O GeoGebra é um software de matemática dinâmica livre. Foi desenvolvido por Markus Hohenwarter
e, posteriormente, modificado devido às contribuições de colaboradores do mundo todo. Já foi traduzido para
diversos idiomas com o objetivo de aprender e ensinar matemática nas escolas. Ele é livre para ser copiado,
distribuído e transmitido para fins não comerciais, podendo ser baixado através do endereço eletrônico
http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/. Há versões disponíveis para Windows, Linux, entre outros.
É um software bastante completo, pois permite a visualização da janela algébrica e da janela
geométrica simultaneamente. Ele é extremamente didático, apresentando uma interface agradável e de fácil
acesso com os comandos e instruções de como utilizá-los. Permite o estudo da geometria, da álgebra e do
cálculo.
No site oficial do GeoGebra http://www.geogebra.org, o usuário pode se comunicar com várias
pessoas do mundo inteiro, tirando suas dúvidas, postando ideias e sugestões. Nesse fórum existem
comunidades de vários idiomas. Além disso, estão disponíveis também tutoriais e materiais compartilhados
por pessoas do mundo todo.
Atualmente, há 147 Institutos GeoGebra espalhados por todo o mundo, sendo 6 deles aqui no Brasil.
São eles: GeoGeobra Instituto de Fortaleza, GeoGebra Institute of Maringá Paraná, GeoGebra Institute of Rio
de Janeiro, GeoGebra Institute of Rio Grande do Norte, Instituto GeoGebra de São Paulo e GeoGebra Institute
of Uberlândia.
Nesta seção apresentamos em primeiro lugar, os principais comandos e ferramentas do GeoGebra e,
em seguida, atividades de exploração do software. Outras dúvidas podem ser sanadas clicando em “Ajuda” do
programa.
Ao abrir o GeoGebra a interface inicial será a seguinte:
Barra de menus
Barra de ferramentas
Janela de visualização
Janela algébrica
Entrada de comandos
Figura 1 - Interface do GeoGebra
Ao se realizar qualquer construção na janela de visualização, utilizando os botões da barra de
ferramenta, automaticamente, será exibida a sua representação algébrica na janela de álgebra. No campo de
entrada de comandos, também é possível criar objetos digitando a sua expressão algébrica e teclando “enter”,
sendo apresentado a sua representação gráfica na janela de visualização.
A janela de visualização pode ser personalizada conforme as necessidades do usuário. Por exemplo, ao
se realizar construções geométricas, os eixos e a malha quadriculada podem ser desativados, caso seja
necessário. Para ativar ou desativá-los basta clicar com o botão direito do mouse na janela de visualização e
clicar sobre “eixos” ou “malha”, conforme Figura 2. Com esse mesmo comando é possível alterar o zoom e a
escala dos eixos X e Y, clicando em “zoom” e “EixoX : Eixo Y”, respectivamente.
Figura 2 - Ativação ou desativação de eixos e malha
A barra de ferramentas é composta por 12 janelas, conforme a Figura 38.
Figura 3 - Barra de Ferramentas
Clicando na setinha que situa-se no canto direito inferior de cada janela, várias ferramentas serão
disponibilizadas. A partir desse ponto iremos discorrer brevemente sobre as principais funções de cada
ferramenta.
Ferramentas da Janela 1
Clicando em
ferramentas:
Botão
na janela 1, tem-se as seguintes
Nome da Ferramenta
Mover
Rotação em Torno de um
Ponto
Gravar para a Planilha de
Cálculo
Função da Ferramenta
Selecionar, mover, arrastar, apagar e manipular os objetos.
Também pode ser acionado teclando “Esc”.
Rotacionar objetos a partir de um ponto.
Dica de uso: ângulos.
Gravar uma sequência de valores na Folha de Cálculo, quando
algum objeto é movimentado.
Dica de uso: números, pontos e vetores.
