8
2 - Derivadas parciais
Seja por exemplo: Estima-se que a produção semanal de uma fábrica seja dada pela função Q(x,y) =
1200x + 500y + x2y + x3 – y3 unidades, onde x representa o número de operários qualificados e y representa o
número dos não-qualificados. Atualmente a fábrica conta com 30 operários qualificados e 40 nãoqualificados.
Qual será a variação na produção semanal, resultante da adição de 1 operário qualificado, sendo
mantido constante o número de operários não-qualificados?
Em muitos problemas de naturezas diversas, envolvendo diversas variáveis, deseja-se calcular a taxa
de variação em relação a uma variável, mantendo constantes as outras. Ou seja, o objetivo consiste em
derivar a função em relação a uma determinada variável e manter as outras fixas. Este processo é conhecido
como derivação parcial.
Outra situação: Dado o parabolóide z = 16 – x2 – y2 e o plano y = 2, cuja visualização no 1º octante
está na figura, chamamos de C a curva resultante da intersecção dessas superfícies, isto é, substituindo y:
C : z = 12 – x2
y=2
Dado um ponto P dessa curva, por exemplo, P(1,2,11), como vamos calcular a
inclinação da reta tangente à curva C em P?
A resposta a esta questão é fazer uma análise considerando a modificação de
apenas uma variável. Esse procedimento vai nos levar à definição de uma
derivada para cada uma das variáveis independentes que vai nos permitir
responder a questão acima.
Definição:
Sejam f : A ⊆ R 2 → R e z = f(x,y), uma função de duas variáveis e (x0,y0) ∈ A. Fixado y = y0,
podemos considerar a função g(x) = f(x,y0). A derivada de g no ponto x = x0, é denominada derivada parcial
de f em relação a x no ponto (x0,y0), denotada por
∂f
( x 0 , y 0 ) , denotada por:
∂x
g ( x) − g ( x 0 )
∂f
( x 0 , y 0 ) = lim
se o limite existir
x
→
x
0
∂x
( x − x0 )
Analogamente, definimos a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0,y0) por:
g ( y) − g ( y0 )
∂f
( x 0 , y 0 ) = lim
se o limite existir.
y
→
y
0
∂y
( y − y0 )
2.1 – Interpretação Geométrica
Para y = y0, temos que f(x,y0) é uma função de uma variável cujo gráfico é uma curva C1, resultante
da intersecção da superfície z com o plano y = y0.
9
A inclinação ou coeficiente angular α da reta tangente a
curva C1 no ponto (x0,y0) é dada por: tgα =
∂f
( x0 , y 0 ) .
∂x
De maneira análoga temos que a inclinação da reta
tangente a curva C2, resultante da intersecção de z com o
plano x = x0 é
tgβ =
∂f
( x0 , y 0 ) .
∂y
Assim temos: A derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a x como
∂f
( x, y ) ou
∂x
∂f
∂x
ou
∂f
( x, y ) ou
∂y
∂f
∂y
ou
Dxf(x,y) ou fx(x,y) ou ....
Analogamente: A derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a y como
Dyf(x,y) ou fy(x,y) ou ....
