FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Graduação em Engenharia de Produção
Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária
Álgebra Linear I – 1ª Lista de Exercícios
1. Uma fábrica produz dois tipos de plásticos: o normal e o especial. Cada tonelada de
plástico normal necessita de 2 horas na máquina A e 3 horas na máquina B. Cada
tonelada de plástico especial necessita de 3 horas na máquina A e 5 horas na máquina
B. Suponha que a fábrica produz N toneladas do plástico normal e E toneladas do
plástico especial por dia.
(a) Escreva uma expressão para o número de horas em que a máquina A está sendo
usada por dia.
(b) Escreva uma expressão para o número de horas em que a máquina B está sendo
usada por dia.
(c) Se a máquina A estiver disponível 14 horas por dia e a máquina B, 22 horas por
dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente
para que as duas máquinas sejam plenamente utilizadas?
2. Uma confecção tem duas seções de produção: uma de corte e costura, outra de
aviamentos e acabamento. A fábrica produz três tipos de blusas: sem mangas, com
mangas curtas e com mangas compridas. Uma blusa sem mangas necessita de 1 hora
no setor de corte e costura e meia hora no setor de aviamentos e acabamentos. Uma
blusa com mangas curtas precisa de 1 hora e meia no setor de corte e costura e uma
hora no setor de aviamentos e acabamentos. Uma blusa com mangas compridas
precisa de duas horas em cada setor.
(a) Suponha que o setor de corte e costura funciona 12 horas por dia, enquanto que o
setor de aviamentos e acabamento funciona apenas 8 horas por dia. Encontre
todas as possibilidades de produção para esta confecção.
(b) Se o preço da blusa com mangas curtas é uma vez e meia o preço da blusa sem
mangas e o preço da blusa com mangas compridas é o dobro do preço da blusa com
mangas curtas, qual a produção que vai corresponder à receita maior?
3. Quais das equações a seguir são lineares em x, y e z?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) px +
x + 5y – 2 z = 1.
3x + y – 9z = p.
2x3 + 5y – 3z = 8.
x = 7y – 4z.
5xy + y – 9z = 2.
3
3x
+1.
(g) z = y
(h) x + y + z = xyz.
4. Resolva cada um dos sistemas a seguir.
ì2x - 3y + 4z = -12
ï
(a) íx - 2y + z = -5
ï3x + y + 2z = 1
î
ìïx + y - 2z = 5
(b) í
ïî2x + 3y + 4z = 2
Lista01
2 y + 2 z = 41/3.
ìx + y = 1
ï
(c) í2x - y = 5
ï3x + 4y = 2
î
ì2x + 3y - z = 6
ï
(d) í2x - y + 2z = -8
ï3x - y + z = -7
î
Álgebra Linear I
1
5. Considere o sistema linear
ïì2x + 3y - z = 0
í
ïîx - 4y + 5z = 0
(a)
(b)
(c)
(d)
Verifique que x1 = 1, y1 = -1 e z1 = -1 é solução.
Verifique que x2 = -2, y2 = 2 e z2 = 2 é solução.
É verdade que x = x1 + x2= -1, y = y1 + y2 = 1, z = z1 + z2 = 1 é solução do sistema?
É verdade que, sempre que x1, y1, z1 e x2, y2, z2 forem soluções do sistema, x = x1 +
x2, y = y1 + y2, z = z1 + z2 também será uma solução?
(e) Encontre a forma de todas as soluções deste sistema.
6. Encontre a matriz aumentada de cada um dos sistemas a seguir.
ì3x - 2y = -1
ï
(a) í4x + 5y = 3
ï7 x + 3y = 2
î
ì2x
ï
(b) í3x
ï6x
î
ì x1
ï
(c) í
ï
î
- y
+ y
+ 2z
+ 4z
- z
+ 2x2
3x2
= 1
= 7
= 0
-
+ x3
x3
x4
+ 7x4
+ x5
- x5
= 1
= 2
= 1
7. Encontre o sistema de equações lineares correspondentes às matrizes aumentadas
dadas a seguir.
é2 0
é1 0 0 0
0ù
7ù
ê
ú
ê
ú
(a) ê 3 -4
0ú
-2ú
ê0 1 0 0
(d)
ê0 1
ê0 0 1 0
1 úû
3ú
ë
ê
ú
0
0
0
1
4
ê
úû
é 3 0 -2
ë
5ù
ê
ú
é 2 -1
(b) ê 7 1
4
-3ú
1 ù
(e) ê
ú
ê 0 -2 1
ú
7û
-4 ûú
ë
ëê -1 3
é7 2 1 -3
(c) ê
ëê 1 2 4 0
5ù
ú
1 ûú
8. Use o método de Gauss para resolver cada um dos sistemas a seguir.
ìx + y + 2z = 8
ì2x + 2y + 2z = 0
ï
ï
(a) í-x - 2y + 3z = 1
(c) í-2x + 5y + 2z = 1
ï3x - 7y + 4z = 10
ï8x + y + 4z = -1
î
î
ì x - y + 2z - w = -1
ï
ï2x + y - 2z - 2w = -2
(b) í
ï -x + 2y - 4z + w = 1
ï3x
- 3w = -3
î
Lista01
ì - 2y + 3z = 1
ï
(d) í3x + 6y - 3z = -2
ï6x + 6y + 3z = 5
î
Álgebra Linear I
2