REANÁLISE DOS ENSAIOS DINÂMICOS DA PONTE VASCO DA
GAMA COM BASE NO MÉTODO DE IDENTIFICAÇÃO
ESTOCÁSTICA POR SUB-ESPAÇOS
Álvaro CUNHA
Prof. Associado Agregado
FEUP
Porto
Elsa CAETANO
Prof. Auxiliar
FEUP
Porto
SUMÁRIO
Este artigo apresenta uma reanálise dos dados colhidos nos ensaios dinâmicos de recepção da
componente atirantada da Ponte Vasco da Gama, tendo por base a aplicação de um dos
métodos mais recentes e poderosos de identificação “output-only” – o método de identificação
estocástica por sub-espaços – confrontando os resultados alcançados por essa via com os
anteriormente obtidos através da técnica convencional de “Peak-Picking”.
1. INTRODUÇÃO
Os ensaios dinâmicos de recepção da Ponte Vasco da Gama, realizados após a conclusão da
ponte em 1998, envolveram a medição da resposta ambiental da Ponte Atirantada Principal e
dos Viadutos Expo, Central e Sul, bem como da resposta em vibração livre da Ponte Principal,
mediante a aplicação de uma força súbita, tendo levado à constituição de uma base de dados de
muito elevada qualidade caracterizadora do comportamento dinâmico da estrutura na sua fase
inicial.
Essa base de dados, para além de ter possibilitado desde logo uma identificação muito rigorosa
de frequências naturais, modos de vibração e coeficientes de amortecimento modais, com base
na aplicação do método convencional de “Peak Picking”[1], permitiu também posteriormente
colaborações científicas de grande interesse com as Universidades Católica de Lovaina
(Bélgica) [2] e de Aalborg (Dinamarca) [3] em termos de análise da eficiência de novos
métodos de identificação modal apenas baseada na medição da resposta ambiental.
748
SÍSMICA 2004 - 6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica
Neste contexto, o presente artigo apresenta uma reanálise dos dados colhidos nos ensaios
dinâmicos de recepção da componente atirantada da Ponte Vasco da Gama, tendo por base a
aplicação de um dos métodos mais recentes e poderosos de identificação “output-only” – o
método de identificação estocástica por sub-espaços – confrontando os resultados alcançados
por essa via com os anteriormente obtidos através da técnica convencional de “Peak-Picking”.
2. A PONTE E OS ENSAIOS DINÂMICOS DE RECEPÇÃO
A Ponte Vasco da Gama, em Lisboa, é possivelmente a estrutura mais espectacular associada à
realização da EXPO’98. A extensão total deste segundo atravessamento do rio Tejo é de
17300m, envolvendo três estruturas de transição, uma secção com 5km de comprimento em
terra e uma ponte contínua com 12300m de desenvolvimento. Esta ponte inclui uma
componente atirantada sobre canal de navegação, com um vão principal de 420m e três vãos
laterais de cada lado (62m+70,6m+72m), resultando um comprimento total de 829,2m (Figura
1). O tabuleiro da ponte tem uma largura de 31m e é formado por duas vigas laterais de betão
pré-esforçado, com 2,6m de altura, ligadas por uma laje de 0,25m de espessura e por vigas
metálicas transversais (em I) espaçadas de 4,42m. A ponte é contínua ao longo de toda a sua
extensão, encontrando-se o tabuleiro completamente suspenso à cota 52,5m através de dois
planos verticais de 48 tirantes ligados a cada torre. As duas torres, de configuração em H, têm
147m de altura acima de uma zona maciça na base, utilizada como protecção contra a colisão
de barcos.
Figura 1: Componente atirantada da Ponte Vasco da Gama
2.1. Ensaio de vibração ambiental
O ensaio de vibração ambiental baseou-se na utilização de 6 sismógrafos traixiais de 16 bit.
Dois destes sismógrafos foram utilizados como referências, permanentemente localizados na
secção 10 (Figura 2), 1/3 vão Norte de ambos os lados da ponte (montante e jusante). Os outros
quatro sismógrafos varreram o tabuleiro e as torres, utilizando um total de 29 secções de
medida. A gama esperada de frequências de interesse é muito baixa (0-1Hz). Por isso, o tempo
de aquisição escolhido em cada “set-up” foi de 16min, valor suficientemente elevado para
captar um número adequado de períodos de modos de baixa frequência. A frequência de
amostragem utilizada foi de 50Hz. Os sismógrafos funcionaram independentemente, após
terem sido programados e sincronizados através de um PC portátil. A fonte de excitação foi o
vento, cuja velocidade variou entre 1m/s e 22 m/s durante toda a campanha de medições. Deste
Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO
749
facto, resultaram naturalmente diferenças significativas de níveis de aceleração medidos e,
inevitavelmente, de qualidade dos dados adquiridos.
