo de temperatura através da casca. A equação
governante para este problema em regime permanente, sem geração interna na parede e
simetria da temperatura é
1 d ⎛ dT
⎜r
r dr ⎝ dr
⎞
⎟=0
⎠
(1.2.20)
18
sujeita às condições de contorno
T = Ti em r = ri
(1.2.21)
T = To em r = ro
(1.2.22)
e
A seqüência de solução é obtida integrando duas vezes a eq. (1.2.20):
d ⎛ dT
⎜r
dr ⎝ dr
r
⎞
⎟=0
⎠
(1.2.23)
dT
= C1
dr
(1.2.24)
dT C1
=
dr
r
(1.2.25)
T = C1 ln ( r ) + C2
(1.2.26)
A Eq. (1.2.26) deve satisfazer as duas condições de contorno (1.2.21) e (1.2.22), o que
leva aos resultados:
Ti = C1 ln ( ri ) + C2
(1.2.27)
To = C1 ln ( ro ) + C2
(1.2.28)
Após a eliminação de C2 das Eqs. (1.2.27) e (1.2.28) obtém-se
C1 =
Ti − To
ln ( ri / ro )
(1.2.29)
Finalmente, subtraindo (1.2.27) de (1.2.26) resulta
⎛r⎞
T − Ti = C1 ln ⎜ ⎟
⎝ ri ⎠
(1.2.30)
e pelo uso de (1.3.29) obtém-se
T = Ti − (Ti − To )
ln ( r / ri )
(1.2.31)
ln ( ro / ri )
O gradiente de temperatura pode ser obtido como
dT 1 Ti − To
=
. Combinando as
dr r ln ( ri / ro )
equações (1.2.18) e (1.2.19) obtém-se a taxa de calor na forma
q=
2π kl
(Ti − T0 )
ln ( ro / ri )
Pode-se concluir que a resistência térmica da casca cilíndrica é
(1.2.32)
19
Rt =
ln ( ro / ri )
(1.2.33)
2π kl
Pela conservação da taxa de calor pode-se mostrar que
q = ( 2π rli ) qi′′ = ( 2π rl ) q′′
(1.2.34)
E, portanto, o fluxo de calor em qualquer raio será
q′′ =
ri
qi′′
r
(1.2.35)
No caso de uma casca composta, por exemplo, de três camadas; Figura 1.2.5, cujos
raios das interfaces sejam r1 e r2 respectivamente com r0 > r2 > r1 > ri , e as temperaturas do
fluido interno seja Th com hi e do lado seja Tc com ho ; a taxa de calor pode ser calculada
como
q = U i Ai (Th − Tc ) = U o Ao (Th − Tc ) =
Th − Tc
Rt
(1.2.36)
Na qual a resistência térmica pode ser calculada como
Rt =
ln ( r1 / ri ) ln ( r2 / r1 ) ln ( ro / r2 )
1
1
+
+
+
+
hi Ai
2π k1l
2π k2l
2π k3l
ho Ao
(1.2.37a)
Figura 1.2.5 Casca cilíndrica composta com transferência convectiva em ambos os lados.
Pela combinação das Eqs. (1.2.36) e (1.2.37) pode-se demonstrar que
20
1
1 r ln ( r1 / ri ) ri ln ( r2 / r1 ) ri ln ( ro / r2 ) 1 ri
= + i
+
+
+
U i hi
k1
k2
k3
ho ro
(1.2.37b)
1
1 ro ro ln ( r1 / ri ) ro ln ( r2 / r1 ) ro ln ( ro / r2 ) 1
=
+
+
+
+
U o hi ri
k1
k2
k3
ho
(1.2.37c)
As áreas das superfícies interna e externa da casca são definidas por
Ai = 2π rli ; Ao = 2π rol
(1.2.38)
1.2.3 Cascas Esféricas
A geometria esférica, Figura 1.2.6, pode ser analisada de maneira similar, por notar
que quando a temperatura das superfícies interna e externa são isotérmicas
(Ti ,To ) ,
a
temperatura dentro da casca pode variar apenas radialmente. Neste caso a equação que rege o
problema, com todas as hipóteses simplificadoras consideradas, como no caso do cilindro,
fica na forma:
1 d ⎛ 2 dT
⎜r
r 2 dr ⎝ dr
⎞
⎟=0
⎠
(1.2.39)
sujeita às condições de contorno
T = Ti em r = ri
(1.2.40)
T = To em r = ro
(1.2.41)
e
Figura 1.2.6 Condução radial através de uma casca esférica.
21
Multiplicando a Eq. (1.2.39) por r 2 dr e integrando uma vez resulta
r2
dT
dT C1
= C1 ou
=
dr
dr r 2
(1.2.42)
Agora, multiplicando a Eq. (1.2.42) por dr e integrando mais uma vez obtém-se
T =−
C1
+ C2
r
(1.2.43)
As restrições das condições de contorno levam ao sistema
Ti = −
C1
+ C2
ri
(1.2.44)
To = −
C1
+ C2
ro
(1.2.45)
A eliminação de C2 das Eqs. (1.2.44) de (1.2.45) leva ao valor de C1 na forma
C1 =
ri ro (Ti − To )
(1.2.46)
ri − ro
Subtraindo a eq. (1.2.44)de (1.2.43) e pelo uso de (1.2.46) obtém-se
T − Ti = (Ti − To )
ro ⎛ r − ri ⎞
⎜
⎟
r ⎝ ri − ro ⎠
(1.2.47)
da qual se obtém o gradiente de temperatura e o fluxo de calor qi′′ definidos respectivamente
por
dT ri ro (Ti − To )
= 2
dr
r ri − ro
(1.2.48)
ro Ti − To
⎛ dT ⎞
qi′′ = − k ⎜
⎟ =k
ri ro − ri
⎝ dr ⎠ r = ri
(1.2.49)
A taxa de calor pode ser obtida multiplicando o fluxo pela área de troca, no caso de
uma esfera, Ai = 4π ri 2 , resultando
q = 4π kro ri
Ti − To
ro − ri
(1.2.50)
Pela observação da Eq. (1.2.50) pode-se concluir que a resistência térmica da casca esférica é
Rt =
1 ⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
4π k ⎝ ri ro ⎠
(1.2.51)
No caso de uma casca esférica composta de duas camadas, por exemplo, com
convecção interna e externa, a resistência térmica total será
22
1
1 ⎛1 1⎞
1 ⎛1 1⎞ 1
+
⎜ − ⎟+
⎜ − ⎟
hi Ai 4π k1 ⎝ ri r1 ⎠ 4π k2 ⎝ r1 ro ⎠ ho Ao
Rt =
(1.2.52)
1.2.4 Raio Crítico de Isolação
Uma aplicação do conceito de resistência térmica é determinação de espessura anular
que deve ser aplicada sobre a superfície externa de uma parede cilíndrica de temperatura
conhecida Ti . A função da camada isolante colocada entre o raio ri e ro é reduzir a taxa total
de transferência de calor entre o corpo interno e o fluido ambiente a T∞ e coeficiente h de
troca convectiva. A Figura 1.2.7, no alto à direita, ilustra a camada de isolante térmico.
A taxa total de transferência de calor varia inversamente com a resistência térmica,
porque q = (Ti − T∞ ) / Rt . A resistência térmica neste caso pode ser calculada como
Rt =
ln ( ro / ri )
2π kl
+
1
h ( 2π ro l )
(1.2.53)
Para h e k constantes, Rt será uma função do raio externo ro . E quando a resistência térmica
alcançar um mínimo a taxa de calor atingirá um máximo. Derivando Rt da Eq. (1.2.53) em
relação a ro resulta ∂Rt / ∂ro = 1 / 2π klro − 1 / 2π lhro2 . Para se obter o ponto de mínimo ou
máximo faz-se ∂Rt / ∂ro = 0 o que leva ao resultado do raio crítico de isolamento
ro ,c =
k
h
(1.2.54)
A resistência mínima será, portanto,
Rt ,min =
ln ( k / hri ) + 1
2π kl
(1.2.55)
Algumas conclusões que se pode tirar do conceito de raio critico de isolação é que,
quando, o cilindro for espesso, de tal forma que
ri > ro ,c ou
k
< 1;
hri
(1.2.56)
a adição de uma camada de material isolante sempre se traduz em aumento de Rt e, portanto
redução de q como desejado. No caso oposto, quando,
ri < ro ,c ou
k
> 1;
hri
(1.2.57)
23
o enrolamento de uma primeira camada isolante reduzirá a resistência térmica. O efeito inicial
será um aumento da transferência de calor. Apenas quando material suficiente tenha sido
adicionado de modo que ro exceda ro,c , a espessura de isolamento aumentará o valor de Rt e
redução de q .
No caso de isolação de um objeto esférico de raio ri , o raio critico de isolação será
estimado pela relação:
ro ,c = 2
k
h
(1.2.58)
Figura 1.2.7 Efeito do raio externo sobre a resistência térmica global de uma camada
cilíndrica isolante.
Exercício 1.2.2: Um fio isolado suspenso no ar gera aquecimento pelo efeito Joule à taxa de
q′ = 1W / m . O fio cilíndrico de raio ri = 0 ,5 mm está 30 oC acima da temperatura ambiente. É
proposto encapar fio com plástico de isolamento elétrico, cujo raio externo será ro = 1 mm . A
condutividade térmica do material plástico k = 0 ,35W / mK . O plástico isolante aumentará o
contato térmico entre fio e ambiente, ou promoverá efeito de isolamento térmico? Para
verificar a resposta calcule a diferença de temperatura entre o fio e ambiente quando o fio
estiver encapado pelo plástico.
24
1.2.5 Superfícies Estendidas (Aletas - Fins)
No projeto de trocadores de calor, muitas vezes se torna necessário melhorar a
eficiência do processo de troca, bem como aumentar a troca de calor. Uma das maneiras de
conseguir tal objetivo é aumentar a área superficial do trocador. Devido a limitações de
tamanho, por exemplo, uma maneira de aumentar a superfície de troca é pelo uso de aletas
que são superfícies estendidas a partir de uma área base. As aletas têm as mais variadas
formas e serão analisadas neste item. Aletas retangulares são ilustradas na Figura 1.2.8.
Figura 1.2.8 Aumento da troca de calor na área coberta por aletas.
1.2.5.1 Melhoria da Transferência de Calor
A proposta de melhoria ou aumento de transferência de calor entre uma superfície
sólida e o fluido que a banha é comum em proposições de projetos de térmicos. Para entender
como uma aleta funciona, considera-se, inicialmente, uma superfície plana d(sem aletas) de
área A0 banhada por um fluido com coeficiente de troca h. A temperatura da superfície é Tb e
temperatura do fluido é T∞ . Assim a taxa de calor através da superfície pode ser calculada por
q0 = hA0 (Tb − T∞ )
(1.2.59)
O fluxo de calor na superfície sem aletas (unfinned – u) suposto uniforme em toda
área é definido como q0 / A0 . A taxa de calor na superfície aletada (finned) é definida por q .
O objetivo é ter uma superfície aletada de forma que q > q0 . Isto poder alcançado com aletas
que tenham boa condutividade térmica, de tal forma que a temperatura da superfície da aleta
25
seja comparável à temperatura da base Tb . Uma maneira de medir a melhoria da troca de calor
é através da definição de efetividade global da área projetada da aleta como
ε0 =
q
q
=
q0 hA0 (Tb − T∞ )
(1.2.60)
No caso da superfície aletada a área A0 será a soma das áreas sem aletas mais a
projeção das áreas da aletas na base. Designando a área sem aletas por A0,u e a área projetada
da aleta por A0, f ; então, tem-se
A0 = A0 , f + A0 ,u
(1.2.61)
A taxa de calor para a superfície aletada será estimada como
q = qb′′A0 , f + hA0 ,u (Tb − T∞ )
(1.2.62)
na qual qb′′ é o fluxo de calor médio através da base de um aleta e será o foco de cálculo.
1.2.5.2 Aletas de Seção Transversal Constante
O caso mais simples é o de aletas de seção transversal constante; Figura 1.2.9. Num
modelo de condução longitudinal o fluxo de calor na base da aleta pode ser calculado como
⎛ dT ⎞
qb′′ = −k ⎜
⎟
⎝ dx ⎠ x =0
(1.2.63)
Portanto, o cálculo do fluxo de calor requer a determinação da distribuição de temperatura
T ( x ) na aleta. Considere um elemento de volume de aleta de área superficial pΔx . Um
balanço de energia neste volume leva a equação
q′′x Ac − q′′x +Δx Ac − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0
(1.2.64)
26
Figura 1.2.9 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal constante.
O fluxo de calor em x + Δx pode ser expresso como q′′x +Δx = q′′x +
dq′′x
Δx +
dx
que
substituído em (1.2.64) leva à equação
−
dq′′x
ΔxAc − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0
dx
(1.2.65)
Usando a Lei de Fourier para expressar q′′x em função da temperatura resulta
d 2T
kAc 2 − hp (T − T∞ ) = 0
dx
(1.2.66)
A Eq. (1.2.66) expressa o balanço entre o calor que é conduzido e chega à posição x e o que
sai por convecção através da superfície da aleta. A Eq. (1.2.66) é uma EDO de segunda ordem
e requer, portanto duas condições de contorno para sua solução.
Aletas Longas. Considere, primeiro, o caso de aleta longa, de forma que na sua ponta tem –se
a seguinte condição de contorno:
T → T∞ quando x → ∞
(1.2.67)
A outra condição de contorno é obtida da hipótese de que sua raiz está na mesma temperatura
da parede base, ou seja,
T = Tb em x = 0
(1.2.68)
27
Definido o excesso de temperatura como
θ ( x ) = T ( x ) − T∞
(1.2.69)
a Eq. (2.94) pode ser reescrita como
d 2θ
− m 2θ = 0
2
dx
(1.2.70)
sujeita às condições de contorno
θ = θb em x = 0 ( θb = Tb − T∞ )
(1.2.71)
θ → 0 quando x → ∞
(1.2.72)
m é um parâmetro crucial do arranjo aleta-fluido, definido como
1/ 2
⎛ hp ⎞
m=⎜
⎟
⎝ kAc ⎠
(1.2.73)
A solução Eq. (1.2.70) é do tipo
θ ( x ) = c1 exp ( −mx ) + c2 exp ( mx )
(1.2.74)
O uso das condições de contorno leva aos valores das constantes c1 e c2 :
c2 = 0 c1 = θb
(1.2.75)
A distribuição de temperatura ao longo da aleta será, portanto, expressa como
θ ( x ) = θb exp ( −mx )
(1.2.76)
A temperatura decai exponencialmente da base para a ponta. Da mesma forma o fluxo
convectivo h (T − T∞ ) = hθ decai exponencialmente. Uma aleta é considera longa quando a
seguinte restrição é satisfeita
mL
1
(1.2.77)
A taxa de calor na base da aleta pode ser calculada como
qb = qb′′Ac = θ b ( kAc hp )
1/ 2
(1.2.78)
que mostra como os parâmetros físicos afetam a troca de calor.
Aleta de Comprimento Finito com a Ponta Isolada. Muitos projetos não satisfazem o
critério de aleta longa; portanto, a aleta deve ser considerada de comprimento finito. Neste
caso, como a temperatura da ponta da aleta é diferente da temperatura ambiente, a taxa de
calor na ponta da aleta será
qtip = hAc ⎡⎣T ( L ) − T∞ ⎤⎦
(1.2.79)
28
Um passo intermediário antes deste caso mais geral é considerar a aleta com a ponta
isolada, caso em que se tem
dT
dθ
= 0 ou
= 0 em x = L
dx
dx
(1.2.80)
Este caso limite é uma boa aproximação para o caso
qb > qtip
(1.2.81)
A solução geral para este caso tem a forma:
θ ( x ) = c1* senh ( mx ) + c*2 cosh ( mx )
(1.2.82)
As condições de contorno (1.2.71) e (1.2.80) levam aos valores das constantes
c*2 = θ b e c1* = −θb tanh ( mL )
(1.2.83)
Este caso é ilustrado na Figura 1.2.10. A forma final da solução, após algumas
manipulações, é:
θ = θb
cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦
(1.2.84)
cosh ( mL )
Figura 1.2.10 Aleta com a ponta isolada (lado esquerdo) versus aleta com transferência de
calor na ponta ((lado direito)
A temperatura na ponta das aleta será
θ ( L) =
θb
cosh ( mL )
A taxa de calor através da base da aleta será
(1.2.85)
29
⎛ dT ⎞
qb = Ac ⎜ − k
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
= θb ( kAc hp )
1/ 2
(1.2.86)
tanh ( mL )
Pode-se demonstrar que o caso de aleta com a ponta isolada é satisfeito quando
1/ 2
⎛ hAc ⎞
1
=
⎜
⎟
qb senh ( mL ) ⎝ kp ⎠
qtip
<< 1
(1.2.87)
Efeito de Transferência de Calor na Ponta. Neste caso, ilustrado, do lado direito da Figura
1.2.10, a condição de contorno é da forma
− kAc
dθ
= hAcθ em x = L
dx
(1.2.88)
A solução da Eq. (1.2.70) com as condições de contorno (1.2.71) e (1.2.88) é da forma
θ = θb
cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦ + ( h / mk ) s en h ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦
(1.2.89)
cosh ( mL ) + ( h / mk ) s en h ( mL )
A taxa de calor na base, neste caso, pode ser estimada da mesma forma que aleta da
ponta isolada, porém, corrigindo o comprimento, de tal forma que
⎛ dT ⎞
qb = Ac ⎜ − k
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
= θb ( kAc hp )
1/ 2
(1.2.90)
tanh ( mLc )
na qual, o comprimento corrigido, Figura 1.2.11, é expresso como
Lc = L +
Ac
p
Por exemplo, para uma aleta plana de espessura t
(1.2.91)
e largura W ,
Ac = tW
e
p = 2 (W + t ) ≅ 2W . Neste caso, pode-se mostrar que
Lc = L +
t
(aleta plana)
2
(1.2.92)
Para uma aleta de seção cilíndrica de diâmetro D constante tem-se
Lc = L +
D
(pino ou aleta cilíndrica)
4
(1.2.93)
30
Figura 1.2.11 Conceito de comprimento corrigido.
A partir da Eq. (1.2.89) pode-se obter a derivada da temperatura na forma
m s en h ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦ + ( h / k ) cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦
dθ
= −θb
dx
cosh ( mL ) + ( h / mk ) s en h ( mL )
(1.2.94)
A taxa de calor calculada pela expressão exata do gradiente em x = 0 seria da forma
⎛ dT ⎞
qb = Ac ⎜ − k
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
1 / 2 senh ( mL ) + ( h / mk ) cosh ( mL )
= θb ( kAc hp )
cosh ( mL ) + ( h / mk ) sen h ( mL )
(1.2.95)
Eficiência da aleta versus efetividade da aleta. O parâmetro adimensional que descreve
quão bem são as funções da aleta como uma extensão da superfície da base é a eficiência da
aleta η ( 0 < η < 1) :
η=
qb
taxa real de transferencia de calor
=
maxima taxa de transferencia de calor hpLcθ b
(1.2.96)
quando toda aleta esta na temperatura
da base
Usando a Eq. (1.2.90) obtém-se a eficiência da aleta na forma
η=
tanh ( mLc )
mLc
Algumas vezes se usa como abscissa, no lugar de mLc , o parâmetro:
(1.2.97)
31
1/ 2
⎛ 2h ⎞
Lc ⎜ ⎟
⎝ kt ⎠
(1.2.98)
A Figura 1.2.12 mostra a eficiência para alguns perfis de aletas. Alternativamente, se
usa a efetividade da aleta como uma medida de sua performance. A efetividade ε f é definida
como
εf =
q
taxa total de transferencia de calor
= b
taxa de transferencia de calor que deveria hAcθb
(1.2.99)
ocorrer atraves da area da base
na ausencia da aleta
Figura 1.2.12 Eficiência de aletas bidimensionais com perfis retangular, triangular e
parabólico.
Se for para a aleta desempenhar sua função de aumento de transferência de calor
apropriadamente, então, ε f deve ser maior do que 1. Uma boa aleta tem, portanto, efetividade
maior do que sua eficiência. A relação entre elas será
ε f pLc area total de contato com o fluido
=
=
Ac
area da seçao transversal
η
(1.2.100)
32
A efetividade da aleta é também maior do que a efetividade global baseada na área superficial
projetada. A relação entre ε 0 e ε f é obtida pela combinação de (1.2.60), (1.2.62) e (1.2.99):
ε0 = ε f
A0 , f
A0
+
A0 ,u
A0
(1.2.101)
1.2.5.3 Aletas de Seção Transversal Variável
No caso da aleta plana de seção transversal constante, ela é denominada de aleta
retangular, pois olhando lateralmente vê-se um retângulo. Há casos em que a seção transversal
da aleta diminui da base para sua ponta; Figura 1.2.13. O balanço de energia neste caso leva à
equação:
qx − qx +Δx − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0
(1.2.102)
Após simplificações resultará
−
dqx
− hp (T − T∞ ) = 0
dx
(1.2.103)
Pelo uso da Lei de Fourier, qx = −kAc ( x ) dT / dx chega-se a
d ⎛
dT ⎞
⎜ kAc
⎟ − hp (T − T∞ ) = 0
dx ⎝
dx ⎠
(1.2.104)
Figura 1.2.13 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal variável.
33
Para dadas variações de Ac ( x ) e p ( x ) , o objetivo é determinar a taxa de transferência
de calor que passa através da base da aleta:
dT ⎞
⎛
qb = − ⎜ kAc ( x )
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
(1.2.105)
O resultado final também pode ser quantificado em função eficiência da aleta na forma:
η=
qb
hAexp (Tb − T∞ )
(1.2.106)
na qual Aexp é área exposta da superfície da aleta, isto é, a área banhada pelo fluido. No caso
de aletas triangulares e parabólicas, apenas a área da seção transversal varia, mas não o
perímetro. No caso de uma aleta na foram de disco, Figura 1.2.14, ambos Ac e p variam.
Figura 1.2.14 Eficiência de uma aleta anelar de espessura constante.
34
1.2.5.4 Superfícies Estendidas com Movimento Relativo e Geração Interna de Calor
1.2.5.4.1 Equação Geral de Condução
O modelo de condução unidimensional da aleta clássica também encontra aplicação no
caso de corpos longos. Considere o caso de um corpo cilíndrico de seção variável que tenha
movimento relativo na direção x com velocidade U e está exposto a convecção num
reservatório fluido; Figura 1.2.15. Suponha que exista geração interna no corpo. O balanço de
energia neste caso leva à equação:
qx − qx +Δx − ( pΔx ) h (T − T∞ ) + mix − mix +Δx + q′′′Ac Δx = 0
(1.2.107)
na qual ix é a entalpia especifica do sólido na posição x . Tratando o sólido como
incompressível, tem-se
dix = cdT +
1
ρ
dP
(1.2.108)
Para pressão constante, dix = cdT e, portanto,
m ( ix − ix +Δx ) = − m
dix
dT
Δx = − mc
Δx
dx
dx
Está implícita nesta derivação que a vazão mássica é conservada de uma seção
transversal para outra:
m = ρ AcU
(1.2.109)
Figura 1.2.15 Conservação da energia num corpo longo com movimento sólido e geração
interna
35
A equação final de balanço de energia fica na forma:
d ⎛
dT ⎞
dT
+ q′′′Ac = 0
⎜ kAc
⎟ − hp (T − T∞ ) − ρ cAcU
dx ⎝
dx ⎠
dx
(1.2.110)
1.2.5.4.2 Extrusão de Plásticos e Trefilação
Nestes processos de fabricação, após passar pelas matrizes, os corpos se comportam
como superfícies estendidas em movimento relativo, Figura 1.2.16. Nestes processos pode-se
desprezar a geração interna, e supondo Ac e U constantes, resulta para o excesso de
temperatura, a equação:
d 2θ U dθ
−
− m 2θ = 0
dx 2 α dx
(1.2.111)
As condições de contorno para este caso são:
θ = θb em x = 0
(1.2.112)
θ → 0 quando x → ∞
(1.2.113)
Figura 1.2.16 Distribuição de temperatura ao longo de uma fibra plástica em processo de
extrusão;.
A solução para este problema é imediata e da forma:
⎛ x⎞
⎝
⎠
θ ( x ) = θ b exp ⎜ − ⎟
l
(1.2.114)
36
na qual l é um comprimento característico em que a temperatura do sólido se aproxima da
temperatura do fluido circundante:
⎧⎪ ⎡⎛ U ⎞ 2
⎤ U ⎫⎪
2
l = ⎨ ⎢⎜
⎬
⎟ +m ⎥−
⎥⎦ 2α ⎭⎪
⎩⎪ ⎢⎣⎝ 2α ⎠
−1
(1.2.115)
Dois casos limites são de interesse. No limite de altas velocidades, U / 2α >> m , o
comprimento de resfriamento é proporcional à velocidade da fibra plástica:
U≅
⎛ U
⎞
>> 1⎟
⎜
⎝ 2α m
⎠
U
α m2
(1.2.116)
No caso oposto, U / 2α << m , o comprimento de resfriamento aproxima-se de uma constante:
l≅
1
m
⎛ U
⎞
<< 1⎟
⎜
⎝ 2α m
⎠
(1.2.117)
Neste último caso, a fibra se comportas como uma aleta longa de seção constante.
1.2.5.4.3 Cabos Elétricos
Nestes casos pode desprezar efeitos variação de entalpia e considerar o efeito Joule
como geração interna, que é amortecido via condução no suporte, Figura 1.2.17. A equação a
ser resolvida neste caso é da forma:
d 2θ
q′′′
− m 2θ +
=0
2
dx
k
(1.2.118)
sujeita às restrições:
θ = θb em x = 0
(1.2.119)
θ → valor finito quando x → ∞
(1.2..120)
A solução para este problema é da forma
θ ( x ) = θ b exp ( − mx ) +
q′′′
⎡1 − exp ( − mx ) ⎤⎦
m2 k ⎣
(1.2.121)
A interação por condução longitudinal com o suporte x = 0 é sempre sentida no comprimento
de fator de escala 1/ m . Além deste comprimento, a temperatura do cabo se torna
independente de x , isto é, θ ≅ q′′′ / ( m 2 k ) . Isto mostra que a seção do cabo se torna cada vez
mais quente quando q′′′ cresce. Se o suporte será aquecido ou resfriado pelo cabo depende de
como significativo é o efeito de q′′′ . Pelo cálculo da taxa de transferência de calor através da
37
raiz do cabo (saindo do suporte) pode-se mostrar que o suporte será aquecido pelo cabo
( qb < 0 ) se
q′′′Ac
>1
hpθ b
(1.2.122)
Quando o valor do grupo grandeza da Eq. (1.2.122) for unitário, o cabo inteiro estará
isotérmico.
Figura 1.2.17 Distribuição de temperatura num cabo elétrico com aquecimento volumétrico.
38
1.3. Condução de Calor Multidimensional em Regime Permanente
A equação da condução de calor, que é o processo de transferência de energia que
ocorre na fronteira de um sistema em repouso devido a um gradiente de temperatura, tem sido
deduzida em muitos livros. Essa equação genérica é da forma:
−∇iq (r , t ) + q′′′(r , t ) = ρ C p
∂T (r , t )
∂t
(1.3.1)
na qual o primeiro termo do membro do lado esquerdo da equação representa a taxa de calor
entrando através da superfície do sistema, o segundo termo representa a taxa de geração por
unidade de volume e o termo do lado direito da equação representa a taxa de armazenamento
de energia dentro do sistema.
No caso de meios ou materiais em que a condutividade térmica independe da direção
(meios isotrópicos), o vetor fluxo de calor pode ser definido na seguinte forma (Lei de
Fourier):
q = − k ∇T
(1.3.2)
em que k é a condutividade térmica que pode ser uma função da temperatura, k = k (T ) .
A expressão para os componentes do fluxo de calor, em sistemas de coordenadas
curvilíneas ortogonais ( x1 , x2 , x3 ) , é da forma
qi = − k
1 ∂T
; i = 1, 2,3
hi ∂xi
(1.3.3)
na qual hi são fatores de escalas que aparecem em transformações de coordenadas de um
sistemas
de
coordenadas
para
outro,
em
que
se
conheçam
as
relações,
xi = xi ( u1 , u2 , u3 ) ; i = 1, 2,3 com ( u1 , u2 , u3 ) sendo a tripla de coordenadas no novo sistema.
Os fatores de escalas são definidos na forma
⎛ ∂x j ⎞
h = ∑⎜
⎟
j =1 ⎝ ∂ui ⎠
3
2
i
2
(1.3.4)
Nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas têm-se os dados na
Tabela 1.3.1
39
Tabela 1.3.1 – Sistemas de coordenadas ortogonais e fatores de escalas
Coordenadas
u1
u2
u3
Cartesianas
x
y
z
Cilíndricas
r
Esféricas
r
θ
x1
x2
x3
x
y
z
r.cos( θ )
r.sen( θ )
z
θ
φ
r.cos( θ )sen( φ )
r.sen( θ )sen( φ )
r.cos( φ )
h1
h2
1
1
1
r
r ⋅ sen (φ )
h3
1
1
r
No sistema de coordenadas cartesianas
z
( x, y, z ) ,
1
os fluxos de calor ficam, então,
definidos como
q1 = − k
∂T
∂x
(1.3.5a)
q2 = − k
∂T
∂y
(1.3.5b)
q3 = − k
∂T
∂z
(1.3.5c)
Para coordenadas cilíndricas ( r ,θ , z ) resulta:
qr = − k
∂T
∂r
(1.3.6a)
qθ = − k
∂T
r ∂θ
(1.3.6b)
qz = −k
∂T
∂z
(1.3.6c)
Para coordenadas esféricas ( r ,θ , φ ) resulta:
qr = − k
∂T
∂r
(1.3.7a)
qθ = −k
∂T
rsen (φ ) ∂θ
(1.3.7b)
qφ = − k
∂T
r ∂φ
(1.3.7c)
40
A partir das Equações (1.3.1) e (1.3.3) pode-se obter
1 ⎡ ∂ ( h2 h3 q1 ) ∂ ( h1h3q2 ) ∂ ( h1h2 q3 ) ⎤
∂T
+
+
num domínio Ω, t > 0 (1.3.8)
⎢
⎥ + q′′′ = ρ C p
h1h2 h3 ⎣ ∂x1
∂x2
∂x3 ⎦
∂t
Substituindo os fluxos de calor dos sistemas de coordenadas (equações (1.3.5) a
(1.3.7)) obtêm-se as equações para os sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e
esféricas como a seguir.
- Sistema de coordenadas retangulares:
∂ ⎛ ∂T
⎜k
∂x ⎝ ∂x
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎟+ ⎜k
⎠ ∂y ⎝ ∂y
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎟+ ⎜k
⎠ ∂z ⎝ ∂z
∂T
⎞ ′′′
⎟ + q ( x, y , z , t ) = ρ C p
∂t
⎠
(1.3.9)
- Sistema de coordenadas cilíndricas:
1 ∂ ⎛ ∂T
⎜ kr
r ∂r ⎝ ∂r
⎞ 1 ∂ ⎛ ∂T
⎟+ 2
⎜k
⎠ r ∂θ ⎝ ∂θ
⎞ ∂ ⎛ ∂T
⎟+ ⎜k
⎠ ∂z ⎝ ∂z
∂T
⎞ ′′′
⎟ + q (r ,θ , z, t ) = ρ C p
∂t
⎠
(1.3.10)
- Sistema de coordenadas esféricas:
1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞
1
1
∂ ⎛ ∂T ⎞
∂ ⎛
∂T ⎞
⎜ kr
⎟+ 2 2
⎜k
⎟+ 2
⎜ ksen (φ )
⎟+
2
r ∂r ⎝
∂r ⎠ r sen (φ ) ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r sen (φ ) ∂φ ⎝
∂φ ⎠
∂T
+ q′′′(r , θ , φ , t ) = ρ C p
∂t
(1.3.11)
As condições de contorno em problemas de condução podem ser escritas na seguinte
forma genérica, para uma superfície Si normal a um eixo de coordenadas xi
∓ ki
∂T
∂nì
+ γ iT = f i sobre Si , t > 0
(1.3.12)
Si
Assume-se que o domínio Ω tem um número de superfícies contínuas Si , i = 1, 2,… , s em
número, tal que cada superfície Si coincide com a superfície do sistema de coordenadas
ortogonal escolhido. As combinações ki = 0, γ i = 1 ou δ i = 1, γ i = 0 recuperam as condições
de contorno de primeiro ou de segundo tipos respectivamente. O sinal mais ou menos depende
se a normal a Si está apontando no sentido positivo ou negativo da direção xi
respectivamente.
41
A condição inicial geralmente é da forma:
T ( r , t ) = F ( r ) para t = 0 no domínio Ω
(1.3.13)
Os métodos de solução da equação de condução podem ser analíticos exatos, métodos
analíticos aproximados ou métodos numéricos dependendo da complexidade do problema a
ser analisado. Os métodos analíticos englobam os métodos de Separação de Variáveis,
Técnica de Transformada Integral, Técnica de Transformada de Laplace, por exemplo. Os
métodos analíticos aproximados incluem o Método Integral, Método de Rayleigh-Ritz,
Método de Galerkin, entre outros. Os métodos numéricos clássicos são: Método de Diferença
Finita, Método de Volume Finito e Método de Elemento Finito. Um método numérico
também usado é o método de Monte-Carlo. Alguns destes métodos serão descritos a seguir.
1.3.1 Soluções Analíticas
O método analítico clássico em problemas de condução de calor homogêneos é o
método de separação de variáveis. O procedimento de separação de variáveis pode ser
aplicado também ao caso dos problemas em regime permanente sem geração de calor quando
apenas uma das condições de contorno seja não homogênea. Se várias condições de contorno
são não homogêneas é possível separar o problema original em um conjunto de problemas em
que cada um dos subproblemas tenha apenas uma condição de contorno não homogênea.
Considere, por exemplo, o problema de condução multidimensional homogêneo em regime
permanente com condição de contorno não homogênea definido a seguir:
∇ 2T ( r ) = 0 num domínio Ω
(1.3.14a)
∂T
+ hiT = f i sobre Si
∂nì
(1.3.14b)
ki
O problema definido por (1.3.14) pode ser separado em um conjunto de problemas
mais simples de forma que apenas uma condição de contorno permaneça não homogênea.
