MATEMÁTICA
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EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
2
4
5
4
1) b ⋅ b
x
x
É toda a equação do tipo a 1 = a 2 , em que a
base é um valor real positivo e diferente de 1, x1 e
x2 variáveis reais.
2) x ⋅ x
=b
3 + 4
=x
= b
5 + 4
7
= x
9
Divisão de potências de mesma base
Procedimento
exponencial
para
resolver
uma
equação
x
x
a 1= a 2
A divisão de duas ou mais potências de mesma
base é uma potência da mesma base, cujo
expoente é a diferença do(s) expoente(s)
numerador(es) pelo(s) expoente(s) do(s)
denominador(es)..
Para uma base no numerador e uma no
denominador:
am
m−n
=a
an
simplifique a base
x
x
e iguale os expoentes
1
2
a/ = a/
→ x =x
1
2
P.ex.:
PROPRIEDADES
1)
Produto de potências de mesma base
2)
O produto de duas ou mais potências de mesma
base é uma potência da mesma base, cujo
expoente é a soma dos expoentes dos fatores.
x5
x4
=x
a5 ⋅ a3
= a
a4
8 - 4
5 − 4
=
=a
= x
a5 + 3
a4
1
= a
5 + 3 − 4
=
4
Para duas bases:
a
m
⋅a
n
=a
m+n
Expoente zero
Para três bases:
a
m
m+n+p
n p
⋅a ⋅a = a
A potência de expoente zero provém da divisão de
potências de mesma base, e expoente de cada
base, iguais entre si.
Pela regra da divisão de mesma base, temos:
E, assim por diante
a
a
n
n = a
n−n
= a
0
P.ex.:
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Quando o numerador e o denominador forem
iguais, o quociente é igual a 1.
Expoente fracionário ( igual a raiz )
Raiz de índice n de uma potência de expoente m
a
a
n
Caso em que o índice n é diferente do expoente m
do radicando.
n =1
Comparando os dois resultados, concluímos que:
a
0
=1
Para extrair a raiz n de uma potência m, divide-se o
expoente da potência (radicando) pelo índice n da
raiz.
n
m
a
m
= an
.
Restrição em potência
.
0
0 = é uma indeterminação (seu valor não fica
definido)
Raiz de índice n de uma potência de expoente n
Caso em que o índice n é igual ao expoente n do
radicando.
P.ex.:
1)
(ab)3
(ab)3
3−3
0
= (ab)
= (ab) = 1 , para “ab” diferente
Para extrair a raiz n de uma potência de expoente
n, divide-se o expoente da potência pelo índice n da
raiz.
de zero.
n
1
n n
a = an = a = a
Potência de uma potência
Toda a potência cujo expoente é um produto de
dois ou mais fatores, pode ser transformada numa
potência de potência, onde os expoentes são os
dois ou mais fatores.
Com dois fatores no expoente
a
m ⋅n
= (a
m ⋅n ⋅p
= ((a
DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
m n
)
Com três fatores no expoente
a
PRODUTO ( a + b ) ⋅ ( a − b ) DA SOMA PELA
mn p
) )
O produto da soma pela diferença de dois termos é
igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado
do segundo.
E, assim por diante
( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a2 − b2
PROPRIEDADES DAS RADICIAÇÕES
.
2
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03
04
05
TESTES
E
-17
C
x
1. Se 8 = 32, então x é igual a:
a) 5/2
b) 5/3
c) 3/5
d) 2/5
e) 4
x
2. Se 2 = 2048, então, x vale :
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Definição
Chama-se logaritmo de um número N>0 numa base
a, com a>0 e a ≠ 1 , o expoente x a que se deve
elevar a base a para que a potência obtida seja
igual a N.
a) 7
b) 11
c) 13
d) 17
e) 19
Simbolicamente
3. A raiz da equação (7x - 2 10)(7x + 2 10) =9 é um
número:
a) irracional negativo
b) irracional positivo
c) par
d) inteiro negativo
e) inteiro positivo
loga N = x ∴ a
x
=N
Condição de existência
N > 0 positivo
4. (UFSC-SC) O valor de x que satisfaz a equação
4x −12
5
1
=
é:
5x +8
125
5
a>0ea≠1
x qualquer valor real
Propriedades
x
5. Se y = 10 é um número entre 1000 e 100 000,
então x está entre:
a) -1 e 0
b) 2 e 3
c) 3 e 5
d) 5 e 10
e) 10 e 100
Mudança de base
GABARITO
01 B
02 B
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logaN =
lognova N
base
tempo após a aplicação o montante será de R$ 3
500,00?
lognova a
base
Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e
juros compostos, a utilização das técnicas de
logaritmos é imprescindível.
Observe:
I) A nova base deve ser positiva e diferente de um.
II) O N continua sendo logaritmando e, o a passa a
ser logaritmando (deixa de ser base).
Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C
t
* (1 + i) . De acordo com a situação problema,
temos:
M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t=?
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
t
É toda a equação do tipo log a x1 = loga x 2 , em
que a base é um valor real positivo e diferente de 1,
x1 e x2 variáveis reais positivas.
M = C * (1 + i)
t
3500 = 500 * (1 + 0,035)
t
3500/500 = 1,035
t
1,035 = 7
Aplicando logaritmo
Procedimento
exponencial
para
resolver
uma
equação
log a x 1 = loga x 2
t
log 1,035 = log 7
t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora
científica )
t * 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7
O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56
meses de aplicação.
simplifique os loga e
iguale os logaritmandos
log
/ a x1 = log
/ a x2 → x1 = x2
TESTES
1. Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01
valem respectivamente:
a) 2, 1 e -3
b) 1, 0 e -2
c) 3, 1 e -2
d) 4, -2 e -3
e) 3, 0 e -2
TESTE RESOLVIDO
1. Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00
numa instituição bancária que paga juros mensais
de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto
4
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2. (UEPG-PR) A expressão
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log 1 81 + log10 0,001 + log10 3 10
3
c) 1,690
d) 2,107
e) 1,107
vale:
7. Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a:
4
a) 3
b)
a) 0,6990
b) 0,6880
c) 0,6500
d) 0,6770
e) 0,6440
4
3
c) -
20
3
8. Sendo loga2 = 0,69 e loga 3 = 1,10, o valor de
21
d) 3
loga
19
e) 3
3. (FCC-TRF) Se
16
x −1
=
1
x , então,
8
considerando log 2 = 0,30, o valor de log x é:
a) −0,40
b) −0,20
c) −0,10
d) 0,20
e) 0,40
4. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60
vale:
a) 1,77
b) 1,41
c) 1,041
d) 2,141
e) 0,141
5. Considerando que log 2 = 0,3010300, log 125 é:
a) 376,29000
b) 188,15000
c) 1,9030900
d) 2,9818000
e) 2,0969100
6. ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845,
qual será o valor de log 28 ?
a) 1,146
b) 1,447
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é:
a) 0,62
b) 0,31
c) -0,48
d) 0,15
e) 0,14
5
9. Dado log 4 = 0, 602 , o valor de log 32 é:
a) 15,050
b) 13,725
c) 11,050
d) 9,675
e) 7,525
10. Se log 5 = 0,70 o valor de log 250 é:
a) 2,40
b) 2,70
c) 2,80
d) 3,40
e) 3,80
11. Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log23
é:
a) 1,6
b) 0,8
c) 0,625
d) 0,5
e) 0,275
12. (FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar
que o log 9.000 é:
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a) 3,459
GABARITO
b) 3,594
c) 3,954
d) 5,493
e) 5,943
13. (FGV) Sabendo que log2 = 0,30, assinale a
x
melhor aproximação da solução da equação 2 =
80.
a) 6,1
b) 6,3
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
C
C
A
A
E
B
A
A
E
A
A
C
B
C
C
c) 6,5
d) 6,6
e) 6,7
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO
LOGARÍTIMICA
14. (FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar
que o log 9.000 é:
Considere a função y = a x , denominada função
a) 3,459
x
Observe que nestas condições, a é um número
positivo, para todo x ∈ R, onde R é o conjunto dos
números reais.
b) 3,594
c) 3,954
d) 5,493
Denotando o conjunto dos números reais positivos
*
por R+ , poderemos escrever a função exponencial
como segue:
f : R → R+ * , 0 < a < 1
e) 5,943
15. (PUC-SP) log50 + log40 + log20 + log2,5 é igual a:
a) 1
b) 3
exponencial, onde a base a é um número positivo e
diferente de 1, definida para todo x real.
Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e,
portanto, é uma função inversível, ou seja, admite
uma função inversa.
Vamos determinar a função inversa da função
c) 5
y = a x , onde 0 < a < 1
d) 10
Permutando x por y, vem:
e) 1000
x=a
y
implica
y = loga x .
Portanto, a função logarítmica é então:
f : R + * → R ; y = loga x , 0 < a < 1 .
6
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Mostramos a seguir, os gráficos das funções
exponencial y = a x e logarítmica y = loga x
IV) o conjunto imagem da função y = loga x é o
,
para os casos a > 1 e 0 < a < 1 .
Observe que, sendo as funções, inversas, os seus
gráficos são curvas simétricas em relação à
bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja,
simétricos em relação à reta y = x.
conjunto R dos números reais.
V) o domínio da função y = a x é o conjunto R
dos números reais.
VI) o conjunto imagem da função y = a x é o
*
conjunto R+ .
VII) observe que o domínio da função exponencial
é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e
que o domínio da função logarítmica é igual ao
conjunto imagem da função exponencial. Isto
ocorre porque as funções são inversas entre si.
TESTES
1+1/x
1. Se f ( x ) = 16
•
, então
f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é igual a :
a) 11
b) 13
c) 15
d) 17
e) 16
2. Seja a função composta
2x , para - 1 ≤ x ≤ 1
f(x) = 1
x >1
x , para
Da simples observação dos gráficos acima,
podemos concluir que:
I) para a > 1 , as funções exponencial e
logarítmica são CRESCENTES.
então f ( 0 ) - f ( 3/2 ) é igual a:
a) 5/2
b) 5/3
c) 1/3
d) -1/3
e) 2/3
II) para 0 < a < 1 , elas são DECRESCENTES.
III) o domínio da função y = loga x é o conjunto
*
R+ .
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3. (UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão
x
representados, o gráfico da função y = 2 , os
números a, b, c e suas imagens.
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y
y=2
calculado
aplicando-se
a
fórmula:
P(t) = 30000 .(0,9) t . Supondo que o ritmo de
diminuição se mantenha, é correto afirmar:
Daqui a 2 anos, a população será de:
x
a
2.2
a
2
a
2 /4
c
a
b
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x
Observando a figura, podemos concluir que, em
função de a, os valores de b e c são,
respectivamente:
6. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) A
população P de certa cidade cresce de acordo com
t
a função P(t) = 56.000 (1,01) , onde t significa o
tempo, em anos. O gráfico que melhor representa
essa função é
a)
b)
c)
d)
a) a/2 e 4a
b) a-1 e a+2
c) 2a e a/4
d) a+1 e a-2
e) a e a
4. (CESGRANRIO- DECEA -2007) A função real f,
definida para cada x IN por f(x) = log2 + log4 +
log8 + ... + log2
x–1
x
+ log2 , corresponde a:
a)
e)
b)
c)
d)
7. (FAE-PR) O número de bactérias B em uma
determinada cultura, após t horas, pode ser
t
determinado por meio da equação B(t) = 800 ⋅ 2 30 .
e)
Após quanto tempo o número de bactérias é o
quíntuplo do número inicial? (Considere log 2 =
0,30)
5.
(UFPR) Uma cidade cuja população vem
a)
diminuindo sistematicamente tem hoje 30000
b)
habitantes. Se o ritmo de diminuição se mantiver,
c)
então o número de habitantes daqui a t anos, P(t), é
8
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Neste curso os melhores alunos estão
65 horas;
68 horas;
70 horas;
sendo preparados pelos melhores Professores
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d) 72 horas;
e) 75 horas.
8. (FGV SP) Ao longo de uma campanha
publicitária pelo desarmamento, verificou-se que o
número de armas em poder das pessoas de uma
comunidade decresceu à taxa de 20% ao mês.
Após um tempo t, o número de armas nessa
comunidade foi reduzido à metade. Se log 2 = 0,30,
o valor de t é:
a)
b)
c)
d)
e)
3 meses
2 meses
137 dias
80 dias
57 dias
9. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) No
Brasil, um motorista não pode dirigir se o nível de
álcool no seu sangue for superior a 0,2 g por litro.
Considere que o nível N de álcool por litro de
sangue de um homem adulto, em gramas, decresça
t
de acordo com a função N(t) = N0.(1/2) , onde t
representa o tempo, em horas, e N0 representa o
nível inicial de álcool por litro de sangue. Certo
homem, adulto, ingeriu grande quantidade de
bebida alcoólica e o nível de álcool em seu sangue
chegou a 2 g por litro (N0 = 2). Quanto tempo ele
terá que esperar para poder dirigir? (Use log 2 =
0,3).
a)
b)
c)
d)
e)
3h e 20 minutos.
3h e 33 minutos.
4h e 40 minutos.
5h e 22 minutos.
6h e 30 minutos.
10. (NC.UFPR) Experiências feitas com um certo
tipo de bactéria mostraram que o número de
indivíduos numa cultura, em função do tempo, pode
0,4.t
ser aproximado pela expressão F(t) = 50.2 ,
sendo t o tempo medido em horas. Após quantas
horas essa cultura terá 800 indivíduos?
a) 10 horas
b) 12 horas
c) 15 horas
d) 18 horas
e) 24 horas
Atualizada Outubro/2010
11. (PUC-MG) De acordo com pesquisa feita na
última década do século XX, a expectativa de vida
em certa região é dada, em anos, pela função
E( t ) = 12 ⋅ (150 ⋅ logt − 491) , sendo t o ano de
nascimento da pessoa. Considerando-se
log2000 = 3,32 , uma pessoa dessa região, que
tenha nascido no ano 2000, tem expectativa de
viver:
a)
b)
c)
d)
68 anos
76 anos
84 anos
92 anos
12. (UEPB-PB) O número de lactobacilos numa
cultura duplica a cada hora. Se num dado instante
essa cultura tem cerca de mil lactobacilos, em
quanto tempo, aproximadamente, a cultura terá um
milhão de lactobacilos?
Considere log2 = 0,3.
a)
b)
c)
d)
e)
5 horas
100 horas
10 horas
7 horas
2 horas
GABARITO
01
B
02
C
03
D
04
E
05
24300
06
B
07
C
08
A
09
A
10
A
11
C
12
A
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07
C
08
19
09
A
10
A
11
C
12
C
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Considere uma ação constituída de duas etapas sucessivas.
Se na primeira etapa uma decisão d1 pode ser tomada por m1 opções diferentes e se, uma vez tomada à
decisão d1 seja necessário tomar uma decisão d2 e esta podendo ser tomada por m2 opções diferentes, então o
total de opções diferentes a serem tomadas nas decisões d1 e d2, é igual ao produto m1 . m2. Neste caso as
decisões são dependentes entre si, ou seja, é necessário que as decisões em cada etapa sejam sucessivas.
O número de opções em cada decisão pode ser igual em cada etapa, pode ser diferente em cada etapa ou
pode ser igual em pelo menos duas etapas.
Generalizando
Para descrição das d sucessivas decisões a serem tomadas, temos que:
d1 : a primeira decisão a ser tomada, tenha m1 opções distintas.
d2 : a segunda decisão a ser tomada, tenha m2 opções distintas.
d3 : a terceira decisão a ser tomada, tenha m3 opções distintas.
