Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
MATEMÁTICA BÁSICA
NOTAS DE AULA
SUMÁRIO
1.
FRAÇÕES........................................................................................................... 5
1.1
Adição e Subtração....................................................................................................................................... 5
1.2
Multiplicação ................................................................................................................................................ 5
1.3
Divisão .......................................................................................................................................................... 5
1.4
Número Misto .............................................................................................................................................. 5
1.5
Conversão de Número Decimais em Fração ................................................................................................. 5
1.6
TESTES .......................................................................................................................................................... 6
2.
POTENCIAÇÃO ................................................................................................ 11
2.1
Regra de sinais: .......................................................................................................................................... 11
2.2
Casos Particulares: ..................................................................................................................................... 11
2.3
Propriedades .............................................................................................................................................. 11
2.4
Exercícios de sala:....................................................................................................................................... 13
2.5
TESTES ........................................................................................................................................................ 14
3.
RADICIAÇÃO.................................................................................................... 19
3.1
Propriedade dos radicais: ........................................................................................................................... 19
3.2
RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES .................................................................................................................. 21
3.3
Exercícios de sala:....................................................................................................................................... 22
3.4
TESTES: ....................................................................................................................................................... 23
4.
FATORAÇÃO.................................................................................................... 29
4.1
Fator Comum .............................................................................................................................................. 29
4.2
Agrupamento ............................................................................................................................................. 29
4.3
Diferença de dois Quadrados ..................................................................................................................... 29
4.4
Trinômio Quadrado Perfeito ...................................................................................................................... 29
4.4.1 Trinômio quadrado da forma
ax 2  bx  c ........................................................................................ 29
4.5
Principais Produtos Notáveis ...................................................................................................................... 29
4.6
Exercícios.................................................................................................................................................... 32
4.7
TESTES ........................................................................................................................................................ 36
5.
PÔLINÔMIOS ................................................................................................... 39
5.1
Função Polinomial: ..................................................................................................................................... 39
5.1.1 Definição: ................................................................................................................................................... 39
5.2
Polinômio Idêntico a Zero ou Identicamente Nulo: .................................................................................... 40
5.3
Polinômios Idênticos:.................................................................................................................................. 40
5.4
Valor Numérico de um Polinômio:.............................................................................................................. 42
5.5
Adição e Subtração de Polinômios: ............................................................................................................ 43
5.5.1 Adição: ....................................................................................................................................................... 43
5.5.2 Subtração: .................................................................................................................................................. 43
5.6
Multiplicação de Polinômios: ..................................................................................................................... 44
5.7
Divisão de Polinômios: ............................................................................................................................... 45
5.7.1 Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes............................................................... 45
o
5.7.2 Divisão de Polinômio por Binômios do 1 Grau: ........................................................................................ 47
5.7.3 Divisão de
P(x) por (ax  b) , a  0 ............................................................................................. 48
5.7.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: ........................................................................................................... 49
5.8
Equações Polinomiais: ................................................................................................................................ 50
o
5.8.1 Decomposição de um polinômio em fatores do 1 grau:........................................................................... 50
5.8.2 Raízes Múltiplas: ........................................................................................................................................ 50
5.8.3 Teorema das Raízes Racionais:................................................................................................................... 51
5.9
Exercícios .................................................................................................................................................... 53
6.
TRIGONOMETRIA............................................................................................ 66
6.1
Trigonometria Básica ................................................................................................................................. 66
6.1.1 Tabelas ....................................................................................................................................................... 66
6.1.2 QUADRANTES ............................................................................................................................................. 66
6.1.3 Relações Trigonométricas Fundamentais .................................................................................................. 66
6.2
Exercicios de Sala ....................................................................................................................................... 67
6.3
Operação com Arcos .................................................................................................................................. 73
6.3.1 Adição e Subtração: ................................................................................................................................... 73
6.3.2 Arco Duplo.................................................................................................................................................. 73
6.3.3 Arco Metade............................................................................................................................................... 73
6.3.4 Transformação em produto ....................................................................................................................... 73
7.
LOGARITMOS .................................................................................................. 74
7.1
Logaritmo decimal ( base 10 ) : .................................................................................................................. 75
7.2
Logaritmo neperiano ( base e ) : ................................................................................................................ 75
7.3
Consequências da Definição: ...................................................................................................................... 75
7.4
Propriedades: ............................................................................................................................................. 75
7.5
Mudança da base a para a base b : ......................................................................................................... 76
7.6
Exercícios de Sala ....................................................................................................................................... 76
a
Matemática Básica
Prof Paula Benevides
1. FRAÇÕES
1.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

3 2
 
2 3
1 2 1
   
4 3 8
1.2
1.4 NÚMERO MISTO
 3
4

5
 1
1

2
MULTIPLICAÇÃO
2 3
  
7 5

5
 2 
3
1  2
  
2  5
1.5 CONVERSÃO
DE
NÚMERO
DECIMAIS EM FRAÇÃO
1.3
DIVISÃO
5 2
 

7 3
3
2
 5=
 0,32 =
 1,315 =
 0,2 =
5
a
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1.6 TESTES
1)
1 3 5
 
é igual a:
4 8 16
a)
5
8
b)
13
16
c)
5
16
d)
8
5
e) n.d.a.
 2
 3


2) Efetuando 1  0,4   1
2
obtém:
9
95
3
b) 5
c) 3
93
d)
55
a)
e) n.d.a.
3) (MARÍLIA) - Os fatores primos de 1008 são:
a) 1, 2, 3, 4, 7, 9
b) 1, 24, 32, 7
c) 2, 3, 7
d) 24, 32, 7
6
a
Matemática Básica
Prof Paula Benevides
4) A fração equivalente a
a)
54
16
b)
54
96
c)
54
66
d)
54
116
9
que tem numerador 54 é:
16
e) n.d.a.
5) (PUC) – O valor da expressão
2 1 1
  é:
8 8 2
3
16
5
b)
16
1
c)
8
3
d)
4
a)
e) n.d.a.
1 1
 3
 2   1 obtém-se:
5
4
 10
6) Efetuando-se  4
65
8
1
b) 5
5
1
c) 8
8
1
d) 3
5
a)
e) 40
1
2
7
a
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1
 3 2 1
     1  é:
2
 4 3 5
7) (FMU) - O valor de 
a)
17
120
b)
5
102
c)
10
12
d)
17
15
e) n.d.a.
8) Calculando-se 2  2  2  2
2
encontra-se:
5
1
17
1
b) 1
5
2
c) 1
17
12
d)
17
a) 1
e) n.d.a.
5 6
 1
1  
tem-se:
3  10
 6
9) (FMU) – Efetuando-se  3
a)
b)
c)
d)
e)
3
2
27
6
2
5
12
1
4
6
8
a
Matemática Básica
Prof Paula Benevides
10) (PUC) – Uma firma gasta mensalmente 6.000 reais com material de escritório,
dessa quantia com serviços de terceiros e
1
4
2
3
dela com transporte. O gasto em reais
mensal em conjunto nesses três itens é:
a) 10.000
b) 11.500
c) 12.000
d) 15.000
e) 16.000
11) Se x  4  2  {8  2  [1  3  (4  2)]}então o valor de
1
xé
igual a:
a) 0
b)
1
2
c) – 2
d) –
1
3
e) não existe
1
1
1
5
12) (BRASÍLIA) – A expressão
3
1
1
1
5
3
a)
2
2
b)
3
1
c)
3
1
é equivalente a:
d) n.d.a.
9
a
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Prof Paula Benevides
 1

