Matemática
Matemática
AA
· 10.º
· 10.º
ano
ano
• Manual
• Manual
• Caderno
• Caderno
Prático
Prático
• Caderno
• Caderno
dede
Autoavaliação
Autoavaliação
(oferta
(oferta
ao ao
aluno)
aluno)
• Caderno
• Caderno
dodo
Professor
Professor
• Caderno
• Caderno
dede
Avaliação
Avaliação
• Propostas
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dede
Resolução
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• Roteiro
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e-Manual
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1
1
PráticoPrático
2 Caderno
2 Caderno
Manual
Manual
1 Manual
1 Manual
Prático
Prático
2 Caderno
2 Caderno
O manual
está dividido
em duas
O manual
está dividido
em duas
as se
quais
se subdividem
partes,partes,
as quais
subdividem
em em
está estruturado
o manual
moComo
está estruturado
o manual
seis unidades:
seis unidades:
1 Introdução
à lógicaebivalente
e à conjuntos
teoria dos conjuntos
Introdução
à lógica bivalente
à teoria dos
3 Polinómios
Polinómios
17
Funções5 Funções
6 Estatística:
características
Estatística:
características
amostrais amostrais
Para cadaPara
caso,
cada
determina
caso, determina
o domíniooedomínio
o contradomínio
e o contradomínio
da funçãodag função
se:
g se:
No decurso
deunidade,
cada unidade,
No decurso
de cada
O
5 x
5 x
Permite
de forma
metódica
Permite
de forma
metódica
Emunidade
cada unidade
Em cada
é feitoéofeito o
do identificar
com
indicação
identificar
dificuldades
e recuperar
dificuldades
e recuperar
17.4. acom
x 17.4.
= f a -indicação
x = f do
17.3. autoavaliação,
17.3. autoavaliação,
desenvolvimento
dos conteúdos
desenvolvimento
dos conteúdos
4
4
respetivo
teste, incluído
respetivo
teste, incluído
no no
conhecimentos
nos momentos
conhecimentos
nos momentos
programáticos
seguindo
programáticos
seguindo
as as
18 Na
18 Na figura
figura
está
graficamente
a
está
representada
graficamente
a
Caderno
de Autoavaliação.
Caderno
derepresentada
Autoavaliação.
adequados.
adequados.
y
y
, real dereal,
variável
que admite:
real def variável
que real,
admite:
orientações
no Programa
e função f ,função
orientações
dadasdadas
no Programa
e
3
3
f
f
Curriculares,
privilegiando-se domínio: domínio:
MetasMetas
Curriculares,
privilegiando-se
contradomínio:
contradomínio:
Teste de Autoavaliação
11
Teste de Autoavaliação
11
1
1
a articulação
a componente zeros: zeros:
a articulação
entre aentre
componente
e
e
O
2
6 x
2O
3
4
53 64 x 5
e a componente
prática, 18.1. Indica
teóricateórica
e a componente
prática,
18.1.
os Indica
extremos
os extremos
absolutosabsolutos
e relativose da
relativos da
função
f .função f .
com exemplos
e exercícios
com exemplos
e exercícios
Desafios
Desafios
Incentivo
Incentivo
à curiosidade
à curiosidade
resolvidos:
resolvidos:
18.2. Indica
18.2.
o domínio,
Indica o o
domínio,
contradomínio
o contradomínio
e os zerose os zeros
-3
-3
e à perseverança.
e à perseverança.
-2
-2
Introdução
René Descartes
a. C.
1000
500
Como
anexo
alongo
esta dos
obra,
seguiram-se
outras
obras
Como anexo
esta dos
obra,
seguiram-se
três no
outras
obras
como
Ao
a evolução
domínio
dacomo
Álgebra, em particular a
Ao alongo
tempos,
a evolução
domínio
da
Álgebra,
emtempos,
particular
a três no
aplicações
do método:
Dioptria,
Os
Meteorosmuito
e A Geometria.
aplicaçõesresolução
do método:
Dioptria, Os
Meteorosmuito
e A Geometria.
resolução
de A
equações,
beneficiou
do conhecimento de propriedade Aequações,
beneficiou
do conhecimento
de
propriedaNa aritmética
pode-se
considerar quatro operações elementares: adição,
Na aritmética
quatro
operações
elementares:
adição,
a. C. pode-se considerardes
dos polinómios.
des dos polinómios.
A obra A Geometria 1La Geometrie2 é composta A obra A Geometria 1La Geometrie2 é composta
multiplicação
multiplicação e divisão. No entanto,subtração,
na Índia medieval
os e divisão. No entanto, na Índia medieval os
1000subtração,François
Odos
matemático
francês
François
Viète , além dos seus interesses no doO matemático
Viète
além
seus
interesses
dopor ,três
livros.
O
primeiro
livro éno
dedicado
aos
por três livros.
O primeirofrancês
livro é dedicado aos
matemáticos
indianos utilizavam
outras
duas operações,
a potenciação
matemáticos
indianos utilizavam
outras
operações,
potenciação
mínio
daduas
criptografia
e daaastronomia,
destacou-se
também
pelos contrimínio
da criptografia
e da astronomia,
destacou-se
pelos
contri“problemas
que também
podem
ser
resolvidos
“problemas
que podem
ser resolvidos
500butos
e diferentes
adesenvolvimento
radiciação.
e adesenvolvimento
radiciação.
butos
dados
da Álgebra.
dados
no
da recorrendo
Álgebra.
Em situações
do quotidiano, em diferentes conEm situações
emno
cona. C. do quotidiano,
a. C.
apenas
a “retas
e a círculos”;
recorrendo
apenas
a “retas
e a círculos”;
textos,
são
com
frequência,
expressão
utilizadas,
com
frequência,
expresAlivro
este
matemático
atribuídos
resultados
no âmbito
dos polinóestetrata
matemático
são das
atribuídos
resultados
no
âmbito
dossão
polinó1000textos,
trata
da “natureza
das
curvas”vários
e utilizadas,
o segundoAlivro
da “natureza
curvas”vários
eo segundo
O matemático hindu Aryabhata I , que nasceuO matemático hindu Aryabhata I , que nasceu
mios
e
daseequações,
entre
os
que
um lógico
teorema
conhecidomatepor
mios e
das equações,
entre
os
que
destaca
um lógico
teorema
conhecido
por
sões
do se
tipodestaca
raciocínio
e raciocínio
sões
do se
tipo
raciocínio
mateo terceiro
versa
sobre
a raciocínio
“construção
de
sólidos”.
o terceiro versa
sobre
a “construção
de
sólidos”.
no ano
476
d. C.,
naenunciado
sua obra designada
porforma:
no ano
476
d. C.,
naenunciado
sua obra designada
porforma:
500fator,
teorema
fator,
que
pode
ser
seguinte
teorema do
que
pode
ser
seguinte
mático,
com o da
sentido
de validar uma
mático,
com o da
sentido
dedovalidar
uma
Ao àlongo
da obra,
Descartes
evidencia,
na
Ao longo da obra, Descartes
evidencia,
na
Aryabhatiya
faz referência
à elevação ao quadrado
Aryabhatiya
faz referência
elevação
ao quadrado
argumentação ou uma demonstraargumentação ou uma demonstra1000
1000
resolução
de problemas,como
umasendo
certa o produto de duas quantidades
resolução
de problemas,como
umasendo
certa o produto de
duas quantidades
çãograu
apoiadas
em estruturas
abs- é divisível
çãograu
apoiadas
em estruturas
abs- é divisível de
Se um
n admite
a raiz k , então
Se um polinómio
de
n admite
a raiz
k , polinómio
então
combinação
de recursos
algébricos
e
combinação de recursosiguais
algébricos
e
e à elevação
cubo,, assim
como à extrae à elevação
ao cubo,
assim
como
extrapornaà forma
ou seja,
por
, ou seja,
em que
tem grau
.
,encontram
em que
tem, iguais
grau
. tratasao
que
se
encontram
na
forma
tratas
que
se
500
quer estes
sejam
formulados
em e de raízes cúbicas. Para
geométricos, quer estesção
sejam
formulados
emgeométricos,
ção
de raízes
quadradas
de raízes
quadradas
e de raízes cúbicas.