..:..........................
dn : a n – ésima decisão a ser tomada, tenha nn opções distintas.
Pelo princípio multiplicativo o produto m1 × m2 × m3 × . . . × mn é o número total agrupamentos que podemos
formar. Pela comutatividade da multiplicação (a ordem dos fatores não altera o produto) o valor do produto m1
× m2 × m3 × . . . × mn não se altera, logo, as decisões podem ser tomadas em qualquer que seja a ordem. Se
alguma decisão é mais complicada que as demais, ela deve ser tomada em primeiro lugar.
Exemplos
01. Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma seqüência de 5 símbolos
distintos, formada de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da seqüência em que
aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é:
a) 115
b) 120 c) 150
d) 200 e) 249
Resolução
I) A senha de acesso é formada por duas letras e três números, uma formação possível é:
Supondo a senha
6
10
7
P
K
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Considerando que a senha seja a sugerida acima, e considerando que não pode haver repetição de qualquer
um dos 5 símbolos, é facilmente resolvida pelo princípio multiplicativo ou por permutação simples.
Opções
1ª digitada
2ª digitada
3ª digitada
4ª digitada
5ª digitada
Poderá escolher, 6, 7, 9, P ou K
Poderá escolher, 6, 9, P ou K
Poderá escolher 6, 9 ou K
Poderá escolher 9 ou K
Só resta o 9
Quantidades
de opções
5
4
3
2
1
Atitude
Supondo que digitou 7
Supondo que digitou P
Supondo que digitou 6
Supondo que digitou K
Supondo que digitou 6
7
P
6
K
9
Multiplicando entre si os valores da 3ª coluna, 5x4x3x2x1=120, obtemos o total de formações diferentes
possíveis. Logo no máximo obterá 120 senhas.
Resposta, alternativa B
2. (CESGRANRIO) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a
6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a
primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par?
a) 15
b) 20
c) 23 d) 25
e) 27
Resolução
I) Na urna há, 5 bolas verdes numeradas (2 pares e 3 ímpares) e 6 bolas brancas numeradas (3 pares e 3
ímpares)
II) Retirar duas bolas conforme orientação na tabela que segue.
Retirar uma bola verde
e ímpar
possibilidades
3
Sem reposição da 1ª bola retirada. Retirar
uma bola par (podendo ser verde ou
branca)
possibilidades
5
x
=
15
II) Retirar duas bolas conforme orientação na tabela que segue.
Sem reposição da 1ª bola retirada.
Retirar uma bola par (podendo ser
verde ou branca)
Retirar uma bola verde
e par
possibilidades
2
x
possibilidades
4
=
8
III) Adicionar os resultados obtidos nos itens I e II.
15 + 8 = 23 extrações possíveis
Resposta: Alternativa C
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FATORIAL - SÍMBOLO !
Fatorial ! é um operador.
Seja n um número natural N, definimos fatorial de n, e indicamos por n!, através da relação:
01.
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)...3.2.1 para (n ≥ 2)
02.
2!=2.1=2
3!=3.2.1=6
4!=4.3.2.1=24
5!=5.4.3.2.1=120
6!=6.5.4.3.2.1=720
7!=7.6.5.4.3.2.1=5040
03.
Identidades importantes
0! = 1
1! = 1
Como conseqüência: Se m ! =1, m pode ser igual a 0 (m = 0) ou 1 (m = 1).
PERMUTAÇÃO SEM REPETIÇÃO
Definição
Se um agrupamento é formado por n elementos distintos, em que:
n é igual ao total de elementos que forma o agrupamento.
Estejam dispostos numa linha poligonal aberta.
Um agrupamento seja diferente do outro apenas pela posição relativa.
Que não haja repetição de qualquer elemento no agrupamento.
A todas as formações distintas com as orientações descritas, denominamos de permutação sem repetição ou
permutação simples. Permutar tem o sentido único de comutar ou trocar de posição seus n elementos
participantes no agrupamento, apenas entre si.
FÓRMULA
Pn = n!
Fórmula:
, lê-se: permutação de n elementos.
Obs.: Sabe-se que 0! = 1, define-se que P0 = 1.
Exemplo
Entre as provas de alta velocidade, a mais importante é a
corrida de 100 metros rasos, em que os vencedores são
conhecidos como o homem e a mulher mais rápidos do mundo.
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Os metros são "rasos" porque não há obstáculos na pista: é só
sair correndo!
Um atleta dá 45 passadas em média para percorrer o percurso
e cruza a linha de chegada a cerca de 36 km/h. Uma pessoa
comum faria a prova com 100 passadas e a uma velocidade de
22,5 km/h.
Mas o limite para os 100 metros rasos pode não estar tão
distante. Denny estima que o homem poderá vencer a
distância em até 9s48, ou seja, correr 0s21 mais rápido do que
o atual recorde mundial de 9s69, de Usain Bolt.
Supondo que a final de uma corrida de 100 metros rasos,
participam 7 atletas, e todos concluem a provas sem haver
empate em quaisquer das posições, então calcule o número de
resultados distintos para a prova.
Solução
I) Dados
> Total de atletas n = 7.
> Não repetição de elementos
II) Cálculo
Pn = n!
P7 = 7!
P7 = 7.6.5.4.3.2.1
P7 = 5 040
III) Conclusão e resposta
O total de formações possíveis para os sete atletas é 5 040.
Resposta: 5 040
PERMUTAÇÃO CIRCULARES SEM REPETIÇÃO
Definição
Seja um agrupamento com n elementos distintos dispostos em circulo, em que:
Todos os n elementos estejam dispostos em formação circular.
Estejam equiespaçados em torno de um circulo.
Não podem coincidir entre si por rotação.
Importa apenas a posição relativa entre si.
Que não haja repetição de qualquer elemento no agrupamento circular.
A todas as formações distintas com as orientações descritas, denominamos de permutação circular sem
repetição ou permutação circular simples.
Representação:
, lê-se: permutação circular de n elementos.
Apresentação
Partindo do agrupamento das letras ABC, pela permutação sem repetição, calculamos pela fórmula Pn = n!,
neste caso n=3, então P3 = 3! = 3.2.1 = 6. Se o mesmo raciocínio for aplicado às permutações de elementos
dispostos em circulo, teremos as seis situações que seguem:
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Na formação que segue, foi feita disposição dos 3 elementos { A, B, C } no sentido anti-horário,
Na figura 1, A precede B, que precede C, que precede A. A mesma ordem ocorre nas figuras 2 e 3,
logo, a posição relativa ente esses elementos é a mesma. Temos portanto, uma única ordenação na
distribuição.
Na figura 4, A precede C, que precede B, que precede A. A mesma ordem ocorre nas figuras 5 e 6,
logo, a posição relativa ente esses elementos é a mesma. Temos portanto uma única ordenação na
distribuição.
Com três elementos são possíveis seis distribuições, apenas 2 são distintas. Se os três elementos fossem
ordenados em linha, teremos 6 formações distintas, ou seja, P3 = 3! = 6.
Há diferença entre a permutação em tração fechado circular sem repetição com permutação sem repetição no
traçado aberto. As coincidências por rotação são mostradas na figura que segue.
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FÓRMULA:
PC n = ( n - 1)!
Exemplo
1. (CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião.
Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é
2
superior a 10 .
Resolução
I) Dados
n = 6 pessoas
II) Fórmula e cálculo
P(n-1) = (n-1)!
P(6-1) = (6-1)!
P5 = 5!
P5 = 5.4.3.2.1
P5 = 120
III) Afirmativa da CESPE
> “é superior a 102.” Ou seja, é superior a 100.
Afirmativa Correta
TESTES
1. Quantos números pares de três algarismos, com repetição de pelo menos dois algarismos ou sem repetição
de algarismos, podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4?
a) 16
b) 48
c) 64
d) 24
e) 32
2. Quantos números pares de três algarismos com algarismos sem repetição de algarismos podem ser
formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4?
a) 30
b) 24
c) 16
d) 22
e) 12
3. (UFRJ-NCE) Cada região da figura abaixo vai ser pintada de uma cor distinta. Usando quatro cores, o total
de diferentes pinturas da figura é igual a:
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a)
b)
c)
d)
e)
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4
8
12
16
24
4. (CESGRANRIO-TJ-RO) Pedrinho precisava inventar uma bandeira para representar seu grupo em um
trabalho escolar. Ele criou uma bandeira simples, de quatro listras verticais, representada abaixo.
Pedrinho decidiu pintar sua bandeira utilizando as quatro cores da bandeira do Brasil. De quantos modos essa
bandeira poderá ser pintada, se duas listras seguidas devem, obrigatoriamente, ser de cores diferentes?
a)
24
b)
48
c)
72
d)
96
e)
108
5. (UCS) Uma prova compõe-se de vinte questões do tipo múltipla escolha, tendo cada uma quatro alternativas
distintas. Se todas as vinte questões foram respondidas ao acaso, o número máximo de maneiras de preencher
a folha de respostas será.
6. ( FGV - SP) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades
de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma
sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido ?
a) 90
b) 100
c) 110
d) 130
e) 120
7. Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes,
usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos?
a) 52
b) 86
c) 24
d) 32
e) 48
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8. (UFRJ-NCE) Há seis caminhos que ligam o acampamento A ao acampamento B e há três caminhos ligando
o acampamento B ao acampamento C. Não há caminhos diretos de A para C. Um grupo de pessoas quer ir de
A para C, passando por B. O número de trajetos diferentes que podem ser escolhidos é:
a) 6
b) 9
c) 12
d) 18
e) 30
9. (OBM) O alfabeto usado no planeta X tem somente duas letras: X e x. O sobrenome (nome de família) de
cada um de seus habitantes é uma seqüência formada por 4 letras. Por exemplo, xXxx é um possível
sobrenome utilizado nesse planeta. O maior número de sobrenomes diferentes que podem ser dados no
planeta X é:
a) 12
b) 14
c) 15
d) 16
e) 18
10. As finalistas do concurso Miss Universo, são Miss Brasil, Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss
França. De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, o segundo e terceiro lugar neste concurso?
11. (MACK-SP) Se uma sala tem 8 portas, então o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da
mesma por uma porta diferente é:
a) 8
b) 16
c) 40
d) 48
e) 56
12. (PUC-SP) Um dia pode ter uma das 7 classificações: MB (muito bom), B (bom), R (regular), O (ótimo), P
(péssimo), S (sofrível) e T(terrível). Os dias de uma semana são: domingo, segunda-feira, terça-feira, quartafeira, quinta-feira, sexta-feira, sábado.
Quantas semanas com classificação distinta, segundo o critério dado, existem?
a)
b)
c)
d)
e)
7!
2
7
7.7!
7
7
7
7!
13. Existem quatro estradas ligando duas cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantos
modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade A até a cidade C?
14. Uma sala possui 3 portas. Quantas possibilidades existem para que uma pessoa possa entrar e sair desta
sala?
15. (UFBA) Num determinado país, todo rádio-amador possui um prefixo formado por cinco símbolos, assim
disposto: um par de letras, um algarismo diferente de zero, outro par de letras; por exemplo: PY-6-CF. O
primeiro par de letras é sempre PY, PT ou PV; o segundo par só pode ser constituído das dez primeiras letras
do alfabeto, não havendo letras repetidas. Nesse país, o número de prefixos disponíveis é:
a) 270
b) 1230
c) 2430
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d) 2700
e) 3.9.10
16. Sejam A, B, C, D, quatro cidades.
De quantos modos uma pessoa pode ir de A à D passando pelas cidades B e C.
GABARITO
01 E
02 E
03 E
04 E
20
05 4
06 E
07 E
08 D
09 D
10 60
11 E
12 D
13 12
14 9
15 C
16 24
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS NEM TODOS DISTINTOS
Definição
Se um agrupamento é formado por n elementos nem todos distintos, em que:
n é igual ao total de elementos que forma o agrupamento.
Estejam dispostos numa linha poligonal aberta.
Um agrupamento seja diferente do outro apenas pela posição relativa de pelo menos um elemento.
Haja ocorrência de repetição de pelo menos um elemento de mesma natureza no agrupamento.
α, β, γ, . . ., λ indiquem as quantidades de elementos de cada natureza. Neste caso vale a relação α +
β + γ + ...+ λ = n.
A todas as formações com as orientações descritas, denominamos de permutação com nem todos os
elementos distintos. Permutar tem o sentido único de comutar os n elementos do agrupamento apenas entre si.
Representação:
, lê-se: permutação de n elementos nem todos distintos, com α, β, γ, ...,λ indicando a
quantidade de elementos de mesma natureza no agrupamento.
FÓRMULA
n!
Pnα,β, γ,... =
α ! β ! γ! ...
TESTES
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01. O número de anagramas distintos que podem ser formados com as letras da palavra ALUNO é:
a) 120
b) 30
c) 60
d) 80
e) 100
02. Quantos anagramas distintos podem ser formados com as letras da palavra “PALCO” podemos formar de
maneira que as letras A e L apareçam sempre juntas ?
a) 48
b) 24
c) 96
d) 120
e) 36
03. (ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L”
representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como
algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar,
antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o
número total de diferentes senhas possíveis é dado por:
26
10
a) 2 3
2
3
b) 26 10
26 10
c) 2 2
d) 26! 10!
e) 120
04. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMA?
05. Quantos números de cinco algarismos podem ser formados com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as
repetições apresentadas?
a) 12
b) 30
c) 6
d) 24
e) 18
06. Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S e terminam com O?
a) 7 !
b) 5 !
c) 30
d) 60
e) 90
07. (UFSM-RS) De quantas maneiras distintas podem-se alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma vermelha e
uma branca?
a) 12
b) 30
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c) 42
d) 240
e) 5040
8. (UnB-CESPE) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurandoas verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e
indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir,
no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.
9. (PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde
cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é:
a) 10
b) 24
c) 30
d) 60
e) 120
GABARITO
1
A
2
A
3
B
4
3
5
B
6
D
7
C
8
C
9
D
ARRANJO SEM REPETIÇÃO
Definição
Seja A um conjunto com n elementos distintos, toda a formação de agrupamentos com p elementos diferentes,
em que:
n p
p é a quantidade de elementos diferentes no agrupamento.
Estejam dispostos numa linha poligonal aberta.
Os agrupamentos tenham todos p elementos distintos.
Os agrupamentos sejam diferentes entre si pela natureza de pelo menos um elemento ou por sua
posição relativa.
As formações com as orientações descritas denominamos de arranjo sem repetição ou arranjo simples.
Representação:
ou
, lê-se: A de arranjo de n elementos p a p. O p é denominado de classe ou taxa.
FÓRMULA
A n ,p =
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n!
( n − p)!
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A particularidade gerada quando n = p, e como foi definido anteriormente que 0! = 1, obtemos
An,n = n.(n -1).(n -2). ... .3.2.1 = n!. Podemos então dizer que há n! permutações de n elementos distintos
tomados n a n, logo, introduzimos o termo permutação sem repetição como sendo um caso particular de
arranjo sem repetição. Detalhamos no próximo item.
ARRANJO COM REPETIÇÃO
Definição
Seja A um conjunto com n elementos distintos, toda a formação de agrupamentos com p elementos iguais ou
diferentes, em que:
Ou n > p, ou n = p ou n < p.
p é a quantidade de elementos iguais ou diferentes no agrupamento.
Estejam dispostos numa linha poligonal aberta.