 2
13) Resolvendo 
a)
b)
c)
d)
e)
14)
2  3  
   2 
3  4  
4  7
temos resultado igual a:

3  9 
5
3
1
3
4
3
2
3
3
1 2 4
  é igual a:
5 3 3
a) 10
1
10
2
c)
5
10
d)
2
b)
e) n.d.a.
Gabarito
0
1
0
b
1
c
e
2
d
a
3
c
c
4
b
c
5
b
-
6
b
-
7
b
-
8
b
-
9
e
-
10
Matemática Básica
a
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2. POTENCIAÇÃO
2.1 REGRA DE SINAIS:
 25 =
 ( – 2 )4 =
 –24=
 ( – 2 )5 =
2.2 CASOS PARTICULARES:
 30 =
 110 =
2.3 PROPRIEDADES
 Produto de potências de mesma base: mantém a base e somam-se os
expoentes

23  25 

x 2  x3 

x3  y 2  x5  y 4 
 Divisão de potências de mesma base: mantém a base e subtrai-se os
expoentes.

25

23

32

34

a3

a7
11
a
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 Produto elevado a uma potência: eleva-se cada fator a essa potência.

(2 x) 2 

(3xy ) 5 
 Potência elevada a outra potência: tem por expoente o produto dos
expoentes.
 (x ) 
2 3
 ((x ) ) 
2 5 2
 (2 x y ) 
3
2 5
 Potência de fração: eleva-se, separadamente, o numerador e o denominador à
potência.
2
2
   
3
3
 x2
 
 y


 


3
  
4
2

 Potências de 10:
 As potências de base 10 são formadas pelo algarismo 1 seguido de zeros
da quantidade do número do expoente.
 Se tivermos o expoente negativo, basta que coloquemos esse resultado
no denominador de uma potência cujo numerador é o 1. Podemos ainda
escrevê-lo na forma decimal, sendo que o número do expoente indica a
quantidade de dígitos após a vírgula.

103 

2  10 2 

230000 

10 3 

0,00012 
12
a
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 Potências de ordem superior: Cuidado, potência de ordem superior é
diferente de potência elevada a outra potência.
2

23 

32 
3
 Potências de números decimais:
 (1,2) 
2
 (0,13) 
2
 (0,03) 
2
 (0,003) 
2
 (0,03)
2

 (0,2) 
3
60
 Quantas casas decimais terá (1,25) ?
2.4 EXERCÍCIOS DE SALA:
1) 2
3

2)  2 
4
3) (5) 
2
4) (5) 
3
5) 2
23

3 1
6) (2 )

7) (3)  2  5  4 
3
5
0
1
8) 2,3  10 
4
13
a
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9) (0,02) 
4
10) Achar a metade de 2
22

2.5 TESTES
1) 50 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
2) (2
a)
b)
c)
d)
e)
2
5
1
0
n.d.a
20
 38 ) 0 é igual a:
528
5
6
1
n.d.a
3) A expressão  2
a)
b)
c)
d)
e)
2
6

 1

 30
4
é igual a:
2
–1
–2
3
¼
4) 0,0038 pode ser representado por:
a) 38 . 104
b) 3,8 . 10 –3
c) 38 . 10 – 5
d) 3,8 . 103
e) n.d.a
5) (23 . 34).(25 . 32) é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
215.38
28. 36
22 . 32
614
n.d.a
14
a
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3
6) (5) é igual a:
a) 125
b) – 125
c) – 15
d) 15
e) n.d.a
7)
x7 y4
x3 y 2
é igual a:
x4y2
xy2
x10y6
xy
n.d.a
a)
b)
c)
d)
e)
8) (23)4.(24)3 é igual a:
a) 224
b) 214
c) 2
d) 20
e) 2.(23)4
9) (x3y4)2 : [x (y2)3] vale:
a) x4y
b) x5y2
c) x3y2
d) x7y14
e) n.d.a
10) (PUC) - O valor de
10 – 7
107
10 –1
101
n.d.a
a)
b)
c)
d)
e)
10 3
10  4
é:
23
11) 2 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
26
64
28
25
n.d.a
15
a
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12) O valor de 0,025 dividido por 2  10
a)
b)
c)
d)
e)
4
é:
12, 5
1,25
125
0,125
n.d.a
2
 1  2   5   3 
13) (LONDRINA) – O valor da expressão            
 4  3   6   2 
a) 1
3
b) 4
9
c) 2
3
d) 3
2
e) 9
4
1
é:
14) Simplificando (2  4 )  (4  8 ) , obtém-se:
2
a) 1
3
2
2
54
b) 1
16
c) 3
8
d) 3
11
e) 17
5
15) [2  (2)  (3) ] é igual a:
6
a)
b)
c)
d)
e)
4
3
64
32
45
–21
n.d.a
16
a
Matemática Básica
16) a
30
a) a
3
 (a 3 ) 0 : a 2 é igual a:
7
b) a
7
c) a
8
d) a
e) a
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
1
8
6
a 2  b 2
17) (S.CARLOS) – A expressão 1
é equivalente a:
a  b 1
a2  b2
a)
ba
b2  a2
b)
ab (b  a)
1 1

c)
a b
d) a  b
Questões abertas:
18) A expressão 4  6 : 3  1
3
2
2
18
vale:
19) x  3  2  2  2 o valor de x é:
0
1
2
3
2
  2 5  1 1 
20) 5    
 vale:
3  5 15 

17
a
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3
2
3
 1  1  3
21) (LONDRINA) – Se x  1         , então 27x é:
 3  3  2 
3
1  125