Para
de pensar e de comunicar.
de pensartermos
e de comunicar.
geométricos
ou alguns
em termos
algébricos.
termos geométricos ou alguns
em termos
algébricos.
historiadores
apresentação de regras
historiadores
a apresentação
de regras
Réplica de um dos primeiros
Réplica
de um dos a
primeiros
Capa de em
uma edição
CapaEste
de em
uma
edição
teorema
éo aplicado
longo
desta
unidade
diferentes
contextos.
Estecuja
teorema
é aplicado
aoA
longo
desta
unidade
diferentes
contextos.
A
preocupação
com
ade
validação
e o rigor
dos raciocínios,
de uma
preocupação
com
a validação
epara
rigor
dosao
raciocínios,
encarada
uma
satélites
fabricados na encarada
Índia
fabricados
naraízes
Índia
a satélites
determinação
de
quadradas
e raízes
para
a determinação
deUm
raízes
quadradas
eformulação
raízes
problema
cuja
pode
ser
Um problema
formulação
pode
ser
de
La Geometrie.
de
La Geometrie.
nome
atribuído
foi o do
cujo
nome
atribuído
foi o do
500 pela
500 500Ocomo
forma
sistemática,
remonta
ao século
IVcujo
a.
C.,
com
destaque
para o filósofo
forma
remonta
ao século
a.
C.,
com
destaque
para
o filósofo
Ocomo
matemático
Descartes
também
francês,
recorreu
a este
teomatemático
René
Descartes
também
francês,
recorreu
aRené
este
teoentendida
algébrica
é,IV
por
exemplo:
entendida
algébrica
é, por
exemplo:
cúbicas
ocorre
nesta
altura pela
primeira
vez.
cúbicas
ocorre
nestasistemática,
altura
primeira
vez.
matemático Aryabhata.
matemático Aryabhata.
rema
e apresentou
uma relação
o número
soluções
de uma
rema e apresentou uma relação
o número
soluções
de uma
grego
Aristóteles
e de
seus
discípulos,
resultando daí a denominada lógica
grego entre
Aristóteles
e de
seus
discípulos,
resultando
daíentre
a denominada
lógica
Determinar
números
Determinar dois números cuja soma seja 17 , de
modo quedois
a soma
dos cuja soma seja 17 , de modo que a soma dos
do tipo:
equação do tipo:
Nade
época,
os aristotélica
matemáticos
indianos,
termos de simbologia,
paraque permitem valiNa época, os aristotélica
matemáticos
indianos,
termos
simbologia,
paraqueem
que sãoem
estabelecidas
algumas regras
em
queequação
sãoem
estabelecidas
algumas
regras
permitem
valiseusI quadrados seja 169 .
seusI quadrados seja 169 .
Aryabhata
Aryabhata
designar
apor
raiz
quadrada
de um
antecediam
esse
número
de ka
quadrada
de um
antecediam
esse
número
de ka
dar
alguns
tipos
de número
raciocínios,
conhecidos
por
silogismos.
dar
alguns tipos
de número
raciocínios,
conhecidos
silogismos.
500designar a raiz
1476-550 d.C.2
1476-550 d.C.2
Aresolução
resolução
deste
problema
pode
passar
resolução
A resolução
deste
problema
passar
um
origem
na pela
palavra
karana de
queum
significa irracional2. Assim,
origem
na pela
palavra
karanae de
que
significa
irracional2.
Assim,
1+1ka
1+1ka
os
sinais
ou
-2
e os
sinais
outem
-2pode
dos
coeficientes
.tem
A lógica
aristotélica
A lógica aristotélica
prevaleceu
cerca
de dos
doiscoeficientes
mil
anos até
ao séculoprevaleceu
XIX em cerca. de dois mil anos até ao século XIX em
sistema
duas
equações.
sistema1000
de duas equações.
na atualidade,
a
.
na atualidade,
a deNo
. máximo,
1reais
1reais
ocorresponde,
número
verdadeiras
positivas2teve
é igual
ao desenvolvimento a partir do
No máximo, ocorresponde,
número de soluções
verdadeiras
positivas2
é igual
aosoluções
que
a chamada
lógica
matemática
o seu
que a chamada
lógica
matemática
teve
o de
seu
desenvolvimento
a partir
do
Aristóteles
Aristóteles
número
dede
vezes
queBoole
há
alternância
de
sinal e oanúmero
deGeorge
soluções
falsasao tentar traduzir a lógica
número de vezes que há alternância
de
sinal e 1século
o número
soluções
falsas
1século IV a. C.2
IV a. C.2
filósofo
e
matemático
inglês
Boole
filósofo
e
matemático
inglês
George
ao
tentar
traduzir
lógica
500
2 no Ocidente
2
2
2
dos radicais
no Ocidente
é feita
A introdução
dos radicais
énegativas2
feita A introdução
1reais
1reais negativas2
é igual
ao número
de vezes
que há permanência
de sinal.
é igual ao número
de vezes
que
há permanência
de sinal.
numavariáveis,
álgebra os
simples
de conjuntos, utilizando variáveis, os símbolos
numa álgebra simples de conjuntos, utilizando
símbolos
muito
mais
tendo
tido um forte
contributopercorrendo
muito mais
tendo
tido um A
forte
contributo
seguir
apresenta-se
umtarde,
exemplo
por Descartes,
A seguir
apresenta-se
umtarde,
exemplo
por
Descartes,
percorrendo
1000
Este
problema
ter
uma
formulação
geométrica:
Este problema
pode
ter uma formulação
geométrica:
0 1falso2
econstruído
1 1verdadeiro2
e três operações:
0 1falso2
econstruído
1 1verdadeiro2
epode
três
operações:
René Descartes
de Leonardo
de Pisa , também denominado
de Leonardo
de Pisa , tambémadenominado
seguinte sequência
de equações:
a seguinte
sequência
de equações:
11596–16502
500
500
■hipotenusa
De
entre
cuja
13 , nesta
construir
De
os triângulos retângulos
cuja■hipotenusa
13 triângulos
, nesta
construir
opor Fibonacci,
demede
Pisa
Leonardo
deentre
Pisa 1500
1significa
1significa
and de
e2 que
vai ser designada por conjunção;
andLeonardo
e2 os
que
vai ser
designada
por
conjunção;
filho
ummede
comerciante
daunidade
ci- o
por Fibonacci,
filho
de
um
comerciante
daunidade
ci-retângulos
1cerca dede
1cerca dede
1170–12402
1170–12402
perímetro
.
perímetro 30 .
dade de Pisa ■conhecido
por Bonacci. Leonardo
dade de Pisa ■conhecido
por
Bonacci.30
Leonardo
or 1significa
ou2 que nesta unidade vai ser designada por disjunção;
or 1significa ou2 que nesta unidade vai ser designada
por disjunção;
François1000
Viète
de Pisa,
naspor
suas
frequentes
viagens
pelo Norte
de Pisa,
naspor
suas
frequentes
viagens
pelo
Norte
A resposta
a este
problema
passa
uma
construção
geométrica.
A resposta a este problema
passa
uma
construção
geométrica.
11540-16032
■
■
1significa
1significa
notmuitos
não2 que nestana
unidade vai ser designada por negação.
notmuitos
não2 que nestana
unidade
vai ser
designada
porconhecimentos
negação.
de África,
adquiriu
de África, adquiriu
conhecimentos
O Discurso
1500
Estesydois problemas são equivalentes.
Estes dois problemas
são equivalentes.
y
do Método
área
área da matemática através dos contactos com
a da matemática através dos contactos com a
116372
lógica matemática tornou-se a base das linlógica matemática
tornou-se a base das lin1000a conexões
1000 conexões
Estas
entreem
geometria
e ARegressado
Estas
entre geometria
e ARegressado
2000Exemplo:
cultura árabe.
a Pisa escreveu, em
cultura árabe.
