4
Método Numérico
Foi utilizado o método dos elementos finitos como ferramenta de simulação com a finalidade de compreender e avaliar a resposta do tubo, elemento
estrutural da bancada de teste utilizada neste trabalho, quando nele são
aplicados diversos tipos de carregamento.
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4.1
Modelagem pelo Método dos Elementos Finitos
A modelagem pelos elementos finitos inicia pela discretização de uma
dada geometria em um número finito de elementos. Esta discretização permite
a resolução do problema, impondo um sistema de equações, aplicáveis a
quase qualquer estrutura por mais complicada que seja, mediante um grande
número de operações de natureza repetitiva que podem ser adaptadas a uma
programação numérica e ser resolvida por um computador. Para cada elemento
obtido da discretização, encontra-se uma matriz de rigidez que relaciona as
forças com as deformações; depois se procede a montagem da matriz total
para a estrutura. Em geral, dado que o método de cálculo por elementos
finitos é um procedimento aproximado, a exatidão aumenta com o número
de elementos usados. É recomendável, em alguns casos, utilizar mais de uma
discretização, com a finalidade de comparar e obter convergência de resultados
para uma solução dentro de uma tolerância aceitável.
As cargas externas, atuantes na estrutura, são aplicadas por sistemas de
forças equivalentes concentradas nos nós. Os processos numéricos vão desde
análises lineares até complicadas análises não lineares. No presente trabalho
são utilizados processos numéricos lineares, já que a bancada de teste deve ser
solicitada sem ocorrência do escoamento nos seus pontos mais solicitados.
Capı́tulo 4. Método Numérico
45
4.2
Descrição da Modelagem Numérica
4.2.1
Tipo de Elemento Utilizado
A escolha dos elementos depende do tipo de análise a ser realizada e
da geometria do modelo. Neste trabalho foi escolhido um elemento sólido
tetraédrico parabólico de 10 nós, como mostra a figura 4.1a, para a discretização do corpo tubular e das placas que servem como tampos.
O elemento sólido tetraédrico linear possui quatro nós, como mostra
abaixo a figura 4.1b. Cada nó tem libertade para mover-se com as três componentes de deslocamento. Assim, o elemento possui três graus de liberdade
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por nó, totalizando doze graus de liberdade.
A formulação e a idéia do elemento sólido tetraédrico parabólico é igual
ao do elemento sólido tetraédrico linear, no qual a montagem de elementos é
constituı́da de elementos na forma de “tetraedros”, porém com apenas uma
diferença significante que é na quantidade de graus de liberdade.
Figura 4.1: a)Elemento Sólido Tetraédrico Parabólico. b)Elemento Sólido
Tetraédrico Linear.
A vantagem desse elemento, com a adição de nós intermediários, é de
aumentar o número de graus de liberdade do elemento para que a função de
interpolação tenha maior grau e apresente uma resposta mais exata no campo
das deformações e tensões. Como o elemento tetraédrico parabólico possui dez
nós que se deslocam nas três direções, respeitando o estado triaxial de tensões
da teoria da elasticidade, o mesmo terá um total de trinta graus de liberdade.
Capı́tulo 4. Método Numérico
46
Os passos que dão continuidade na resolução do problema para um
elemento tetraédrico do tipo parabólico são a definição da função de interpolação, o cálculo das deformações e tensões e, finalmente, a solução da matriz
de rigidez do elemento. A geração automática de malhas em elementos finitos,
disponı́veis atualmente nos softwares de análise, permite gerar malhas de
elementos tetraédricos em geometrias complicadas pois, devido à versatilidade
da geometria, qualquer corpo sólido e suas diversas partes podem ser representados como um conjunto de tetraedros. Esse elemento é, portanto, bastante
utilizado em aplicações práticas nas quais o cálculo das deformações e das
tensões necessita maior cuidado [13].
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4.2.2
Material
A definição das propriedades dos materiais para a modelagem por elementos finitos é feita segundo o tipo de análise que se pretende fazer. Na
maioria dos modelos elasto-plásticos desenvolvidos se utiliza curvas de engenharia ou verdadeira do material, a qual é simplificada em: a) uma curva de
engenharia ou verdadeira bilinear e b) uma curva de engenharia ou verdadeira
multilinear.
O modelo utilizado neste caso será isotrópico, elástico e linear, com
um módulo de Young de 200GP a e um coeficiente de Poisson igual a 0, 3.
Como a análise a ser feita é apenas elástica, não há diferença entre a curva de
engenharia e verdadeira.
4.2.3
Modelagem da Geometria
O segmento de tubo e os dispositivos de carregamento associados foram
modelados pelo método de elementos finitos usando o programa comercial
ANSYS Workbench 11.0. Os dados da geometria são dadas no Capı́tulo 2.
Somente a metade da estrutura foi usada por causa de sua simetria. Isto
reduz consideravelmente o tempo do cálculo e o número de elementos e nós a
serem utilizados. A figura 4.3 representa a estrutura modelada. A modelagem
poderia ter usado apenas 1/4 da estrutura, mas esta oportunidade não foi
aproveitada.
47
Capı́tulo 4. Método Numérico
4.2.4
Malha do Modelo
As malhas (conjunto de elementos finitos) devem ser feitas o mais homogeneamente possı́vel. Para uma melhor análise numérica, a estrutura foi
modelada com dois tipos de malha, como se mostra na figura 4.2. A M alha 1
foi gerada considerando um só elemento na parede do tubo. A M alha 2 foi
mais refinada, com três elementos na parede do tubo. Os detalhes das malhas
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estão indicados na tabela 4.1
Figura 4.2: Detalhes da modelagem e da malha gerada.