Os agrupamentos tenham todos p elementos iguais ou diferentes.
Podendo, qualquer elemento figurar no mesmo agrupamento até p vezes.
Os agrupamentos sejam diferentes entre si pela natureza de pelo menos um elemento ou por sua
posição relativa.
As formações com as orientações descritas, denominamos de arranjo com repetição ou arranjo composto.
Representação:
ou
, lê-se: Arranjo com repetição de n elementos p a p. O p é denominado de
classe ou taxa.
FÓRMULA:
A n, p = n p
COMBINAÇÃO SEM REPETIÇÃO
Definição
Seja A um conjunto com n elementos distintos, toda a formação de subconjuntos de A com p elementos
diferentes, em que:
n p
p é a quantidade de elementos diferentes no subconjunto.
Estejam dispostos em subconjuntos.
Os subconjuntos tenham todos p elementos diferentes.
Os subconjuntos sejam diferentes entre si somente pela natureza de pelo menos um elemento.
As formações com as orientações descritas, denominamos de combinação sem repetição ou combinação
simples.
Representação:
ou
, lê-se: Combinação de n elementos p a p. O p é denominado de classe ou taxa.
FÓRMULA
C n ,p =
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n!
( n − p)!⋅p !
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TESTES
1. (OSEC) De um grupo de estudos de vinte pessoas, onde seis são médicos, deseja-se formar comissões de
dez pessoas, sendo que todos os médicos devem ser incluídos em cada comissão. O número de formas para
elaborar as comissões pode ser dado por:
a)
b)
c)
d)
e)
A14,4
A20,4
A2O,6
C2O,4
C14,4
2. (UF-SM) Considerando um número de 5 algarismos distintos [ 2 _ _ 4 _ ], o número de formas possível para
preencher as lacunas, de modo a obter um múltiplo de 5 é:
a) 2C8,2
b) 2C8,3
c) 2A7,3
d) 2A7,2
e) A8,2
3. Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas diferentes ele
poderá escolher as 10 questões?
4. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, desejamos formar comissões contendo 3
professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?
(CESPE) Em uma reunião social, cada convidado cumprimentou uma única vez todos os outros com um aperto
de mão, o que resultou em 45 desses cumprimentos. Nesse contexto, é correto afirmar que
5. (CESPE) Apenas 12 pessoas participaram da reunião.
6. (UFRJ-NCE) A partir de um grupo de 10 pessoas, deseja-se formar duas equipes de 5 para disputar uma
partida de vôlei de praia. De quantas formas distintas pode-se formar as equipes?
a) 50
b) 126
c) 252
d) 15120
e) 30240
7. Em uma empresa de 10 sócios, deseja-se formar diretorias com 4 membros. Quantas diretorias distintas
podem ser formadas.
a) 5040
b) 40
c) 2
d) 210
e) 5400
8. O numero de triângulos distintos determinados por 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma
paralela á primeira, é:
a) 60
b) 30
c) 20
d) 10
e) 5
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9. (UFF-RJ) A partir de um grupo de 6 alunos e 5 professores será formada uma comissão constituída por 4
pessoas das quais, pelo menos duas devem ser professores.
Determine de quantas formas distintas tal comissão pode ser formada.
10. (ESAF) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O
número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a:
a) 24.360
b) 25.240
c) 24.460
d) 4.060
e) 4.650
O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8
países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas
informações, julgue os itens que se seguem.
11. (CESPE-BB) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada
país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes
de classificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6.
12. (CESPE-BB) Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7
países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e
2 do Caribe.
13. (CESPE-BB) Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central, participantes
dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo
menos 3 países da América Central é inferior a 180.
14. (CESPE-BB) Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de
cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades
distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.
15. (CESPE-BB) Considere a seguinte situação hipotética.
Para oferecer a seus empregados cursos de inglês e de espanhol, uma empresa contratou 4 professores
americanos e 3 espanhóis. Nessa situação, sabendo que cada funcionário fará exatamente um curso de cada
língua estrangeira, um determinado empregado disporá de exatamente 7 duplas distintas de professores para
escolher aqueles com os quais fará os seus cursos.
Assinale o que for correto:
16. Com um grupo de 6 pessoas podem ser formadas 15 comissões diferentes de 4 pessoas cada.
17. (OSEC) De um grupo de estudos de vinte pessoas, onde seis são médicos, deseja-se formar comissões de
dez pessoas, sendo que todos os médicos devem ser incluídos em cada comissão. O número de formas para
elaborar as comissões pode ser dado por:
a) A14,4
b) A20,4
c) A2O,6
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d) C2O,4
e) C14,4
18. (CESGRANRIO-C) Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por 3 supervisores e 10 técnicos.
Todo dia, é escalada para o trabalho uma equipe com 1 supervisor e 4 técnicos. Quantas equipes diferentes
podem ser escaladas?
a)
b)
c)
d)
e)
15120
3780
840
630
510
19. (CESGRANRIO-EPE) Um grupo é formado por 7 pessoas, dentre as quais estão Lúcio e Pedro. De quantas
maneiras diferentes é possível escolher 4 pessoas desse grupo de forma que Lúcio e Pedro não façam parte,
simultaneamente, dos quatro selecionados?
a)
b)
c)
d)
e)
5
10
15
20
25
20. (CESPE- BB) Em um torneio em que 5 equipes joguem uma vez entre si em turno único, o número de jogos
será superior a 12.
Ao visitar o portal do Banco do Brasil, os clientes do Banco do Brasil Estilo podem verificar que, atualmente, há
12 tipos diferentes de fundos de investimento Estilo à sua disposição, listados em uma tabela. Com respeito à
quantidade e diversidade de fundos disponíveis, julgue os itens subseqüentes.
21. (CESPE–BB) Um cliente do Banco do Brasil Estilo que decidir escolher 3 fundos diferentes para realizar
seus investimentos terá, no máximo, 13.200 escolhas distintas.
22. (CESPE–BB) Se o Banco do Brasil decidir oferecer os fundos de investimento Estilo em 4 pacotes, de modo
que cada pacote contemple 3 fundos diferentes, então a quantidade de maneiras distintas para se montar esses
pacotes será superior a 350 mil.
GABARITO
1
B
2
D
3
3 003
4
120
5
Errada
6
C
7
D
8
B
9
215
10 A
11 C
12 E
13 E
14 C
15 E
16 C
17 E
18 D
24
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20
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E
E
E
C
ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO A ESTATISTICA
OBJETO DA ESTATÍSTICA
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar
e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão.
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos,
na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística
extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam.
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo
antes de se recolher à amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de
modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou
seja, para a população de onde os dados provêm.
FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS
O que é Estatística?
1. É a ciência da tomada de decisão perante incertezas;
2. Coleta, análise e interpretação de dados;
Definições Básicas da Estatística
2) dado estatístico: é um dado numérico e é considerado a matéria-prima sobre a qual iremos aplicar os
métodos estatísticos.
3) população: é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum.
4) amostra: é uma parcela representativa da população que é examinada com o propósito de tirarmos
conclusões sobre a essa população.
5) parâmetros: São valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la.Para
definirmos um parâmetro devemos examinar toda a população.
6) estimativa: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra.
7) atributo: quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o levantamento e os estudos
necessários ao tratamento desses dados são designados genericamente de estatística de atributo.
8) variável: É, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
Variável Qualitativa: Quando seus valores são expressos por atributos
Variável Quantitativa: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados
possui uma estrutura numérica, trata-se, portanto da estatística de variável e se dividem em:
Variável Discreta ou Descontínua: Seus valores são expressos geralmente através de números inteiros não
negativos. Resultante normalmente de contagens. Ex: Nº de alunos presentes às aulas de estatística no 1º
semestre de 2009: mar = 18, abr = 30 , mai = 35 , jun = 36.
Variável Contínua: Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus possíveis valores
corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre
dois limites. Ex.: Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com um termômetro de mercúrio o que
ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas intermediárias até
chegar na temperatura atual do seu corpo.
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SÉRIES ESTATÍSTICAS
TABELA: Resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática.
De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar:
• um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero;
• três pontos ( ... ) quando não temos os dados;
• zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada;
• um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor.
Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto.
É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do
local ou da espécie.
Séries Homógradas: são aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua.
Podem ser do tipo temporal, geográfica ou específica.
a) Série Temporal: Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie (fenômeno) são
elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva.
INFORMÁTICA ENTER LTDA
Vendas no 1º bimestre de 2009
PERÍODO
UNIDADES VENDIDAS *
JAN/2009
FEV/2009
TOTAL
20
10
30
* Em mil unidades
. b) Série Geográfica: Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato (espécie) são
elementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização.
INFORMÁTICA ENTER LTDA
Vendas no 1º bimestre de 2009
FILIAIS
UNIDADES VENDIDAS *
São Paulo
Rio de Janeiro
TOTAL
13
17
30
* Em mil unidades
c) Série Específica: O caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de série categórica.
INFORMÁTICA ENTER LTDA
Vendas no 1º bimestre de 2009
INFORMÁTICA ENTER LTDA
Vendas no 1º bimestre de 2009
MARCA
26
Atualizada Outubro/2010
UNIDADES VENDIDAS *
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FIAT
GM
TOTAL
18
12
30
* Em mil unidades
Séries Conjugadas: Também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas à apresentação de duas
ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical. O
exemplo abaixo é de uma série geográfica-temporal.
INFORMÁTICA ENTER LTDA
Vendas no 1º bimestre de 2009
FILIAIS
São Paulo
Rio de Janeiro
TOTAL
Janeiro/2009
10
12
22
Fevereiro/2009
3
5
8
* Em mil unidades
1. DADOS NÃO AGRUPADOS (OU NÃO TABULADOS) E SEM INTERVALO DE CLASSE
1.1.
EXEMPLO DE TABELA COM DADOS NÃO AGRUPADOS E SEM INTERVALO DE CLASSE
A característica que define o tipo de tabela é a ausência da coluna da freqüência absoluta.
Ordem
i
1
2
3
4
5
Áreas
Agrárias
Artes
Biológicas
Exatas
Humanas
Total
Dados
xi
145
112
708
794
2.883
4.642
ou seja, a freqüência absoluta fi de cada dado xi é unitária.
Ordem
i
1
2
3
4
5
Áreas
Dados
Agrárias
Artes
Biológicas
Exatas
Humanas
Total
xi
145
112
708
794
2.883
4.642
Freqüência
relativa
fi
1
1
1
1
1
Freqüência
Acumulada
Fi
1
2
3
4
5
Frequências absolutas ou simples (fi): É a quantidade de vezes que cada elemento x se repete.
Frequência acumulada (Fi): É o acumulo dos valores de uma freqüência absoluta (ou simples) com o(s) da(s)
linha(s) das freqüências absolutas (ou simples) precedentes.
Assim:
F1 = f1
F2 = f2 + f1
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F3 = f3 + f2+ f1
F4 = f4 + f3+ f2+ f1
E assim até a última ordem.
1.2.
PRODEDIMENTOS PARA CÁLCULOS DA MÉDIA, MEDIANA, MODA, VARIÂNCIA E DISVIO
PADRÃO.
Passo 1
Passo 2
Passo 3
CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA
Somatório das frequências absolutas
f ( para o passo 3, 7 e 8)
Somatório dos dados x
( para o passo 3)
FÓRMULA
Para obter a média aritmética
Passo 6
CÁLCULO DA VARIÂNCIA
Desvio
(para o passo 5)
Desvio ao quadrado
(para o passo 6)
Somatório do passo 5
(para o passo 7 e 8)
Passo 7
FÓRMULAS
Variância
Passo 8
CÁLCULO DO DESVIO PADRÃO
FÓRMULAS
Desvio padrão
Passo 4
Passo 5
População
Amostra
N= ∑ f
i
n=∑f
i
∑x
∑x
µ=
i
∑x
i
(µ - x )
i
(x -x )
i
2
(x -x )
i
2
∑( x - x )
i
2
∑(µ - x )
i
2
∑ (µ - x )
i
σ =
N
População
∑x
i
n
Amostra
x =
N
População
(µ - x )
i
i
2
2
∑ ( µ - x )2
i
σ=
N
∑(x - x )
i
s =
n-1
Amostra
2
2
∑ ( x - x )2
i
s=
n-1
MEDIANA “Md” ou “ x md”
A mediana x divide um conjunto de elementos ao meio
Para calcular a mediana x de um conjunto de dados não agrupados (ou não tabulados), proceda assim:
• Ordene os elementos (em ordem ou crescente ou decrescente)
• Se N (população) ou n (amostra) for ímpar, a mediana x é o termo central.
• Se N (população) ou n (amostra) for par, a mediana x é a média aritmética dos dois termos centrais.
MODA “Mo” ou “ x mo”
A moda de um conjunto de elementos é o elemento x que ocorre com maior freqüência.
Analisando um conjunto de elementos para identificar a moda, pode ocorrer:
• Se nenhum elemento x do conjunto de elementos se repete, o conjunto de elementos não possui moda (caso
amodal).
• Se um elemento x ocorre com maior freqüência, este x será a moda (caso unimodal).
• Se dois elementos x do conjunto de dados ocorrem com a mesma maior freqüência, este conjunto de
elementos terá dois elementos x como modas (caso bimodal).
• Se três elementos x do conjunto de elementos ocorrem com a mesma maior freqüência, este conjunto de
elementos terá três elementos x como modas (caso trimodal).
Logo, um conjunto de elementos poderá ter não ter moda, ter uma, duas, três ou muitas modas. Se mais de três
é dita multimodal.
TESTES
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1. Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de água de uma família durante os 5 primeiros meses de 2003.
Meses
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Consumo (m3)
12,5
13,8
13,7
11,4
12,1
O consumo mensal médio dessa família durante os 5 meses foi:
a) 11,3 m3
b) 11,7 m3
c) 12,7 m3
d) 63,5 m3
e) 317,5 m3
2. (ICMS-MG) As alturas dos jogadores de basquete da Seleção Brasileira são 1,98 m; 2,04 m; 2,06 m; 2,02 m
e 2,05 m. A média de altura dessa seleção, em m, é de:
a) 2,01
b) 2,02
c) 2,03
d) 2, 04
e) 2,05
3. (UFPR) Em levantamento feito numa sala de aula de um curso da UFPR, verificou-se que a média das
idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos. Nesse levantamento foram, considerados apenas os anos
completos e desconsideradas todas as frações (meses, dias etc.). Passadas algumas semanas, a coordenação
do curso verificou que um aluno havia desistido, e que a média das idades caiu para 20 anos. Como nesse
período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, qual a idade do aluno que desistiu?
a)
b)
c)
d)
e)
41 anos
25 anos
29 anos
33 anos
37 anos
4. Manoel e Maria, prestaram o vestibular e obtiveram os seguintes resultados:
Matéria
Matemática
Física
Química
Biologia
Português
História
Geografia
Inglês
Manoel
9,0
9,0
8,0
5,0
5,0
5,0
6,0
7,0
Maria
9,0
6,0
6,0
6,0
8,0
7,0
7,0
6,0
Qual é a média de notas de cada um?
5. (ESAF-MPOG) A média aritmética entre as idades de Ana, Amanda, Clara e Carlos é igual a 16 anos. As
idades de Ana e Amanda são, respectivamente, iguais a seis e oito anos. Paulo, primo de Ana, é quatro anos
mais novo do que Carlos. Jorge, irmão de Amanda, é oito anos mais velho do que Clara. Assim, a média
aritmética entre as idades de Jorge e Paulo é, em anos, igual a
a) 20.
b) 13.
c) 24.
d) 27.
e) 38.