Ferramentas da Janela 2
Clicando em
ferramentas:
Botão
na janela 2, tem-se as seguintes
Nome da Ferramenta
Novo Ponto
Ponto em Objeto
Vincular / Desvincular
Ponto
Intersecção de Dois
Objetos
Ponto Médio ou Centro
Número Complexo
Função da Ferramenta
Criar um novo ponto seja na janela de visualização ou sobre um
objeto qualquer, como retas, segmentos, polígonos,
circunferências etc.
Cria um ponto vinculado a um objeto seja em seu interior ou em
sua fronteira. Assim, o ponto só poderá ser movido dentro do
objeto ou em sua fronteira.
Anexar um ponto a um objeto, tornando-o dependente. Nesse
caso, o ponto só poderá ser movido dentro do objeto.
Criar um ponto de intersecção entre dois objetos. Para tanto
pode-se clicar nos dois objetos ou na intersecção dos mesmos. No
primeiro caso, todas as intersecções existentes serão marcadas.
No segundo, apenas uma intersecção será marcada.
Criar um ponto médio entre dois pontos ou de um segmento, bem
como obter o centro de uma cônica.
Criar um número complexo clicando na janela de visualização.
Ferramentas da Janela 3
Clicando em
na janela 3, tem-se as
seguintes ferramentas:
Botão
Nome da Ferramenta
Reta definida por Dois
Pontos
Segmento definido por
Dois Pontos
Segmento com
Comprimento Fixo
Semirreta definida por
Dois Pontos
Caminho Poligonal
Vetor definido por Dois
Pontos
Vetor a Partir de um Ponto
Função da Ferramenta
Traçar uma reta a partir de dois pontos ou utilizando a própria
ferramenta para criá-los.
Traçar um segmento a partir de dois pontos ou utilizando a
própria ferramenta para criá-los.
Criar um segmento com medida definida a partir de um ponto. Ao
clicar sobre o ponto de origem uma janela será aberta e digita-se
o valor do comprimento desejado.
Traçar uma semirreta a partir de dois pontos ou utilizando a
própria ferramenta para criá-los.
Criar uma linha poligonal selecionando os pontos desejados.
Criar um vetor a partir de dois pontos ou utilizando a própria
ferramenta para criá-los.
Criar um vetor paralelo a partir de um ponto qualquer. Para tanto,
basta clicar sobre o ponto e depois sobre o vetor.
Ferramentas da Janela 4
Clicando em
na janela 4, tem-se as
seguintes ferramentas:
Botão
Nome da Ferramenta
Reta Perpendicular
Reta Paralela
Mediatriz
Bissetriz
Reta Tangente
Reta Polar ou Diametral
Reta de Regressão Linear
Lugar Geométrico
Função da Ferramenta
Traçar uma reta perpendicular clicando em um ponto e depois em
uma reta, segmento, semirreta ou vetor.
Traçar uma reta paralela clicando em um ponto e depois em uma
reta, segmento, semirreta ou vetor.
Traçar uma reta perpendicular a um segmento passando pelo seu
ponto médio.
Traçar uma bissetriz selecionando três pontos ou um par de retas,
semirretas, vetores ou segmentos de reta.
Traçar uma reta tangente a uma cônica, circunferência ou uma
função, a partir de um ponto.
Traçar uma reta polar ou diametral a partir de um ponto ou uma
reta.
Traçar uma reta que melhor se ajusta a um determinado conjunto
de pontos selecionados com o botão “mover”.
Traçar o lugar geométrico de um objeto a partir de um
movimento do mesmo.
Ferramentas da Janela 5
Clicando em
na janela 5, tem-se as
seguintes ferramentas:
Botão
Nome da Ferramenta
Polígono
Polígono Regular
Polígono Rígido
Polígono Semideformável
Função da Ferramenta
Criar um polígono irregular. Para fechar o polígono, deve-se clicar
no ponto inicial, assim ele será criado automaticamente.
Aparecerá o valor da área desse polígono na janela de álgebra.
