SERÁ REALMENTE VERDADE QUE A LUZ SE
PROPAGA COM DIFERENTES VELOCIDADES NOS
DIFERENTES MEIOS ÓPTICOS?
Autor: Ricardo Soares Vieira
§1. Apresentação.
Este artigo tem como objetivo demonstrar que é possível, teoricamente, que a
velocidade da luz em qualquer meio de propagação seja a mesma que a sua
velocidade no vácuo, ou seja a velocidade c, cujo valor é de aproximadamente
300.000 Km/s. Pois como será visto, todos os fenômenos da óptica também podem
ser explicados admitindo-se tal hipótese, e estes fenômenos, tal como explicados
atualmente, não permitem uma conclusão definitiva de que a velocidade da luz deva
variar de um meio óptico para outro.
Porém, se esta é ou não uma hipótese verdadeira, eu não discuto aqui, pois
somente a experiência poderá nos proporcionar uma conclusão segura. Mas devo
alertar que esta experiência a qual me refiro, deve ser de tal forma, que meça o
tempo gasto pela luz para percorrer um dado trajeto, sob diferentes meios ópticos, de
uma forma direta (i.e., com relógios), e não por padrões de interferência, pois que do
contrário, o corolarium da experiência estará sujeito a outras interpretações que
resulte naquele padrão de interferência, e que não comprove portanto de forma
conclusiva que a velocidade da luz seja dado por aquele valor encontrado.
No artigo que se segue, vários fenômenos serão discutidos. Será demonstrado
por philosophia e matemática, que esta hipótese é consistente. Uma nova lei ou
princípio da óptica será também demonstrado, o que considero de muita importância
pois vem complementar a lei de Snellius-Descartes. Por fim, peço ao leitor que
acompanhe este artigo não com os olhos de desconfiança, análogo ao que teria à
quem dissesse que a terra é quadrada (pois que a primeira vista, a hipótese da aqui
discutida pode ser comparada a tal absurdo), mas sim com os olhos de quem aceita o
diálogo e a introdução de novas hipóteses coerentes, como Sócrates, independente
desta hipótese se revelar verdadeira ou não.
§2. Definições
Para dar inicio efetivamente ao assunto, é preciso que o leitor tenha o
conhecimento de certas definições que serão utilizadas neste artigo. São elas:
Definição I
Chamo de velocidade real da luz, a qual represento por c, à velocidade da luz,
quando medida com réguas e relógios colocados no mesmo meio onde ela se propaga.
E de trajetória real, ao trajeto que a luz efetivamente percorre.
Definição II
E chamo de velocidade virtual da luz, que represento por c’, àquela velocidade
que um observador encontra quando a mede a partir de um meio óptico diferente. E
de trajetória virtual, à trajetória que a luz aparenta estar percorrendo, quando o
observador a olha a partir de um meio óptico diferente.
Como será demonstrado mais adiante, considero que a luz se propaga em
qualquer meio com a mesma velocidade c, mas que, se observada por alguém situado
em um meio óptico diferente do qual a luz se propaga, ele encontraria uma
velocidade virtual, de valor diferente que, ao meu ver, é responsável pela formação
das imagens virtuais dos corpos pela refração, como demonstro no próximo capítulo:
§3. Sobre como determinar a imagem de um corpo através da lei de
movimento da luz.
O movimento de um raio de luz, que por exemplo foi emitido por um objeto em
repouso, pode ser representado pela equação
p = c ⋅ Δt ,
Onde Δt é o tempo gasto pela luz ao percorrer o trajeto objeto-observador (p).
Suponha então que o observador está situado no mesmo meio de propagação,
logo, para este observador, a luz possuirá a mesma velocidade c. Em virtude deste
fato, o observador pode deduzir que a imagem do objeto será projetada a uma
distância c ⋅ Δt de seus olhos, na direção do raio de luz, ou seja, que a imagem do
objeto estará localizada exatamente na sua posição real.
Mas se o observador, por algum motivo, encontrasse que a luz se propaga
aparentemente com uma velocidade diferente, tal qual creio que ocorra na refração,
obviamente a imagem do objeto não será projetada na mesma posição que antes, mas
sim, encontraríamos uma imagem virtual do objeto, cuja distância será dado pelo
produto do tempo gasto no trajeto, pela velocidade da luz observada (virtual) e cuja
direção seria tangente ao raio de luz que lhe atingiu os seus olhos. Assim é que, se a
velocidade observada varia de uma forma qualquer, a posição virtual do objeto será
dada pela equação:
p' =
Onde o colchete em c ' t
∫
t
0
c ' t dt
significa que c’ é uma função de t (não foi utilizado
parênteses para não se confundir com o produto de c por t).
§4. A lei de Snellius-Descartes.
Há muito tempo se sabe que a luz, ao atingir obliquamente uma superfície
divisora de dois meios ópticos, sofre um desvio na sua direção de propagação.
Fenômeno este que chamamos de refração da luz. Como as experiências comprovam,
salvo o caso da refração extraordinária, a luz refratada se mantém no mesmo plano
da luz incidente. O desvio que a luz sofre devido à refração, foi deduzido
experimentalmente por Snellius e teoricamente por Descartes. Sua importância é tão
grande na óptica que ganhou status de lei, que pode ser definida do seguinte modo:
“Para determinado par de meios ópticos, a projeção da luz incidente
na superfície divisora está para a projeção da luz refratada nesta mesma
superfície numa razão constante”
Matematicamente, a função matemática “projeção” é definida pelo produto do
comprimento de um vetor pelo co-seno do ângulo obtuso que este forma com o eixo
no qual se quer projetar; no nosso caso, teríamos o produto do comprimento do raio
de luz pelo co-seno do ângulo que este forma com a superfície; porém, como o
objetivo da lei de Snellius-Descartes é de apenas relacionar as direções dos raios de
luz, incidentes e refratados, o comprimento do raio de luz que se projeta não é
importante, basta que, para traçar os ângulos de incidência e de refração por meio de
desenhos, escolhemos os comprimentos dos respectivos raios como iguais.
Assim, matematicamente a lei de Snellius-Descartes pode ser escrita por:
cos iˆ
=n
cos rˆ
A figura ilustra o desvio dos raios de luz devido a refração:
cosrˆ
iˆ
Superfície
rˆ
cos iˆ
Nos livros, esta lei é expressa de uma forma diferente: os ângulos de incidência
e de refração geralmente são expressos em relação a uma reta perpendicular à
superfície separadora dos meios, que se denomina “reta normal”, e quando se medem
os ângulos a partir da normal, a lei de Snellius-Descartes aparece definida pela razão
entre os senos dos ângulos de incidência e de refração e não pelo co-seno como na
equação acima. Porém, como na minha opinião a óptica se torna mais simples
quando medimos os ângulos de incidência e de refração em relação à superfície (ou a
tangente desta superfície no ponto onde a luz incide, no caso dela ser curva), optei
por esta última definição, e é assim que ela estará definida neste artigo, pela razão
entre os co-senos dos ângulos obtusos que o raio de luz incidente e refratado forma
com a superfície divisora dos meios.
§5. A questão da velocidade da luz nos diferentes meios ópticos.
Mas porque a refração desvia a luz de sua trajetória? Esta questão já estava na
mente de Descartes, Newton, Huygens entre outros grandes nomes que estudaram
óptica. E ao que parece, eles chegaram a um consenso comum: o desvio da luz é
provocado por uma alteração na sua velocidade, ao passar de um meio óptico para
outro. Mas qual era esta alteração, aí já não havia consenso algum...