Cada subproblema será governado pelas seguintes equações
∇ 2T j ( r ) = 0 num domínio Ω
ki
∂T j
∂nì
+ hT
i j = δ ij f i sobre Si
(1.3.15a)
(1.3.15b)
42
nas quais
i = 1, 2,… , s
j = 1, 2,… , s
⎧1 se i = j
⎩0 se i ≠ j
δ ij = ⎨
A solução para a distribuição de temperatura será a superposição das soluções dos problemas
mais simples na forma
s
T ( r ) = ∑ Tj ( r )
(1.3.16)
j =1
Considere
o
seguinte
caso
de
condução
num
paralelepípedo
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c com as condições de contorno definidas a seguir
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
+
+
= 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
T = T0 em x = 0 ; T = T∞ em x = a
(1.3.17a)
(1.3.17b, c)
−k
∂T
∂T
= q1′′ em y = 0 ; k
+ h1T = h1T∞ em y = b
∂y
∂y
(1.3.17d, e)
−k
∂T
∂T
= q2′′ em z = 0 ; k
+ h2T = h2T∞ em z = c
∂z
∂z
(1.3.17f, g)
Como todas as condições de contorno são não homogêneas, inicialmente, faz a
seguinte mudança de variável θ = T − T∞ , que homogeneíza três condições de contorno
resultando
∂ 2θ ∂ 2θ ∂ 2θ
+
+
= 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
θ = θ 0 em x = 0 ; θ = 0 em x = a
(1.3.18a)
(1.3.18b, c)
−k
∂θ
∂θ h1
= q1′′ em y = 0 ;
+ θ = 0 em y = b
∂y
∂y k
(1.3.18d, e)
−k
∂θ
∂θ h2
= q2′′ em z = 0 ;
+ θ = 0 em z = c
∂z
∂z k
(1.3.18f, g)
Agora propõe-se a separação do problema (1.3.18) em três problemas mais simples,
cada um deles com apenas uma condição de contorno não homogênea, pela seguinte
superposição:
θ ( x, y, z ) = θ1 ( x, y, z ) + θ 2 ( x, y, z ) + θ3 ( x, y, z )
(1.3.19)
43
Pode-se obter os seguintes três problemas:
Problema 1
∂ 2θ1 ∂ 2θ1 ∂ 2θ1
+
+
= 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(1.3.20a)
θ1 = θ0 em x = 0 ; θ1 = 0 em x = a
(1.3.20b, c)
∂θ1
∂θ h
= 0 em y = 0 ; 1 + 1 θ1 = 0 em y = b
∂y
∂y k
(1.3.20d, e)
∂θ1
∂θ h
= 0 em z = 0 ; 1 + 2 θ1 = 0 em z = c
∂z
∂z k
(1.3.20f, g)
Problema 2
∂ 2θ 2 ∂ 2θ 2 ∂ 2θ 2
+ 2 + 2 = 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
∂x 2
∂y
∂z
θ 2 = 0 em x = 0 ; θ 2 = 0 em x = a
−k
∂θ 2
∂θ 2 h1
= q1′′ em y = 0 ;
+ θ 2 = 0 em y = b
∂y
∂y k
∂θ 2
∂θ 2 h2
= 0 em z = 0 ;
+ θ 2 = 0 em z = c
∂z
∂z
k
(1.3.21a)
(1.3.21b, c)
(1.3.21d, e)
(1.3.21f, g)
Problema 3
∂ 2θ3 ∂ 2θ3 ∂ 2θ3
+
+ 2 = 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
∂x 2 ∂y 2
∂z
(1.3.22a)
θ3 = 0 em x = 0 ; θ3 = 0 em x = a
(1.3.22b, c)
∂θ3
∂θ3 h1
= 0 em y = 0 ;
+ θ3 = 0 em y = b
∂y
∂y k
(1.3.22d, e)
−k
∂θ3
∂θ3 h2
= q2′′ em z = 0 ;
+ θ 3 = 0 em z = c
∂z
∂z
k
(1.3.22f, g)
A solução de cada um dos três problemas por separação de variáveis fica na forma
θ ( x, y , z ) = X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
(1.3.23)
que substituída em qualquer das três equações (1.3.20a) ou (1.3.21a) ou (1.3.22a) resulta após
algumas manipulações
1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z
+
+
=0
X dx 2 Y dy 2 Z dz 2
(1.3.24)
44
Para o problema 1 propões-se a seguinte separação:
1 d 2Y
1 d2X
1 d 2Z
2
2
2
2
= −γ e
= β = γ +η ,
= −η 2
2
2
2
Y dy
X dx
Z dz
(1.3.25)
As equações separadas se tornam, então,
d2X
− β2X = 0
2
dx
(1.3.26a)
X = 0 em x = a
(1.3.26b)
d 2Y
+ γ 2Y = 0
2
dy
(1.3.27a)
dY
= 0 em y = 0
dy
(1.3.27b)
dY
+ H1Y = 0 em y = b
dy
(1.3.27c)
d 2Z
+η 2Z = 0
dz 2
(1.3.28a)
dZ
= 0 em z = 0
dz
(1.3.28b)
dZ
+ H 2 Z = 0 em z = c
dz
(1.3.28c)
Para o problema 2 propõe-se a seguinte separação:
1 d 2Y
1 d2X
1 d 2Z
2
2
2
2
=
+
γ
=
β
+
η
=
−
β
,
e
= −η 2
Y dy 2
X dx 2
Z dz 2
(1.3.29)
As equações separadas se tornam, então,
d2X
+ β2X = 0
2
dx
(1.3.30a)
X = 0 em x = 0
(1.3.30b)
X = 0 em x = a
(1.3.30c)
d 2Y
− γ 2Y = 0
2
dy
(1.3.31a)
dY
+ H1Y = 0 em y = b
dy
(1.3.31b)
d 2Z
+η 2Z = 0
2
dz
(1.3.32a)
dZ
= 0 em z = 0
dz
(1.3.32b)
45
dZ
+ H 2 Z = 0 em z = c
dz
(1.3.32c)
Para o problema 3 propõe-se a seguinte separação:
1 d 2Y
1 d2X
1 d 2Z
2
2
=
−
γ
=
−
β
,
e
=η2 = β 2 +γ 2
2
2
2
Y dy
X dx
Z dz
(1.3.33)
As equações separadas se tornam, então,
d2X
+ β2X = 0
dx 2
(1.3.34a)
X = 0 em x = 0
(1.3.34b)
X = 0 em x = a
(1.3.34c)
d 2Y
+ γ 2Y = 0
2
dy
(1.3.35a)
dY
= 0 em y = 0
dy
(1.3.35b)
dY
+ H1Y = 0 em y = b
dy
(1.3.35c)
d 2Z
−η 2 Z = 0
dz 2
(1.3.36a)
dZ
+ H 2 Z = 0 em z = c
dz
(1.3.36b)
O Problema 1 requer a solução das equações (1.3.26), (1.3.27) e (1.3.28). A solução
das equações (1.3.27) e (1.3.28) correspondem ao caso 4 da Tabela 1.3.2, portanto, são da
forma
Y ( γ n , y ) = cos ( γ n y ) ; γ ntg ( γ nb ) = H1
(1.3.37a)
Z (η p , z ) = cos (η p z ) ; η p tg (η p c ) = H 2
(1.3.37b)
Para completar a solução do Problema 1, falta resolver a equação (1.3.26). A solução
da Equação (1.3.26a) que satisfaz a condição (1.3.26b) é do tipo
X ( β m , x ) = senh ⎡⎣ β m ( a − x ) ⎤⎦
(1.3.37c)
em que
β m2 = β np2 = γ n2 + η p2
Desta forma a solução do Problema 1 fica na forma
(1.3.38)
46
∞
∞
θ1 ( x, y, z ) = ∑∑ cnp senh ⎡⎣ β np ( a − x ) ⎤⎦ cos ( γ n y ) cos (η p z )
(1.3.39)
n =1 p =1
Aplicando a condição de contorno em x = 0 resulta
∞
∞
θ 0 = ∑∑ cnp senh ( β np a ) cos ( γ n y ) cos (η p z )
(1.3.40)
n =1 p =1
d2X
+ β 2 X = 0 em 0 < x < L para
dx 2
Tabela 1.3.2 – Solução, Norma e Autovalores da Equação
as condições de contorno mostradas na Tabela.
No
Condições
Condições
Autofunções
Inverso da norma
Autovalores
.
de Contorno
de Contorno
.
são as raízes
x=0
x=L
X ( βm , x )
1/ N ( β m )
dX
+ H1 X = 0
dx
dX
+ H2 X = 0
dx
β m cos β m x +
+ H1senβ m x
dX
+ H1 X = 0
dx
dX
=0
dx
dX
+ H1 X = 0
dx
X =0
1
2
3
−
−
−
positivas de
2
⎛
H β 2 + H12
⎜L β2 + H2 + 2 m
1
m
⎜
β m2 + H 22
⎝
(
(
)
cos β m ( L − x )
(
(
2 β m2 + H12
)
)
)
tg β m L =
⎞
⎟+ H
1
⎟
⎠
β m ( H1 + H 2 )
β m2 − H1H 2
β mtg β m L = H1
L β m2 + H12 + H1
senβ m ( L − x )
(
(
2 β m2 + H12
)
)
β mctg β m L = − H1
L β m2 + H12 + H1
(
)
dX
=0
dx
dX
+ H2 X = 0
dx
cos β m x
5
dX
=0
dx
dX
=0
dx
* cos β m x
2
para β m ≠ 0
L
1
para β m = 0
L
senβ m L = 0
6
dX
=0
dx
X =0
cos β m x
2
L
cos βm L = 0
7
X =0
dX
+ H2 X = 0
dx
senβm x
2 β m2 + H 22
4
(
2 β m2 + H 22
)
β mtg β m L = H 2
L β m2 + H 22 + H 2
(
(
)
)
β mctg β m L = − H 2
L β m2 + H 22 + H 2
8
X =0
dX
=0
dx
senβm x
2
L
cos βm L = 0
9
X =0
X =0
senβm x
2
L
senβ m L = 0
47
Operando ambos os lados da equação (1.3.40) por
∫
b
0
cos ( γ i y ) dy e
∫
c
0
cos (ηq z ) dz e
utilizando a condição de ortogonalidade das autofunções resulta
θ0
sen ( γ n b ) sen (η p c )
γn
ηp
= cnp senh ( β np a ) N n N p
(1.3.41)
da qual se obtém
cnp = θ 0
sen ( γ nb ) sen (η p c )
γn
ηp
1
senh ( β np a ) N n N p
(1.3.42)
que substituída em (1.3.59) leva a forma da solução para o Problema 1 na forma
∞
sen ( γ nb ) sen (η p c ) senh ⎡⎣ β np ( a − x ) ⎤⎦
cos ( γ n y ) cos (η p z ) (1.3.43)
γn
ηp
N n N p senh ( β np a )
p =1
∞
θ1 ( x, y, z ) = θ 0 ∑∑
n =1
As normas na equação (1.3.43) correspondem ao caso 4 da Tabela 1.3.2 e, portanto,
são
(
)
(
)
2 γ n2 + H12
2 η p2 + H 22
1
1
=
=
;
N n b γ n2 + H12 + H12 N p c η p2 + H 22 + H 2
(
)
(
)
(1.3.44)
O Problema 2 requer a solução das equações 1.3.30 a 1.3.34. A solução do problema
(1.3.30) corresponde ao caso 9 da Tabela 1.3.2 é da forma
X ( β m , x ) = sen ( β m x ) ; sen ( β m a ) = 0
(1.3.45)
A solução da equação (1.3.31a) que satisfaz (1.3.31b) pode ser encontrada e é do tipo
Y ( γ n , y ) = γ n cosh ⎡⎣γ n ( b − y ) ⎤⎦ + H1senh ⎡⎣γ n ( b − y ) ⎤⎦
(1.3.46)
2
γ n2 = γ mp
= β m2 + η p2
(1.3.47)
na qual
A solução da equação (1.3.32a) corresponde ao caso 4 da Tabela 1.3.2 e já foi mostrada na
Equação (1.3.37b).
A solução do Problema 2 fica na forma genérica
⎧γ mp cosh ⎡γ mp ( b − y ) ⎤ + ⎫
∞ ∞
⎪
⎣
⎦ ⎪
θ 2 ( x, y, z ) = ∑∑ cmp sen ( β m x ) ⎨
⎬ cos (η p z )
⎡
⎤
m =1 p =1
H
senh
b
y
−
γ
(
)
⎪⎩ 1
⎣ mp
⎦ ⎪⎭
da qual se obtém
(1.3.48)
48
−k
∂θ 2 ( x, y, z )
∂y
2
⎧γ mp
⎫
⎪ sen h ⎣⎡γ mp ( b − y ) ⎦⎤ + ⎪
= k ∑∑ cmp sen ( β m x ) ⎨
⎬ cos (η p z )
m =1 p =1
⎪⎩+γ mp H1 cos h ⎡⎣γ mp ( b − y ) ⎤⎦ ⎭⎪
∞
∞
(1.3.49)
Aplicando a condição de contorno (1.3.21d) resulta
∞
∞
{
}
2
q1′′ = k ∑∑ cmp sen ( β m x ) γ mp
sen h ( γ mp b ) + γ mp H1 cos h ( γ mp b ) cos (η p z )
m =1 p =1
Operando ambos os lados da equação (1.3.50) por
∫
a
0
sen ( β m x ) dx e
∫
c
0
(1.3.50)
cos (ηq z ) dz e
utilizando a condição de ortogonalidade das autofunções resulta para a constante
cmp =
q1′′ ⎡⎣1 − cos ( β m a ) ⎤⎦ sen (η p c )
1
2
k
βm Nm
η p N p γ mp sen h ( γ mp b ) + γ mp H1 cos h ( γ mp b )
(1.3.51)
que substituída em (1.3.48) leva a forma final da solução do Problema 2
⎧γ mp cosh ⎡γ mp ( b − y ) ⎤ + ⎫
⎪
⎣
⎦ ⎪
sen ( β m x ) ⎨
⎬ cos (η p z )
∞ ∞ ⎡1 − cos ( β a ) ⎤ sen η c
⎡
⎤
+
−
H
senh
γ
b
y
)⎦ ⎭⎪
( p)
q′′
m
⎣ mp (
⎦
⎩⎪ 1
θ 2 ( x, y, z ) = 1 ∑∑ ⎣
2
k m =1 p =1
βm Nm
ηpNp
γ mp sen h ( γ mp b ) + γ mp H1 cos h ( γ mp b )
(1.3.52)
A norma N m corresponde ao caso 9 da Tabela 1.3.2. A norma N p corresponde ao
caso 4 da Tabela 1.3.2. Assim tem-se
(
)
2 η p2 + H 22
1
1
2
=
= ;
N m a N p c η p2 + H 22 + H 2
(
)
(1.3.53)
O Problema 3 é similar ao Problema 2, exceto a direção da condição de contorno não
homogênea. Analogamente, então, tem-se a solução de (1.3.36a) e (1.3.36b) na forma
Z (η p , z ) = η p cosh ⎡⎣η p ( c − z ) ⎤⎦ + H 2 sen h ⎡⎣η p ( c − z ) ⎤⎦
(1.3.54)
2
η p2 = ηmn
= β m2 + γ n2
(1.3.55)
na qual
A solução para θ3 , então, será da forma
49
⎧⎪η mn cosh ⎣⎡ηmn ( c − z ) ⎦⎤ + ⎪⎫
sen ( β m x ) cos ( γ n y ) ⎨
⎬
⎪⎩+ H1senh ⎡⎣η mn ( c − z ) ⎤⎦ ⎭⎪
q2′′ ∞ ∞ ⎣⎡1 − cos ( β m a ) ⎦⎤ sen ( γ nb )
θ 3 ( x, y, z ) = ∑∑
2
k m =1 n =1
βm Nm
γ n Nn
η mn
sen h (η mn c ) + η mn H1 cos h (η mn c )
(1.3.56)
1.3.2 Métodos aproximados
Os métodos aproximados servem para estimativas de soluções quando alguma
complicação dificulta uma solução analítica. Hoje, com o grande desenvolvimento de
métodos numéricos e disponibilidade de computadores, talvez, os métodos aproximados
sejam menos utilizados. Entre os vários métodos aproximados tem-se o método integral,
método de análise de escala e métodos gráficos.
1.3.2.1 Método integral
Considere o problema de encontrar a máxima temperatura na seção transversal de um
condutor elétrico de dimensões L por H, cujo contorno esteja à temperatura T∞ , e com
geração interna q′′′ . Este problema é governado pela seguinte equação, supondo
condutividade térmica constante,
∂ 2T ∂ 2T
q′′′
+ 2 =−
2
∂x
∂y
k
(1.3.57)
com as condições de contorno
T = T∞ em x = ± L / 2
(1.3.58a, b)
T = T∞ em y = ± H / 2
(1.3.58c, d)
A temperatura máxima para este problema ocorre na posição ( x = 0, y = 0 ) que é o
ponto mais distante de todos os contornos. A chave do método integral é a escolha de um
perfil de temperatura que satisfaça as condições de contorno e que quando substituído na
equação integrada permita estimativa de parâmetros de interesse no problema. Definindo o
excesso de temperatura como θ = T − T∞ . Um perfil razoável para T ( x, y ) pode ser da forma
50
⎡ ⎛ x ⎞2 ⎤ ⎡ ⎛ y ⎞2 ⎤
T ( x, y ) = T∞ + θ max ⎢1 − ⎜
⎟ ⎥ ⎢1 − ⎜
⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ L / 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ H / 2 ⎠ ⎥⎦
(1.3.59)
que satisfaz as condições de contorno e no qual θ max é a incógnita. Integrando a equação
(1.3.57) tem-se
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ⎞
q′′′
dxdy
HL
+
=
−
⎜
⎟
∫− L / 2 ∫− H / 2 ⎝ ∂x2 ∂y 2 ⎠
k
L/2
H /2
(1.3.60)
Derivando a equação (1.3.59) em relação a x e y duas vezes obtém-se
8θ
∂ 2T
= − max
2
L2
∂x
2
⎡
⎛ y⎞ ⎤
1
4
−
⎢
⎜ ⎟ ⎥
⎝ H ⎠ ⎥⎦
⎣⎢
2
8θ max ⎡
∂ 2T
⎛x⎞ ⎤
=−
⎢1 − 4 ⎜ ⎟ ⎥
H 2 ⎣⎢
∂y 2
⎝ L ⎠ ⎦⎥
(1.3.61a)
(1.3.61b)
Substituindo (1.3.61a, b) em (1.3.60) e integrando o lado esquerdo resulta
−
⎛ H 2 + L2 ⎞
16
q′′′
θ max ⎜
⎟ = − HL
3
k
⎝ HL ⎠
(1.3.62)
da qual se obtém a temperatura máxima como
θ max =
16 q′′′ L2 H 2
3 k H 2 + L2
(1.3.63)
A máxima diferença de temperatura aumenta proporcionalmente com a razão q′′′ / k e com o
quadrado do menor dos dois lados. A fórmula (1.3.63) aproxima-se da solução exata quando a
seção transversal é plana ( H >> L ou H << L ) . Ela é menos precisa no caso de uma seção
quadrada, quando ela superestima a máxima diferença de temperatura em cerca de 27 %.
1.3.2.2 Método de análise de escala
O primeiro termo na equação (1.3.57) representa a curvatura da distribuição de
temperatura na direção x. A curvatura representa a mudança na inclinação ∂T / ∂x , a ordem
de grandeza derivada segunda pode ser avaliada como
⎛ ∂T ⎞
⎛ ∂T ⎞
−⎜
⎜
⎟
⎟
∂ T ⎝ ∂x ⎠ x = L / 2 ⎝ ∂x ⎠ x =0
∼
∂x 2
L/2−0
2
(1.3.64)
51
O símbolo ∼ significa da mesma ordem de grandeza. Por simetria,
( ∂T / ∂x ) x=0 = 0 .
O
gradiente de temperatura deve ser proporcional à diferença máxima de temperatura; desta
forma,
θ
⎛ ∂T ⎞
∼ − max
⎜
⎟
L/2
⎝ ∂x ⎠ x = L / 2
(1.3.65)
e conseqüentemente,
θ
∂ 2T
∼ − max 2
2
∂x
( L / 2)
(1.3.66)
Por um argumento semelhante pode-se concluir que
θ
∂ 2T
∼ − max 2
2
∂y
( H / 2)
(1.3.67)
Substituindo (1.3.66) e (1.3.67) em (1.3.57) resultará
θ max
( L / 2)
2
+
θ max
( H / 2)
2
∼
q′′′
k
(1.3.68)
da qual se obtém a diferença máxima de temperatura como
θ max ∼
q′′′ L2 H 2
4k L2 + H 2
(1.3.69)
A análise de escala levou a um resultado que é cerca de 33 % maior do que o resultado
da análise integral (Eq. (1.3.63)). A análise de escala produz um resultado compacto e barato
que concorda com a solução exata dentro de um fator de grandeza de ordem 1 com a solução
exata do problema.
1.3.2.3 Método gráfico
O método gráfico é ilustrado na Figura 1.3.1. Suponha o caso de uma região retangular
com as faces esquerda e direita isoladas termicamente. Suponha que o topo esteja numa
temperatura mais alta do que o fundo. As linhas horizontais serão linhas isotérmicas, normais
a estas linhas têm-se as linhas de fluxo, que serão as linhas verticais. A taxa total de calor que
entra na parede superior é suposta ser composta de n mini-correntes de igual dimensão, cada
obtida como
qi =
q
n
( i = 1, 2,… , n )
(1.3.70)
52
Cada mini-corrente escoa através de um tubo de calor, isto é, o espaço entre duas linhas de
fluxo adjacentes.
Figura 1.3.1 – Malhas de isotermas e linhas de fluxos: (a) malha quadrada; (b) malha curva
O desenho das linhas de fluxo e das isotermas formam uma malha ou grade. Suponha
que a dimensão de cada malha seja Δx × Δy . Se a dimensão vertical for dividida em m malhas,
pode-se estimar a variação de temperatura em um malha como
ΔT j =
Th − Tc
m
( j = 1, 2,… , m )
(1.3.71)
De acordo com a lei de Fourier, a mini-corrente que passa através do quadrado ( i, j ) é
qi = k ΔxW
ΔT j
Δy
= kW ΔT j
(1.3.72)
na qual W é a dimensão normal ao plano da folha. Pela combinação das equações (1.3.70)(1.3.72) pode-se obter a taxa total de transferência de calor
q=
n
Wk (Th − Tc )
m
Na equação (1.3.73), define-se o que se chama de fator de forma como
(1.3.73)
53
S=
n
W
m
(1.3.74)
Este procedimento que resultou na Eq. (1.3.73) se aplica mesmo no caso das linhas
isotermas e de fluxo serem curvas. Existem nos livros de transferência de calor fatores de
forma para várias configurações.
1.3.3 Métodos numéricos
Atualmente, com o desenvolvimento e maior disponibilização de computadores, os
métodos mais comumente usados para se resolver a equação de condução multidimensional
são métodos numéricos, em que um meio continuo é substituído por subdomínios que formam
uma malha ou conjunto de pontos. Os pontos são nós (nódulos) na intersecção das linhas da
malha ou grade. Em condução de calor, o método numérico mais comumente usado é o
método de diferença finita. Com o uso de métodos numéricos, muitas das simplificações para
se obter soluções analíticas não necessitam serem feitas.
1.3.3.1 Volume finito
Considere um volume de controle de dimensões ( Δx ) × ( Δy ) × W , Figura 1.3.2, um
balanço de energia leva ao
qw + qe + qs + qn + q′′′ΔxΔyW = 0
(1.3.75)
na qual foi assumido que as taxas de calor entram no volume de controle, cujo nó central é
identificado pelo símbolo P . O subscrito w é a face oeste voltada para o nó W ; e a face leste
voltada para o nó E ; s á face sul voltada para o nó S e n é a face norte voltada para o nó N .
As taxas de calor são definidas como
qn ≅ knW Δx
qw ≅ kwW Δy
TW − TP
(δ x ) w
TN − TP
(δ y )n
ΔxΔyWq′′′
qs ≅ ksW Δx
qe ≅ keW Δy
TE − TP
(δ x )e
(1.3.76)
TS − TP
(δ y ) s
No centro da eq. (1.3.76) está indicada a taxa de geração de calor dentro do volume de
controle.
54
Figura 1.3.2 – Volume de controle em torno de um ponto P.
Substituindo (1.3.76) em (1.3.75) obtém-se
⎡ k Δx
k Δx kw Δy ke Δy ⎤
−⎢ s
+ n
+
+
⎥ TP +
y
y
x
x
δ
δ
δ
δ
(
)
(
)
(
)
(
)
⎥
s
n
w
e ⎦
⎣⎢
k Δy
k Δy
k Δx
k Δx
+ w TW + e TE + s
TS + n
T + q′′′ΔxΔy = 0
(δ x ) w
( δ x )e
(δ y )s
(δ y ) n N
(1.3.77)
se for considerado que a geração seja uma função da temperatura: q′′′ = S pTp + SC , a equação
(1.3.77) fica na forma
a pTP = aW TW + aETE + aS TS + a N TN + b
(1.3.78)
na qual
aE =
ke Δy
( δ x )e
(1.3.79a)
aW =
kw Δy
(δ x ) w
(1.3.79b)
aN =
kn Δx
(δ y )n
(1.3.79c)
aS =
ks Δx
(δ y ) s
(1.3.79d)
a p = aE + aW + a N + aS − S P ΔxΔy
(1.3.79e)
b = SC ΔxΔy
(1.3.79f)
55
A equação (1.3.78) se escrita numa forma matricial sugere um arranjo pentadiagonal,
que pode ser resolvida por técnicas numéricas bem conhecidas.
No caso de um problema tridimensional, a coordenada z também será discretizada e
existirão fluxos nas faces t (topo) e b (fundo), equação (1.3.78) e os coeficientes ficam na
forma
a pTP = aW TW + aETE + aS TS + a N TN + aT TT + aBTB + b
(1.3.80)
na qual
aE =
ke ΔyΔz
( δ x )e
(1.3.81a)
aW =
k w ΔyΔz
(δ x ) w
(1.3.81b)
aN =
kn ΔxΔz
(δ y )n
(1.3.81c)
aS =
ks ΔxΔz
(δ y ) s
(1.3.81d)
aT =
kt ΔxΔy
( δ z )t
(1.3.81e)
aB =
kb ΔxΔy
( δ z )b
(1.3.81f)
a p = aE + aW + a N + aS + aT + aB − S P ΔxΔyΔz
(1.3.81g)
b = SC ΔxΔyΔz
(1.3.81h)
No caso de problemas tridimensionais, a equação (1.3.80) sugere um arranjo
heptadiagonal.
1.3.3.2 Diferença finita
No caso em que se usa o método clássico de diferenças finitas pode-se ter as três
seguintes aproximações para o gradiente de temperatura num ponto i, j , Figura 1.3.3,
∂T ΔT T ( i + 1, j ) − T ( i − 1, j )
≈
=
∂x Δx
2Δx
(1.3.82a)
∂T ΔT T ( i, j ) − T ( i − 1, j )
≈
=
∂x Δx
Δx
(1.3.82b)
56
∂T ΔT T ( i + 1, j ) − T ( i, j )
≈
=
∂x Δx
Δx
(1.3.82c)
Figura 1.3.3 – Nomenclatura para discretização por diferença finita.
As equações (1.3.82a), (1.3.82b) e (1.3.82c) são conhecidos como diferenças centrais,
diferenças para trás e diferenças para frente respectivamente. Derivadas segundas podem ser
aproximadas como
∂ ⎛ ∂T
⎜k
∂x ⎝ ∂x
⎞ k ⎡⎣T ( i + 1, j ) − T ( i, j ) − T ( i, j ) + T ( i − 1, j ) ⎤⎦
=
⎟≈
2
⎠
x
Δ
( )
k ⎡T ( i + 1, j ) − 2T ( i, j ) + T ( i − 1, j ) ⎤⎦
= ⎣
2
( Δx )
(1.3.83)
Analogamente, tem-se
∂ ⎛ ∂T
⎜k
∂y ⎝ ∂y
⎞ k ⎣⎡T ( i, j + 1) − T ( i, j ) − T ( i, j ) + T ( i, j − 1) ⎦⎤
=
⎟≈
2
⎠
( Δy )
=
k ⎡⎣T ( i, j + 1) − 2T ( i, j ) + T ( i, j − 1) ⎤⎦
( Δy )
(1.3.84)
2
Desta forma a equação de condução em regime permanente discretizada em diferenças
finitas fica na forma
T ( i, j − 1) T ( i − 1, j ) 2T ( i, j ) 2T ( i, j ) T ( i + 1, j ) T ( i, j + 1) q′′′
+
−
−
+
+
+
= 0 (1.3.85)
2
2
2
2
2
2
k
( Δy )
( Δx )
( Δx )
( Δy )
( Δx )
( Δy )
que numa forma mais compacta fica como
aTi , j −1 + bTi −1, j + cTi , j + bTi +1, j + aTi , j +1 = d i , j
na qual
(1.3.86)
57
a=−
b=−
c=
1
(1.3.87a)
2
(1.3.87b)
1
( Δx )
2
( Δx )
di , j =
2
( Δy )
2
+
2
( Δy )
(1.3.87c)
2
q′′′
k
(1.3.87d)
1.3.3.3 Elemento finito
O método de elementos finitos, ilustrado na Figura 1.3.4, também tem sido usado para
se resolver a equação de condução, devido sua versatilidade para discretizção de domínios
complexos
(
)
∇i k ∇T + q′′′ = 0
(1.3.88)
Multiplicando a equação (1.3.88) por uma função de ponderação W e integrando no domínio
de um elemento, após uma integração por partes obtém-se
∫
Ωe
W ∇ik ∇Td Ω + ∫ Wq′′′d Ω = 0
Ωe
− ∫ ∇W ik ∇Td Ω + ∫ Wk ∇T ind Γ + ∫ Wq′′′d Ω = 0
Ωe
∫
Ωe
Γe
Ωe
∇W ik ∇Td Ω = ∫ Wk
Γe
(1.3.89)
∂T
d Γ + ∫ Wq′′′d Ω
Ωe
∂n
Agora, interpola-se a temperatura dentro de um elemento na forma:
T = N {T e }
(1.3.90)
na qual
T
⎧ N1 ⎫
⎪N ⎪
⎪
⎪
N =⎨ 2 ⎬ ;
⎪
⎪
⎪⎩ N Ne ⎪⎭
{T }
e
⎧T1 ⎫
⎪T ⎪
⎪ ⎪
=⎨ 2 ⎬
⎪ ⎪
⎪⎩TNe ⎪⎭
(1.3.91a, b)
em que N i e Ti são funções de interpolação conhecidas e associadas ao nó i de um elemento e
os valores nodais da temperatura respectivamente num elemento. Tomando caso do método
de Galerkin, em que
58
W = N
(1.3.92)
e substituindo (1.3.90) e (1.3.92) em (1.3.89) resultará
∫
Ωe
∇ { N }ik ∇ N d Ω {T e } = ∫
{N } k
Γ
e
∂T
d Γ + ∫ { N } q′′′d Ω
Ωe
∂n
(1.3.93)
Figura 1.3.4 – Malhas de elementos finitos: (a) elementos triangulares; (b) elementos
quadrilaterais.
A equação (1.3.93) pode ser escrita numa forma matricial como
⎡⎣ K e ⎤⎦ {T e } = {Q e }
(1.3.94)
No caso de um problema bidimensional os elementos da matriz ⎡⎣ K e ⎤⎦ e do vetor fonte são
definidos por
⎛ ∂N ∂N j ∂Ni ∂N j ⎞
K ije = ∫ k ⎜ i
+
⎟dxdy
Ωe
x
x
y
y
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
Qie = ∫ N i k
Γe
∂T
d Γ + ∫ N i q′′′dxdy
Ωe
∂n
(1.3.95)
(1.3.96)
59
O primeiro termo do lado direito da Eq. (1.3.96) será avaliado somente nos elementos
que tenha um contorno coincidindo com o contorno externo do domínio com fluxo de calor
especificado. Se o domínio for discretizado em um número de elementos Nelem, considerando
a contribuição de todos os elementos, resultará a forma matricial,
[ K ]{T } = {Q}
(1.3.97)
na qual, agora, a matriz [ K ] e o vetor {Q} conterão a contribuição de todos os elementos:
[K ] =
Nelem
∑
e =1
⎡⎣ K e ⎤⎦ ;
{Q} =
∑ {Q }
Nelem
e
(1.3.98)
e =1
O vetor {T } conterá as temperaturas de todos os pontos do domínio.
A solução da equação (1.3.97) é feita após introdução dos valores conhecidos de
temperatura em alguma parte do contorno do domínio, por técnicas numéricas apropriadas
para solução de sistemas lineares esparsos.
No caso de condução num meio anisotrópico, a equação de condução ficaria na forma:
∂
∂xi
⎛ ∂T ⎞
⎜⎜ kij
⎟⎟ + q′′′ = 0
⎝ ∂x j ⎠
(1.3.99)
Em tal caso, a matriz ⎡⎣ K e ⎤⎦ será definida na forma para um problema tridimensional:
K αβe
⎡ ∂Nα ∂N β
⎛ ∂N ∂N β ∂Nα ∂N β ⎞
∂Nα
+ k12 ⎜ α
+
⎢ k11
⎟ + k22
∂x ∂x
∂y ∂x ⎠
∂y
⎝ ∂x ∂y
⎢
⎢
⎛ ∂N ∂N β ∂Nα ∂N β ⎞
⎛ ∂N ∂N β ∂Nα
= ∫ ⎢ + k13 ⎜ α
+
+ k23 ⎜ α
+
⎟
Ωe
∂z ∂x ⎠
∂z
⎢
⎝ ∂x ∂z
⎝ ∂y ∂z
⎢
⎢ + k ∂Nα ∂N β
⎢ 33 ∂z ∂z
⎣
⎤
+ ⎥
∂y
⎥
∂N β ⎞ ⎥
⎟ + ⎥dxdydz (1.3.100)
∂y ⎠ ⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
∂N β
O vetor do termo fonte ficará na forma
⎡⎛ ∂T
⎤
∂T
∂T ⎞
+ k12
+ k13
⎢⎜ k11
⎟ n1 + ⎥
∂y
∂z ⎠
⎢⎝ ∂x
⎥
⎢ ⎛ ∂T
⎥
∂T
∂T ⎞
+ k22
+ k23
+
Qαe = ∫ Nα ⎢ + ⎜ k21
n
⎟ 2 ⎥ d Γ + ∫Ωe Nα q′′′dxdydz
Γe
∂x
∂y
∂z ⎠
⎢ ⎝
⎥
⎢
⎥
⎢ + ⎛ k ∂T + k ∂T + k ∂T ⎞ n ⎥
32
33
⎟ 3 ⎥
⎢⎣ ⎜⎝ 31 ∂x
∂y
∂z ⎠
⎦
(1.3.101)
Portanto, pode-se ver a vantagem de usar o método de elementos finitos neste
problema mais complexo.
60
1.3.4 Resolução das Equações Geradas pelo Método de Diferenças Finitas
Qualquer que seja o método numérico empregado para solução de uma equação
diferencial parcial, o resultado final é a obtenção de um sistema algébrico de equações que
pode ser escrito na seguinte forma genérica:
AT = B
(1.3.102)
na qual A é a matriz de coeficientes que depende da geometria, das propriedades do material,
etc. T é o vetor de incógnitas das temperaturas em pontos do domínio que depende do
método de discretização. B é o vetor de termos fontes, etc.
Existem vários métodos de solução: diretos e iterativos que podem ser encontrados na
literatura.
1.3.4.1 Método de Inversão de Matriz
Trata-se de um método direto, mas nem sempre pode ser aplicado, por exemplo,
quando a matriz A depende de T , o que torna o problema não linear. Em essência o método
consiste em multiplicar pela esquerda a Eq. (1.3.102) pela inversa de A , ou seja, por A−1
A−1 AT = A−1 B ⇔ IT = A−1 B ⇔ T = A−1 B
(1.3.103)
A solução para T pode também ser escrita na forma:
T =C
(1.3.104)
C = A −1 B
(1.3.105)
em que
1.3.4.2 Método de Iterativo de Gauss-Seidel
i −1
Dado To fazer Ti( k ) = Ti( k −1 ) + ( bi − ∑ aijT j( k ) −
j =1
n
∑ aijT j( k −1 ) ) / aii , k = 1, 2, 3,.... (1.3.106).
j =i +1
Nesta equação o termo
i −1
∑ aijT j( k ) +
j =1
n
∑ aijT j( k −1 )
(1.3.107).
j =i +1
pode ser simplesmente implementado como
n
∑ aijTˆ j( k ) , onde Tˆ (k) = ( T1( k ) ,T2( k ) Ti(−1k ) ,Ti( k −1 ) Tn(−k1−1 ) ,Tn( k −1 ) )T
j =1
(1.3.108)
61
Portanto, basta manter o vetor T atualizado e utilizar esta informação assim que se torne
disponível. Abaixo apresenta-se o algoritmo baseado na equação (1.3.106)
Algoritmo - Método iterativo de Gauss-Seidel
Escolha um vetor inicial T(0), aproximante de T
Defina o número máximo de iterações, iMax
for k = 1:iMax
T(k-1) = T(k)
for i = 1:n
Calcule o resíduo: r(k)(i) = b(i) – A(i,:)T(k)(:)
T(k)(i) = T(k-1)(i) + r(i)/A(i,i)
end for
Calcule ||r(k)||
Calcule ||T(k) – T(k-1)||
Teste o critério de convergência, continue se necessário
end for
1.3.5 Separação de Variáveis em outros sistemas de coordenadas
O método de separação de variáveis pode ser aplicado em vários outros sistemas de
coordenadas. Vide Bejan, 1993, Ozisik, 1984.
62
1.4. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente
A condução transiente ocorre principalmente quando um sólido experimenta uma
mudança repentina em seu ambiente térmico, por exemplo, nos processos de tratamento
térmico. Os métodos usados para se resolver tais problemas englobam o modelo de
capacitância concentrada ou o modelo de sólido semi-infinito, transformada de Laplace,
transformada integral, métodos numéricos (diferença finita, elemento finito, etc.) e métodos
aproximados. Alguns destes métodos serão vistos na seqüência.
1.4.1 O modelo da capacitância concentrada
A essência do método da capacitância concentrada é a hipótese de que a temperatura
do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Ou
seja, despreza-se o gradiente de temperatura no interior do corpo. Sob determinadas
condições, o modelo de capacitância concentrada pode ser aplicado. Normalmente, um
processo de condução transiente inicia-se pela convecção imposta na superfície do sólido, mas
dependendo do nível de temperatura pode ocorrer transferência radiativa. A Figura 1.4.1
ilustra o processo.
Figura 1.4.1 – Resfriamento de um sólido por imersão num líquido.