LISBOA
Oeste
27
26
1
P1
2
3
P2
4
5
P3
6
7
SETÚBAL
Este
29
28
8
PN
9
10
13
11 12 14 15
16
17
18
19
PS
20
21
P4
22
23 24
P5
25
P6
Figura 2: Pontos de medida utilizados na Ponte Vasco da Gama (componente atirantada)
2.2. Ensaio de vibração livre
Os resultados alcançados através do ensaio de vibração ambiental foram objecto de verificação
através de um ensaio de vibração livre. Este ensaio permitiu uma identificação rigorosa de
coeficientes de amortecimento modais a partir das respostas impulsivas medidas. A
identificação experimental de coeficientes de amortecimento modais é muito importante não só
por não existir qualquer abordagem analítica que possibilite a sua avaliação de modo fiável,
mas também porque eles têm uma grande influência sobre a resposta da ponte às acções
dinâmicas do vento ou dos sismos. A excitação impulsiva foi conseguida suspendendo uma
massa de 60t de um ponto do tabuleiro próximo do ponto 10 (Figura 2), montante, e libertandoa subitamente. As vibrações livres resultantes foram registadas durante 16min nas secções de
medida 10, 13 e 16. Este ensaio foi realizado sob baixa velocidade do vento (inferior a 2,5m/s),
por forma a garantir que os coeficientes de amortecimento modais representam efectivamente o
comportamento estrutural, sem influência de qualquer componente de amortecimento
aerodinâmico.
3. IDENTIFICAÇÃO “OUTPUT-ONLY” DE PARÂMETROS MODAIS
A extracção de parâmetros modais a partir da informação experimental colhida baseou-se em
dois métodos alternativos de estimação “output-only” de parâmetros modais: os métodos de
“Peak-Picking” e Identificação Estocástica em Sub-Espaços [4], implementados em rotinas de
cálculo em ambiente MATLAB disponíveis na FEUP.
3.1. O método de “Peak-Picking”
O método de “peak-picking” é o mais simples e popular dos métodos usados em Engenharia
Civil para estimar parâmetros modais de estruturas sob acções ambientais. O seu nome decorre
do procedimento utilizado para a identificação das frequências naturais a partir dos picos de
estimativas espectrais médias normalizadas abrangendo os diversos pontos de medida. A
identificação dos modos de vibração assenta, por seu turno, na obtenção de estimativas de
funções de transferência relacionando, no domínio da frequência, a resposta ambiental num
ponto de referência com a resposta nos restantes pontos de medida. As relações entre os valores
dessas funções de transferência, para cada frequência natural identificada, permitem identificar
750
SÍSMICA 2004 - 6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica
as componentes modais respectivas, sendo o correspondente sinal avaliado em função da
evolução da fase.
Embora este método pressuponha a existência de baixo amortecimento e de frequências
naturais bem separadas, alguns refinamentos do método foram entretanto introduzidos,
possibilitando a sua aplicação a situações mais complexas. Com efeito, a função de coerência
entre dois canais tende para a unidade na proximidade de frequências de ressonância, em
virtude do aumento da relação sinal-ruído nessas frequências. Consequentemente, uma
observação atenta das coerências pode facilitar a identificação de frequências naturais. Além
disso, os ângulos de fase dos espectros cruzados são também úteis, uma vez que devem
assumir variações de 180º nas frequências de ressonância. Um melhoramento adicional
consiste em observar os picos dos espectros correspondentes aos sinais semi-soma e semidiferença da resposta ambiental em ambos os lados do tabuleiro da ponte (montante e jusante),
de modo a separar os picos relativos a flexão vertical dos de torção, no caso de frequências
naturais bastante próximas. Contudo, uma violação das hipóteses de base (fraco amortecimento
e frequências naturais bem separadas) pode conduzir a erros. De facto, o método identifica
modos de deformação operacionais em vez de modos de vibração e, no caso de frequências
naturais próximas, tais modos de deformação operacionais serão a sobreposição de vários
modos. Outra desvantagem corresponde ao facto da selecção das frequências naturais poder
tornar-se um pouco subjectiva quando os picos do espectro não são muito claros, para além do
método não fornecer estimativas de coeficientes de amortecimento fiáveis.
