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1327 - Lei de Radiação de Stefan-Boltzmann
Roteiro elaborado com base na documentação que acompanha o conjunto por:
Máximo F. da Silveira – Instituto de Física - UFRJ
Tópicos Relacionados
Radiação de corpo negro, f.e.m. termoelétrica, dependência da resistência com a
temperatura.
Princípios e objetivos
De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann, a energia emitida por unidade de
tempo e por unidade de área por um corpo negro é proporcional à potência
quatro da temperatura absoluta do corpo. A lei de Stefan-Boltzmann também é
válida para os corpos conhecidos como corpos “cinza”, cuja superfície exibe um
coeficiente de absorção menor que um e independente do comprimento de onda.
No experimento, o corpo “cinza” é representado pelo filamento de uma lâmpada
incandescente cuja emissão de energia é investigada em função de sua
temperatura.
Equipamentos
Base barril -PASSDistribuidor
Lâmpada de filamento 6 V/ 5 A, E14
Suporte para lâmpada E 14,com haste
Multímetro digital
Cabo de conexão, 500 mm, vermelho
Cabo de conexão, 500 mm, azul
Banco de perfil óptico l = 60 cm
Base para banco de perfil óptico, ajustável
Suporte deslizante para banco de pr. Ópt., h30mm
Termopilha, tipo moll
E
Tubo blindado, para 08479.00
Transformador, 25VAC/20VDC,12A
Amplificador de medidas universal e
Resistor de carbono PEK 2W 5% 100 Ohm
02006.55
06024.00
06158.00
06175.00
07134.00
07361.01
07361.04
08283.00
08284.00
08286.01
08479.00
08479.01
13531.98
13626.98
39104.63
1
1
3
1
3
4
4
1
2
2
2
2
1
1
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Problemas
1. Medir a resistência do filamento da lâmpada incandescente à temperatura
ambiente e determinar a resistência do filamento R0 à zero graus centígrados.
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2. Medir a densidade do fluxo de energia da lâmpada em diferentes voltagens de
alimentação. A correspondente corrente elétrica de aquecimento obtendo a
resistência associada ao filamento para cada voltagem de alimentação.
Admitindo-se uma dependência de segunda ordem com a temperatura para a
resistência do filamento, pode-se calcular a temperatura do filamento a partir
dos dados medidos para a resistência.
Montagem e procedimentos
Monta-se inicialmente o circuito da Fig. 2 para medida da resistência do
filamento à temperatura ambiente. Um resistor de 100 ohms é conectado em
série com a lâmpada para permitir um ajuste fino da corrente. Mede-se a queda
de potencial V no filamento para correntes de até 200 mA-DC, obtendo a
resistência à temperatura ambiente. As intensidades de corrente nessa faixa são
suficientemente pequenas de modo a desprezar efeitos de aquecimento.
Prepara-se a montagem experimental da Fig. 1. O resistor de 100 ohms é
retirado do circuito. O filamento agora é alimentado por uma fonte de tensão
VAC variável em série com um amperímetro que permita medidas de corrente
alternada de até 6 A. O voltímetro é conectado aos terminais do filamento e a
voltagem alternada é aumentada em intervalos de 0,5 ou 1,0 volt até o limite de
8 VAC.
Fig. 1: Montagem experimental para verificação da lei de radiação de Stefan-Boltzmann.
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1327 - Lei de Radiação de Stefan-Boltzmann
Fig. 2: Circuito para medida da resistência do filamento à temperatura ambiente.
Nota: A voltagem de alimentação da lâmpada incandescente é de 6 VAC. Valores de até 8
VAC podem ser aplicados, desde que por curtos períodos de poucos minutos.
Com a termopilha montada a uma distância de 30 cm do filamento aplica-se
inicialmente uma tensão de 1 VAC. Em seguida gira-se (com a base fixada) a
termopilha para esquerda e direita procurando o valor máximo para a f.e.m.
termoelétrica. O eixo do filamento cilíndrico deve estar perpendicular ao eixo do
banco óptico. Como a f.e.m. termoelétrica é da ordem de poucos milivolts, devese usar um amplificador para medidas mais acuradas. O fator de amplificação
deve estar na faixa de 102 ou 103 com o voltímetro ligado ao amplificador na
escala de 1 ou 10 VDC. Antes de iniciar a leitura da f.e.m. termoelétrica deve-se
ajustar um “zero” apropriado. Isto pode ser feito afastando-se a lâmpada em seu
suporte da frente da termopilha por alguns minutos. O amplificador deve ser
usado no modo LOW DRIFT (104 ohm) com uma constante de tempo de 1 s.
Após a lâmpada ser colocada de volta no trilho óptico podem ser tomados os
dados, aguardando sempre alguns minutos entre cada medida para que a
termopilha alcance o equilíbrio. Deve-se tomar cuidado para que nenhuma
radiação de fundo prejudique as medidas.
Teoria e Análise
Considere a radiância espectral RT(λ) para um corpo negro com uma área de
superfície A. Podemos expressar a energia emitida por unidade de tempo e de
área, à temperatura T e comprimento de onda λ no intervalo dλ pela equação de
Planck:
1 dΕ
2πc 2
h
dλ
= RT (λ )dλ = 5
hc
A dt
λ  e λkT − 1