Considere uma situação na qual as condições térmicas de um sólido podem ser
alteradas por convecção, radiação e fluxo de calor aplicados à superfície e geração interna de
energia. Assume-se que no instante t = 0 a temperatura do sólido seja Ti diferente da
temperatura do fluido T∞ e da temperatura da vizinha Tviz . Em parte da superfície é imposto
63
um fluxo q ′′ e a geração interna é q g . Desprezando gradientes de temperatura no interior do
sólido, um balanço de energia fornece
dT
dt
q′′As ,h + qg − qc′′As ,c − qr′′As ,r = ρVc
(1.4.1)
Substituindo os fluxos de calor convectivo e radiativo na equação (1.4.1) resulta a equação
q′′As ,h + qg − h (T − T∞ ) As ,c − εσ (T 4 − Tviz4 ) As ,r = ρVc
dT
dt
(1.4.2)
A equação (1.4.2) é uma equação diferencial ordinária não linear que pode ser rearranjada na
forma
(
)
⎡
⎤
T 4 − Tviz4
dT
′′
⎢
q As ,h + qg − hAs ,c + εσ
As ,r ⎥ (T − T∞ ) = ρVc
dt
(T − T∞ )
⎢⎣
⎥⎦
(1.4.3)
ou definindo o excesso de temperatura, θ = T − T∞ , resulta após algumas manipulações
⎛ q′′As ,h + qg
dθ he (θ ) As ,c
θ −⎜
+
ρVc
dt
⎝ ρVc
⎞
⎟=0
⎠
(1.4.4)
na qual
(
)
⎡
T 4 − Tviz4 As , r ⎤
⎥
he (θ ) = ⎢ h + εσ
(T − T∞ ) As ,c ⎥⎦
⎢⎣
(1.4.5)
Definindo
a=
he As ,c
ρVc
q′′As ,h + qg
; b=
(1.4.6)
ρVc
a equação (1.4.4) pode ser reescrita como
dθ ( t )
dt
+ a ( t )θ ( t ) − b ( t ) = 0
(1.4.7)
com a condição inicial
θ ( 0 ) = θi
(1.4.8)
A solução da Eq. (1.4.7) com condição inicial (1.4.8) é da forma
(
)
(
θ ( t ) = θi exp − ∫ a ( t ′ ) dt ′ + exp − ∫ a ( t ′ ) dt ′
t
0
t
0
) ∫ b (t′) exp ( −∫ a (t′′) dt′′) dt′
t
t′
0
0
(1.4.9)
No caso em que se tenha somente convecção no contorno do sólido e nenhuma
geração interna
a=
hAs
, b=0
ρVc
(1.4.10)
64
Em tal caso, resulta a solução
⎛
hAs ⎞
t⎟
⎝ ρVc ⎠
θ ( t ) = θi exp ⎜ −
(1.4.11)
Uma análise mostra que o modelo de capacitância concentrada é válido quando o
número de Biot que é razão da resistência condutiva pela resistência convectiva for
Bi =
hLc
< 0 ,1
k
(1.4.12)
1.4.2 O modelo do sólido semi-infinito
O modelo de capacitância concentrada se aplica quando a temperatura através do
sólido tem praticamente o mesmo valor, num período que é denominado regime posterior,
quando
t >>
r02
α
T ≅ T (t )
(1.4.13)
na qual r0 é uma dimensão característica do corpo. No regime inicial, quando,
t <<
r02
α
T ≅ T ( r ,t )
(1.4.14)
o modelo de capacitância concentrada não é mais válido. Neste caso o modelo de sólido semiinfinito é mais apropriado, Figura 1.4.2. Três casos são de interesse: temperatura constante no
contorno, fluxo de calor constante no contorno ou superfície em contato com um fluido.
Figura 1.4.2 – Modelo de sólido semi-infinito
65
1.4.2.1 O modelo do sólido semi-infinito: temperatura constante no contorno
Considere o seguinte caso,
∂ 2T 1 ∂T
=
∂x 2 α ∂t
(1.4.15)
com as condições inicial e de contorno definidas com a seguir,
Condição inicial:
T = Ti em t = 0
(1.4.16)
Condições de contorno:
T = T∞ em x = 0
(1.4.17)
T → Ti em x → ∞
(1.4.18)
A solução das equações (1.4.15) por ser pelo uso de variável de similaridade, desta
forma, define-se
η=
x
αt
(1.4.19)
Os termos da Eq. (1.4.15) podem ser transformados como
∂T dT ∂η dT 1
=
=
∂x dη ∂x dη α t
(1.4.20)
∂ 2T
d ⎛ ∂T ⎞ ∂η d 2T 1
=
=
⎜
⎟
∂x 2 dη ⎝ ∂x ⎠ ∂x dη 2 α t
(1.4.21)
∂T dT ∂η dT ⎛
x
⎞
=
=
−
⎜
3/ 2 ⎟
∂t dη ∂t dη ⎝ 2 α ⋅ t ⎠
(1.4.22)
Que substituídos em (1.4.15) leva à equação:
d 2T η dT
+
=0
dη 2 2 dη
(1.4.23)
Com as condições de contorno, agora, representadas por
T = T∞ em η = 0
(1.4.24)
T → Ti em η → ∞
(1.4.25)
A Eq. (1.4.23) pode ser rearranjada como
d (T ′ ) η
dT
= dη , T ′ =
T′
2
dη
Integrando duas vezes em η , a equação (1.4.26) leva ao seguinte resultado:
(1.4.26)
66
lnT ′ = −
η2
+ ln C1
4
(1.4.27)
⎛ η2 ⎞
dT
= C1 exp ⎜ − ⎟
dη
⎝ 4 ⎠
(1.4.28)
⎡⎛ β ⎞ 2 ⎤
η
T = C1 ∫ exp ⎢⎜ − ⎟ ⎥ d β + C2
0
⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎦⎥
(1.4.29)
na qual β é uma variável muda e de acordo com a equação (1.4.24), C2 = T∞ :
⎡⎛ β ⎞ 2 ⎤
exp ⎢⎜ − ⎟ ⎥ d β
⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎦⎥
T − T∞ = C1 ∫
η
0
(1.4.30)
O membro direito da Eq. (1.4.30) lembra a função erro, definida como
erf ( x ) =
2
π
∫
1/ 2
x
0
2
exp ⎡( − m ) ⎤ dm
⎣
⎦
(1.4.30)
Com as seguintes propriedades
erf ( 0 ) = 0 erf ( ∞ ) = 1
(1.4.31a, b)
d
2
⎡⎣erf ( x ) ⎤⎦ = 1 / 2 = 1,1284
x =0
dx
π
(1.4.32)
O lado direito da equação (1.4.30) pode ser reformulado como
T − T∞ = 2C1 ∫
η
0
⎡⎛ β ⎞ 2 ⎤ ⎛ β ⎞
exp ⎢⎜ − ⎟ ⎥ d ⎜ ⎟
⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠
η/2
exp ⎡( − m ) ⎤ dm
0
⎣
⎦
1/ 2
π
2 η/2
2
= 2C1
exp ⎡( − m ) ⎤ dm
1 / 2 ∫0
⎣
⎦
2 π
= 2C1 ∫
2
(1.4.33)
= C3erf (η / 2 )
Pela condição de contorno (1.4.25), C3 é determinada como, C3 = Ti − T∞ . A solução
para T ( x,t ) fica na forma
T ( x,t ) − T∞
Ti − T∞
⎡
⎤
x
= erf ⎢
⎥
1/ 2
⎢⎣ 2 (α t ) ⎥⎦
(1.4.34)
A partir da equação (1.4.34) pode-se calcular o fluxo de calor por
Ti − T∞
⎛ ∂T ⎞
q′′ ( t ) = −k ⎜
⎟ = −k
1/ 2
⎝ ∂x ⎠ x =0
(πα t )
(1.4.35)
67
1.4.2.2 O modelo do sólido semi-infinito: fluxo de calor constante no contorno
Considere, agora, o caso em que a condição de contorno em x = 0 , seja fluxo e calor
constante especificado, ou seja, em lugar de (1.4.17) tem-se
−k
∂T
= q0′′ em x = 0
∂x
(1.4.36)
Definindo uma nova variável como
φ = −k
∂T
∂x
(1.4.37)
e introduzindo-a na eq. (1.4.15) resulta
∂ 2φ 1 ∂φ
=
∂x 2 α ∂t
(1.4.38)
As condições inicial e de contorno ficam na forma para a variável φ
φ = 0 em t = 0
(1.4.39)
φ = q0′′ em x = 0
(1.4.40a)
φ → 0 em x → ∞
(1.4.40b)
De acordo com o item 1.4.5.1, a solução de (1.4.38) é da forma
⎛
⎞
⎟ + C2
⎝ 2 αt ⎠
φ = C1erf ⎜
x
(1.4.41)
Usando as condições de contorno (1.4.40a, b) obtém-se C1 = − q0′′ e C2 = q0′′ , e, portanto,
⎡
⎞⎤
⎛ x ⎞
⎟ ⎥ = q0′′erfc ⎜
⎟
⎝ 2 α t ⎠⎦
⎝ 2 αt ⎠
⎛
φ = q0′′ ⎢1 − erf ⎜
⎣
x
(1.4.42)
Substituindo (1.4.42) em (1.4.37) resulta
q′′
∂T
⎛ x ⎞
= − 0 erfc ⎜
⎟
k
∂x
⎝ 2 αt ⎠
(1.4.43)
que integrada leva ao resultado
T =−
q0′′ ∞
⎛ x ⎞
erfc ⎜
⎟dx + C
∫
x
k
⎝ 2 αt ⎠
(1.4.44)
Após integração por partes da integral na eq., (1.4.44) obtém-se e determinado a constante C
obtém-se a solução para T ( x,t ) na forma
⎛ x 2 ⎞ q0′′x
2q0′′ ⎛ α t ⎞
⎛ x ⎞
T ( x,t ) − Ti =
erfc ⎜
⎜
⎟ exp ⎜ −
⎟−
⎟
⎜
⎟
k ⎝ π ⎠
⎝ 2 αt ⎠
⎝ 4α t ⎠ k
(1.4.45)
68
A partir de (1.4.45) pode-se obter a temperatura na face x = 0 como
T0 = Ti +
2q0′′ ⎛ α t ⎞
⎜
⎟
k ⎜⎝ π ⎟⎠
(1.4.46)
1.4.2.3 O modelo do sólido semi-infinito: superfície em contato com um fluido
Neste caso a condição de contorno em x = 0 é imposta na forma
−k
∂T
= h (T∞ − T ) em x = 0
∂x
(1.4.47)
Por procedimentos similares aos dos casos anteriores chega-se á solução na forma:
T ( x,t ) − T∞
Ti − T∞
⎛ x
= e rf ⎜
⎝ 2 αt
⎛ x
⎛ hx h 2α t ⎞
h αt ⎞
⎞
exp
+
+
⎟
⎜ + 2 ⎟ erfc ⎜⎜
⎟
k ⎠
k ⎟⎠
⎠
⎝ k
⎝ 2 αt
(1.4.48)
1.4.3 Condução unidimensional
O interesse em soluções unidimensionais transientes é que elas serão usadas,
posteriormente, nas soluções multidimensionais.
1.4.3.1 Placa de espessura constante
Considere o caso de uma placa de espessura 2L e temperatura inicial Ti , cujos lados
são repentinamente expostos a um meio convectivo de temperatura T∞ e coeficiente h .
Definindo o excesso de temperatura θ ( x,t ) = T ( x,t ) − T∞ , resulta o conjunto de equações para
solução do problema:
- equação de condução
∂ 2θ 1 ∂θ
=
∂x 2 α ∂t
(1.4.49)
- condição inicial
θ = θi em t = 0
(1.4.50)
69
- condições de contorno
∂θ
= 0 em x = 0
∂x
−k
(1.4.51)
∂θ
= hθ em x = L
∂x
(1.4.52)
Pelo procedimento de separação de variáveis, adotando θ ( x,t ) = X ( x )τ ( t ) , obtém-se
d2X
+ λ2x = 0
2
dx
(1.4.53)
dX
= 0 em x = 0
dx
(1.4.54)
dX h
+ X = 0 em x = L
dx k
(1.4.55)
dτ
= −αλ 2 dt
τ
(1.4.56)
A solução de (1.4.53) a (1.4.55) corresponde ao caso 4 da Tabela 4.2, sendo da forma:
x⎞
⎛
X = cos ⎜ λm L ⎟
L⎠
⎝
(1.4.57)
A solução de (1.4.56) é do tipo:
τ = C exp ( −αλ 2t )
(1.4.58)
Portanto, a solução de θ será da forma:
∞
θ ( x,t ) = ∑ Cm cos ( λm x ) exp ( −αλm2 t )
(1.4.59)
m =1
Aplicando a condição inicial obtém-se
∞
θ i = ∑ Cm cos ( λm x )
(1.4.60)
m =1
Operando ambos os da eq. (1.4.60) por
∫
L
0
cos ( λn x ) dx e usando a condição de ortogonalidade
das autofunções
θi ∫ cos ( λm x ) dx = Cm ∫ cos 2 ( λm x ) dx
L
L
0
0
(1.4.61)
Após efetuar as integrações em (1.4.61) chega à expressão da constante:
Cm =
2θ i sen ( λm L )
λm L + sen ( λm L ) cos ( λm L )
(1.4.62)
A substituição de (1.4.62) em (1.4.59) leva à solução para a temperatura na forma:
70
θ ( x,t ) T ( x,t ) − T∞
=
Ti − T∞
θi
sen ( am )
αt ⎞
⎛ x⎞
⎛
cos ⎜ am ⎟ exp ⎜ − am2 2 ⎟
= 2∑
L ⎠
⎝ L⎠
⎝
m =1 am + sen ( am ) cos ( am )
∞
(1.4.63)
na qual
am tg ( am ) =
hL
, am = λm L
k
Na forma adimensional
(1.4.64)
T − T∞
, a temperatura depende de três grupos adimensionais:
Ti − T∞
x
αt
hL
, Fo = 2 , Bi =
L
L
k
(1.4.65)
na qual Fo e Bi são os números de Fourier e de Biot respectivamente.
A temperatura no plano médio da placa pode ser calculada fazendo x = 0 na eq.
(1.4.63), resultando
∞
sen ( am )
Tc − T∞
= 2∑
exp ( − am2 Fo )
+
Ti − T∞
a
sen
a
cos
a
( m) ( m)
m =1 m
(1.4.66)
A temperatura em qualquer outro plano da placa pode ser calculada na forma:
T ( x,t ) − T∞
Ti − T∞
⎡ T ( x,t ) − T∞ ⎤ ⎡ Tc ( t ) − T∞ ⎤
=⎢
⎥×⎢
⎥
⎢⎣ Tc ( t ) − T∞ ⎥⎦ ⎣ Ti − T∞ ⎦
(1.4.67)
É comum graficar os termos entre colchetes na eq. (1.4.67) em função do número de Fourier
tendo o número de Biot como um parâmetro para facilitar estimativas rápidas da temperatura.
A taxa total de transferência de calor é de interesse. Considerando apenas metade da
placa, a máxima taxa de transferência de calor num intervalo 0 − t é calculada por
Qi = ρWHLc (Ti − T∞ )
(1.4.68)
na qual W e H são a largura e altura da placa respectivamente frontal á transferência de
calor.
A taxa de calor real num intervalo 0 − t é sempre menor do que o máximo e pode ser
calculada como
Q ( t ) = WH ∫ q′′dt
(1.4.69)
⎛ ∂T ⎞
q′′ = −k ⎜
⎟
⎝ ∂x ⎠ x = L
(1.4.70)
t
0
na qual
71
Normalmente se gráfica Q ( t ) / Qi em função de Bi 2 Fo .
1.4.3.2 Cilindro longo
No caso de um cilindro longo, as equações governantes ficam na forma:
- equação de condução
∂ 2θ 1 ∂θ 1 ∂θ
+
=
∂r 2 r ∂r α ∂t
(1.4.71)
- condição inicial
θ = θi em t = 0
(1.4.72)
- condições de contorno
∂θ
= 0 em r = 0
∂r
−k
(1.4.73)
∂θ
= hθ em r = ro
∂r
(1.4.74)
A separação de variáveis agora é proposta como θ ( r,t ) = R ( r )τ ( t ) , que resulta em
d 2 R 1 dR
+
+ λ2R = 0
2
dr
r dr
(1.4.75)
dR
= 0 em r = 0
dr
(1.4.76)
dR h
+ R = 0 em r = ro (raio externo)
dr k
(1.4.77)
A equação na variável tempo é idêntica à do caso do item 1.4.3.1. A solução geral da eq.
(1.4.75) é do tipo:
R = C1 J 0 ( λ r ) + C2Y0 ( λ r )
(1.4.78)
na qual J 0 e Y0 são funções de Bessel de ordem zero do primeiro e segundo tipos
respectivamente.
O valor finito da temperatura no centro do cilindro requer que C2 = 0 . A solução final
para a temperatura será da forma:
T ( r,t ) − T∞
Ti − T∞
∞
=∑
n =1
(
⎛ r⎞
2 Bi
J 0 ⎜ bn ⎟ exp −bn2 Fo
2
b + Bi J 0 ( bn ) ⎝ ro ⎠
2
n
)
(
)
(1.4.79)
72
Na qual os números de Fourier e Biot são definidos como
Fo =
αt
2
o
r
, Bi =
hro
k
(1.4.80)
e os autovalores bn = λn ro sã as raízes da equação transcendental:
bn J1 ( bn ) − BiJ 0 ( bn ) = 0
(1.4.81)
1.4.3.3 Esfera
No caso de uma esfera, as equações governantes ficam na forma:
- equação de condução
∂ 2θ 2 ∂θ 1 ∂θ
+
=
∂r 2 r ∂r α ∂t
(1.4.82)
- condição inicial
θ = θi em t = 0
(1.4.83)
- condições de contorno
∂θ
= 0 em r = 0
∂r
−k
∂θ
= hθ em r = ro
∂r
(1.4.84)
(1.4.85)
Definindo uma nova variável φ = rθ obtém-se um novo conjunto de equações na
forma:
- equação de condução
∂ 2φ 1 ∂φ
=
∂r 2 α ∂t
(1.4.86)
- condição inicial
φ = rθi em t = 0
(1.4.87)
- condições de contorno
φ = 0 em r = 0
(1.4.88)
∂φ ⎛ h 1 ⎞
+ ⎜ − ⎟ φ = 0 em r = ro
∂r ⎝ k ro ⎠
(1.4.89)
73
As equações (1.4.86), (1.4.88) e (1.4.89), após separação de variáveis, correspondem
ao caso 7 da Tabela 4.2 e, portanto, a solução é do tipo:
∞
φ = ∑ Cm sen ( λm r ) exp ( −αλm2 t )
(1.4.90)
m =1
na qual
⎛ hro
⎞
− 1⎟
⎝ k
⎠
λm r0 ctg ( λm ro ) = − ⎜
(1.4.91)
Aplicando a condição inicial obtém-se
∞
rθi = ∑ Cm sen ( λm r )
(1.4.92)
m =1
Operando ambos os da eq. (1.4.92) por
∫
r0
0
cos ( λn r ) dr e usando a condição de ortogonalidade
das autofunções
θi ∫ r s en ( λm r ) dr = Cm ∫ s en 2 ( λm r ) dr
r0
r0
0
0
(1.4.93)
Após efetuar as integrações em (1.4.89) chega à expressão da constante:
Cm =
2θ i ⎡⎣ sen ( λm r0 ) − λm r0 cos ( λm r0 ) ⎤⎦
λm ⎡⎣λm r0 − sen ( λm r0 ) cos ( λm r0 )⎤⎦
(1.4.94)
A substituição de (1.4.94) em (1.4.90) leva à solução para a temperatura na forma:
∞
s en ( sm r / r0 )
m =1
sm r / r0
θ = 2θi ∑ K m
exp ( − sm2 Fo )
(1.4.95)
na qual
2 ⎡ sen ( sm ) − sm cos ( sm ) ⎤⎦
Km = ⎣
sm − sen ( sm ) cos ( sm )
(1.4.96)
sm ctg ( sm ) = 1 − Bi, sm = λm r0
(1.4.97)
Fo =
αt
2
o
r
, Bi =
hro
k
(1.4.98)
Tanto no caso do cilindro quanto da esfera são apresentados resultados similares ao
caso da placa de espessura finita.
74
1.4.4 Condução multidimensional transiente
Os resultados do item 1.4.3 podem ser usados para se determinar o campo de
temperatura em condução multidimensional como será ilustrado a seguir. Considere o caso
em que se deseja determinar a distribuição de temperatura numa barra retangular 2 L × 2 H .
Como ilustrado na Figura 1.4.3, a distribuição de temperatura numa barra imersa num
fluido pode ser determinada como o produto da solução da placa vertical pela solução da
placa horizontal. A equação original é da forma
∂ 2θ ∂ 2θ 1 ∂θ
+
=
∂x 2 ∂y 2 α ∂t
(1.4.99)
Supondo uma solução na forma
θ ( x,t, y ) = θ L ( x,t ) × θ H ( y,t )
(1.4.100)
Derivando (1.4.100) duas vezes em relação a x e y, uma vez em relação ao tempo e
substituindo em (1.4.99), pode-se verificar que ela é automaticamente satisfeita
⎛ ∂ 2θ L 1 ∂θ L ⎞
⎛ ∂ 2θ H 1 ∂θ H ⎞
−
+
θ
⎜ 2
⎟ H ⎜ 2 −
⎟θ L = 0
α ∂t ⎠
α ∂t ⎠
⎝ ∂x
⎝ ∂y
(1.4.101)
Ambos os termos entre parênteses são nulos o que mostra que a solução produto satisfaz a
equação original.
A solução (1.4.100) é respeitada apenas se a temperatura inicial também satisfaça
θi = θi ,L × θi ,H
(1.4.102)
Dividindo (1.4.100) por (1.4.102) membro a membro, pode-se verificar que a temperatura
adimensional da barra também é o produto das temperaturas adimensionais das placas, ou
seja,
⎡ θ ( x, y,t ) ⎤
⎡θ ( x,t ) ⎤
⎡ θ ( y,t ) ⎤
=⎢
×⎢
⎢
⎥
⎥
⎥
θi ⎦ placa ,
θi ⎦ placa ,
,
⎣ θi
⎦ barra
⎣
⎣
2 L× 2 H
L = metade da espessura
H = metade da espessura
(1.4.103)
Bejan (1993) mostra que a taxa total de transferência de calor pode ser calculada como
Q (t )
Qi
⎛Q⎞ ⎛Q⎞
⎛Q⎞ ⎛Q⎞
= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ Qi ⎠ L ⎝ Qi ⎠ H ⎝ Qi ⎠ L ⎝ Qi ⎠ H
(1.4.103)
75
Figura 1.4.3 Produto de soluções unidimensionais
Outras soluções para outras geometrias podem ser obtidas da mesma maneira.
Considere o caso de um cilindro curto de comprimento 2 L e raio externo ro , como ilustrado
na Figura 1.4.4.
76
Figura 1.4.4 – Determinação da temperatura dependente do tempo num cilindro curto.
A solução para este caso fica na forma
⎡ θ ( r,x,t ) ⎤
⎡ θ ( r,t ) ⎤
⎡ θ ( x,t ) ⎤
=⎢
×⎢
⎢
⎥ cilindro curto ,
⎥
⎥
θi ⎦ placa ,
longo , ⎣
⎣ θi
⎦ L = metade do comprimento ⎣ θi ⎦ cilindro
r = raio
L = metade da espessura
ro = raio
(1.4.104)
o
Os casos da placa semi-infinita e de um cilindro semi-infinito podem ser obtidos como
ilustrado na Figura 1.4.5.
Figura 1.4.5 – Determinação da temperatura dependente do tempo numa placa e num cilindro
semi-infinitos.
77
A solução da placa semi-infinita é o produto da solução da placa de espessura finita
pela solução do sólido semi-infinito (item 1.4.2) e fica na forma
⎡ θ ( x, y,t ) ⎤
⎡ θ ( x,t ) ⎤
⎡ θ ( y,t ) ⎤
=⎢
×⎢
(1.4.105)
⎢
⎥
⎥
⎥
θi ⎦ placa infinita ,
θi ⎦ meio semi-infinito,
semi −inf inita ,
⎣ θi
⎦ Lplaca
⎣
⎣
= metadade espessura
L = metade da espessura
y = normal a superficie
No caso do cilindro semi-infinito, a solução é da forma
⎡ θ ( r,x,t ) ⎤
⎡θ ( r,t ) ⎤
⎡ θ ( x,t ) ⎤
=⎢
×⎢
⎢
⎥
⎥
⎥
θi ⎦ cilindro infinito, ⎣ θi ⎦ meio semi-infinito,
semi − infinito,
⎣ θi
⎦ cilindro
⎣
r = raio
r = raio
x = normal a superficie
o
(1.4.106)
o
O calculo da taxa total de transferência de calor é feito nos casos das equações
(1.4.104) a (1.4.106) por uma equação similar à eq. (1.4.103)
Finalmente, no caso de um paralelepípedo, como ilustrado na Figura 1.4.6, a solução
tridimensional pode ser obtida como
⎡ θ ( x, y,z,t ) ⎤
⎡ θ ( x,t ) ⎤
=⎢
⎢
⎥
⎥
θi
θi ⎦ placa ,
,
⎣
⎦ barra
⎣
2 L× 2 H
L = metade da espessura
⎡ θ ( y,t ) ⎤
×⎢
⎥
,
⎣ θi ⎦ Hplaca
= metade da espessura
(1.4.107)
⎡ θ ( z,t ) ⎤
×⎢
⎥
,
⎣ θ i ⎦Wplaca
= metade da espessura
1.4.6 - Determinação da temperatura dependente do tempo num paralelepípedo imerso num
fluido.
A taxa total de transferência de calor neste caso, de acordo com Bejan (1993) é
calculada como
Q (t )
Qi
⎛ Q ⎞ ⎛ Q ⎞ ⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤ ⎛ Q ⎞ ⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + ⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎝ Qi ⎠ L ⎝ Qi ⎠ H ⎢⎣ ⎝ Qi ⎠ L ⎥⎦ ⎝ Qi ⎠W ⎢⎣ ⎝ Qi ⎠ L ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ Qi ⎠ H ⎥⎦
(1.4.108)
78
1.4.5 Fontes e sumidouros concentrados
Neste item consideram-se casos de condução dependente do tempo em que o aspecto
principal é a geração (ou absorção) de calor em uma região muito pequena – uma região
concentrada- do meio condutor. Quando calor é liberado no meio a partir desta pequena
região, o processo será de condução transiente na vizinhança de uma fonte de calor. Exemplos
incluem fissuras cheias de vapor geotérmico, explosões subterrâneas, containeres de lixo
nuclear ou químico, cabos elétricos enterrados no subsolo.
Quando a pequena região recebe calor do meio infinito, a região funciona como um
sumidouro concentrado de calor. Um exemplo é o caso de um duto enterrado de um trocador
de calor através do qual uma bomba de calor recebe calor do meio ambiente (solo) a fim de
aumentá-lo e depositá-lo num edifício.
1.4.5.1 Fontes e sumidouros instantâneos
Considere, primeiramente, a direção x através de um meio infinito com propriedades
constantes ( k ,α , ρ ,c ) , Figura 1.4.7. A equação de condução na direção x , para o excesso de
temperatura θ ( x,t ) = T ( x,t ) − T∞ é:
∂ 2θ 1 ∂θ
=
∂x 2 α ∂t
(1.4.109)
Uma solução que satisfaz (1.4.109) pode ser do tipo:
θ ( x,t ) =
⎛ x2 ⎞
exp ⎜ −
⎟
αt
⎝ 4α t ⎠
K
(1.4.110)
na qual K é uma constante.
Integrando a eq. (1.4.110) resulta
∫
∞
−∞
θ ( x,t ) dx = ∫
∞
−∞
⎛ x2 ⎞
exp ⎜ −
⎟ dx
αt
⎝ 4α t ⎠
K
Após um rearranjo a eq. (1.4.111) pode ser escrita como
(1.4.111)
79
∫
∞
−∞
⎧⎪
θ ( x,t ) dx = K π 1 / 2 ⎨−
2
∫
−∞
⎡ ⎛ η ⎞ 2 ⎤ ⎛ dη ⎞
2
exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎜
⎟ + 1/ 2
⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 2 ⎠ π
⎩⎪ π
=K π 1 / 2 ⎡⎣ −erf ( −∞ ) + erf ( ∞ ) ⎤⎦
=K π 1 / 2 ⎡⎣ − ⎡⎣ −erf ( ∞ ) ⎤⎦ + erf ( ∞ ) ⎤⎦
=K π 1 / 2 2erf ( ∞ )
1/ 2
0
∫
∞
0
⎡ ⎛ η ⎞ 2 ⎤ ⎛ dη ⎞ ⎫⎪
exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎜
⎟⎬
⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎭⎪
(1.4.112)
=2π 1 / 2 K
A integral do lado esquerdo da eq. (1.4.112) é proporcional ao inventário de energia interna
do de meio inteiro:
∫
∞
−∞
∞
∞
−∞
−∞
ρ ( u − u∞ ) Adx = ∫ ρ c (T − T∞ ) Adx = ρ cA∫ θ dx
(1.4.113)
na qual A é a grande área do plano normal à direção x . Mas
∫
∞
−∞
ρ ( u − u∞ ) Adx = Q
(1.4.114)
é depósito de calor no plano x = 0 no instante de tempo t = 0 . Combinando as equações
(1.4.112) a (1.4.114) obrem-se
K=
Q′′
(1.4.115)
2π 1 / 2 ρ c
na qual Q′′ = Q / A é o “poder” da fonte plana instantânea. Assim, o excesso de temperatura
na vizinhança do plano x = 0 em que Q′′ é liberado no instante t = 0 é
θ ( x,t ) =
⎛ x2 ⎞
Q′′
exp ⎜ −
⎟
2 ρ c πα t
⎝ 4α t ⎠
(fonte plana instantânea)
(1.4.116)
Figura 1.4.7 – Distribuição de temperatura na vizinhança de uma fonte de calor instantânea.
80
Fórmulas similares podem ser obtidas para fontes no formato de linha ou fontes
pontuais. Em tais casos tem-se
θ ( r,t ) =
θ ( r,t ) =
⎛ r2 ⎞
Q′
exp ⎜ −
⎟
4 ρ cπα t
⎝ 4α t ⎠
Q
8 ρ c (πα t )
3/ 2
(fonte linha instantânea)
⎛ r2 ⎞
exp ⎜ −
⎟
⎝ 4α t ⎠
(fonte ponto instantânea)
(1.4.117)
(1.4.118)
1.4.5.2 Fontes e sumidouros persistentes (contínuos)
A distribuição de temperatura dependente do tempo e o processo de condução que são
induzidos por fontes que persistem no tempo podem ser determinados analiticamente pela
superposição de efeitos de um grande número de fontes instantâneas.
Assuma o caso, novamente, o caso da fonte plana, eq. (1.4.116), só que no instante
t = 0 e no plano x = 0 , a magnitude da fonte seja Q0′′ . Então, pela eq. (1.4.116) tem-se a
distribuição de temperatura
⎛ x2 ⎞
Q0′′
θ0 ( x,t ) =
exp ⎜ −
⎟
2 ρ c πα t
⎝ 4α t ⎠
(1.4.119)
Assuma também que no instante t = t1 , o plano x = 0 recebe uma nova fonte, Q1′′ . Se
esta nova fonte ocorrer só, ou seja, sem a presença de Q0′′ , então a variação de temperatura
provocada por Q1′′ poderia ser escrito na forma
⎡
⎤
x2
θ1 ( x,t ) =
exp ⎢ −
⎥
2 ρ c πα ( t − t1 )
⎢⎣ 4α ( t − t1 ) ⎥⎦
Q1′′
(1.4.120)
na qual, agora, t − t1 conta o tempo decorrido após a liberação de Q1′′ .
Se Q1′′ ocorrer na presença da temperatura criada por Q0′′ no instante t = 0 , então, a
distribuição de temperatura após t = t1 é simplesmente a soma de θ0 ( x, t ) e θ1 ( x, t ) . Ou seja,
para t > 0 pode-se escrever
⎧⎪θ 0 ( x, t )
0 < t < t1
θ ( x, t ) = ⎨
t1 < t
⎪⎩θ 0 ( x, t ) + θ1 ( x, t )
Pode ser mostrado que θ = θ 0 + θ1 satisfaz a eq. (1.4.109).
(1.4.121)
81
Outras entradas podem ser adicionadas à eq. (1.4.121) se fontes adicionais de
dimensão Qi′′ forem depositadas em tempos ti na fonte plana x = 0 . Por exemplo, após o
tempo t = tn (isto é, após n + 1 depósitos), a distribuição de temperatura é dada por
θ ( x, t ) = θ0 + θ1 + θ 2 +
+ θn
(1.4.122)
Uma fonte contínua no plano x = 0 em o mesmo efeito que uma seqüência de um
grande número de pequenas fontes planas instantâneas de igual tamanho:
ΔQ′′ = q′′Δt
(1.4.123)
na qual q′′ (W / m 2 ) é o depósito de calor por unidade de área e tempo, e Δt é a curta duração
de cada depósito (tiro). Quando Δt se torna infinitesimalmente pequeno, a soma na eq.
(1.4.122) é substituída por uma integral
θ ( x, t ) = ∫ θi dτ
t
0
⎡
⎤
x2
exp ⎢ −
⎥ dτ
0
2 ρ c πα ( t − τ )
⎣⎢ 4α ( t − τ ) ⎦⎥
=∫
q′′
t
(1.4.124)
No integrando, a variável muda τ marca o tempo quando cada adicional fonte q′′dτ
entra em ação. Quando a integral (1.4.124) é avaliada o resultado é a distribuição de
temperatura próxima ao plano x = 0 em que fontes contínuas q ′′ são ligadas no tempo t = 0 :
θ ( x,t ) =
⎛ x ⎞
⎛ x 2 ⎞ q′′ x
q′′ ⎛ t ⎞
exp
erfc ⎜
⎜⎜
⎟⎟
⎟ (fonte plana contínua) (1.4.125)
⎜−
⎟−
ρ c ⎝ πα ⎠
⎝ 4α t ⎠ 2k
⎝ 2 αt ⎠
No plano x = 0 tem-se
q′′ ⎛ t ⎞
θ ( 0 ,t ) =
ρ c ⎜⎝ πα ⎟⎠
1/ 2
(1.4.126)
o que mostra que mesmo que a fonte plana persista em nível constante q ′′ , a temperatura na
fonte plana e no meio aumenta quando o tempo t cresce.
As distribuições de temperatura também podem ser obtidas de forma similar para
fontes linhas e pontuais contínuas. No caso de fontes linhas, pela eq. (1.4.117) pode obter
θ ( r,t ) =
q′
4π k
∫
∞
r
2
e−u
du
/ 4α t
u
(fonte linha contínua)
(1.4.127)
Em um tempo suficientemente longo e/ou para distâncias radiais pequenas, onde o grupo
r 2 / 4α t é menor do que 1, a distribuição de temperatura se aproxima por
θ ( r, t ) ≅
q′
4π k
⎡ ⎛ 4α t ⎞
⎤
⎢ln ⎜ r 2 ⎟ − 0,5772 ⎥
⎠
⎣ ⎝
⎦
⎛ r2 ⎞
⎜
⎟ << 1
α
4
t
⎝
⎠
(1.4.128)
82
O efeito de uma fonte pontual contínua pode ser determinado pela superposição de um
grande número de fontes pontuais instantâneas de igual tamanho:
θ ( r,t ) =
⎛
q
r2 ⎞
e rfc ⎜ −
⎟
4π kr
⎝ 2 αt ⎠
(fonte pontual contínua)
(1.4.129)
Lembrando que erfc ( 0 ) = 1 , pode-se concluir que na medida em que o tempo cresce e o
1/ 2
argumento r / ⎡ 2 (α t ) ⎤ se torna consideravelmente menor do que 1, a distribuição de
⎣
⎦
temperatura se estabiliza no nível
θ ( r ,∞ ) =
q
4π kr
(1.4.130)
As mesmas fórmulas e equações se aplicam para o caso de sumidouros instantâneos e
contínuos, pela simples troca dos sinais de ( Q′′, Q′, Q, q′′, q′, q ) nas respectivas equações.