PisaExemplo:
escreveu,
e desta forma o
guagens álgebra
de programação
e desta forma
oguagens de programação
12
12
foram
fundamentais
para Abaci
álgebra foram
fundamentais
para Abaci
A equação
A equação
1o livro do§
1o livro do§
ábaco2, sendo
um
1202, Liber
ábaco2,
sendo
um 1202, Liber
5
5
1500
nome
de
George
Boole
está
ligado
ao
desennome
de
George
Boole
está
ligado
ao
desendasoluções:
Geometria
o desenvolvimento
dasoluções:
Geometria
1três positivas
1três positivas
tem
quatro
2Torre
,cálculos
3 ,de4Pisa,
e com
-Itália
5 radicais
e uma enegativa2 Torre de Pisa, Itália
tem quatro
2 ,cálculos
3 , 4 e com
-o
5 desenvolvimento
e uma
dos
temas
quadráticos
dos temas
radicais
quadráticos
enegativa2
era digital.
da 13
era digital.
x
Analítica
tal como hojexcúbicos.
é conhecida volvimento da 13
Analítica tal como hojecúbicos.
é conhecida volvimento
2000
Repara que
na equação
tem-se:
Repara que
na equação
tem-se:
e queosvai
ser trabalhada
longo Vários foram os matemáticos com cone que vai ser trabalhada ao longo Vários foram
Utilização
Utilização
matemáticos
comaocon2
2
Coeficientes:
1"
;século
- 4 ;que
-XVI
19
; 106 ; 120
Coeficientes:
1 ;século
- 4 ; -XVI
19símbolo
; 1500
106
; do
√2 tema.
do símbolo
√2 tema.
partir do
do símbolo "
A partir
aparece
ao 120
utilização
doAsímbolo
que é
é aparece
deste
deste
1500
Renédo
Descartes
Augustus
Augustus
tributos
para ao utilização
desenvolvimento
tributos1século
para
desenvolvimento
1século XVI2
XVI2
dos
+, , - , uma
+ , -evolução
.
dos
sinais
dos coeficientes:
+ Morgan
, , Sequência
- , uma
+ interpretado
, -evolução
. dos sinais
De
11596–1650)
d. C. De Morgan Sequência
por
vários
como
da letra r da painterpretado
por
como
da
rcoeficientes:
dahistoriadores
padaletra
lógica
matemática,
nomeadada vários
lógica historiadores
matemática,
nomeada(1807-1871)
(1807-1871)
2000
latina
radix
ou radicis
da positivas2
qual
a palavra
radical.
lavra latina
radix
ou radicis
da positivas2
qual
a palavra
radical.
1três
1três
mente
Augustus
De deriva
Morgan
, permanência
mente
Augustus
De deriva
Morgan
,lavra
Há
três
alternâncias
de sinal
soluções
e uma
Há três alternâncias
de sinal
soluções
e uma
permanência
0
500
4.2. Circunferência e círculo
4.2. Circunferência e círculoDESAFIO
4.2.1. Circunferência
4.2.1. Circunferência
Começou por traçar uma circunferência no terreno.
Começou por traçar uma circunferência no terreno.
François1000
Viète
11540-16032
72
1500
2000
René Descartes
11596–1650)
2000
d. C.
2000
deunidade
sinal 1uma
solução negativa2.
de sinal 1uma solução negativa2.
éraiz
referido
unidade a
que
é referido
nesta
a Nesta
vais
aumentar
os conhecimentos
que já tens de raiz quaNesta unidade,
vais
aumentar
os conhecimentos
queunidade,
já tensque
de
qua- nesta
d. C.drada e raiz cúbica
propósito
de umdoconjunto
propósito
de um conjunto
a radicais
tipo
dradacom
e raiz
cúbica
radicais
tipo
,deoperar com radicais e genera,deoperar
radicais
eagenera2000 do por
regras
conhecidas
por Leisdede
De
regras
conhecidas
Leisdede
De
lizar o racional.
conceito
de potência
a potências
expoente
racional.
lizar o conceito
de potência
a potências
expoente
Morgan.
Morgan.
d. C.
d. C.
George Boole
(1815-1864)
d. C.
■
fABCDg é um retângulo;
■
■
o ponto O é o centro da
circunferência.
■
■
y
caracterizar
circunferência basta conhecer
o centro e o raio
Para caracterizar uma circunferência basta Para
conhecer
o centrouma
e o raio
A
1número real positivo2.
1número real positivo2.
O
y
■
O
■
■
■
1
■
a circunferência de centro B é
tangente aos eixos coordenados;
■
a circunferência de centro C
■
cial.
§
17.1. g 1x2 = f 1x2 + 2
Sabe-se que:
x
a circunferência de centro A
passa por B ;
Determina o raio de cada uma
das circunferências
representadas na figura.
a circunferência de centro A
passa por B ;
a circunferência de centro C
passa pela origem do referencial.
(1815-1864)
18
165
a2
4.3.2. Elementos da elipse
NEMA10-P1 © Porto Editora
4.3.2. Elementos da elipse
NEMA10-P1 © Porto Editora
A sombra da esfera
A sombra da esfera
y
A
F1 (-c, 0)
D
F2 (c, 0)
B
A
x
a que se dá o nome de elipse.
Daqui resulta que
Daqui resulta que
.
anos.” .
s : “Tenho 15 anos.”s : “Tenho 15, tem-se
Como
■
, sendo
■
F2
F1
e
ra d
Cintu
.
F1 (-c, 0)
a
c
O
F2 (c, 0)
Júpiter
er
ast
oi d
es
Mercúrio
a
b
x
F1 (-c, 0)
c
O
NEMA10-P1 © Porto Editora
57.1. 57.2. NEMA10-P1 © Porto Editora
uma elipse.
uma elipse.
,
C
C
57 Dados os pontos A e B ,
57 Dados os pontos A e B ,
Daqui resulta que:
Daqui resulta que:
quem
não efalou
Determina quem nãoDetermina
falou
,
,
Vértices:
Vértices:
,
Vénus
e
ra d
Cintu
Terra Marte
Saturno
Neptuno
Cometa
,
,
Júpiter
y
P L
F2 (c, 0)
O
p verdadeira,
implicação
Sendo p verdadeira,Sendo
a implicação
p ± qa só
pode ser p ± q só pode ser
verdadeira se q é verdadeira.
verdadeira se q é verdadeira.
tem-se
Assim, tem-se que oAssim,
valor lógico
de que o valor lógico de
■ Se então
p ‹ 1p o±
q2 lógico
é falsade
então o valor lógico de
Se p ‹ 1p ± q2 é falsa
valor
fp ‹ 1p ± q2g ± q fp
‹ 1p ± q2g ± q é verdadeiro.
é verdadeiro.
twwuwwv
twwuwwv
F
F
Provou-se
queq fp
Provou-se que fp ‹ 1p
‹ 1p ±
q2g ± q é uma tautologia.
± q2g ±
é uma
tautologia.
1' p › q2 › 1p ‹ ' q2 § 1' p › q2 › 1p ‹ ' q2 §
' p › 1p ‹ ' q2 › q §
V‹V § V
24
24
d2 g 1x2 = - f 1x + 22
f2 g 1x2 = f 14x2
h2 g 1x2 = -
1 1x2
f
2
x2
b2
3
4
5
6
x
f2
b2 g 1x2 = f 1x - 12
d2 g 1x2 = - f 1x + 22
f2 g 1x2 = f 14x2
h2
h2 g 1x2 = -
x
1 1x2
f
2
1B2 6
1C2 3
1D2 12
2/26/15 3:14 PM
– Turma
–
Data
–
–
1B2 6
1D2 12
2 Considera
A =, 52
3 , . 46 e B = 54 , 6 , 86 .
Considera os conjuntos
A = 52 , os
3 ,conjuntos
46 e B = 54
6 , 86
1A2 1g + f2 132 = 1f + g2 182 1A2 1g + f2 132 = 1f + g2 182
1C2 1f + g2 142 = 1g + f2 142 1C2 1f + g2 142 = 1g + f2 142
d2
f2
3
1B2 1g + f2 122 = 1f + g2 1621B2 1g + f2 122 = 1f + g2 162
1D2 1f + g2 182 = 1g + f2 1421D2 1f + g2 182 = 1g + f2 142
3 bijetiva
Seja fde
uma
de que
R em
R =
esabe-se
quef -f 1- 1a122 = - 1 , sendo f - 1 a
1 , sendo
Seja f uma função
R função
em R bijetiva
e sabe-se
f - 1122
função inversa de f . função inversa de f .
Qual das seguintes
expressõesà pode
corresponder
expressão
analítica de f ?