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1327 - Lei de Radiação de Stefan-Boltzmann
onde:
c = 3,00 × 108 m/s (velocidade da luz)
h = 6,62 × 10–34 J.s (constante de Planck)
k = 1,381 × 10–23 J.K–1 (constante de Boltzmann)
Integrando a equação (1) sobre todo o espectro de comprimentos de onda,
obtemos a potência total irradiada à temperatura T (Lei de Stefan-Boltzmann):
∞
P (T ) = A ∫ RT (λ )dλ = AσT 4
(2)
0
com:
σ = 2π5.k4/15c2.h3 = 5,67 × 10–8 W.m–2.K–4
A relação de proporcionalidade entre P(T) e T4 continua válida para os chamados
corpos “cinza”, cuja superfície exibe um coeficiente de absorção ε, menor que um
e independente do comprimento de onda.
Para testar a validade da Lei de Stefan-Boltzmann medimos a radiação emitida
pelo filamento de uma lâmpada incandescente que se comporta muito
proximamente a um corpo “cinza”. Para uma distância fixa entre o filamento e a
termopilha, o fluxo de energia φ que a atinge é proporcional a P(T).
φ ∝ P(T)
E como φ também é proporcional à f.e.m. Uth da termopilha, podemos estabelecer
que:
Uth ∝ T4
caso a termopilha esteja à temperatura de zero Kelvin. Mas como a termopilha
está à temperatura ambiente Ta ela também irradia segundo a lei T4 de modo que
devemos escrever:
Uth ∝ (T4 – Ta4)
Nas circunstâncias da experiência podemos desprezar Ta4 em comparação a T4
de modo que podemos esperar uma relação linear, de coeficiente “4”, quando
representada a função Uth(T) em escala di-logarítimica.
Log Uth = 4 log T + const.
(3)
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1327 - Lei de Radiação de Stefan-Boltzmann
A temperatura absoluta T = t + 273 do filamento de tungstênio pode ser
calculada pelas medidas de resistência R(t) do filamento (t é a temperatura em
centígrados). Para a resistência de um filamento de tungstênio temos a seguinte
relação:
R(t) = R0 (1 +αt + βt2)
(4)
sendo R0 a resistência a 0 oC e,
α = 4,82 × 10-3 K-1
β = 6,76 × 10-7 K-2
A resistência R0 pode ser calculada usando a relação:
R0 =
R (ta )
1 + α.ta + β.ta2
(5)
Resolvendo a eq. (4) para temperatura T, chega-se a:
T = 273 +

 R(t ) 
1  2


α
+
4
β
−
1
−
α


 R

2β 

0



Tanto R(ta) quanto R(t) são obtidas pela lei de Ohm, ou seja, pelas medidas de
voltagem e corrente através do filamento.
Fig. 3: F.e.m. termoelétrica da termopilha em função da temperatura absoluta do
filamento.
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1327 - Lei de Radiação de Stefan-Boltzmann
1. Usando a saída de voltagem DC da fonte de tensão, uma corrente contínua
de 100 mA e de 200 mA foram aplicadas ao filamento em série com um
resistor de 100 ohm. As voltagens correspondentes lidas no voltímetro
foram de 16,5 mV e 33,0 mV respectivamente. Nota-se que dobrando a
corrente a voltagem também dobra. Isto mostra que a influência da
temperatura na resistência do filamento já é insignificante para os valores
DC escolhidos. Encontramos nesse caso:
R(ta) = 0,165 ohm
(7)
R0 = 0,15 ohm
(8)
e conseqüentemente:
Pequenas variações em R0 influenciam de forma insignificante o coeficiente S.
2. Aumentando-se a voltagem de aquecimento AC em intervalos de 1 VAC
desde 0 até 8 VAC obteve-se os seguintes resultados:
VAC
(V)
1
2
3
4
5
6
7
8
IAC (A)
2,20
2,80
3,45
4,00
4,45
4,90
5,30
5,70
Uth
(mV)
0,15
0,62
1,30
2,20
3,20
4,45
5,90
7,50
T (K)
672
983
1160
1300
1430
1540
1630
1720
A representação gráfica di-logarítimica do fluxo de energia em função da
temperatura absoluta é mostrado na Fig. 3. O coeficiente S da reta ajustada pelo
método dos mínimos quadrados é:
S = 4,19 ± 0,27
(9)
O valor teórico de S, que é 4 , se encontra dentro dos limites da incerteza
calculada.