1.4.5.3 Fontes de calor móveis
Uma característica das fontes e sumidouros móveis é a simetria das isotermas em
torno do local da fonte. Agora, considera o caso de fontes que se movem em relação ao meio
condutivo com velocidade constante, como ilustrado na Figura 1.4.8, a qual pode representar
um processo de soldagem de duas chapas. Após um longo período de tempo, pode-se escrever
as equações governantes para essa fonte linha como
U
∂T
∂ 2T
=α 2
∂x
∂y
(1.4.131)
T = T∞ em y = ±∞
(1.4.132)
∞
q′ = ∫ ρ cU (T − T∞ ) dy
(1.4.133)
−∞
Figura 1.4.8 – Fonte móvel
83
A solução do problema (1.4.131) a (1.4.133) pode ser obtida definindo as variáveis
T ( x, y ) − T∞ =
q′ / ρ c
θ (η )
(U α x )
1/ 2
(1.4.134)
1/ 2
⎛U ⎞
η = y⎜
⎟
⎝αx ⎠
(1.4.135)
as quais substituídas em (1.4.131) a (1.4.133) resulta
d 2θ η dθ 1
+
+ θ =0
dη 2 2 dη 2
(1.4.136)
θ = 0 em η = ±∞
(1.4.137)
∫
∞
−∞
θ dη = 1
(1.4.138)
A solução de (1.4.136) que satisfaz (1.4.236) e (1.4.137) deve ser do tipo
θ = Ce−η
2
/4
(1.4.139)
a qual substituída em (1.4.138) leva ao resultado para a constante C
∞
C ∫ e −η / 4 dη = 1
2
−∞
⎡ ∞ −⎛⎜ η ⎞⎟ ⎛ η ⎞ ⎤
2C ⎢ ∫ e ⎝ 2 ⎠ d ⎜ ⎟ ⎥ = 1
⎢ −∞
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎣
2
⎡ 0 −⎜⎛ η ⎟⎞ ⎛ η ⎞ ∞ −⎜⎛ η ⎟⎞ ⎛ η ⎞ ⎤
2C ⎢ ∫ e ⎝ 2 ⎠ d ⎜ ⎟ + ∫ e ⎝ 2 ⎠ d ⎜ ⎟ ⎥ = 1
⎢ −∞
⎝2⎠ 0
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎣
2
π 1/ 2 ⎡
2
2
−∞
⎛η ⎞
−⎜ ⎟
⎝2⎠
2
2
⎛η ⎞
d ⎜ ⎟ + 1/ 2
⎝2⎠ π
⎢−
2C
e
2 ⎢ π 1/ 2 ∫0
⎣
1/ 2
Cπ ⎡⎣ −erf ( −∞ ) + erf ( ∞ ) ⎤⎦ = 1
Cπ 1/ 2 2erf ( ∞ ) = 1
∫
∞
0
e
⎛η ⎞
−⎜ ⎟
⎝2⎠
2
⎛ η ⎞ ⎤⎥
d ⎜ ⎟ =1
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
(1.4.140)
C = 1/ π 1/ 2 2
A solução para θ será, portanto, da forma
e −η / 4
θ = 1/ 2
2π
2
(1.4.141)
que substituída em (1.4.134) juntamente com (1.4.135) leva ao resultado para a distribuição
de temperatura:
T ( x, y ) − T∞ =
q′ / ρ c
( 4π U α x )
1/ 2
⎛ Uy 2 ⎞
exp ⎜ −
⎟
⎝ 4α x ⎠
(1.4.142)
84
No caso de uma fonte pontual contínua, de forma similar pode-se obter a distribuição
de temperatura como
T ( r , y ) − T∞ =
⎛ Ur 2 ⎞
q′ / ρ c
exp ⎜ −
⎟
4πα x
⎝ 4α x ⎠
(1.4.143)
1.4.6 Solidificação e fusão
Os problemas de transferência de calor com mudança de fase envolvem um
movimento de fronteira cuja posição deve ser determinada como parte da solução. Os casos
considerados aqui são de fusão e solidificação.
1.4.6.1 Solidificação e fusão unidimensional
A Figura 1.4.9 ilustra os casos de fusão e solidificação unidimensional de um material.
Figura 1.4.9 – Processos de fusão e solidificação
A Figura 1.4.10 ilustra o movimento da fronteira e balanço de energia na mudança de
fase. Considerando um volume de controle em torno da fronteira móvel tem-se pela primeira
lei da termodinâmica
dδ
⎛
⎜ρA
dt
⎝
⎞
⎟ hl
⎠
dδ
⎛
−⎜ρA
dt
⎝
⎞
⎛ ∂T ⎞
em x = δ ( t )
⎟ hs = −kl A ⎜
⎟
⎠
⎝ ∂x ⎠ x =δ , lado liquido
(1.4.144)
85
na qual A , hl hs são a entalpia são a área frontal do volume de controle, a entalpia específica
do líquido e a entalpia específica do sólido respectivamente. O termo do lado direito de
(1.4.144) representa a transferência de calor que chega de cima, isto é, do lado líquido da
frente de fusão. Não foi considerado nenhum termo de transferência de calor do lado do
sólido da frente de fusão, pois o sólido foi considerado isotérmico. O coeficiente kl é,
portanto, a condutividade térmica do líquido.
Figura 1.4.10 – Fusão de um sólido semi-infinito
O cálculo da frente de fusão requer a determinação dos campos de temperatura. Uma
solução simples é baseada na observação de que bem no início do processo, quando a camada
de fusão é bem fina, a distribuição de temperatura é linear:
T ( x,t ) − Tm
T0 − Tm
≅ 1−
x
δ (t )
(1.4.145)
da qual se obtém
∂T ( x,t )
∂x
≅−
T0 − Tm
δ (t )
(1.4.146)
Substituindo (1.4.146) em (1.4.144) resulta uma equação para determinar δ :
δ
dδ
k
≅ l (T0 − Tm )
dt ρ hsl
(1.4.147)
cuja solução é
⎡ kt
⎤
δ ( t ) ≅ ⎢ 2 l (T0 − Tm ) ⎥
⎣ ρ hsl
⎦
1/ 2
(1.4.148)
em que hsl = hl − hs é o calor latente de fusão do material.
De acordo com Bejan (1993) uma solução exata foi obtida por Stefan e é da forma:
86
π 1 / 2 λ exp ( λ 2 ) erf ( λ ) =
c (T0 − Tm )
hsl
(1.4.149)
na qual c é o calor específico do líquido e λ é um número adimensional definido como
λ=
δ
1/ 2
2 (α t )
(1.4.150)
O grupo aparecendo do lado direito da eq. (1.4.149) é denominado por número de Stefan:
Ste =
c (T0 − Tm )
hsl
(1.4.151)
No caso em que há troca de calor tanto no líquido quanto no sólido como ilustrado nos
processos de solidificação e fusão da Figura 1.4.11, a equação na interface fica na forma
ks
dδ ( t )
∂Ts
∂T
em x = δ ( t )
− kl l = ρ hsl
∂x
∂x
dt
(1.4.152)
Se do lado líquido predominar um processo de troca convectiva com coeficiente de troca de
calor convectivo h , a equação na interface fica na forma
ks
dδ ( t )
∂Ts
em x = δ ( t )
− h (T∞ − Tm ) = ρ hsl
∂x
dt
(1.4.153)
Figura 1.4.11 Processo de mudança de fase: (a) solidificação; (b) fusão
Se as densidades do líquido e do sólido forem diferentes, com ρ s > ρl e considerando
movimento do líquido pelos efeitos volumétricos, a equação na interface fica como
ks
∂Ts
∂T
− kl l = ( ρl hl − ρ s hs ) Vx − ρl hV
l l em x = δ ( t )
∂x
∂x
(1.4.154)
na qual Vl é a velocidade do líquido pelos efeitos volumétricos e a velocidade da fronteira é
87
Vx =
dδ ( t )
(1.4.155)
dt
Um balanço de massa na fronteira leva ao resultado
( ρl − ρ s )Vx = ρlVl
(1.4.156)
da qual se obtém
Vl =
( ρl − ρ s )Vx
ρl
(1.4.157)
Substituindo (1.4.157) em (1.4.154) obtém-se na interface
ks
∂Ts
∂T
− kl l = ρ s ( hl − hs ) Vx = ρ s hslVx em x = δ ( t )
∂x
∂x
(1.4.158)
que é idêntica à eq. (1.4.152), exceto com a massa específica do sólido no lugar da massa
específica constante.
1.4.6.2 Solidificação e fusão multidimensional
No caso de um processo de fusão ou solidificação tridimensional, a frente de mudança
de fase será uma superfície no espaço como ilustrado Figura 1.4.12 dada pela função
F ( x, y,z,t ) = 0 .
Figura 1.4.12 – Solidificação em três dimensões.
Para um movimento da fronteira na direção da normal n , o balanço de energia na
fronteira leva à equação
ks
∂Ts
∂T
− kl l = ρ ( hl − hs ) Vn em F ( x, y,z,t ) = 0
∂n
∂n
(1.4.159)
88
Uma forma explícita de escrever a função que representa a superfície de mudança de
fase é:
F ( x, y , z , t ) ≡ z − s ( x, y , t ) = 0
(1.4.160)
O vetor normal à superfície pode ser calculado como
n=
∇F
(1.4.161)
∇F
A superfície F está na temperatura de mudança de fase e, portanto, ela é uma superfície
isotérmica; conseqüentemente, ∇T é normal a esta superfície, daí,
n=
∇F
∇F
∇Ti
=
∇Ti
, i = s ou l
(1.4.162)
A partir de (1.4.162) pode-se obter que
∂Ti
∇T i∇F
, i = s ou l
= ∇Ti in = i
∂n
∇F
Vn = V in =
(1.4.163)
V i∇F
(1.4.164)
∇F
A derivada total de (1.4.160) é:
∂F
∂F
∂F
∂F
dt +
dx +
dy +
dz = 0
∂t
∂x
∂y
∂z
(1.4.165)
da qual se obtém
∂F dx ∂F dy ∂F dz
∂F
+
+
=−
∂x dt ∂y dt ∂z dt
∂t
∂F
V i∇F = −
∂t
Vn = V in =
(1.4.166)
−∂F / ∂t
(1.4.167)
∇F
Também se pode demonstrar que
∂F
∂s
=− ,
∂x
∂x
∂F
∂s
=− ,
∂y
∂y
∂F
= 1,
∂z
∂F
∂s
=−
∂t
∂t
(1.4.168)
2
2
∂Ti ⎡ ⎛ ∂s ⎞ ⎛ ∂s ⎞ ⎤
∇Ti i∇F =
⎢1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
∂z ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥
⎣
⎦
(1.4.169)
2
2
∂Ti ∂Ti ⎡ ⎛ ∂s ⎞ ⎛ ∂s ⎞ ⎤
=
⎢1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ / ∇F
∂n ∂z ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥
⎣
⎦
(1.4.170)
89
Substituindo (1.4.167) e (1.4.170) em (1.4.159) resulta para o caso tridimensional a
equação na interface:
⎡ ⎛ ∂s ⎞ 2 ⎛ ∂s ⎞2 ⎤ ⎛ ∂T
∂T ⎞
∂s
em z = s ( x, y,t )
⎢1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ks s − kl l ⎟ = ρ hsl
∂z ⎠
∂t
⎢⎣ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥⎦ ⎝ ∂z
(1.4.171)
Os casos bidimensionais e unidimensionais podem ser obtidos a partir de (1.4.171) como
⎡ ⎛ ∂s ⎞ 2 ⎤ ⎛ ∂Ts
∂T ⎞
∂s
em z = s ( x,t ) (2D)
− kl l ⎟ = ρ hsl
⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ks
∂z ⎠
∂t
⎣⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎦⎥ ⎝ ∂z
(1.4.172)
∂T ⎞
ds
⎛ ∂Ts
em z = s ( t ) (1D)
− kl l ⎟ = ρ hsl
⎜ ks
dt
∂z ⎠
⎝ ∂z
(1.4.173)
A eq. (1.4.173) é idêntica à eq. (1.4.152), bastando trocar z por x .
90
1.5 Convecção
1.5.1 Coeficiente de Transferência de Calor Convectiva
Considere o escoamento de um fluido com velocidade V ( r ) e temperatura T ( r ) num
canal de altura l, cuja parede inferior (y = 0) está a T1 e a parede superior (y = l) está a T2 .
Suponha que a distribuição de temperatura em função de y seja como ilustrado na Figura 1.5.1
Figura 1.5.1 Temperatura de um fluido num canal em função de y.
91
O fluxo conduto-convectivo na parede inferior pode ser definido como
q cc
y =0
= −kf
∂T f
∂y
= −k f
y =0
Tm − T1
ξ
= h(T1 − Tm )
(1.5.1)
na qual h = função ( propriedad es do fluido , natureza do escoamento ) e é denominado de
coeficiente de transferência de calor por convecção. Generalizando pode-se calcular o fluxo
conduto convectivo por
q cc = h Tw − Tc
(1.5.2)
na qual Tw é a temperatura na parede e Tc é uma temperatura característica do fluido.
Tabela 1.5.1. Valores de h para determinados escoamentos
Tipo
Convecção natural
Convecção forçada
Mudança de fase
Fluido
H [Wm-2K-1]
gás
5-30
água
100-1000
gás
10-300
água
300-12000
óleo
50-1700
metal líquido
6000-110000
ebulição (água)
3000-60000
condensação (água)
5000-110000
1.5.2 Convecção Forçada Externa
Na convecção forçada externa tem-se interesse em calcular o fator de atrito e o
coeficiente de transferência convectiva.
1.5.2.1 Escoamentos Laminares
O fator de atrito local em escoamentos laminares é da forma:
92
c f ,x =
0,664
(1.5.3)
Re x
A força de cisalhamento numa parede de comprimento x é:
∫
x
τ w, x dx = xτ w, x . Assim,
0
obtém-se
τ w, x
1 2
ρu ∞
2
= c f ,x =
∫
1 x
c f , x dx
x 0
(1.5.4)
O coeficiente médio de atrito, após substituir o coeficiente local na equação (1.5.4) e resolver
a integral será
c f , x = 2c f , x =
1,328
Re x
(1.5.5)
1.5.2.1.1 Camada Limite Térmica
A camada limite térmica geralmente é analisada considerando o caso Pr = 1 e o caso
geral para qualquer número de Pr . O número de Nusselt é definido por
Nu x ( X ) =
∂θ ( X ,0)
∂Y
(1.5.6)
e o fator de atrito é definido por
c f ,x ( X ) =
2 ∂U ( X ,0) 0,664
=
Re x
∂Y
Re x
A partir da equação (1.5.7) obtém-se que derivada da velocidade na parede é:
∂U ( X ,0)
= 0,332 Re x
∂Y
(1.5.7)
93
e portanto, como
∂θ ( X ,0) ∂U ( X ,0)
, obtém-se o número de Nusselt, neste caso, definido
=
∂Y
∂Y
por
Nu x ( X ) = 0,332 Re x
(1.5.8)
No caso mais geral de qualquer número de Prandtl não unitário assume-se que
⎛
θ ( X , Y ) = θ (η ) = θ ⎜⎜ Y
⎝
η
⎛ Pr
exp⎜ −
2
0
θ (η ) = ∞ ⎝
⎛ Pr
exp⎜ −
0
⎝ 2
∫
∫
⎞
⎟ , resultando a solução da distribuição de temperatura na forma
⎟
⎠
Re L
X
η′
⎞
f (η ′′)dη ′′ ⎟dη ′
0
⎠
η′
⎞
f (η ′′)dη ′′ ⎟dη ′
0
⎠
∫
∫
(1.5.9)
O número de Nusselt será então
Nu x ( X ) =
∂θ ( X ,0) dθ ∂η
=
=
∂Y
dη ∂Y
Re L dθ (0)
X
dη
(1.5.10)
Na qual a função f (η ) é solução do sistema EDO a seguir:
df
=g
dη
dg
=h
dη
dh
= − fh + β g 2 − 1
dη
(
(1.5.9b)
)
com as seguintes valores iniciais
f ( 0) = 0
g ( 0) = 0
h(0) = desconhecido
(1.5.9c)
94
A partir da equação (1.5.10) pode-se obter correlações para calcular o número de
Nusselt. Schilichting (1968) sugere as correlações, para 0,6 ≤ Pr ≤ 10 :
Nu x ( X ) = 0,332 Re 1x/ 2 Pr 1 / 3
(1.5.11)
e para o Nusselt global resulta
Nu L =
∫
L
0
Nu x ( X )
dX = 0,664 Re1L/ 2 Pr 1 / 3
X
(1.5.12)
1.5.2.1.2 Camada Limite Térmica Espessa (Parede Isotérmica)
A distribuição de temperatura no escoamento paralelo a uma parede isotérmica na
temperatura Tw é ilustrada na Figura 1.5.2. Neste caso, a espessura da camada limite térmica é
bem maior do a espessura da camada limite hidrodinâmica, ou seja
δ T >> δ
(1.5.13)
Figura 1.5.2.Camada térmica em fluidos com baixos números de Prandtl.
A espessura da camada limite térmica será proporcional a razão de x pela raiz quadrada do
número de Péclet, ou seja
δt ≈
x
Pe x
, Pe x =
u∞ x
α
O fluxo condutivo transversal à parede será
(1.5.14)
95
q w, x = − k
∂T
∂y
= h(Tw − T∞ )
(1.5.15)
y =0
O gradiente de temperatura junto à parede
então da ordem de grandeza q w, x ≈ k
ΔT
δt
∂T ΔT
≈
, ΔT = Tw − T∞ . O fluxo de calor será
∂y
δt
. O número de Nusselt definido como Nu x =
h( x ) x
,
k
pode ser reescrito em função do fluxo de calor como
Nu x =
q w, x x
ΔT 1 x
≈k
ΔT k
δ t ΔT k
(1.5.16)
O número de Nusslet será, então, proporcional x / δ t , obtendo-se, após substituir a espessura
da camada limite que
Nu x ≈
x
δt
=
Nu x ≈ Pe1x / 2
x
ou que
xPe x−1 / 2
(Pr << 1)
(1.5.17).
Os fluidos com Prandtl muito baixos são os metais líquidos mercúrio e sódio.
1.5.2.1.3 Camada Limite Térmica Fina (Parede Isotérmica)
No caso da camada limite térmica ser bem mais fina do que a camada limite
hidrodinâmica, Figura 1.5.3
Figura 1.5.3.Camada limite térmica para fluidos com altos números de Prandtl
96
δ T << δ
(1.5.18)
Neste caso em δ , u ≈ u ∞ e em δ t , u ≈ u , portanto,
u
δt
≈
u∞
⇒u ≈
δ
A partir da u
δt
u∞
δ
(1.5.19)
ΔT
ΔT
≈ α 2 , resulta
x
δt
δt
ΔT
ΔT
u∞
≈ α 2 ou δ t3 ≈ xαδ
δ
x
δt
(1.5.20)
A equação (1.5.20) pode ser manipulada após substituir a espessura da camada limite
hidrodinâmica:
xα ⎛ ν
⎜
δ ≈
u ∞ ⎜⎝ xu ∞
3
t
δ t3 ≈
⎞
⎟⎟
⎠
1/ 2
⎛
⎞
⎜
α ν ⎜ x ⋅ x ⎟⎟
3
⇒ δt ≈ x
ν u ∞ ⎜ xu ∞ ⎟
⎜
⎟
⎝ ν ⎠
1/ 2
1 x ⎛ 1 ⎞
⎟
⎜
⇒δ ≈ x
Pr u ∞ x ⎜⎝ Re x ⎟⎠
3
t
O número de Nusselt definido por Nu x =
x
δt
ν
x3 1
Pr Re 3x / 2
δ t ≈ x Pr −1 / 3 Re −x 1 / 2
Nu x ≈
1/ 2
2
(1.5.21)
q w, x x
terá portanto a ordem de grandeza
ΔT k
, resultando após substituição da equação (1.5.21) que
Nu x ≈ Re 1x/ 2 Pr 1 / 3 , Pr >> 1
(1.5.22)
97
Fluidos com número de Prandtl altos incluem água e óleos pesados.
Na literatura aparecem correlações da forma
Nu x = 0,564 Re 1x/ 2 Pr 1 / 2 , (Pr ≤ 0,5)
(1.5.23a)
Nu x = 0,332 Re 1x/ 2 Pr 1 / 3 , (Pr ≥ 0,5)
(1.5.23b)
A transferência de calor total num comprimento x é:
∫
∫
x
x
Nu x
dx = xq w, x
x
q w, x dx = xq w, x ⇒ kΔT
0
0
obtendo-se após algumas transformações o número de Nusselt global
q w, x x
kΔT
q w, x x
kΔT
=
∫
x
0
=
Nu x =
Nu x
dx =
x
∫
x
0
h( x ) x
dx
kx
∫
x1 x
h ( x) x
h( x)dx =
k x 0
k
q w, x x
kΔT
= 1,128 Re1x/ 2 Pr 1 / 2
N u x = 0,664 Re1x/ 2 Pr 1 / 3
(Pr ≤ 0,5)
(Pr ≥ 0,5)
Na literatura aparece para Pe x =
u∞ x
α
(1.5.24a)
(1.5.24b)
> 100 , a correlação para todo faixa de número
de Prandtl:
Nu x =
0,928 Re1x/ 2 Pr 1 / 3
[1 + (0,0207 / Pr ) ]
2 / 3 1/ 4
(1.5.25)
Outras situações de transferência de calor podem ocorrer: parede com um
comprimento inicial não aquecido (isolado termicamente); temperatura de parede não
98
uniforme, fluxo de calor uniforme na parede ou fluxo de calor não uniforme na parede. Vide
Bejan (1993).
1.5.2.2 Escoamentos Turbulentos
Em escoamentos turbulentos sobre uma placa, o fator de atrito pode ser estimado pela
correlação:
−1 / 5
τ w, x 1
⎛u x⎞
= c f , x u ∞2 = 0,0296⎜ ∞ ⎟
2
ρ
⎝ ν ⎠
(1.5.26)
A tensão média e espessura da camada limite são obtidas pelas correlações:
τ w, L = 0,037 ρu ∞2 Re −L1 / 5
δ
⎛u x⎞
= 0,37⎜ ∞ ⎟
x
⎝ ν ⎠
(1.5.27)
−1 / 5
(1.5.28)
1.5.2.2.1 Camada Limite Térmica
O fluxo de calor aparente é definido como
q w, x = −(k + ρc pα t )
∂T
∂y
(1.5.29)
O coeficiente de transferência de calor pode ser definido como
h( x ) =
q w, x
Tw − T∞
(1.5.30)
Dividindo a tensão de parede pelo fluxo de calor resulta
τ w, x
q w, x
=
ρ (ν + ν t ) du
ρc p (α + α t ) dT
(1.5.31)
99
No caso particular de α = ν , α t = ν t o que é equivalente de se ter Pr = 1 e Prt = 1 ; resulta
1 du τ w , x
=
c p dT q w , x
(1.5.32)
Na parede, y = 0; u = 0, T = Tw . Em y → ∞; u = u ∞ , T = T∞ . Portanto
τ w, x
u∞
1
=
c p (Tw − T∞ ) q w, x
(1.5.33)
Define-se o número de Stanton como
St x =
q w, x
τ w, x
h( x )
=
=
ρc p u ∞ ρc p u ∞ (Tw − T∞ ) ρu ∞2
(1.5.34)
Nu x
Nu x
=
Pe x Re x Pr
(1.5.35)
ou
St x =
No caso de Pr = 1 e Prt = 1 , obtém-se a equação
St x =
1
c f ,x
2
(1.5.36)
que é conhecida como Analogia de Reynolds.
No caso de Pr ≠ 1 e para Pr ≥ 0,5 Colburn sugeriu a correlação
St x Pr 2 / 3 =
1
c f ,x
2
Neste caso o Nusselt local é dado pela correlação
(1.5.37)
100
Nu x =
1
c f , x Re x Pr 1 / 3 = 0,0296 Re 4x / 5 Pr 1 / 3
2
(1.5.38)
conhecida como Analogia de Colburn entre atrito e transferência de calor.
O coeficiente médio de transferência de calor pode ser definido na forma
hL =
∫
∫
1 xtr
1 L
hx ,lam dx +
hx ,turb dx
L 0
L xtr
(1.5.39)
O número de Nusselt global ficara na forma
Nu L =
(
hL L
= 0,664 Pr 1 / 3 Re1x/tr2 + 0,037 Pr 1 / 3 Re 4L / 5 − Re 4xtr/ 5
k
)
(1.5.40)
Se Re xtr = 5 x10 5 , então
N u L = 0,037 Pr 1 / 3 (Re 4L / 5 − 23550); 5 x10 5 < Re L < 10 8 , Pr ≥ 0,5
(1.5.41)
Para Re L < 5 x10 5
N u L = 0,664 Pr 1 / 3 Re1L/ 2
(1.5.42)
A Figura 1.5.4 ilustra a variação do coeficiente de transferência de calor com x para
escoamentos laminares e turbulentos.
101
Figura 1.5.4. Coeficiente local de transferência de calor
102
1.6 Convecção Forçada Interna
1.6.1 Fator de atrito de Fanning e Queda de Pressão
A tensão na parede é definida, no caso do escoamento laminar no tubo, como
U
⎛ du ⎞
= 4μ
⎟
rw
⎝ dr ⎠ r = rw
τ w = μ⎜ −
(1.6.1)
O fator de atrito de Fanning é definido por
f =
com Re D =
τw
1
ρU 2
2
=
4 μU
1
16
16
=
=
ρUD Re D
rw 1
ρU 2
2
μ
(1.6.2)
ρUD
. Na literatura também aparece o fator de atrito de Darcy-Weisbach
μ
f * = 4f =
64
Re D
(1.6.3)
Em dutos de seção não circular define-se o diâmetro hidráulico na forma
Dh =
4A
P
⎧ A = área da seção transversal
⎨
⎩P = perímetro molhado
(1.6.4)
Alguns casos de dutos não circular são:
a) duto de seção quadrada; Dh = a (onde a é o lado do quadrado)
b) duto de seção retangular; Dh =
8
a (onde a é o comprimento do menor lado)
5
c) canal de placas paralelas; Dh = 2a (onde a é o espaçamento entre as placas)
d) triângulo eqüilátero; Dh =
a
3
( onde a é o lado do triângulo)
103
A queda de pressão no duto ou tubo pode ser calculada a partir de um balanço de
forças
ΔpA = τ w PL
Δp = f
L 1
ρU 2
A/ P 2
Δp = 4 f
L 1
ρU 2
Dh 2
(1.6.5)
Em geral o fator de atrito pode ser definido na forma:
f =
C
Re Dh
(1.6.6)
na qual C depende da forma da seção transversal do duto. Re Dh = UDh / ν . Na literatura
encontra-se correlações do tipo
C ≅ 16 exp(0,294 B 2 + 0,068B − 0,318)
com B =
πDh2 / 4
A
(1.6.7)
.
Ex. 1.6.1 Calcule ΔP / L para escoamento de água a 20oC num tubo de D=2,7 cm e
U = 6 cm/s. Determine também p comprimento da região de entrada. Compare com
comprimento adotado na prática ( Le = 0,05 D Re D ).
1.6.2 Entrada Térmica
No caso de escoamentos internos define-se a temperatura média de mistura na forma
o
104
Tm =
∫
1
uTdA
UA A
(1.6.8)
O coeficiente de transferência de calor pode então ser definido como
h=
q ′w′
Tw − Tm
(1.6.9)
No caso de escoamento completamente desenvolvido termicamente num tubo tem-se
∂T
∂r
≈
r = rw
Tw − Tm
rw
(1.6.10)
Um balanço de energia num elemento de fluido de comprimento dz resulta
∫ ρu(i
z + dz
− i z )dA = q ′w′ Pdz
A
∫ ρuc dTdA = q′′ Pdz
p
w
A
ρc p d ⎛⎜ uTdA ⎞⎟ = q ′w′ Pdz
⎝
∫
A
⎠
dTm P q ′w′
=
dz
A ρc pU
(1.6.11)
No caso de tubo resulta
dTm
hπD(Tw − Tm )
2 q ′w′
=
=
dz
rw ρc pU
mc p
(1.6.12)
A equação de energia em escoamento completamente desenvolvido hidrodinâmica e
termicamente é:
105
ρc p u ( r )
∂T
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞
=k
⎜r
⎟
∂z
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
(1.6.13)
Uma análise de ordem de grandeza dos termos nesta equação mostra que
ρc pU
1 q ′w′
ΔT
k
(constante)
≈ k 2 ou h ≈
rw
rw ρc pU
rw
Como o número de Nusselt é definido por Nu Dh =
(1.6.14)
hDh
, então, Nu D ≈ O(1) .
k
Para satisfazer a condição de h constante o perfil de temperatura deve ser da forma:
⎛r ⎞
T (r , z ) = Tw ( z ) − [Tw ( z ) − Tm ( z )]φ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ rw ⎠
(1.6.15)
na qual φ é uma função apenas de r. No caso de parede com fluxo de calor uniforme resulta
dTw dTm
=
dz
dz
(1.6.16)
∂T dTw dTm
=
=
dz
dz
∂z
(1.6.17)
e
Neste caso, pode-se obter
u (r ) q ′w′
1 d ⎛ dφ ⎞
=−
⎜r
⎟
U krw ΔT
r dr ⎝ dr ⎠
Com
(1.6.18)
106
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
u
= 2⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ e
U
⎢⎣ ⎝ rw ⎠ ⎥⎦
φ (rw ) = 0
φ ′(0) = 0 ( simetria)
(1.6.19)
resulta a solução da Eq. (1.6.18) na forma
q ′′ r
φ (r ) = w w
kΔT
⎡ 3 ⎛ r ⎞2 1 ⎛ r ⎞4 ⎤
⎢ − ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
4 ⎝ rw ⎠ ⎥
⎢⎣ 4 ⎝ rw ⎠
⎦
(1.6.20)
Assim com fluxo de calor constante na parede resulta o número de Nusselt
Nu D = 48 / 11 = 4,364 (q ′w′ = cte)
(1.6.21)
Churchill & Ozoe propuseram uma expressão válida tanto para o comprimento de
entrada quanto para a região completamente desenvolvida:
[
Nu D
4,364 1 + (Gz / 29,6 )
]
2 1/ 6
⎧ ⎡
Gz / 19,04
⎪
= ⎨1 + ⎢
2 / 3 1/ 2
2
1 + (Gz / 29,6)
⎪⎩ ⎢⎣ 1 + (Pr/ 0,0207 )
[
] [
⎤
⎥
1/ 3
⎥⎦
]
3/ 2
1/ 3
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
(1.6.22)
na qual Gz é o número de Graetz definido como
πD 2U π ⎛ z / D ⎞
⎟
Gz =
= ⎜⎜
4αz
4 ⎝ Re D Pr ⎟⎠
−1
(1.6.23)
Para parede isotérmica o fluxo de calor é calculado como
q ′w′ = h(Tw − Tm (z ) )
e o gradiente da temperatura média de mistura será:
(1.6.24)
107
dTm
2h
=
[Tw − Tm ( z )]
dz
rw ρc pU
(1.6.25)
Integrando a Eq. (1.6.25) de z1 onde Tm = Tm ,1 , obtém-se
⎡ 2h( z − z1 ) ⎤
Tw − Tm ( z )
= exp ⎢−
⎥
Tw − Tm ,1
⎣⎢ rw ρc pU ⎦⎥
(1.6.26)
No caso de temperatura uniforme na parede do tubo, o número de Nusselt do
escoamento completamente desenvolvido será
Nu D = 3,66
(1.6.27)
e o fluxo de calor na parede pode ser calculado como
q ′w′ = 2,66
k
(Tw − Tm,1 )exp⎡⎢− 3,66α 2(z − z1 )⎤⎥
D
rw U
⎣
⎦
(1.6.28)
Ex. 1.6.2 Uma corrente de água à temperatura ambiente é aquecida quando escoa através de
W
um tubo com fluxo de calor uniforme na parede q ′w′ = 0,1 2 . O escoamento é
cm
completamente desenvolvido hidrodinâmica e termicamente. A vazão mássica é m = 10 g / s
g
e
e o raio do tubo é rw = 1 cm . As propriedades da água na temperatura são μ = 0,01
cm ⋅ s
W
. Calcule a) velocidade média U; b) o número de Reynolds baseado no
k = 0,006
cm ⋅ K
diâmetro; c) o coeficiente de troca de calor h e d) a diferença entre a temperatura local de
parede e a temperatura média local.
1.6.3 Escoamentos Turbulentos
A maioria dos escoamentos ocorrendo na natureza e em aplicações industriais são
turbulentos. No caso de escoamento em tubo de seção circular a transição de escoamento
laminar para turbulento ocorre para número de Reynolds em na faixa de 2000 a 2300.
Geralmente, considera-se
108
⎧ até ≅ 2000 (laminar)
⎪
Re D = ⎨2000 a 2300 (transição)
⎪> 2300 (turbulento)
⎩
As equações para análise de escoamentos turbulentos são as equações médias de
Reynolds, que no caso do escoamento no tubo são:
1) Equação de Continuidade
∂u 1 ∂ (rv )
+
=0
∂z r ∂r
(1.6.29)
2) Equações e Quantidade de Movimento em z e r
z: u
∂u
∂u
1 ∂p 1 ∂ ⎡
(ν + ν t )r ∂u ⎤⎥ + ∂ ⎡⎢(ν + ν t ) ∂u ⎤⎥ + Fz ;
+v
=−
+
⎢
∂z
∂r
∂r ⎦ ∂z ⎣
∂z ⎦
ρ ∂z r ∂r ⎣
r: u
∂v
∂v
1 ∂p 1 ∂ ⎡
(ν + ν t )r ∂v ⎤⎥ − (ν + ν t ) v2 + ∂ ⎡⎢(ν + ν t ) ∂v ⎤⎥ + Fr
+v
=−
+
⎢
∂z
∂r
∂r ⎦
∂z ⎣
∂z ⎦
ρ ∂r r ∂r ⎣
r
(1.6.30)
(1.6.31)
3) Conservação de Energia Térmica
u
∂T
∂T 1 ∂ ⎡
(α + α t )r ∂T
+v
=
⎢
∂z
∂r r ∂r ⎣
∂r
⎤ ∂ ⎡
∂T ⎤
⎥ + ∂z ⎢(α + α t ) ∂z ⎥
⎦
⎣
⎦
(1.6.32)
No caso de considerar o conceito de camada limite, pode-se definir a tensão e o fluxo
de calor aparentes como
τ ap = − μ
∂u
∂u
− ρν t
∂r
∂r
(1.6.33)
q ap = −k
∂T
∂T
− ρc pα t
∂r
∂r
(1.6.34)
109
O perfil de velocidade e a tensão aparente são ilustradas na Figura 1.6.2
Figura 1.6.2. Perfil de velocidade turbulento e tensão aparente.
No caso do escoamento turbulento ser completamente desenvolvido hidrodinâmica
e termicamente tem-se
v =0
u = u (r )
p = p( z)
(1.6.35)
As equações de quantidade de movimento e energia ficam na forma simplificada
0=−
u
1 dp 1 ∂ (rτ ap )
−
ρ dz ρr ∂r
1 ∂
∂T
=
rq ap
∂z ρc p r ∂r
[ ]
Integrando a Eq. (1.6.36) obtém-se
0=
∫
rw
0
∫
rw
dp
rdr + d (rτ ap )
dz
0
dp rw2
+ rwτ w = 0
dz 2
(1.6.36)
(1.6.37)
110
−
dp 2τ w
=
dz
rw
(1.6.38)
Substituindo a Eq. (1.6.38) em (1.6.36) e integrando até um r genérico resulta
τ ap r
=
τ w rw
(1.6.39)
Bem próximo da parede, τ ap ≅ τ w e com as coordenadas de parede, u + = u / (τ w / ρ )
1/ 2
y+ =
y
ν
(τ w / ρ )1 / 2
,
resulta
⎧ y + se ν >> ν t
⎪
u+ = ⎨1
+
⎪ ln( y ) + B se vt >> ν
⎩k
(1.6.40)
u + = 8,7( y + )
(1.6.41)
ou
1/ 7
Para calcular o fator de atrito e a queda de pressão no tubo, pode-se por exemplo
integrar a Eq. (1.6.41). A velocidade média no, caso será
U=
1
πrw2
2π
∫ ∫
rw
dθ u rdr
0
(1.6.42)
0
A velocidade no centro do tubo ( r = 0 ) é u = u c . Assim obtém-se
uc
(τ w / ρ )1 / 2
⎡r
= 8,7 ⎢ w
⎢⎣ ν
⎛τ w ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ρ ⎠
1/ 2
⎤
⎥
⎥⎦
Da definição do fator de atrito, f =
1/ 7
(1.6.43)
τw
1
ρU 2
2
resulta
111
⎛τ w ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ρ⎠
1/ 2
⎛f⎞
= U⎜ ⎟
⎝2⎠
1/ 2
(1.6.44)
Combinando as Eqs. (1.6.43) e (1.6.44) pode-se mostrar que
f ≅
0,079
(Re D )
1/ 4
; 2 x10 3 < Re D < 2 x10 4
(1.6.45)
Existem na literatura várias correlações para cálculo do fator de atrito. Para tubos lisos
e altos números de Reynolds tem-se
f ≅
0,046
(Re D )
1/ 5
; 2 x10 4 < Re D < 2 x10 6
(1.6.46)
A correlação de Karman-Nikuradse é do tipo
f = 1,737 ln( f 1 / 2 Re D ) − 0,396
(1.6.47)
Para tubos rugosos e altos números de Reynolds tem-se
1
f =
⎡
⎤
⎛D⎞
⎢1,74 ln⎜⎜ ⎟⎟ + 2,28⎥
⎝ ks ⎠
⎣
⎦
(1.6.48)
2
na qual k s é a rugosidade da parede do tubo.