Criar um polígono de lados congruentes, criando dois vértices com
a própria ferramenta e, em seguida, digitar a quantidade de lados
desejados na janela que se abrirá.
Criar um polígono irregular rígido, ou seja, que não é possível
alterar o tamanho dos seus lados.
Criar um polígono irregular semideformável, ou seja, é possível
alterar o tamanho dos seus lados, somente a partir de alguns
vértices.
Ferramentas da Janela 6
Clicando em
na janela 6, tem-se as
seguintes ferramentas:
Botão
Nome da Ferramenta
Círculo dados Centro e um
de seus Pontos
Círculo dados Centro e
Raio
Compasso
Círculo definido por Três
Pontos
Semicírculo definido por
Dois Pontos
Arco Circular dados Centro
e Dois Pontos
Arco Circular definido por
Três Pontos
Setor Circular dados
Centro e Dois Pontos
Setor Circular definido por
Três Pontos
Função da Ferramenta
Criar um círculo a partir de um centro e um ponto construídos
com a própria ferramenta ou de dois pontos já definidos.
Criar um círculo a partir de um ponto e com raio de comprimento
determinado.
Criar um círculo a partir de uma distância definida por dois pontos
ou um segmento, determinando assim o raio.
Criar um círculo a partir de três pontos já construídos ou
utilizando a própria ferramenta.
Criar um semicírculo a partir de dois pontos já construídos ou
utilizando a própria ferramenta.
Criar um arco circular clicando primeiramente no centro e após
em dois pontos quaisquer. Para determinar o arco menor é
preciso clicar no sentido anti-horário e para o arco maior no
sentido horário.
Criar um arco a partir de três pontos já construídos ou utilizando a
própria ferramenta.
Criar um setor circular clicando primeiramente no centro e após
em dois pontos quaisquer. Para determinar o setor menor é
preciso clicar no sentido anti-horário e para o setor maior no
sentido horário.
Criar um setor a partir de três pontos já construídos ou utilizando
a própria ferramenta.
Ferramentas da Janela 7
Clicando em
na janela 7, tem-se as
seguintes ferramentas:
Botão
Nome da Ferramenta
Elipse
Hipérbole
Parábola
Cônica definida por Cinco
Pontos
Função da Ferramenta
Criar uma elipse a partir de três pontos (dois focos e um ponto da
própria curva) que podem ser construídos com a própria
ferramenta ou através de pontos não colineares já determinados.
Criar uma hipérbole a partir de três pontos (dois focos e um ponto
da própria curva) que podem ser construídos com a própria
ferramenta ou através de pontos não colineares já determinados.
Criar uma parábola dado um ponto (foco) e uma reta diretriz.
Criar uma cônica a partir de cinco pontos já determinados ou
construídos com a própria ferramenta. O formato da cônica
(parábola, elipse ou hipérbole) dependerá da posição dos pontos.
Ferramentas da Janela 8
Clicando em
na janela 8, tem-se as
seguintes ferramentas:
Botão
Nome da Ferramenta
Ângulo
Ângulo com Amplitude
Fixa
Distância, Comprimento
ou Perímetro
Área
Inclinação
Criar Lista
Função da Ferramenta
Marcar e medir ângulos a partir de três pontos, duas retas, duas
semirretas, dois segmentos e dois vetores. Para determinar o
ângulo maior é preciso clicar no sentido anti-horário e para o
ângulo menor no sentido horário.
Criar um ângulo com medida determinada a partir de dois pontos
ou um segmento, digitando-se a amplitude em uma janela que se
abrirá automaticamente após a seleção dos pontos ou segmento.
Determinar: a distância entre dois pontos, duas retas ou um
ponto e uma reta; o comprimento de um segmento; e, o
perímetro de uma circunferência, elipse ou um polígono. O valor
aparecerá na janela algébrica e na janela de visualização.
Determinar a área de um polígono, circunferência ou elipse. O
valor aparecerá na janela algébrica e na janela de visualização.