6. A média aritmética de 6 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 18. O maior valor que um desses
inteiros pode assumir é:
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a) 93
b) 98
c) 103
d) 108
e) 113
7. Sabe-se que a média aritmética de 6 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 15. Então o maior
valor que um desses inteiros pode assumir é:
a)
b)
c)
d)
e)
51
59
67
75
83
8. O gasto com energia elétrica de uma família nos três primeiras meses do ano foi:
Janeiro
Fevereiro
Março
R$ 127,13
R$ 203,49
R$ 94,03
Então a média do gasto neste trimestre foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 141,55
R$ 142,55
R$ 143,55
R$ 144,55
R$ 145,55
9. (PUC-SP) A média aritmética de um conjunto de 12 números é 9. Se os números 10, 15 e 20 forem retirados
do conjunto, a média aritmética dos restantes é:
10. O número de crianças em 19 famílias foi 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10
A mediana é :
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 1
11. O número de crianças em 19 famílias foi 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10
A moda é :
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 1
12. (SANTA CASA) A média aritmética dos elementos de um conjunto de 28 números é 27. Se retirarmos
desse conjunto três números, de valores 25, 28 e 30, a média aritmética dos elementos do novo conjunto é:
13. (UFPR) Em levantamento feito numa sala de aula de um curso da UFPR, verificou-se que a média das
idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos. Nesse levantamento foram, considerados apenas os anos
completos e desconsideradas todas as frações (meses, dias etc.). Passadas algumas semanas, a coordenação
do curso verificou que um aluno havia desistido, e que a média das idades caiu para 20 anos. Como nesse
período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, qual a idade do aluno que desistiu?
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a)
b)
c)
d)
e)
41 anos
25 anos
29 anos
33 anos
37 anos
14. (ESAF-MRE) Se a média aritmética dos números 6, 8, X e Y é igual a 12, então a média aritmética dos
números (X + 8) e (Y - 4) será:
a) 9,5
b) 13
c) 19
d) 20
e) 38
15. (ICMS-MG) O desvio padrão do conjunto de dados A = {6, 10, 4, 8, 7} é igual a:
a) 1,25
b) 1,5
c) 2,0
d) 3,0
e) 4,0
16. (UFRJ-NCE) A tabela a seguir fornece a cotação diária de venda e compra do dólar, em reais, referente aos
6 primeiros dias úteis de outubro de 2005.
Data
3/out
4/out
5/out
6/out
7/out
10/out
Venda
2,229
2,261
2,268
2,293
2,250
2,238
Compra
2,227
2,259
2,266
2,291
2,248
2,236
As cotações medianas de venda e compra do dólar para esses dias foram, respectivamente:
a) 2,2555 e 2,2535;
b) 2,2565 e 2,2545;
c) 2,2680 e 2,2660;
d) 2,2805 e 2,2785;
e) 2,2930 e 2,2910.
17. (UFRJ-NCE) A média aritmética dos pesos de dezenove pessoas que entraram num elevador é igual a
70kg. Se entrar mais uma pessoa, que pesa 82 kg, a nova média dos pesos das vinte pessoas, em kg, será
igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
80,2;
76,3;
72,0;
71,2;
70,6.
18. (UFRJ-NCE) A média aritmética obtida a partir de um conjunto de 10 números é M. Se acrescentarmos dois
números, a e b, a esse
conjunto, a nova média será:
a)
b)
c)
10a + 10b + M
12
a + b + 10M
12
a+b+M
12
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d)
e)
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a+b+M
3
a + b + 10M
3
19. (FGV-SP) Considere n números reais não nulos x1, x2, x3, …, xn. Em que condição a variância desses
números é nula? Justifique.
20. (UNICAMP-SP) Para um conjunto X={x1, x2, x3, x4} a média aritmética de X é definida por:
x +x +x +x
x = 1 2 3 4 e a variância de X é definida por:
4
Dado o conjunto X={ 2, 5, 8, 9} e
v=
1
2
2
(x - x) + ... + (x 4 - x) .
4 1
7,5 ≅ 2,7 , pede-se:
a) Calcular a média aritmética de X.
b) Calcular a variância de X.
c) Desvio padrão
21. (VUNESP) O gráfico ilustra o movimento das vendas da loja de roupas infantis no segundo semestre de
1999:
Média aritmética de n números é o quociente da soma dos n números por n. Qual foi o lucro médio mensal,
aproximadamente, no segundo semestre?
a) R$ 1 900,00
c) R$ 1 300,00
b) R$ 1 600,00
d) R$ 1 000,00
22. (EU-RJ) Seis caixas d’água cilíndricas iguais estão assentadas no mesmo piso plano e ligadas por registros
(R) situados nas suas bases, como sugere a figura abaixo:
Após a abertura de todos os registros, as caixas ficaram com os níveis de água no mesmo plano. A altura
desses níveis, em dm, equivale a:
a) 6,0
b) 6,5
c) 7,0
d) 7,5
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23. (CESGRANRIO-ANP) Pedro fez três avaliações de Matemática e obteve notas 6,7, 5,8 e 7,6. Ele fará mais
uma avaliação e sua média final será a média aritmética dessas quatro notas. Qual é a nota mínima que Pedro
deverá obter na quarta prova para que sua média final seja igual ou superior a 7,0?
a)
b)
c)
d)
e)
7,3
7,5
7,7
7,9
8,1
24. (UFRN-RN) Um a prova f oi aplic ada em duas turm as dis tintas . Na pr im eir a, c om 30 alunos ,
a m édia aritmética das notas foi 6,40. Na segunda, com 50 alunos, foi 5,20. A média aritmética das notas dos
80 alunos foi:
a)
b)
c)
d)
5,65
5,70
5,75
5,80
(CESPE) Tabela a seguir será usada para os próximos dois testes
Tendo como referência a figura acima, que mostra os valores das taxas de juros anuais, em dois anos
consecutivos, denominados anterior e atual, em 10 países, julgue os itens seguintes.
25. (CESPE-BB) O valor médio das taxas atuais dos 10 países em questão é inferior a 5%.
GABARITO
01 C
02 C
03 A
04 a)Manoel 6,75
e Maria 6,875
05 D
06 A
07 D
08 A
09 7
10 B
11 2
12 26,92
13
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C
C
A
E
B
x1 = x2 = x3 = … = xn = x
a) 6,0
b) 7,5
14
15
16
17
18
19
20
c)
7,5
B
C
D
A
E
21
22
23
24
25
2. PARA DADOS AGRUPADOS (OU TABULADOS) E SEM INTERVALO DE CLASSE
2.1. EXEMPLO DE TABELA COM DADOS AGRUPADOS E SEM INTERVALO DE CLASSE
As características que definem o tipo de tabela são:
A presença da coluna da freqüência absoluta. A necessidade deste registro se dá porque pelo menos uma dos
elementos tem freqüência absoluta fi maior que um.
Os elementos x que não estão referenciados a um intervalo. Podem ser conhecidos pela simples inspeção na
tabela.
Ordem
Dados
i
1
2
3
4
5
6
xi
2
3
4
5
6
7
20
Freqüência
absoluta
fi
4
7
5
2
1
1
Freqüência
acumulada
Fi
4
11
16
18
19
20
Frequências absolutas ou simples (fi): É a quantidade de vezes que cada elemento x se repete.
Frequência acumulada (Fi): É o acumulo dos valores de uma freqüência absoluta (ou simples) com o(s) da(s)
linha(s) das freqüências absolutas (ou simples) precedentes.
Assim:
F1 = f1
F2 = f2 + f1
F3 = f3 + f2+ f1
F4 = f4 + f3+ f2+ f1
E assim até a última ordem.
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2.2. PRODEDIMENTOS PARA CÁLCULOS DA MÉDIA, MEDIANA, MODA, VARIÂNCIA E DISVIO PADRÃO.
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Passo 8
Passo 9
Passo 10
CÁLCULO DA MÉDIA PONDERADA
Somatório das frequências absolutas
( para o passo 4, 9 e 10)
Obter o produto do elemento x pela
freqüência absoluta f.
(para o passo 3)
Somatório dos elementos
(para o passo 4)
FÓRMULA
Para obter a média ponderada
CÁLCULO DA VARIÂNCIA
Desvio
(para o passo 6)
Desvio ao quadrado
(para o passo 7)
Obter o produto do passo 6 pela
freqüência f. (para o passo 8 )
Somatório do passo 7
(para o passo 9 e 10)
FÓRMULAS
Variância
CÁLCULO DO DESVIO PADRÃO
FÓRMULAS
Desvio padrão
População
Amostra
N= ∑ f
i
n=∑f
i
xi ⋅ fi
xi ⋅ fi
∑x ⋅f
i i
∑x ⋅f
i i
∑x ⋅f
i i
N
População
µ=
(µ - x )
i
∑x ⋅f
i
n
Amostra
x=
2
(µ - x )
i
2
(µ - x ) ⋅f
i
i
2
∑(µ - x ) ⋅f
i
i
2
∑ (µ - x ) ⋅ f
2
i
i
σ =
N
(x -x )
i
2
(x -x )
i
2
(x -x ) ⋅f
i
i
2
∑( x - x ) ⋅f
i
i
2
∑(x - x ) ⋅f
2
i
i
s =
n-1
População
Amostra
∑ ( µ - x )2 ⋅ f
i
i
σ=
N
∑ ( x - x )2 ⋅ f
i
i
s=
n-1
MEDIANA “Md” ou “ x md”
A mediana x divide um conjunto de elementos ao meio
Para calcular a mediana x de um conjunto de dados agrupados (ou tabulados) e sem intervalo de classe,
proceda assim:
i) Preencha a fila da freqüência acumulada absoluta (Fi).
ii) Divida N (população) ou n (amostra) por 2.
N
n
iii) Se o resultado da divisão
(população) ou
(amostra) é exatamente igual a uma das freqüências
2
2
acumuladas (Fi) registrada na tabela, segue orientação:
N
A mediana x é a média aritmética entre xi que está na fila da freqüência acumulada (Fi) igual a divisão = F
2 i
n
(população) ou = F (amostra), pelo valor xi+1 que está na fila da freqüência acumulada imediatamente
2 i
superior (Fi +1).
x + x i+1
Md = i
2
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iv) Se o resultado da divisão
N
(população) ou
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n
(amostra) é diferente dos valores das freqüências
2
2
acumuladas (Fi) registradas na tabela, segue a orientação:
A mediana é o elemento x que está na fila da freqüência acumulada (Fi) de valor imediatamente superior que o
N
n
da divisão < F (população) ou < F (amostra),
i
i
2
2
MODA “Mo” ou “ x mo”
Analisando um conjunto de elementos, e identificada a maior freqüência absoluta (fi), esta será a classe modal.
Segue as orientações para determiná-la:
i) A moda de um conjunto de elementos agrupados (ou tabulados) é variável x que está na fila da maior
freqüência absoluta (fi).
ii) Se existir uma única freqüência absoluta (fi) de valor maior, a variável x correspondente a respectiva
freqüência é a moda (caso umodal).
iii) Se existirem duas freqüências absolutas (fi) de valor maior e iguais entre si, as variáveis x correspondentes
as respectivas freqüências são as duas modas (caso bimodal).
iv) Se existirem três freqüências absolutas (fi) de valor maior e iguais entre si, as variáveis x correspondentes as
respectivas freqüências são as três modas (caso trimodal).
v) Se existirem mais de três freqüências absolutas (fi) de valor maior e iguais entre si, as variáveis x
correspondentes as respectivas freqüências são as modas (caso multimodal).
TESTES
1. (UFPel-RS) Na busca de solução para o problema da gravidez na adolescência, uma equipe de orientadores
educacionais de uma instituição de ensino pesquisou um grupo de adolescentes de uma comunidade próxima a
essa escola e obteve os seguintes dados:
Idade
(em anos)
13
14
15
16
17
Frequência absoluta de
adolescentes grávidas
4
3
2
5
6
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar, em relação às idades das adolescentes
grávidas, que
a) a média é 15 anos.
b) a mediana é 15,3 anos.
c) a mediana 16,1 anos.
d) a moda é 16 anos.
e) a média é 15,3 anos.
2. (UFJF-MG) A editora de uma revista de moda resolveu fazer uma pesquisa sobre a idade de suas leitoras.
Para isso selecionou, aleatoriamente, uma amostra de 25 leitoras. As idades que constaram da amostra foram:
19, 20, 21, 20, 19, 20, 19, 20, 21, 21, 21, 22, 20, 21, 22, 22, 23, 19, 20, 21, 21, 23, 20, 21, 19.
36
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Considerando as informações dadas, faça o que se pede:
Complete a tabela de frequências absoluta (f), frequências relativa (fr) e frequências acumulada (Fi) partir dos
dados acima:
Idade
fi
fri%
Fi
Total
3. Na prova de natação do exame de aptidão física para um grupo de 20 candidatos a vagas de salva-vidas a
média aritmética (razão entre soma total do número de pontos obtidos por todos os candidatos e o número de
candidatos) do exame foi de 550 metros, mas uma pane no computador que guardava esses dados fez com
que 3 notas iguais fossem extraviadas. Os dados não extraviados são apresentados no quadro abaixo.
Número de pontos
Numero de candidatos
500
2
550
3
560
5
600
7
?
3
A partir do quadro pode-se afirmar que a nota extraviada foi:
a)
b)
c)
d)
e)
650 m
400 m
650 m
350 m
450 m.
4. (UFBA-BA) De acordo com o Boletim do Serviço de Meteorologia de 07 de julho de 2000, o quadro abaixo
apresenta a temperatura máxima, em graus Celsius, registrada em Fernando de Noronha e nas capitais da
Região Nordeste do Brasil.
Aracajú
Fernando de Noronha
Fortaleza
João Pessoa
Maceió
Natal
Recife
Salvador
São Luis
Teresina
27º C
30º C
31º C
30º C
27º C
30º C
30º C
26º C
32º C
32º C
Com base nessas informações, pode-se afirmar que a única afirmativa incorreta é:
a)
b)
c)
d)
A freqüência relativa da temperatura de 31ºC é igual a 10%.
A média aritmética das temperaturas indicadas no quadro correspondente a 29,5ºC.
A mediana das temperaturas registradas é igual à temperatura modal.
A amplitude das temperaturas é de 32ºC.
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5. (EFEI-MG) Numa empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários está representada no quadro
abaixo:
Número de empregados
10
5
3
2
Salário em reais
1540
1860
2120
3440
O salário médio (em reais) dos empregados dessa empresa é:
a) 1.680
b) 1.742
c) 1.786
d) 1.831
e) 1.897
(CESPE) Os dados abaixo correspondem às quantidades diárias de
merendas escolares demandadas em 10 diferentes escolas:
200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
6. (CESPE-ME) A mediana da distribuição do número diário de merendas
escolares é igual a 225.
7. (CESPE-ME) O desvio padrão amostral dos números diários de merendas
escolares é superior a 50.
8. (FCC/2009-INFRAERO) Um levantamento realizado em um clube com relação à quantidade de filhos de
seus associados forneceu a seguinte distribuição de frequências:
Quantidade de
filhos
Número de
sócios
0
1
2
3
4
5
Total
400
300
200
80
10
10
1 000
A média aritmética (quantidade de filhos por sócio), a mediana e a moda correspondentes a essa distribuição
são, respectivamente,
a)
b)
c)
d)
e)
38
1,03; 1,00 e 1,00
1,03; 1,00 e 0,00
1,00; 0,50 e 0,00
1,00; 1,00 e 1,00
1,03; 1,50 e 1,00
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9. (UFU-MG) O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30 funcionários com a seguinte
distribuição salarial em reais.