A eq. (1.6.37) também pode ser integrada resultando
2π
∂T
∫ ρc u ∂z rdr = 2πrq
r
p
0
Para r = rw , resulta
ap
(1.6.49)
112
∫
rw
ρc p u
0
∂T
rdr = rw q ′w′
∂z
(1.6.50)
Combinando as Eqs. (1.6.49) e (1.6.50) resulta
q ap
q ′w′
=M
r
rw
(1.6.51)
em que
1
2
M = r
1
rw2
∂T
rdr
∂z
0
rw
∂T
rdr
u
∂z
0
∫
∫
r
u
Se q ′w′ é independente de z,
1
2
M = r
1
rw2
(1.6.52)
∂T
é independente de r, a Eq. (1.6.52) fica então na forma
∂z
∫ u rdr
∫ u rdr
r
0
rw
(1.6.53)
0
O perfil de velocidade u (r ) é quase plano, desta forma, M ≅ 1 , obtendo-se a relação
do calor aparente para o calor da parede
q ap
q ′w′
≅
r
rw
(1.6.54)
Para r ≤ rw , q ap = cte = q ′w′ . O coeficiente de troca de calor pode ser calculado pela analogia
entre transferência de quantidade de movimento e transferência de calor. Sabe-se que o
número de Stanton e definido como
113
St =
h
1
= f / Pr 2 / 3 ; Pr ≥ 0,5
ρc pU 2
(1.6.55)
Para tubos lisos resulta a correlação para cálculo do coeficiente de transferência de
calor
Nu D =
hD
= 0,023 Re 4D/ 5 Pr 1 / 3 ; 2 x10 4 < Re D < 10 6
k
(1.6.56)
Uma correlação muito utilizada é a de Dittus-Boelter:
⎧2500 < Re D < 1,24 x10 5
⎪
⎪0,7 < Pr < 120
hD
⎪
= 0,023 Re 4D/ 5 Pr n ; ⎨ L / D > 60
Nu D =
k
⎪n = 0,4 se T > T
w
m
⎪
⎪⎩n = 0,3 se Tw < Tm
(1.6.57)
Na correlação de Dittus-Boelter, as propriedades são avaliadas a Tm . Para aplicações em que a
influência da temperatura sobre as propriedades é significante, Sieder & Tate propuseram
0, 4
⎧Re > 10 4
⎛ μ ⎞
hD
⎟⎟ ; ⎨ D
Nu D =
= 0,027 Re 4D/ 5 Pr 1 / 3 ⎜⎜
k
⎝ μw ⎠
⎩0,7 < Pr < 16700
(1.6.58)
com as propriedades avaliadas a Tm , exceto μ w que é avaliada na temperatura de parede Tw .
A correlação mais acurada é de Gnielinski na forma:
Nu D =
(
)
( f / 2) Re D − 10 3 Pr ; ⎧⎪2300 < Re D < 5 x10 6
hD
=
⎨
1/ 2
k
⎪⎩0,5 < Pr < 10 6
1 + 12,7( f / 2 ) Pr 2 / 3 − 1
(
)
Na Eq. (1.6.59) o fator de atrito é obtido do Diagrama de Moody, Figura 1.6.3
(1.6.59)
114
Figura 1.6.3. Fator de atrito para escoamento laminar e turbulento completamente
desenvolvido em um tubo.
Outras correlações alternativas a Eq. (1.6.59) aprecem na literatura [1], são elas:
Nu D =
⎧10 4 ≤ Re D ≤ 5 x10 6
hD
= 0,0214 Re 0D,8 − 100 Pr 0, 4 ; ⎨
k
⎩0,5 ≤ Pr ≤ 1,5
(
)
⎧3x10 3 ≤ Re D ≤ 10 6
hD
0 ,8
0, 4
Nu D =
= 0,012 Re D − 280 Pr ; ⎨
k
⎩1,5 ≤ Pr ≤ 500
(
)
(1.6.60)
(1.6.61)
Para metais líquidos são recomendadas as correlações
0 ,85
0 , 93
hD ⎧⎪6,3 + 0,0167 Re D Pr ; (q ′w′ = cte ) ⎧0,004 < Pr < 01
; ⎨
Nu D =
=⎨
k
⎪⎩4,8 + 0,0156 Re 0D,85 Pr 0,93 ; (Tw = cte ) ⎩10 4 < Re D < 10 6
com as propriedades avaliadas a Tm .
(1.6.62)
115
1.6.4. Variação da temperatura média de mistura
A variação da temperatura média de mistura para parede isotérmica e fluxo e fluxo de
calor uniforme na parede é ilustrada na Figura 1.6.4
Figura 1.6.4. Variação da temperatura média de mistura: esquerda, Tw = cte ; direita, q ′w′ =cte.
Para calcular as propriedades é recomendável fazer Tm = (Te + Ts ) / 2 , em que Te = Tm ,e e
T s = Tm , s
Ex. 1.6.3 O tubo interno de um trocador de calor coaxial usado para extração de energia
geotérmica tem diâmetro de 16 cm. O material do tubo é aço comercial. Numa certa
localidade ao longo do tubo, a temperatura média da corrente de água é 80oC. O fluxo de água
é de 100 ton/h. Calcule a queda de pressão por unidade de comprimento.
1.6.5 Taxa total de transferência de calor
Bejan propõe calcular a taxa total de transferência de calor na forma:
q = hAw ΔTlm
(1.6.63)
Para escoamento turbulento completamente desenvolvido com parede isotérmica,
ΔT = Tw − Tm decresce exponencialmente na direção jusante, entre um certo valor na entrada
116
do tubo e o menor valor na saída do tubo. Se ΔTe = Tw − Te e ΔTs = Tw − Ts , ΔTlm está entre
ΔTe e ΔTs . Também a taxa de calor pode ser calculada como
q = mc p (Ts − Te ) = mc p [(Tw − Te ) − (Tw − Ts )] = mc p (ΔTe − ΔTs )
(1.6.64)
O fluxo de calor na parede pode ser estimado como
q ′w′ = h(Tw − Tm )
como
(1.6.65)
dTm P q ′w′
=
, obtém-se
dz
A ρc pU
dTm
P h
=
dz
Tw − Tm A ρc pU
(1.6.66)
a qual integrada entre z = 0; (Tm = Te ) e z = L; (Tm = Ts ) resulta
⎛ T − Te ⎞
hPL
⎟⎟ =
ln⎜⎜ w
ou
⎝ Tw − Ts ⎠ ρUAc p
⎛ ΔT ⎞ hA
ln⎜⎜ e ⎟⎟ = w
⎝ ΔTs ⎠ mc p
(1.6.67)
Comparando as Eqs. (1.6.64) e (1.6.67) pode-se concluir que
ΔTlm =
ΔTe − ΔTs
⎛ ΔT ⎞
ln ⎜ e ⎟
⎝ ΔTs ⎠
(1.6.68)
que é denominada de diferença média logarítmica de temperatura. Alternativamente a taxa
total de transferência de calor pode ser calculada como
117
⎡
⎛ − hAw ⎞⎤
⎟
q = mc p ΔTe ⎢1 − exp⎜
⎜ mc ⎟⎥⎥
⎢⎣
p
⎝
⎠⎦
(1.6.69)
∫
Se o coeficiente h = h( z ) , então h = h( z )dz / L .
L
Pode-se verificar imediatamente que no caso de fluxo de calor uniforme na parede:
ΔTlm = ΔTe = ΔTs
que é um caso especial da Eq. (1.6.68) quando
ΔTe
→1.
ΔTs
118
1.7 Convecção Livre
1.7.1 Análise de escala em regime laminar
Em escoamentos em regime laminar a ordem de grandeza do coeficiente de
transferência de calor e dos termos nas equações são como a seguir:
k
hy ≈
(m)
(1.7.1)
δt
u
δt
(M) u
≈
v
δt
ΔT
(E) u
δt
v
y
(1.7.2)
,v
v
v
≈ ν 2 , gβ ΔT
y
δt
(1.7.3)
,v
ΔT
ΔT
≈α 2
y
δt
(1.7.4)
Substituindo a Eq. (1.7.2) nas Eqs. (1.7.3) e (1.7.4) resulta
v2
v
(M)
≈ ν 2 + gβΔT
y
δt
(1.7.5)
ΔT
ΔT
≈α 2
y
δt
(1.7.6)
(E) v
Empuxo balanceado por atrito
Na Eq. (1.7.5) pode-se ter o empuxo balanceado por atrito ou por inércia. No caso de
empuxo balanceado por atrito ν
v
δ t2
≅ gβ ΔT que combinada com as Eqs. (1.7.2) e (1.7.6) leva
aos seguintes resultados:
u≈
α
y
Ra1y/ 4 ; v ≈
α
y
Ra 1y/ 2 ; δ t ≈ yRa y−1 / 4
(1.7.7)
119
na qual Ra y é o número de Rayleigh definido como
Ra y =
gβ (Tw − T∞ ) y 3
(1.7.8)
αν
Também pode-se demonstrar que o coeficiente de transferência de calor convectiva é
proporcional a
hy ≈
k
(Ra y )1 / 4
y
(1.7.9)
e portanto o número de Nusselt local, definido como Nu y =
Nu y ≈ (Ra y )
1/ 4
Os resultados acima são válidos quando
hy y
k
, será proporcional
(1.7.10)
v2
v
< ν 2 ou para α < ν ou 1 < Pr . Ou seja
y
δt
para número de Prandtl da ordem de 1 ou maior que 1, Pr ≥ 1 . Uma análise para a camada
limite hidrodinâmica levará ao resultado
δ ≈ yRa y−1 / 4 Pr 1 / 2 ou
δ
≈ Pr 1 / 2 > 1
δt
(1.7.11)
Se Ra1y/ 4 > 1 ⇒ Ra1y/ 4 Pr 1 / 2 > 1 . Geralmente, escoamentos com convecção natural são
caracterizados por altos Ra.
120
Empuxo balanceado por inércia
No caso de empuxo balanceado por inércia,
v2
≅ gβΔT e a ordem de grandeza da
y
espessura de camada limite e das velocidades será:
u≈
α
y
(Ra
Pr ) ; v ≈
1/ 4
y
α
y
(Ra
Pr )
1/ 2
y
; δ t ≈ y (Ra y Pr )
−1 / 4
(1.7.12)
O produto do número de Rayleigh pelo número de Prandtl é definido como número de
Boussinesq
Bo y = Ra y Pr =
gβ (Tw − T∞ ) y 3
α2
(1.7.13)
Neste caso, o número de Nusslet será proporcional
Nu ≈ (Ra y Pr )
1/ 4
Os resultados obtidos quando o empuxo é balanceado por inércia são válidos para
Pr ≤ 1 e as camadas limites e os perfis de velocidade e temperatura são ilustrados na Figura
1.7.3
121
Figura 1.7.3. Camada limite para fluidos com baixos números de Prandtl.
A espessura da camada limite hidrodinâmica neste caso será proporcional a razão do
número de Rayleigh pelo número de Prandtl na forma:
⎛ Ra y
δ s ≈ y⎜⎜
⎝ Pr
⎞
⎟⎟
⎠
−1 / 4
(1.7.14)
Pode-se demonstrar, então, que
⎛ Ra ⎞
⎟
⎝ Pr ⎠
−1 / 4
δ s ≈ y⎜
ou
δ
≈ Pr 1 / 2 < 1
δt
(1.7.15)
A razão do número de Rayleigh pelo número de Prandtl é definida com o número de Grashof,
ou seja,
Gry =
Ra y
Pr
=
gβ (Tw − T∞ ) y 3
ν2
(1.7.16)
122
Os resultados no limite de baixo Prandtl são válidos se as camadas limites
hidrodinâmica e térmica são estreitas e longas, isto requer que
⎛ Ra y
⎜⎜
⎝ Pr
⎞
⎟⎟
⎠
1/ 4
> 1 ; (Ra y Pr )
1/ 4
>1
(1.7.17)
1.7.2 Parede isotérmica (escoamento laminar)
A análise por variável de similaridade também pode ser aplicada neste caso de
convecção natural ou livre. Definindo a variável de similaridade e a velocidade adimensional
como
η=
x
−1 / 4
y (Ra y )
G (η , Pr ) =
(1.7.18)
v
(α / y )Ra1y/ 2
(1.7.19)
Definindo a função de corrente por
u=
∂ψ
∂ψ
; v=−
∂y
∂x
(1.7.20)
a função de corrente adimensional pode ser definida como
F (η , Pr ) =
ψ
αRa1y/ 4
Daí pode-se demonstrar que G = −
θ (η , Pr) =
T − T∞
Tw − T∞
(1.7.21)
dF
. Definindo a temperatura adimensional como
dη
(1.7.22)
123
Nas variáveis de similaridade, as equações de quantidade de movimento e de energia
são:
1 ⎛1 2 3
⎞
⎜ F ′ − FF ′′ ⎟ = − F ′′′ + θ
Pr ⎝ 2
4
⎠
(1.7.23)
3
Fθ ′ = θ ′′
4
(1.7.24)
com as seguintes condições de contorno
F = 0; η = 0; (u = 0)
F ′ = 0; η = 0; (v = 0)
θ = 1; η = 0; (T = Tw )
F ′ → 0; η → ∞; (v = 0)
θ → 0; η → ∞; (T = T∞ )
(1.7.25)
A solução das equações acima permite obter correlações par o coeficiente de
transferência de energia convectiva. O número de Nusselt pode ser calculado na forma
Nu y =
hy y
k
=
y
kΔT
∂T ⎞
⎛
⎜− k
⎟
∂x ⎠ x =0
⎝
(1.7.26)
⎛ dθ ⎞
⎟⎟ Ra 1y/ 4
= ⎜⎜ −
⎝ dη ⎠η =0
Uma correlação de Nusselt válida em toda faixa de número de Prandtl é da forma:
⎛
⎞
Pr
Nu y = 0,503⎜⎜
⎟⎟
1/ 2
⎝ Pr + 0,986 Pr + 0,492 ⎠
1/ 4
Ra 1y/ 4
(1.7.27)
Nos limites de números de Prandtl muito altos ou muito baixos têm-se as correlações:
Nu y = 0,503Ra1y/ 4 ; (Pr >> 1)
(1.7.28)
124
Nu y = 0,600(Ra y Pr )
1/ 4
; (Pr << 1)
(1.7.29)
O número de Nusselt global pode ser definido como
Nu y =
hy y
k
=
q w′′, y
y
Tw − T∞ k
(1.7.30)
O fluxo de calor num comprimento y de placa pode ser calculado como
q w′′, y =
1 y
q ′w′ , y dy
y ∫y =0
(1.7.31)
Pode-se definir também, q ′w, y = q w′′, y y . Se W e a largura da placa, a taxa de calor pode ser
calculada como
q w, y = q ′w, yW = q w′′, yW ⋅ y
(1.7.32)
O número de Nusselt global definido como N u y = q ′w, y / kΔT , será calculado pela
seguinte correlação
⎛
⎞
Pr
N u y = 0,671⎜⎜
⎟⎟
1/ 2
⎝ Pr + 0,986 Pr + 0,492 ⎠
1/ 4
Ra 1y/ 4
(1.7.33)
No caso de ar (Pr = 0,72) , resulta a correlação:
N u y = 0,517 Ra1y/ 4
(1.7.34)
Ex.: 1.7.1. A porta de um forno de cozinha é um retângulo vertical de área 0,5 m de altura e
0,65 m de largura. A superfície externa da porta do forno está a 40oC, enquanto o ar do
ambiente está a 20oC. Calcule a taxa de transferência de calor da porta par o ar ambiente.
125
1.7.3 Transição e Efeito de Turbulência sobre a Transferência de calor
A camada limite permanece laminar se o número de Rayleigh não excede um
determinado valor, ou seja para baixos valores de y. De acordo com Bejan, a transição de
laminar para turbulento ocorre na posição y onde Gry ≈ 10 9 . A Figura 1.7.4 ilustra a transição
de escoamento laminar ara turbulento na parede vertical. Alguns autores baseiam no em
Ra y ≈ 10 9 , independente do número de Prandtl. Mas isso só seria verdade para Pr = 1 .
Portanto o critério de transição é adotado como
Gry ≈ 10 9
(10 −3 ≤ Pr ≤ 10 3 )
(1.7.35)
Figura 1.7.4. Seções laminar, transição e turbulenta em convecção natural na parede vertical
O critério de transição também pode ser baseado no número de Rayleigh,
Ra y = Gry Pr
Ra y ≈ 10 9 Pr (10 −3 ≤ Pr ≤ 10 3 )
(1.7.36)
126
Desta forma o critério de basear-se em Ra y ≈ 10 9 como critério de transição só é válido para
(
)
Pr = 1 . Pode-se ver que no caso de metais líquidos Pr ≈ 10 −3 − 10 −2 o número de Rayleigh
estaria na faixa 10 6 − 10 7 que é bem abaixo de Ra y ≈ 10 9 .
O critério de transição também pode ser baseado no número de Reynolds em função
da espessura da camada limite. Este Reynolds e estimado como
Re ≈
−1 / 4
δ t v yRa y α 1 / 2
≈
Ra y ≈ Ra 1y/ 4 / Pr
y
ν
ν
(1.7.37)
No caso de Pr = 1 , obtém-se
Re ≈ Gry1 / 4
(Pr = 1)
(1.7.38)
O que leva ao valor de
Re ≈ (10 9 )1 / 4 = 178 (Pr = 1)
(1.7.39)
na transição.
A correlação para cálculo do coeficiente de transferência de calor na faixa laminar e
transição e turbulenta foi proposta por Churchill e Chu:
⎧⎪
0,387 Ra 1y/ 6
N u y = ⎨0,825 +
⎪⎩
1 + (0,492 / Pr) 9 / 16
[
⎫⎪
8 / 27 ⎬
⎪⎭
2
]
(1.7.40)
Correlação válida para 10 −1 < Ra y < 1012 e todos números de Prandtl. Para ar a correlação
(1.7.53) se reduz a
{
N u y = 0,825 + 0,325Ra1y/ 6
}
2
(Pr = 0,72)
(1.7.41)
No faixa laminar, Gry < 10 9 , a correlação que representa os experimentos mais
acuradamente é:
127
N u y = 0,68 +
0,67 Ra 1y/ 4
[1 + (0,492 / Pr) ]
9 / 16 4 / 9
(1.7.42)
A qual no caso do de ar reduz a
N u y = 0,68 + 0,515Ra1y/ 4
(Pr = 0,72)
(1.7.43)
1.7.4 Fluxo de Calor Uniforme na Parede
No caso de fluxo de calor uniforme na parede a temperatura da parede é desconhecida,
então surge um dilema de como definir o número de Rayleigh, uma vez que Tw ( y ) − T∞ é
incógnita também. Para fluidos com altos números de Prandtl foi demonstrado que
Nu y ≈ (Ra y ) , da qual obtém-se
1/ 4
⎡ gβ (Tw − T∞ ) y 3 ⎤
≈⎢
⎥
αν
k
⎣
⎦
hy y
1/ 4
ou
q ′w′
y ⎡ gβ (Tw − T∞ ) y 3 ⎤
≈
⎥
(Tw ( y) − T∞ ) k ⎢⎣
αν
⎦
1/ 4
(1.7.44)
da qual se conclui que Tw ( y ) − T∞ é proporcional a y 1 / 5 . Desta forma a Eq. (1.7.44) pode ser
escrita em função do fluxo de calor na parede como
q ′w′
y ⎡ gβq ′w′ y 4 ⎤
≈
(Tw ( y) − T∞ ) k ⎢⎣ ανk ⎥⎦
1/ 5
(1.7.45)
O lado direito da Eq. (1.7.45) é definido como um número de Rayleigh modificado , ou seja,
gβ q ′w′ y 4
Ra =
ανk
*
y
(1.7.46)
128
Para escoamento laminar com alto número de Prandtl, obtém-se a correlação
⎛ Pr ⎞
Nu y ≅ 0,616⎜
⎟
⎝ Pr + 0,8 ⎠
1/ 5
(Ra )
* 1/ 5
y
(1.7.47)
Para fluidos com Prandtl no range ar-água, a transição a turbulência ocorre para
Ra *y ≈ 1013 . Neste caso, as seguintes correlações
Nu y = 0,6(Ra *y )
⎫
⎪
laminar,10 5 < Ra *y < 1013
⎬
1
/
5
N u y = 0,75(Ra *y ) ⎪⎭
1/ 5
Nu y = 0,568(Ra *y )
⎫
⎪
13
*
16
⎬ turbulento, 10 < Ra y < 10
* 0 , 22
N u y = 0,645(Ra y ) ⎪⎭
(1.7.48)
0 , 22
(1.7.49)
Nas correlações (1.7.61) e (1.7.62) o Nusselt global é baseado na diferença média de
temperatura, Tw ( y ) − T∞ . Existem várias outras correlações disponíveis na literatura. Vide
Bejan.
1.7.5 Outras Configurações de Escoamentos Externos
1.7.5.1 Reservatório Fluido Estratificado Termicamente
Em muitas situações o reservatório que banha a parede aquecida não é isotérmico.
Neste caso define-se um parâmetro de estratificação do fluido como
b=
ΔTmax − ΔTmin
ΔTmax
(1.7.50)
A variação do parâmetro de estratificação é mostrada na Figura 1.7.5. O caso b = 0
corresponde ao reservatório isotérmico e o caso b = 1 corresponde à máxima estratificação.
129
Figura 1.7.5 Número de Nusselt global (médio) para escoamento laminar numa parede
isotérmica e fluido estratificado termicamente.
Para escoamento laminar o Nusselt “médio” definido como
q w′′, H H
gβ ΔTmax H 3
Nu H =
; Ra H =
ΔTmax k
αν
(1.7.51)
é calculado como
N u H = f (b, Pr) Ra1H/ 4
(1.7.52)
1.7.5.2 Paredes Inclinadas
Escoamentos por convecção natural sobre paredes inclinadas são ilustrados na Figura
1.7.6.
130
Figura 1.7.6. Transferência de calor por convecção natural em paredes inclinadas.
A seguinte correlação foi proposta para escoamento laminar:
N u y = 0,68 +
na qual Ra y =
0,67 Ra1y/ 4
[1 + (0,492 / Pr ) ]
9 / 16 4 / 9
g cos φβ (Tw − T∞ ) y 3
αν
para parede isotérmica (Tw = cte ) e Ra *y =
(1.7.53)
g cos φβq ′w′ y 4
ανk
para parede com fluxo calor uniforme q ′w′ = cte . No caso de escoamentos turbulentos foi
encontrado que as correlações dão melhores resultados com g no lugar de g cos φ . A Tabela
1.7.1 mostra valores de número de Rayleigh na transição de escoamento laminar de água para
turbulento para fluxo uniforme e parede isotérmica em função da inclinação da parede.
131
Tabela 1.7.1. Valores de número de Rayleigh na transição em água (Pr ≅ 6,5) .
q ′w′ = cte
φ
Ra *y
0
5x1012 - 1014
30o
3x1010 - 1012
60o
6x107 – 6x109
Tw = cte
φ
Ra y
0
8,7x108
20o
25x108
45o
1,7x107
60o
7,7x105
Dentro deste tópico outras configurações estão também os casos de convecção natural
em paredes horizontais, cilindros horizontais e verticais, esfera e corpos de outras formas
geométricas, cujas correlações podem ser encontradas na literatura. Vide Bejan (1993).
1.7.6 Configurações de Escoamentos Internos
1.7.6.1 Canais Verticais
Agora serão considerados casos em que paredes confinam o fluido em escoamento por
convecção natural. A Figura 1.7.7 ilustra os casos de escoamentos em canais largos e
estreitos.
132
Figura 1.7.7 canal vertical com paredes isotérmicas; as extremidades do canal comunica com
um fluido isotérmico.
No caso do canal largo suficientemente, de modo que, não haja interação das camadas
limites, pode-se usar os resultados do escoamento sobre uma placa. Com os comprimentos
característicos H e L, para Pr ≥ 1 , o canal largo pode ser representado pelos seguintes limites:
L
L
> Ra H−1 / 4 ou
> Ra L−1
H
H
(1.7.54)
O canal estreito tem interesse especial. Pode-se ver pela Fig. 1.7.7 que, quando o canal
é estreito, o perfil de velocidade nas paredes interage formando um perfil similar ao do
escoamento num canal de placas paralelas (esc. Hagen-Poiseuille). O perfil de temperatura
tem o comportamento mostrado ao lado do canal estreito, de forma que pode-se assumir
Tw − T ( x, y ) < Tw − T∞
(1.7.55)
O escoamento é puramente vertical e com a hipótese de escoamento completamente
desenvolvido, a equação de quantidade de movimento se reduz a
0 =ν
d 2v
+ gβ (T − T∞ )
dx 2
d 2v
gβ
(T − T∞ ) = cte
≅−
2
ν
dx
(1.7.56)
(1.7.57)
133
A solução da Eq. (1.7.57) é similar ao caso de convecção forçada num canal de placas
paralelas e é da forma
2
gβΔTL2 ⎡ ⎛ x ⎞ ⎤
v=
⎟ ⎥
⎢1 − ⎜
8ν ⎣⎢ ⎝ L / 2 ⎠ ⎦⎥
(1.7.58)
e a vazão mássica por unidade de comprimento pode ser calculada como
ρgβΔTL3
m′ = ρvdx =
12ν
−L / 2
∫
L/2
(1.7.59)
Pela inspeção das Eqs. (1.7.58) e (1.7.59), pode-se verificar que a velocidade e vazão
mássica independem da altura do canal H.
A taxa total de transferência de calor extraída pela corrente m′ das duas paredes
verticais é:
ρgβc p (ΔT )2 L3
q ′ = m′c p (Tw − T∞ ) =
12ν
q ′′ =
q′
2H
(1.7.60)
(1.7.61)
O número de Nusselt “médio” é calculado como
Nu H =
q ′′ H
1
Ra L
=
ΔT k
24
(1.7.62)
Tendo em vista a Eq. (1.7.55) pode-se concluir que
q ′′L
< (Tw − T∞ ) = ΔT
k
Portanto no limite de canal estreito
(1.7.63)
134
Ra L <
H
L
(1.7.64)
O escoamento num canal estreito, também denominado de escoamento em chaminé,
em dutos de outras seções, possui N u H / Ra Dh constante, em que Dh é o diâmetro hidráulico.
Na Tabela 1.7.2 apresentam-se alguns resultados
Tabela 1.7.2. Escoamento em chaminé (canal estreito, Ra Dh <
H
)
Dh
Forma da seção do canal
N u H / Ra Dh
Placas paralelas
1/192
Circular
1/128
Quadrada
1/113.6
Triângulo equilátero
1/106.4
1.7.6.2 Cavidades Aquecidas do Lado
Um caso importante de convecção natural interna é o de escoamentos induzidos em
espaços fechados que estão sujeitos a variação de temperatura horizontal. A Figura 1.7.8
ilustra o caso de um fluido aquecido em uma parede e resfriado na parede oposta.
135
Figura 1.7.8. Regimes de escoamentos para convecção natural em cavidades aquecidas do
lado para fluidos com Pr ≥ 1
Da mesma forma, tem-se neste caso, cavidades largas e cavidades estreitas. A
cavidade é larga quando a espessura da camada limite é menor do que a dimensão horizontal,
δ t < L o que é equivalente L / H > Ra H−1 / 4 . As correlações para o número de Nusselt médio
são:
0 , 28
⎛ Ra H Pr ⎞
N u H = 0,22⎜
⎟
⎝ 0,2 + Pr ⎠
H
2<
< 10; Pr < 10 5 ;
L
⎛ Ra H Pr ⎞
N u H = 0,18⎜
⎟
⎝ 0,2 + Pr ⎠
1<
0 , 29
⎛L⎞
⎜ ⎟
⎝H⎠
0 , 09
(1.7.65)
Ra H < 1013
⎛L⎞
⎜ ⎟
⎝H⎠
−0 ,13
Pr Ra H ⎛ L ⎞
H
< 2; 10 −3 < Pr < 10 5 ; 10 3 <
⎜ ⎟
L
0,2 + Pr ⎝ H ⎠
3
(1.7.66)
O Nusselt médio e número de Rayleigh são definidos como N u H =
Ra H =
gβ (Th − Tc )H 3
αν
.
q ′′H
kΔT
136
No caso oposto de cavidade estreita, L / H < Ra H−1 / 4 tem-se
Nu H =
q ′′H ⎛ kΔT ⎞ H
H
=⎜
=
⎟
kΔT ⎝ L ⎠ kΔT
L
(1.7.67)
indicando que neste caso a transferência de calor é puramente por condução ou difusão.
Toda a precedente discussão refere-se a cavidades quadradas ou altas em que
H / L ≥ 1 . No caso de H / L < 1 pode-se Ter jatos horizontais distintos nas paredes de topo e
fundo. Pode-se encontrar o Nusselt médio em função de Rayleigh em gráficos da literatura
(Bejan, pg. 370).
No caso de cavidades aquecidas e resfriadas por fluxos de calor constantes também é
possível se obter correlações para o número de Nusselt. No regime de camada limite , a
temperatura varia linearmente na direção vertical ao longo da parede aquecida, parede
resfriada e no centro, e de acordo com Bejan
∂T
αν ⎛ H ⎞
= 0,0425
⎜ ⎟
∂y
gβH 4 ⎝ L ⎠
4/9
Ra H*8 / 9 = cte
(1.7.68)
Desde que a temperatura aumenta a mesma taxa em ambas paredes na direção vertical, em
cada nível, Th ( y ) − Tc ( y ) = ΔT = cte . O solução teórica para o Nusselt médio N u H =
q ′′H
kΔT
na camada limite para fluidos com Pr ≥ 1 é
N u H = 0,34 Ra
na qual
*2 / 9
H
⎛H⎞
⎜ ⎟
⎝L⎠
1/ 9
(1.7.69)
Ra H* = gβH 4 q ′′ /(ανk ) . Se o número de Rayleigh for baseado em ΔT ,
Ra H = Ra H* / N u H = gβΔTH 3 /(αν ) . Neste caso, a eq. 1.7.82 fica na forma
N u H = 0,25 Ra
2/7
H
⎛H⎞
⎜ ⎟
⎝L⎠
1/ 7
(1.7.70)
137
1.7.6.3 Cavidades aquecidas por Baixo
Nas cavidades aquecidas do lado, o escoamento acontece tão logo a uma pequena
diferença de temperatura Th − Tc seja imposta entre as duas paredes. Já na cavidade aquecida
por baixo, a diferença de temperatura imposta deve exceder um valor crítico para o
escoamento e transferência de calor sejam detectados. Quando a cavidade é longa e larga na
horizontal, para Ra H = gβ (Th − Tc )H 3 (αν ) ≥ 1708 formam-se dois rolos quase quadrados
que giram em sentidos opostos, como ilustrado na Figura 1.7.9. Este tipo de escoamento é
conhecido com convecção de Bénard.
Figura 1.7.9 Camada de fluido horizontal entre duas paredes paralelas e aquecida por baixo.
Esquerda: Ra H < 1708; N u H = 1 . Direita: Ra H > 1708; N u H > 1
O efeito do escoamento celular é aumentar a transferência de calor na direção vertical.
Neste caso o número de Nusselt médio definido como N u H = q ′′H /(kΔT ) é dado pela
correlação:
N u H = 0,069 Ra 1H/ 3 Pr 0,074 ; 3x10 5 < Ra H < 7 x10 9
(1.7.71)
na qual as propriedades físicas para se calcular N u H , Ra H , Pr são avaliadas na temperatura
média (Th + Tc ) / 2 .
1.7.6.4 Cavidades Inclinadas
As correlações para este caso podem ser encontradas no livro de Adrian Bejan (1993).
138
1.7.6.5 Outras Formas de Cavidades: Espaço Anelar entre Cilindros e Esferas
Concêntricas
Espaços anelares entre um cilindro ou esfera internos aquecidos e os externos
resfriados, por exemplo, formam cavidades onde pode ocorrer escoamentos ou células de
escoamentos por convecção natural. As correlações de transferência de calor são da forma:
Cilindro:
2,425k (Ti − To ) ⎛ Pr Ra Di ⎞
⎜
⎟
q′ ≅
3 / 5 5 / 4 ⎜ 0,861 + Pr ⎟
1 + (Di / Do )
⎝
⎠
[
1/ 4
]
em W/m
(1.7.72)
na qual Ra H = gβ (Ti − To )Di3 /(αν ) . A Eq. (1.7.85) é válida quando
Do Ra D−1o / 4 > ( Do − Di )
(1.7.73)
Esfera:
2,325kDi (Ti − To ) ⎛ Pr Ra Di ⎞
⎟
⎜
q′ ≅
7 / 5 5 / 4 ⎜ 0,861 + Pr ⎟
1 + ( Di / D o )
⎠
⎝
[
]
1/ 4
em W/m
(1.7.74)
Nas correlações acima, o sub-índice i refere-se ao cilindro ou esfera internos e o sub-índice o
aos externos. Nestes casos as propriedades são avaliadas a (Ti − To ) / 2 .
139
1.8 Convecção com Mudança de Fase
1.8.1 Transferência de Calor na Condensação
1.8.1.1 Filme Laminar sobre uma Superfície Vertical
Nos capítulos anteriores independentemente do aquecimento ou resfriamento, o fluido
sempre permanecia numa única fase. Neste capítulo, consideram-se os casos em que o fluido
sofre uma mudança de fase durante a convecção. Condensação pode ocorrer quando um
reservatório contendo um vapor tem sua parede resfriada, como ilustrado na Figura 1.8.1, na
qual também são ilustrados os perfis de velocidade e temperatura. Na interface entre o filme
líquido e o vapor a temperatura é igual a temperatura de saturação.
Figura 1.8.1 Regimes de escoamento de filme de condensado sobre uma parede vertical
resfriada.
Considere, agora, só a região laminar ilustrada na Figura 1.8.2, em que um vapor
saturado e estacionário entra em contato com uma parede resfriada. Na hipótese de camada
limite a equação de movimento fica na forma:
140
Figura 1.8.2 Filme laminar de condensado suprido por um reservatório de vapor saturado
estacionário
⎛ ∂v
∂v ⎞
∂p
∂ 2v
ρ l ⎜⎜ u + v ⎟⎟ = − + μ l 2 + ρ l g
∂y ⎠
∂y
∂x
⎝ ∂x
(1.8.1)
Admitindo que a distribuição de pressão seja dada pelo vapor, dp / dy = ρ v g , então a Eq.
(1.8.1) pode ser reescrita como
⎛ ∂v
∂ 2v
∂v ⎞
+ v ⎟⎟ = μ l 2 + g (ρ l − ρ v )
∂y ⎠
∂x
⎝ ∂x
sumidouro
ρ l ⎜⎜ u
inércia
(1.8.2)
fricção
Supondo que os termos de inércia sejam desprezíveis em relação ao atrito viscoso,
resulta a equação:
∂ 2v
0 = μ l 2 + g (ρ l − ρ v )
∂x
sumidouro
fricção
com as condições de contorno
141
v = 0; x = 0
∂v
= 0; x = δ ( y )
∂x
(1.8.3)
Integrando duas vezes em x, obtém-se a distribuição da velocidade do filme de condensado:
v ( x, y ) =
g
μl
⎡
⎤
⎥
2 ⎝ δ ⎠ ⎦⎥
(ρ l − ρ v )δ 2 ⎢ x − 1 ⎛⎜ x ⎞⎟
⎣⎢ δ
2
(1.8.4)
na qual δ ( y ) é a espessura do filme líquido que é desconhecida.
A taxa total de escoamento de massa através da seção de filme é:
δ
Γ( y ) = ∫ ρ l vdx =
0
gρ l
(ρ l − ρ v )δ 3 em [kg/s/m]
3μ l
(1.8.5)
Pode se notar que a velocidade e vazão mássica são proporcionais a g (ρ l − ρ v ) e
inversamente proporcionais a μ l .