Qual das seguintes expressões
pode corresponder
expressão
analíticaàde
f?
h2 f x
1A2 f 1x2 = x2 - x
1A2 f 1x2 = x2 - x
fx
1C2 f 1x2 = 2
1C2 f 1x2 = 2
1B2 f 1x2 = x - 3
1D2 f 1x2 = 3x + 5
1B2 f 1x2 = x - 3
1D2 f 1x2 = 3x + 5
Sabe-se que:
■
■
■
■ é
f- 3 , 2g ;
contradomínio
de g é f- 3 , 2g-3;
contradomínio de g
■
os zeros de g são:■ -os
2 ,zeros
1 e de
3 g são: - 2 , 1 e 3
2
b2
g 1x2 = f 1x - 42
■
-2
O
x
1
2
g
-3 3 -24
g 1x2 = f 1x - 42
1x2 = 0 , sendo
12x2
= 0. , sendo h 1x2 = f 12x2 .-3
a equação
Resolve a equação h Resolve
h 1x2 =h f1x2
1
3
Dada uma
= 513
12,, -15226
, 22
Dada uma função4 f sabe-se
quefunção
Gf = 513f ,sabe-se
- 12 , 15que
, 22 G, f 17
, 32, ,-19
. , 17 , 32 , 19 , - 226 .
4
5
■ contradomínio
contradomínio
de g é f-de3 ,g 2gé ; f- 3 , 2g ;
■
■ de
os zeros
os zeros
g são:de- g2 ,são:
1 e -32 , 1 e 3
-3
y
y
2
2
-2
3/18/15 10:45 AM
-3 O -2 1
1B2 13 , 12
1D2 13 , 32
1A2 f- 3 , 1g
1C2 f- 4 , 0g
1A2 f- 3 , 1g
1C2 f- 4 , 0g
1B2 f- 1 , 3g
1D2 f- 5 , - 1g
g
31 4
x 3
.
.
-3
2/26/15 3:14 PM
NEMA10CPEP_20141123_P071_084_3P_CImg.indd
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77
77
1B2 f- 1 , 3g
1D2 f- 5 , - 1g
23
4
3/17/15 8:39 AM
x
■
Resolve aResolve
equaçãoa equação, sendo , sendo
1D2 13 , 32
1x2 = f 1xdefinida
Sejapor
g agfunção
Seja g a função definida
g 1x2 = f 1x + 12 -da
O contradomínio
da função g é:
2 . função
+ 12 - 2 por
. O contradomínio
g é:
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23
NEMA10AA_20144323_P001_028_3P_CImg.indd
23
O
1B2 13 , 12
f- 3 , 1g .
f- de
3 , contradomínio
1g .
uma
função
f , de
realcontradomínio
de variável real,
Dada uma função5 f , Dada
real de
variável
real,
g
77
77
1C2 19 , 32
1C2 19 , 32
x
-3
3/18/15 10:45 AM
1A2 121 , 32
1A2 121 , 32
fx
g
Faz o Teste de Autoavaliação
Faz o Teste
11 de Autoavaliação 11
AM
3/10/15
10:00
■ de
f-de310:00
domínio
domínio
g AM
é3/10/15
,g 4g
é ; f- 3 , 4g ;
■
b2f x x
x O
Caderno de Autoavaliação
Caderno de Autoavaliação
■
4
y
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77
77
112
ou aplicando
propriedades
verdade ou aplicandoverdade
propriedades
das operações
lógicasdas
. operações lógicas112.
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24
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6
-3
y
Sabe-se que:
Sabe-se que:
' q2
1' p › q › p2 ‹ 1' p › q › 1'
■ Pode-se
■ '
p ݤ
q › p2 ‹ 1' p › q ›
q2 § chegar à mesma
chegar através
à mesma
através
de uma tabela de
Pode-se
conclusão
deconclusão
uma tabela
de
V‹V § V
e2 g 1x2 = 3f 1x2
Sabe-se que:
NEMA10CP © Porto Editora
■
' p › 1p ‹ ' q2 › q §
O5
4
19 Na
Na*figura
está
figura
representada
está representada
em referencial
em referencial
cartesiano
cartesiano
a função ag função
.
g.
NEMA10CP © Porto Editora
fp ‹ 1p ± q2g ± q § fp ‹ 1p ± q2g ± q §
' p › ' 1p ± q2 › q § ' p › ' 1p ± q2 › q §
c2 g 1x2 = f 1- x2
x
g2 g 1x2 = f a b
2
b2 g 1x2 = f 1x - 12
1A2 9
-3
F
F
‹ 1p ± q2g ± q é verdadeiro.
q fp
é verdadeiro.
twwuwwv
V
V
V
a2 g 1x2 = - f 1x2
19
■
Resolução
■ Se p ‹ 1p então
± q2 pé éverdadeira,
p éq verdadeira
e p±q é
Se p ‹ 1p ± q2 é verdadeira,
verdadeiraentão
e p±
é
verdadeira.
verdadeira.
Nota: outro processo de resolução
Nota: outro processo de resolução
fp ‹ 1p ± q2g ±
ser por aplicação das twwuwwv
propriepode ser por aplicação daspode
propriedades
estudadas como, por exemplo:
dades estudadas como, por
exemplo:
V
3
a2domínio de g é f- 3 domínio
de g é f- 3 , 4g ;
, 4g ;
171
■
A conjunção
p ‹ 1p ±
é verdadeira ou é falsa.
A conjunção p ‹ 1p ±
q2 ou é verdadeira
ouq2é ou
falsa.
' fp ‹ 1p ± q2g › q § ' fp ‹ 1p ± q2g › q §
a2
x
19
Pedro e verdade.
Susana não falaram verdade.
Pedro e Susana não falaram
112
b2
2
Data
N.º
512em
13 ,que
função
de
Seja f a função de ASeja
em fB atal
que G
, 42 , 14
, 82B, tal
42 , G14f =, 512
626 , e82g, a13função
de, 626
B e g a função de B
f =A
x
x
em A tal que g 1x2 = em
. A tal que g 1x2 = .
2
2
Indica a afirmação verdadeira:
Indica a afirmação verdadeira:
f
d2
19
Sabendo que P é um ponto da
elipse, L é um dos pontos de
interseção da elipse com o eixo
,
das ordenadas e
determina
.
fp ‹ 1pda±
Mostra
o valor lógico
proposição
Mostra que o valor2 lógico
da que
proposição
não
‹ 1p ± q2g ± q não
q2g ± q fp
dosproposições
valores lógicos
depende dos valores depende
lógicos das
p e das
q . proposições p e q .
■
O
Turma
18.3. Para
18.3.
cadaPara
caso,
cada
constrói
caso,aconstrói
tabela de
a tabela
variação
de da
variação
funçãodah função
, sendoh h, sendo
definidah definida
x
x
1x2 = f a definida
Sejapor
g agfunção
por g 1x2 = f a b .
Seja g a função definida
b.
3
3
Na figura
representada em referencial
figura está*representada
emestá
referencial
por: * Na
por:
Qual dos
seguintes
pontosde
pertence
ao gráfico de g ?
Qual dos seguintes pontos
pertence
ao gráfico
g?
a função g .
cartesiano a função gcartesiano
.
y
x
tem-sefalsas
p e se proposições
falsas e r proposição
Assim, tem-se p e sAssim,
proposições
r proposição
verdadeira.
verdadeira.
Resolução
es
zeros: 3 e 5
2
f
N.º
1 Considera
A =, 51
4 , . 96
e B
, 2 , 36
Considera os conjuntos
A = 51 , os
4 ,conjuntos
96 e B = 51
2 , 36
Qual
é=
o 51
número
de. Qual é o número de
de A *deBfunções
que sãobijetivas
gráficosde
de Afunções
de A em B ?
subconjuntos de A *subconjuntos
B que são gráficos
em B bijetivas
?
1C2 3
Paraa cada
caso,
constróida
a tabela
função h , sendo h definida
18.3. Para cada caso,18.3.
constrói
tabela
de variação
funçãodehvariação
, sendo da
h definida
por:
por:
1
1
b2 h 1x2 = f 1x2
b2 h 1x2 = f 1x2
a2 h 1x2 = f 12x2
a2 h 1x2 = f 12x2
3
3
P L
x
O
elipse, L é um dos pontos de
interseção da elipse com o eixo
,
das ordenadas e
e
determina
.