Para Newton (e também Descartes, entre outros), a velocidade da luz nos
meios mais densos, deveria ser maior. Pois segundo ele, a luz era constituída por
partículas muito pequenas e leves, e quando estas partículas atingiam a superfície
divisora de dois meios ópticos, ficavam sujeitos a uma força (chamada por ele de “vis
refractiva”). Esta força deveria agir apenas na direção perpendicular à superfície
divisora, com o sentido do meio menos denso para o mais denso. Deste modo, como a
aceleração gerada por uma força possui a mesma direção e sentido da mesma, apenas
a componente perpendicular da velocidade da luz, em relação à superfície, seria
modificada, enquanto que a componente paralela de seu movimento se manteria
inalterada. Este fato provocaria um desvio na trajetória a luz, afastando-a da
superfície caso a luz passasse do meio menos denso para o mais denso (e.g., do ar
para a água) e vice-versa.
Assim, Isaac Newton fez uma bela dedução da lei de Snellius-Descartes através
de leis mecânicas, pois que tal força, como descrita, nos leva diretamente a essa lei.
G
F
G
vi
G
vr
Refração Segundo Newton
Mas enquanto isso, outros cientistas, principalmente C. Huygens, acreditava no
oposto: que a velocidade da luz era menor nos meios mais densos. Para Huygens, a
luz era apenas o movimento de um uma substância muito tênue e elástica que
preenchia todo universo, a qual denominou-se éter, ou seja, a luz era uma onda do
éter, assim como o som é uma onda no ar. Huygens demonstrou que se uma onda é
desviada ao passar de um meio óptico para outro, a sua velocidade de propagação
deve ter sido aumentada caso a frente de onda tivesse se aproximado da superfície, e
diminuída no caso oposto. Como a luz, ao passar dos meios menos densos para os
mais densos, sofre um desvio tal que se afasta da superfície, Huygens concluiu deste
fato que a velocidade da luz nos meios mais densos deveria ser menor.
G
vi
G
vr
Refração Segundo Huygens
Estes dois grandes físicos, não viveram o suficiente para ver quem tinha razão,
mas muito tempo depois, confirmou-se (pensavam) através dos trabalhos de Young e
Fresnel que a luz realmente era uma onda, e que portanto a teoria de Huygens era a
correta (apesar deles comprovarem que a luz é uma onda transversal e não
longitudinal como supunha Huygens).
E depois, as experiências dos espelhos girantes de Focault deram mais ênfase a
essa teoria, onde mediu-se a velocidade da luz através da comparação de duas
imagens sobre um anteparo, que se formaram respectivamente pela passagem da luz
em um tubo, ora com água, ora sem. Somando-se a estes fatos a teoria de Maxwell,
de onde concluiu-se que a luz consistia em uma onda de campos eletromagnéticos,
não havia quem ousasse duvidar que a luz era uma onda, e que portanto a sua
velocidade era menor nos meios mais densos.
Porém, tempos depois, os trabalhos de Planck, Einstein, Louis De Broglie,
Compton etc., permitiu que evidenciássemos características corpusculares na luz, o
que colocou um várias dúvidas na natureza de sua constituição e movimento.
Enfim, como se nota, a questão da velocidade da luz nos diferentes meios
ópticos é antiga e já gerou várias controvérsias... Mas estas duas hipóteses não
esgotam todas as possibilidades, há uma alternativa diferente que também permite
explicar os desvios da luz ao refratar-se: A saber a hipótese abaixo:
“A luz, ao atingir a superfície divisora de dois meios, sofre a ação de uma
força não aceleradora, mas diretora, ou seja, que não modifica a
magnitude da velocidade da luz, mas apenas a sua direção.”
Tal qual a força magnética que age em um corpo carregado eletricamente em
movimento.
Esta força deve ainda atuar de maneira diferente em cada raio de luz de cor
diferente, pois que cada cor, ao refratar-se separadamente, apresenta um desvio
característico.
cosrˆ
iˆ
rˆ
Superfície
cos iˆ
Refração Segundo Esta Teoria
§6. O dioptro plano e algumas experiências que eu fiz sobre o
assunto.
Quando determinado sistema é composto por dois meios ópticos diferentes, lhe
damos o nome de Dioptro; e no caso especial onde a superfície que os delimitam é
plana, chamamos o sistema de dioptro plano.
Com os conhecimentos que adquirimos sobre a refração, fica claro que, se um
objeto (e.g., uma pedra) for observado por um observador em outro meio óptico, a
posição observada do objeto, não precisa a priori, ser igual a sua posição real. Com
efeito, devido a lei de Snellius-Descartes, realmente ela não o é.
Assim, nasce naturalmente o desafio de relacionar matematicamente as posições
reais e virtuais dos objetos quando observados em meios ópticos diferentes. Alias,
este é a função da Dioptrica.
Porém, a óptica atual não responde precisamente a esta questão, pois não é
possível, somente através da lei dos ângulos de Snellius-Descartes, deduzir a posição
virtual de um objeto quando nos é dada a sua posição real e os meios ópticos
envolvidos. Através de uma interpretação errônea (ao meu ver), os livros didáticos
costumam dizer simplesmente que a posição do corpo não pode ser determinada com
precisão, devido ao fato do dioptro plano ser astigmático, e por isso, criar uma
caustica óptica, tornando qualquer ponto em uma mancha. Mas contesto estas
declarações, pois em nenhum momento na minha vida, quando observava um
aquário, uma piscina ou um rio, eu vi os objetos manchados ou desfocados e confusos,
muito pelo contrário, me pareciam às vezes até mais nítidos.
Através de varias experiências feitas em um aquário com água, pude comprovar
que, a posição virtual dos objetos nele submersos, depende do ângulo em que nos
olhamos estes corpos, em relação à superfície que separa os dois meios na qual
fazemos a nossa observação. Percebi também que a imagem somente se aproxima da
superfície da água, mas não na minha direção, o melhor, na direção que eu a
observava. Constatei este fato colocando uma régua n’água:
Estando em uma piscina um pouco rasa, me deitei de modo que meus olhos
ficassem bastante rentes à superfície da água e então coloquei uma régua na vertical,
ou seja, na direção perpendicular à superfície na qual eu observava; E assim, pude
perceber que as suas unidades de medidas da régua submersa eram bem menores, e
que, quando a inclinava para um dos lados, em paralelo ao plano do meu rosto, a via
se entortar neste mesmo plano, mas em nenhum momento a régua ficou mais
próxima ou afastada de mim.
Colocando a régua no fundo da piscina, na horizontal, ou seja, paralelamente à
superfície d’água, eu percebi uma diferença quando a régua estava na direção dos
meus olhos e quando estava na perpendicular desta direção: Na segunda direção, a
régua parecia ter o mesmo comprimento que ela tinha fora d’água, embora estava um
pouco curvada, com os seus extremos mais próximos da superfície do que o seu
centro, que por sua vez estava na direção de meus olhos. E na primeira direção, ela
me pareceu ter um comprimento bem maior; fiquei surpreso com esta observação, até
que percebi que o fundo da piscina, estava inclinado, com os seus pontos distantes
mais próximos da superfície, e então, imediatamente quando percebi este fato, me
convenci que a régua tinha o mesmo comprimento, mas também estava inclinada
conforme o fundo da piscina, obviamente, antes de perceber este fato, ocorreu uma
ilusão de óptica, pois que o meu cérebro interpretou a régua como se ela estivesse
paralela à superfície, e no momento que percebi que não era isso o que realmente
ocorria, percebi claramente que a régua tinha o mesmo comprimento do que na
direção anterior, e apresentava a mesma curvatura, estando os seus pontos mais
distantes, mais próximos da superfície.