Número de
funcionários
10
12
5
3
Salário em R$
2 000,00
3 600,00
4 000,00
6 000,00
Quantos funcionários que recebem R$ 3.600,00 devem ser demitidos para que a mediana desta distribuição e
salários seja de R$ 2.800,00?
a)
b)
c)
d)
e)
8
11
9
10
7
O enunciado abaixo refere-se à próxima questão.
Um grupo é formado por 10 pessoas, cujas idades são: 17 19 19 20 20 20 20 21 22 22
10. (CESGRANRIO-BNDES) Seja a média aritmética das idades e seu desvio padrão. O número de pessoas
é:
desse grupo cujas idades pertencem ao intervalo
(Considere
a)
b)
c)
d)
e)
9
8
7
6
5
11. (UFSC-SC) O quadro abaixo representa a distribuição de uma turma de 20 alunos, numa prova de química.
Determine a média da turma.
Nota
Número de alunos
50
2
60
4
70
5
80
3
90
4
100
2
12. (FGV-SP) As tabelas seguintes mostram o tempo de escolaridade de candidatos a uma vaga de vendedor
de uma empresa nos anos de 1990 e 2000.
1990
Número de
candidatos
8
4
5
3
2000
Tempo de
escolaridade
(anos)
4
8
11
15
Número de
candidatos
10
5
10
12
Tempo de
escolaridade
(anos)
4
8
11
15
De 1990 a 2000, o tempo de escolaridade entre os candidatos à vaga de vendedor dessa empresa cresceu, em
média,
a) 7%.
b) 12%.
c) 15%.
d) 18%.
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e) 22%.
13. (ESAF-AUDITOR) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em
um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção
correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26,
35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.
b) A moda e a média das idades são iguais a 27.
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.
14. (FCC-CADEP) Numa pesquisa realizada com 300 famílias, levantaram-se as seguintes informações:
Número de filhos
Proporção de famílias
0
0,17
1
0,20
2
0,24
3
0,15
4
0,10
5
0,10
6
0,04
Com base nestas informações a média e a mediana do número de filhos são dadas, respectivamente, por
a)
b)
c)
d)
e)
2,27 e 3
3e2
2,27 e 2
2,5 e 3,5
2,5 e 3
15. Uma empresa agrícola deseja cultivar certa espécie de planta pouco resistente a variações de temperatura.
Para verificar se uma determinada área é conveniente para o cultivo da planta, a empresa fez 12 medidas de
temperatura durante um ano, colhendo, em graus Celsius, os seguintes resultados:
20
18
24
23
21
21
20
22
19
21
23
20
Dessa forma, se considerarmos que X denota a variável que assume os valores acima, então a variância da
variável X , que indicamos por Var (X) , satisfaz o seguinte:
a)
b)
c)
d)
e)
0 < Var (X) < 1
1 < Var (X ) < 2
2 < Var (X ) < 3
3 < Var (X ) < 4
4 < Var (X ) < 5
16. (FCC-ANS) Num período de onze meses, uma empresa vendeu as seguintes quantidades de seu produto:
8, 4, 6, 14, 20, 16, 10, 23, 10, 16, 16.
A moda e a mediana foram, respectivamente, iguais a
a)
b)
c)
d)
e)
13 e 15
13 e 16
14 e 13
16 e 13
16 e 14
17. (UFRJ-NCE) Agenor está fazendo um curso de especialização. O curso é dividido em módulos e cada
módulo tem um certo número de créditos, dependendo da importância do módulo. O coeficiente de rendimento
do aluno é a média ponderada das notas por ele obtidas nos respectivos módulos, tendo como pesos os
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créditos correspondentes. A tabela a seguir apresenta as notas obtidas por Agenor e o número de créditos de
cada módulo:
Módulo
I
II
III
IV
V
VI
No de créditos
4
5
5
3
3
5
Nota
6,0
7,0
8,0
6,0
6,0
9,0
O coeficiente de rendimento de Agenor no curso é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
6,4;
6,8,
7,0;
7,2;
7,6.
18. (FCC/2008-TRT) A média aritmética dos salários dos 200 funcionários de uma empresa é igual a R$
1.500,00. Caso haja a demissão de todos os funcionários que ganham, cada um, R$ 2.000,00 e admissão de 10
funcionários ganhando, cada um, R$ 1.200,00, a média aritmética fica com o valor de R$ 1.325,00. Isto significa
que o número de funcionários da empresa passa a ser de
a)
b)
c)
d)
e)
135
140
150
160
170
19. (ESAF-AUDITOR) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas
populacionais (f’) de uma variável X:
X
-2
1
2
f‘
6a
1a
3a
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente:
(FCC-PREFEITURA/SP) Instruções: Para responder às duas questões ABAIXO considere as informações.
A tabela abaixo refere-se a um levantamento efetuado pela Cia. de Parafusos SPF sobre o número de
parafusos com defeito em cada lote de 100 unidades no mês de fevereiro de 2008. A companhia fabricou 600
lotes nesse mês.
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Número de
parafusos com
defeito
1
2
3
4
5
Prefeitura Jaguarão
Quantidade
de lotes
140
160
120
100
80
20. (FCC-PREFEITURA/SP) A média aritmética do número de parafusos com defeito dessa população
corresponde a
a)
b)
c)
d)
e)
2,1
2,2
2,4
2,5
2,7
GABARITO
01 E
02
Idade
19
20
21
22
23
Total
03 E
04 D
05 E
06 E
07 E
08 B
09 D
10 C
11 75,5
12 E
13 E
14 C
15 C
16 E
17 D
18 D
19 A
20 E
42
fi
5
7
8
3
2
25
fri%
20
28
32
12
8
100
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Fi
5
12
20
23
25
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
DEFINIÇÃO
Sistema de equações é o conjunto de equações que são satisfeitas simultaneamente pelos mesmos valores
das incógnitas. As equações que formam um sistema, são denominadas equações simultâneas.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Sistemas de equações lineares é o conjunto de equações com todas as incógnitas de expoente 1 (um) ou,
também denominadas de grau 1 (um).
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA
Solução de um sistema é o conjunto de valores, um para cada incógnita, pelos quais as incógnitas devem ser
substituídas, para que todas as equações se reduzam a igualdades numéricas ou a identidades algébricas.
Costuma-se dizer que este sistema de valores verifica ou satisfaz todas as equações. Um sistema de equações
pode ter uma única solução, mais de uma solução ou não ter nenhuma solução.
SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES COM DUAS INCÓGNITAS
É o sistema formado por duas equações lineares com duas incógnitas. O sistema neste formato, será estudado
neste capítulo.
RESOLUÇÃO POR ADIÇÃO
Consiste em adicionar termo a termo semelhantes nos membros, para eliminar uma das incógnitas. Há quatro
casos a considerar conforme a natureza dos coeficientes da incógnita a eliminar. No estudo para resolução de
sistemas de equações, apresento testes que possibilitarão fazer contato com os quatro casos.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
x + y = 21
x-y= 3
01. Seja o sistema linear:
Resolução:
x + y = 21
+
x - y = 3
2x
= 24
⇒
x=
24
2
⇒
x = 12
Substituindo x=12 em qualquer uma das equações, obtemos y=9.
Resultado final (12; 9).
RESOLUÇÃO POR COMPARAÇÃO
Consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações e, compará-las pela igualdade.
EXERCÍCIO RESOPLVIDO
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01. Seja o sistema linear:
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x + y = 21
x - y = 3
Resolução:
x + y = 21 isolando x ⇒
x - y = 3 isolando x ⇒
x =21- y (I)
x = 3 + y (II)
Fazendo a comparação ( I ) = ( II ), obtemos a equação:
21 – y = 3 + y ⇒ 2y= 18 ⇒ y = 9
Substituindo y = 9 em qualquer uma das equações, obtemos x=12.
Resultado final (12; 9).
RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Consiste em isolar uma incógnita arbitrariamente a eliminar e substituí-la na outra equação.
x + y = 21
x-y= 3
01. Seja o sistema linear:
Resolução:
x =21- y
x + y = 21 (I) isolando x ⇒
x - y = 3 (II)
x =21- y
Substituindo
na equação ( II ), obtemos:
(21 - y )- y =3
21 - y - y = 3
-2y = -18
2y = 18
y= 9
Substituindo y=9 em qualquer uma das equações, obtemos x=12.
Resultado final (12; 9).
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01.Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao todo, o
irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00?
Resolução:
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I) Duas grandezas, número de notas e valor das notas com duas incógnitas número de notas de R$ 5,00 e de
R$ 10,00. Neste caso é possível elaborar um sistema de duas equações com duas incógnitas.
x = número de notas de R$ 5,00
y = número de notas de R$ 10,00
5x + 10y = 55
x+y=7
...se desejar pode dividir a 1ª equação por 5
x + 2y = 11
x + y = 7 .......isole o x na 2ª equação
x + 2y = 11
x = 7 - y .......substitua x = 7 - y
na 1ª equação x + 2y = 11
(7-y) + 2y = 11........7-y + 2y = 11
y = 4.
Resposta: 4 notas de R$ 10,00
TESTES
Resolva os próximos sistemas lineares:
01.
{
x-y =5
02.
{
x = 60 - y
x + y = 17
2x + 5y = 18
03. (ESAF) Um copo completamente cheio de água “pesa” 275 gramas. Mas se metade da água for jogada
fora, seu “peso” cairá para 165 gramas. Então, o “peso” deste copo é em gramas:
a) 32,5
b) 42,5
c) 55
d) 75
e) 110
04. (CEFET-PR) Sabendo-se que a diferença de preço entre uma boneca e uma bola é R$ 15,00 e que a
soma dos preços de duas bonecas com duas bolas é R$ 118,00 , podemos afirmar que o preço de um dos
brinquedos é:
a) R$ 15,00.
b) R$ 80,00.
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c) R$ 65,00.
d) R$ 37,00.
e) R$ 10,00.
05. (UFRJ-NCE) André é um ano mais velho que Bernardo, que é um ano mais velho que Cardoso, que é um
ano mais velho que Demétrio. A soma das idades dos quatro é 190. Então, daqui a 16 anos Demétrio terá a
seguinte idade:
a) 64;
b) 62;
c) 60;
d) 58;
e) 56.
06. (FGV-SP) Em uma prova de 20 questões, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1
ponto por cada questão não respondida corretamente. André obteve 20 pontos. Qual seria a nota de André, se
cada resposta certa valesse 6 pontos e cada resposta errada fizesse com que ele perdesse 2 pontos?
a) 12
b) 16
c) 20
d) 22
e) 24
07. (FCC) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e
os coelhos?
08. (FCC) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os
números?
09. Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do
copo vazio é?
a) 20g
b) 25g
c) 35g
d) 40g
e) 45g
10. (OCM) Um zoológico tem vários macacos e várias girafas. Contando os olhos e as pernas dos macacos e
das girafas obtém-se 30 olhos e 44 pernas. Quantos macacos e quantas girafas há no zoológico? (Um macaco
tem duas pernas.)
a) 8 m e 7 g
b) 9 m e 6 g
c) 7 m e 8 g
d) 6 m e 9 g
e) 8 m e 9 g
11. Cachorro quente com uma salsicha por $ 15,00.Cachorro quente com duas salsichas por $ 18,00.O gerente
sabe quantos sanduíches vendeu contando os pães.
Com essa promoção ele "faturou" $ 810,00.
Quantas salsichas foram consumidas nos sanduíches sabendo que usou 46 pães?
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12. Uma pessoa comprou bicicletas de 2 rodas e quarda-chuvas de 12 varetas. Se o total de rodas e varetas é
38 000e o número de guarda-chuvas é o triplo do de bicicletas, então o número de guarda-chuvas é.
13. (UNB-CESPE) Se Roberto tivesse 6 anos mais, ele teria 4/5 da idade do seu irmão. Juntos eles têm 30
anos. A idade de Roberto é:
a) 24
b) 20
c) 16
d) 12
e) 10
14. (FCC/2008-PREFEITURA/SP) Isolda fez um saque no valor de R$ 130,00 no caixa eletrônico de um Banco,
no momento em que ele emitia apenas cédulas de R$ 10,00 e R$ 20,00. O total de cédulas que, com certeza,
Isolda NÃO deve ter recebido é
a)
b)
c)
d)
e)
12
10
9
7
6
15. Três latas iguais de massa de tomate mais uma lata de atum custam, juntas, R$ 3,00. Duas latas de massa
de tomate mais duas latas de atum (todas iguais às anteriores) custam, juntas, R$ 3,40. Qual é o preço de uma
lata de massa de tomate?
a) R$ 0,65
b) R$ 0,70
c) R$ 0,75
d) R$ 0,80
e) R$ 0,95
GABARITO
01 11 e 6
02 94 e -34
03 C
04 D
05 B
06 E
07 18 e 5
08 17 e 33
09 C
10 A
11 86
12 3 000
13 E
14 E
15 A
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MATRIZES
NOTAÇÃO DE MATRIZES
Matriz M de ordem m x n, onde:
M=nome da matriz
m=número de linhas da matriz, m é um número natural positivo (m∈N*).
n=número de colunas da matriz, n é um número natural positivo (n∈N*).
Na matriz M = (a ij) m x n, os elementos são representados por aij, onde:
a = representa qualquer elemento da matriz.
i indica a linha que o elemento se encontra na matriz, com (i∈N*).
j indica a coluna que o elemento se encontra na matriz, com (j∈N*).
REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DE UMA MATRIZ
M = ( aij) m x n
TESTES
01. (FGV - SP) Dadas as matrizes
x
A=
z
x 6
y
x + y
4
, B=
e C=
e sendo 3A = B + C, então:
w
-1
2w
z
+
w
3
a) x + y + z + w = 11
b) x + y + z + w = 10
c) x + y - z - w = 0
d) x + y - y - w = -1
e) x + y + z + w > 11
1. Dadas as matrizes
48
1
A = 2
3
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3
4
0
e B=
0
-1
1 2
2 0
t
t
, se A é a matriz transposta de A, então ( A - B ) é:
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2. (UFPR) A tabela a seguir é uma matriz que representa as temperaturas, registradas de hora em hora, em três
dias de uma determinada semana, no período das 8h00min às 11h00min.
8h
9h
10 h
11 h
Segunda-feira
18°C
19°C
22°C
23°C
Terça-feira
17°C
20°C
22°C
26°C
Quarta-feira
13°C
14°C
17°C
18°C
Sendo aij um elemento qualquer dessa matriz, posicionado na linha “i“ e coluna
“j“, é correto afirmar que:
a) a23 representa a temperatura de segunda-feira às 9h00min.
b) o elemento a11 é igual ao elemento a33
c) a soma a24+ a32 resulta 40º C.
d) a matriz acima é do tipo 4x4.
e) existe um determinante associado a esta matriz.