2   
3
27

22)
 2 4 vale:
4
1
 
2
23) Assinale cada questão com V ou F
( ) 0,0035 = 3,5 . 10 – 3
(
) (22)3 =28
(
) (0,2)3 = 0,008
(
) (0,2) – 3 =
(
) (-23)2 = 64
(
)
x3
x
(
4

) 2–3 =
10 3
8
1
 x4
x
1
6
Gabarito
0
1
2
0
B
25
1
C
C
77
2
D
C
01
3
B
C
4
B
E
5
B
D
6
B
A
7
A
B
8
A
69
9
B
07
23) V – F – V – V – V – F – F
18
a
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3. RADICIAÇÃO
3.1 PROPRIEDADE DOS RADICAIS:
n
ab  n a  n b
mn
1)
4 36 
2)
8 2 
3)
a na

b nb
q
a a
p
an b  n a n b
 a
n
m
 n am
m.n
am  n a
p
q
9 3 3 
3
4)
3 3 
5)
12 
6)
16

25
18
7)

12
3
8)
a  m.n a
n
3
54

2
9) 5 3 
10) 23 x 
11)
 3

12)
 2

13)
 2

2
7
2
3
2
4
14) 3
2

19
Matemática Básica
15)
6
a
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53 
16) 8 81 
17) 4 25 
3
18)
2
3 
19)
20) 23 3 
21) 2  3 2  2 2 
22) 12  3 2 
23) 12 
27 
24) 2 18  8  2 50 
5
7
25) 3
=
26) 3 
3
27) 5
2
3
28) 5 2
=
1
29) 2 2
=

20
a
Matemática Básica
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3.2 RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES
Racionalizar um denominador irracional é fazer com que não tenha radical, nem
expoente fracionário.
 Denominador monômio:
x

x y
y
y
denominado fatora de racionalização.
x
 Quando o índice é maior que 2:
q
Multiplica-se e divide-se por
q
pp

xq y q p
y
y,
, fator de racionalização :
y q p
 Denominador Binômio:



N
N a b
N a b


a2  b
a b
a b a b




Multiplica-se e divide-se pelo conjugado do denominador
3
1)
5
2)

x 1

3 x
1
3)
2 3
4)
5)
6)
1
5
x3


2
310 5 7
3
4
5 3


21
Matemática Básica
7)
a
Prof Paula Benevides
1

2 3 6
8)
1

11  2 2
9)
5

3 2 2 3
3.3 EXERCÍCIOS DE SALA:
1) 3
2)
1
x
5 x
3) 2
4)
5)
6)
7)
2
2
3
=

=
2 
3
x

2 5 3
5
5
4
2
3

33 3 
22
a
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3.4 TESTES:
Associar a cada uma das operações à direita um resultado da esquerda (01 a 05)
1)
2 4 .3 2
a) 8
2)
26
b) 2
3)
 8
2
c) 12
4)
4
9
d) 4
5)
16
25
e) 4
6) (FMU) – O valor da expressão 2
3
2
3
5
 50  4 16 é:
a) – 5
b) 5
c) 0
d)  3
e)  1
7)
4
4
2
625
é igual a:
81
a) 5
b)
c)
d)
e)
81
625
3
25
9
5
3
25
9
23
a
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8) 3 2  5 2  3 8 vale:
a) 5 2
b) 8 8
c) 2 2
d) 8 2  6
e) n.d.a
9)
5  5  4 5 é igual a:
4
4
a)
53
12
2
64
52
b) 5
c) 1
d) 5
e)
10) 3 8  6 2 é igual a:
a) 12 2
b) 18 2
c) 36
d) 18 8
e) 72


11) (CEFET-PR) -  a
a
a)
a
b)
1
1
1
(a
c)
6
1
6
2
1
1
 a 3   a 3 , a número real positivo, é o mesmo que:

 1)
a
a
d)
12)
1
3
1
7
5
b) 2
1
2 5 é equivalente a:
7
a) 2
1
3
5
7
12
c) 2
d)
5
27
24
a
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
13) O valor de 

3
3
1
a
 é:
a 
a) 3 a
b) a
c)
6
a
a3
d)
3
1
3 8 

14) 
 a  pode ser escrito:


a
2
2
b)
a
2
c)
a
a
d)
2
a)
15)
b
pode ser escrito:
4
b
a)
b
b)
b
c)
b
d)
b
4
3
3
4
3
4
4
3
 1 

x
16)  1 
 x 


2
 x é igual a:
x1 2 x
b) x12 x
c)
x
a)
d) 1
e) n.d.a
25
a
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17)
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a6
pode ser escrito:
b9
a
a)
b
 a2
b)
b
c)  a 2 b 3
3

d) 1
18) Racionalizando
1 2
temos:
1 2
2 2 3
b) 2 2  3
c) 1 2
d) 1 2
a)
19) O valor de 4 3a  14 12a 
27a é:
a) 35 3a
3a
c)  21 3a
b)
d) impossível
20) Efetuando-se
x
a)
b)
x
c)
x
d)
x
8
3
4 3
x8 resulta:
7
8
1
3
21) (CEFET-PR) – Calculando-se (1 
2 ) 4 , obtém-se:
a) 1 4 2
b) 9
c) 17  12 2
d) 12  17 2
e)
29 2
26
a
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22) (SERGIPE) – O valor da expressão
54  78  9 é:
a) 8
b) 3 7
c) 141
d) 16 3
23) Relacionado
2
temos:
5 3
5 3
5 3
2
8
a)
b)
c)
d)
24) Racionalizando
2
7
temos:
2
a) 32
7
64
2
c)
2
7
d)
16
b)
7
25) (LONDRINA) – O valor da expressão 92, 5  10240,1 é:
a)
b)
c)
d)
e)
– 83
– 81
241
243
254
2 3 4 equivale a:
26)
a)
8
24
4
24
c)
24
d) 3 192
b)
6
27
a
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Questões abertas:
27) O resultado de
3
3

3  6 9  3 24 é:
1
 1
1
28) (FEI)  1       2 =
 2
3
 2 
29) O valor da expressão 12
2