*
2
oi d
Saturno
Neptuno
Úrano
Se '' rr ›
Se ' r › p é F , então
r é Fr eé pV ée Fp .éOu
é pF ée Fp , éentão
F . Ou'seja,
F .seja, r é V e p é F .
Se ''p p±
é sF .é Ou
Se ' p ± s é F , então
é Vs eé sFé, então
F . Ou '
seja,
F .seja, p é F e s é F .
p é pV ée Fs e
112
1
58 Na figura seguinte está
representada uma elipse, centrada
na origem e de focos Q e R .
que
.
que
.
33 sabendo
33 sabendo
Dadas
duas
proposições
Dadas
duas
proposições
verdade.
verdade.
170
171
p e lógico
q , determina o valor lógico
p e 170q , determina o valor
da proposição Resolução
da proposição
Resolução
1' q2
1' p ± q2 › 1' q › 1p ‹
p 2±
‹ q2
, q2 › 1' q › 1pSe
' rs ›
'p±
1'2 ,r › p2 › 1' p ±
r › ps2 éé FF e, então
› 1' '
p±
Ses21'ér F›, p2então
é pFé. F e ' p ± s é F .
começando por simplificá-la.
começando por simplificá-la.
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4
241_P001_059_7P_CImg.indd
4
er
ast
Rita: “Não frequento
o 10.° ano.”
Sabe-se que a proposição
Sabe-se
Determina
valores
lógicos que a proposição
Determina
valores
lógicos
identifica o lugaros
geométrico
dos
identifica o lugaros
geométrico
dos
O triângulo
é isósceles, sendo
.
O triângulo
é isósceles, sendo
.
pontos P do plano que
pontos P do plano que
proposições
b1'
das verificam
proposições
a , bOdas
e
cverificam
. dos pontos
a condição:
a condição:
ao Teorema de Pitágoras,
tem-se:
Teorema
1'édepPitágoras,
Oe
conjunto
P édopplano
tais que
conjunto
P do planoa
tais, que
r falsa.
› p2ao›
± tem-se:
s2 éRecorrendo
rc›. dosp2pontos
› 1'
±
s21'éRecorrendo
falsa.
Sabendo
que P é um ponto da
57.2. y
3
1
c2
Johannes Kepler 11571-16302
No início do século XVII,
Johannes Kepler verificou que
os planetas, no seu movimento
de translação em torno do Sol,
descrevem trajetórias elípticas
em que o Sol é um dos focos.
58 Na figura seguinte está
representada
uma elipse, centrada
y
D ≠ P (x,ey)de focos Q e R .
na origem
D ≠ P (x, y)
b
F2
Vénus
Terra Marte
Úrano
Eixo menor:
■
■
y
F1
Mercúrio
Cometa
Rita: “Não frequento
, sendo
o 10.° ano.”
■
■
Eixo menor:
F1 F 1na construção do canteiro, 2a
.
, tem-se
■
■
um número
a , tal2a
que
F1 F 1na construção
do canteiro,
Pedro: “Sou
filho único.”
E
E
das distâncias a dois pontos
correspondem às afirmações
correspondem às afirmações
feitas respetivamentefeitas
por respetivamente por
32 Sabe-se que a proposição
32 Sabe-se que a proposição
Pedro, Susana e Rita.Pedro, Susana e Rita.
' 1' a ± b2 ‹ c é verdadeira.
' 1' a ± b2 ‹ c é verdadeira.
57.1. 3
18.2.
Indica o domínio,
contradomínio
e os zeros
18.2. Indica o domínio,
o contradomínio
e os ozeros
-3
função g definida por:
da função g definidada
por:
Referência Referência
a2 g 1x2 = - f 1x2
histórica e2histórica e2
c2 g 1x2 = f 1- x2
Enquadramento
Enquadramento
e2 g 1x2 = 3f 1x2
a nível sociala nível social
x
g2 g 1x2x= f a=b f
x
=
f
g2
g2
2
e cultural. e cultural.
x
Johannes Kepler verificou que
os planetas, no seu movimento
de translação em torno do Sol,
descrevem trajetórias elípticas
em que o Sol é um dos focos.
.
p : “Sou filho único.” p : “Sou filho único.”
Como
Fixada
uma unidade de comprimento e um plano, considerem-se:
Fixada uma
unidade
de comprimento
considerem-se:
pontos
do plano
tais que a somae um plano,
um número a , tal que
B
NEMA10-P1 © Porto Editora
' ±
' ados
31.1. Elipse é oclugar
geométrico
a que se dá o nome de elipse.
F2 (c, 0)
Centro da elipse: ponto médio de Johannes Kepler 11571-16302
No início do século XVII,
Eixo maior:
■
■
menor:
menor:
proposições
p , s eObserva
rSemieixo
Ascorresponde
proposições
, s As
eObserva
rSemieixo
corresponde
corda2.
1a ±
± b2da›
b2 ao comprimento dapcorda2.
b2 'aoccomprimento
31.3. 1
31.3. 1' c ± b2 › 1a ±
a figura.
a figura.
■
O
C
1na construdoisda
pontos
e
que se chamam focos da elipse 1na construdois pontos fixos
e
se chamam focos
elipsefixos
2 é constante
2 é constante
fixos 1 focos
e maior1b ‹
fixos 1 focos
e maior1b ‹31.2. 1a
b2que±
c2“Não
±
b2 ±
c2 doque
31.2. 1a
r : “Não
frequento o 10.°Semieixo
ano.”
r :ção
oestacas2;
10.°
ano.”
maior:
Semieixo
maior:
do canteiro frequento
correspondem às duas
ção
canteiro±
correspondem
às duas estacas2;
a distância entre os focos.
que a distância entre os focos.
■
F1 (-c, 0)
Pedro: “Sou
Susana:
“Tenho
filho único.”
15 anos.”
Susana: “Tenho
Determina
o valor1lógico
das
Determina o valor lógico
das
Repara que
1 Considera as proposições:
Considera
as proposições:
Com efeito,
proposições:
proposições:
pontos do plano tais que a soma
das distâncias a dois pontos
por
y Arquimedes. No entanto, a
D
aplicação
das cónicas só muito
P (x, y)
mais tarde veio
a revelar-se de
grande importância.
P (x, y)
O
C
■
■
Foi Apolónio, matemático grego
do século III a. C., quem fez o
primeiro estudo sistemático das
cónicas, baseando-se
certamente em reflexões feitas
por Arquimedes. No entanto, a
aplicação das cónicas só muito
mais tarde veio a revelar-se de
grande importância.
zeros: 3 e 5
a2
■
18.1.absolutos
Indica oseextremos
e relativos da
18.1. Indica os extremos
relativos absolutos
da
função f .
função f .
c2
CURIOSIDADE
■
AOyelipse
interseta
A elipse interseta Ox em A e B e interseta
em C
e D . Ox em A e B e interseta Oy em C e D .
■
Focos:
e
Focos:
e
■
Distância focal 1distância entre os focos2:
EXERCÍCIOS15 anos.”
A sombra da esfera é:
■
Distância focal 1distância entre os focos2:
■ uma elipse, se a altura da
■
Centro da elipse: ponto médio de
vela é superior ao diâmetro
■
Eixo maior:
da esfera;
■ uma parábola, se a altura
que
tal,estacas
ata as eextremidades
estacas
e fixa essas .
Para tal, ata
extremidades
de uma corda Para
a duas
fixa essas de uma corda a duasRepara
da as
vela
é igual ao diâmetro
Com efeito,
estacas
de modo
que a distância entre elas seja inferior
ao comprimento
estacas deda
modo
que a distância entre elas seja
inferior
ao comprimento
esfera;
da corda.
da corda.■ uma hipérbole, se a altura
velaum
é menor
do mantém
que o
seguida,
com um
De seguida,dacom
“prego”
a cordaDe
esticada
e traça
uma“prego”
curva mantém a corda esticada e traça uma curva
diâmetro da esfera.
1a ± ' b2 › c é falsa.1a ± ' b2 › c é falsa.