2
3. (FGV-SP) Considere as matrizes A =
1
3
1
-1 7
e B=
1
0
2
3
4 . A soma dos elementos da primeira linha de
2
A x B é:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
t
x 1 2 y 3 t
4. (PUCCAMP) Dada a equação matricial
+
=
resulta que:
1 2 0 − 1 2 z
a)
b)
c)
d)
e)
x=y=z=t=1
x = 1, y = 2, z = t, t = 0
x = 1, y = 1, z = 3, t = 1
x = 2, y = 0, z = 2, t = 3
x = 3/2, y = 2, z = 0, t = -2
5. (ESAF) Sejam as matrizes
,
e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB)
+ C, então o valor de x é:
a) - 7/8
b) 4/7
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c) 0
d) 1
e) 2
1 2
2 0
6. (Med. Santo André SP) Se A = 3 2 e B = 1 2 então A + B resultará:
4 3
2 2
3 2
3 2
3 4 6
a) 4 4
b) 4 0 c) 2 4 5 d) n.d.a
6 5
6 1
GABRITO
1
2
3
4
5
6
C
E
A
C
A
DETERMINANTES
Determinante é um número associado a uma matriz quadrada, obtido operando-se seus elementos por meio de
regras ou teoremas.
NOTAÇÃO
Notação de DETERMINANTE
Seja A uma matriz quadrada, seu determinante será representado, por:
det(A),
A
ou ∆ (letra grega maiúscula delta)
DETERMINANTE DE ORDEM 1X1 OU SIMPLESMENTE DE ORDEM 1.
Seja a matriz A = ( a
= a i j.
50
i j ) 1 x 1,
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o determinante da matriz A é o próprio elemento de a i j, representado por det ( A )
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DETERMINANTE DE ORDEM 2X2 OU SIMPLESMENTE DE ORDEM 2.
Seja a matriz A = 11
a12
e a indicação do produto dos elementos das diagonais.
a
a
21 22
a
a 11
a 12
a 21
a 22
(-1)a 12 . a 21
a 11 . a 22
O determinante da matriz A é igual à operação aritmética indicada,
det(A) = a11.a22 +(-1)a12.a21
Exemplo
1. Calcular o determinante da matriz A =
7 5
2 4 .
Resolução
7
5
2
4
(-1)2 . 5
det( A ) = 7.4 + (-1).2.5
Atualizada Outubro/2010
7. 4
⇒ det( A ) = 28 -10 ⇒ det( A ) = 18
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DETERMINANTE DE ORDEM 3X3 OU SIMPLESMENTE DE ORDEM 3. REGRA DE SARRUS
a
a
a
11 12 13
Seja a matriz A= a
de ordem 3, seu determinante será calculado realizando as operações
21 a 22 a 23
a31 a32 a33
aritméticas indicadas na seqüência.
A partir da matriz A de ordem 3, acrescente à direita as duas primeiras colunas. Ligue os elementos em
diagonais como mostra a ilustração que segue.
a 11
a 12
a 13
a 11
a 12
a 21
a 22
a 23
a 21
a 22
a 31
a 32
a 33
a 31
a 32
(-1)a 13 . a 22. a 31
a
(-1)a 11 . a 23. a 32
a
(-1)a 12 . a 21. a 33
a
13
12
11
.a
.a
21 32
.a
.a
23 31
.a
.a
22 33
Obteremos três produtos a mesma orientação da diagonal principal e três produtos na orientação da diagonal
secundária, estes três últimos com sinal oposto.
O determinante da matriz A é igual à adição dos seis produtos obtidos.
det(A)= ( −1) ⋅ a
13
+a
11
⋅a
22
⋅a
⋅a
22
⋅a
31
+ ( −1) ⋅ a
11
⋅a
23
⋅a
33
+ ( −1) ⋅ a
12
⋅a
21
⋅a
33
+a
13
⋅a
21
⋅a
32
+a
12
⋅a
23
⋅a
33
Exemplo
3 1 −2
1. Calcular o determinante da matriz A = − 5 4 − 6 .
0 2 7
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Resolução
3
1
-5
4
0
2
-2
3
1
-6
-5
4
7
0
2
0 = (-1).(-2).4.0
(-2).(-5).2 = 20
36 = (-1).3.(-6).2
1.(-6).0
= 0
35 = (-1).1.(-5).7
3.4.7
= 84
det ( A ) = 0 + 36 + 35 + 20 + 0 + 84
⇒ det ( A ) = 175
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Propriedade 1
Dado o determinante da matriz A podemos, pela propriedade obter o determinante da
1
matriz inversa de A e vice-versa. det ( A −1 ) =
det ( A )
IMPORTANTE:
Condição de existência da matriz inversa, det(A) ≠ 0.
Se det(A) ≠ 0 então, a matriz A admite inversa.
Exemplo
1. Obter o determinante da matriz inversa, sabendo que o determinante da matriz A é 3.
Resolução
I) Dado det(A) = 3
Pela propriedade
det ( A
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−1
)=
1
det ( A )
⇒
det ( A
−1
)=
1
3
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1
Resposta:
3
Propriedade 2 - Teorema de BINET Sejam as matrizes A=(a i j) n x n e B=(b i j) n x n, então:
det(A
⋅B
) = det(A
) ⋅ det(B
)
nxn nxn
nxn
nxn
Exemplo
1. Dadas as matrizes A =
7 2
1 4 e B =
3 5
2 6 , calcule o determinante do produto A.B.
Resolução
7⋅3 + 2⋅2
1⋅ 3 + 4 ⋅ 2
I) Observe que a matriz A.B =
7 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6 25 47
possui determinante igual a det(A.B)
=
1⋅ 5 + 4 ⋅ 6 11 29
= 25.29 − 47.11 = 208
II) Determinar o solicitado evitando o produto e usando a propriedade.
7
1
3
Para o determinante B =
2
III) Para o determinante A =
IV) Pela propriedade, teremos.
det(A ⋅ B) = det(A) ⋅ det(B)
2
4
5
6
, temos det (A) = 7.4 − 2.1 = 26
, temos det (B) = 3.6 − 5.2 = 8
⇒
det(A ⋅ B) = 26.8
⇒
det(A ⋅ B) = 208
Resposta: 208
Propriedade 3 - DETERMINANTE QUANDO UM NÚMERO REAL MULTIPLICA UMA
MATRIZ
Seja a matriz A = (ai j) n x n e k um número real, então:
det(k ⋅ A
nxn
) = kn ⋅ det(A
)
nxn
Exemplo
1 3
. Nessas condições, calcule det(3.A).
−2 1
1. Seja a matriz A =
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Resolução
1 3
3 9
=
−2 1
−6 3
3 9
II) Calculando o determinantes da matriz
, obtém-se 63.
−6 3
I) Calculando 3
III) Observe que a partir do calculo
propriedade
siga: det(k ⋅ A
⇒
det(3 ⋅ A
det(k ⋅ A
nxn
2x2
nxn
) = kn ⋅ det(A
) = kn ⋅ det(A
) = 9⋅7
nxn
⇒
1 3
− 2 1 que é 7, podemos aplicar a
do determinante da matriz
nxn
) ⇒
det(3 ⋅ A
)
det(3 ⋅ A
2x2
,
2x2
) = 63
e
obtermos
) = 32 ⋅ det(A
2x2
o
mesmo
resultado,
)
Resposta: 63
Propriedade 4 - DETERMINANTE DA MATRIZ TRANSPOSTA
t
Seja A=(a i j) n x n e A a matriz transposta de A, então:
det(A
) = det(A tnxn )
nxn
Exemplo
1 3
t
. Nessas condições, calcule det( A ).
−2 1
1. Seja a matriz A =
Resolução
1 3
, obtemos det(A) = 7.
−2 1
1 -2
t
II) A transposta de A é A t =
, cujo determinate det( A ) = 7
3
1
I) Calculando o determinante de A =
Observe que ambos os determinantes são iguais.
III) Conhecendo um dos terminantes, podemos pela propriedade
det(A
nxn
) = det(A tnxn ) , obter o
determinante da outra.
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det(A
nxn
) = det(A tnxn ) ⇒
det(A) = det(At )
⇒
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det(A t ) = 7
Resposta: 7
TESTES
01. (PUC-MG) Marcando-se, sobre uma reta real, os pontos correspondentes às raízes da equação
x x
= 3 , obtém-se um segmento cujo comprimento mede:
2 x
a)
b)
c)
d)
1
2
3
4
4 -2
, calcule o determinante dessa matriz.
6 7
02. Seja A =
a)
b)
c)
d)
e)
40
28
-12
16
18
1 3
−1 2
e B=
, o determinante da matriz A . B é:
2 4
3 1
03. (Unesp-SP) Dadas as matrizes A =
a)
b)
c)
d)
e)
– 1.
6.
10.
12.
14.
0
04. Calcule o determinante da matriz A = 1
1
1
05. Calculando o valor do determinante
a)
b)
c)
d)
e)
56
7
2
2
2
0
3 .
3
0
0 3 2 , obtemos:
1 4 5
8
9
10
11
12
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1 2 0
06.Calcular
a)
b)
c)
d)
e)
0 3 2 .
0 3 2
1
8
0
5
7
1 2 0
07.Calcular
a)
b)
c)
d)
e)
0 3 2
0 0 0
-2
2
-1
1
0
08. O conjunto verdade da equação
a)
b)
c)
d)
e)
x 1 -1
- 1 0 x = 0 , no universo dos reais.
0 1 0
1e0
0e8
2e0
1e5
1 e -1
GABARITO
1
D
2
A
3
E
4
0
5
D
6
C
7
E
8
E
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TRIÂNGULO RETÂNGULO
2
ah=bc
h =mn
2
2
b =an
A
c
B
 = ângulo
reto = 90º
c =am
Área ( a ) do triângulo retângulo
b
h
m
n
C
a
B̂ = ângulo agudo
A=
a ⋅h
A=
ou
2
b⋅c
2
Ĉ = ângulo agudo
Perímetro ( 2p )
Elementos do triângulo:
2p = a + b + c
• a, b e c são os lados.
• A, B e C são os vértices.
ˆ são os ângulos internos, relativos aos
ˆ B
ˆ eC
• A,
UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS E
ÂNGULOS
respectivos vértices.
graus símbolo ( º )
•O ângulo  é igual a 90º .
ˆ = 90º
• B̂ + C
• Um grau (1º) é definido como uma das unidades
de arco, das 360 partes iguais que a circunferência
teorema de Pitágoras
foi dividida, 1º =
• O lado a é a hipotenusa e os lados b e c são os
catetos
• Um minuto ( 1‘ ):Cada grau se subdivide em 60
Obs.: A hipotenusa é o lado maior. È o lado oposto
ao ângulo reto.
minutos, 1' =
1º
60
1
360
.
• Um segundo (1 “ ): Cada minuto se subdivide em
• Os elementos usados na fórmula apresentada a
seguir obedecem à disposição conforme figura
inicial
a
2
=b
2
+c
2
60 segundos, 1" =
1'
60
.
radianos símbolo ( rad )
•Um radiano ( rad ) é definido como a medida de
um arco igual ao comprimento do raio da
circunferência a quem pertence.
Relações métricas para o triângulo retângulo
•Uma semi-circunferência tem como comprimento
de arco, três raios e mais uma pequena parte do
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raio ( 0,141592... do raio ), totalizando
3,141592...raios. O número irracional 3,141592...é
simbolizado comodamente pela letra grega π (π =
3,141592...).
90º
120º
135º
150º
II
180º
III
210º
divisão em quadrantes
225º
240º
Fixada a origem no ponto 0º, os quadrantes são em
ordem crescente registrados no sentido antihorário ou sentido positivo.Considerando um
ponto P sobre a circunferência,
> P pretence ao
1º quadrante,
> P pretence ao 2º
quadrante,
se 0º < P < 90º
2π/3
se 180º < P < 270º
> P pretence ao 4º
quadrante,
se 270º < P < 360º
0º
360º
IV
330º
315º
300º
270º
π/2
π/3
3π/4
π
π/4
π/6
II I
0
2π
0
III IV
7π/6
> P pretence ao 3º
quadrante,
30º
I
0
45º
Em radianos
5π/6
se 90º < P < 180º
60º
5π/4
4π/3
11π/6
7π/4
5π/6
3π/2
CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
Quando o ponto P coincidir com qualquer um dos
pontos: 0º , 90º, 180º, 270º e 360º, dizemos que
são extremos e por isso não pertencem a nenhum
quadrante
r
A
B
O
ARCOS FUNDAMENTAIS POSITVOS
(SENTIDO ANTI-HORÁRIO)
C = perímetro = contorno
Circunferência dividida em arcos notáveis.
Em graus
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Fórmulas da circunferência
ÁREA “A”
A = π ⋅r2
PERÍMETRO “C”
C = 2 ⋅ π ⋅r
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QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
A = a ⋅b
ÁREA “A”
PERÍMETRO “2p”
QUADRADO
2p = 2a + 2b
a
a
DIAGONAL “d”
d
2
2
2
d = a +b
a
LOSANGO
a
N
Definição
a
a
A
B
Quadrado - Todos os lados iguais e ângulos
internos iguais a 90º.
a
a
M
Segmento AB = diagonal maior = D
Fórmulas do quadrado
Segmento MN = diagonal menor = d
ÁREA “A”
A=a
2
PERÍMETRO “2p”
2p = 4a
DIAGONAL “d”
2
2
2
d =a +a
Fórmulas do losango
ÁREA “A”
RETÂNGULO
PERÍMETRO “2p”
d
D⋅d
2
2p = 4a
PARALELOGRAMO
a
b
A=
b
b
a
a
h
a
b
Fórmulas do retângulo
Fórmulas do paralelogramo
60
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Definição
A = b ⋅h
ÁREA “A”
Triângulo eqüilátero - Todos os lados iguais e
ângulos internos iguais a 60º.
PERÍMETRO “2p”
2p = 2a + 2b
Fórmulas do triângulo eqüilátero
TRAPÉZIO
ÁREA “A”
A=
b
a
c
a ⋅h
2
ou
h
ÁREA “A”
A=
B
Se, a = c o trapézio é isósceles.
Se um dos lados a ( ou c ) é
perpendicular às bases, o trapézio é
PERÍMETRO “2p”
a2 ⋅ 3
4
2p = 3a
TRIÂNGULO ISÓSCELES
Fórmulas do trapézio
ÁREA “A”
A=
PERÍMETRO “2p”
(B + b ) ⋅ h
2
a
a
h
2p = B + b + a + c
b
TRIÂNGULO EQÜILÁTERO
Fórmulas do triângulo isósceles
ÁREA “A”
a
h
a
PERÍMETRO “2p”
A=
b ⋅h
2
2p = 2a + b
a
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d) 150º
HEXAGONO REGULAR
e) 165º
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2. (ESAF-SFC) As rodas de um automóvel têm 40
cm de raio. Sabendo-se que cada roda deu 20.000
voltas, então a distância percorrida pelo automóvel,
em quilômetros(Km), foi de:
a) 16 Km
b) 16 . π Km
Definição
2
c) 16 π Km
3
d) 1,6 . 10 π Km
Hexágono regular - Todos os lados iguais e ângulos
internos iguais.
e) 1,6 . 10 π Km
Fórmulas do hexágono regular
3. (ESAF- PE) Calcule a área de um terreno
quadrado com diagonal medindo 40 m.