 3
2

é igual a:
Gabarito
0
1
2
0
E
D
1
C
B
C
2
A
B
B
3
A
C
A
4
B
D
B
5
E
B
C
6
D
D
B
7
D
C
1
8
C
B
0
9
D
C
2
28
a
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4. FATORAÇÃO
4.1 FATOR COMUM
ax  ay  a( x  y)
4.2 AGRUPAMENTO
mx  my  nx  ny  (m  n)(x  y)
4.3 DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
x 2  y 2  ( x  y)(x  y)
4.4 TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
a 2  2ab  b 2  (a  b) 2
e
a 2  2ab  b 2  (a  b) 2
4.4.1 Trinômio quadrado da forma ax  bx  c
2
Supondo sejam x1 e x 2 as raízes reais do trinômio ax  bx  c (a  0) , então:
2
ax 2  bx  c  a  ( x  x1 )(x  x2 )
4.5 PRINCIPAIS PRODUTOS NOTÁVEIS
a)
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
b) (a  b)(a  b)  (a  b)  a  2ab  b
2
c)
2
2
(a  b)(a  b)  (a  b) 2  a 2  2ab  b 2
d) (a  b)  a  3a b  3ab  b
3
3
2
2
3
e)
(a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
f)
(a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b 3
g) (a  b)(a  ab  b )  a  b
2
2
3
3
29
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a
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Exemplos:
 Fatorar ou simplificar as expressões abaixo:
1)
x  x 2  12 x

x 2  3x
2)
(5  h) 2  25

h
3)
x2  4

x 2  2x
4)
x 2  5x  6

x 2 12 x  20
3
t 2  4t  4
5)

t2  t  6
y
1
y 1
6)

y
1
1 y
30
a
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 Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes:
7)
(5  2 z )2  (25  10 z ) 
8)
(3x  1) 2  (3x  1) 2  2 
9)
(2  2 x) 2  (3x  1) 2  2 
10) ( x  3)( x  3)  x( x  3 y) 
11) (5a  3)  (5a  3)  2(a  5) 
2
2
12) (2 x  3)  ( x  5)( x  5)  ( x  4) 
2
2
 Fatore cada uma das expressões algébricas:
13) x 2 121 
14) 4 z  25 
2
15) a( x  2)  b( x  2) 
16) x  bx  cz  dz 
17) bd  cd  d  cx  bx  x 
18) z  26 z  169 
2
31
a
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4.6 EXERCÍCIOS
1) Fatorar ou Simplificar:
a)
x2  4

x2
b)
x 2  3x  2

x 2  5x  4
x  x3
c) 2

x x
x 2  5x  6
d)

x2
e)
x 2  2x  1

x 1
f)
x 1

x2 1
x2  9
g)

x3
x 2  4x  3
h)

x2  x  6
i)
( x 2  3x  4)( x 2  9)

( x 2  x  12)( x  3)
j)
x2 1

x 2  3x  2
32
Matemática Básica
a
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(4  t ) 2  16
k)

t
x 2  6x  5
l)

x 2  3x  4
m)
y6

y 2  36
x2  4
n) 2

x  3x  2
o)
x3  1

x2 1
2) Simplififque as expressões:
1
1

a) t  1 t  1 
1 1

t t2
b)
x2  9
x2  4


x 2  3x x 2  2 x
33
Matemática Básica
a
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3) Racionalize o numerador ou denominador ou ambos, multiplicando pelo seu
conjugado e se possível simplifique.
x 2  5x  4

a)
x 2
b)
x3

x 1  2
c)
(1  x  3) 
d)
( x 2  3 x  4  x) 
e)
x 2

x4
f)
25  3t  5

t
g)
h 1

h 1
34
Matemática Básica
h)
2(h 2  8)  h

h4
i)
x 2  3x  4

x 2
j)
1 x 1

x
k)
x2 1  x2 1 
l)
x3

x 1  2
m)
n)
a
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3  1  4x

6 x 2
a 2  bt  a

t
35
a
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o)
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3 5 x

1 5  x
4.7 TESTES
4)
5)
2
2
 3 é igual a:
5 3
2
5 33 4
a)
5  33 2
b)
5  33 2
c)
d)
5  33 4
5  33 4
e)
(FUVEST) Qual o valor da expressão
3 1
3 1

:
3 1
3 1
a)
3
b) 4
c) 3
d) 2
e)
2
6) (F.M. SANTA CASA – SP) A soma 1  (2 x  1)  3  (2 x  1)  3  (2 x  1)  1
equivale a:
3
a) 8x
3
b) 2x
3
2
c) 8 x  1
3
d) 8x  12 x  2
3
2
e) 8x  12 x  6 x  6
3
2
36
a
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7)
Prof Paula Benevides
(F.G.V. – SP) A expressão E 
2 2 3 2 3
tem como valor:
3
a) 1
b)
c)
d)
e) 5
2
3
6
8) (UFGO) Simplificando
a)
b)
c)
d)
( x  y ) 3  2 y ( y  x) 2
temos:
x2  y2
( x  y) 2
x y
x  y  2yx 2
x y
x y
x2  y2
e)
x y
2( x  2)( x  3) 3  3( x  2) 2 ( x  3) 2
9) (F.G.V. – SP) Simplificando a expressão
,
( x  3) 6
obtêm-se:
a)
b)
c)
d)
e)
x( x  2)
( x  3) 3
x(2  x)
( x  3) 3
x( x  2)
( x  3) 4
x(2  x)
( x  3) 4
5 x( x  2)
( x  3) 4
37
a
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10) (MED – JUNDIAÍ) O valor numérico da expressão a  b  3ab  3a b
3
a
a)
3
3
3
2
2
para
32
32
e b
é:
3
3
2
2
3
9 2
92
b) 3
c) 8
d) 13.5
e) 32
Gabarito
1) Fatorar ou Simplificar:
a) x  2
b)
x2
x4
c) 1  x
x 1
i) x  1
x2
x2  x 1
o)
x 1
h)
j)
d) x  3
x 1
k) 8  t
x2
f)
1
x 1
1
y6
n)
e) x  1
l)
x5
x4
m)
2t 3
a)
(t  1) 2 (t  1)
2) Simplifique as expressões;
b)
g) x  3
x2
x 1
2x  5
x
3) Racionalize o numerador ou denominador ou ambos, multiplicando pelo seu conjugado
e se possível simplifique.
b) ( x  1  2)
a) ( x  1)( x  2)
e)
1
x 2
f)
i) ( x  1)( x  2)
l) ( x  1  2)
4
A
3
25  3t  5
1
j)
1 x 1
m)
5
B
c)
g)
k)
4( 6  x  2)
3  1  4x
6
C
n)
7
D
x4
1 x  3
1
h 1
2
d)
h)
x 2  1  x2  1
b
a 2  bt  a
8
C
o)
3x  4
x 2  3x  4  x
h4
2(h 2  8)  h
 1(1  5  x )
3 5 x
9
D
10
E
38
a
Matemática Básica
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5. PÔLINÔMIOS
5.1 FUNÇÃO POLINOMIAL:
5.1.1 Definição:
Dados os números reais an , an1 ,, a2 , a1 , ao , chamamos de polinômio na
variável x toda expressão da forma:
P( x)  a0 x n  a n1 x n1  ...  a2 x 2  a1 x  a0 , n  N
n
Onde an x , an1 x
n 1
, a2 x 2 , a1 x e a 0 são os termos e an , an1 , , a2 , a1 e a 0 são
os coeficientes do polinômio.
Observações:
 Se a n  0 , o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr ( P)  n
 Se P( x)  0 , não se define o grau do polinômio.
Exemplos:
1) Assinale as expressões que representam polinômios?
(
) 3x  x  1
(
) x
(
)
(
) x  3x  7
(
) 4 xx
3
1