Determinar a inclinação de uma reta, exibindo um triângulo
retângulo e um valor que representa a tangente do mesmo.
Determinar uma lista com os valores de um conjunto de pontos
selecionados com a ferramenta “mover”.
Ferramentas da Janela 9
Clicando em
na janela 9, tem-se as
seguintes ferramentas:
Botão
Nome da Ferramenta
Reflexão em Relação a
uma Reta
Reflexão em Relação a um
Ponto
Reflexão em Relação a um
Círculo (Inversão)
Rotação em Torno de um
Ponto por um Ângulo
Translação por um Vetor
Homotetia dados Centro e
Razão
Função da Ferramenta
Construir a reflexão de um objeto qualquer em relação a uma
reta.
Construir a reflexão de um objeto qualquer em relação a um
ponto.
Construir a reflexão de um objeto qualquer em relação a uma
circunferência.
Rotacionar um objeto a partir de um ponto e um ângulo que deve
ser digitado em uma janela que se abre automaticamente após o
clique sobre o ponto que se deseja realizar a rotação.
Transladar um objeto a partir de um vetor já construído.
Construir um objeto ampliado ou reduzido a partir de um ponto e
um fator que deve ser digitado após selecionar o objeto e o
centro da homotetia.
Ferramentas da Janela 10
Clicando em
na janela 10, tem-se as
seguintes ferramentas:
Botão
Nome da Ferramenta
Inserir Texto
Inserir Imagem
Função da Ferramenta
Inserir texto estático (não depende de nenhuma construção),
dinâmico (é vinculado a um objeto sofrendo alterações quando os
mesmos são manipulados) ou em LaTeX (pode inserir textos
simples estáticos ou dinâmicos e fórmulas).
Inserir uma imagem nos formatos png, jpeg, gif ou tif.
Caneta
Escrever ou desenhar à mão livre na janela de visualização.
Função à Mão Livre
Desenhar uma função ou um objeto geométrico à mão livre.
Determinar a relação entre dois objetos mostrando o resultado
Relação entre Dois Objetos em janela que se abre automaticamente após a seleção dos
objetos e da ferramenta.
Calculadora de
Calcular probabilidades e realizar distribuição estatística.
Probabilidades
Inspecionar funções em um determinado intervalo, explicitando
Inspetor de Funções
os valores de máximo e mínimo, raízes, comprimento, área etc.
Ferramentas da Janela 11
Clicando em
na janela 11, tem-se as
seguintes ferramentas:
Botão
Nome da Ferramenta
Controle Deslizante
Caixa para Exibir /
Esconder Objetos
Função da Ferramenta
Modificar, manualmente ou automaticamente, o valor de ângulos
e números, através do estabelecimento de um valor máximo,
mínimo e seu incremento.
Exibir ou esconder objetos na janela de visualização a partir da
escolha dos mesmos.
Ferramentas da Janela 12
Clicando em
na janela 12, tem-se as
seguintes ferramentas:
Botão
Nome da Ferramenta
Mover Janela de
Visualização
Ampliar
Reduzir
Exibir / Esconder Objeto
Exibir / Esconder Rótulo
Copiar Estilo Visual
Apagar Objeto
Função da Ferramenta
Mover a janela de visualização, ou seja, a área de trabalho e todos
os objetos contidos nela.
Ampliar a área de trabalho, após clicar em qualquer local da
mesma. O mesmo efeito pode acontecer utilizando a barra de
rolagem do mouse.
Reduzir a área de trabalho, após clicar em qualquer local da
mesma. O mesmo efeito pode acontecer utilizando a barra de
rolagem do mouse.
Exibir ou esconder objetos clicando-se sobre eles e,
posteriormente, sobre qualquer outra ferramenta. Só então os
objetos serão escondidos. Para reexibi-los basta selecionar
novamente a ferramenta “exibir/esconder objeto”. Também é
possível exibir ou esconder os objetos, clicando-se no botão do
mesmo na janela de álgebra.
