Aula 05 – Matemática
Financeira
Seqüências de Capitais
Prof.Dr. Edmilson J.T. Manganote
Introdução
• Vimos de que forma conjuntos de
capitais podiam ser transformados em
outros equivalentes, para efeito de
comparação.
• Na prática, é comum que esses
conjuntos tenham algumas
características como periodicidade,
uniformidade, crescimento, etc. de
acordo com certas leis matemáticas
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Seqüência Uniforme
• Consideremos a seqüência de capitais y1, y2,
..., yn, respectivamente nas datas 1, 2, 3, ..., n.
Dizemos que este conjunto constitui uma
seqüência uniforme se
y1  y2      yn  R
• Isto é, se todos os capitais forem iguais
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Seqüência Uniforme
• Por definição, o valor atual (na data 0) da
seqüência uniforme, a uma taxa de juros i, na
unidade de tempo considerada, é:
R
R
R
R
V


  
1
2
3
n
1  i  1  i  1  i 
1  i 
 1
1
1
1 
V  R


  
1
2
3
n
1  i  
 1  i  1  i  1  i 
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Seqüência Uniforme
• Simplificações podem ser feitas se notarmos
que a expressão entre colchetes é a soma dos
termos de uma progressão geométrica (PG)
cujo primeiro termo (a1) é igual a
E cuja razão é
1
1 i
1
q
1 i
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Seqüência Uniforme
• A soma dos n primeiros termos de uma
progressão geométrica, em que a razão é
diferente de 1, é dada por


a1 q  1
S
q 1
n
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Seqüência Uniforme
• Logo, a expressão do valor atual fica:

1  1
 1

n
1  i   1  i  
V R
1
1
1  i 
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Seqüência Uniforme
• E, após algumas manipulações, chegamos a
seguinte expressão

1  i 1
V R
n
1  i  i
n
Fator de Valor Atual (pode ser indicado pelo símbolo an|i)
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Seqüência Uniforme
Exemplo:
• Um eletrodoméstico é vendido a prazo,
em quatro pagamentos mensais e iguais
de $ 550,00 cada, vencendo o primeiro
um mês após a compra. Se a loja opera a
uma taxa de juros de 5% a.m., qual o seu
preço a vista?
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Seqüência Uniforme
Exemplo:
n = 4, i = 5% a.m. e R = 550, assim:

1,05  1
V  550

1
.
950
,
27
4
1,05 0,05
4
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Seqüência Uniforme
• Exercícios
– Um automóvel usado é vendido à vista por $
30.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12
prestações mensais iguais, vencendo a primeira um
mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros
do financiamento é de 2% a.m., obtenha o valor da
prestação.
– Um terreno é vendido em quatro prestações
mensais e iguais a $ 150.000,00 cada uma, sendo a
primeira dada como entrada. Se a taxa do
financiamento for 4% a.m., qual o preço a vista?
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Montante de Seqüência Uniforme
• Chamamos de montante da seqüência, na
data n, a soma dos montantes de cada
capital R, aplicado desde a data
considerada até a data n.
S  R1  i 
n 1
 R1  i 
n 2
   R
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Montante de Seqüência Uniforme
• O segundo membro da expressão é a soma dos
termos de uma progressão geométrica (PG)
finita. Fazendo as manipulações necessárias
chegamos a,

1 i
SR
n
1
i
Fator de Acumulação de Capital sn|i
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Montante de Seqüência Uniforme
Exemplo:
• Um investidor aplica mensalmente $ 2.000,00
em um fundo de investimentos que remunera
as aplicações à taxa de juros compostos de
2% a.m. Se o investidor fizer sete aplicações,
qual o montante no instante do último
depósito?
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Montante de Seqüência Uniforme
Exemplo:
• R = 2.000, i = 2% a.m. e n = 7, assim

1,02
S  2.000
1
 14.868,57
0,02
7
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Montante de Seqüência Uniforme
Exercícios
• Uma pessoa deposita mensalmente, durante
sete meses, $ 3.500,00 em um fundo que
remunera seus depósitos à taxa de 2,1% a.m.
Qual o montante no instante do último
depósito
• Quanto uma pessoa deve depositar
mensalmente, durante 15 meses, em um fundo
de investimentos que rende 1,8% a.m., para
que, no instante do último depósito, tenha um
montante de $ 60.000,00
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Seqüência Uniforme Diferida
• Chamamos de seqüência uniforme
diferida de m períodos toda seqüência
de capitais nas datas (m+1), (m+2), ...,
(m+n), em que todas as parcelas são
iguais.
• Ocorrem situações como essa em vendas
a prazo em que o comprador só começa a
pagar após um período de carência.
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Seqüência Uniforme Diferida
Cálculo do Valor Atual (V)
• Capital único equivalente à seqüência na data m

1  i 1
Vm  R
n
1  i  i
n
• Calculamos o capital V (na data 0) equivalente a Vm
V 1  i 
m
Vm
 Vm  V 
m
1  i 
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Seqüência Uniforme Diferida
Exemplo:
• Um terreno é vendido à vista por $
50.000,00 ou a prazo em seis
prestações mensais iguais, vencendo a
primeira três meses após a compra. Se a
taxa de juros do financiamento for de
2% a.m., qual o valor de cada prestação?
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Seqüência Uniforme Diferida
Exemplo:
V2  50.0001,02  52.020
2

1,02  1
V2  R
6
1,02 0,02
52.020  R5,601431  R  9.286,91
6
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Seqüência Uniforme Diferida
Exercícios:
• A venda de uma moto é anunciada em dez prestações
mensais e iguais a $ 2.000,00 cada, vencendo a
primeira dois meses após a compra. Qual o preço à
vista se a taxa de financiamento for de 3,5% a.m.
• O preço à vista de um carro é de $ 36.000,00. No
entanto, há um plano de venda a prazo em que se exige
30% de entrada, financiando o saldo em 24 parcelas
mensais iguais, com três meses de carência, isto é, a
primeira prestação vence daqui a quatro meses.
Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de
5% a.m., qual o valor de cada prestação?
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Seqüência Uniforme com Parcelas
Adicionais
• Muitas vezes ocorrem situações de
financiamento em que, além da seqüência
uniforme de prestações, existem
prestações extra (ou de reforço). Nesse
caso o valor atual do conjunto é a soma
do valor atual da seqüência uniforme
com o valor atual das prestações de
reforço.
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Seqüência Uniforme com Parcelas
Adicionais
Exemplo:
• Um terreno é vendido a prazo em 12
prestações mensais de $ 5.000,00 cada
uma, postecipadas, mais duas prestações
de reforço vencíveis em seis e doze meses
após a compra, cada uma $ 20.000,00. Qual
o preço à vista se a taxa de juros do
financiamento for de 3,2% a.m.
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Seqüência Uniforme com Parcelas
Adicionais
Exemplo:

1,032  1
20.000 20.000
V  5.000


12
6
12
1,032 0,032 1,032 1,032
12
V  49.181,02  16.555,86  13.704,83  79.441,71
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Seqüência Uniforme com Parcelas
Adicionais
Exercícios:
• Um financiamento de $ 60.000,00 deve ser pago em
18 prestações mensais iguais postecipadas, mais seis
prestações trimestrais postecipadas de $ 5.000,00
cada uma. Determine o valor das prestações mensais,
sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de
1,5% a.m.
• Um terreno é vendido à vista por $ 30.000,00. A
prazo, o pagamento poderá ser feito em doze
prestações mensais sem entrada, sendo cada uma das
seis primeiras de valor X e cada uma das seis últimas
iguais a 2X. Calcule as prestações para uma taxa de
3,5% a.m.
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