' ±
' ados
31.1. Elipse é oclugar
geométrico
CURIOSIDADE
Considere-se,
no plano
da elipse, um referencial o.n. Oxy , nas seguintes
Considere-se, no plano da elipse, um referencial
o.n. Oxy , nas
seguintes
Foi Apolónio, matemático grego
condições:
condições:
4.3.1. Elipse como lugar geométrico 4.3.1. Elipse como lugar geométrico
do século III a. C., quem fez o
■
■
o eixo Ox passa por
e
; primeiro estudo sistemático das
o eixo Ox passa por
e
;
■
■
amédio
origem
coincidecónicas,
com o ponto
médio de
;
a origem
do referencial
dedo referencial
;
A figura
sugere
procedimento
a ter por um jardineiro
para
obter um coincide com o ponto
A figura sugere o procedimento a ter por um
jardineiro
parao obter
um
baseando-se
CURIOSIDADE
■
■
o. eixo Oy coincide com a mediatriz
de
o eixo Oy coincide com a mediatriz de
canteiro elíptico.
canteiro elíptico.
certamente
em .reflexões feitas
NEMA10-P1 © Porto Editora
adesCuriosidades
pertar
para despertar
se o interesseUnidade 1
Unidade 1
lar e estimular
o. a reflexão. 31 Sabe-se que a proposição
31 Sabe-se que a proposição
EXERCÍCIOS
A sombra da esfera é:
■ uma elipse, se a altura da
vela é superior ao diâmetro
da esfera;
■ uma parábola, se a altura
da vela é igual ao diâmetro
da esfera;
■ uma hipérbole, se a altura
da vela é menor do que o
diâmetro da esfera.
Geometria analítica
Geometria analítica
4.3. Elipse
4.3. Elipse
■
■
NEMA10CP © Porto Editora
Unidade 4
Unidade 4
■
■
Aluno
1A2 9
18 Na figura
está representada
graficamente a
Na figura está representada
graficamente
a
y
função
f , que
real admite:
de variável real, que admite:
função f , real de variável
real,
■
5 x
-4
domínio: f2 , 3g
domínio: f2 , 3g
da funçãoda
g função
definida
g3g por:
definida
por:
f- 3 , 3g
contradomínio: f- 3 ,contradomínio:
d. C.
CURIOSIDADE
17.1. g 1x2 =17.2.
f 1x2 +g21x2 = - f 1x2 + 3 17.2. g 1x2 = - f 1x2 + 3
-4
Determina o raio de cada uma
das circunferências
representadas na figura.
165
George Boole
-2 5 x O
O
-2
1
f
x
x
f 1x - g221x2
- 1= f a b - 1 17.4. g 1x2 = f a b - 1
17.3. g 1x2 = f 1x - 22 - 117.3. g 1x2 =17.4.
3
3
a circunferência de centro B é
tangente aos eixos coordenados;
Unidade 5
Funções
Unidade 5
Funções
Aluno
y
3
Para cada
caso, determina
o domínio e o contradomínio
Para cada caso, determina
o domínio
e o contradomínio
da função g se:
da função g se:
x
C
3
Sabe-se que:
x
1
17 Na figura
está
representada,
em referencial cartesiano,
Na figura está representada,
em
referencial
cartesiano,
y
f- 2real,
a função
f , de
realdomínio
de variável
a função f , real de variável
real,
, 5g de
e domínio 3f- 2 , 5g e
f- 4 , 3g .
contradomínio f- 4 , contradomínio
3g .
f
O
Funções
Funções
17
B
Um pontosePe1xsó, se
y2 do
plano pertence à circunferência se e só se a distânUm ponto P 1x , y2 do plano pertence à circunferência
a distânpassa pela origem do referencia desse for
ponto
aoaponto
cia desse ponto ao ponto O , centro da circunferência,
igual
3 . O , centro da circunferência, for igual a 3 .
§
■
■
y
P (x, y)
P (x, y)
3
O
■
■
A
x
C
■
fABCDg é um retângulo;
o ponto O é o centro da
circunferência.
B
Considere-se
munido de um referencial
o.n. Oxy uma circunConsidere-se num plano munido de um referencial
o.n. Oxynum
umaplano
circunferência de centro O e raio 3 .
ferência de centro O e raio 3 .
y
B
sabendo que:
= 4 cm
o perímetro do triângulo
isósceles fABMg é 10 cm ;
45 No referencial Oxy da
figura estão representadas três
circunferências centradas em
A 1- 2 , 42 , B 1- 3 , 32 e
C 11 , - 22 .
45 No referencial Oxy da
figura estão representadas três
circunferências centradas em
A 1- 2 , 42 , B 1- 3 , 32 e
C 11 , - 22 .
NEMA10-P1 © Porto Editora
16502
■
o perímetro do triângulo
isósceles fABMg é 10 cm ;
■
O
Determina
= 4 cm
■
0
0
500
1000
cartes
A
das
da corda ficou presa à estaca e, mantendo a corda
Uma das extremidades da corda ficou presa àUma
estaca
e,extremidades
mantendo a corda
esticada, definiu
o raio
e com um “prego” na extremidade da corda traçou
esticada, definiu o raio e com um “prego” na extremidade
da corda
traçou
a circunferência, conforme é ilustrado
na figura.sabendo que:
a circunferência, conforme é ilustrado na figura.
Determina
0
NEMA10-P1 © Porto Editora
0
500
M
O
B
Para tal,
improvisou
“compasso”:A uma estaca,
fixando-a
num ponto,
Para tal, improvisou um “compasso”: uma estaca,
fixando-a
num um
ponto,
centro da circunferência, e uma corda.
centro da circunferência, e uma corda.
0
0
DESAFIO
Observa a figura.
Observa a figura.
jardineiro
pretende
Um jardineiro pretende fazer um canteiro comUm
a forma
de um
círculo.fazer um canteiro com aMforma de um círculo.
NEMA10AA © Porto Editora
Introdução
1000
Introdução
Geometria analítica
Geometria analítica
pelo conduzir
nome dea Razão
pelo nome de O Discurso do Método – para bem
O Discurso
do Método – para bem conduzir a Razão e
e
Nesta unidade
vais ampliar
e aprofundar os conhecimentos adquiridos sobre
Nesta unidade vais ampliar e aprofundar os conhecimentos
adquiridos
sobre
a.com
C.Ciências.
procurar
Verdade
nas
Ciências.
procurar apolinómios
Verdade nas
polinómios
com
base no estudo iniciado no 3.° Ciclo do Ensino Básico.
base no estudo iniciado
no 3.° aCiclo
do Ensino
Básico.
NEMA10AA © Porto Editora
René Descartes
e duvidando de tudo, incluindo da sua própria existência.
questionando e duvidando de tudo, incluindo daquestionando
sua própria existência.
C.
É neste
É nestea.contexto
que lhe é atribuída a frase “Penso,
logocontexto
existo.” que lhe é atribuída a frase “Penso, logo existo.”
Introdução
Introdução
Emlhe
1637,
a obra que mais notoriedade lhe deu, conhecida
Em 1637, publicou a obra que mais
notoriedade
deu,publicou
conhecida
a. C.
NEMA10CP © Porto Editora
ução
foium
um filósofo notável, podendo ser considerado um
foi um filósofo notável, podendo ser considerado
Introdução
Introdução revolucionário na forma
de pensar e na procurarevolucionário
da verdade, na forma de pensar e na procura da verdade,
4
O
de desenvolvimento
PáginasPáginas
de desenvolvimento
17.1. assinalam-se
17.1. assinalam-se
17.2.
17.2.os momentos,
os momentos,
para para
unidade
de forma apelativa.
ução à Introdução
unidade deàforma
apelativa.
urso
1500
odo
O Caderno
de Autoavaliação
é
O Caderno
de Autoavaliação
é
umaFunções
oferta
ao aluno
na aquisição
uma oferta
ao aluno
na aquisição
Funções
do Caderno
e é composto
do Caderno
PráticoPrático
e é composto
y
por
13
testes
que
seguem
o
por
13
testes
que
seguem
o
3
desenvolvimento
dado
ao Manual
desenvolvimento
dado ao
Manual
f
f
e ao Caderno
Prático.
e ao Caderno
Prático.