Exibir ou esconder os rótulos dos objetos, clicando sobre eles.
Copiar o estilo visual dos objetos, ou seja, cor, dimensão, estilo de
reta, tamanho do ponto, espessura da reta etc.
Apagar qualquer objeto. Também, pode-se realizar tal ação
selecionando o objeto e teclando “delete”.
A barra de menus possui vários itens. Nesse material iremos destacar
apenas alguns deles, já que muitos se assemelham à tantos outros softwares.
No menu “Arquivo” é possível:
criar um novo arquivo ou uma nova janela;
abrir um novo arquivo ou um arquivo já gravado;
abrir páginas da WEB que possuem applets;
gravar as construções;
compartilhar um arquivo postando no site oficial do geogebra;
criar Applets utilizando a opção “Planilha Dinâmica como Página WEB
(html)...” no item “Exportar”;
copiar a construção para outros softwares clicando em “Copiar para
Área de Transferência”.
No menu “Editar” é possível:
desfazer ou refazer alguma ação incorreta;
copiar e colar objetos;
inserir imagem de arquivo ou da área de transferência;
alterar as propriedades dos objetos como cores, espessura das
retas etc;
selecionar as construções;
inverter as seleções;
exibir / esconder objetos e rótulos;
apagar objetos.
No menu “Exibir” é possível:
Ocultar ou exibir a janela de álgebra, a planilha de cálculo, a janela
CAS, a janela de visualização, a janela de visualização 2, o protocolo
de construção, o teclado virtual, o campo de entrada e o layout
para configurações;
Exibir duas janelas de visualização simultaneamente clicando em
“janela de visualização 2”;
O protocolo de construção ajuda sobremaneira para acompanhar o
desenvolvimento da mesma;
A “Janela CAS” permite realizar cálculos aritméticos (potenciação,
fatoração, resolução de equações, derivar ou integrar) utilizando símbolos.
No menu “Opções” é possível:
Escolher no item “Descrições Algébricas”, se a janela
exibirá o valor, a definição ou o comando do objeto criado;
No item “Pontos sobre a malha” configurar a inserção do
malha quadriculada;
Arredondar as casas decimais dos valores numéricos;
Configurar os rótulos dos objetos criados;
Modificar o tamanho da fonte dos símbolos, letras e
presentes na janela algébrica, na janela de visualização ou na
cálculo;
Alterar o idioma;
Realizar configurações no item “Avançado”.
algébrica
ponto na
números
folha de
No menu “Ferramentas” é possível:
Configurar a barra de ferramentas;
Criar uma nova ferramenta atendendo aos interesses do usuário;
Editar ou excluir a ferramenta criada no item “Gerenciar
ferramentas”.
No menu “Ajuda” é possível:
Recorrer à ajuda para tirar dúvidas sobre o GeoGebra;
Abrir a página de tutoriais do site oficial do GeoGebra;
Pesquisar materiais já compartilhados no site através do item “GeoGebraTube”;
Reportar erro aos criadores do software;
Obter informações sobre o software e sua licença.
ATIVIDADE 1: Retas e segmentos
Abra um novo arquivo e salve com o nome “ATIVIDADE 1” dentro da pasta GEOGEBRA que está na área de
trabalho. Em seguida, faça o que se pede:
Retire os eixos (clique com o botão direito do mouse na janela de visualização e, em seguida em
).
Trace uma reta qualquer (clique em ).
Renomeie essa reta para “b” (clique com o botão direito do mouse sobre a reta e, em seguida, em
).
Trace um segmento de reta qualquer (clique em
). Nomeie seus pontos para E e F (clique com o
botão direito do mouse sobre o segmento de reta e, em seguida, em
).
Modifique a cor do segmento da atividade anterior, aumente a espessura da linha para “7” e escolha a
decoração que mais lhe agradar (clique com o botão direito do mouse sobre o segmento e, em
).