No caso do parabolóide z = 16 – x2 – y2 e o plano y = 2, a inclinação da reta tangente a curva C no
∂f
(1,2) . Ou seja:
∂x
∂f
e
(1,2) = -2
∂x
ponto (1,2,11) é dada por
∂f
( x, y ) = - 2x
∂x
Logo, tgα = −2
2.2 – Exercícios
1)
a)
b)
c)
d)
Calcule as derivadas parciais fx e fy nos pontos indicados:
f(x,y) = 7x – y2; (0,1)
f(x,y) = 1 - 3xy; (1,2)
f(x,y) = x2 + 2x3y7; (1,0)
f(x,y) = 7xy2 –7x2y3; (1,1)
10
2) Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções:
a) f ( x, y ) = 3 x 5 − 5 y 3 + 13
b) f ( x, y ) = ax 2 + bxy + cy 2 , onde a, b, c constantes
c) f ( x, y ) = 7 − 7 x 2 + 3 y − y 5
d) f ( x, y ) = mx 2 + ny 2 + pxy + qx + ry + s, onde m, n, p, q, r, s constantes
1
1
e) f ( x, y ) = x 2 + xy 2 + x 3 y 2
f) f ( x, y ) =
1
3
x3 y 2
g) f ( x, y ) = x 2 cos y
h) f ( x, y ) = 3 x cos(7 y )
i) f ( x, y ) = y 3 sen 2 x
j) f ( x, y ) = y 2 tgx
k) f ( x, y ) = e xy
l) f ( x, y ) = e x
2
+7 y
2
m) f ( x, y ) = e x cos y
x+ y
x2 + y2
x+7
o) f ( x, y ) =
y+3
p) f ( x, y, z ) = senxy 2 z
n) f ( x, y ) =
3) Verifique se a função z = ln(xy) + x + y satisfaz a equação: x
∂f
∂f
−y
= x− y
∂x
∂y
4) Seja z = 6 – x2 – y2. Encontrar a inclinação da reta tangente a curva C, resultante da intersecção de z
com y = 1, no ponto (2,1,1). Faça um esboço.
5) Seja z = 2x2 +5x2y - 12x. Encontrar a inclinação da reta tangente a curva C, resultante da intersecção
de z com y = 1, no ponto (2,1,-6).
6) A produção diária de uma certa fábrica é de Q(K,L) = 60K1/2L1/3 unidades, onde K representa o
capital investido, medido em $ , e L é o número de operários-hora. Suponha que o capital investido
atualmente seja de 900 $ e que se empreguem 1000 operários-hora. Utilizando a análise marginal,
avalie o efeito que um acréscimo de 1 $ provocará na produção diária, admitindo que o número de
operários permaneça constante.
7) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa plana é dada por T ( x, y ) = 30 + 50 − x 2 − y 2 . (T em
°C e x,y em metros)
a) Determine o domínio de T(x,y) e a temperatura no ponto (3,4);
b) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (3,4) e represente-a no plano xy;
c) Se a partir do ponto (3,4) uma pessoa caminhar em direção paralela ao eixo x, sentido positivo, a
temperatura aumentará ou diminuirá? Qual a taxa de variação da temperatura nesse ponto?
11
8) Verificar se a função z = x3y2 satisfaz a equação
Respostas
1) a) 7, -2
b) -6, -3
c) 8, 14
2)
a) 15x4, -15y2
b) 2ax+by, bx+2cy
c) -14x, 3-5y4
d) 2mx+py+q, 2ny+px+r
e) 2x+y1/2+1/3y2x-2/3, 1/2xy-1/2+2yx1/3
f) –x-2y-2/3, -2/3y-5/3x-1
g) 2xcosy, -x2seny
h) 3cos7y, -21xsen7y
i) 2y3cos2x, 3y2sen2x
j) y2sec2x, 2ytgx
k) yexy, xexy
l) 2xex2+7y, 7ex2+7y
m) 2xex2cosy, -ex2seny
n)
o)
1 ∂z
2 ∂z
−
= 0,
x ∂y 3 y ∂x
para
x≠0
y≠0
d) 0, 0
y 2 − 2 xy − x 2 x 2 − 2 xy − y 2
,
( x 2 + y 2 )2
( x 2 + y 2 )2
1
− x−7
,
y + 3 ( y + 3) 2
p) y2zcosxy2z, 2xyzcosxy2z, xy2cosxy2z,
7) 35°C, x2+y2 = 25, -0,6°C/m
2.3 - Derivadas de ordem superior – Derivadas sucessivas
As funções derivadas em 1ª ordem podem sofrer nova derivação.
Numa função z = f (x,y) , as derivadas parciais de segunda ordem são:
- Em relação a x:
∂  ∂z  ∂ 2 z
 =
∂x  ∂x  ∂x 2
- Em relação a y:
∂  ∂z  ∂ 2 z
 =
∂y  ∂y  ∂y 2
- Em relação a x e a y:
∂  ∂z  ∂ 2 z
 =
∂y  ∂x  ∂x∂y
- Em relação a y e a x:
∂  ∂z  ∂ 2 z
 =
∂x  ∂y  ∂y∂x
De terceira ordem:
∂3z
∂3z
∂3z ∂3z
,
,
,
, ......