ÁREA “A”
PERÍMETRO “2p”
a2 ⋅ 2
A = 6⋅
4
2p = 6a
3 2
a) 1.600 m
2
b) 1.200 m
2
c) 800 m
2
d) 600 m
2
e) 400 m
2
TESTES
1. (OBMEP) Qual é a medida do menor ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio quando ele
marca 12 horas e 30
minutos?
a) 90º
b) 120º
c) 135º
62
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4. (FCC) Um triângulo tem lados que medem,
respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo
triângulo, que é um triângulo semelhante ao
primeiro, tem perímetro igual a 12m. A área do
segundo triângulo será igual a:
2
a) 6 m
2
b) 12 m
2
c) 24 m
2
d) 48 m
2
e) 60 m
5. (ESAF- TCU) Um terreno triangular, localizado
em uma esquina de duas ruas que formam entre si
um ângulo de π/2 radianos, tem frentes de 12
metros e 16 metros. Um arquiteto, para executar
um projeto arquitetônico, calculou a área e o
perímetro do terreno, encontrando respectivamente:
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2
a) 48 m e 40 m
ponto G, o estudante obteria um ângulo AFG de
medida igual a
2
b) 40 m e 48 m
a) 120º.
2
c) 96 m e 48 m
b) 130º.
2
d) 96 m e 60 m
c) 140º.
2
e) 192 m e 96 m
d) 150º.
6. (UFRJ-NCE) Na figura abaixo, PQ é o diâmetro
da circunferência.
O valor de
a)
b)
c)
d)
e)
α + β
é:
8. (UFRJ-NCE) Considere a figura abaixo:
A área da região hachureada é de:
60º
90º
120º
180º
360º
a)
b)
c)
d)
e)
7. (CESPE)
2
60 m
2
84 m
2
92 m
2
100 m
2
156 m
9. (MACK-SP) Se a circunferência de um círculo
tiver o seu comprimento aumentado em 100%, a
área do círculo ficará aumentada em:
a) 300%
b) 400%
c) 250%
d) 100%
e) 200%
Um estudante precisou confeccionar, em papel, a
bandeira do estado do Pará. Para isso, ele
desenhou o retângulo ABCD, conforme ilustra a
figura acima, e traçou, em seguida, o segmento de
reta EF, de modo que o ângulo DEF medisse 120º.
Nessa
situação, se ele prolongasse o segmento EF para
além do ponto F, marcando, no prolongamento, o
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10. (FAE-PR) A figura representa uma peça de
metal na qual se quer fazer três furos de mesmo
diâmetro, espaçados igualmente um do outro. Qual
a distância entre os centros dos furos?
quadrilátero MNOP, tal que MO // BC e PN // AB.
Se recortamos MNOP, a área que restará do
retângulo é:
O
A
B
P
N
r = 10 cm
D
C
M
2
a) 2,5 cm ;
2
b)
4 cm ;
2
c)
5 cm ;
2
d) 7,5 cm ;
e) não há dados suficientes para calcular o seu
valor.
a) 10 3
b) 5 3
c) 16
25 3
2
29
e)
2
d)
13. (CESPE)
11. (UFRJ-NCE) Duas retas co-planares e
paralelas são interceptadas por uma terceira reta,
como mostra a figura:
β
Na figura acima, a reta AB é paralela à reta DE, e a
reta DC é paralela à reta EF. Se o menor ângulo
entre as retas AB e CD é 62º,
35º
O ângulo indicado na figura é então de:
então o ângulo x, marcado na figura, mede
a) 35º
a) 105º.
b) 45º
b) 115º.
c) 90º
c) 118º.
d) 120º
d) 128º.
e) 145º
14. (UFRJ-NCE) No pentágono regular da figura, as
diagonais que ligam D a B e E a B serão traçadas.
12. (UFRJ-NCE) O retângulo ABCD da figura
abaixo tem 10 cm2 de área. Foi desenhado nele o
64
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17. (FGV-SP) Uma pizzaria vende pizzas com
preços proporcionais às suas áreas. Se a pizza
média tiver raio igual a 80% do raio da grande, seu
preço será:
O menor ângulo do triângulo DBE terá a seguinte
medida:
a) 36º
a)
b)
c)
d)
e)
59% do preço da grande.
64% do preço da grande.
69% do preço da grande.
74% do preço da grande.
80% do preço da grande.
b) 52º
18. A figura a seguir mostra duas circunferências
concêntricas. A corda AB mede 8 cm e é tangente à
circunferência menor. Calcule a área da coroa
circular.
c) 64º
d) 84º
e) 116º
A
15. Os diâmetros dos três semicírculos estão sobre
o segmento AB, que mede 20cm. Sendo O centro
do semicírculo maior e ponto de tangência dos dois
menores e sabendo que AO ≡ OB, calcule a área
da região assinalada.
A
B
19. (FUVEST) Aumentando-se os lados a e b de
um retângulo de 15% e 20% respectivamente, a
área do retângulo é aumentada de:
B
O
16. (FUVEST) Na figura a seguir, ABCD é um
quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero. A
medida do ângulo EAD, em graus, é:
a) 15
A
b) 30
D
E’
c) 60
d) 75
e) 90
B
Atualizada Outubro/2010
a) 35%
b) 30%
c) 3,5%
d) 3,8%
e) 38%
GABARITO
01
E
02
B
03
C
04
A
05
C
C
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06
B
07
D
08
D
09
A
10
A
11
E
12
C
13
B
14
A
15
25 π
2
2
2
D = d + a ou
2
2
2
2
D = a +a +a
CUBO OU HAXAEDRO PLANIFICADO
16
A
17
B
18
16 π
19
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
E
a
a
GEOMETRIA ESPACIAL
Fórmulas para: CUBO OU HEXAEDRO
CUBO OU HAXAEDRO
a
a
a
a
2
F1
Área da base
A b=
F2
Área lateral
Al =4a
F3
Área total
At =6a
F4
Volume
V =
a
2
2
3
a
a
D
a
PARALELEPÍPEDO RETO
d
a
a
c
dos triângulos retângulos em destaque na
figura acima
c
D
d
a
b
2
2
2
d = a +a
66
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PARALELEPÍPEDO RETO PLANIFICADO
a
c
c
b
c
a
b
c
b
a
c
b
c
c
c
a
a) 53
b
b
a
b) 54
c) 55
Fórmulas para: PARALELEPÍPEDO RETO
Área
F1
da base
A b = há três possíveis
bases.Depende da
informação do enunciado
F2
Área lateral
A l = há três possíveis
laterais.Depende da
informação do enunciado
F3
Área total
A t = 2ab+2ac+2bc
F4
Volume
V = abc
d) 56
e) 57
2. (MACK-SP) Dispondo-se de uma folha de
cartolina medindo 50 cm de comprimento por 30 cm
de largura, pode-se construir uma caixa aberta,
cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada
canto da folha. O volume dessa caixa, em cm3,
será:
a) 1244
b) 1828
TESTES
c) 2324
d) 3808
1. (OBMEP) Na casa de Manoel há uma caixa
d’água vazia com capacidade de 2 metros cúbicos.
Manoel vai encher a caixa trazendo água de um rio
próximo, em uma lata cuja base é
um quadrado de lado 30 cm e cuja altura é 40 cm,
como na figura. No mínimo, quantas vezes Manoel
precisará ir ao rio até encher completamente a
caixa d’água?
Atualizada Outubro/2010
e) 12000
3. (UF-PR ) Considere uma caixa de vidro,
fechada, cujo formato interno é o de um
paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 20
cm, 20 cm e 50 cm. A caixa contém líquido que
atinge a altura de 16 cm quando uma face não
quadrada está no plano horizontal. É correto afirmar
que:
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I. A área total do interior da caixa é igual a
4800cm2.
II. O volume do líquido contido na caixa é de 16
litros.
III. Se for alterada a posição da caixa, de modo que
uma face quadrada fique no plano horizontal, então
a altura do líquido será 40 cm.
4. (UFSC).Usando um pedaço retangular de
papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo
construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus
cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e
dobrando, convenientemente, a parte restante. A
3
terça parte do volume da caixa, em cm , é:
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6. (VUNESP-SP) Uma piscina retangular de 10 m X
15 m e fundo horizontal está com água até a altura
de 1,5 m. Um produto químico em pó deve ser
misturado à água à razão de um pacote para cada
4500 litros. O número de pacotes a serem usados
é:
a)
b)
c)
d)
e)
45
50
55
60
75
7. (NC.UF-PR) A caixa de água de um certo prédio
possui o formato de um prisma reto de base
quadrada com 1,6 m de altura e aresta da base
medindo 2,5 m. Quantos litros de água há nessa
caixa no instante em que 3/5 de sua capacidade
estão ocupados?
a) 2400 litros
b) 4800 litros
c) 5600 litros
d) 6000 litros
e) 7200 litros
5. (FAE-PR) Um depósito tem a forma de um
prisma reto trapezoidal de dimensões internas
conforme a figura abaixo:
10
25
10
10
22 m
08. (CEFET-PR) Considere um quadrado de
papelão com 18 cm de lado. Cortando
quadradinhos de lado x, iguais nos quatro cantos,
pode-se montar uma caixa sem tampa, em forma
de paralelepípedo com 288 cm2 de área. Com base
nessa informação, calcule o lado do quadradinho
cortado em cm:
Deseja-se saber o custo da pintura interna das
paredes laterais, frontal, dos fundos e teto,
desprezando-se portas e janelas. Qual a área, em
2
m , dessa superfície?
a) 1006
b) 1556
c) 878
d) 1428
e) 1070
a) 10
b) 3
68
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d) 9
11. (MACK-SP) Um prisma reto de base quadrada
teve os lados da base e a altura diminuídos em
50%. O seu volume ficou diminuído de:
e) 4
a) 87,5%
c) 16
b) 50%
9. (CEFET-PR) "Para cada peixinho ornamental,
você vai precisar de um litro de água", informou o
vendedor. Luana deseja construir um aquário em
forma de paralelepípedo retângulo para 40
peixinhos. Se a base tiver dimensões 40 cm e 20
cm. A medida da altura será igual a:
a) 6 dm
c) 85%
d) 60%
e) 75%
12. (CEFET-PR) Sigmund Sorofsof, artista um
tanto eclético e temperamental, resolveu fazer uma
escultura usando apenas caixas de fósforos (5 cm x
4 cm x altura = ?). Chamou sua obra de “3 litros”,
justificando que esse era o volume da mesma.
Observando o esquema básico da escultura, na
figura abaixo, podemos concluir que a altura “h” da
escultura é de:
b) 7 dm
c) 8 cm
d) 5 dm
e) 12 dm
10. (FEPAR – PR) O transporte de um
determinado cereal para exportação é feito em
vagões que têm a forma de um paralelepípedo
retângulo com 4,00 m de comprimento, 2,20 m de
largura e 0,80 m de altura. Sabendo-se que o
volume útil aproveitável de cada vagão é de 80%
de seu volume total, o número de vagões
necessários para transportar 140,80 m3 de cereais
é:
h
5cm
?
?
4cm
5cm
a)
b)
c)
d)
e)
a) 14
75 cm.
15 cm.
150 cm.
225 cm.
450 cm.
GABARITO
b) 18
01
D
c) 20
02
D
d) 24
03
VVV
e) 25
04
64
05
A
Atualizada Outubro/2010
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06
B
07
D
08
B
09
D
10
E
11
A
12
A
r
2πr
área lateral
H
H
2πr
r
Fórmulas para: CILÍNDRO RETO
2
F1
Área da base
A b= πr
F2
Área lateral
A l= 2πr H
GEOMETRIA ESPACIAL
F3
Área total
A t = 2 Ab + Al
CILINDRO RETO
F4
Volume
V = Ab H
r
TESTES
1. (EsPCEX) O volume de um cilindro equilátero de
1 metro de raio é, aproximadamente, igual a:
H
a) 3,1 m3
r
b) 6,3 m3
c) 9,4 m3
CILINDRO RETO PLANIFICADO
d) 12,6 m3
e) 15,7 m3
A1
r
A2
A0 comprimento 2 π r
A3
2πr
H
02. (PUC-SP) Se triplicarmos o raio da base de um
cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica
multiplicado por:
H
área lateral
2πr
r
70
Atualizada Outubro/2010
a)
b)
c)
d)
e)
3
6
9
12
15
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3. (UFG GO) Um cilindro é obtido pela rotação do
segmento de reta de equação: x = 3, no intervalo 0
≤ y ≤ 5, em torno do eixo y . O volume desse
cilindro é:
a)
b)
c)
d)
e)
15π
25π
30π
45π
75π
a = 9cm
30 cm
altura total
Raio = c
Raio = b
b=
2
a
3
c=
2
b
3
Raio = a
04. (UEM - PR) Um barril de bebida tem a forma de um
cilindro, cuja altura mede 28 cm e o raio da base mede 10 cm.
Se dois consumidores bebem, diariamente 25 π ml cada um,
do conteúdo do barril, o tempo gasto, em dias, para
esvaziarem o barril será de...
O volume dessa peça, em centímetros cúbicos, é:
a) 1580 π
b) 1330 π
c) 1170 π
d) 970 π
e) 190 π
GABARITO
05. (UDESC) Uma caixa d’água tem a forma de um cilindro,
medindo internamente 60 dm de diâmetro e 15 dm de altura.
Estando a água até 2/3 da altura interna, quantos litros de
água estão na caixa? (Dados: π = 3,14 e 1litro = 1 dm3)
a) 113.040
b) 2.826
c) 28.260
d) 11.304
e) 6.280
06. (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em
forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm
são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio
líquido é moldado como um paralelepípedo reto de
arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:
a)
b)
c)
d)
e)
16
17
18
19
20
01
B
02
C
03
D
04
112
05
C
06
D
07
B
UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS E
ÂNGULOS
GRAUS símbolo ( º )
07. (UEL – PR) Certa peça de um motor é feita de aço
maciço e tem a forma de três cilindros retos, de alturas iguais,
um sobre o outro. Se a peça for seccionada por um plano
contendo os centros das bases dos cilindros, tem-se a
situação abaixo ilustrada:
• Um grau (1º) é definido como uma das unidades
de arco, das 360 partes iguais que a circunferência
foi dividida, 1º =
1
360
• Um minuto ( 1‘ ):Cada grau se subdivide em 60
minutos, 1' =
Atualizada Outubro/2010
1º
60
.
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• Um segundo (1 “ ): Cada minuto se subdivide em
60 segundos, 1" =
1'
60
.
> P pretence ao 3º
se 180º < P < 270º
quadrante,
> P pretence ao
4º quadrante,
se 270º < P < 360º
GRADOS símbolo ( gr )
• Um grado (gr) é definido como uma das unidades
de arco, das 400 partes iguais que a circunferência
foi dividida, 1 gr =
Quando o ponto P coincidir com qualquer um dos
pontos: 0º , 90º, 180º, 270º e 360º, dizemos que
são extremos e por isso não pertencem a nenhum
quadrante
1
400
ARCOS FUNDAMENTAIS POSITVOS
(SENTIDO ANTI-HORÁRIO)
RADIANOS símbolo ( rad )
Circunferência dividida em arcos notáveis.
•Um radiano ( rad ) é definido como a medida de
um arco igual ao comprimento do raio da
circunferência a quem pertence.
Em graus
90º
120º
135º
•Uma semi-circunferência tem como comprimento
de arco, três raios e mais uma pequena parte do
raio ( 0,141592... do raio ), totalizando
3,141592...raios. O número irracional 3,141592...é
simbolizado comodamente pela letra grega π (π =
3,141592...).