Estes fatos verifiquei em diversos ângulos, varias vezes e pude me convencer
absolutamente do que declarei acima, e qualquer um que repetir estas experiências se
convencerá disso.
Como disse, eu observei que a régua na horizontal me parecia curvada, este
efeito pode ser melhor apreciado se olharmos diretamente no centro da régua, com os
olhos próximo à superfície da água. Se o leitor fizer esta experiência, ele verificará
que a imagem será tão nítida quanto permite a transparência da água, e concluirá
que não há qualquer caustica, e que portanto, as imagens dos corpos submersos são
bem definidas, podendo logo serem deduzidas matematicamente.
Um outro efeito interessante que observei foi o fato de que, ao olhar um objeto
submerso com meus olhos próximos da superfície da água, porém ainda no ar, estes
objetos pareciam estar mais próximos da superfície, mas quando submergia os meus
olhos, eu os via mais distantes do que antes, como se eu os tivesse observado numa
piscina sem água. Pude me convencer totalmente disso com um arco circular, pois
que, quando eu o colocava na vertical, eu observada que a sua forma adquiria a
imagem de uma elipse, com o eixo vertical menor, mas quando eu submergia os meus
olhos, eu o via completamente circular, independente da direção que o observava. No
que diz respeito às cores dos corpos, não percebi nenhuma alteração apreciável, a não
ser uma leve dispersão nos contornos dos corpos...
Diante de todas essas experiências, me convenci de que no dioptro plano, o
desvio da imagem dos corpos, quando observados por alguém em um outro meio
óptico, se dá apenas em direção à superfície, mas não na direção do observador (caso
este não coincida com a direção perpendicular da superfície). Porém, em alguns livros
didáticos, encontra-se que a posição do objeto se aproxima tanto da superfície quanto
do observador.
Tal argumento era defendido através da projeção de dois raios de luz, que
partiam de um ponto real na água, se refratavam na superfície se afastando dela e
convergiam para um determinado ponto que era considerado como a posição virtual
do objeto. Porém, escolhendo-se outros raios de luz, o ponto em que eles convergiam
após a refração correspondia a outro ponto, fato este que permitia a conclusão
errônea de que a imagem do objeto se tornava uma mancha.
Obviamente, o erro desta dedução está no princípio, em si injustificável do
ponto de vista físico, de que são necessários dois raios de luz para se determinar a
imagem de um ponto. Este princípio pode ser aplicado à reflexão, mas não a refração,
pois que nesta última, os raios não convergem para um ponto, mas sim para vários
pontos, dependendo de quais raios de luz escolhemos.
Assim de fato é, pois se escolhermos dois raios cuja abertura angular seja
grande, o ponto onde eles convergirão não corresponderá ao ponto onde o observador
vê a imagem projetada, pois que somente um dos raios lhe atingirá os olhos; e quanto
menor for a abertura angular dos raios escolhidos, mais próximo da perpendicular da
superfície eles convergirão, logo, se quisermos utilizar dois raios para traçar a imagem
virtual de um ponto, devemos escolher dois raios muito próximos, a fim de obter uma
posição também muito próxima da imagem, tal qual a obtida pela experiência.
De outro modo, cairíamos em inevitavelmente em erros, como os que estão
presentes em alguns destes livros didáticos.
Entre o que diz os livros, e o que a experiência me proporcionou, decidi optar
pelas observações das minhas experiências, e será esta linha de raciocínio que eu
continuarei a utilizar neste artigo:
“A imagem virtual de um ponto se forma em um eixo perpendicular à
superfície, cuja direção passa pelo ponto real. Por sua vez, a posição deste
ponto no eixo supra, é definida pela direção do raio de luz refratado.”
§7. Sobre como deduzir a posição virtual de um corpo através da sua
posição real e os índices de refração dos meios em questão.
Suponhamos então que a figura abaixo represente um aquário: a linha
horizontal é a superfície da água, o ponto p é a posição real de uma pedra, e o ponto
p’, a sua posição virtual, que é vista pelo observador no ar, através do encontro da
projeção do raio refratado na perpendicular da superfície que passa pelo ponto real p.
A figura abaixo representa um dioptro plano:
x
rˆ
iˆ
H’
p’’
p’
H
Vamos observá-la e então relacionar matematicamente as posições real e virtual
do objeto. Facilmente chegamos a esta relação, sendo a função tangente definida pela
razão entre o cateto oposto pelo cateto adjacente do ângulo escolhido, podemos
escrever:
tan iˆ =
p
x
tan rˆ =
p'
x
Assim, eliminando x nas duas equações encontramos finalmente:
p ' tan rˆ
=
p
tan iˆ
Porém, como esta dedução foi baseada somente na geometria, em nada ela
justifica a hipótese aqui apresentada de que a velocidade da luz é a mesma nos
diferentes meios ópticos; Para comprovar esta hipótese é necessário relacionar os
pontos p e p’ através das equações de movimento da luz, ou seja, para que a hipótese
da invariância da velocidade da luz nos diferentes meios ópticos seja correta, ela tem
que satisfazer a lei das tangentes, dada acima, caso contrário ela não resistiria aos
fatos observados. Mas para comprovar a veracidade dessa hipótese, é necessário antes
postular o seguinte teorema:
“O tempo gasto pela luz ao percorrer o seu trajeto real é igual ao tempo
gasto por ela ao percorrer um trajeto virtual qualquer”.
Ora, é fácil de se convencer da veracidade deste teorema (que deve ser tido
como uma premissa), pois que o trajeto virtual não passa de uma projeção
simultânea do movimento real da luz, do que decorre, devido a esta simultaneidade,
a igualdade dos tempos.
A par desta premissa, fica claro que, se a hipótese da invariância da velocidade
da luz nos diferentes meios ópticos for correta, então o comprimento de H e H’, que
refere-se respectivamente ao caminho real e virtual da luz, devem estar um para o
outro na mesma proporção em que os co-senos dos ângulos de incidência e de refração
estão um para o outro (lei de Snellius-Descartes), uma vez que o tempo gasto pela
luz ao percorrer o trajeto real é igual ao tempo gasto por ela no trajeto virtual. E
realmente, esta proporção é correta, como facilmente pode-se provar escrevendo H e
H’ através de:
H =
x
cos iˆ
H'=
x
cos rˆ
Que, por eliminação, nos leva diretamente à:
H
cos rˆ
=
=n
ˆ
H ' cos i
Onde n corresponde aqui ao índice relativo de refração da água para o ar.
Mas para garantir diretamente a veracidade desta hipótese, vamos deduzir a
“lei das tangentes” diretamente pelas leis de movimento da luz: Como vimos
anteriormente, a posição virtual do objeto p’, pode ser deduzida através da
velocidade da luz na água e do tempo gasto por ela e ao percorrer o trajeto objetoobservador, com o auxilio, é claro, da lei dos ângulos de Snellius-Descartes.