∂x 3 ∂y 3 ∂x 2 ∂y ∂x∂y 2
Teorema de Schwartz:
∂2z
∂2z
=
(A ordem da derivação não modifica a derivada final)
∂y∂x ∂x∂y
12
2.4 – Exercícios
1) Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem das funções
a) f(x,y) = 5x2 +3y2 + 7xy
b) z = ax2 – by2 + cxy
c) z = 7x3 + 4x2senx
d) z = x2e7y
e) z = ln(x+2y)
2) Achar as derivadas de 3ª ordem da função z = x4 + y3 + x3 – x2 – y2
3) Calcule a derivada indicada
a) Se z = ln(5x), calcule
∂3z
∂x∂y 2
b) Se z = x cos y, calcule
∂2z ∂2z ∂2z
,
,
∂x 2 ∂x∂y ∂y∂x
4) Verifique o teorema de Schwartz para a função:
z=
y
x + y2
2
5) Determinar a relação que existe entre a e b para que a função z = eax+by satisfaça a equação
∂2z
∂2z
=
9
.
∂x 2
∂y 2
Resposta da 1ª: (estão na ordem: fxx, fxy = fyx, fyy)
a) 10, 7, 6 b) 2a, c, 2b
c) 42x – 4y2senx, 8ycosx, 8senx
e)
d) 2e7y, 14xe7y, 49x2e7y
−1
−2
−4
,
,
2
2
( x + 2 y) ( x + 2 y) ( x + 2 y) 2
2.5 Derivadas direcionais e o vetor gradiente
Se z = f(x,y), as derivadas parciais
∂f
e
∂x
∂f
representam as taxas
∂y
de variação de z na direção dos eixos x e y nas direções dos versores i e j.
Suponha que queiramos determinar a taxa de variação de z no ponto (x0 ,y0)
na direção de um vetor unitário u = a, b como na figura ao lado:
Para faze-lo devemos considerar a superfície S com equação z = f(x,y) e tomar z = f(x0,y0). O ponto
P((x0, y0, z0) pertence a S. O plano vertical que passa por P na direção de u intercepta S numa curva C (ver
figura abaixo). A inclinação da reta t tangente a C em P é a taxa de variação (derivada) de z na direção de u.
13
Se Q(x,y,z) é um outro ponto sobre C e P’, Q’são
projeções de P e Q sobre o plano xy, então o vetor
P' Q' é paralelo a u, e portanto
P ' Q' = hu = ha, hb
Para algum valor do escalar h. Portanto, x-xo = ha,
y-yo = hb, logo x = xo + ha,
y = yo + hb, e
f ( x0 + ha, y0 + hb) − f ( xo , y0 )
∆z z − z 0
=
=
h
h
h
Se tomarmos o limite quando h → 0 , obteremos a taxa de variação z (em relação a distância) na
direção de u, que é chamada de derivada direcional de f na direção de u.
Assim, a derivada direcional de f em (x0 ,y0) na direção do vetor unitário u = a, b é
Du f ( x0 , y0 ) = lim
h →0
f ( x0 + ha, y0 + hb) − f ( xo , y0 )
, e esse limite existir.
h
Considerando esta definição, se u = i = 1,0 , que é o vetor unitário sobre o eixo x, Dif = fx e se
u = j = 0,1 , que é o vetor unitário sobre o eixo y, Djf = fy. Em outras palavras, as derivadas parciais de f
com relação a x e y são casos particulares da derivada direcional.
