Revista Brasileira de Ensino de Fı́sica, v. 29, n. 2, p. 225-229, (2007)
www.sbfisica.org.br
Bola, taco, sinuca e fı́sica
(Ball, cue, snooker and physics)
Eden V. Costa1
Instituto de Fı́sica, Universidade Federal Fluminense, Niterói, RJ, Brasil
Recebido em 6/10/2006; Revisado em 23/3/2007; Aceito em 5/4/2007
A sinuca é um jogo familiar entre os estudantes. Por isso, é conveniente utilizá-la como exemplo no estudo do
movimento de um corpo rı́gido, e, não apenas nos problemas de colisões, frontais e laterais, como quase sempre
aparece nos textos dos livros didáticos de fı́sica básica. Neste artigo, faremos a análise dos efeitos da tacada.
Discutiremos a tacada alta, a tacada baixa e faremos a análise do movimento da bola-projétil e da bola-alvo.
Veremos que a altura do ponto onde o taco atinge a bola determina o tipo de movimento executado. Podemos
dizer que a sinuca é um exemplo bastante útil para o estudo da dinâmica do corpo rı́gido.
Palavras-chave: corpo rı́gido, colisões, sinuca, tacada alta e tacada baixa.
Snooker is a familiar game among students. Therefore, it is convenient to use this game as an example for
studying the rigid body motion, and not only in the problems about head-on and lateral collisions, as it is usually
seen in the texts of basic physics in the didatic books. In this article, we are going to analyse the effects of the
cue on the ball and discuss the high and the low cue and to do the analysis of the motion of the projectile and
target balls. Then, we will show that the place on the ball hit by the cue is decisive to the kind of motion which
is acquired. We can say that snooker is a very useful application to the study of rigid body dynamics.
Keywords: rigidy body, collisions, snooker, high cue and low cue.
1. Introdução
Os campeões de sinuca demonstram ter conhecimento
intuitivo da fı́sica envolvida neste jogo. Steve Davis
[1], seis vezes campeão mundial, ao discutir qualitativamente o movimento da bola-projétil e da bola-alvo,
revela esse conhecimento. E mais, afirma que muitos
jogadores talentosos não são vencedores porque têm
idéias confusas sobre o movimento inicial da bola-alvo.
Sendo assim, a análise da tacada, e a análise do movimento da bola-projétil e da bola-alvo nos permitem
entender a fı́sica envolvida no jogo de sinuca.
As equações do momento linear P e do momento
angular L de uma esfera de massa m, raio r e inércia
rotacional I em relação a um eixo que passa pelo centro
de massa podem ser escritas por P = mvcm e L = Iω.
vcm é a velocidade de translação do centro de massa e
ω é a velocidade angular da rotação em torno de um
eixo que passa pelo centro de massa. A velocidade v de
um ponto da superfı́cie pertencente ao plano mediano
vertical é dada por [2]
v = vcm + ωr.
1 E-mail:
(1)
[email protected].
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Na Fig. 1 está representada uma bola de sinuca
(bola-projétil) inicialmente em repouso, imediatamente
após ser golpeada pelo taco com uma força impulsiva
horizontal F em um ponto do plano mediano vertical. O
parâmetro de impacto é b e a duração do contato é ∆t.
Os valores iniciais das velocidades são v0cm e ω0 . As intensidades do impulso transmitido e do torque exercido
em relação ao centro de massa são, respectivamente,
F ∆t e (-F b). Sabendo que
F ∆t = ∆P,
(2)
e
− Fb =
∆L
,
∆t
(3)
podemos escrever que
F ∆t = mv0cm ,
(4)
− F b∆t = Iω0 .
(5)
2
Como I = 2mr /5, então
5
b
ω0 = − v0cm 2 .
2
r
(6)
226
Costa
w0
0,0
F
V0cm
b
-0,5
r
Figura 1 - Bola de sinuca de raio r inicialmente em repouso,
imediatamente após ser golpeada por um taco com uma força
impulsiva horizontal F em um ponto do plano mediano vertical.
O parâmetro de impacto é b e a velocidade inicial de translação
do centro de massa é v0cm .
w0 (V0cm/r)
V0
-1,0
-1,5
-2,0
Com as Eqs. (1) e (6) podemos determinar a velocidade inicial de deslizamento v0 do ponto de contato
da bola com a mesa,
-2,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
b/r
µ
v0 = v0cm 1 −
5b
2r
¶
.
(7)
Na condição de rolamento sem deslizamento
(v0 = 0), b = 2r/5. Se b < 2r/5 dizemos que a tacada é baixa. E ao contrário, quando b > 2r/5 dizemos
que a tacada é alta. Com a Eq. (7) podemos determinar o intervalo de valores possı́veis para a velocidade
inicial de deslizamento: −3v0cm /2 6 v0 6 v0cm (veja
a Fig. 2).