Sendo assim, a luz vai percorrer o trajeto real H, com uma determinada
velocidade c (cujo valor não faremos nenhuma insinuação a priori), gastando um
determinado intervalo de tempo Δt , que pode ser escrito como:
Δt =
p
H
=
c
c ⋅ sen iˆ
(1)
Do mesmo modo, o observador verá a luz vai percorrer o trajeto virtual H’,
com uma determinada velocidade c’ (cujo valor também não faremos nenhuma
insinuação a priori), gastando um determinado intervalo de tempo Δt ' , tal que:
Δt ' =
p'
H'
=
c'
c ' ⋅ sen rˆ
(2)
Atendendo agora ao principio da simultaneidade dos tempos “reais” e
“virtuais”, podemos igualar as equações (1) e (2), no que resulta:
p
c ⋅ sen iˆ
=
p'
c ' ⋅ sen rˆ
→
p'
c ' sen rˆ
=
p
c sen iˆ
(3)
Deste modo, para chegarmos na lei das posições (ou lei das tangentes, como
preferir), é necessário que a razão da velocidade real da luz, pela sua velocidade
virtual, seja igual a razão dos co-senos dos ângulos de incidência e de refração, ou
seja, que a lei de Snellius-Descartes possa ser escrita pela razão entre as velocidades
real e virtual da luz:
cos iˆ
c'
=
=n
cos rˆ
c
Pois substituindo este valor, encontramos a lei das posições:
p ' tan rˆ
=
p
tan iˆ
Que é a mesma que foi deduzida anteriormente pela geometria, comprovando
assim a veracidade da hipótese aqui levantada.
Esta lei, no caso limite em que o ângulo de incidência é perpendicular à
superfície, fornece o seguinte valor:
p
=n
p'
Neste caso, é fácil de se convencer, de que a razão dos trajetos reais e virtuais
que a luz percorre, ou aparenta percorrer, é igual a razão obtida pela lei de SnelliusDescartes, e sendo este trajeto os próprios valores de p e p’, chega-se ao resultado
acima, confirmando esta equação. E seria oportuno comentar que a mesma está em
pleno acordo com as experiências que fiz, além de vários fenômenos ópticos poderem
ser explicados mais facilmente através dela; como posteriormente demonstrarei em
alguns exemplos.
§8. Sobre um ponto de vista alternativo que torna a lei das tangentes
compatível com a óptica atual.
Não posso deixar de salientar neste momento, que o raciocínio apresentado aqui
não comprova conclusivamente que a velocidade da luz seja a mesma nos diferentes
meios ópticos, mas sim, apenas que a razão das velocidades real e virtual da luz, em
dado um par de meios ópticos, é igual a razão entre os co-senos dos ângulos de
incidência e de refração, tal qual obtida pela lei de Snellius-Descartes, embora a
hipótese da invariância da velocidade da luz na refração seja bastante convincente
depois desses fatos...
Podemos antes admitir que a velocidade da luz realmente varie nos diferentes
meios ópticos, conforme nos ensinam nas escolas e nos livros pela óptica ordinária,
mas ao admiti-la, teremos que considerar que a velocidade virtual da luz também
sofre uma alteração igual àquela que a luz sofre ao incidir no meio, caso contrário,
não iremos obter as posições dos objetos pela lei das posições (o que foi comprovada
pela geometria e está de acordo com as experiências).
Assim, se as experiências realmente comprovam que velocidade real da luz na
água realmente for
3
4
c (o que é bem possível, caso as experiências realizadas neste
sentido terem sido feitas de tal forma que não deixassem margens para novas
interpretações de seus resultados) então a sua velocidade virtual deverá ser
valor, ou seja,
9
16
3
4
deste
c , o que equivale dizer que a velocidade virtual da luz
corresponderá ao produto da velocidade da luz no vácuo pelo quadrado do índice de
refração do meio na qual ela é observada (neste ponto, gostaria de agradecer ao Sr.
Itamar Itxe).
Esse resultado pode ser encontrado facilmente:
Vamos chamar de c a velocidade da luz no vácuo, de c’ a velocidade real da luz
em um meio óptico cujo índice de refração seja n e por c” a velocidade virtual da luz,
ou seja, aquela encontrada por um observador que mede a velocidade da luz naquele
outro meio cujo índice de refração é n.
Na óptica tradicional, considera-se que a velocidade da luz é menor nos meios
mais densos do que no vácuo, de modo que podemos escrever a lei de SnelliusDescartes através da razão entre a velocidade incidente da luz, pela sua velocidade
após a refração:
c'
=n
c
Mas vimos aqui, que a lei das tangentes requer que as velocidades real e virtual
estejam na mesma razão, uma em relação à outra, ou seja:
c"
=n
c'
Igualando essas duas equações, vamos encontrar:
c"
= n2
c
Ou seja, a velocidade virtual da luz estará para a velocidade da luz no vácuo
numa dada razão que é o quadrado do índice de refração do meio na qual a luz se
propaga.
Porém, na minha opinião a igualdade dessas duas equações acima, é uma
incrível coincidência, que deveria ocorrer para todos os meios ópticos, e às vezes,
penso como pode existir algo na obra do Grande Criador que seja apenas fruto de
mera coincidência...
E também, o fato ao qual me referi nas experiências que fiz, em que um
observador não encontra diferença alguma na distância dos corpos quando ele se
encontra no mesmo meio óptico do corpo observado, fala em favor da hipótese da
invariância refrativa da velocidade da luz, pois que se a luz realmente modificasse a
sua velocidade, então deveríamos observar que o comprimento dos corpos na água,
mesmo quando medidas a partir da água, se tornassem diferentes do seu
comprimento real, o que pode ser demonstrado pelas equações de movimento da luz,
em conjunto com o método de se obter a imagem dos corpos a partir dessas equações.
Eu poderia formular este artigo simplesmente com o tema “Sobre a relação
existente entre as velocidades real e virtual da luz”, mas optei pela hipótese da
invariância refrativa da velocidade da luz porque foi a partir dela que deduzi todos
esses resultados, porque ela se apresentou teórica e matematicamente consistente e
por fim, porque ninguém antes tinha desenvolvido tal hipótese, logo, não poderia
deixar de apresentar algo tão interessante...
De qualquer forma, a questão da velocidade da luz não é tão simples assim.
Mesmo se as experiências supra mencionadas comprovassem definitivamente que a
luz apresenta uma velocidade menor nos meios mais densos, esse resultado apenas
comprovaria que a velocidade média da luz é menor nos meios mais densos, e não a
sua velocidade real (neste ponto, também tenho que agradecer ao Sr. Hélio Ricardo
Carvalho). Explico: em todas as teorias citadas, inclusive esta, tratamos os meios de
propagação como um continuum, mas sabemos que tais meios são compostos por
átomos e moléculas, de modo que entre uma molécula e outra, há somente vácuo,
logo, em qualquer meio, a luz se propaga in vacuo, e portanto com a velocidade c.
Assim, mesmo que as experiências demonstrem que a velocidade média da luz
realmente é menor nos meios do que no vácuo, esta diferença só poderá resultar de
uma interação entre a luz e as moléculas desse meio, mas a luz ainda sim, se
propagará entre uma molécula e outra com a velocidade c. Por exemplo: supondo que
as moléculas absolvam e emitam a luz que lhes atingem, obviamente deve-se haver
um certo intervalo de tempo para que essa interação ocorra, e isso acarreta numa
diminuição da velocidade média da luz. É interessante notar que através dessa
“teoria das absorções/emissões”, obtemos uma “versão corpuscular” do princípio de
Huygens (esta interessante propriedade também me foi apresentada pelo Sr. Hélio R.
Carvalho), pois que cada molécula se comportaria realmente como uma nova fonte de
luz... Porém, há outras hipóteses: podemos antes supor que a luz sofre apenas um
desvio ao passar próximo de cada molécula, o que a faria percorrer um trajeto em
zigue-zague, diminuindo assim sua velocidade média; Finalmente, pode-se supor que
a luz não seja influenciada pelas moléculas a não ser na fronteira de separação dos
meios, ou seja, que a luz simplesmente atravessa as moléculas sem modificar sua
velocidade (depois dos trabalhos de Niels Bohr sobre a estrutura atômica e o processo
de absorção/emissão da luz pelos átomos, percebe-se que esta hipótese talvez seja
possível), então a velocidade média da luz corresponderia a sua velocidade real, e a
hipótese apresentada nesta teoria seria válida em toda a sua plenitude...