3.2. O método de Identificação Estocástica por Sub-Espaços
Uma alternativa interessante e mais poderosa é o método de identificação estocástica em subespaços. Neste método, procede-se à identificação de um chamado modelo estocástico em
espaço de estado em tempo discreto, tendo por base a informação experimental obtida, em
termos de séries temporais ou de covariâncias. Um modelo dessa natureza pode ser expresso
sob a forma:
x k +1 = A x k + w k
(1)
y = Cxk + vk
k
em que y
k
é o vector caracterizador da resposta medida do sistema no instante k , x k é o
vector de estado, w k representa um ruído utilizado para a idealização da excitação ambiental,
bem como de perturbações e imprecisões da modelação, e v k um ruído caracterizador de erros
no sistema de medida e também da excitação ambiental. A matriz A , quadrada de dimensão n,
é a matriz de transição de estado que caracteriza completamente a dinâmica do sistema e C é a
matriz de saída ( l × n ). Assumindo que as l séries temporais da resposta ambiental medida são
convenientemente processadas por forma a constituir uma matriz de Toeplitz [4] das
covariâncias da resposta em relação a certos sensores de referência, pode efectuar-se uma
Decomposição em Valores Singulares desta matriz. Esta operação possibilita a decomposição
da matriz de Toeplitz no produto de duas matrizes com estrutura interna bem conhecida
(matrizes de observabilidade e de controlabilidade estocástica), das quais se pode destacar a
constituição das matrizes de estado A e C . Uma vez conhecidas estas matrizes, pode
efectuar-se a decomposição em valores próprios
Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO
751
A = Ψ Λ d Ψ −1
(2)
em que Ψ é a matriz quadrada de dimensão n que contém os vectores próprios complexos e
Λ d é a matriz diagonal contendo os correspondentes valores próprios em tempo discreto µ i .
As frequências naturais ω i e os coeficientes de amortecimento modais ξ i podem então ser
obtidos através das relações
µ i = e λi ∆t
λi , λ*i = −ξ i ω i ± j 1 − ξ i2 ω i
(3)
sendo λi um valor próprio em tempo contínuo e ∆t o incremento de tempo. Finalmente, os
modos de vibração vêm dados pela matriz complexa ( l × n )
V = CΨ
(4)
3.3. Identificação com base no ensaio de vibração ambiental (AVT)
A Figura 3 mostra, a título de exemplo, um espectro cruzado e uma função de coerência
relativos a duas séries temporais de aceleração. Este tipo de gráficos é de particular utilidade na
aplicação do método de “Peak-Picking”, método cuja aplicação ao presente caso se encontra
detalhadamente descrita na referência [5].
1.00
g2
Log
0.01
0.00
0.00
0.00
Hz
1.00
Figura 3: Espectro cruzado de acelerações verticais (preto/vermelho) e coerência associada
(cinzento/verde) entre os pontos 10 (jusante) e 15 (jusante)
Em relação à aplicação do método de identificação estocástica por sub-espaços, as matrizes de
covariância da resposta, de dimensão l, começaram por ser estimadas com base nas séries
temporais medidas, através da relação
∧
Ri =
1
N
N −1
∑y
k =0
yT
k +i
k
(5)
752
SÍSMICA 2004 - 6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica
sendo N o número total de amostras. Um caso típico de uma sequência de valores de uma auto∧
covariância (i.e. elemento diagonal de Ri ) para sucessivos valores do desfazamento temporal
i = 1 → 2400 pode observar-se na Figura 4. Esta evolução da covariância da resposta do
sistema, supostamente excitado por um ruído branco, é idêntica à de uma resposta impulsiva,
facto que aliás serve de base ao método de identificação estocástica assente em matrizes de
covariância. A Figura 4 mostra ainda estimativas espectrais obtidas por aplicação de FFTs.
g
Real
0.59
-0.52
0.00
s
960.60
0.00
s
300.00
0.00
Hz
g2
Real
0.02
-0.02
g2
Log
0.00
0.00
2.50
Figura 4: Dados ambientais medidos e processados. (Topo) séries temporais de aceleração
vertical (preto/vermelho) e transversal (cinzento/verde); (Meio) sequência de covariâncias da
resposta; (Em baixo) Estimativas espectrais.