17 Na
Na figura
está
figura
representada,
está representada,
em referencial
em referencial
cartesiano,
cartesiano, y
a função af ,função
real def variável
, real dereal,
variável
de domínio
real, de fdomínio
2 , 5g ef- 2 , 5g e 3
f- 4 , 3g . f- 4 , 3g .
contradomínio
contradomínio
4 Geometria
Geometria
analítica analítica
de abertura
ginasPáginas
de abertura
1000
Autoavaliação
Autoavaliação
OFERTA
AO ALUNO
OFERTA
AO ALUNO
É um reforço
da componente
É um reforço
da componente
pensada
para uma
práticaprática
pensada
para uma
multiplicidade
de situações.
multiplicidade
de situações.
2 Potências
Radicais. de
Potências
deracional
expoente racional
Radicais.
expoente
3
Caderno
de Autoavaliação
Caderno
de Autoavaliação
de de
3 Caderno
3 Caderno
O Caderno
tem uma
O Caderno
PráticoPrático
tem uma
estrutura
sustentada
estrutura
sustentada
na na
organização
e desenvolvimento
organização
e desenvolvimento
ao manual.
dadosdados
ao manual.
Este
manual,
em duas
partes, apresenta-se
em 6 unidades:
anual,
dividido
emdividido
duas partes,
apresenta-se
organizadoorganizado
em 6 unidades:
1
2
3
4
5
6
3
Caderno
Caderno
de Autoavaliação
de Autoavaliação
Faz o Teste
Faz
deoAutoavaliação
Teste de Autoavaliação
11
11
77
77
3/18/15 10:45 3/18/15
AM
10:45 AM
23
3/17/15 8:39 AM
5
Caderno do Professor
6
Caderno de Avaliação
O Caderno do Professor assume
particular importância numa fase
de transição de programas, com
Unidade 6 Estatística: características amostrais
Descritores
(Metas curriculares)
Tópicos/Subtópicos
Pré-requisitos
(PR)
7.º ano
PR 7.1
1.1.
Propriedades dos somatórios
1.2.;
1.3.;
1.4.
Sequências
Somatórios
Sinal de somatório.
Representações na forma de
somatório
Avaliação
mudanças significativas ao nível
da articulação vertical entre Ensino
Básico e Ensino Secundário.
Caderno
de Avaliação:
Miniteste ?
Soma dos quadrados dos
desvios em relação à média
3.2.;
3.3.;
3.4.;
3.5. e 3.6.
PR 7.2
Medidas de
localização
• identificação de instrumentos de
avaliação em articulação com o
Caderno de Autoavaliação e o
Caderno de Avaliação.
10
8.° ano
Diagrama de
extremos e
quartis
9.° ano
Percentil de ordem k , k å N
e k ≤ 100
Todos os testes deste Caderno são
acompanhados pelas respetivas
resoluções, que facilitam uma
melhor identificação do tipo de
trabalho que é proposto em cada
exercício ou conjunto de
exercícios.
Proposta de Resolução
Para cada unidade, são ainda
apresentados recursos didáticos
com sugestões de exploração.
PR 8.1
PR 9.1
4.1.;
4.2.;
4.3.;
4.4. e 5.2.
O Caderno de Avaliação propõe
minitestes e testes que reforçam
as opções do professor na escolha
de instrumentos de avaliação,
específicos de cada unidade.
Organizar e
representar
dados em
histogramas
1.1. Df = 5x å R : 5 + 2x ≥ 0 ‹ x 2 - 3x - 4 0 06
§ x≥Df = c --
1.2. f 122 =
2
3/17/15 6:37 PM
3. Exploração de animações
O tópico “Percentil de ordem k , k å N e k ≤ 100” (página 163 do manual) é novo no programa.
7.º ano
Definir, determinar e conhecer propriedades do percentil de ordem k .
Um apoio à consecução destes objetivos é dado pelos recursos:
PR 7.1
Animações
Identificar, dado um número natural N , uma sequência de N elementos como uma função de
domínio 51 , 2 , 3 , c, N6 e utilizar corretamente a expressão termo de ordem n da sequência e termo geral da sequência.
2
1
Páginas ??, ?? e ??
1.1. a1 = 1 - 3 * 1 = - 2
a2 = 22 - 3 * 2 = - 2
a3 = 32 - 3 * 3 = 0
a4 = 42 - 3 * 4 = 4
Exploração da animação Percentis
Os quatro primeiros termos da sequência são: - 2 , - 2 , 0 , 4
1.º
1.2. a7 - a8 = 72 - 3 * 7 - 182 - 3 * 82 = 28 - 40 = - 12
Interação com os alunos.
3 ¿ "9 + 432
3 ¿ 21
§ n=
2
2
Selecionar a opção Não agrupar em classes e
confirmar a ordenação.
31
NEMA10CP_20144325_P021_034_unidade 6_1P.indd 31
13
5
e .
3
3
x
g 1x2
-?
+?
0
0
2.4. Constrói um quadro de variação e indica os intervalos de monotonia e extremos.
NEMA10CAV_20144329_F01_1P.indd 7
3.º
3/17/15 6:37 PM
+?
-
7
Nota: A representação de dados em diagrama
de caule-e-folhas facilita a ordenação.
A sequência tem 12 termos.
24
B
2.3. Completa o seguinte quadro de sinais da função g e indica na forma de intervalo ou
reunião de intervalos de números reais o conjunto de valores do domínio3/19/15
para 8:35
os AM
quais a função é negativa.
Verificar se os dados da amostra estão ordenados. Caso não estejam devem ser ordenados.
§ n = - 9 › n = 12
Como n å N , conclui-se que n = 12 .
NEMA10CP_20144325_P021_034_unidade 6_1P.indd 24
2.2. Mostra que os zeros de g são -
8
NEMA10CAV_20144329_F01_1P.indd 8
2.º
§ n2 - 3n - 108 = 0
–
x
O
3
5
5
13
5
A
x + = 0 ‹ x ≥ - 3 § x = . Os zeros
são e .
7
7
3
3
3
NEMA10CAV © Porto Editora
an = 108 § n2 - 3n = 108
–
x
-?
-3
+?
g- ?
Determina
Crescente em2.1.
, - 3g ; as coordenadas do ponto de interseção do gráfico de g com o eixo das
g 1x2
2
£
¢
ordenadas.
Decrescente em f3 , + ?f .
Aparece uma amostra de dimensão 30 , cujos
dados estão representados num diagrama de
caule-e-folhas.
a7 - a8 = - 12
Data
■
Iniciar a animação.
1.3. an = n2 - 3n
Turma
2.4. A ordenada do ponto C é um máximo da função.
No tópico “Gráficos de funções obtidos por translação” (página 46) sugere-se a seguinte sequência
de exploração do recurso.
2
n=
-
■
Dados não agrupados em classes
Resolução
Funções
■
1.2. Determina a diferença entre o 7.° e 8.° termos da sequência.
1.3. O último termo da sequência é 108 . Determina o número de termos da sequência.
Unidade 5
N.º
2 1
1
= . Então, o ponto é a- 2 , b .
2
3
1- 22 + 6 - 4 6 3
1 Seja f uma função real de variável real definida pela seguinte expressão:
=
5
13
x å d- ?que:
, c ∂ d , + ?c
2.3. g 1x2 < 0 § Sabe-se
3
3
a função tem domínio R ;
5
13
x
-?
.
.3
3 semirretas C
o gráfico é a reunião das
A e CB ;
+
g 1x2
0
0
A 1- 5 , - 12 , B 14 , - 12 e C 1- 3 , 22 .
O termo geral de uma sequência é an = n - 3n .
Páginas ??, ?? e ??
3 - "5 - 4
■
2
1.1. Escreve os quatro primeiros termos da sequência.
Miniteste de Avaliação 2
3 - "5 + 2x
f 1x2 = 2
x - 3x - 4
.
2.1. Atendendo a que é a semirreta C B que interseta o eixo das ordenadas, determinemos
a equação da reta CB . Seja y = mx + b a equação reduzida da reta CB .
1.1. Determina o domínio da função.
3 15
3
14 - 9
-1-2
m=
=b § =b
= - . Como C pertence à reta, 2 = - * 32 + b §
7
7
7
7
4+3
1.2. Mostra que 2 é um zero da função.
3
5
5
Então, CB é definida por y = - x + e interseta o eixo das ordenadas no ponto a0 , b .
7 coordenadas
7
7
1.3. Determina as
do ponto do gráfico de f que tem abcissa
-2.