1,0
V0 (V0cm)
0,5
0,0
-0,5
Figura 3 - Velocidade angular inicial ω0 , medida em unidades de
(v0cm /r). Para b/r = (0,4), o rolamento é sem deslizamento. As
regiões: 0 < b/r < 0,4 e 0,4 < b/r < 1 correspondem, respectivamente, à tacada baixa e à tacada alta.
2.
Tacada baixa e tacada alta
A tacada (alta ou baixa) ao provocar o deslizamento introduz a força de atrito cinético µc mg e o torque µc mgr.
a) Na tacada baixa, v0 tem o mesmo sentido de
v0cm . Portanto, a força de atrito diminui a velocidade
de deslizamento e a velocidade de translação do centro
de massa.
b) Na tacada alta, o sentido de v0 é oposto ao de
v0cm . Desta forma, a força de atrito tem o mesmo
sentido da velocidade de translação do centro de massa.
Logo, a força de atrito diminui a velocidade de deslizamento, mas, aumenta a velocidade de translação do
centro de massa.
Durante o deslizamento a resultante das forças é a
força de atrito cinético. Por conseguinte, a aceleração
do movimento de translação do centro de massa é constante e igual a µc g. A aceleração angular α do movimento de rotação em torno de um eixo que passa pelo
centro de massa pode ser determinada por
-1,0
µc mgr =
-1,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
b/r
Figura 2 - Velocidade inicial v0 de deslizamento do ponto de
contato da bola com a mesa, medida em unidades de v0cm .
Para b/r = 0,4, o rolamento é sem deslizamento. As regiões
0 < b/r < 0,4 e 0,4 < b/r < 1 correspondem, respectivamente,
à tacada baixa e à tacada alta.
A velocidade angular inicial pode ser determinada
por meio da Eq. (6). O intervalo de valores possı́veis é
−5v0cm /2r 6 ω0 6 0. No rolamento sem deslizamento,
ω0 = −v0cm /r (veja a Fig. 3).
α=
2.1.
2 2
mr α,
5
5 µc g
.
2 r
(8)
(9)
Tacada baixa
Vamos considerar a bola em um instante t após uma tacada baixa. A velocidade do movimento de translação
do centro de massa e a velocidade angular do movimento de rotação em torno de um eixo que passa pelo
centro de massa são dadas pelas expressões do movimento uniformemente variado
227
Bola, taco, sinuca e fı́sica
vcm = v0cm − µc gt,
V0cm
F
(a)
(10)
r
V0
w0
F
5 µc g
ω = ω0 −
t.
2 r
(11)
r
A velocidade v de deslizamento que pode ser determinada por meio da Eq. (1) é dada por
w0
r
(c)
F
7
v = v0 − µc gt.
2
(12)
A velocidade v é nula no instante t = τ dado por
w0
(d)
(13)
A partir deste instante a bola rola sem deslizar e o
atrito é estático. Com as Eqs. (7), (10) e (13), podemos determinar a velocidade de translação do centro de
massa. O resultado é
vcm =
5 v0cm (b + r)
.
7
r
(14)
V0cm
b
V0
2v0
.
7µc g
V0cm
b
F
τ=
V0cm
b
(b)
r
Figura 4 - Velocidades iniciais de uma bola de sinuca de raio r,
imediatamente após ser golpeada pelo taco com parâmetro de impacto b. (a) Tacada baixa (b = 0). v0 = v0cm e ω0 = 0. (b) Rolamento sem deslizamento (b = 0, 4r). v0 = 0 e ω0 = -v0cm /r. (c)
Rolamento sem deslizamento (b = 0, 4r). v0 = 0 e ω0 = v0cm /r.
(d) Tacada alta (b = r). v0 = -1,5 v0cm e ω0 = -2,5 v0cm /r.
Como uma aplicação vamos considerar uma bola de
sinuca de raio r = 2,7 cm, uma tacada baixa extrema
(b = 0 e v0 = v0cm ), a velocidade inicial de translação
do centro de massa v0cm = 2,0 m/s e o coeficiente de
atrito cinético µc = 0,57. Com estes dados, podemos
traçar o gráfico representado na Fig. 5.
2,0
5 v0cm (b + r)
ω=−
.
7
r2
(15)
Vcm
1,5
Velocidade (m/s)
Com as Eqs. (6), (7), (11) e (13), podemos determinar a velocidade angular da rotação em torno de um
eixo que passa pelo centro de massa. Obtemos que
1,0
V
0,5
Logo, para t > (2v0 /7µc g) podemos afirmar que:
a) A bola rola sem deslizar. A velocidade de
translação do centro de massa e a velocidade angular de
rotação em torno de um eixo que passa pelo centro de
massa são diretamente proporcionais a (b+r), distância
entre o ponto de impacto da tacada e o plano da mesa.
b) A força resultante é a força de atrito estático.