Figura 5: Diagrama de estabilização obtido por aplicação do método de identificação
estocástica por sub-espaços
A Figura 5 mostra um exemplo de um diagrama de estabilização associado a um dos “set-ups”
de medida. Neste diagrama, a identificação das frequências naturais é efectuada, de forma fácil
e objectiva, através da localização dos pólos estáveis do sistema à medida que a ordem deste, e
consequentemente o número de pólos, cresce. O Quadro 1 resume, por seu turno, os valores
Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO
753
identificados, através do método de identificação estocástica por sub-espaços (SSI), de
frequências naturais e coeficientes de amortecimento modais, bem como dos desvios-padrão
associados aquelas estimativas. Complementarmente, faz-se também um confronto com as
frequências naturais anteriormente identificadas através do método de “Peak-Picking” (PP).
Quadro 1: Parâmetros modais identificados no ensaio de vibração ambiental (AVT) por
aplicação do método “peak-picking” (PP) e da identificação estocástica em sub-espaços (SSI)
Tipo de
AVT PP
AVT SSI
modo
f (Hz)
f (Hz)
ξ (%)
σ f (Hz) (*)
σ ξ (%) (*)
BT1
BV1
BV2
T1
0,298
0,302
0,005
0,341
0,339
0,001
0,437
0,458
0,001
0,471
0,468
0,001
0,572-0,624
BV3
0,651
0,649
0,003
T2
0,693-0,755
0,711
0,004
BV4
0,817
0,817
0,003
T3
0,895
0,917
BV5
0,985
0,987
0,005
(*) – desvios-padrão com base nos “set-ups” usados
1,47
0,52
0,44
0,43
0,61
0,39
0,31
0,22
0,72
1,09
0,44
0,45
0,50
0,17
0,74
0,23
Na Figura 6, apresentam-se representação gráficas 3D dos principais modos de vibração
identificados através do método SSI.
3.4. Identificação com base no ensaio de vibração livre
Os dois métodos de identificação modal “only-output” anteriormente referidos foram
igualmente aplicados às séries temporais colhidas no ensaio de vibração livre (FVT), tendo
conduzido às estimativas de frequências naturais e coeficientes de amortecimento modais
sumarizados no Quadro 2.
Quadro 2: Parâmetros modais identificados através do ensaio de vibração livre (FVT),
utilizando os métodos PP e SSI
Tipo de
FVT PP
FVT SSI
f (Hz)
modo
f (Hz)
ξ (%)
ξ (%)
BT1
BV1
BV2
T1
BV3
T2
BV4
T3
BV5
0,295
0,338
0,456
0,467
0,591
0,647
0,707
0,814
1,23
0,21
0,23
0,24
0,34
0,37
0,78
0,48
0,982
0,74
0,293
0,337
0,455
0,466
0,590
0,647
0,705
0,814
0,917
0,982
1,12
0,39
0,31
0,27
1,30
0,56
0,74
0,50
0,48
0,76
754
SÍSMICA 2004 - 6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica
Modo BT1
Modo BV1
Modo BV2
Modo T1
Modo BV3
Modo T2
Modo BV4
Modo BV5
Figura 6: Representação 3D dos principais modos de vibração identificados através do método
de identificação estocástica por sub-espaços (SSI)
3.5. Ensaio de vibração ambiental vs ensaio de vibração livre
É interessante comparar os parâmetros modais obtidos a partir dos ensaios de vibração
ambiental e de vibração livre, tendo por base o método de identificação estocástica em subespaços (SSI). Assim, os valores das frequências naturais e coeficientes de amortecimento
modais resultantes da aplicação deste método, anteriormente apresentados nos Quadros 2 e 3,
são agora coligidos no Quadro 4. Os modos de vibração são comparados quantificando a
correlação entre componentes modais identificadas a partir dos ensaios AVT e FVT, utilizando
para o efeito o indicador MAC (“Modal Assurance Criterion”) usado em análise modal. A
Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO
755
Figura 7 evidencia a similitude verificada entre os modos AVT e FVT. Da observação do
Quadro 4, torna-se clara também a proximidade de valores verificada em termos de frequências
naturais e coeficientes de amortecimento modais. Em geral, os coeficientes de amortecimento
são identificados com maior nível de incerteza. É sabido que eles variam com o nível de
vibrações registado e que uma componente de amortecimento aerodinâmico pode estar
presente nos ensaios AVT, em virtude de velocidades de vento relativamente elevadas medidas
em correspondência com alguns dos “set-ups”. Parece também que as frequências naturais
obtidas no ensaio de vibração livre são sistematicamente um pouco inferiores às identificadas
no ensaio de vibração ambiental.