§9. A refração descrita através das “velocidades-componentes” do
movimento da luz.
A figura abaixo ilustra a refração através das velocidades-componentes da luz:
G
wx
G
v
iˆ
G
vy
Superfície
rˆ
G
w
G
vx
G
wy
Uma vez considerando a hipótese de que a velocidade da luz é independente do
meio de propagação, ou seja, considerando que a luz ao refratar-se apenas sofre um
desvio angular, sem com isso modificar a sua velocidade, podemos deduzir o que
ocorre com as suas velocidades-componentes.
Assim, chamando de v e w o módulo das velocidades da luz antes e depois da
refração, respectivamente, podemos escrever:
v = vx 2 + vy 2
,
w = w x 2 + wy 2
Onde o índice x refere-se à velocidade-componente paralela a superfície refrativa
e o índice y, a velocidade-componente perpendicular a esta.
Analisando a figura acima, podemos escrever as velocidades-componentes da
seguinte forma:
vx = v ⋅ cos iˆ
vy = v ⋅ sen iˆ
w x = w ⋅ cos rˆ
wy = w ⋅ sen rˆ
Logo, verificamos que as velocidades-componentes de antes e depois da refração
estarão relacionadas por:
cos rˆ
wx
,
=
vx
cos iˆ
wy
vy
=
sen rˆ
sen iˆ
Observe que chegamos a essas relações apenas através da geometria, sem
considerar qualquer teoria sobre a luz. Mas, como nos comprovam as experiências,
sabe-se que a razão dos co-senos dos ângulos de incidência e de refração é uma
constante (n) para um dado par de meios ópticos, sendo assim, a razão entre as
velocidades-componentes vx e wx, ou seja, as velocidades-componentes paralelas à
superfície, estarão uma para a outra numa mesma constante, para cada par de meios,
sendo esta razão independente do ângulo de propagação da luz. Essa propriedade nos
permite escrever:
w x = n ⋅ vx
Uma vez ciente desta relação, podemos relacionar as componentes-velocidades
vy e wy, ou seja, as componentes perpendiculares à superfície do movimento da luz,
antes e depois da refração:
Atendendo à igualdade entre v e w, e levando em conta a relação recém
encontrada, teremos:
w y 2 = v x 2 + vy 2 − v x 2 ⋅ n 2
Evidenciando vx2:
wy 2 = vx 2 ⋅ (1 − n 2 ) + vy 2
E agora, dividindo a equação por wy2, a fim de obter a relação desejada
encontraremos:
wy 2
vy 2
vx 2
= 2 ⋅ (1 − n 2 ) + 1
vy
Analisando novamente a figura, encontramos pela geometria que a razão entre
vx e vy corresponde ao inverso da tangente do ângulo de incidência, logo vamos
finalmente obter:
wy
vy
= 1+
(1 − n 2 )
tan iˆ
2
;
Que relaciona as velocidades-componentes perpendiculares à superfície na
refração da luz.
Observe que a razão entre as velocidades-componentes perpendiculares à
superfície refratora, diferentemente da razão entre as velocidades-componentes
paralelas, depende também do ângulo de incidência.
§10. Formulação ondulatória desta teoria.
Não foi sem propósito que até então não tenha discutido esta teoria por meio
de uma formulação ondulatória, o motivo dessa escolha desse modo foi possível
expressar os conceitos desta teoria de uma forma mais fácil, porém, não podemos
desprezar os fenômenos ondulatórios da luz. Portanto, creio que chegou o momento
de explicar-lhes como a luz pode se desviar ao refratar-se sem modificar sua
velocidade, por meio de uma teoria ondulatória da luz.
Os fenômenos da refração, quando explicados por uma teoria ondulatória, se
baseiam no princípio de Huygens que assim pode ser formulado:
“Na propagação de uma onda luminosa, cada ponto de sua frente-de-onda
se comporta como se fosse uma nova fonte de ondas, chamadas
secundárias, que se propagam com mesma velocidade da onda principal e
cuja envoltória resulta na própria onda principal”.
Através desse princípio, Huygens explica a refração da seguinte forma: seja uma
onda plana que se propaga em um dado meio A (cujo índice de refração é na ), com
uma velocidade v, em um ângulo iˆ . Vamos dizer que em dado momento t0 , uma
parte da onda luminosa atinja a superfície refratora em determinado ponto p. Pelo
princípio de Huygens, esse ponto deve se comportar como uma nova fonte da onda
(se não fisicamente, pelo menos matematicamente), que se propagará em todas as
direções do outro meio B (de índice de refração é nb ), com uma velocidade w. Então
no instante t, a onda emitida por p terá se propagado por um raio igual w ⋅ Δt ,
enquanto que a parte da onda que ainda não se refratou, terá se propagado por um
raio igual v ⋅ Δt . Assim, traçando a envoltória dessas circunferências, encontraremos
a frente-de-onda refratada.
Percebemos então que se a velocidade da luz for menor no meio B do que no
meio A, a frente-de-onda da luz terá se afastado da superfície (pois que a
circunferência que a luz forma no meio B em dado intervalo de tempo Δt , será
menor que a circunferência descrita pela luz em A no mesmo intervalo de tempo), e
por geometria, facilmente se demonstra que a razão entre as velocidades corresponde
exatamente à lei de Snellius-Descartes, logo, segundo Huygens, essa relação é uma
prova de que a velocidade da luz é menor na água do que no ar, pois que a luz se
torna mais afastada da superfície quando passa do ar para a água...
Deste modo, o leitor poderia pensar que se a luz não modificasse sua velocidade
ao se refratar, ela também não modificaria sua direção original, e assim, a teoria aqui
apresentada se tornaria insustentável... Porém, o que eu pretendo demonstrar neste
capítulo é que a luz pode sim modificar sua direção sem modificar sua velocidade,
mas para explicar essa hipótese, o leitor deve perceber que anexado ao princípio de
Huygens, há um outro princípio, em geral subentendido. A saber: que direção de
propagação da luz é sempre ortogonal à frente de onda. É por adotar este princípio,
que sempre é camuflado pelo princípio de Huygens, que chegamos a conclusão de que
a luz, sem modificar a sua velocidade ao se refratar, não modificará também a sua
direção de propagação, pois que assim, a frente de onda da luz refratada realmente
não se modificaria pela refração (fato que é comprovado pela geometria ao fazer uso
do princípio de Huygens).
Mas como será provado a seguir, este princípio subentendido na teoria de
Huygens, não é correto.
Seja pois, uma onda luminosa plana (i.e. cujos raios luminosos sejam paralelos),
que se propague em um meio óptico de índice de refração continuamente variável, de
tal forma que seu movimento não corte nenhum dos planos refrativos desse meio, ou
seja, que a luz se movimente paralelamente à esses planos. A visão atual da óptica
nos diz que a luz será desviada para o lado em que o índice de refração se torna
menor (sendo o índice de refração do vácuo o maior de todos), mas isso é um erro:
chega-se a esse resultado somente através do fato de que a frente de onda da luz se
inclina na direção supra especificada, mas descobrimos o erro quando analisamos
cada raio de luz separadamente: esses raios de luz se locomovem por linhas de mesmo
índice de refração, e por isso não devem modificar sua direção. Apesar de que,
segundo a óptica atual, a luz tenha diferentes velocidades em cada um desses planos
paralelos, o que efetivamente ocasionaria uma inclinação da sua frente-de-onda, a
direção de propagação da luz não será mais ortogonal à frente de onda e a imagem
gerada por essa luz também não se formará na direção ortogonal à frente-de-onda,
como acredita-se atualmente, mas sim na direção de propagação da luz, conforme
resulta pelas suas equações de movimento. Isso é ilustrado na figura abaixo: apesar
da luz se propagar horizontalmente, cada raio separado terá uma velocidade menor,
conseqüentemente, a direção da frente de onda vai se alterando, tornando-se cada vez
mais horizontal, logo, a propagação da luz não será mais ortogonal à frente de onda.