- 1-2 3
2.2. Seja y = m'x + b' a equação da reta CA . Então m' =
= .
-5+3 2
3 113
Como C pertence à reta, 2 = * 32 + b' §
= b' .
2 Seja g a função 2
real de variável real2representada na figura.
3
13
.
A reta CA é representada por y = x +
2
2
y
Para determinar os zeros de g , intersetam-se as semirretas com o eixo Ox definido
por y = 0 .
C
13
13
3
x+
=0‹x≤-3 § x=2
2
3
■
1
5
, + ?c \ 5- 1 , 46
2
3 - "5 + 2 * 2 3 - 3
=
=0
-6
22 -Aluno
3 * 2-4
1.3. f 1- 22 =
Estatística: características amostrais
2. Pré-requisitosUnidade
do 63.º
ciclo
3 + "9 + 16
3 - "9 + 16
‹x0
2
2
5
3+5
3-5
5
‹x0
‹x0
§ x ≥ - ‹ x 0 4 ‹ x 0 -1
2
2
2
2
5 + 2x ≥ 0 ‹ x 2 - 3x - 4 0 0 § 2x ≥ - 5 ‹ x 0
23
NEMA10CP_20144325_P021_034_unidade 6_1P.indd 23
Miniteste de Avaliação 2
1
NEMA10CAV © Porto Editora
3.7.;
3.8.;
3.9.;
3.10.;
3.11.;
3.12. e 5.1.
Variância e desvio-padrão
• os descritores das Metas
Curriculares associados aos
diferentes tópicos;
8
7.º ano
2.1.;
2.2.;
2.3.;
Propriedades da média de uma 2.4.;
2.5.;
amostra
2.5.;
2.6.;
2.7. e 5.1.
3.1
N.º de aulas
de 45'
Caderno de
Autoavaliação:
Teste11
Teste ?
Desvios em relação à média
• identificação de pré-requisitos e
como os operacionalizar;
(18 aulas de 45’)
Roteiro
5 Caderno de Avaliação
Para cada unidade é apresentada
uma planificação, que inclui:
1. Planificação
7
Propostas de Resolução
4 Caderno do Professor
Características amostrais
4
3/17/15 6:37 PM
3/19/15 8
Experimente em
espacoprofessor.pt
8
e-Manual Premium (exclusivo para o Professor)
7 Roteiro
6 Propostas de
Resolução
m
ha
O livro Propostas de Resolução
disponibiliza as resoluções de
todos os exercícios do Manual, do
Caderno Prático e do Caderno de
Autoavaliação.
ão
A abordagem dada nas resoluções
contribui para uma melhor
identificação dos novos conteúdos
e/ou alterações na abordagem
feita relativamente aos programas
anteriores.
a
9
O Roteiro é um auxiliar
multifuncional e, em termos
metafóricos, é o companheiro de
“viagem” do professor que
apresenta:
• Lembretes e curiosidades.
• Resumos da planificação.
• Calendários para registos
diversos.
• Desafios do manual resolvidos.
• Pontos de situação com diversas
grelhas para registos.
e-Manual do Aluno
8 e-Manual Premium
• Versão digital do Manual
e do Caderno Prático NOVIDADE
enriquecido com exercícios
interativos em contexto
• Caderno do Professor em
formato editável
• Caderno de Avaliação em
formato editável
• Animações desenvolvidas para o
projeto para enriquecimento da
experiência letiva
Unidade 1 Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos
Pág. 9
1.1. As expressões I e V são designações.
1.2. As expressões II, III, IV e VI são proposições.
A proposição III é falsa e, por exemplo, a proposição VI é
verdadeira.
Pág. 10
Unidade 5
Funções
Data
–
2.1. A expressão é uma proposição pois é uma afirmação acerca
da qual é possível dizer se é verdadeira ou falsa.
2.2. A expressão não é uma proposição pois a resposta é
subjetiva (depende dos conhecimentos de quem resolve o
problema).
–
3.1. As proposições p e q não são equivalentes porque não têm o
mesmo valor lógico (a proposição p é falsa e a proposição q é
verdadeira).
3.2. As proposições q e r são equivalentes porque têm o mesmo
valor lógico (verdadeiro).
3.3.
a) Se a proposição t ⇔ p é verdadeira então t e p têm o mesmo
valor lógico.
Sendo p falsa, então t também é falsa.
b) Se a proposição t ⇔ r é verdadeira então t e r têm o mesmo
valor lógico.
Sendo r verdadeira, então t também é verdadeira.
c) Se a proposição t ⇔ q é falsa então t e q têm valores lógicos
diferentes.
Sendo q verdadeira, então t é falsa.
Pág. 11
4.1. Como ( −2 ) =
4 , a proposição p é falsa.
2
Como ( −2 ) =
−8 , a proposição q é verdadeira.
4.5. A proposição q é verdadeira e a proposição r é falsa.
O valor lógico da proposição q ⇔ r é falso porque q e r têm
valores lógicos diferentes.
4.6. As proposições q e s são verdadeiras.
O valor lógico da proposição q ⇔ s é verdadeiro porque q e s
têm o mesmo valor lógico.
4.7. A proposição q é verdadeira e a proposição t é falsa.
O valor lógico da proposição q ⇔ t é falso porque q e t têm
valores lógicos diferentes.
4.8. A proposição r é falsa e a proposição s é verdadeira.
O valor lógico da proposição r ⇔ s é falso porque r e s têm
valores lógicos diferentes.
4.9. As proposições r e t são falsas.
O valor lógico da proposição r ⇔ t é verdadeiro porque r e t têm
o mesmo valor lógico.
4.10. A proposição s é verdadeira e a proposição t é falsa.
O valor lógico da proposição s ⇔ t é falso porque s e t têm
valores lógicos diferentes.
Pág. 12
5.1. ∼ p : ”A Susana não tem olhos azuis.”
5.2. ∼ p : 4 + 5 ≠ ( −3 )
2
5.3. ∼ p : 4 ≥ 5
5.4. ∼ p :
3
≤1
4
6.
Proposição: p
Proposição: ∼ p
15
é número inteiro.
3
15
não é número inteiro.
3
5≥3
5<3
3
O valor lógico da proposição p ⇔ q é falso porque p e q têm
valores lógicos diferentes.
4.2. Como ( −2 ) =
−8 , a proposição r é falsa.
3
O valor lógico da proposição p ⇔ r é verdadeiro porque p e r
têm o mesmo valor lógico.
2
1
1
4.3. Como   = , a proposição s é verdadeira.
2 4
O valor lógico da proposição p ⇔ s é falso porque p e s têm
valores lógicos diferentes.
4.4. Como ( −2 ) =
−8 , a proposição t é falsa.
3
O valor lógico da proposição p ⇔ t é verdadeiro porque p e t
têm o mesmo valor lógico.
eixo das
Todos os gatos são pretos.
Algum gato não é preto.
O carro é branco.
O carro não é branco.
Pelo menos uma pera está
madura.
A equipa da minha cidade
perde.
A equipa da minha cidade não
perde.
Nenhuma pera está madura.
7.1. Se a proposição ( ∼ p ) ⇔ ( ∼ q ) é verdadeira então ~ p e ~ q
têm o mesmo valor lógico.
Sendo p falsa, então ~ p é verdadeira.
Assim sendo, ~ q é verdadeira. Logo, q é falsa.
O valor lógico de q é falso.
7.2. Se a proposição ( ∼ q ) ⇔ p é falsa então ~ p e p têm valores
lógicos diferentes.
Sendo p falsa, então ~ q é verdadeira. Logo, q é falsa.
O valor lógico de q é falso.
4
tervalo ou
ara os
NEMA10PR_20144327_TXT_P001_125_2P.indd 4
9/15 8:35 AM
?
emos.
7
3/19/15 8:35 AM
20/03/15 08:23
• Propostas de resolução de
todos os exercícios apresentados
no projeto
O acesso à versão definitiva
do e-Manual Premium é exclusivo
do professor adotante e estará
disponível a partir de setembro
de 2015.
9 e-Manual do Aluno
O acesso ao e-Manual do Aluno
é disponibilizado gratuitamente,
na compra do manual em papel,
no ano letivo 2015-2016 e poderá
ser adquirido autonomamente
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