Tabela 4.1: Detalhes dos tipos de malha.
Malhas
Elementos
Malha 1 (Numérico1)
2951
Malha 2 (Numérico1)
52998
Nós Tempo Computacional
6018
34 s
95747
127 s
Capı́tulo 4. Método Numérico
48
4.2.5
Condições de Contorno e Aplicação de Carregamentos
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As condições de contorno impostas ao modelo são mostradas na figura
4.3. A pressão da água exercida dentro da tubulação foi modelada pela carga
da pressão distribuı́da, aplicada à superfı́cie do interior do tubo mostrado no
detalhe A. No modelo, as forças F foram aplicadas às placas com a imposição
de uma pressão equivalente como mostrado no detalhe B.
Figura 4.3: Condições de contorno e detalhes dos carregamentos aplicados.
O suporte do solo foi modelado no detalhe C por um suporte fixo. A
área em contato com o solo manteve impedidas a translação lateral, seguindo
os eixo x e y, e a rotação segundo o eixo z. As condições de simetria impostas
ao modelo são mostradas no detalhe D.
Capı́tulo 4. Método Numérico
49
4.3
Ovalização do tubo
O processo de fabricação para o tubo usado neste trabalho foi o denominado UOE que produz tubos por conformação a frio partindo-se de uma
chapa plana. A chapa é conformada para a forma tubular pelas quatro etapas
mecânicas como segue:
– Na primeira etapa de conformação, as bordas laterais são prensadas
para terem suas extremidades no formato de arco circular.
– A chapa é levada para uma segunda prensa com o objetivo de ser
dobrada para o formato U.
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– A seguinte prensa dá continuidade ao processo executando a forma
circular, ou o formato O e é realizada a costura longitudinal.
– Na etapa final, uma expansão a frio (E) é executado no tubo soldado,
com objetivo de melhorar a circularidade.
Tubos UOE têm espessura de parede constante. A forma circular tem
algumas imperfeições que dependem de cada uma das quatro etapas mecânicas
de fabricação indicadas anteriormente. Isto se traduz em uma ovalização do
tubo dentro do campo de 0,1 a 0,3%, tı́pico deste processo, e é menor do
que as tolerâncias de diâmetro especificadas pela norma API 5L, cujo valor
está em torno de ±0,75% do diâmetro externo. Esta ovalização interfere nas
medições das deformações e na comparação com os resultados analı́ticos.
Mais adiante, na seção 6.1.4, será descrito o procedimento utilizado neste
trabalho para determinar as imperfeições do diâmetro do tubo.
Numa comparação entre as deformações, observou-se, uma diferença
relevante entre os métodos analı́tico e numérico quando a tubulação está sob
os diferentes tipos de carregamento.
Exagerando a deformação no modelo numérico do programa ANSYS
(5X Auto), a figura 4.4 mostra, para uma análise com a malha 1, a configuração deformada do tubo para, (b) uma força aplicada de 20kN , (a) e (c)
Capı́tulo 4. Método Numérico
50
pressão interna de 5M P a, e finalmente (d) para uma combinação das duas.
Viu-se a ocorrência de ovalização do tubo, e este tipo de comportamento não
foi previsto na modelagem analı́tica do problema estudado.
Os resultados das deformações obtidos numa análise com a malha 2,
mostrou a mesma ovalização do tubo mostrada pela malha 1. Somente se teve
uma variação no ponto da solda, isto devido à diferencia de espessura com o
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resto da seção do tubo.
Figura 4.4: Ovalização do tubo submetido a carregamentos diferentes.
a) e c)Pressão interna. b)Momento fletor e esforço axial. d)Pressão interna,
momento fletor e esforço axial.
Efeito da Ovalização Localizada do Tubo no cálculo das Tensões
Nesta seção se mostra a ovalização localizada do tubo devido às imperfeições geradas no processo de fabricação e como estas influem no cálculo das
tensões.
Capı́tulo 4. Método Numérico
51
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Figura 4.5: Ovalização Localizada do tubo submetido a Pressão interna.
A figura 4.5 apresenta a seção transversal do tubo com ovalização externa
e interna. Supondo que o tubo esta submetido a pressão interna, que e1 e e2
equivalem a 1mm e t equivale a 10mm, observamos na figura o sentido das
forças e dos momentos gerados. Isto ajudará nos cálculos das tensões.
σb =
M.c
I
σb =
σm .t.l.e.t/2
l.t3
12
σb = σm 6.e
t
Para a parte externa do tubo a tensão circunferencial é calculada como
segue:
σm − σb = σm [1 −
6.e1
]
t
σm − σb = σm [1 −
6.1mm
]
10mm
σm − σb = 0, 4σm
Para a parte interna do tubo a tensão circunferencial é calculada como
segue:
σm + σb = σm [1 +
6.e2
]
t
Capı́tulo 4. Método Numérico
σm + σb = σm [1 +
52
6.1mm
]
10mm
σm + σb = 1, 6σm
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Finalmente podemos observar que para esse exemplo a tensão circunferencial varia -60% para o caso da ovalização externa e +60% para o caso da
ovalização interna.