Para estimar a espessura do filme de líquido aplica-se a primeira lei da termodinâmica
ao volume de controle δ x dy , obtendo-se
H − q ′w′ dy + h g dΓ = H + dH ; dH = ρ l vdxh
(1.8.6)
que integrada fornece
δ
[
]
H = ∫ ρ l v h f − c p ,l (Tsat − T ) dx
0
(1.8.7)
Visto que o fluido levemente sub-resfriado ( T < Tsat ) a entalpia específica será menor do que
a entalpia do líquido saturado ( h < h f ) . Nusselt propôs a seguinte relação:
Tsat − T
x
≅ 1−
Tsat − Tw
δ
(1.8.8)
142
que substituída na Eq. (1.8.7) juntamente com a Eq. (1.8.4) leva à equação para cálculo da
entalpia
3
⎤
⎡
H = ⎢h f − c p ,l (Tsat − Tw )⎥ Γ
8
⎦
⎣
(1.8.9)
O fluxo de calor na parede é:
q ′w′ ≅ k l
Tsat _ Tw
δ
(1.8.10)
Do balanço de energia
dH = − q ′w′ dy + h g dΓ
(1.8.11)
e, portanto, com o uso das Eqs. (1.8.5), (1.8.9) e (1.8.11) obtém-se
T − Tw
3
⎡
⎤
− ⎢h f − c p ,l (Tsat − Tw )⎥ dΓ + hg dΓ − k l sat
dy = 0 ou
δ
8
⎣
⎦
kl
Tsat − Tw
δ
3
⎤
⎡
dy = ⎢h fg + c p ,l (Tsat − Tw )⎥ dΓ
8
⎦
⎣
= h ′fg dΓ
(1.8.12)
Pela Eq. (1.8.5)
dΓ =
gρ l
(ρ l − ρ v )3δ 2 dδ
3μ l
(1.8.13)
a qual substituída em (1.8.12) resulta
k lν l (Tsat − Tw )
dy = δ 3 dδ
′
h fg g (ρ l − ρ v )
(1.8.14)
Integrando a Eq. (1.8.14) de y = 0 até y = δ obtém-se a espessura de filme líquido:
143
⎡ 4k ν (T − Tw ) ⎤
δ ( y ) = ⎢ y l l sat
⎥
⎣⎢ h ′fg g (ρ l − ρ v ) ⎦⎥
1/ 4
(1.8.15)
Os coeficientes local e médio de transferência de calor podem ser calculados como
3
q ′w′
k l (Tsat − Tw ) / δ k l ⎡ k l h ′fg g ( ρ l − ρ v ) ⎤
=
=
=⎢
hy =
⎥
(Tsat − Tw )
δ ⎣⎢ 4 yν l (Tsat − Tw ) ⎦⎥
Tsat − Tw
hL =
hy=L
1 + (−1 / 4)
=
1/ 4
4
hy=L
3
(1.8.16)
(1.8.17)
O número de Nusselt global (médio) é então calculado pela correlação
⎡ L3 h′fg g ( ρ l − ρ v ) ⎤
hL L
= 0,943⎢
Nu L =
⎥
kl
⎣⎢ k lν l (Tsat − Tw ) ⎦⎥
1/ 4
(1.8.18)
A partir das Eqs. (1.8.15) e (1.8.18) pode-se demonstrar que
⎡ L3 h′fg g (ρ l − ρ v ) ⎤
L
= 0,707 ⎢
⎥
δ ( L)
⎢⎣ k lν l (Tsat − Tw ) ⎥⎦
1/ 4
(1.8.19)
As propriedades são avaliadas a temperatura (Tw + Tsat ) / 2 e a entalpia de condensação é
encontrada em tabelas de propriedades termodinâmicas a Tsat . Para perfil de temperatura não
linear Rohsenow propôs
na qual
h ′fg = h fg + 0,68c p ,l (Tsat − Tw ) ou
(1.8.20)
h ′fg = h fg (1 + 0,68 Ja )
(1.8.21)
144
Ja =
c p ,l (Tsat − Tw )
(1.8.22)
h fg
é o número de Jakob que mede o grau de sub-resfriamento do filme líquido.
A taxa total de calor absorvida pela parede por unidade de largura é
q ′ = hl L(Tsat − Tw ) = k l (Tsat − Tw )N u L
(1.8.23)
Se y = L , a taxa total de condensação é
Γ( L) =
k
q′
= l (Tsat − Tw )N u L
h′fg h′fg
(1.8.24)
Em muitos casos ρ l >> ρ v ⇒ ρ l − ρ v ≅ ρ l .
Ex. 1.8.1 Uma parede plana vertical na temperatura Tw = 60 o C faceia um espaço cheio de
vapor saturado estagnante a pressão atmosférica. A altura da parede é 2 m . Assumindo
escoamento laminar, calcule a taxa em que vapor se condensa na parede vertical.
1.8.1.2 Filme Turbulento sobre uma Superfície Vertical
O filme líquido se torna ondulado e mais abaixo, turbulento quando a ordem de
grandeza do Reynolds local é maior do 100. O Reynolds local do filme líquido pode ser
calculado na forma Re y =
ρ l v δ ( y)
, em que o numerador e igual à taxa de condensação,
μl
Γ = ρ l v δ ( y ) . O Reynolds local tem sido, entretanto, definido como
Re y =
4Γ( y )
μl
(1.8.25)
145
Experimentos mostram que o escoamento laminar cessa quando Re y ≈ 30 e é
ondulado na faixa 30 ≤ Re y ≤ 1800 . Foi proposto por Chen et al. a correlação
hl
kl
⎛ ν l2
⎜⎜
⎝ g
⎞
⎟⎟
⎠
1/ 3
[
= Re −L0, 44 + (5,82 x10 −6 ) Re 0L,8 Prl1 / 3
]
1/ 2
; Re L ≥ 30
(1.8.26)
Para Re L abaixo de 30 pode-se usar a equação (1.8.18) que para ρ l >> ρ v reduz a
hL
kl
⎛ ν l2
⎜
⎜ g
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 3
= 1,468 Re −L1 / 3
(1.8.27)
Pode-se verificar que ambos o número de Reynolds e a taxa de condensação são
desconhecidos, portanto é proposto resolver a Eq. (1.8.26) na forma:
hL
kl
⎛ ν l2
⎜⎜
⎝ g
⎞
⎟⎟
⎠
1/ 3
=
Re L
B
(1.8.28)
na qual
B = L(Tsat
4k l
− Tw )
μ l h′fg
⎛ g
⎜ 2
⎜ν
⎝ l
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 3
(1.8.29)
Por comparação com as Eqs. (1.8.26) e (1.8.27) pode-se mostrar
[
B = Re L Re −L0, 44 + (5,82 x10 −6 ) Re 0L,8 Prl1 / 3
B = 0,681 Re 4L / 3
]
−1 / 2
(1.8.30)
(1.8.31)
Um gráfico da variação de B com Reynolds local é mostrado na Figura 1.8.3.
146
Figura 1.8.3 Filme de condensação numa parede vertical: taxa total de condensação em
função de B.
Ex. 1.8.2 Refazer o Ex. 1.8.1
1.8.1.3 Filme de Condensação em Outras Configurações
Os resultados descritos até agora são válidos não só para superfícies planas, mas
também para superfícies curvas em que o filme de condensado seja suficientemente fino.
Superfícies curvas englobam, por exemplo, cilindros e esferas, e desde que o diâmetro seja
maior do que a espessura do filme pode-se usar os resultados anteriores. Um filme sobre uma
esfera pode ser considerado como um processo de condensação sobre uma parede inclinada.
Alguns exemplos são ilustrados na figuras a seguir.
147
Figura 1.8.4 Filme de condensado em superfícies planas, curvas e inclinadas.
No caso de superfícies curvas a componente tangencial da gravidade varia ao longo do
filme Um exemplo é uma superfície esférica. Para filme laminar ao redor da esfera, a
correlação para calcular o Nusselt médio é da forma
⎡ D 3 h′fg g (ρ l − ρ v ) ⎤
hD D
= 0,815⎢
Nu D =
⎥
kl
⎣⎢ k lν l (Tsat − Tw ) ⎦⎥
1/ 4
(1.8.32)
Para escoamento laminar em torno de um único cilindro a correlação é
⎡ D 3 h ′fg g (ρ l − ρ v ) ⎤
hD D
= 0,729⎢
Nu D =
⎥
kl
⎢⎣ k lν l (Tsat − Tw ) ⎥⎦
1/ 4
(1.8.33)
No caso de uma fileira vertical de cilindros horizontais, Figura 1.8.5, foi proposto
Nu D =
hD , n D
kl
⎡ D 3 h ′fg g (ρ l − ρ v ) ⎤
= 0,729⎢
⎥
⎣⎢ nk lν l (Tsat − Tw ) ⎦⎥
1/ 4
(1.8.34)
Comparando a Eq. (1.8.34) com a Eq. (1.8.33) pode demonstrar que
hD , n =
hD
n1 / 4
(1.8.35)
148
Figura 1.8.5 .Filme de condensado em escoamentos em tubos horizontais
Outras configurações podem ser encontradas por exemplo, no livro do Bejan. A Figura
1.8.6 ilustra condensação numa superfície horizontal de uma tira ou disco. Um caso
interessante é o caso de condensação num cilindro num escoamento cruzado por convecção
forçada ou paralelo a uma placa, Figura 1.8.7. Vapor escoando verticalmente num tubo é
ilustrado Figura 1.8.8. Escoamentos rápido e lento de vapor em tubos horizontais são
ilustrados na Figura 1.8.9
149
Figura 1.8.6 Filme de condensado numa fita horizontal de largura L ou disco de diâmetro D.
Figura 1.8.7 Filme de condensação sobre um cilindro horizontal em escoamento cruzado e
sobre uma placa plana paralela ao escoamento.
150
Figura 1.8.8 Condensação num tubo vertical com escoamento co-corrente do vapor.
Figura 1.8.9 Condensação como um filme anelar num tubo com escoamento rápido de vapor
(esquerda) e acumulação no fundo com escoamento lento de vapor (direita).
1.8.1.4 Condensação em gotas por Contato Direto
A condensação pode ocorrer quando a tensão superficial for alta o condensado forma
gotas que escorem pela superfície quando o tamanho das gotas aumentam. Veja ilustração no
livro Bejan.
1.8.2 Transferência de Calor na Ebulição
1.8.2.1 Regimes de Ebulição em Vaso Aberto
151
Nesta seção considera-se o caso de transferência de calor na ebulição, que ocorre
quando a temperatura de uma superfície sólida é suficientemente mais alta do a temperatura
de saturação do líquido que está em contato com ela. Ebulição é sinônimo de transferência de
calor convectiva com mudança de fase líquido para vapor quando o líquido está sendo
aquecido por uma superfície suficiente quente. Este é o processo inverso da condensação em
que vapor se torna líquido quando ele é resfriado em contato com uma superfície fria. O
processo de ebulição em vaso (pool boiling) é ilustrado na Figura 1.8.10. No caso do líquido
estar inicialmente sub-resfriado as bolhas de vapor formado não conseguem alcançar a
superfície livre e se condensam novamente. Quando o líquido já esta na temperatura de
saturação as bolhas de vapor alcançam a superfície livre.
Figura 1.8.10 Nucleação de ebulição em vaso, líquido sub-resfriado (esquerda) e líquido
saturado (direita).
Os regimes de ebulição em vaso são ilustrados na Figura 1.8.11. No experimento com
temperatura controlada consegue-se reproduzir a curva de ebulição, já no experimento com
potência controlada quando o fluxo de calor atinge o máximo (que é chamado ponto de
queima, pois a temperatura atinge o ponto de fusão do aquecedor), daí não se consegue
reproduzir a parte descendente da curva, no regime de transição. Se for um processo de
resfriamento, quando o fluxo de calor atinge o mínimo, o filme de vapor se colapsa e inicia-se
o processo de nucleação de bolhas, também não se conseguindo reproduzir a parte da curva de
ebulição no regime de transição.
152
Figura 1.8.11 Os quatro regimes de ebulição de água em vaso a pressão atmosférica
Figura 1.8.12 Curva de ebulição em vaso, em um experimento com temperatura controlada
(esquerda) e em um experimento com potência controlada
1.8.2.2 Nucleação da Ebulição e Fluxo de Calor de Pico
O regime mais importante de ebulição ilustrado na curva da Figura 1.8.11 é o de
nucleação da ebulição, porque é neste regime que o coeficiente de transferência de calor
definido por
153
h=
q ′w′
Tw − Tsat
(1.8.36)
atinge altos valores, no range de 103-105 W/(m2K).
Muitos estudos têm sido realizados, uma correlação proposta para por Rohsenow tem
a forma:
Tw − Tsat =
h fg
c p ,l
⎡ q ′′
Pr C sf ⎢ w
⎢⎣ μ l h fg
s
l
⎛
⎞
σ
⎜⎜
⎟⎟
⎝ g (ρ l − ρ v ) ⎠
1/ 2
⎤
⎥
⎥⎦
1/ 3
(1.8.37)
a qual se aplica para superfícies limpas e como uma aproximação de engenharia é insensitiva
a orientação da superfície. Ele depende de duas constantes empíricas C sf e s . C sf é um
coeficiente que leva em conta a combinação do líquido com a superfície do material e s é um
expoente que depende do líquido. Estes valores podem ser encontrados na Tabela 8.1 do livro
do Bejan (Heat Transfer, pg. 425). σ [N/m] é a tensão superficial do líquido em contato com
seu vapor. Se considerar uma bolha de vapor de forma esférica seu raio pode ser estimado
como: r = 2σ /( p v − pl ) , em que p v é pressão dentro da bolha e p l é pressão fora.
No caso em que a diferença de temperatura Tw − Tsat é conhecida a Eq. (1.8.37) pode
ser rearranjada para se determinar o fluxo de calor na forma
⎛ g (ρ l − ρ v ) ⎞
q ′w′ = μ l h fg ⎜
⎟
σ
⎠
⎝
1/ 2
⎡ c p ,l (Tw − Tsat ) ⎤
⎢
⎥
s
⎢⎣ Prl C sf h fg ⎥⎦
3
(1.8.38)
O fluxo de calor de pico sobre uma grande superfície horizontal baseado em análise
dimensional é da forma:
′′ = 0,149h fg ρ v1 / 2 [σg (ρ l − ρ v )]
q max
1/ 4
(1.8.39)
que independe da superfície do material. Esta correlação se aplica para superfícies cujo
comprimento linear é muito maior do que o tamanho das bolhas de vapor.
154
Ex.: 1.8.3 Um elemento cilíndrico de aquecimento de diâmetro 1 cm e comprimento 30 cm é
imerso horizontalmente numa piscina de água saturada a pressão atmosférica. A superfície
cilíndrica é coberta com níquel. Calcule o fluxo de calor e a taxa total de transferência de
calor do cilindro para a piscina de água, quando Tw = 108 o C . Calcule também o fluxo crítico
de calor.
1.8.2.3 Filme da Ebulição e Mínimo Fluxo de Calor
Filme de ebulição é uma camada contínua de vapor (0,2-0,5 mm de espessura) que
separa a superfície aquecida do resto do líquido. O fluxo mínimo de calor é registrado na
temperatura mais da superfície do aquecedor que ainda mantém o filme contínuo. Para
superfícies horizontais extensas, o fluxo mínimo é da forma:
⎡ σg ( ρ l − ρ v ) ⎤
′′ = 0,09h fg ρ v ⎢
q min
2 ⎥
⎣⎢ ( ρ l + ρ v ) ⎦⎥
1/ 4
(1.8.40)
Para um cilindro horizontal a correlação é da forma:
⎡ D 3 h ′fg g ( ρ l − ρ v ) ⎤
hD D
= 0,62⎢
Nu D =
⎥
kv
⎢⎣ k vν v (Tw − Tsat ) ⎥⎦
1/ 4
(1.8.41)
na qual as propriedades são do vapor. Para filme de ebulição sobre uma esfera tem-se
⎡ D 3 h′fg g ( ρ l − ρ v ) ⎤
h D
N u D = D = 0,67 ⎢
⎥
kv
⎢⎣ k vν v (Tw − Tsat ) ⎥⎦
1/ 4
(1.8.42)
Em que
h ′fg = h fg + 0,4c p ,v (Tw − Tsat )
e neste caso k v , ν v , ρ v , c p ,v são avaliados a (Tw + Tsat ) / 2 .
(1.8.43)
155
Se a temperatura do aquecedor aumenta, o efeito de radiação térmica deve ser levado
através do filme se torna importante. Para se considerar a radiação pode-se definir um
coeficiente equivalente na forma:
h = hD +
3
hrad ; hD > hrad
4
(1.8.44)
na qual
hrad =
σε w (Tw4 − Tsat4 )
Tw − Tsat
(1.8.45)
Na Eq. 1.8.45 a constante de Stefan-Boltzmann tem o valor σ = 5,669 x10 −8 W/m2K4. Para
água se Tw − Tsat > 550 − 600 o C , deve-se considerar radiação. No caso em que hrad > hD o
coeficiente pode ser calculado na forma
⎛h
h = hD ⎜⎜ D
⎝ h
⎞
⎟⎟
⎠
1/ 3
+ hrad ; hD ≤ hrad
(1.8.46)
Ex.: 1.8.4 Rafazer o Ex. 1.8.3 considerando radiação. Adote Tw = 300 o C e ε w = 0,8 .
1.8.2.4 Escoamento com Ebulição
Se o líquido for forçado sobre o aquecedor, o fluxo de calor deve ser calculado na
forma:
q ′′ = q ′w′ + q c′′
(1.8.47)
na qual q ′w′ é calculado pela Eq. (1.8.38) e o fluxo de calor devido ao escoamento pode ser
calculado como
q c′′ = hc (Tw − Tl )
(1.8.48)
156
O coeficiente de troca convectiva pode ser avaliado como nos capítulos anteriores como nos
casos de convecção forçada externa ou interna ou convecção natural. Por exemplo para
ebulição num duto, uma correlação usada é da forma:
Nu D =
hc D
= 0,019 Re 4D/ 5 Pr 0, 4
k
(1.8.49)
157
1.9. Radiação
Radiação diferentemente da condução e convecção é o mecanismo de troca de energia
entre sistemas à distância, sem fazer contato direto. Uma transferência líquida de calor por
radiação pode ocorrer mesmo que o espaço entre duas superfícies esteja evacuado.
O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela
definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Ω de uma quantidade Iν , a
intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da
distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem
massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem
energia e = hν , onde h = 6, 6256 x10−34 Js é a constante de Planck.
Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um
campo de radiação pelos seguintes processos:
-
emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de
vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fônons, etc. para uma energia radiativa
(de fótons);
-
absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica.
Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meios:
-
meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas
transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência;
-
meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente ( I i ) que pode ser absorvida
( I a ) ou refletida ( I r ). O meio opaco também pode emitir a radiação ( I e );
-
meio semitransparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou a transmite
em distâncias finitas.
158
Figura 1.9.1 Radiação em meios transparente e opaco
A análise de transferência radiativa é complicada pelo fato que a propagação de
radiação em qualquer ponto em um meio não pode ser representada por um único vetor como
no caso da condução de calor. Para especificar a radiação incidente em um dão ponto, é
necessário conhecer a radiação de todas as direções porque os feixes de radiação de todas as
direções são independentes uns dos outros. Portanto a quantidade fundamental
freqüentemente usada em estudos de transferência radiativa para descrever a quantidade de
energia de radiação transmitida pelo raio em qualquer dada direção por unidade de tempo é a
intensidade de radiação monocromática (ou espectral). Para definir esta quantidade considere
um elemento de superfície dA , sobre um espaço de coordenadas r , caracterizada por uma
direção cuja normal é o vetor n como ilustrado na Figura 1.9.2. Seja dEν a quantidade de
energia radiativa no intervalo de freqüência entre ν e ν + dν , confinada em um elemento de
ângulo sólido dΩ ao redor da direção de propagação Ω escoando através do elemento de
superfície dA (i.e., transmitida através ou emitida pela e/ou refletida da superfície) durante o
intervalo de tempo entre t e t + dt . Seja θ o ângulo polar entre a direção normal n e a
(
)
direção de propagação Ω . A intensidade de radiação monocromática Iν r , Ω, t é definida
como
(
)
Iν r , Ω, t =
dEν
dA cos θ d Ωdν dt
(1.9.1)
159
Figura 1.9.2 – Símbolos para definição de intensidade
Na equação (1.9.1) dA cos θ é a projeção da superfície dA sobre um plano
perpendicular à direção dΩ ; daí a intensidade é definida com base na área projetada. De
acordo com a Eq. (1.9.1) a intensidade monocromática é a quantidade de energia radiativa
(em unidades apropriadas de energia) escoando através da unidade de área perpendicular à
direção de propagação Ω , por unidade de ângulo sólido em torno da direção Ω , por unidade
de freqüência sobre a freqüência ν , e por unidade de tempo sobre o tempo t .
Se a intensidade de radiação para ou de um elemento de superfície é considerada na
faixa de freqüência entre ν 1 e ν 2 e através do ângulo sólido entre Ω1 e Ω 2 , então a
quantidade por metro quadrado
ν 2 φ2 θ 2
Eν
= ∫ ∫ ∫ Iν ( r ,θ , φ , t ) cos θ senθ dθ dφ dν
2
ν
φ1 θ1
1
m
(1.9.2)
é o total de energia radiativa para ou da superfície por unidade de área e por unidade de tempo
na faixa de freqüência entre ν 1 e ν 2 e através do ângulo sólido entre Ω1 e Ω 2 . Um elemento
de ângulo sólido em coordenadas esféricas é representado por
d Ω = senθ dθ dφ
(1.9.3)
na qual θ é o ângulo polar entre a direção normal n à superfície e a direção da intensidade e
φ é o ângulo lateral como mostrado na Figura 1.9.3
160
Figura 1.9.3 Cálculo do ângulo sólido
1.9.1 Radiação em corpo negro
A superfície de um sistema que participa em uma troca de calor por radiação pode ser
classificada de acordo com sua habilidade de absorver a radiação que nela incide. O termo
corpo negro é usado para denotar um corpo que possui a propriedade de permitir que toda a
radiação incidente entre no meio sem reflexão pela superfície e sem permitir que ele deixe o
meio novamente. Portanto um corpo negro deve possuir uma superfície que permite que a
radiação incidente entre sem reflexão. Durante a propagação de radiação em um meio cada
raio sofre certo enfraquecimento por causa da absorção; portanto um corpo negro deve ter
espessura suficiente, dependendo do seu poder absorsivo, para assegurar que os raios não
deixarão o meio. Um feixe viajando em um meio é desviado de seu caminho original e
espalhado em todas as direções por causa da presença de pequenas impurezas e não
homogeneidades. Embora no processo de espalhamento de radiação térmica a energia não seja
nem criada nem destruída, um corpo negro não deve ter nenhuma ou ser desprezível suas
propriedades de espalhamento para assegurar que a radiação entrando no meio não será
espalhada para fora. Estas propriedades referem-se aos feixes de radiação vindo de todas as
direções e para todos os comprimentos de onda. Daí um corpo negro absorve toda radiação
incidente de todas as direções e em todas as freqüências, sem refletir, transmitir e espalhar os
raios incidentes.
161
Da discussão anterior, conclui-se que um corpo negro é um perfeito absorvedor de
radiação de todas as direções em todas as freqüências. Considere agora um corpo negro dentro
de uma cavidade isotérmica cujas paredes absorve e emite radiação, e assuma que após um
período de tempo o corpo negro e a cavidade alcancem o equilíbrio térmico e atinjam alguma
temperatura uniforme. Enquanto em equilíbrio térmico um corpo emite tanta energia quanto
absorve, e para um corpo negro a emissão de radiação deve ser máxima visto que ele absorve
a máxima radiação possível de todas as direções e em todas as freqüências. Portanto a
radiação emitida em qualquer dada temperatura T é um máximo para um corpo negro.
Por considerar um corpo negro em equilíbrio térmico dentro de uma cavidade cujas
paredes emitem e absorvem apenas em um intervalo de freqüência dν em torno de ν , e por
um argumento similar, pode ser concluído que a radiação emitida por um corpo negro em uma
dada temperatura T e freqüência ν é um máximo. Além do mais a radiação emitida por um
corpo negro é isotrópica.
A intensidade de radiação espectral ou monocromática emitida por um corpo negro em
uma dada temperatura T no vácuo foi determinada por Planck e é dada por
Iν b ,vac (T ) =
2hv3
c02 ⎣⎡exp ( hν / kT ) − 1⎦⎤
(1.9.4)
na qual h e k são, respectivamente, as constantes de Planck e de Boltzmann, c0 é a
velocidade da luz no vácuo, T é a temperatura absoluta e ν é a freqüência.
Em muitas aplicações de engenharia se usa mais o comprimento de onda do que a
freqüência para caracterizar a intensidade monocromática. Para se escrever a Equação (1.9.4)
em função do comprimento de onda considera-se que a radiação emitida no intervalo dν em
torno de ν deveria ser igual àquela no comprimento de onda d λ0 em torno de λ0 , isto é,
Iν dν = − I λ0 d λ0
(1.9.5)
Desde que o comprimento de onda depende do meio em que a radiação está viajando, usa-se o
subscrito 0 para denotar que o meio é um vácuo. A freqüência, entretanto, não depende do
tipo de meio. A freqüência e comprimento de onda estão relacionados por
ν=
c0
(1.9.6a)
λ0
Por diferenciação de (1.9.4) resulta
dν = −
c0
λ
2
0
d λ0 e d λ0 = −
c0
ν2
dν
(1.9.6b)
162
Pela utilização de (1.9.7) em (1.9.5) pode-se escrever
dν
v2
= Iν b ,vac (T )
I λ0b ,vac (T ) = − Iν b ,vac (T )
d λ0
c0
(1.9.7a)
De (1.9.4) e (1.9.7a) obtém-se a intensidade de radiação de Planck em função em termos do
comprimento de onda:
2hc02
I λ0b ,vac (T ) = 5
λ0 ⎡⎣exp ( hc0 / λ0 kT ) − 1⎤⎦
(1.9.7b)
que representa a intensidade de radiação emitida por um corpo negro em um vácuo puro. Ou
seja, ela representa a energia radiativa por unidade de área projetada, por unidade de tempo,
por unidade de ângulo sólido, por unidade de comprimento de onda sobre λ0 . Por exemplo,
em watts (joule por segundo), por metro quadrado, por esterorradiano, por mícron tem-se
W / m 2 ⋅ sr ⋅ μ m .
Quando energia radiante é emitida por um corpo negro em um meio que não seja
vácuo, a Eq. (1.9.4) deverá ser substituída por
Iν b (T ) =
2hv3
c 2 ⎡⎣exp ( hν / kT ) − 1⎤⎦
(1.9.8a)
na qual c é a velocidade de propagação de radiação no meio em questão. Para um meio
dielétrico (meio com condutividade específica nula, ou perfeitamente não condutor elétrico),
c = c0 / n , a Eq. (1.9.8) fica na forma:
Iν b (T ) =
2hv3 n 2
= n 2 Iν b ,vac (T )
2
c0 ⎡⎣exp ( hν / kT ) − 1⎤⎦
(1.9.8b)
na qual n é o índice de refração do meio. Com ν = c0 / nλ e por um procedimento similar ao
de obtenção da eq. (1.9.7b) pode-se mostrar que em função do comprimento de onda num
meio que não seja vácuo, tem-se
I λb (T ) =
2hc02
n 2 λ 5 ⎣⎡exp ( hc0 / nλ kT ) − 1⎦⎤
(1.9.9)
na qual λ é o comprimento de onda no meio em questão.
A intensidade de radiação emitida por um corpo negro sobre todas as freqüências (ou
comprimentos de onda) é chamada de intensidade total de radiação do corpo negro e é obtida
pela integração da intensidade monocromática de radiação do corpo negro sobre o espectro
inteiro de energia:
163
I b (T ) = ∫
∞
v =0
Iν b (T ) dν
(1.9.10a)
Pela substituição de (1.9.8b) em (1.9.10a) obtém-se
I b (T ) =
2h ∞ v 3 n 2
dν
c02 ∫ν =0 e hν / kT − 1
(1.9.10b)
e se o índice refrativo n é assumido ser independente da freqüência, a Eq. (1.9.10b) pode ser
rearranjada como
2hn 2 ⎛ kT ⎞
I b (T ) = 2 ⎜
⎟
c0 ⎝ h ⎠
4
∞
∫ν
=0
( vh / kT )
e
hν / kT
3
⎛ν h ⎞
d⎜
⎟
− 1 ⎝ kT ⎠
(1.9.10c)
ou
I b (T ) =
2k 4 2 4 ∞ x 3
2k 4 2 4 π 4
=
n
T
dx
(
)
∫ν =0 e x − 1 c02 h3 ( n T ) 15
c02 h3
(1.9.10c)
A Eq. (1.9.10c) pode ser rearranjada como
2π 5 k 4 T 4
T4
2
=n σ
I b (T ) = n
15c02 h3 π
π
(1.9.10d)
2π 5 k 4
σ=
15c02 h3
(1.9.10e)
2
na qual
é a constante de Stefan-Boltzmann e seu valor em unidades SI é σ = 5, 67 x10−8 W/m 2 ⋅ K 4 ⋅ sr .
Em muitas aplicações de engenharia uma quantidade física de interesse é o fluxo
emissivo monocromático (ou espectral) ou poder emissivo do corpo negro Eλb (T ) definido
como
Eλb (T ) = ∫
2π
∫
π /2
φ =0 θ =0
=∫
2π
∫
1
I λb (T )senθ cos θ dθ dφ
I
φ =0 μ =0 λb
(T )μ d μ dφ
(1.9.11a)
= π I λb (T )
Substituindo a Eq. (1.9.9) em (1.9.11) resulta
Eλb (T ) =
c1
n λ ⎡⎣exp ( c2 / nλT ) − 1⎤⎦
2
5
(1.9.11b)
na qual foram definidos
c1 = 2π hc02 e c2 =
hc0
k
(1.9.11c)
164
O fluxo emissivo monocromático Eλb (T ) representa a quantidade de energia radiativa
emitida por um corpo negro na temperatura T por unidade de área, por unidade de tempo, por
unidade de comprimento de onda em todas as direções do espaço hemisférico. Em unidades
SI, W / m2 ⋅ μ m .
A integração de Eλb (T ) sobre todos os comprimentos de onda de λ = 0 até infinito
leva ao fluxo emissivo total ou poder emissivo total do corpo negro Eb (T ) :
Eb (T ) = ∫
∞
λ =0
Eλb (T )d λ = π ∫
∞
I
λ = 0 λb
(T )d λ = π Ib (T ) = n2σ T 4
(1.9.12)
O local de máximo do fluxo emissivo monocromático é determinado analiticamente
pela regra de deslocamento de Wien, que é dada como
( λT )q
λb ,max
= c3
(1.9.13)
Em unidades SI, a terceira constante é: c3 = 2,8978 × 10 −3 m ⋅ K .
1.9.2 Transferência de calor entre superfícies negras
1.9.2.1 O Fator de Forma Geométrico
Considere o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor
q1− 2 (W ) entre duas superfícies negras isotérmicas
( A1 , T1 )
e
( A2 , T2 )
mostradas na Figura
1.9.4. Esta análise pode ser feita nos seguintes passos:
1. A fração da radiação emitida pelo elemento de área dA1 e interceptada (absorvida
totalmente) pelo elemento de área dA2 ;
2. A fração da radiação emitida pelo elemento de área dA2 e interceptada (absorvida
totalmente) pelo elemento de área dA1 ;
3. A taxa de transferência líquida de dA1 para dA2 , isto é, a diferença entre as respostas
da parte 1. e 2. e finalmente,
4. A taxa de transferência líquida de A1 para A2 , que é entre as duas áreas finitas
isotérmicas.
165
Figura 1.9.4 – Parâmetros geométricos para cálculo do fator de forma
Se r é a distância entre os elementos de áreas dA1 e dA2 , então o ângulo sólido
através do qual dA2 é visto por um observador estacionado em dA1 é igual a dA2 cos φ2 / r 2 .
Note que dA2 cos φ2 é a dimensão de dA2 após ele ter sido projetado na direção da linha
dA1 − dA2 .
Viajando de dA1 na direção de dA2 (e para todo o resto do espaço) tem-se a
intensidade total de radiação de corpo negro I b ,1 = I b (T1 ) . O tamanho da área emitente que é
normal à direção r é a área “ dA1 projetada”, dA1 cos φ1 . Portanto, a resposta ao item 1. é:
qdA1 → dA2 = I b ,1dA1 cos φ1
dA2 cos φ2
r2
(1.9.14)
A seta usada no subscrito dA1 → dA2 é para lembrar que qdA1 →dA2 representa a
transferência de energia unidirecional por unidade de tempo, neste caso, de dA1 (emissor) para
dA2 (alvo). Analogamente, a resposta ao item 2. será:
qdA2 → dA1 = I b ,2 dA2 cos φ2
dA1 cos φ1
r2
(1.9.15)
O terceiro passo consiste simplesmente de subtrair a Eq. (1.9.15) da Eq. (1.9.14) para
calcular a transferência de calor líquida de dA1 para dA2 :
166
qdA1 − dA2 = qdA1 → dA2 − qdA2 → dA1 = ( I b ,1 − I b ,2 )
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
r2
(1.9.16)
Usando a equação 1(0.10d) para as intensidades de radiação de corpo negro, com n = 1 , a Eq.
(1.9.16) pode ser reescrita como
(
qdA1 − dA2 = σ T14 − T24
) cos φπ rcos φ
1
2
2
dA1dA2
(1.9.17)
Para se calcular q1− 2 (W ) deve-se somar as contribuições de todos os elementos de
área de A1 e A2 , ou seja,
q1− 2 = σ (T14 − T24 ) ∫
A1
∫
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
A2
π r2
(1.9.18)
No lado esquerdo da Eq. (1.9.18) o subscrito 1-2 estabelece que a taxa de transferência
q1− 2 (W ) deixa a superfície A1 e entra (cruza) a superfície A2 .
A unidade da integral dupla na Eq. (1.9.18) é metro quadrado ( m 2 ) . É conveniente
definir um fator adimensional formado pela razão da integral dupla por A1 , denominado de
fator de forma geométrico baseado em A1 :
F12 =
1
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
∫
∫
A
A
π r2
A1 1 2
(1.9.19)
A equação (1.9.18) pode, então, ser reescrita como
q1− 2 = σ (T14 − T24 ) A1 F12
(1.9.20)
O fator de forma é puramente geométrico, pois depende apenas de dimensões,
orientações e posições relativas das duas superfícies.
Alternativamente poderia se definir
F21 =
1
A2
∫ ∫
A1
A2
cos φ1 cos φ2
dA1dA2
π r2
(1.9.21)
de modo que q1− 2 (W ) fica na forma
q1− 2 = σ (T14 − T24 ) A2 F21
(1.9.22)
Assim para se calcular q1− 2 (W ) deve-se calcular ou F12 ou F21 . Ao se integrar a Eq. (1.9.14)
obtém-se o resultado
q1→ 2 = I b ,1 ∫
A1
∫
A2
cos φ1 cos φ2
dA1dA2 = σ T14 A1 F12
2
r
(1.9.23)
167
Pela equação (1.9.12) σ T14 A1 = Eb,1 A1 que é o número de watts de radiação de corpo negro
emitida pela superfície A1 em todas as direções que os pontos de A1 podem “olhar”. Apenas
uma porção de Eb ,1 A1 é interceptada e absorvida por A2 ( porque, em geral, A1 pode ser
cercada por outras superfícies além de A2 ); aquela porção é q1→ 2 ou Eb ,1 A1 F12 . Em conclusão,
o significado físico do fator de forma é:
F12 =
q1→2 radiaçao deixando A1 e sendo interceptada por A2
=
qb ,1 A1
radiaçao deixando A1 em todas as direçoes
(1.9.24)
A razão formulada na Eq. (1.9.24) sugere que o fator de forma está no intervalo entre
0 e 1. Livros textos de transferência de calor apresentam gráficos e tabelas de fatores de forma
para várias configurações. Vide Bejan (1993) Cap. 10, por exemplo.
1.9.2.2 Relações entre fatores de forma
Várias relações permitem estimativas de fatores de forma para diversas configurações.
Estas relações são de reciprocidade, aditividade e invólucro (enclosure). A relação de
reciprocidade pode ser obtida comparando as equações (1.9.20) e (1.9.22) sendo da forma:
A1 F12 = A2 F21 (Reciprocidade)
(1.9.25)
No caso em que a área A2 é composta de n pedaços (mosaico), A2 = A21 + A22 +
+ A2n , o
fator de forma pode ser calculado somando-se os fatores de forma individuais, na forma:
n
F12 = ∑ F12i
(Aditividade)
(1.9.26)
i =1
em que F12i é o fator de forma de A1 para cada pedaço da área A2 .