DIVISÃO EM QUADRANTES
Fixada a origem no ponto 0º, os quadrantes são em
ordem crescente registrados no sentido antihorário ou sentido positivo.Considerando um
ponto P sobre a circunferência,
150º
II
180º
III
210º
225º
240º
0
se 0º < P < 90º
> P pretence ao
2º quadrante,
se 90º < P < 180º
72
Atualizada Outubro/2010
45º
30º
I
0º
360º
IV
330º
315º
300º
270º
Em radianos
2π/3
π/2
3π/4
5π/6
π
7π/6
> P pretence ao
1º quadrante,
60º
5π/4
4π/3
II I
π/3
π/4
π/6
0
2π
0
III IV
3π/2
11π/6
7π/4
5π/6
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ARCOS FUNDAMENTAIS NEGATIVOS
( SENTIDO HORÁRIO)
Graus
Radianos
180
está para →
G
assim como →
R
Circunferência dividida em arcos notáveis.
Em graus
-240º
-225º
-210º
-180º
-150º
-135º
-120º
Facilita: Quando a conversão desejada é feita de
radianos para graus, basta substituir no arco em
radianos, π pelo equivalente 180º, e operar a
divisão e/ou a multiplicação, envolvida(s).
-270º
II
III
-300º
-315º
-330º
I
0
-360º
0º
IV
-90º
-30º
ÂNGULOS COMPLEMENTARES:
Dois ângulos são complementares se, e somente
se, a soma de suas medidas é 90º. Um deles é o
complementar do outro.
-45º
-60º
Assim, se:
Em radianos
-4π/3
-5π/4
-7π/6
−π
-3π/2
ÂNGULOS SUPLEMENTARES:
−5π/3
−7π/4
−11π/6
II I
-2π
0
0
-5π/6
-3π/4
-2π/3
III IV
-π/2
x = ângulo
90o − x = complement o
Dois ângulos são suplementares se, e somente se,
a soma de suas medidas é 180º. Um deles é o
suplemento do outro.
-π/6
-π/4
-π/6
Assim, se:
x = ângulo
180 o − x = suplemento
CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
CONVERSÕES DE UNIDADES
r
A
De “G” graus para “R” radianos, ou de “R”
radianos para “G” graus, a conversão poderá ser
calculada pela regra de três simples e diretamente
proporcional.
Atualizada Outubro/2010
O
B
C = perímetro = contorno
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02.(FUVEST) Quantos graus mede
aproximadamente um arco de 0,105 radianos?
da circunferência
ÁREA “A”
A = π ⋅r2
PERÍMETRO “C”
C = 2 ⋅ π ⋅r
ÂNGULO E OS PONTEIROS DO RELÓGIO
03.O pneu de um automóvel, com 1 m de diâmetro,
percorreu uma distância de 6280 m. Quantas voltas
deu o pneu?
(considere π=3,14)
04.(UFP-RS) O arco que pertence ao 2º quadrante
é:
a) -800º
O relógio é uma circunferência, de 360°. O ponteiro
dos minutos leva 1 hora para percorrer os 360° e o
ponteiro das horas leva 12 horas para fazer o
mesmo.
Ponteiro das horas:
A cada 1 hora, o ponteiro das horas avança para a
próxima marcação de hora. Se há 12 marcações
dessas no relógio, o percurso angular do ponteiro
das horas de uma para a outra é de (360 / 12)° =
30°. Então, a cada 1 hora o ponteiro das horas
anda 30°. MAS, como 1 hora = 60 min, esse
ponteiro anda 30° em 60 min, ou seja, 0.5° por
minuto.
Ponteiro dos minutos:
Esse ponteiro sempre fica exatamente no lugar da
marcação dos minutos. Há 60 marcações dessas
no relógio. Então, cada uma corresponde a 360° /
60 = 6°
b) -200º
c) 200º
d) 660º
e)1500º
05. Calcule a medida aproximada em graus,
equivalente a um radiano.
06. Um móvel, partindo da origem dos arcos,
percorreu um arco de 3120º. Quantas voltas
completas ele deu e em que quadrante parou?
TESTES
01.Converta 120º em radianos.
07. (FUVEST) O ângulo agudo formado pelos
ponteiros de um relógio à 1h12min é:
a) 9º
b) 15º
74
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c)
6º
GABARITO
d) 30º
01
5
e) 36º
02
6º
03
2000 voltas
04
B
05
57º19’29”
06
8 e 3º q
07
B
08
B
09
C
10
C
08. Um relógio marca que faltam 15 minutos para
as duas horas. Então, o menor dos dois ângulos
formados pelos ponteiros das horas e dos minutos
mede:
Marque a incorreta.
a) 142,5º
b) 142º30’
c) 142,30º
d) 217,5º
e) O suplemento de 37º30’
09. O complemento de um ângulo está para o seu
suplemento como 2 para 7. Calcular a medida do
ângulo.
a) 42º
b) 50º
TRIÂNGULO RETÂNGULO
c) 54º
d) 10º
ângulo B̂
e) 36º
B
ângulo Ĉ
10. Observe os ponteiros nesse relógio:
Decorridas 3 horas, qual é o ângulo formado pelos
ponteiros?
a) 15°
a
C
c
b
b) 45°
Elementos do triângulo:
c) 90°
• a, b e c são os lados.
d) 180°
• A, B e C são os vértices.
Atualizada Outubro/2010
A
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ˆ são os ângulos internos, relativos aos
ˆ B
ˆ eC
• A,
TEOREMA DE PITÁGORAS
respectivos vértices.
• O lado a é a hipotenusa e os lados b e c são os
catetos
•O ângulo  é igual a 90º .
Obs.: A hipotenusa é o lado maior. È o lado oposto
ao ângulo reto.
ˆ = 90º
• B̂ + C
• Em relação ao ângulo B̂ , o b é cateto oposto e
cateto c adjacente.
• Em relação ao ângulo Ĉ , o c é cateto oposto e
cateto b adjacente.
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
• Os elementos usados na fórmula apresentada a
seguir obedecem a disposição conforme figura
inicial
(HIP) 2
a2
= (CAT) 2
=
b2
+ (CAT) 2
+
c2
• Os elementos usados nas fórmulas apresentadas
a seguir obedecem a disposição conforme figura
inicial
TABELA DOS VALORES NOTÁVEIS
• No espaço determinado pelo pontilhado, poderá
ser usado um dos ângulos agudos, B̂ ou Ĉ ,
ajustando corretamente a razão conforme os
dados.
• O lado a é a hipotenusa e os lados b e c são os
catetos
Obs.: A hipotenusa é o lado maior. È o lado oposto
ao ângulo reto.
1
sen..... =
cateto oposto
hipotenusa
2
cos..... =
cateto adjacente
hipotenusa
3
tan..... =
cateto oposto
cateto adjacente
C1
C2
C3
C4
L1
π
6
π
4
π
3
L2
30 º
45º
60º
L3
sen
1
2
2
2
3
2
L4
cos
3
2
2
2
1
2
L5
tan
3
3
1
3
EQUIVALÊNCIAS ENTRE GRAUS E RADIANOS
Pela regra de três diretamente proporcional, podese converter graus para radianos ou radianos para
graus.
•Na proporção que segue, conhecido G (graus)
pode-se obter R (radianos).
76
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• Na proporção que segue, conhecido R (radianos)
pode-se obter G (graus).
Graus
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TESTES
Radianos
01. Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10º
em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30
m de comprimento, a quantos metros o caminhão
se eleva, verticalmente, após percorrer toda a
rampa?
π
está para
180º
assim como
G
está para
R
Dados: sen10º=0,17, cos10º=0,98 e tan10º=0,18.
Importante:
• A letra grega π é usada para tornar mais cômodo
quando se deseja escrever o número irracional
3,141592654....
Quando se usa π indicado por radianos, entendese que o valor a ser considerado é seu valor,
3,141592654....
02. Uma escada rolante liga dois andares de uma
loja e tem uma inclinação de 30º. Sabendo que a
escada rolante tem 10 m de comprimento, qual é a
altura entre os dois andares?
QUADRO DE TRANSFORMAÇÃO
MEDIDAS DE ÂNGULOS
Símbolos
Graus
1
º
2
Minutos
‘
Segundos
“
Um giro completo na circunferência tem
360º e um ângulo reto 90º
03. (UNISINOS-RS) Um avião levanta vôo sob um
ângulo constante de 20º. Após percorrer 2 000
metros em linha reta, a altura atingida pelo avião
será de, aproximadamente:
Dados: sen 20º = 0,342, cos 20º = 0,94 e tan 20º =
0,364.
a)
3
4
1 grau
=
1º
60
minutos
60’
1 minuto
=
1’
b) 1 880 m
c) 1 000 m
60 segundos
60”
d) 1 720 m
e)
Atualizada Outubro/2010
728 m
684 m
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04. (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o
rio. A direção de seu deslocamento forma um
ângulo de 120º com a margem do rio.
emergência do prédio, entre o 1o andar e o nível do
solo. Sabendo que o desnível é de 2,30 m, e que o
ângulo de elevação da rampa em relação à
horizontal deverá ser de 20º, calcule o comprimento
aproximado da rampa. (São dados: sen20º = 0,34;
cos20º = 0,94)
A
a) 4,6 m
b) 5,2 m
120º
c) 5,8 m
d) 6,7 m
B
e) 7,2 m
Sendo a largura do rio 60 metros, a distância, em
metros, percorrida pelo barco foi de:
07. (UFJF) Um topógrafo foi chamado para obter a
altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou
um teodolito (instrumento para medir ângulos) a
200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30º,
como indicação na figura abaixo.
a) 40 2
b) 45 3
30º
c) 60 3
d) 40 3
e) 50 3
05. (NC.UFPR) Um avião está a 450m de altura,
quando se vê a cabeceira da pista sob um ângulo
de declive de 30º. A que distância o avião está da
cabeceira da pista?
a) 450m
b) 600m
c) 890m
d) 900m
e) 800m
Atualizada Outubro/2010
Dados: sen30º=0,5, cos30º=0,866 e tan30º=0, 577.
a) 112
b) 117
c) 124
06. (NC.UFPR) Um prédio está sendo reformado
para abrigar um hospital. Constatou-se que será
necessário construir uma rampa na saída de
78
Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo,
pode-se concluir que, dentre os valores abaixo, o
que melhor aproxima a altura do edifício em metros
é:
d) 115
e) 120
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GABARITO
• Â , B̂ e Ĉ , são os ângulos internos. Observe que,
01
5,1
a letra usada para representá-los é a mesma do
respectivo vértice.
02
5
03
E
04
D
05
D
06
D
07
B
08
Correta
PROPRIEDADES
09
D
Os elementos usados nas propriedades
apresentadas a seguir obedecem a disposição
conforme figura inicial.
• O é o centro da circunferência.
• R é igual ao raio da circunferência circunscrita ao
triângulo ABC.
TRIÂNGULO QUALQUER
• Em todos os triângulos, soma dos ângulos
internos é igual a 180°, assim:
A
Â
ˆ = 180°
Aˆ + Bˆ + C
b
c
O
ĉ
B̂
B
C
R
• Em todos os triângulos, os lados a, b e c, devem
satisfazer as condições:
a
raio
ELEMENTOS DO TRIÂNGULO
b − c
< a < b + c
a − c
< b < a + c
a − b
< c < a + b
• A, B e C, são os vértices.
• a, b e c, são os lados. Observe que, a letra usada
para representá-los é a mesma do respectivo
vértice oposto.
Atualizada Outubro/2010
LEI DOS SENOS
Os elementos usados nas fórmulas apresentadas a
seguir obedecem a disposição conforme figura
inicial.
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1
2
3
4
Ao iniciar a fórmula pelo lado b, deverá finalizar
pelo ângulo oposto ao lado b. Da figura, o ângulo
oposto ao lado b é o ângulo B̂ .
a
ˆ
sen A
=
b
ˆ
sen B
=
c
ˆ
sen C
= 2R
Para a lei dos senos acima, é possível obter seis
equações diferentes, igualando: 1 = 2,
1 = 3, 1 = 4, 2 = 3, 2 = 4 e 3 = 4. A escolha deverá
ser feita a partir do que se deseja calcular e do que
foi informado no teste.
LEI DOS COSSENOS
• Usando o ângulo Â
2
=b
2
+c
2
c
2
= a
2
+ b
2
Ĉ
ˆ
− 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C
(7)
Ao iniciar a fórmula pelo lado c, deverá finalizar
pelo ângulo oposto ao lado c. Da figura, o ângulo
oposto ao lado c é o ângulo Ĉ .
CÁLCULO DA ÁREA DO TRIÂNGULO ABC
Os elementos usados nas fórmulas apresentadas a
seguir, obedecem a disposição conforme figura
inicial.
a
• Usando o ângulo
Os elementos usados nas fórmulas apresentadas a
seguir obedecem a disposição conforme figura
inicial.
Dependendo dos dados fornecidos, sendo dois
lados e o ângulo por eles formado, será usada uma
das três opções será usada uma das três opções.
ˆ
− 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
(5 )
• Usando o ângulo
Ĉ
Ao iniciar a fórmula pelo lado a, deverá finalizar
pelo ângulo oposto ao lado a. Da figura, o ângulo
oposto ao lado a é o ângulo  .
Área =
ˆ
a ⋅ b ⋅ sen C
2
( 8)
• Usando o ângulo B̂
• Usando o ângulo Â
b
2
80
= a
2
+ c
2
ˆ
− 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B
Atualizada Outubro/2010
( 6)
Área =
ˆ
b ⋅ c ⋅ sen A
2
( 9)
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TABELA DOS VALORES NOTÁVEIS
• Usando o ângulo B̂
ˆ
a ⋅ c ⋅ sen B
Área =
( 10)
2
ÂNGULOS E SEUS RESPECTIVOS VALORES
PARA SENO, NA CIRCUNFERÊNCIA
C1
C2
C3
C4
L1
∠
π
6
π
4
π
3
L2
∠
30 º
45º
60º
L3
sen
1
2
2
2
3
2
L4
cos
3
2
2
2
1
2
L5
tan
3
3
1
3
eixo sen
120º
60º
135º
45º
150º
30º
2/2
1/2
- 3 /2
0
- 1/2
-
210º
- 3 /2
2/2
330º
225º
315º
240º
SINAIS NOS QUADRANTES
300º
sen e cossec
ÂNGULOS E SEUS RESPECTIVOS VALORES
PARA COSSENO
tg e cotg
+ +
2ºQ
120º
- 1/2
1/2
4ºQ
+
30º
- -
2/2
2/2
eixo
0
- 3 /2
210º
3ºQ
+
+
cos e sec
45º
-
1ºQ
60º
135º
150º
+
3 /2
cos
330º
TESTES
225º
240º
315º
300º
01. (UFJF-MG) Dois lados de um triângulo medem
8 m e 10 m, e formam um ângulo de 60°.
O terceiro lado desse triângulo mede:
Atualizada Outubro/2010
a)
2 21m
b)
2 31m
c)
2 41m
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d)
2 51m
04. (FEI SP) Calcular c, sabendo que a = 4,
e)
2 61m
ˆ = 45º.
b=3 2 , C
02. (UERJ-RJ) Um triângulo tem lados 3, 7 e 8.
Um dos seus ângulos é igual a
a)
30º.
b)
45º.
c)
60º.
d)
90º.
e)
120º.
A
c
b
B
a
C
08. Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e
formam entre si um ângulo de 120º. Determinar a
medida do terceiro lado.
03. (PUC Campinas) Qual é o valor de x na figura
abaixo?
GABARITO
40
o
60
x
30
a)
2
3
b)
5 3
3
c)
10 3
3
d)
15 3
4
e)
20 3
3
82
01
A
02
C
03
E
04
C = 10
o
Atualizada Outubro/2010
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