Como ela não realiza trabalho a perda de energia se dá
devido ao atrito de rolamento e à resistência do ar.
A representação de algumas das possibilidades de
movimento da bola-projétil pode ser vista na Fig. 4.
0,0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
Tempo (s)
Figura 5 - Velocidade de translação do centro de massa vcm e a
velocidade v de deslizamento do ponto de contato com a mesa,
para uma tacada baixa extrema (b = 0).
2.2.
Tacada alta
Nas condições de r = 2,7 cm, tacada alta extrema (b = r
e v0 = - 3 v0cm /2), v0cm = 2,0 m/s e µc = 0,57, a variação da velocidade de translação do centro de massa
228
Costa
e a variação da velocidade de deslizamento do ponto de
contato da bola com a mesa está representada na Fig. 6.
3
(a)
Vcm
Velocidade (m/s)
2
(b)
1
0
-1
(c)
V
-2
-3
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
Tempo (s)
Figura 6 - Velocidade de translação do centro de massa vcm e a
velocidade v de deslizamento do ponto de contato com a mesa,
para uma tacada alta extrema (b = r).
3.
Colisões
As bolas de sinuca têm massas iguais. Então, em uma
colisão frontal, elas trocam entre si as velocidades de
translação do centro de massa. Como as bolas são polidas e rı́gidas, podemos considerar o coeficiente de atrito
entre elas desprezı́vel. Desta forma, durante a colisão,
a bola projétil não produz torque sobre a bola-alvo.
Por isso, as velocidades angulares não se alteram durante a colisão [3]. É importante saber que no jogo de
sinuca, a bola-alvo inicialmente está em repouso. A representação dos movimentos das bolas (projétil e alvo)
imediatamente antes, imediatamente depois e ao atingir o rolamento sem deslizamento pode ser vista nas
Figs. 7 e 8.
(a)
(b)
(c)
Figura 7 - Movimento das bolas (projétil e alvo) em uma colisão frontal. A bola-alvo, inicialmente, está em repouso. (a)
Imediatamente antes da colisão. (b) Imediatamente depois da
colisão. (c) Ao atingir o rolamento sem deslizamento. O sentido
de rotação da bola-projétil determina o sentido da sua velocidade
de translação.
Figura 8 - Movimento das bolas (projétil e alvo) em uma colisão frontal. A bola-alvo, inicialmente, está em repouso. (a)
Imediatamente antes da colisão. (b) Imediatamente depois da
colisão. (c) Ao atingir o rolamento sem deslizamento. O sentido
de rotação da bola-projétil determina o sentido da sua velocidade
de translação.
4.
Conclusões
Como a sinuca é um jogo comum entre os estudantes,
entendemos ser proveitoso tê-la como exemplo em algumas situações estudadas no movimento de um corpo
rı́gido. Sendo assim, podemos utilizá-la como exemplo
de rolamento sem deslizamento, rolamento com deslizamento, deslizamento no mesmo sentido da translação
do centro de massa e deslizamento em sentido contrário
à translação do centro de massa. Estas possibilidades
de movimentos são conseqüências da tacada baixa ou
da tacada alta, isto é, dependem da altura do ponto
onde a bola é golpeada.
Tanto na tacada baixa quanto na tacada alta, o movimento da bola divide-se em dois regimes: o transiente
e o permanente. Durante o regime transiente, o rolamento é com deslizamento até alcançar o regime permanente, quando a bola rola sem deslizar. O caso particular de transiente nulo ocorre quando o taco atinge a bola
no ponto onde a distância até o plano da mesa é igual a
1,4 vezes o raio da bola. Um fato que surpreende e estimula proveitosas discussões é na tacada alta, quando o
atrito aumenta a velocidade de translação do centro de
massa. Esta situação é incomum entre as apresentadas
nos livros didáticos de fı́sica básica.
Nosso objetivo foi a análise detalhada e cuidadosa
dos conceitos básicos envolvidos no movimento de uma
bola de sinuca. Entendemos que a discussão apresentada, com o exame das possı́veis implicações e com
ênfase na compreensão dos aspectos essenciais, é proveitosa para o entendimento da dinâmica de um corpo
rı́gido. E, certamente, dará até as bases fı́sicas necessárias para um melhor desempenho no jogo de sinuca.
Bola, taco, sinuca e fı́sica
Referências
[1] Steve Davis, The Successful Snooker (Charles Letters
Books, London, 1982).
229
[2] H. Moysés Nussenzveig, Fı́sica Básica - Mecânica (Editora Edgard Blücher, São Paulo, 1996).
[3] Alaor Chaves, Mecânica (Reichmann & Affonso Editores, Rio de Janeiro, 2001).