Em geral nem toda radiação emitida por A1 é interceptada por A2 , porque outras áreas
podem circundar A1 . Sejam as áreas
( A2 , A3 ,…, An )
que juntamente com A1 formam um
invólucro (enclosure), Figura 1.9.5. A conservação de energia dentro da cavidade requer que
Eb ,1 A1 = Eb ,1 A1 F11 + Eb ,1 A1 F12 +
+ Eb ,1 A1 F1n
(1.9.27a)
ou após dividir por Eb ,1 A1 resulta
1 = F11 + F12 +
+ F1n
(1.9.27b)
A Eq. (1.9.27b) pode ser generalizada como
n
1 = ∑ Fij
j =1
( i = 1, 2,…, n )
(Invólucro)
(1.9.28)
168
Figura 1.9.5 – Invólucro formado por n superfícies
1.9.2.3 Cavidade de duas superfícies
Os casos clássicos de cavidades de duas superfícies são: duas placas paralelas, um
cilindro interno a outro e uma esfera encapsulada por outra, como mostra a Figura 1.9.6.
Nestes casos, a transferência líquida de calor é dada pela Eq. (1.9.20) sendo da forma:
q1− 2 = ( Eb ,1 − Eb ,2 ) A1 F12
(1.9.29)
na qual Eb,1 = Eb (T1 ) = σ T14 e Eb,2 = Eb (T2 ) = σ T24 . O produto A1 F12 desempenha o papel de
condutância térmica e seu inverso é a resistência térmica de radiação, ou seja,
Rr =
1
1
=
A1 F12 A2 F21
(1.9.30)
Figura 1.9.6 – Exemplos de cavidades de apenas duas superfícies e correspondente diagrama
de resistência térmica.
169
1.9.3 Radiação em corpos cinzas
A maioria das superfícies não se comporta como corpos negros, e para analisar a
transferência calor por radiação para superfícies reais é necessário considerar o que acontece
com a irradiação, ou radiação térmica, incidente sobre a superfície. A irradiação incidente I i
ou é absorvida dentro da superfície como I a , ou refletida como I r , ou transmitida como I t .
Dessa forma, pode-se escrever
Ii = I a + I r + It
(1.9.31)
ou na forma de frações
I a I r It
+ + =1
Ii Ii Ii
(1.9.32)
Estas frações são definidas como
Ia
=α
Ii
(Absortividade)
(1.9.33a)
Ir
= ρ (Refletividade)
Ii
(1.9.33b)
It
=τ
Ii
(1.9.33c)
(Transmissividade)
e a equação (1.9.32) pode ser reescrita como
α + ρ +τ = 1
(1.9.34)
Corpos opacos não transmitem radiação, dessa forma
α + ρ =1
(1.9.35)
Corpos negros não refletem nem transmitem radiação, daí
α =1
(1.9.36)
1.9.3.1 Emissividade
A intensidade de radiação emitida por uma superfície real de temperatura T é apenas
uma fração da intensidade de um corpo negro. A intensidade de radiação monocromática de
um corpo negro foi designada como I b ,λ ( λ , T ) . Já para uma superfície real esta intensidade
será denominada I λ ( λ , T , φ ,θ ) , pois, depende também da direção (φ , θ ) em que um dado raio
170
aponta. A razão entre I λ ( λ , T , φ ,θ ) e I b ,λ ( λ , T ) é chamada emissividade monocromática
direcional:
ε λ′ ( λ , T , φ ,θ ) =
I λ ( λ , T , φ ,θ )
I b ,λ ( λ , T )
≤1
(1.9.37)
O fluxo emissivo monocromático de uma superfície real ou poder emissivo
monocromático da superfície se define como
Eλ ( λ , T ) = ∫
2π
∫
π /2
φ =0 θ =0
I λ ( λ , T , φ ,θ )senθ cos θ dθ dφ
(1.9.38)
De maneira análoga, pode-se definir a emissividade monocromática hemisférica para uma
superfície real como
ελ (λ,T ) =
Eλ ( λ , T )
Eb ,λ ( λ , T )
≤1
(1.9.39)
O fluxo emissivo da superfície é obtido da integração em todos os comprimentos de
onda do fluxo emissivo monocromático, ou seja,
E (T ) = ∫
∞
λ =0
Eλ ( λ , T )d λ = ∫
∞
ε ( λ , T ) Eb,λ ( λ , T )d λ
λ =0 λ
(1.9.40)
Correspondente a este fluxo emissivo se define a emissividade total hemisférica na forma
ε (T ) =
E (T )
Eb (T )
≤1
(1.9.41)
Usando as equações (1.9.12) e (1.9.40) se obtém
ε (T ) =
1
σT 4
∞
∫λ
=0
Eλ ( λ , T )d λ =
1
σT 4
∞
∫λ
=0
ε λ ( λ , T ) Eb ,λ ( λ , T )d λ
(1.9.42)
Uma superfície cinza ou corpo cinza de temperatura T é a superfície cuja emissividade
monocromática hemisférica é independente do comprimento de onda (i.e. uma constante se T
é fixada), ou seja,
ε λ ( λ ,T ) ≅ ε λ (T ) ou ε λ ≠ funçao ( λ )
(1.9.43)
Além do mais, pode-se mostrar a partir de (1.9.42) e (1.9.43) que a emissividade total
hemisférica de um corpo cinza é igual à sua emissividade monocromática hemisférica
ε (T ) = ε λ (T )
(1.9.44)
Um corpo cinza é um meio opaco emissor difuso (emite uniformemente em todas as
direções). Ele também é assumido como absorvedor e refletor difuso. O modelo de corpo
cinza aproxima bem o comportamento de muitas superfícies em transferência de calor na
engenharia, por exemplo, cobre, óxido de alumínio, tintas e papel. Superfícies metálicas
171
limpas e bem polidas são caracterizadas por baixos valores de ε . Superfícies não metálicas,
por outro lado, têm altas emissividades: de fato, algumas destas satisfazem bem o modelo de
corpo negro ε = 1 (fuligem, vidro liso, gelo). Superfícies metálicas que se tornam cobertas
por óxidos e outras impurezas também adquirem consideravelmente altos valores de
emissividade.
1.9.3.2 Absortividade e Refletividade
Da mesma maneira que foram definidas as emissividades pode-se definir as
absortividades. Seja I λ ( λ , T , φ ,θ ) a intensidade de radiação que atinge um elemento de uma
superfície real vindo da direção (φ , θ ) . A quantidade relativa que é absorvida na superfície,
I a ,λ ( λ , T , φ ,θ ) , é indicada pela absortividade monocromática direcional α λ′ :
α λ′ ( λ , T , φ ,θ ) =
I a ,λ ( λ , T , φ , θ )
I λ ( λ , T , φ ,θ )
(1.9.45)
A absortividade monocromática hemisférica é definida como
αλ (λ,T ) =
Ga ,λ ( λ , T )
Gλ ( λ , T )
(1.9.46)
na qual o denominador Gλ ( λ , T ) ( W / m 2 ⋅ m ) é a irradiação monocromática, ou o número de
watts que atinge a unidade de área de todas as direções por comprimento de onda e é definido
como
Gλ ( λ , T ) = ∫
2π
∫
π /2
φ =0 θ =0
I λ ( λ , T , φ ,θ )senθ cos θ dθ dφ
(1.9.47)
O numerador da equação (1.9.46) é a fração da irradiação que é absorvida pela superfície
definido como
Ga ,λ ( λ , T ) = ∫
2π
∫
π /2
φ =0 θ =0
I a ,λ ( λ , T , φ ,θ )senθ cos θ dθ dφ
(1.9.48)
Finalmente se define a absortividade total hemisférica como
α (T ) =
Ga (T )
G (T )
(1.9.49)
na qual a irradiação total G (T ) é obtida pela integração
∞
G (T ) = ∫ Gλ ( λ , T ) d λ
0
(1.9.50)
172
O total absorvido é calculado como
∞
∞
0
0
Ga (T ) = ∫ Ga ,λ ( λ , T ) d λ = ∫ α λ ( λ , T ) Gλ ( λ , T ) d λ
(1.9.51)
Substituindo (1.9.51) em (1.9.49) obtém-se a expressão para a absortividade total hemisférica
α (T ) =
∞
1
α λ ( λ , T ) Gλ ( λ , T ) d λ
∫
0
G (T )
(1.9.52)
A diferença entre a irradiação total G (T ) e a absorvida total Ga (T ) é a porção
refletida (caso de superfície opaca, ρ = 1 − α ; τ = 0 ) Gr (T ) . Dessa forma
Gr = G − Ga = (1 − α ) G = ρ G
(1.9.53)
em que ρ é a refletividade da superfície.
1.9.3.3 Lei de Kirchhoff
A lei de Kirchhoff estabelece que a absortividade monocromática direcional de uma
superfície não negra é sempre igual à sua emissividade monocromática direcional quando a
superfície está em equilíbrio térmico com a radiação que incide sobre ela, ou seja,
α λ′ ( λ , TA , φ ,θ ) = ε λ′ ( λ , TA , φ ,θ ) (Lei de Kirchhoff)
(1.9.54)
A Lei de Kirchhoff pode ser usada para estimar a absortividade de um corpo cinza?
Para responder a esta questão, considere que para um absorvedor difuso
α λ ( λ , T ) = α λ′ ( λ , T )
(1.9.55)
Da mesma forma, para um emissor difuso
ε λ ( λ , T ) = ε λ′ ( λ , T )
(1.9.56)
Em conclusão, para uma superfície que é tanto um absorvedor difuso quanto emissor
difuso, a Lei de Kirchhoff estabelece que
αλ ( λ, T ) = ε λ ( λ, T )
(1.9.57)
Para uma superfície cinza, a emissividade ε λ independe do comprimento de onda, ou seja,
ε λ = ε (T ) . Portanto, pode-se se concluir que a absortividade também independe do
comprimento de onda. Então (1.9.57) fica na forma
α λ (T ) = ε (T )
Substituindo (1.9.58) em (1.9.52) pode-se demonstrar que para uma superfície cinza
(1.9.58)
173
α ( T ) = ε (T )
(1.9.59)
Portanto, pode-se estimar a absortividade total hemisférica de uma superfície cinza a
partir de tabelas de emissividade total, desde que a superfície tenha a mesma temperatura da
radiação que incide sobre ela.
1.9.4 Transferência de calor entre superfícies cinzas
Considere agora o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor
entre duas superfícies cinzas que formam uma cavidade, Figura 1.9.7. As áreas ( A1 , A2 ) , as
temperaturas
(T1 , T2 )
e as emissividades totais hemisféricas
( ε1 , ε 2 )
são especificadas.
Assuma que a menor das duas superfícies A1 é não côncava, de modo que F11 = 0 .
Figura 1.9.7 Cavidade definida por duas superfícies cinzas e resistência térmica de A1 para A2
Seja G1 a irradiação total que chega num elemento de área dA1 . Na direção oposta está
a porção refletida ρ1G1 mais o fluxo de calor emitido por dA1 em si, ε1 Eb ,1 . O fluxo de calor
unidirecional que parte de dA1 representa o que se chama radiosidade da superfície
denominada J1 (W / m 2 ) :
J1 = ρ1G1 + ε1 Eb ,1
(1.9.60)
A diferença entre o fluxo de calor que deixa dA1 , J1 (W / m 2 ) e o fluxo que chega G1 , é o
fluxo líquido que deixa dA1 ,
q1′′ = J1 − G1
(1.9.61)
174
Eliminando G1 entre (1.9.60) e (1.9.61) e lembrando que para uma superfície cinza,
ρ1 = 1 − α1 = 1 − ε1 , obtém-se
q1′′ = J1 −
J1 − ε1 Eb ,1
ρ1
=
ε1
( Eb,1 − J1 )
1 − ε1
(1.9.62)
A taxa líquida que deixa a superfície A1 é simplesmente q1 = q1′′A1 , então,
q1 =
( Eb,1 − J1 )
ε1 A1
Eb ,1 − J1 ) =
(
1 − ε1
Ri
(1.9.63)
Em que o denominador é uma resistência interna que impede a passagem de q1 através de A1 .
A corrente líquida de calor que sai de A1 deve ser provida por um agente externo (um
aquecedor); esta corrente é bombeada através da superfície de A1 , isto é, de suas costas para a
face que está na cavidade. A resistência interna tem a forma genérica
Ri =
1− ε
εA
(1.9.64)
A corrente total de calor J1 A1 tem todos os aspectos de Eb ,1 A1 já discutido
anteriormente. Assim pode se calcular a corrente unidirecional J1 A1 como
q1→2 = J1 A1 F12 = J1 A2 F21
(1.9.65)
De maneira análoga pode se calcular a corrente unidirecional J 2 A2 obtendo-se
q2→1 = J 2 A2 F21 = J 2 A1 F12
(1.9.66)
A corrente líquida de na direção A1 → A2 é, portanto,
q1− 2 = q1→2 − q2→1 = A1F12 ( J1 − J 2 )
(1.9.67)
Observando o circuito elétrico na Figura 1.9.7 pode-se verificar que a taxa líquida de calor
pode ser calculada como se fosse um corpo negro na forma:
q1− 2 =
σ (T14 − T24 )
1 − ε1
1
1− ε2
+
+
ε1 A1 A1 F12 ε 2 A2
(1.9.68)
Pela conservação de energia através de A1 pode-se demonstrar que
q1 = q1− 2 = −q2
(1.9.69)
na qual q1 é calculado pela Eq. (1.9.63) e q2 e definido como
q2 =
ε 2 A2
( Eb,2 − J 2 )
1− ε2
(1.9.70)
175
Três casos de configurações importantes de cavidades de duas superfícies foram
mostradas na Figura 1.9.6. Naqueles casos os fluxos líquidos podem ser avaliados como
1) Duas placas paralelas ( A1 = A2 = A )
q1− 2 =
σ A (T14 − T24 )
1
ε1
+
1
ε2
(1.9.71)
−1
2) Espaço anelar entre dois cilindros infinitos ou entre duas esferas (não necessariamente
concêntricos(as))
q1− 2 =
σ A1 (T14 − T24 )
(1.9.72)
⎞
A ⎛1
+ 1 ⎜ − 1⎟
ε1 A2 ⎝ ε 2 ⎠
1
No caso em que uma superfície extremamente grande ( A2 ) circunda uma superfície
convexa ( A1 , F11 = 0 ) tem-se
q1− 2 = σ A1ε1 (T14 − T24 )
(1.9.73)
O caso de invólucros de mais de duas superfícies também pode ser analisado de forma
similar ao caso de invólucro de duas superfícies. Considere o caso de um invólucro de n
superfícies cinzas, Figura 1.9.8. Em geral um observador sobre A1 pode ver as radiosidades de
todas as n partes do invólucro. Por exemplo, a corrente de irradiação que emana da j-ésima
superfície A j e atinge A1 é J j A j F j1 . Segue que a corrente de irradiação que impinge sobre A1
é
A1G1 = J1 A1 F11 + J 2 A2 F21 +
=
n
∑J
j =1
=
+ J n An Fn1
j
A j F j1
j
A1 F1 j
(1.9.74)
n
∑J
j =1
Figura 1.9.8 – Invólucro formado por n superfícies cinzas, e resistência associada com Ai
176
Do ponto de vista de A1 , a transferência de calor é ainda o cálculo da taxa de
transferência líquida de calor q1 que deve ser suprida nas costas (atrás) de A1 . Esta corrente
de calor pode ser avaliada usando a eq. (1.9.63) desde que a radiosidade J1 seja conhecida. O
problema se reduz, então, ao cálculo de J1 . Substituindo a eq. (1.9.60) na eq. (1.9.74) obtémse
n
J1 = (1 − α1 ) ∑ J j F1 j + ε1σ T14
(1.9.75)
j =1
A eq. (1075) estabelece que a radiosidade da superfície A1 depende das propriedades
de A1
(α1 , ε1 , T1 ) ,
das radiosidades de todas as superfícies que formam o invólucro
( J ; j = 1, 2,… , n ) e dos respectivos fatores de forma através dos quais estas superfícies são
j
visíveis de A1 . Um sistema de
n
equações para as
n
radiosidades pode ser obtido por
escrever para cada superfície i que participa no invólucro:
n
J i = (1 − α i ) ∑ J j Fij + ε iσ Ti 4
( i = 1, 2,… , n )
(1.9.76)
j =1
Se a geometria e propriedades de todas as superfícies são especificadas, então o
sistema (1.9.76) fornece os valores das
n radiosidades. Uma equação para a taxa líquida de
calor de cada superfície pode ser escrita como
ε i Ai
σ Ti 4 − J i )
(
1− εi
qi =
( i = 1, 2,… , n )
(1.9.77)
A seguinte restrição deve ser satisfeita,
n
∑q
i =1
i
=0
(1.9.78)
Alternativamente, a taxa de calor de cada superfície definida como qi = Ai J i − Ai Gi
pode ser calculada como
n
qi = Ai J i − ∑ J j Ai Fij
(1.9.79a)
j =1
n
ou lembrando que
∑F
j =1
ij
= 1 , tem-se
n
n
j =1
j =1
qi = Ai J i ∑ Fij − ∑ J j Ai Fij
ou após um rearranjo de (1.9.79b) resulta
(1.9.79b)
177
qi = ∑ Ai Fij ( J i − J j )
n
(1.9.79c)
j =1
Os fatores de forma de um invólucro de n superfícies formam uma matriz n × n num
total de n 2 fatores de forma. Nem todos deste número podem ser especificados
independentemente. Existirão ( n 2 − n ) / 2 relações de reciprocidade, porque existirão n fatores
na diagonal e ( n 2 − n ) / 2 fatores em cada lado da diagonal. Adicionalmente, n relações de
n
invólucro ( ∑ Fij = 1 ) podem ser escritas. Em conclusão, o número de fatores de forma
j =1
independentes é:
n2 −
1 2
n
n − n ) − n = ( n − 1)
(
2
2
(1.9.80)
Existem em livros textos tabelas e gráficos de arranjos de várias configurações de
fatores de forma.
178
2. Geradores de Vapor - GV
2.1. Introdução e Classificação
Gerador de Vapor (GV) é um equipamento destinado à produção de vapor. O vapor
gerado pode ser utilizado para diversos fins: aquecimento, processos industriais, como fluido
de trabalho em máquinas motoras e esterilização
Para gerar vapor é necessário calor. As fontes mais utilizadas são: energia liberada
pela combustão, energia elétrica, aproveitamento de calor residual de outro processo e a
energia nuclear. Conforme o agente que transfere calor para evaporação da água, as caldeiras
se classificam em:
• a óleo combustível;
• a óleo diesel;
• a lenha e bagaço de cana;
• a carvão;
• a eletricidade, com eletrodo submerso;
• a gás (GLP e gás natural ou de destilação, canalizado, biogás)
Um GV de vapor é constituído, basicamente, pelos seguintes componentes: caldeira,
fornalha, superaquecedor, economizador, aquecedor de ar e sistema de tiragem.
2.2 Caldeiras
As caldeiras, segundo o modo de transferência de calor, podem ser flamotubulares ou
aquatubulares.
2.2.1 Caldeiras flamotubulares ou fogotubulares
Nas caldeiras flamotubulares ou fogotubulares, Figura 2.1, gases quentes provenientes
de uma fornalha ou câmara de combustão escoam em tubos imersos na água a ser evaporada,
a qual se situa no interior de um encamisamento de chapas de aço soldadas. Os gases quentes
podem passar uma ou mais vezes (duas e até três) pelos tubos. As vantagens principais deste
tipo de caldeira são:
• construção simples e pouca alvenaria;
• facilidade de variação da quantidade de vapor produzido atuando sobre os
queimadores;
• possibilidade de troca/substituição fácil dos tubos;
• uso de água sem tratamento rigoroso como seria necessário se a água escoasse
internamente nos tubos. Como as incrustações se formam externamente nos
tubos, elas pode ser removidas relativamente fácil;
• limpeza fácil da fuligem no interior dos tubos;
• custo relativamente baixo, pois dispensa o uso de superaquecedores e
economizadores.
Entre as desvantagens pode-se citar:
• demora para atingir regime de plena produção de vapor, devido ao grande
volume de água nas camisas que envolvem os tubos de gases quentes;
• destinam-se a pressões não muito elevadas, algo em torno de 16 atm, por razões
de segurança do vaso de pressão;
179
•
necessidade de bomba para manter o suprimento de água compatível com
demanda de vapor numa dada temperatura.
Figura 2.1 Esquema de uma caldeira flamotubular com fornalha interna e tubos de gases de
retorno em duas passagens.
As caldeiras flamotubulares são também conhecidas como caldeiras de tubos de
gases ou de tubos de fumaça e podem ser encontradas nos seguintes arranjos:
• Caldeiras horizontais com fornalha interna e tubos de gases diretos. Os gases
seguem num só sentido em direção à chaminé, Figura 2.2
• Caldeiras horizontais com tubofornalha. Constam de uma camisa e vários tubos
internos que conduzem os gases quentes, não existindo a fornalha completamente
revestida de material refratário, Figuras 2.3 e 2.4. Possibilitam produção até 8000
kg/h de vapor com pressão de 20 kgf/cm2. Usam como combustíveis: lenha e
cavacos, serragem, carvão, cascas e óleos combustível.
• Caldeiras verticais, com a vantagem de ocupar pouco espaço. São em geral
pequenas com fornalha interna na parte inferior, Figura 2.5
As caldeiras flamotubulares, geralmente, são fornecidas pelo fabricante com certos
equipamentos:
a) Equipamento para suprimento de ar de combustão com pressão suficiente parta exaurir os
gases de combustão através dos tubos de fogo. É constituído por um ventilador centrífugo.
b) Sistema de preaquecimento de óleo. O óleo combustível (BTE ou BPF) deve ser aquecido a
120oC para diminuir a viscosidade e melhorar a eficiência dos atomizadores nos queimadores.
No inicio usa-se uma resistência elétrica e posteriormente o próprio vapor para aquecimento
do óleo cuja temperatura é regulada por um termostato.
c) Sistema de queima de óleo combustível. Consta do seguinte:
• de um conjunto de ignição por meio de óleo diesel, composto por bomba,
transformador de ignição, queimador e célula fotoelétrica atuada por chama piloto;
• bomba de circulação de óleo combustível;
• válvula solenóide automática para controle do fluxo de óleo para os atomizadores;
• válvula de regulagem de pressão de óleo;
• filtros de óleo diesel e de óleo combustível, manômetro, termômetro.
d) Sistema de alimentação de água
• bomba para alimentação da caldeira;
• injetor com pressão de 8 a 12 kgf/cm2.
180
Figura 2.3 Caldeira fogotubular simples, horizontal, de construção local e fornalha externa.
Figura 2.4 Caldeira flamotubular a carvão e opcionalmente um outro combustível apropriado.
(ATA Combsutão Técnica S.A.)
181
Figura 2.4 Caldeira fogotubular ATA tipo L, mista (a óleo e a lenha).
Figura 2.5 Caldeira flamotubular vertical.
2.2.2 Caldeiras aquatubulares
Nas caldeiras aquatubulares, o aquecimento se faz externamente a um feixe de tubos
contendo água e em comunicação com um ou mais reservatórios ou tambores. São fabricadas
para produção de 50.000 kg/h de vapor e valores até bem maiores. Poder ser:
- de tubos retos
• com tambor longitudinal (Figura 2.6)
• com tambor transversal
182
- de tubos curvos
• com um único tambor (Figura 2.7)
• com dois tambores longitudinais ou transversais:
horizontais (Figura 2.8a)
verticais
inclinados
• com três tambores longitudinais ou transversais (Fig. 2.8b c)
• com quatro ou mais tambores.
Figura 2.6 Caldeira aquatubular de corpo longitudinal, um tambor e tubos inclinados.
Figura 2.7 caldeira aquatubular de tubos curvos com um único tambor.
183
Figura 2.8 Caldeira aquatubular em vários arranjos.
Em locais onde haja suprimento abundante de energia elétrica, pode-se analisar se é
vantajosa a instalação de equipamentos eletrotérmicos. Vide Macintyre , 1997 (Macintyre,
A.J. (1997) Equipamentos Industriais e de Processos, LTC – Livros Técnicos e Científicos
Editora S.A. Rio de Janeiro, 277p.)
As Figuras 2.9 e 2.10 mostram vistas esquemáticas de um GV. Pode acontecer de
algum GV não possuir todos os componentes listados acima, como por exemplo, não dispor
de superaquecedeor, nem de aquecedor de água de alimentação.
184
Figura 2.9 Esquema dos componentes de GV.
Figura 2.10 Ordem dos componentes em relação ao fluxo de gases de combustão.
2.3 Fornalha
É a região do Gerador de Vapor (GV) onde ocorre a queima do combustível. As funções
principais da fornalha são:
- evaporar toda o umidade do combustível;
- destilar as substâncias voláteis do combustível;
- elevar a T do combustível até a combustão espontânea;
- proporcionar uma combustão completa;
- criar turbulência para misturar o ar e o combustível;
- impedir a troca de calor entre os gases quentes produzidos e o ambiente externo.
A maioria das fornalhas trabalha com pressões abaixo da atmosférica. Isso evita
superaquecimentos locais devidos a vazamentos, permite a abertura de portas de observação
185
sem perigo. Porém, quando a perda de carga aumenta, deve-se usar um ventilador de exaustão
- sujeito aos gases quentes - ou trabalhar com ar pressurizado (fornalhas pressurizadas).
As fornalhas podem ser do tipo grelha. Os tipos de grelhas mais usados estão
apresentados nas Figuras 2.11 à 2.17 onde está explicitado o seu funcionamento.
Figura 2.11 Grelha de carregamento manual.
Figura 2.13 grelha com deslizamento.
Figura 2.12 Grelha de carregamento por
projeção
Figura 2.14
intermitente.
Grelha
com
Figura 2.15 Grelha móvel com alimentação por baixo.
Figura 2.16 Grelha com translação para queima em suspensão.
movimento
186
Figura 2.17 Grelha móvel, barras de translação: a)simples, b)zoneada, c) abóbada.
A queima de uma camada de combustível é explicada assim:
-acima da camada de combustível ocorre a queima de CO e dos voláteis destilados,
com o ar secundário.
-na camada inferior da massa de combustível sobre a grelha estão as cinzas - final de
combustão do combustível mais antigo.
-na camada imediatamente superior - camada de oxidação - o ar que atravessa o
combustível (ar primário) é rico em O2 e a reação predominante é: C + O2 = CO2.
-na camada seguinte - camada de redução - a proporção de O2 diminui e a proporção
de CO2 é grande. Então a reação predominante é: C + CO2 = 2CO.
-na última camada - onde o combustível é mais recente - ocorre seu aquecimento e a
destilação de seus componentes voláteis.
As Figuras 2.18 e 2.19 ilustram este tipo de grelha e a teoria das quatro camadas.
Figura 2.18 Queima em grelha – ar primário. Ar secundário queima CO2, voláteis, H2, etc.
187
Figura 2.19 Teoria das 4 camadas.
As Figuras 2.20 a 2.24 ilustram a queima de combustíveis sólidos em suspensão,
líquidos ou gasosos. Um maçarico (queimador) tema função de: dosar a mistura arcombustível, atomizar o combustível e proporcionar controle entre o ar e o combustível.
Para realizar a pulverização - ou atomização - podemos usar vapor, ar pressurizado ou
um movimento mecânico, em geral rotativo.
Figura 2.20 Fornalha com uso de maçarico
Figura 2.21 Maçarico a óleo – pulverizado a ar.
188
Figura 2.22 Maçarico pulverizado a ar ou vapor
Figura 2.23 Maçarico de pulverização mecânica.
Figura 2.24 Outro esquema de maçarico de pulverização mecânica.
2.4. Superaquecedores
Quando se necessita de vapor superaquecido, usa-se uma superfície adicional de troca
de calor para aumentar a temperatura do vapor acima da Temperatura de Saturação. São tubos
que contém o vapor produzido na caldeira e servem para trocar calor com os gases de
combustão, a fim de superaquecer o vapor. São sempre colocados após a caldeira - com
relação ao fluxo de gases - para evitar problemas de superaquecimento dos tubos na partida,
quando ainda não existe vapor. Ver Figuras 2.26 e 2.27.
-Vantagens: aumento de entalpia do vapor, obtenção de vapor seco - para uso em
turbinas, temperaturas mais altas.
-Desvantagens: aumenta a perda de carga dos gases de combustão, aumentam os custos
de manutenção.
189
Figura 2.26 Superaquecedor de vapor de tubos verticais.
Figura 2.26 Superaquecedor de vapor de tubos horizontais.
190
2.5. Economizador
Consiste de uma tubulação onde a água de alimentação do Gerador de Vapor é préaquecida antes de entrar na caldeira. O pré-aquecimento da água de alimentação da caldeira
com o uso da energia dos gases de exaustão representa considerável economia de
combustível.
O economizador propriamente dito usa gases de combustão para pré-aquecimento da
água de alimentação. Outro tipo de pré-aquecedor que usa vapor de extração é denominado de
regenerador. Ver Figuras 2.28 a 2.30.
As vantagens de economizadores é permitir menores gradientes de temperatura na
região de alimentação de caldeira, menor tempo de permanência da água dentro do GV e
aumento do rendimento do GV.
As desvantagens é o aumento da perda de carga da água de alimentação e complicada
manutenção.
Figura 2.28 Economizador recuperador
Figura 2.28 Economizador regenerativo
Figuras 2.30 Tipos de economizadores recuperadores.
191
2.6 Pré-Aquecedores de Ar de Combustão
Neste equipamento se utiliza parte da energia dos gases de exaustão para pré-aquecer o
ar da combustão. Tem a vantagem de melhorar o rendimento térmico do GV, devido a boa
combustão. Como desvantagem provoca perda de carga do ar de alimentação e dos gases de
exaustão, além do preço de instalação e manutenção e espaço ocupado.
Alguns tipos são mostrados nas Figuras 2.31 a 2.33.
Figura 2.31 Pré-aquecedor de ar.
Figura 2.32 Trocador de escoamento cruzado. Ar nos tubos.
Figura 2.33 Trocador de calor do tipo compacto.
2.7 Sistema de Tiragem
Sistema pelo qual é feita a exaustão de gases queimados. Na sua forma mais simples
consiste em uma chaminé.
192
A fim de manter a sucção de ar para a combustão e retirar os gases queimados do GV, é
sempre necessário um sistema de exaustão - ou de "tiragem"; para isso, usa-se chaminés,
ventiladores de insuflamento de ar ou exaustores de gases queimados; freqüentemente, uma
combinação deles.
-Chaminé - utiliza a diferença de densidade entre o ar atmosférico e os gases queimados
(função da temperatura). A utilização de uma chaminé para a exaustão sem outros
equipamentos, normalmente implica em chaminés bastante altas (20 a 60 metros) a fim de se
ter a diferença de pressão suficiente.
-Exaustor de gases queimados - succiona os gases queimados do GV e os expele. Usado
em combinação com uma chaminé reduz bastante a altura necessária desta.
-Ventilador de insuflamento de ar - dá ao ar de combustão uma pressão necessária para
vencer as resistências ao escoamento dentro do GV. Se, por um lado, obriga a fornalha a
trabalhar em uma pressão superior à atmosférica, por outro lado não tem a desvantagem de
trabalhar com gases queimados a T relativamente alta como os exaustores trabalham, tendo
então uma vida útil maior, com menor manutenção.
2.8. Tratamento de Água de Alimentação
Existem quatro finalidades principais para se fazer o tratamento de água de alimentação
de uma caldeira:
-Prevenção contra depósitos nas paredes dos tubos, que podem causar
superaquecimento localizado na estrutura da caldeira.
-Evitar corrosão na caldeira, pela presença de O2.
-Evitar endurecimento cáustico.
-Redução da percentagem de sólidos de arraste, pela formação de espuma e nata.
a) Impurezas Presentes na Água e seus Efeitos
- Impureza: matérias orgânicas em solução coloidal; compostos minerais em solução
(bicarbonatos, cloretos, sulfatos, silicatos de Ca, Mg, Na, K, Fe); gases dissolvidos na água
(CO2, O2, N2).
- Incrustações: tem o efeito de opor resistência à transmissão de calor entre os gases
quentes e a água. São constituídas por sais que se cristalizam sobre o tubo (do lado da água) e
por fuligem que também se deposita sobre o tubo (do lado dos gases quentes).
- Golpe de Fogo: é um fenômeno que ocorre em casos drásticos de excesso de
incrustações. Ver a figura 2.34 - quando uma placa de incrustações de sais permanece certo
tempo sobre o tubo, pode surgir uma fenda nessa placa devida à diferença entre o coeficiente
de dilatação do material que o constitui o tubo e o material de incrustação. Por essa fenda
penetra uma bolsa de vapor que tem superfície seca. Ocorre então um aumento localizado de
T no tubo; como o coeficiente de dilatação de um metal é relativamente alto, localmente o
tubo se dilata, formando um "calo". O "calo" só favorece a existência de bolsa de vapor: o
processo se realimenta. Há duas formas de se encerrar este processo: ou a placa de incrustação
se rompe, permitindo que o "calo" volte a ser resfriado pela água, ou então o tubo se rompe
devido à deformação e à pressão a que está submetido. Esta é a causa principal de "explosão"
de caldeiras.
- Corrosão: é o ataque do material dos tubos por substâncias agressivas: O2, CO2 e sais
ácidos. A corrosão pelo O2 é bastante conhecida - localizada e característica; a corrosão por
ácidos também é conhecida; a corrosão por CO2 é uma fragilização do material por igual e é
conhecida como "fragilização cáustica". Todos os tipos de corrosão atuam no sentido de
reduzir a resistência mecânica do material.
193
Figura 2.34 – Golpe de fogo.
b) Tratamento interno à caldeira
É usado para caldeiras de baixa e média pressão operacional. Consiste na adição de
produtos químicos apropriados à água de alimentação. Exatamente que produtos e em que
proporções, só a análise da água disponível pode revelar; porém iremos indicar que produtos
são mais usados e com que finalidades.
-Redutores de dureza - geralmente um fosfato; precipita Ca, Na, K, Mg.
-Álcalis (NaOH ou KOH) - neutraliza a acidez da água, catalisa o processo acima.
-Coagulante - em geral polímeros - impedem a aderência dos sais formados às paredes
metálicas, indo ao fundo da caldeira em forma de "lama".
-Redutos de O2 - em geral um sulfito ou Hidrazina (N2H4).
-Neutralizante de vapor - em geral compostos amoniacais.
-Anti-espumante - em geral silicone.
Os compostos precipitados pelo tratamento da água devem ser expurgados periodicamente por
descargas de fundo (válvulas).
c) Tratamento completo de água
É usado quando se trata de água de rio ou quando a caldeira opera a altas pressões.
Constitui-se em:
-Clarificação - eliminação dos compostos orgânicos em solução coloidal na água. São
usados sulfato de alumínio ou cal ou soda cáustica para flocular os colóides.
-Filtração - separa a água dos sólidos em suspensão. Normalmente são usadas camadas
de pedras, areia e antracito.
-Troca iônica - substâncias porosas por onde passa a água (resinas sintéticas) e que
retiram os íons de Ca, Mg ou outros.
-Desgaseificação - remoção dos gases dissolvidos na água. Normalmente se processa
por aquecimento da água a T próximas a T de ebulição nas condições atmosféricas (~ 100
oC).
-Tratamento interno complementar - idêntico ao exposto acima, com base na análise da
água após o tratamento externo.
Da descrição da complexidade do tratamento da água de alimentação se vê a
importância de aproveitar o condensado para a alimentação da caldeira. O vapor condensado
não só está mais aquecido que a água ambiente mas também é limpo - não precisa ser tratado.
194
O retorno do condensado - água resultante da condensação do vapor usado em algum
processo - representa considerável economia de combustível e de tratamento de água.