Se a imagem se formasse na direção perpendicular à frente de onda, teríamos que a
imagem virtual se localizaria numa direção diferente da direção de onde provém a luz
e mais, a imagem assim formada, apresentaria uma rotação devido a contínua
inclinação da frente-de-onda.
Direção onde a imagem
virtual se formaria em
um dado instante.
Direção de
Propagação
Direção da frente-de-onda da
da Luz.
luz em dado instante, pois que
pela teoria atual, tal direção
variaria continuamente...
Obviamente, ao se adotar a hipótese de que a velocidade da luz não é alterada
pela refração, a sua frente de onda não será desviada (pois que em todos os planos
refrativos a luz teria mesma velocidade), o que permite obter a posição virtual
correta dos corpos de uma forma mais direta. Assim, estando aquele princípio
subentendido na teoria de Huygens equivocado, não podemos concluir que a luz
modifica a sua velocidade somente porque modifica a sua direção...
De fato, considerando que a luz não altera sua velocidade ao se refratar, mas
que somente modifica sua direção de propagação, a onda refratada apresentará uma
frente-de-onda cuja direção será a mesma da que tinha antes de se refratar (a direção
da frente de onda não é alterada), porém a luz não se propagará mais na direção
perpendicular dessa frente-de-onda e sim, naquela direção deduzida pela lei de
Snellius-Descartes, de modo que a imagem virtual dos corpos se localizará nessa
direção de propagação, e não na perpendicular da frente-de-onda luminosa. A Figura
a seguir ilustra o que foi dito: apesar da frente-de-onda não alterar a sua direção, a
luz não mais se propaga ortogonalmente à essa frente-de-onda, e a imagem virtual
dos corpos se encontrará na direção de propagação da luz e não ortogonalmente à
frente-de-onda.
iˆ = ⊥
rˆ < ⊥
§11. Sobre a explicação de vários fenômenos ópticos pela teoria aqui
apresentada.
§11.1. A imagem virtual de corpos extensos no dioptro plano:
Coloque uma vara comprida no fundo de uma grande piscina e observe-a a
partir da superfície da água. Ao fazer esta experiência, o leitor perceberá que a vara
se apresentará curvada, com as extremidades mais próximas da superfície, embora ela
seja totalmente retilínea (o que deve ser conferido antes da experiência, fora da
água). Este fato é naturalmente obtido pela lei das tangentes: pois que os pontos
mais extremos da vara (considerando que o leitor esteja observando o centro da vara
em um ângulo reto em relação à superfície) serão vistos por um ângulo mais rasante.
E como vimos pela lei das posições, quanto mais rasante for o ângulo da
observação, mais próximo da superfície o objeto será visto; assim, concluímos que os
pontos mais extremos da vara serão observados mais próximo da superfície do que o
ponto central, que é visto por um ângulo reto, o que resulta em uma imagem curva,
conforme o leitor observará se fizer esta experiência. Este fenômeno é representado na
figura abaixo:
na
Observador
nb
Imagem virtual da
Barra
Imagem real da barra
§11.2. Lâminas de faces paralelas:
Um outro exemplo pode ser encontrado no caso das laminas de faces paralelas:
A teoria atual diz que, devido à refração, a imagem observada através de uma
vidraça sofre um desvio lateral em relação à imagem que se veria se não tivesse a
vidraça, mas este enunciado é falso, como provarei aqui:
Na verdade o que ocorre não é um desvio lateral, mas sim uma aproximação da
imagem para a superfície do vidro, mas que devido ao ângulo observado, parece estar
desviada lateralmente.
O leitor pode, se quiser, facilmente se convencer deste fato, basta olhar uma
paisagem por traz de um aquário com água...
Este fenômeno também é explicado pela lei das tangentes: como podemos
visualizar na figura abaixo:
Observador
B
L’
A’
L
A
p’’
p’
Observem: A luz, emitida por p, ao atingir o vidro no ponto A, sofre um desvio
e, quando atinge a outra superfície no ponto B, é novamente desviada com igual
magnitude embora para o sentido oposto, uma vez que a razão dos índices de
refração no par ar-vidro será inverso ao par vidro-ar e isto faz com que o raio que
atinge o observador seja paralelo ao emitido por p. Observem agora que o observador
verá a lamina de vidro com uma espessura virtual menor (na figura acima, o
astigmatismo foi desprezado), tal qual acontece no dioptro plano, mas a distância do
ponto A’ para o ponto p’ deve ser igual ao ponto A para o ponto p, uma vez que não
é observado nenhuma velocidade virtual da luz neste trajeto.
Assim, o mesmo deslocamento vertical que o ponto A sofre, o ponto p também
deve sofrer, logo não há deslocamento lateral, mas apenas um deslocamento na
direção da superfície do vidro. E a posição virtual do objeto, facilmente pode ser
encontrada, basta somarmos encontrarmos a espessura virtual da lâmina e somarmos
esta distância com a distância que o ponto real forma com a superfície de incidência
da lâmina, uma vez que esta última distância não é alterada.
Logicamente, se soubermos o trajeto real que a luz percorre (o que se consegue
facilmente pelo ângulo de incidência, a lei de Snellius-Descartes e a espessura da
barra), podemos encontrar a posição virtual do objeto através da lei de movimento
da luz: basta considerar que a luz atravessa a lâmina com a habitual velocidade c,
mas que, ao ser observado por alguém no ar, este observador verá a luz percorrer a
lâmina com uma velocidade c’; então, multiplicando o valor desta velocidade pelo
tempo gasto pela luz ao atravessar a lamina (uma vez que o “tempo virtual” é igual
ao “tempo real”), encontraremos a distância virtual percorrida pela luz na lâmina;
por fim, somando-se a este resultado a distância que a luz percorre no trajeto de p
até a superfície da lamina, onde a luz incide, encontramos a posição virtual p’, que
deve estar na mesma direção do raio refratado, que atinge os olhos do observador.
§11.3. O dioptro curvo.
Quando a superfície divisora de dois meios não forma um plano, dizemos que
esse sistema óptico forma um Dioptro Curvo. Para o dioptro plano, foi demonstrado
que é possível deduzir o ponto virtual de um objeto pela lei das posições, ou lei das
tangentes, mas como podemos aplicar este princípio a uma superfície curvilínea? Pois
em uma superfície curva, as imagens não situam-se em um único eixo, isso pode ser
comprovado pelo fato de que as imagens dos corpos se deformam quando são
formadas por refração em uma superfície curva.
Mas mesmo nestes casos pode-se aplicar a lei das posições: para tal, basta que
encontremos, no ponto onde ocorre a refração, a tangente da superfície, em seguida,
traçamos uma perpendicular a essa superfície que passe pelo ponto real do objeto;
esta perpendicular será o eixo em que o objeto é visto, quando a refração ocorre
naquele ponto;
E então, a posição virtual do objeto neste eixo é encontrada pela direção do
raio refratado. Obviamente, se escolhermos a tangente desta superfície no ponto de
refração como sendo a origem do sistema de coordenadas na qual utilizamos para
tratar analiticamente o fenômeno, a lei das tangentes será válida. Os leitores podem
mais facilmente entender o que digo pela figura abaixo:
§11.4. A reflexão de origem refrativa:
Um outro exemplo bastante interessante é o caso da reflexão total ocasionada
pela refração: como se sabe, quando um raio de luz rasante tenta passar para um
meio menos refringente, dependendo do ângulo de incidência, ele é totalmente
refletido por esta superfície e volta para o mesmo meio.