Se f é uma função diferenciável em x e y, então f tem derivada direcional na direção de qualquer
versor u = a, b e pode-se mostrar que
Du f ( x, y ) = f x ( x, y )a + f y ( x, y )b
Se o versor u faz um ângulo θ com o eixo x positivo, então podemos escrever u = cos θ , senθ e a
expressão fica
Du f ( x, y ) = f x ( x, y ) cos θ + f y ( x, y ) senθ
Exemplo 1: Determine a derivada direcional Du f ( x, y ) se f(x,y) = x3 – 3xy + 4y2 e u é o versor dado pelo
ângulo θ =
π
Resolvendo:
6
. Qual será Du f (1,2) ?
14
Du f ( x, y ) = f x ( x, y ) cos θ + f y ( x, y ) senθ
Du f ( x, y ) = f x ( x, y ) cos
= (3 x 2 − 3 y )
=
π
6
+ f y ( x, y ) sen
π
6
3
1
+ ( −3 x + 8 y )
2
2
1
3 3 x 2 − 3 x + (8 − 3 3 ) y
2
[
]
Portanto
Du f (1,2) =
1
13 − 3 3
3 3 ⋅ 12 − 3 ⋅ 1 + (8 − 3 3 ) ⋅ 2 =
≅ 3,902
2
2
[
]
Obs.: A derivada direcional Du f (1,2) representa a taxa de
variação de z (derivada) na direção de u. Isto é, a inclinação da reta
tangente a curva obtida pela intersecção da superfície f(x,y) = x3 –
3xy + 4y2 e o plano vertical que passa por (1, 2, 0) na direção de u.
Ângulo de inclinação:
α ≅ arctg 3,902
α ≅ 75,6 o
Vetor Gradiente
A derivada direcional pode ser escrita como um produto escalar de dois vetores:
Du f ( x, y ) = f x ( x, y )a + f y ( x, y )b
= f x ( x, y ), f y ( x, y ) ⋅ a, b
= f x ( x, y ), f y ( x, y ) ⋅ u
O primeiro vetor no produto escalar ocorre não somente no cômputo da derivada direcional, mas
também em muitas outras situações. Assim, recebe o nome de gradiente de f e a notação grad f ou ∇f , que
lemos “del f”.
Assim temos que:
Se f é uma função de duas variáveis x e y, o gradiente de f é a função vetorial ∇f definida por:
∇f ( x, y ) = f x ( x, y ), f y ( x, y ) =
Exemplo 2: Se f(x,y) = senx +exy, então
∂f
∂f
i+
j
∂x
∂y
15
∇f ( x, y ) = f x ( x, y ), f y ( x, y )
∇f ( x, y ) = cos x + ye xy , xe xy
e
∇f (0,1) = cos 0 + 1 ⋅ e 0⋅1 ,0 ⋅ e 0⋅1
∇f (0,1) = 2,0
Com
a
notação
de
gradiente,
podemos
reescrever
Du f ( x, y ) = f x ( x, y ), f y ( x, y ) ⋅ u para a derivada direcional como
a
expressão
Du f ( x, y ) = ∇f ( x, y ) ⋅ u
que expressa a derivada direcional na direção de u como a projeção escalar do vetor gradiente sobre u.
Exemplo 3: Determine a derivada direcional da função f(x,y) = x2y3 – 4y no ponto (2, -1) na direção do vetor
v = 2i + 5j.