Quadro 4: Comparação de parâmetros modais identificados através dos ensaios AVT e FVT,
utilizando o método de identificação estocástica em sub-espaços (SSI)
Tipo de
AVT SSI
FVT SSI
f (Hz)
modo
f (Hz)
ξ (%)
ξ (%)
BT1
BV1
BV2
T1
0,302
0,339
0,458
0,468
1,47
0,52
0,44
0,43
BV3
T2
BV4
T3
BV5
0,649
0,711
0,817
0,72
1,09
0,44
0,987
0,74
0,293
0,337
0,455
0,466
0,590
0,647
0,705
0,814
0,917
0,982
1,12
0,39
0,31
0,27
1,30
0,56
0,74
0,50
0,48
0,76
Figura 7: Valores do MAC (correlação de modos de vibração) entre os 8 modos AVT e os 10
modos FVT
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4. CONCLUSÕES
Este artigo apresenta uma reanálise dos dados colhidos nos ensaios dinâmicos de recepção da
componente atirantada da Ponte Vasco da Gama, tendo por base a aplicação de um dos
métodos mais recentes e poderosos de identificação “output-only” – o método de identificação
estocástica por sub-espaços – confrontando os resultados alcançados por essa via com os
anteriormente obtidos através da técnica convencional de “Peak-Picking”. Da análise dos
resultados obtidos, podem retirar-se, em particular, as seguintes conclusões:
• Apesar dos níveis de vibração registados nos ensaios efectuados serem muito baixos,
mesmo sob a actuação de ventos de velocidade significativa, foi possível identificar
um elevado número de modos de vibração numa gama de frequências muito baixa (01Hz);
• Os resultados da identificação estocástica em sub-espaços confirmaram os resultados
anteriormente obtidos com a técnica de “peak-picking”, quer em termos de
frequências naturais, quer de modos de vibração, possibilitando todavia um tratamento
da informação experimental mais sistemático e objectivo;
• A aplicação do método de identificação estocástica em sub-espaços à base de dados
decorrente do ensaio de vibração ambiental proporcionou a obtenção de estimativas
de coeficientes de amortecimento modais bastante próximas das alcançadas com o
ensaio de vibração livre, facto que constitui uma virtualidade de particular interesse
daquele método;
• Verifica-se também uma excelente correlação ao nível de frequências naturais e de
modos de vibração identificados pelo método de identificação estocástica em subespaços tendo por base os dados experimentais decorrentes dos ensaios de vibração
ambiental (AVT) e de vibração livre (FVT).
5. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem toda a colaboração do Prof. Guido De Roeck (Universidade Católica de
Lovaina, Bélgica) e do Dr. Bart Peeters (LMS International, Bélgica) no âmbito da presente
investigação.
6. REFERÊNCIAS
[1] Cunha, A.; Caetano, E. & Delgado, R. – “Dynamic Tests on a Large Cable-Stayed Bridge.
An Efficient Approach”, Journal of Bridge Engineering, ASCE, 2001, Vol. 6, Nº1, p. 54-68.
[2] Peeters, B.; De Roeck, G.; Caetano, E. & Cunha, A. – “Dynamic study of the Vasco da
Gama Bridge”, in International Conference on Noise and Vibration Engineering, ISMA 2002,
Leuven, Belgium, 2002.
[3] Cunha, A.; Caetano, E.; Brincker, R. & Andersen, P. - “Identification from the natural
response of the Vasco da Gama Bridge”, in International Modal Analysis Conference,
XXII-IMAC, Deaborn, Michigan, USA, 2004.
[4] Peeters, B. - System Identification and Damage Detection in Civil Engineering. Ph.D.
Thesis, Katholieke Universiteit Leuven, 2000.