Trace um segmento com tamanho fixo de 8 cm e modifique sua cor e sua espessura conforme desejar
(clique em ).
Salve todas as suas construções clicando em “Arquivo” e posteriormente em “Gravar”.
ATIVIDADE 2: Retas paralelas, perpendiculares e mediatriz
Abra um novo arquivo e salve com o nome “ATIVIDADE 2” dentro da pasta GEOGEBRA que está na área de
trabalho. Em seguida, faça o que se pede:
Trace um segmento de reta AB (clique em
).
Trace uma reta perpendicular a esse segmento passando pelo ponto A (clique em
da reta perpendicular para verde.
Insira um ponto C em qualquer parte da janela de visualização (clique em
Trace uma reta paralela ao segmento AB passando pelo ponto C (clique em
dessa reta para vermelho.
). Modifique a cor
).
). Modifique a cor
Confirme a sua construção medindo os ângulos das retas paralelas e da perpendicular (clique em
).
Trace uma mediatriz no segmento AB (clique em ). Em seguida, modifique sua cor para azul.
Salve todas as suas construções clicando em “Arquivo” e posteriormente em “Gravar”.
ATIVIDADE 3: Triângulo, bissetriz e incentro
Abra um novo arquivo e salve com o nome “ATIVIDADE 3” dentro da pasta GEOGEBRA que está na área de
trabalho. Em seguida, faça o que se pede:
Construa um triângulo ABC de qualquer tamanho (clique em
Meça os seus ângulos (clique em
).
). Arraste os valores para dentro do triângulo posicionando-os em
frente aos seus referidos ângulos (clique em ).
Modifique as cores dos ângulos colocando cada um de uma cor diferente (clique com o botão direito
do mouse em “propriedades”).
Trace as bissetrizes dos ângulos  , B̂ e Ĉ (clique em
).
Marque o incentro, denominando de I (clique em ).
Salve todas as suas construções clicando em “Arquivo” e posteriormente em “Gravar”.
ATIVIDADE 4: Triângulo, mediana e baricentro
Abra um novo arquivo e salve com o nome “ATIVIDADE 4” dentro da pasta GEOGEBRA que está na área de
trabalho. Em seguida, faça o que se pede:
Construa um triângulo ABC de qualquer tamanho (clique em
Meça seus lados (clique em
).
). Arraste os valores para fora do triângulo posicionando-os junto aos
seus referidos lados (clique em ).
Trace as suas medianas e nomeie os seus pontos conforme a figura ao lado
(clique em
e
).
Marque o baricentro, denominando de G (clique em
).
Trace os segmentos AD e DC sobre o lado AC (clique em ). Em seguida
modifique suas cores e decore-os de maneira a mostrar a sua congruência, conforme a figura abaixo.
Faça o mesmo procedimento para todos os outros segmentos congruentes.
Verifique a sua construção, exibindo o valor de cada segmento congruente (clique sobre o segmento
na janela de álgebra com o botão direito do mouse, em seguida, clique em
e depois em
). Arraste os valores para fora do triângulo, conforme a figura a seguir.
Agora, marque todos os triângulos formados pelas medianas. Em seguida, calcule as suas áreas. O que
você observa? Insira uma caixa de texto e escreva a sua observação (clique em ).
Salve todas as suas construções clicando em “Arquivo” e posteriormente em “Gravar”.
ATIVIDADE 5: Circunferência e polígonos
Abra um novo arquivo e salve com o nome “ATIVIDADE 5” dentro da pasta GEOGEBRA que está na área de
trabalho. Em seguida, faça o que se pede:
Desenhe um círculo qualquer (clique em
).
Insira um ponto na circunferência (clique em
em
). Trace o setor menor passando por esse ponto (clique
).
Meça o ângulo formado por esse setor (clique em
).