2.9 Perdas num Gerador de Vapor
As perdas de energia que ocorrem num gerador de vapor acarretam um consumo de
combustível maior que o esperado pela simples análise do Poder Calorífico do Combustível
(PCI). As principais perdas são:
a) Perdas por combustível não queimado nas cinzas e calor sensível das cinzas - apenas para
combustíveis sólidos
P1 = zwPCI + zcpc (Tc − Ta )
onde:
z - fração de cinzas em massa (Kg cinzas / Kg comb.)
w - fração de comb. nas cinzas (kg comb. não queimado / Kg de cinzas)
cpc - calor específico das cinzas
Tc - temperatura das cinzas
Ta - temperatura ambiente
Normalmente, P1 = 1 a 3% do PCI
b) Perdas devido à combustão interna
P2 = sQCO + rQC + oQ H2
onde:
s - fração em massa de CO (kg de CO / kg de comb.) nos produtos
r - fração em massa de C (kg de C / kg de comb.) nos produtos
o - fração em massa de H2 (kg de H2 / kg de comb.) nos produtos
Qco - energia liberada na queima de CO
Qc - energia liberada na queima de C
QH2 - energia liberada na queima de H2
em geral P2 = 1 a 4% do PCI
c) Perdas por Calor Sensível nos Gases de exaustão
(
P3 = t ⋅ cp g T g − Ta
)
onde:
t = massa dos gases formados / Kg de combustível queimado
cpg = calor específico médio dos gases de combustível
Tg = temperatura dos gases de exaustão ao deixar o gerador de vapor
Ta = temperatura do ar de admissão
para GV grandes Tg varia de 120 à 180 oC
para GV pequenos Tg varia de 180 à 150 oC
d) Perdas de energia para o ambiente, por radiação e convecção.
Dependem dos detalhes construtivos do Gerador de Vapor e são de cálculo difícil;
existem métodos simplificados de cálculo.
em geral P4 = 1 à 15% do PCI
195
e) Perdas por mudanças de regime de operação, partida e parada
São perdas de energia devidas a "transitórios" de operação
-mudança de regime - inércia do sistema
-partida - aquecimento do GV, da massa de água, etc.
-parada - geração de vapor a pressões baixas que não será usado, perda de calor para o
ambiente até esfriar o GV.
Estas perdas são de difícil cálculo, e indicam a necessidade de se operar o GV em
regime permanente tanto quanto possível.
2.10. Rendimento de um Gerador de Vapor
a) Rendimento de uma fornalha
Considera as perdas devidas à combustão
calor produzido na fornalha
PCI − ( P1 + P2 )
Rf =
=
calor int roduzido pelo combustível
PCI
valores usuais: 80 à 95%
b) Rendimento da Caldeira
Considera o aproveitamento do calor produzido pela combustão para a geração de vapor
calor aproveitado na geração PCI − ( P1 + P2 + P3 + P4 )
Rc =
=
calor produzido na fornalha
PCI − ( P1 + P2 )
valores usuais: 75 à 90%
c) Rendimento Global do Gerador de Vapor
Rt =
calor aproveitado na geração
PCI − ( P1 + P2 + P3 + P4 )
=
calor int roduzido pelo combustível
PCI
Rt = Rf⋅Rc
valores usuais: 65 à 92%
2.11 Consumo de Combustível
Fazendo um balanço térmico do GV temos:
mc ⋅ PCI + ma ha = mv hv + perdas
mas as perdas podem ser calculadas como:
•
perdas = (1 − Rt ) m c ⋅ PCI
então, após um pouco de álgebra:
(
)(
)
mc = mv hv − ha PCI ⋅ Rt
pois ma = mv em regime perm.
Note-se que a eq. acima pode se constituir numa forma rápida de se determinar o
rendimento global do GV:
Rt =
mv (hv − ha )
mv ⋅ PCI
Pois o consumo de combustão, a produção de vapor, o poder calorífico do combustível e
as entalpias são facilmente obtidas.
196
3. Trocadores de calor
Um trocador de calor é um dispositivo, ou parte de uma maquinaria, cuja função é
promover a transferência de calor entre duas ou mais entidades a diferentes temperaturas. In
muitos casos, as entidades de troca de calor são duas correntes de fluido. Para evitar a mistura
das duas correntes, os dois fluidos são separados por paredes sólidas que, conjuntamente,
constitui a superfície de transferência de calor, ou superfície do trocador de calor. Em alguns
trocadores de calor uma superfície sólida de transferência de calor não é necessária, por causa
da natureza imiscível das duas correntes ou a separação (estratificação) dos dois fluidos no
campo gravitacional. Em tais casos a transferência de calor entre os dois fluidos ocorre
através de sua interface mútua, e o aparato é chamado um trocador de calor de contato direto.
3.1 Classificação de trocadores de calor
Existem muitos tipos de trocadores de calor e existem mesmo mais de uma maneira de
classificar estes tipos. Bejan (1993) mostra uma classificação dada por Shah que é pelo tipo
de arranjo dos fluidos. De acordo com o arranjo dos fluidos existem três configurações
principais conhecidas como escoamentos paralelos ( ou co-correntes), escoamentos opostos
(ou contra-corrente) e escoamentos cruzados. Em escoamentos paralelos, as duas portas de
entrada são posicionadas na mesma extremidade do trocador de calor, local em que a
diferença de temperatura de uma corrente para outra é a maior. No esquema contra-corrente, a
diferença de temperatura de uma corrente para outra é mais uniformemente distribuída ao
longo do trocador de calor. A Figura 3.1 ilustra um trocador de calor duplo tubo com
escoamentos em correntes paralelas e contra-corrente.
197
Figura 3.1 Trocadores de calor duplo tubo (a) correntes paralelas, (b) correntes opostas.
No arranjo cruzado, Figura 3.2, o projeto pode variar em relação ao grau de mistura
lateral que é experimentada por cada corrente dentro do canal. As correntes escoam em um
ângulo de 90o e para evitar o efeito de mistura lateral, pode-se instalar corrugações
longitudinais que divide as correntes não misturadas em muitas mini-correntes que escoam
em paralelo. Na ausência de partições longitudinais, a corrente pode misturar
transversalmente em cada seção transversal de cada canal.
Figura 3.2 Trocadores de calor de correntes cruzadas
Uma outra maneira de diferenciar entre os vários projetos de trocadores de calor é
considerar sua construção. Talvez o projeto mais simples é o arranjo duplo tubo mostrado na
Figura 3.1. No arranjo de tubo interno concêntrico, as correntes são separadas pela parede do
tubo interno, a superfície externa ou interna do qual desempenha o papel de superfície de
198
troca de calor. Na Figura 3.1 tem–se um caso de único passe, porque cada corrente passa
apenas uma vez em cada tubo. Na Figura 3.3 tem-se um caso de múltiplos passes.
Figura 3.3 Trocadores de calor casco tubo de único e múltiplos passes
O trocador casco e tubo possui um projeto mais complicado em que a corrente interna
não escoa através de um mas de vários tubos, Figura 3.4. A corrente externa é confinada por
um vaso de grande diâmetro (a casca). Chicanas (Baffles) transversais forçam a corrente
escoar através dos tubos, aumentando desta maneira o coeficiente global de transferência
entre os dois fluidos.
199
Figura 3.4 Trocadores de calor casco tubo com defletores
Outro tipo de construção é o trocador de calor de placa aletada, em que cada canal é
definido por duas placas paralelas separadas por aletas ou espaçadores. As aletas são
conectadas às placas paralelas por encaixe mecânico prensado, colagem, soldagem, solda
amarela latão), fusão ou extrusão. Passagens alternantes são conectadas em paralelo pra
câmaras finais (chamadas cabeças) e formam um lado (i.e, uma corrente) do trocador de calor.
Aletas são usadas em ambos lados em aplicações gás para gás. Em aplicações líquidos para
gás, aletas são necessárias apenas do lado do gás porque desse lado o coeficiente de troca de
calor é baixo. A Figura 3.5 ilustra trocadores de calor de placas aletadas.
Figura 3.5 Trocadores de calor de placas aletadas.
200
Finalmente, trocadores de calor podem ser classificados em relação ao seu grau de
compacticidade. Se a razão da área da superfície pelo volume do trocador de calor, chamada
superfície específica, S m for menor do 700 m2/m3, o trocador é do tipo convencional.
Trocadores de calor compactos têm superfícies específicas maiores do que 700 m2/m3. Nessa
ultima categoria estão os radiadores de automóveis e condensadores de refrigeradores.
3.2 Coeficiente global de transferência de calor
Considere por exemplo os trocadores de calor da Figura 3.1. Para generalizar suponha
que ambos lados da parede de troca de calor são aletadas. A área total de troca de calor será
então,
A = Au + Af
(3.1)
na qual Au é a área sem aletas e Af é área das aletas.
Assumindo que o coeficiente de troca de calor tem o mesmo valor em ambas áreas Au
e Af , a taxa total de transferência de calor pode ser calculada como
q = hAu (Tw − T∞ ) + η hAf (Tw − T∞ )
(3.2)
A temperatura Tw refere-se à temperatura da superfície não aletada ou da base das aletas,
enquanto T∞ é temperatura média do fluido. O último termo do lado direito da Eq. (3.2)
representa a contribuição da troca de calor pelas aletas com η sendo a eficiência das aletas
definida como
η=
qb
taxa de troca de calor real
=
taxa de troca de calor quando hpLc (Tb − T∞ )
a aleta inteira esta a Tb
(3.3)
na qual Tb é a temperatura da base da aleta, p é o perímetro e Lc é o comprimento corrigido
definido como
201
Lc = L + Ac / p
(3.4)
em que L é o comprimento real da aleta e Ac é a área da seção transversal da aleta.
A Eq. (3.2) pode ser rearranjada como
⎛ η Af Au ⎞
q=⎜
+ ⎟ hA (Tw − T∞ ) = ε hA (Tw − T∞ )
A⎠
⎝ A
(3.5)
na qual o fator de eficiência global da superfície é definido como
ε =η
Af
A
+
A
Au
= 1 − f (1 − η )
A
A
(3.6)
Quando a superfície é coberta por material depositado (fouling) uma resistência
adicional ao fluxo de calor é definida como
rs =
Tw − Ts
q′′
(3.7)
na qual Ts é a temperatura na superfície da camada de depósito. Assim a equação (3.5) pode
ser reescrita como
q = ε he A (Tw − T∞ )
(3.8)
em que o coeficiente efetivo de troca de calor, agora, é definido na forma:
1
1
= rs +
he
h
(3.9)
Num elemento de superfície a taxa de calor pode ser definida na como
dq = UdA (Th − Tc )
(3.10a)
202
que integrada supondo U leva ao resultado
q = UA
1
(Th − Tc ) dA = UAΔTm
A ∫A
(3.10b)
ΔTm =
1
(Th − Tc ) dA
A ∫A
(3.10c)
com
O subscrito h refere-se ao fluido quente (hot) e o subscrito c refere-se ao fluido frio (cold). O
coeficiente global de transferência de calor (ou condutância global de calor) é definido como
1
1
1
⎛r ⎞
⎛r ⎞
=
+ ⎜ s ⎟ + Rt , w +
+⎜ s ⎟
UA ( ε hA )h ⎝ A ⎠h
(ε hA)c ⎝ A ⎠c
Nc
t w ,i
i =1
k w,i Aw
Rt , w = ∑
Rt , w
para parede plana com Nc camadas
⎛ ⎛ ri ⎞ ⎞
⎜ ln ⎜
⎟⎟
Nc
ri −1 ⎠ ⎟
⎝
⎜
para casca cilíndrica com Nc camadas
=∑
⎜ 2π k w,i l ⎟
i =1
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
(3.11a)
(3.11b)
(3.11c)
Uma forma alternativa seria definir
1
1
1
=
+ Rt ,w +
UA ( ε he A )h
(ε he A)c
(3.11d)
O coeficiente global de troca de calor pode ser definido em termos da superfície aquecida ou
resfriada, assim
UA = U h Ah = U c Ac
(3.11e)
203
3.3 Diferença média logarítmica de temperatura
A taxa total de transferência de calor pode ser calculada pela primeira lei da
termodinâmica e fica na forma
q = mh c ph (Th1 − Th 2 ) = mc c pc (Tc 2 − Tc1 )
(3.12a)
na qual m é a vazão mássica e c p é o calor específico a pressão constante. Geralmente se
define C = mc p como a taxa de capacidade do fluido. Assim a Eq. (3.12a) pode ser reescrita
como
q = Ch (Th1 − Th 2 ) = Cc (Tc 2 − Tc1 )
(3.12b)
Diferenciando a Eq. (3.12b) obtém-se
dq = −Ch dTh
(3.13a)
dq = Cc dTc
(3.13b)
Pode-se obter a variação de Th − Tc a partir das equações (3.13) como
d (Th − Tc ) = dTh − dTc = −
⎛ 1
dq dq
1
−
= −⎜
+
Ch Cc
⎝ Ch Cc
⎞
⎟ dq
⎠
(3.14a)
e pela substituição de (3.10a) em (3.14a) obtém-se
⎛ 1
1 ⎞
d (Th − Tc ) = − ⎜
+ ⎟ (Th − Tc ) UdA
⎝ Ch Cc ⎠
ou separando as variáveis
(3.14b)
204
d (Th − Tc )
(Th − Tc )
⎛ 1
1 ⎞
= −⎜
+ ⎟ UdA
⎝ Ch Cc ⎠
(3.14c)
A integração de (3.14c) do ponto 1 ao ponto 2 resulta
ln
⎛ 1
1 ⎞
ΔT2
= −⎜
+ ⎟ UA
ΔT1
⎝ Ch Cc ⎠
(3.15a)
As variações de temperatura ΔT1 e ΔT2 dependem se os escoamentos no trocador de calor
estão no mesmo sentido ou sentido opostos. No caso de escoamentos no mesmo sentido (cocorrente) tem-se ponto 1 entradas do fluidos e ponto 2 saídas dos fluidos e
ΔT1 = Th ,1 − Tc ,1 e ΔT2 = Th ,2 − Tc ,2
(3.15b)
No caso de escoamentos em contra-corrente, o subscrito e refere-se a entrada e o subscrito s a
saída. As variações de temperatura são definidas como
ΔT1 = Th ,e − Tc , s e ΔT2 = Th , s − Tc ,e
(3.15c)
No caso de escoamentos paralelos (mesmo sentido) pode-se demonstrar a partir de
(3.12b) que
1
1 1
1
+
= (Th1 − Th 2 + Tc 2 − Tc1 ) = ( ΔT1 − ΔT2 )
Ch Cc q
q
(3.16a)
que substituída em (3.15a) leva à equação
q=
( ΔT2 − ΔT1 ) UA = ( ΔT1 − ΔT2 ) UA = UAΔT
ΔT
ln 2
ΔT1
ΔT
ln 1
ΔT2
lm
Assim define-se a diferença média logarítmica de temperatura como
(3.16b)
205
ΔTlm =
( ΔT2 − ΔT1 ) = ( ΔT1 − ΔT2 )
ΔT
ln 2
ΔT1
ΔT
ln 1
ΔT2
(3.17)
A Figura 3.6 mostra casos em que se aplica a Eq. (3.16b). Esta definição de diferença
média logarítmica de temperatura é aplicada tanto para escoamentos no mesmo sentido como
para escoamentos em sentidos opostos. No caso de outros arranjos tais com escoamentos
cruzados ou trocadores casco tubo, pode-se aplicar um fator de correção na Eq. (3.16b)
resultando
q = UAΔTlm F
(3.18)
Figura 3.6 Arranjos de escoamentos em que se aplica a Eq. (3.16b)
O fator de correção F depende se as correntes são misturadas ou não. Pode-se verificar por
comparação das equações (3.10b) e (3.18) que a definição de F é:
F=
ΔTm
ΔTlm
(3.19a)
Em geral se apresenta graficamente o fator de correção F em função de dois parâmetros
definidos como
206
P=
Tc 2 − Tc1
C
T −T
; R = c = h1 h 2
Th1 − Tc1
Ch Tc 2 − Tc1
(3.19b)
O parâmetro P é a efetividade da corrente fria, que é o aumento de temperatura da corrente
fria pela diferença das temperaturas de entrada dos dois fluidos. O parâmetro R é a razão da
taxa de capacidade da corrente fria pela da corrente quente. As Figuras 3.7 a 3.11 mostram as
funções F para vários trocadores de calor
Figura 3.7 Escoamentos cruzados, passe único, com ambas correntes não misturadas
207
Figura 3.8 Escoamentos cruzados, passe único, com uma corrente não misturada.
Figura 3.9 Escoamentos cruzados, passe único, com ambas correntes misturadas
208
Figura 3.10 Casco tubo com uma casca e dois tubos
Figura 3.11 Casco tubo com duas casca e quatro tubos
3.4 Efetividade - NTU
Um método alternativo para se calcular a taxa total de transferência de calor que
considera não apenas o efeito da condutância UA mas também das taxas de capacidade dos
209
fluidos Ch e Cc . Neste método são definidos dois novos grupos adimensionais. O primeiro é
o número de unidades de troca de calor (transferência de calor) NTU:
NTU =
UA
Cmin
(3.20)
na qual Cmin é a menor das duas taxas de capacidade
Cmin = min ( Ch , Cc )
O segundo grupo adimensional é a efetividade do trocador de calor que é a razão da
taxa de troca de calor real pela máxima troca de calor
ε=
q
(3.21)
qmax
na qual a máxima taxa de troca de calor pode ser calculada como
qmax = Cmin (Th ,e − Tc ,e )
(3.22)
Considere, agora, o caso de trocador de calor de correntes paralelas (co-corrente).
Neste caso a efetividade pode ser calculada como
ε=
Ch (Th ,1 − Th ,2 )
Cmin (Th ,1 − Tc ,1 )
=
Cc (Tc ,2 − Tc ,1 )
Cmin (Th ,1 − Tc ,1 )
(3.23)
Considere a situação em que
Cc = Cmin ; Ch = Cmax
Substituindo (3.20) em (3.15a) resulta
(3.24)
210
ln
⎛C
C ⎞
ΔT2
= − ⎜ min + min ⎟ NTU
Cc ⎠
ΔT1
⎝ Ch
(3.25a)
Usando (3.23) e (3.24), (3.25a) fica na forma
ln
⎛ T −T ⎞
ΔT2
= − NTU ⎜1 − h ,2 h ,1 ⎟
⎜ T −T ⎟
ΔT1
c ,2
c ,1 ⎠
⎝
(3.25b)
Mas por (3.23) e (3.24) resulta
Th ,2 − Th ,1
Tc ,2 − Tc ,1
=−
Cc
C
= − min
Ch
Cmax
(3.25c)
que substituída em (3.25c) leva a expressão
ln
⎛ C ⎞
ΔT2
= − NTU ⎜1 + min ⎟
ΔT1
⎝ Cmax ⎠
(3.25d)
A partir de (3.25d) pode-se obter a razão de temperaturas
⎡
⎛ C
ΔT2
= exp ⎢ − NTU ⎜1 + min
ΔT1
⎝ Cmax
⎣
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
O membro esquerdo da Eq. (3.26a) pode ser rearranjado como
(3.26a)
211
ΔT2 Th ,2 − Tc ,2 Th ,2 − Tc ,2 + Th ,1 − Tc ,1 − (Th ,1 − Tc ,1 )
=
=
ΔT1 Th ,1 − Tc ,1
Th ,1 − Tc ,1
= 1+
Th ,2 − Tc ,2 − Th ,1 + Tc ,1
Th ,1 − Tc ,1
− (Tc ,2 − Tc ,1 ) + Th ,2 − Th ,1
= 1+
1
(Tc,2 − Tc,1 )
(3.26b)
ε
⎛
T −T ⎞
⎛
C ⎞
= 1 + ε ⎜ −1 + h ,2 h ,1 ⎟ = 1 + ε ⎜ −1 − min ⎟
⎜
Tc ,2 − Tc ,1 ⎠⎟
Cmax ⎠
⎝
⎝
A partir de (3.26a) e (3.26b) resulta uma expressão para calcular-se a efetividade
ε esc. paralelo
⎡
⎛ C
1 − exp ⎢ − NTU ⎜ 1 + min
⎝ Cmax
⎣
=
C
1 + min
Cmax
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
(3.27)
que pode ser resolvida para NTU resultando
NTU esc. paralelo
⎡
⎛ C ⎞⎤
ln ⎢1 − ε ⎜1 + min ⎟ ⎥
⎝ Cmax ⎠ ⎦
=− ⎣
C
1 + min
Cmax
(3.28)
O mesmo resultado seria obtido se tivesse sido feito Cc = Cmax ; Ch = Cmin . No caso
em que Cmin = Cmax , a efetividade fica na forma
1
ε esc. paralelo = ⎡⎣1 − exp ( −2 NTU ) ⎤⎦ , ( Cmin = Cmax )
2
(3.29)
No caso em que Cmin / Cmax = 0 , caso em que uma das correntes muda de fase, a efetividade
será calculada
ε esc. paralelo = 1 − exp ( − NTU ) , ( Cmin / Cmax = 0 )
(3.30)
212
No caso do trocador de calor de correntes opostas a efetividade é definida como
ε=
Ch (Th ,e − Th , s )
Cmin (Th ,e − Tc ,e )
=
Cc (Tc , s − Tc ,e )
Cmin (Th ,e − Tc ,e )
(3.31)
Por um procedimento similar obtém-se as seguintes equações:
ε esc.opostos =
1 − exp ⎡⎣ − NTU (1 − Cmin / Cmax ) ⎤⎦
1 − ( Cmin / Cmax ) exp ⎡⎣ − NTU (1 − Cmin / Cmax ) ⎤⎦
(3.32)
que pode ser resolvida para NTU resultando
NTU esc.opostos
⎡1 − ε Cmin / Cmax ⎤
ln ⎢
⎥⎦
1− ε
=− ⎣
1 − Cmin / Cmax
(3.33)
No caso em que Cmin = Cmax , a efetividade fica na forma
ε esc.opostos =
NTU
, ( Cmin = Cmax )
1 + NTU
(3.34)
No caso em que Cmin / Cmax = 0 , caso em que uma das correntes muda de fase, a efetividade
será calculada
ε esc. paralelo = 1 − exp ( − NTU ) , ( Cmin / Cmax = 0 )
(3.35)
Para outros arranjos de trocadores de calor a efetividade é uma função na forma
⎛
ε = ε ⎜ NTU ,
⎝
⎞
Cmin
, arranjo do escoamento ⎟
Cmax
⎠
(3.36)
Livros textos de transferência de calor apresentam resultados gráficos para a obtenção da
efetividade em outras configurações. Vide Bejan (1993).
213
3.5 Queda de pressão
O cálculo da potência de bombeamento dos fluidos através de trocadores de calor
envolve a determinação da queda de pressão através dos mesmos, cujas geometrias são em
geral complexas. Quando o fluido é um líquido a potência de bombeamento é calculada como
WB =
⎛ ΔP
⎞
m⎜
+ ghe ⎟
ηB ⎝ ρ
⎠
1
(3.37)
na qual η B é a eficiência isoentrópica da bomba, m é a vazão mássica de líquido através do
trocador de calor, ρ a massa específica e he é o desnível entre os reservatórios de sucção e
recalque. A queda de pressão pode ser estimada pela Equação de Darcy-Weisbach
ΔP = 4 f
L 1
ρV 2
Dh 2
(3.38)
Na equação (3.38) L é o comprimento de trechos retos mais os comprimentos equivalentes de
acessórios, de entradas, de saídas e outros, Dh é o diâmetro hidráulico do duto, V é a
velocidade média do escoamento e f é o fator de atrito de Fanning que depende do número de
Reynolds e da rugosidade do material do trocador de calor.
Quando o fluido é um gás, geralmente se usa um compressor para bombeá-lo, a
potência de bombeamento é calculada como
⎡⎛ P ⎞ R / c p ⎤
− 1⎥
WC =
mc pTe ⎢⎜ s ⎟
ηC
⎢⎣⎝ Pe ⎠
⎥⎦
1
(3.39)
na qual ηC é a eficiência isoentrópica do compressor, Te é a temperatura de entrada do fluido,
Pe e Ps são as pressões de entrada e saída do fluido no compressor, c p e R são o calor
específico e constante do gás respectivamente.
214
3.6 Trocadores de calor compactos
Os trocadores de calor compactos possuem, em geral, geometrias bem complexas. Seu
cálculo requer muita imaginação e experiência. Alguns livros específicos apresentam
resultados gráficos para o projeto destes trocadores de calor. Um bom texto é o livro de Ralph
L. Webb (1994): Principles of Enhanced Heat Transfer.
3.7 Método de Bell-Delaware
A análise do escoamento do lado do casco de um trocador de calor não é uma tarefa
muito fácil por causa da complexidade do escoamento combinando escoamento cruzado
através das janelas das chicanas bem como by-pass de fluxos entre chicanas e casco e também
entre o banco de tubos e casco, como ilustrado nas Figuras 3.12 e 3.13.
Kakaç & Liu (2002)
Figura 3.12 – (a) Diagrama indicando os caminhos de vazamentos de by-pass do escoamento
na matriz de tubos, tanto nas folgas entre chicanas e matriz de tubos quanto nas folgas entre
chicanas e casco. (b) corrente livre para um trocador de calor de dois passes nos tubos.
215
Kakaç & Liu (2002)
Figura 3.13 – Projeto de chicanas radiais para reduzir o by-pass através da folga entre o lado
da matriz de tubos e o casco.
Na Figura 3.12, cinco diferentes correntes são identificadas. A corrente A é vazamento
através do espaço entre tubos e as chicanas. A corrente B é a corrente principal através do
banco de tubos; isto é a corrente desejada no lado do casco do trocador de calor. A corrente C
é o by-pass da corrente escoando ao redor do banco de tubos entre os tubos mais externos no
banco e dentro do casco. A corrente E é o vazamento através do espaço entre as chicanas e
casco. Finalmente a corrente F é escoamento através de qualquer canal dentro do banco de
tubos devido aos divisores de passes no cabeçote do trocador de calor para múltiplos passes
nos tubos. A Figura 3.12 é uma representação idealizada das correntes. As correntes
mostradas podem misturar e interagir umas com as outras, e uma análise matemática mais
completa do escoamento do lado do casco deve levar estes efeitos em consideração.
O método de Bell-Delaware leva em consideração os efeitos dos vários vazamentos e
by-passes de correntes do lado do casco no coeficiente de troca de calor e queda de pressão. O
método Delaware deriva seu nome de um estudo sobre trocadores de calor casco-tubo,
conduzido na Universidade de Delaware, financiado por uma grande indústria e cujo relatório
final foi publicado em 1963. Um dos principais pesquisadores do projeto foi Kenneth J. Bell,
por isso seu nome é frequentemente adicionado ao nome do método. O método de BellDelaware é o método mais apropriado atualmente para análise do lado do casco. No método
de Bell-Delaware, a corrente B é a corrente principal essencial. As outras correntes reduzem a
corrente B e alteram o perfil de temperatura do lado do casco, resultando num decréscimo no
coeficiente de transferência de calor.
216
Uma breve discussão do método de Bell-Delaware para o coeficiente de troca de calor
e queda de pressão do lado do casco é apresentado nas subseções seguintes.
3.7.1 Coeficiente de Transferência de Calor do lado do Casco.
A equação básica para calcular o coeficiente médio de transferência de calor é dada
por (Kakaç & Liu, 2002)
ho = hid J c J l J b J s J r
(3.40)
na qual hid é o coeficiente ideal de transferência de calor para escoamento cruzado puro em
um banco de tubos ideal e é calculado de
⎛m
hid = ji c ps ⎜ s
⎝ As
⎞ ⎛ ks
⎟ ⎜⎜
⎠ ⎝ c ps μ s
⎞
⎟⎟
⎠
2/3
⎛ μs ⎞
⎜⎜
⎟⎟
μ
s
,
w
⎝
⎠
0.14
(3.41)
em que ji é o fator de Colburn para um banco de tubos ideal, s representa shell (casco), e As
é a área de escoamento cruzado à linha de centro do casco para um escoamento cruzado entre
duas chicanas.
Gráficos estão disponíveis para ji como uma função do número de Reynolds do lado
do casco, Re s = d o ms / μ s As , do layout dos tubos e do tamanho do passo. Nos mesmos
gráficos de ji podem ser encontrados valores do fator de atrito fi . Do ponto de vista
computacional existem correlações para se calcular ji e fi na seguinte forma:
a
⎛ 1,33 ⎞
a2
ji = a1 ⎜
⎟ ( Re s )
⎝ PT / d o ⎠
na qual
a=
a3
1 + 0,14 ( Re s )
a4
(3.42)
217
b
⎛ 1,33 ⎞
b2
fi = b1 ⎜
⎟ ( Re s )
⎝ PT / d o ⎠
(3.43)
na qual
b=
b3
1 + 0,14 ( Re s ) 4
b
A Tabela 3.1 fornece os coeficientes das Eqs. (3.42) e (3.43).
Tabela 3.1 – Coeficientes para ji e fi nas Eqs. (3.42) e (3.43), Kakaç & Liu (2002).
Ângulo Número
do
de
layout
Reynolds
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
30o
105 - 104
0,321
-0,388
1,45
0,519
0,372
-0,123
7,00
0,500
104 – 103
0,321
-0,388
0,486
-0,152
103 – 102
0,593
-0,477
4,570
-0,476
102 - 10
1,360
-0,657
45,00
-0,973
< 10
1,400
-0,667
48,000 -1,000
105 - 104
0,370
-0,396
6,59
0,520
104 – 103
0,370
103 – 102
6,30
0,378
45o
90o
1,930
0,303
-0,126
-0,396
0,303
-0,136
0,730
-0,500
3,500
-0,476
102 - 10
0,498
-0,656
26,200 -0,913
< 10
1,550
-0,667
32,000 -1,000
105 - 104
0,370
-0,395
104 – 103
0,107
-0,266
0,0815 +0,022
103 – 102
0,408
-0,460
6,0900 -0,602
102 - 10
0,900
-0,631
32,100 -0,963
< 10
0,970
-0,667
35,000 -1,000
1,187
0,500
0,370
0,391
-0,148
J c é um fator de correção para o corte da chicana e espaçamento. Este fator leva em
conta a transferência de calor na janela e calcula o coeficiente global de transferência de calor
para o trocador de calor inteiro. Ele depende do diâmetro do casco e corte da chicana que é a
218
distância da ponta da chicana até o diâmetro interno do casco. Para cortes grandes na chicana,
este valor pode diminuir até um valor de 0,53, e é igual a 1,0 para um trocador de calor sem
nenhum tubo na janela. Ele pode aumentar para valores tão altos como 1,15 para pequenas
janelas com altas velocidades através delas.
J l é um fator de correlação para efeitos de vazamento na chicana incluindo vazamento
tubo-chicana e chicana-casco (correntes A e E). Se as chicanas são colocadas muito próximas
umas das outras, então a fração do escoamento nas correntes de vazamento aumenta
comparada com o escoamento cruzado. J l é uma função da razão da área de vazamento total
por chicana para a área de escoamento cruzado entre chicanas adjacentes e também da razão
da área de vazamento casco-chicana para a área de vazamento tubo-chicana. Um valor típico
de J l está na faixa de 0,7 e 0,8.
J b é um fator de correção para efeitos de by-pass devido ao espaço entre os tubos
mais externos e o casco e divisores de passes (correntes C e F). Para espaços relativamente
pequenos entre os tubos mais externos e casco para construção com tubos em chapas fixas,
J b ≈ 0,9 . Para um cabeçote flutuante e removível, grande espaço é requerido e J b ≈ 0, 7 .
Tiras selantes (Figura 3.13) podem aumentar o valor de J b .
J s é um fator de correção para espaçamento variável das chicanas na entrada e na
saída. Devido ao espaço dos bocais na entrada e saída e mudanças nas velocidades locais, o
coeficiente médio de transferência de calor do lado do casco mudará. O valor de J s está
usualmente entre 0,85 e 1,00. J r aplica-se se o número de Reynolds do lado do casco, Re s , é
menor do que 100. Se Re s < 20 , ele é totalmente efetivo. Este fator é igual a 1,00 se
Re s > 100 . Os efeitos combinados destes fatores de correção para um projeto razoavelmente
bom de um trocador casco-tubo é da ordem de 0,6.
219
3.7.2 Queda de Pressão do Lado do Casco.
Para um trocador de calor casco-tubo com by-pass e correntes de vazamentos, a queda
de pressão bocal-bocal, determinada pelo método de Bell-Delaware, é calculada como a soma
dos seguintes três componentes, (Figura 3.14).
1. A queda de pressão na seção interior de escoamento cruzado (ponta a ponta de
chicanas); a queda de pressão combinada da seção inteira de escoamento cruzado é
Δpc = Δpbi ( N b − 1) Rl Rb
(3.44)
onde Δpbi é a queda de pressão em um banco de tubos equivalente ideal em um uma
chicana do compartimento do espaçamento central das chicanas e Rl é o fator de
correção para efeitos de vazamento nas chicanas (correntes A e E). Tipicamente,
Rl = 0, 4 a 0,5 . Rb é o fator de correção para escoamento de by-pass (correntes C e F).
Tipicamente, Rb = 0,5 a 0,8 , dependendo do tipo de construção e números de tiras
selantes. N b é o número de chicanas.
2. A queda de pressão na janela é afetada pelo vazamento, mas não por by-pass. A
queda de pressão combinada em todas as janelas é calculada de
Δpw = Δpwi N b Rl
(3.45)
onde Δpwi é a queda de pressão em um banco de tubos equivalente ideal na seção da
janela.
3. A queda de pressão nas seções de entrada e saída é afetada pelo by-pass, mas não
vazamento. Adicionalmente, existe um efeito devido ao espaçamento variável das
chicanas. A queda de pressão combinada para a seção de entrada e saída é dada por
Δpe = 2Δpbi
N c + N cw
Rb Rs
Nc
(3.46)
onde N c é o número de linhas de tubos cruzadas durante o escoamento através de um
escoamento cruzado no trocador de calor, e N cw é o número de linhas de tubos
cruzadas em cada janela de chicanas. Rs é o fator de correção para seções de entrada e
saída tendo diferentes espaçamento de chicanas das seções internas devido a existência
bocais de entrada e saída. Os fatores de correção estão disponíveis em gráficos na
literatura.
220
Figura 3.14 – (a) entrada, (b) interior, (c) janela.
A queda de pressão total no lado do casco do trocador de calor é
Δps = Δpc + Δpw + Δpe
(3.47)
⎛ N ⎞
Δps = ⎡⎣ Δpbi ( N b − 1) Rb + Δpwi N b ⎤⎦ Rl + 2Δpbi ⎜1 + cw ⎟ Rb Rs
Nc ⎠
⎝
(3.48)
A queda de pressão em bocais deve ser calculada separadamente e adicionada à queda
de pressão total. Na equação (3.48), Δpbi é calculada de
G2 ⎛ μ ⎞
Δpbi = 4 fi s ⎜ s , w ⎟
2ρ s ⎝ μs ⎠
0,14
(3.49)
Coeficientes de atrito são dados graficamente e também pela Eq. (3.43).
Para uma seção de janela de chicana ideal, Δpbi é calculada de
Δpwi =
ms2 ( 2 + 0, 6 N cw )
se Re s > 100 e de
2 ρ s As Aw
(3.50)
221
Δpwi = 26
μ s ms2 ⎛ N cw
ms
B ⎞
+ 2 ⎟+
⎜
As Aw p ⎝ p − do Dw ⎠ As Aw ρ s
(3.51)
se Re s ≤ 100 .
Cálculos do diâmetro equivalente da janela, Dw , da área para escoamento através da janela,
Aw , e dos fatores de correção são dados na literatura.
O número de linhas de tubos cruzadas em uma seção de escoamento cruzado, N c ,
pode ser estimada de
⎛
L ⎞
di ⎜1 − 2 c ⎟
Ds ⎠
Nc = ⎝
Pp
(3.52)
Pp é definido na Figura 3.15 e pode ser obtido da Tabela 3.2, e Lc é o corte da chicana da
ponta dela até o diâmetro interno do casco.
Figura 8.15 – Passos paralelo e normal ao escoamento (arranjo em triangulo equilátero)
O número efetivo de linhas de em escoamento cruzado, N cw , pode ser estimado de
N cw =
0,8 Lc
Pp
(3.53)
222
O número de chicanas, N b , pode ser estimado de
Nb =
L − Bi − Bo
+1
B
(3.54)
Se
Bi = Bo = B , a Eq. (3.54) reduz a
Nb =
L
−1
B
(3.55)
A queda de pressão total de um trocador casco-tubo típico é da ordem de 20 a 30% da
queda de pressão que seria calculada sem levar em conta efeitos de vazamentos nas chicanas e
by-pass no banco de tubos.
Tabela 3.2 –Passos paralelo e normal ao escoamento.
OD tubo
Passo Tubo
( d o , [in])
(p, [in])
5/8 =0,625
Layout
Pp [in]
Pn [in]
13/16 = 0,812
30o
0,704
0,406
¾ = 0,75
15/16 = 0,938
30o
0,814
0,469
¾ =0,75
1,0
90o
1,0
1,0
¾ = 0,75
1,0
45o
0,707
0,707
¾ =0,75
1,0
30o
0,866
0,5
1
1 ¼ =1,25
90o
1,25
1,25
1
1 ¼ =1,25
o
45
0,884
0,884
1
1 ¼ =1,25
30o
1,082
0,625
Bibliografia
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