1
3
x
3x 3  x 2  5
5
2) Em função das variáveis k, m ou a , determinar os graus dos seguintes
polinômio:
a. P( x)  kx  3x  7
2
39
a
Matemática Básica
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b. P( x)  kx  mx  6 x  4
3
2
c. P( x)  (a  1) x  (a  1) x  3x
2
3
2
5.2 POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO:
É qualquer polinômio P( x)  a0 x  a
n
n 1
x n 1  ...  a 2 x 2  a1 x  a0 em que todos
os coeficientes são nulos.
P( x)  0  a n  0, a n 1  0,...,a1  0 e a0  0
Notação: P( x)  0
5.3 POLINÔMIOS IDÊNTICOS:
Dados
os
polinômios
P1 ( x)  a0 x n  a n 1 x n 1  ...  a 2 x 2  a1 x  a0
e
P2 ( x)  b0 x n  b n 1 x n1  ...  b2 x 2  b1 x  b0 , dizemos que P1 ( x) é idêntico a P2 ( x) se,
e somente se, an  bn , an1  bn1 ,, a1  b1 e a0  b0 .
Assim:
P1 ( x)  P2 ( x)  an  bn , an 1  bn 1 ,...,a1  b1 e a0  b0
Exemplos:
40
a
Matemática Básica
1) Determinar a e b
Prof Paula Benevides
para que o polinômio P( x)  (a  1).x  (a  1).x  b  a seja
2
2
identicamente nulo.
2) Determinar m, n e p para que P( x)  (m  n  3).x  (m  n  1).x  n  p seja
2
identicamente nulo.
3) Calcular os valores de m e n , de modo que x  x  3  (m  n).x  x  (m  n)
2
2
41
a
Matemática Básica
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5.4 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO:
O valor numérico do polinômio P1 ( x)  a0 x  a
n
n 1
x n 1  ...  a 2 x 2  a1 x  a0 , para
x igual a um número qualquer  é: P( )  a n n  a n 1 n 1  ...  a 2 2  a1  a0 .
Na prática, para obter P( ) , basta substituir x por
 em P(x) .
Observações:
 Quando P( )  0 ,  é raiz de P(x) .
Exemplo: Verifique se os números 2 e 3 são raízes de P( x)  x  5 x  6
2
 Como (1)  1,  n   , P(1) é a soma dos coeficientes de P(x) .
n
Exemplo: Se P( x)  5x  3x  2 x  4 x  1, então P(1)  _______________ é a
4
2
2
soma dos coeficientes de P(x) .
 P(0) é igual ao termo independente de P(x) .
Exemplo: Sendo P( x)  ax  ax  ax  c e P(0)  7 , determine a para que 1
3
2
seja raiz de P(x) .
42
a
Matemática Básica
Prof Paula Benevides
5.5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:
5.5.1 Adição:
Dados
os
polinômios
P( x)  a0 x n  a n 1 x n 1  ...  a 2 x 2  a1 x  a0
e
Q( x)  b0 x n  b n 1 x n 1  ...  b2 x 2  b1 x  b0 , a soma de P(x) com Q(x) é dada por:
P( x)  Q( x)  (an  bn ) x n  (an1  bn1 ) x n1  ...  (a1  b1 ) x  (a0  b0 )
5.5.2 Subtração:
Dados
os
polinômios
P( x)  a0 x n  a n 1 x n 1  ...  a 2 x 2  a1 x  a0
e
Q( x)  b0 x n  b n 1 x n 1  ...  b2 x 2  b1 x  b0 , a diferença entre P(x) e Q(x) é dada por:
P( x)  Q( x)  (an  bn ) x n  (an1  bn1 ) x n1  ...  (a1  b1 ) x  (a0  b0 )
Observação:
Os polinômios P(x) e Q(x) não precisam ser necessariamente do mesmo grau.
Exemplos:
1) Dado os polinômios P( x)  x  3x  7 x  8 e Q( x)  2 x  x  6 x  7 , determine
3
2
3
2
2P( x)  3Q( x)
2) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações:
(
) Se P(x) e Q(x) são polinômios de mesmo grau 5, então P( x)  Q( x) tem sempre
grau 5.
(
) Se P(x) e Q(x) são polinômios de mesmo grau 3, então P( x)  Q( x) e tem
sempre grau 3.
(
) Se P(x) tem grau 5 e Q(x) e tem grau 3, então P( x)  Q( x) tem grau 5
43
a
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5.6 MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS:
O produto dos polinômios P(x) e Q(x) é o polinômio P( x).Q( x) , obtido
multiplicando-se cada termo de P(x) por todos os termos de Q(x) e efetuando a redução
dos termos semelhantes.
Exemplos:
1) Se P( x)  x  x  x  1e Q( x)  x  1, então P( x).Q( x) 
3
2)
Dados
2
P( x )  x 2  x  1
e
Q( x)  ax  b
determine
a
e
b
para
que
P( x).Q( x)  2 x3  x 2  x  1
3) Dados P( x)  x  1 e Q( x)  ax  b , determinar a e b, sendo P(0).Q(0)  3 e
3
2
Q(1)  5 .
44
a
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5.7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
Dados os polinômios A(x) e B(x), não identicamente nulos, dividir A(x) por B(x) é
obter os polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:
A(x) | B(x) .
R(x)
Q(x)
A(x)  B(x).Q(x) + R(x) e R(x)  0 ou gr(R) < gr(B)
Observações:
 A(x) é o dividendo
B(x) é o divisor
Q(x) é o quociente
R(x) é o resto
 Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x), ou que a divisão é exata
 Temos sempre gr(Q) = gr(A) – gr(B)
Exemplo:
Usando o Método da Chave, determine o quociente e o resto da divisão de
A( x)  x3  3x 2  4 por B( x)  x 2  1
5.7.1 Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes
Já vimos que, na divisão A(x) por B(x):
A(x) | B(x) .
R(x)
Q(x)
 A( x)  B( x).Q( x)  R( x)