Em outro espaço da janela de visualização, construa um pentágono regular (clique em
Construa uma circunferência circunscrita no pentágono criado (clique em
Agora é com você! Utilize os conhecimentos obtidos até o momento e:
a. Marque o centro da circunferência;
b. Inscreva uma circunferência no pentágono.
).
).
ATIVIDADE 6: Função do 2º grau
Abra um novo arquivo e salve com o nome “ATIVIDADE 6” dentro da pasta GEOGEBRA que está na área de
trabalho. Em seguida, faça o que se pede:
1ª parte:
Antes de iniciar a construção verifique se os eixos e a malha quadriculada estão ativados. Se não
estiver, clique com o botão direito do mouse sobre a janela de visualização e ative-as.
Construa 3 seletores “a”, “b” e “c” (clique em
e, após, em qualquer lugar da janela de visualização).
Agora, digite no “campo de entrada” a seguinte função y=a*x^2+b*x+c e tecle enter.
Mova o seletor “a” para o lado direito (valores positivos) e observe o que acontece com a parábola
(clique primeiramente sobre
e depois sobre a bolinha preta no seletor).
Mova o seletor “a” para o lado esquerdo (valores negativos) e observe a posição da parábola.
Coloque o seletor “a” sobre o valor 0 (zero) e observe o que acontece com a parábola.
Abra uma caixa de texto (clique em
e, após, em qualquer lugar da janela de visualização) e
responda as questões abaixo. Não se esqueça de colocar o número da questão antes da reposta.
Questão 1 – Quando o valor de “a” é positivo o que ocorre com a concavidade da parábola?
Questão 2 – Quando o valor de “a” é negativo o que ocorre com a concavidade da parábola?
Questão 3 – Quando o valor de “a” é igual a 0 (zero) o que acontece com a parábola?
2ª parte:
Agora, digite no “campo de entrada” (Vértice[d]) e tecle “enter”. Você irá observar que o vértice da
parábola irá aparecer na janela de álgebra e um ponto no gráfico. Clique com o botão direito do mouse
sobre o ponto que apareceu no gráfico e clique em “Propriedades →
”
Mova o seletor “a” para qualquer valor diferente de 0 (zero).
Coloque seletor “b” sobre o valor 0 (zero) e verifique onde se posicionará o vértice da parábola.
Observe o valor do seletor e o valor do vértice no gráfico.
Mova os seletores “a” e “c” e observe novamente.
Abra uma caixa de texto (clique em
e, após, em qualquer lugar da janela de visualização) e
responda as questões abaixo. Não se esqueça de colocar o número da questão antes da reposta.
Questão 4 – Quando o valor de “b” é 0 (zero) onde se posicionará o vértice da parábola?
3ª parte:
Mova os seletores “a” e “b” para qualquer valor diferente de 0 (zero).
Marque a intersecção da parábola com o “eixo y” (clique em
e, em seguida, no encontro da
parábola com o eixo y).
Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto de intersecção e, em seguida, em “propriedades”.
No item “Exibir rótulos” clique na seta e escolha a opção “nome & valor”. Feche a janela de
propriedades.
Agora, mova o seletor “c” e observe a relação existente entre o valor do seletor e do ponto de
intersecção.
Coloque o seletor “a” no valor 2, o seletor “b” no valor – 3 e o seletor “c” no valor 4.
Abra uma caixa de texto (clique em
e, após, em qualquer lugar da janela de visualização) e
responda as questões abaixo. Não se esqueça de colocar o número da questão antes da reposta.
Questão 5 – Qual a função formada? (Dica: olhe na janela algébrica)
Questão 6 – Observe o ponto de intersecção do gráfico e o valor de “c”. O que você conclui sobre a
relação existente entre o valor “c” e o “eixo y”?
4ª parte:
De acordo com as suas observações, complete os espaços abaixo:
Se a > 0 (positivo) então a concavidade da parábola é voltada para ______________ (cima ou baixo).
Se a < 0 (negativo) então a concavidade da parábola é voltada para ______________ (cima ou baixo).