A lei de Snellius-Descartes justifica este fato, pois que para determinado ângulo
de incidência (que denomina-se ângulo limite, e que depende apenas do índice de
refração relativo dos meios), o desvio é tão grande que a luz do meio mais refringente
é refratada tangentemente a superfície de separação dos meios, e, logicamente se o
ângulo for mais rasante ainda, ela será totalmente refletida.
O ângulo de reflexão desse raio de luz será igual ao ângulo do raio incidente,
como podemos deduzir pela lei de Snellius-Descartes, uma vez que depois do evento
que ocasiona a reflexão, a luz se propaga no mesmo do que antes, logo os índices de
refração de antes e depois do evento são os mesmos, e portanto os senos dos ângulos
também serão iguais...
A lei das tangentes vem complementar este resultado, garantindo que a imagem
virtual do objeto, formada por reflexão total, e a sua imagem real, são eqüidistantes
da “superfície-espelho”. A figura abaixo ilustra o fenômeno:
p’’
na
(nb>na)
nb
p’
Observador
§11.5. O polioptro plano.
Suponha que um sistema óptico seja formado por várias camadas ópticas (k),
cada qual com um índice de refração nk e seja yk a largura de cada uma dessas
camadas. Um sistema óptico com este é o que chamo de “polioptro”. Vamos deduzir
o ponto onde a imagem virtual de um objeto real se formará para um observador que
em determinada camada seja atingido por um raio de luz que se propaga por essas
camadas.
Antes de tudo, é necessário que o leitor tenha conhecimento de uma importante
propriedade da lei de Snellius-Descartes: na propagação da luz por diversos meios, as
alterações que ocorrem na sua direção dependem apenas do índice de refração do
último meio para o primeiro, não dependendo dos meios ópticos existentes entre eles;
a demonstração matemática desta propriedade deixo a cargo dos leitores, (dica:
considere a refração em um “trioptro plano”, como o formado por exemplo pelo trio
vidro-água-ar; Aplicando a lei de Snellius-Descartes nas duas refrações, os
Senhores(as) encontrarão que o desvio da luz é igual ao que haveria se não houvesse
a água entre o vidro e o ar).
Através desta propriedade, podemos concluir que a projeção da luz (na direção
dos planos refrativos) que se propaga em um dado meio óptico, estará para a
projeção da luz em um outro meio qualquer numa dada constante, que corresponde
ao produto do índice de refração relativo entre os meios e a razão de suas espessuras.
Tomemos com exemplo a última camada k e a primeira camada a, a relação entre as
projeções dos raios de luz será:
x k = xa ⋅ nka ⋅
yk
ya
Portanto, se a luz percorre diversos meios a, b, c, ... k, teremos:
⎛
y ⎞
X = ∑ ⎜⎜xa ⋅ nk ⋅ k ⎟⎟⎟
⎜
ya ⎠⎟
a ⎝
k
Onde a somatória se estende a cada valor de k.
Porém ainda não podemos calcular esta somatória porque não conhecemos o
valor de xa, temos que expressá-la através de y e o angulo iˆ no qual a luz se propaga
no meio inicial.
Consegue-se fazer isso através da geometria:
xa =
ya
;
tan iˆ
Substituindo este valor, a equação acima se torna:
⎛ y
⎞
X = ∑ ⎜⎜ k ⋅ nk ⎟⎟
⎝ tan iˆ
⎠
a
k
Mas sendo a somatória dos yk igual a distância dos planos k (que chamaremos
de Y), podemos simplificar a equação acima:
k
Y
X =
⋅ ∑ (nk )
tan iˆ a
Uma vez que a posição Y da última camada para a primeira (ou do objeto para
a camada do observador) é dada na formulação do problema, a posição da luz é
totalmente determinada pela equação acima; assim, pelo princípio de SnelliusDescartes, também determinamos a direção deste raio e a partir daí podemos
encontrar, pela intersecção da reta tangente ao raio de luz com o eixo vertical aos
planos paralelos que passa pelo ponto real, a posição virtual do objeto. Observemos a
figura abaixo:
X
rˆ
p’
p
iˆ
Observando a figura, encontramos que p’’ pode ser deduzido através da
geometria:
p ' = X ⋅ tan rˆ
Mas como o valor de X foi recentemente deduzido, temos:
tan rˆ k
p ' =Y ⋅
⋅ ∑ (nk )
tan iˆ a
A equação acima expressa uma generalização da lei das tangentes, para o caso
em que o índice de refração varia de forma discreta.
Observem que com esta equação se deduz a posição virtual de um objeto visto
através do sistema óptico formado por uma lâmina de faces paralelas, discutida no
§10.2, basta estender a soma nos três meios ópticos envolvidos, lembrando que os
ângulos de incidência e de refração serão iguais, pois que o primeiro e terceiro meio
óptico são iguais...
§11.6. O dioptro plano não homogêneo e o fenômeno das miragens.
Quem já não se perguntou porque num dia quente, uma grande avenida parece
estar molhada no seu final? O que acontece é conhecido como “fenômeno das
miragens”, e é por isso que o sedento fica imaginando água no deserto.
A explicação para esse fenômeno é a seguinte: Quando o dia está muito quente,
o ar mais próximo da superfície terrestre se torna menos denso, e se por exemplo, a
luz proveniente de uma árvore caminha obliquamente em direção a superfície, ela
será curvada, ficando cada vez mais paralela à superfície, até que em certo ponto, por
reflexão total, começa a se distanciar do solo. Se este raio de luz que se refletiu pela
refração, atingir os olhos de alguém que por ventura esteja passando por ali, este
observador verá uma imagem virtual da árvore, ela projetada abaixo da superfície,
como se o chão se tornasse um espelho; aliás a imagem formada seria idêntica a que
um espelho formaria, se não fosse o fato da temperatura variar de ponto em ponto, o
que torna a imagem com aspecto tremido, como se o chão estivesse molhado, fato
este que ilude os que se aventuram no deserto...
Este fenômeno, ao meu ver, comprova experimentalmente as idéias de Newton
de que a causa da reflexão não é o choque das partículas de luz com a superfície dos
corpos e que tanto a reflexão como a refração são ocasionadas por um mesmo poder
natural (ver Óptica, livro II, parte III, proposições VIII e IX, do autor supra). Mas
ele também comprova que a imagem virtual dos corpos formada por refração sempre
está no eixo perpendicular à superfície, pois do contrário, as imagens formadas por
reflexão não seriam eqüidistantes à essa superfície. Logo, comprova-se que a lei as
posições é correta, e assim, vem complementar a lei de Snellius-Descartes. O
fenômeno das miragens provocadas pela temperatura variada do ar é ilustrada a
seguir:
p’
n
Observador
p’’
Então, vamos agora deduzir o ponto onde a imagem virtual de um objeto real
se formará para um observador que seja atingido por um raio de luz que se propaga
obliquamente em um meio óptico de índice de refração variável.
Suponha para tal, um sistema óptico cujo índice de refração seja função da
distância e que forme infinitos planos paralelos, cada qual com um índice refrativo
específico e que seja muito próximo dos índices de refração dos seus planos vizinhos
(i. e. que o índice refrativo varie continuamente em apenas uma determinada direção,
formando planos paralelos de mesmo índice de refração).