Temos:  gr (Q)  gr ( A)  gr ( B)

gr ( R)  gr ( B)

Essas relações podem ser usadas como recursos para determinar os coeficientes
de um polinômio em uma divisão.
45
a
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Exemplos:
1) Determinar o quociente e o resto da divisão de A( x)  x  2 x  3x  2 por
3
2
B ( x)  x 2  x  1
Temos:
O quociente é um polinômio do primeiro grau, pois:
gr (Q)  gr ( A)  gr ( B)  _________________________________
Logo:
Q(x) = _______________________________________________
Como gr ( R)  gr ( B) , sendo o divisor B( x)  x  x  1 , então gr (B)  _____ e
2
gr (R)  ____, isto é, o resto tem, no máximo, grau __________:
R(x)  __________________________
Como A( x)  B( x)  Q( x)  R( x) , podemos escrever:
Comparando ambos os membros, temos:
Logo:
Q(x)  _____________________________ e R(x)  ____________________
2) Determinar k , de modo que x  kx  3 seja divisível por x  1
3
46
a
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3) Determinar k e m de modo que x  3x  mx  x  k seja divisível por x  3x
4
3
2
2
5.7.2 Divisão de Polinômio por Binômios do 1o Grau:
5.7.2.1 Teorema do Resto:
O resto da divisão de P(x) por (x – a) é P(a):
P(x) = (x – a).Q(x) + R
Fazendo x = a, vem:
P(a) = (a – a). Q(a) + R
P(a)  R
5.7.2.2 Teorema de D’Alembert
Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0
P(x) = (x – a).Q(x) + 0
Fazendo x = a, vem:
P(a) = (a – a). Q(a) + o
P(a) = 0
Exemplos:
1) Determinar k, de modo que o resto da divisão de P( x)  x  3x  kx  4 por x  2
3
2
seja 10.
47
a
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2)
Calcular
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a
e
b,
de
modo
que
os
polinômios
P( x)  x 2  ax  3b
e
Q( x)   x3  2ax  b sejam divisíveis por x  1
5.7.3 Divisão de P(x) por (ax  b) , a  0
Temos:
P(x)
R
| ax + b
Q(x)
Como ax + b é de grau 1, R é de grau 0, e, portanto, uma constante.
Fazendo x  
b
em P( x)  (ax  b).Q( x)  R , vem:
a
 b   b
 b 
P    a    b  Q    R
 a   a
 a 
 b
P    R
 a
48
a
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 b

 a
Logo, o resto da divisão de P(x) por (ax  b) é R  P 
Exemplo:
Determinar k, de modo que P( x)  x  x  kx  2 seja divisível por 2 x  1
3
2
5.7.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini:
O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é utilizado para determinar o quociente e o
resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x – a)
Exemplos:
1) Obter o quociente e o resto da divisão de P( x)  3x  4 x  3x  7 x  2 x  3 por
5
4
3
2
( x  1)
Coeficiente de P(x)
valor de a
R (x)
Repetir o primeiro coeficiente
Q(x)=____________________________ e R(x)=_____________________________
49
a
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2) Determinar o quociente e o resto da divisão de P( x)  2 x  5x  2 x  5 por ( x  3) .
4
3
Obs.: Quando escrever os coeficientes de P(x), não esquecer dos coeficiente nulos.
Q(x)=___________________________ e R(x) =________________________________
5.8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS:
Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível a forma:
an x n  an1 x n1  ...  a2 x 2  a1 x  a0  0
Chamamos de zero ou raiz de uma equação polinomial P( x)  0 todo o número

tal que P( )  0 .
5.8.1 Decomposição de um polinômio em fatores do 1o grau:
Se P( x)  0 é de grau n (n  1) e tem raízes
1 ,  2 ,..., n , então P(x) pode ser
decomposto em n fatores do 1o grau, sendo an ( an  a1 ) o fator em evidência:
an x n  an1 x n1  ...  a2 x 2  a1 x  a0  an ( x  1 )(x   2 )...(x   n )
5.8.2 Raízes Múltiplas:
As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não.
Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 2, isto
é, será uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 3, isto é, será
uma raiz tripla e assim sucessivamente.
Se o número
 for uma só vez raiz de uma equação algébrica ele será chamado
raiz simples ou raiz de multiplicidade 1.
50
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Exemplos:
1)
Determinar
a
multiplicidade
das
raízes
1,
2
–
e
3
na
equação
x6  4 x5  2 x 4  32 x3  59 x 2  44 x  12  0
5.8.3 Teorema das Raízes Racionais:
Dada
a
equação
polinomial
com
an x n  an1 x n1  ...  a2 x 2  a1 x  a0  0 se o número racional
coeficientes
inteiros
p
*
(com p  Z e q  Z ,
q
p e q primos entre si), então p é diviso r de a0 e q é divisor de an
Exemplos:
1) Resolver a equação x  4 x  x  6  0
3
2
Na equação, temos: an = _______ e a0 = __________
Se p, é divisor de a0, então p  {________________________________________}
Se q, é divisor de an, então q  {________________________________________}
Os possíveis valores das raízes racionais são dados pela razão
p
, logo:
q
p
 { ______________________________________________________________ }
q
Se existirem raízes racionais na equação dada, elas pertencem ao conjunto acima.
51
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2) Resolver a equação 2 x  5x  4 x  15x  6  0
4
3
2
52
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5.9 EXERCÍCIOS
1) Calcule m  R de modo que o polinômio P( x)  (m  1).x  (m  1).x  5x  7
seja do 1o grau em relação a x .
3
4
2
2
2) Determine m  R, para que o polinômio P( x)  (m  16).x  (m  4).x  4 seja de
grau 2.
2
2
3) Calcule os valores de m, n e l para os quais
P( x)  (2m  1).x3  (5n  2).x 2  (3  2l ) seja identicamente nulo.
4) Dados A( x)  (a  1).x  (b  1).x  c e B( x)  ax  bx  3c , calcule a, b e c para
que A(x) + B(x)  0
2
2
53
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5) Determine os valores de m, n e p, de modo que os polinômios abaixo sejam idênticos
P1 ( x)  (m  n  p) x 4  ( p  1) x3  mx 2  (n  p) x  n
P2 ( x)  2mx3  (2 p  7) x 2  5mx  2m
6) Determine os valores de a, b, c e d para que o polinômio a( x  c)  b( x  d ) seja
3
idêntico ao polinômio x  6 x  15x  14
3
2
7) Dado o polinômio P( x)  4 x  x  x  1 , calcule:
3
2
a) P( 2 )
b)
P(1)  P(1)
P(0)
54
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a
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 1
P    P(0)
 3
c)
1
2 P 
2
8) Ache o polinômio P(x) do segundo grau em x, sabendo que admite 2 como raiz e
P(1)  2 e P(3)  4 .
55
a
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9) Se P( x)  x  12 x  45 x  2 x  32 x  31x  18 , então P(15) é igual a :
6
5
4
3
2
10) Dados os polinômios P1 ( x)  2 x  mx  nx  3 e P2 ( x)  x  x  3 , se P1 ( x) é
3
2
2
divisível por P2 ( x) , então m  n é igual a:
11) Dividindo um polinômio P(x) por ( x  3) , resulta um resto  7 e um quociente de
x  4 . Qual é P(x) ?
12) A divisão do polinômio P(x) por ( x  a) fornece quociente Q( x)  x  x  x  1 e
3
2
resto P(a)  1 . Sabendo-se que P(0)  15 , o valor de a é:
56
a
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13) Dados
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os
polinômios
P( x)  (m  3) x3  3x  2m
e
Q( x)  (m  1) x3  (m  2) x 2  (2m  3) x , determine P( x).Q( x) de modo que
gr ( P  Q)  1 .
14) Sabendo-se que
15) Se
A
B
5 x  10