Solução: Calculando o gradiente de f no ponto (2, -1):
∇f ( x, y ) = f x ( x, y ), f y ( x, y ) =
∂f
∂f
i+
j
∂y
∂x
∇f ( x, y ) = 2 xy 3i + (3x 2 y 2 − 4) j = − 4,8
∇f (2,−1) = −4i + 8 j
Como v não é um vetor unitário, e v =
u=
29 , o versor de v é
v
2
5
=
i+
j
v
29
29
Sendo Du f ( x, y ) = ∇f ( x, y ) ⋅ u , temos:
5 
 2
Du f (2,−1) = ∇f (2,−1) ⋅ u = (−4i + 8 j ) ⋅ 
i+
j
29 
 29
32
− 4⋅ 2 + 8⋅5
=
=
29
29
Funções de três variáveis
Para funções de três variáveis podemos definir derivadas direcionais de modo semelhante. Assim temos:
Du f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z )a + f y ( x, y, z )b + f z ( x, y, z )c
E o vetor gradiente ∇f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z ), f y ( x, y, z ), f z ( x, y, z )
16
Ou simplificando ∇f ( x, y, z ) = f x , f y , f z =
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
e assim a derivada direcional para funções de três variáveis pode ser reescrita como
Du f ( x, y, z ) = ∇f ( x, y, z ) ⋅ u
Exemplo 4: Se f(x,y,z) = xsenyz
a) determine o gradiente de f
b) determine a derivada direcional de f no ponto (1,3,0) na direção v = i + 2j – k
Resolvendo:
a) O gradiente de f é:
∇f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z ), f y ( x, y, z ), f z ( x, y, z )
∇f ( x, y, z ) = senyz , xz cos yz , xy cos yz
b) No ponto (1,3,0) temos
∇f (1,3,0) = 0,0,3
O versor de v = i + 2j – k é
u =
1
2
1
i+
j−
k
6
6
6
Du f ( x, y, z ) = ∇f ( x, y, z ) ⋅ u
Du f (1,3,0) = ∇f (1,3,0) ⋅ u
2
1 
 1
i+
j−
k
6
6 
 6
2
1 
 1
Du f (1,3,0) = 3k ⋅ 
i+
j−
k
6
6 
 6
Como Du f (1,3,0) = (0i + 0 j + 3k )
3
 1 
Du f (1,3,0) = 3 ⋅  −
=−
2
6

Suponha f como uma função diferenciável de duas ou três variáveis. O valor máximo da derivada direcional
Duf(x) é ∇f ( x) e ocorre quando u tem a mesma direção que o vetor gradiente ∇f (x) .
Exemplo 5:
a) Se f(x,y) = xey, determine a taxa de variação de f no ponto P(2,0) na direção de P a Q(1/2, 2).
b) Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a taxa máxima de variação?
Resolvendo:
a) calculando o gradiente:
∇f ( x, y ) = f x , f y = e y , xe y
∇f (2,0) = 1,2
−3 4
, , logo a taxa de variação de f na direção que vai de P a
5 5
−3 4
Q é Du f (2,0) = ∇f (2,0) ⋅ u = 1,2 ⋅
,
=1
5 5
O versor da direção PQ = − 1,5,2 é u =
17
b) f aumenta mais rapidamente na direção do gradiente ∇f (2,0) = 1i + 2 j . A máxima taxa de variação é
∇f (2,0) = 1,2 = 12 + 2 2 = 5
Exercícios:
1) Determine o gradiente de f(x,y) = 3x2y no ponto (1,2) e use-o para calcular a derivada direcional de f em
(1,2) na direção do vetor a = 3i +4j.
2) Determine a derivada direcional de f(x,y) = x2y3 + 2x4y no ponto (1, -2) na direção indicada pelo ângulo
θ=
π
3
.
3) Determine a derivada direcional de f(x,y) = sen(x + 2y) no ponto (4, -2) na direção indicada pelo ângulo
θ=
3π
.
4
4) Se f(x,y) = 5xy2 – 4x3y, P(1,2), u =
5 12
, determine o gradiente de f, calcule o gradiente no ponto P
,
13 13
e determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
5) Se f(x,y) = ylnx, P(1,-3), u =
−4 3
, , determine o gradiente de f, calcule o gradiente no ponto P e
5 5
determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
6) Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
a) f(x,y) = 1 + 2x y , (3,4), v = 4,−3
b) f(x,y) = x2ey, (2,0), v = i + j
x
, (4,1,1), v = 1,2,3
y+z
d) f(x,y,z) = z3 – x2y, (1,6,2), v = 3i + 4j + 12k
c) f(x,y,z) =
Respostas:
1) ∇f (1,2) = 12i + 3 j , Duf(1,2) = 48/5
2) 7 3 − 16
2
2
4) ∇f ( x, y ) = 5 y 212 x 2 y,10 xy − 4 x 3 , − 4,16 , 172 / 13
3)
6) a) 23/10
b) 4 2