A figura abaixo representa a propagação da luz em tal meio óptico:
X
rˆ
p’
p
iˆ
No capitulo anterior, encontramos a equação que permite encontrar a posição
virtual de um ponto pela propagação da luz em um meio óptico variável
discretamente. Vamos por conveniência escrever esta equação de outra forma:
tan rˆ k
p' =
⋅ ∑ (nk ⋅ yk )
ˆ
tan i a
Onde passamos Y para dentro da somatória através dos yk.
Ora, se n varia continuamente em relação a y, então teremos infinitos termos
na somatória acima, e como se sabe, tal somatória corresponde a uma integral, e
sendo n uma função de y, a integral também será dada em termos de y.
Assim, temos finalmente:
k
tan rˆ
p' =
⋅
n y dy
tan iˆ ∫a
Que é a generalização da leis da tangentes para quaisquer meios ópticos planos.
É interessante notar, que à mesma equação chegaríamos pelas equações de
movimento da luz. Consideremos para facilitar os cálculos que a incidência da luz
seja perpendicular aos planos refrativos. Assim, a distância de cada plano refrativo,
sendo infinitamente pequena (pois o índice de refração varia continuamente), será dy.
Um observador que se encontra na camada k, ao olhar a luz que se propaga na
camada a, ele encontrará uma velocidade virtual da luz c’, que será dado pela
seguinte equação:
c ' = c ⋅ nka
Assim, como o produto da velocidade virtual da luz pelo tempo gasto no seu
trajeto nos dá a posição virtual do objeto que emitiu a luz ( p ' = n ⋅ c ⋅ Δt ) , no caso
em que essa velocidade virtual variar de ponto em ponto, como ocorre aqui, tal
produto deve ser substituído por uma integral em relação ao tempo, a qual está
descrito abaixo:
p' =
∫
t
0
c ' t dt =
∫
t
0
n t ⋅ c dt
Mas lembrando que a luz, na verdade, se propaga com a velocidade c, o
intervalo de tempo para ela percorrer um ponto da trajetória será dt = dy / c , assim,
substituindo este valor na equação acima encontramos a mesma equação para a
imagem virtual de um objeto em um meio óptico cujo índice varie continuamente,
para o caso de incidências perpendiculares às superfícies refratoras (mas que também
é verdadeiro para quaisquer incidências), que foi obtida antes mas por um método
diferente:
p' =
∫
a
k
n y dy
§12. Considerações cosmológicas sobre a estrutura do Universo.
Foi demonstrado neste artigo que a luz, talvez se propague nos diferentes meios
ópticos com mesma velocidade. Vamos supor que esta hipótese seja verdadeira, para
que possamos tirar dela algumas conseqüências na estrutura do espaço e do universo.
Se a velocidade da luz for constante nos diferentes meios, então poderemos
concluir que ela sempre percorrerá um determinado trajeto AB no mesmo intervalo
de tempo, independente da substância transparente que preenche este trajeto AB
(observe que este princípio se refere somente ao caso em que a luz percorre o mesmo
trajeto nos dois casos, se porventura, devido à refração, a luz percorrer um outro
trajeto, teremos obviamente um tempo diferente). Assim, generaliza-se o principio da
invariância temporal na propagação da luz, que antes era apenas aplicado aos tempos
virtuais e reais.
A partir destas conclusões, percebe-se que podemos medir uma determinada
“distância-absoluta” entre dois pontos quaisquer pelo tempo que a luz gasta para
percorrer a distância que os separam, pois que, se o observador estiver no mesmo
meio de propagação do trajeto AB, e o índice de refração deste meio for constante
durante todo trajeto, então este observador medirá a distância real, ou absoluta,
entre estes pontos;
Mas se um outro observador, em um meio óptico diferente, olhar para estes
dois pontos, ele encontrará uma medida menor ou maior que a distância real, assim
como ele verá a luz percorrer esta distância com uma velocidade proporcionalmente
maior ou menor, dependendo respectivamente se o seu índice de refração for maior ou
menor que o índice em AB (em todo raciocínio, o observador vê os pontos AB na
mesma direção de seus olhos, pois que somente nesta direção há formação de imagens
virtuais, assim, se AB é visto numa direção perpendicular, tal qual duas pedras vistas
de lado num aquário, a distância que os separarão será igual a distância real), mas o
tempo que a luz leva para percorrer este trajeto é sempre o mesmo, em quaisquer
circunstâncias, o que lhe permite deduzir a distância real, ou absoluta, entre os
pontos A e B.
Mas então o que provoca a formação das imagens virtuais? Obviamente, é a
própria estrutura do espaço que determina essa propriedade. Sabe-se que a luz é uma
onda eletromagnética (ou pelo menos possui propriedades de tal), então para a
propagação da luz temos que admitir a existência, por todo espaço, de campos
eletromagnéticos, de modo que a luz possa ser pensada como a vibração destes
campos, que se propaga na velocidade máxima permitida pela estrutura do espaço.
Ora, a densidade de campos eletromagnéticos pode variar conforme cada
substância material, e então, a densidade desses campos, ou ainda a permeabilidade
eletromagnética do meio (ou algo proporcional), é que deve determinar a formação
das imagens virtuais e os fenômenos da refração.
Esta propriedade nos leva a seguinte conclusão cosmológica: Há um e somente
um universo, e ele é contínuo. Pois considere que o universo seja formado por vários
subversos; filosoficamente isso só seria imaginável se entre estes universos haver um
mar de nada, absolutamente nada. Porém, deste modo, esta região será dotada de um
índice de refração infinito, e a luz se propagaria através dele com uma velocidade
infinita, não gastando nenhum tempo para atravessá-lo, e portanto, toda e qualquer
informação, movimento etc. que se propague por ele, também o percorrerá
instantaneamente (em virtude do infinito campo de forças que se formaria nesta
região, pela pressão do “vácuo eletromagnético” ao seu redor, provindo dos outros
subversos), assim, fisicamente, estes dois pontos estariam separados por uma
distância nula, e todos os universos formariam um único e contínuo universo. Assim
só há duas possibilidades para a topologia do universo: ou ele é infinito ou é fechado,
mas ele há de ser único e contínuo.
Do mesmo modo, se um determinado meio for infinitamente denso, no que
tinge aos seus campos eletromagnéticos, este meio será totalmente opaco, pois que a
luz não poderá ultrapassá-lo, pois mesmo que a luz não seja refletida, ela deverá ser
totalmente absolvida, uma vez que o intervalo de tempo necessário para a luz
atravessar tal meio será infinito, bem como a distância que separam os seus pontos
extremos, será fisicamente infinita, e também a luz, quando vista por alguém em
outro meio, lhe apresentará com uma velocidade nula. Em suma, um meio como
este, se existir, será um perfeito “buraco-negro”.
§13. Conclusão.
Como foi demonstrado durante todo artigo, a hipótese de que a luz não altera a
sua velocidade ao refratar-se é teórica e matematicamente consistente.
Também foi comentado que, caso essa hipótese não se revele verdadeira, todos
os conceitos apresentados aqui, no que diz respeito à determinação da posição da
virtual de um objeto, não será alterado em nada, o que confere, penso, uma
importância a esse trabalho independentemente do resultados das experiências.
A meu ver, apenas teremos uma prova conclusiva sobre o assunto, quando
realizarmos uma experiência direta, ou seja, através de medições com relógios do
movimento da luz nos diferentes meios ópticos...
Por fim, agradeço além de Deus, da minha família e dos meus amigos, a todos
aqueles que, de certa forma, me apoiaram ao publicar algo tão polêmico. Obrigado!
Ricardo Soares Vieira.