 2
, calcular A e B.
x  4 x  1 x  3x  4
x 1
A
B


, então 2A + B é igual a:
x 2  2 x  24 x  4 x  6
57
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a
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16) Efetue a decomposição da fração, em soma de frações com denominadores do 1 o
grau.
a)
3x  1
x  5x  6
2
9 x 2  16 x  4
b) 3
x  3x 2  2 x
58
a
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P( x)  x3  ax 2  bx  c que satisfaz as condições: P(1)  0 ;
P( x)  P( x)  0 , qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2) ?
17) Um polinômio
18) O resto da divisão do polinômio P( x)  x
243
 x81  x 27  x9  x3  x , por x  1 é:
59
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19) Dados os polinômios A( x)  2 x  x  10 x  5 , B( x)  x  4 x  4 , C ( x)  x  3 e
3
D( x)  x  2 , determine o valor de:
3
2
A( x)  2b( x)D( x)
C ( x)
20) Determine o valor de a para que o resto da divisão do polinômio P( x)  ax  2 x  1
3
por ( x  3) seja 4.
21) Qual é o número real que se deve adicionar a P( x)  x  2 x  x , para se obter um
polinômio divisível por x  3 ?
3
2
22) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da
divisão de:
a) P( x)  x  5 x  2 x  3x  1 por ( x  2)
4
3
2
60
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b) P( x)  2 x  x  1 por ( x  1)
3
2
c) P( x)  5 x  3x  2 por ( x  3)
2
d) P( x)  4 x  5 x  1 por ( x  1)
5
4
e) P( x)  2 x  3x  x  2 por (2 x  1)
3
2
f) P( x)  x  2 x  1 por (2 x  3)
2
23) No esquema abaixo, foi aplicado o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule P(x):
3
a
b
c
d
e
2
-1
1
-2
1
61
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24) Resolver as equações algébricas abaixo:
a) x  2 x  13x  10  0
3
2
b) x  7 x  13x  3x  18  0
4
3
2
c) x  5 x  4  0
4
2
d) 2 x  x  2 x  1  0
3
2
e) 3x  13x  13x  3  0
3
2
62
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f) x( x  4)  10 x( x  2)  8  0
2
2 x 2  8x
g) 2
x
x  4x
h) x  6 x  11x  6 x  0
6
5
4
3
.
25) Determine
todas
as
raízes
da
equação
P( x )  0 ,
sendo
3
P( x)  9 x  36 x 2  29 x  6 . Sabe-se que é divisível por ( x  3) .
63
a
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26) Uma raiz da equação x  4 x  x  6  0 é igual a soma das outras duas. As raízes
dessa equação são:
3
2
27) Determine o produto das raízes da equação x  6 x  11x  6  0
3
RESPOSTAS
1) m  1
2) m  4
3) m 
2
1
2
3
;n  e l 
2
2
5
1
1
4) a   ; b  e c  0
2
2
5) m  1 ; n  2 e p  3
6) a  1 , b  3 , c  2 e d  2
7) a) 9 2  3
b) - 10
140
27
2
8) P( x)  x  x  2
c)
9) – 3
10) 8
11) x  7 x  5
12) 16
2
13)  x  2 x  4 x  3x  4 x
6
4
3
2
64
a
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14) A = 2 e B = 3
15)
3
2
7
10

x 2 x 3
2
3
4
b) 

x x 1 x  2
17) P(2)  6
16) a)
18) 6
19) x  x  2
2
20) 1
3
21) – 12
22) a) Q( x)  x  3x  4 x  4 e R( x)  11
3
2
b) Q( x)  2 x  x  1 e R( x)  0
2
c) Q( x)  5 x  18 e R( x)  56
d) Q( x)  4 x  x  x  x  1 e R( x)  0
4
3
2
e) Q( x)  2 x  2 x e R( x)  2
2
1
1
e R( x) 
2
4
4
3
2
23) P( x)  2 x  7 x  4 x  5 x  7
24) a) {5; 1; 2}
b) {1; 2; 3}
c) {2;  1; 2}
d) {1; 1 ; 1}
2
e) { 1 ; 1; 3}
3
f) {2; 2}
g) {2}
h) {0; 1; 2; 3}
1 2 
25)  ; ;3
3 3 
26) {2; 3;  1}
f) Q( x)  x 
27) P = 6
65
a
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6. TRIGONOMETRIA
6.1 TRIGONOMETRIA BÁSICA
sen  
m edidado cateto opostoa 
b

m edidada hipotenusa
a
cos  
m edidado cateto adjacentea 
c

m edidada hipotenusa
a
tg  
m edidado cateto opostoa 
b

m edidado cateto adjacentea 
c
6.1.1 Tabelas
 rad
6
 rad
4
 rad
3
 rad
2
 rad
=
30°
45°
60°
sen
1
2
3
30°
2
=
45°
=
60°
cos
3
=
90°
tg
3
=
180°
2
3
2
2
2
1
1
2
sen
cos
0°
0
1
90°
1
0
2
tg
0
∄
180°
0
-1
0
270°
-1
0
∄
360°
0
1
0
3
6.1.2 QUADRANTES
6.1.3 Relações Trigonométricas Fundamentais
sen 2 x  cos2 x  1
sen x
cos x
1
sec x 
cos x
2
sec x  1  tg2 x
tg x 
1
tg x
1
cosec x 
sen x
2
cosec x  1  cotg2 x
cotg x 
66
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a
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6.2 EXERCICIOS DE SALA
1) Dado o triângulo retângulo da figura, calcule:
a) sen 
b) cos 
c) tg 
d) sen 
e) cos 
f)
tg 
2) Calcule a medida de x no triângulo
67
a
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3) Calcule a medida de x no triângulo
4) Calcule a medida de x no triângulo
5) Sabendo que cos 
4
calcule a medida de x
5
68
a
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6) Sabendo que senx  0,2 e x  2°Q determine:
a) cos x 
b) tgx 
c) sec x 
d) cosec x =
e) cotg x
7) Complete a tabela:
Graus
40
135
150
180
210