Se a = 0 o gráfico é uma _________________ (reta ou parábola).
Quando b = 0 o vértice da parábola toca o __________________ (Eixo X ou Eixo Y).
A parábola toca o Eixo Y no valor de “a”, “b” ou “c” da função? __________________.
ATIVIDADE 7: Ângulos formados por duas retas paralelas e
uma transversal
Abra um novo arquivo e salve com o nome “ATIVIDADE 7” dentro da pasta GEOGEBRA que está na área de
trabalho. Em seguida, faça o que se pede:
Trace duas retas paralelas e uma transversal passando pelas paralelas;
Marque alguns pontos sobre as retas (conforme a figura ao lado) e meça os
ângulos;
Questão 1 - O que você observou sobre as medidas dos ângulos?
Pinte os ângulos congruentes com a mesma cor.
Mova as retas e verifique o que acontece com os ângulos.
Questão 2 - Pesquise o nome desses ângulos e estabeleça uma regra para eles.
Utilize a ferramenta “inserir texto” e escreva as suas conclusões para cada questão proposta. Salve o
arquivo na área de trabalho com o nome “ângulos formados por paralelas e transversal”.
ATIVIDADE 8: Circunferência
Abra um novo arquivo e salve com o nome “ATIVIDADE 8” dentro da pasta GEOGEBRA que está na área de
trabalho. Em seguida, faça o que se pede:
Construa uma circunferência qualquer e uma de suas cordas.
Trace a mediatriz dessa corda. O que você verifica em relação à perpendicular e a circunferência?
Enuncie essa propriedade e tente explicar porque isso ocorre.
ATIVIDADE 9: Soma dos ângulos internos do triângulo
Abra um novo arquivo e salve com o nome “ATIVIDADE 9” dentro da pasta GEOGEBRA que está na área de
trabalho. Em seguida, faça o que se pede:
Construa um triângulo qualquer.
Meça seus ângulos internos.
Utilize a janela de entrada e monte uma expressão para calcular a soma dos ângulos internos.
Movimente um dos vértices do triângulo e verifique o que acontece com a soma dos ângulos internos.
Agora, utilizando o GeoGebra mostre porque isso ocorre.
Formalize seu pensamento escrevendo a demonstração na caixa de texto.
ATIVIDADE 10: A reta de Euler
Abra um novo arquivo e salve com o nome “ATIVIDADE 10” dentro da pasta GEOGEBRA que está na área de
trabalho. Em seguida, faça o que se pede:
Construa um triângulo qualquer.
Trace as suas alturas e marque o ortocentro, nomeio-o de O. Oculte as retas deixando somente o
ponto O do ortocentro.
Trace as medianas e marque o baricentro, nomeio-o de G. Oculte as retas deixando somente o ponto
G do baricentro.
Trace as mediatrizes e marque o circuncentro, nomeio-o de H. Oculte as retas deixando somente o
ponto H do circuncentro.
Trace uma reta passando pelos pontos O, G e H.
Mova os vértices do triângulo e verifique o que ocorre com os pontos O, G e H.
Enuncie uma propriedade para esse fato, escrevendo-a na caixa de texto.
Agora, trace os segmentos OG e GH e determine a razão entre eles. O que você observou sobre essa
razão? Mova os vértices do triângulo e verifique o que ocorre com a razão.
Enuncie uma propriedade para esse fato, escrevendo-a em outra caixa de texto.
NÓBRIGA, J. C. C.; LA, L. C. Aprendendo matemática com o GeoGebra. São Paulo: Exato, 2010.
REALI, G. A. et al. Ferramentas mediadoras no ensino da matemática: Moodle e GeoGebra a favor do
aprendizado de saberes matemáticos. In: CONFERENCIA LATINOAMERICANA DE GEOGEBRA, 1., 2012,
Montevideu. ATAS. Conferencia Latinoamericana de GeoGebra, 2012. p. 245 - 251. Disponível em:
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