Radianos
Quadrante
120
5
3
10
5
3

12
20
3
1°
69
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a
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8) Calcule o valor da expressão:
sen  . sen 
4
3
y
cos  . cos
6
3
9) Calcule o valor da expressão:
sen  . cos
4
3
y
tg  . cot g 
6
3
10) Calcule o valor da expressão:
y
sen 
3
tg  .sec
6
3
11) Calcule o valor da expressão:
3 tg  . cotg 
4
3
y
cosec . sec
6
6
70
a
Matemática Básica
Prof Paula Benevides
12) Provar a identidade 2cos x  1  cos x  sen x
2
13) Provar a identidade
4
4
sec x - cossecx
 senx.tgx  cos x
1 - cotgx
14) Provar a identidade csc x  senx  cot x. cos x
71
a
Matemática Básica
Prof Paula Benevides
15) Provar a identidade cos x  sen x  2sen x  1
4
16)
4
2
tga  tgb
 tga.tgb
cot a  cot b
72
Matemática Básica
a
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6.3 OPERAÇÃO COM ARCOS
6.3.1 Adição e Subtração:
6.3.4 Transformação em produto
sen(a  b)  sena. cos b  senb. cos a
sen(a  b)  sena.cosb- senb.cosa
cos(a  b)  cosa.cosb- sena.senb
cos(a - b)  cosa.cosb sena.senb
tga  tgb
1  tga.tgb
tga - tgb
tg(a - b) 
1  tga.tgb
tg(a  b) 
pq
pq
. cos
2
2
p-q
pq
senp - senq  2sen
. cos
2
2
pq
pq
cosp  cosq  2cos
. cos
2
2
pq
pq
cosp - cosq  -2sen
.sen
2
2
senp  senq  2sen
6.3.2 Arco Duplo
sen2a  2sena.cosa
cos2a  cos2 a  sen 2 a
tg2a 
2tga
1  tg 2 a
6.3.3 Arco Metade
sen
a
1  cos a

2
2
a
1  cos a
cos  
2
2
tg
a
1  cos a

2
1  cos a
73
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a
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Gabarito:
Exercício 1:
a) 0,8
b) 0,6
c) 1,33
d) 0,6
e) 0,8
f) 0,75
2) x  10 3
3) x  5( 3  1)
4) x  6
5) x  3,6
Exercício 6:
2 6
5
6

12
5 6

12
5
2 6
a) 
b)
c)
d)
e)
8)
2
9)
3 2
4
10)
3
4
11)
3
4
74
a
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7. LOGARITMOS
7.1 LOGARITMO DECIMAL ( BASE 10 ) :
log n  log10 n
Quando a base não estiver escrita, subentende-se que a base vale 10
7.2 LOGARITMO NEPERIANO ( BASE E ) :
 ln N  log e N

 e  2,71828 ( número irracional )
7.3 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO:
7.4 PROPRIEDADES:
log b M  log b N  log b (MN)
log b M  log b N  log b (
M
)
N
log b M a  a log b M
log b a M  log b M
1
a

1
log b M
a
75
a
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7.5 MUDANÇA DA BASE A PARA A BASE B :
log a N 
log b N
log b a
7.6 EXERCÍCIOS DE SALA
1) Aplicando a definição, resolva as equações :
a) x  log 3 2187
b) x  log 0,000000001
c) x  ln e  log 0,001
2
76
a
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1
e
d) x  log 2 1024  ln
e) x  log 5
1
 log 5 125
625
f) x  log 1
1
 log
64
4
2
16
77
a
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g) x  log 4 (log 3 9)  log 3 (log 0,001)
3 log3 2
h) x  3
 23 log2 5  e1 ln 2
2) Resolva as equações sabendo que log 2  0,301
a) 10  0,02
x
78
a
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b) 2
c)
x 1
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5
x  2  log 5
79
a
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d) 5
2 x 1
e) 10
x 1
Prof Paula Benevides
 0,1
 200
80
a
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f)
Prof Paula Benevides
x 1
 log 4  1
2
g) log
2
 x. log 3 0,2  1
5
81
a
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1
1
 log
 x2
8
2
h) log
3) Resolver as equações :
a) log x  2
2
b) log 2 ( x  2)  3
3
82
a
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c) log 2 ( x  2)  3
3
d) log x  2 8  1
e) log x 8 8  1
83
a
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f) log 2 x  log 4 x  1
4) Calcule o valor de y  log 2 ( x  2 x  8) quando:
a) x  0
2
b) x  2
c) x  4
d) x  4
5) Calcule : log 2 8  log 3 3  log 4
4  log 5 253 5  log 6 1  log 6 1  log 7 5 49
84
a
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6) Calcule : ln
Prof Paula Benevides
1
e  log 10  2
log2
1
4
7) Resolva a equação log 3 x  log 3 x  2
3
8) Resolva a equação log 4 x  log x 4 
5
2
85
a
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Prof Paula Benevides
9) Resolva a equação log x  log x
2
10) Resolva a equação x
logx 3 x 2
2
 3logx 3
86
a
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Gabarito:
Exercício 1:
a) x  7
b) x  9
c) x  5
21
2
x  1
x  5
x  impossível
524  5e
x
10
Prof Paula Benevides
6)
5
4
7) x 
1
3
d) x 
8) x  16 e x  2
e)
f)
g)
9) x  100
h)
10) x  3 e x 
1
3
Exercício 2:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
x  1,699
x  1,322
x  2,699
x  0,215
x  3,301
x  1,796
x  5,146
x  1,699
Exercício 3:
1
10
x0
3
x
2
x6
63
x
8
x4
a) x 
b)
c)
d)
e)
f)
Exercício 4:
a)
b)
c)
d)
5) 
Impossível
Impossível
Impossível
4
7
30
87