Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
1o semestre 06/07
REPESCAGEM DO 3o TESTE DE ÁLGEBRA LINEAR 2a FASE
LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE
7 de Fevereiro de 2007 (9:00)
Teste 31
Nome:
Número:
Curso:
O Teste que vai realizar tem a duração total de 2 horas e meia e consiste de sete perguntas.
As perguntas estão divididas em alı́neas com as cotações indicadas na tabela abaixo.
O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada.
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
1.a)
1.b)
2.a)
2.b)
3.a)
3.b)
3.c)
4.a)
4.b)
4.c)
5.a)
5.b)
5.c)
6.a)
6.b)
6.c)
7.a)
7.b)
1.5 Val
1 Val
1 Val
1.5 Val
1 Val
1 Val
1.5 Val
1 Val
1 Val
1 Val
1.5 Val
1.5 Val
1 Val
1 Val
1 Val
0.5 Val
1 Val
1 Val
NOTA FINAL:
1
Problema 1 (2.5 valores)
Considere a seguinte matriz aumentada dum sistema de equações lineares nas variáves x, y e
z, em que α e β são escalares reais


1 0 1 0
 0 1 α 0 
α 0 α β
a) Faça a discussão do sistema de equações em função dos parâmetros α e β.
b) Indique a solução do sistema de equações homogéneo quando α = β = 0.
Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar!
2
Problema 2 (2.5 valores)
a) Diga se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa. No caso de ser verdadeira, explique porquê. No caso de ser falsa, dê um contra-exemplo.
i) Seja A uma matriz 3 × 3 com entradas reais. Então,
det(2A) = 2det(A).
ii) Seja A uma matriz 3 × 3 com entradas reais. Então,
det(AAT ) = (det(A))2 .


a b c
b) Seja A =  d e f  tal que det(A) = 5. Calcule
g h i
i)
det((2A)−1 )
ii)


a-d b-e c-f
b c .
det  a
g
h
i
Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar!
3
Problema 3 (3.5 valores)
Sejam u, v e w vectores tais que
hu, vi = 0, hv, wi = −3, hu, wi = 5, kuk = 1, kvk = 2, kwk = 7.
a) Determine o valor da seguinte expressão
h3u + v, v + 2wi
b) Seja W o subespaço linear gerado por u e v. Determine a sua dimensão e indique
uma base para W .
c) Calcule as coordenadas da projecção ortogonal de w sobre W na base escolhida na
alı́nea anterior.
Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar!
4
Problema 4 (3 valores)
a) Considere a matriz A em que as bases para o espaço das linhas e das colunas podem
ser dadas, respectivamente, pelos conjuntos
B1 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} , B2 = {(1, −1, −2), (0, 1, 1)}
Deduza uma matriz A que verifique estas condições. Determine o núcleo duma
matriz A nas condições do enunciado.
b) Seja C uma matriz 12 × 17 com entradas reais, tal que a dimensão do espaço das
colunas de C é 8.
Complete as seguintes afirmações, de modo a torná-las verdadeiras:
o núcleo de C é um subespaço de .............. de dimensão.............. ; a caracterı́stica
de C T é ............ ;
o espaço das linhas de C T é um subespaço de ............ de dimensão ............ .
c) Considere R4 com o produto interno usual.
Sejam A e B matrizes 5 × 4 com entradas reais, tais que AT B é invertı́vel. Mostre
que BAT não é invertı́vel.
Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar (excepto em b))!
5
Problema 5 (4 valores)
Considere a transformação linear T que aplica o rectângulo da Figura 1 no paralelograma
da Figura 2.
a) Deduza a matriz canónica A da transformação linear T . Escreva o polinómio caracterı́stico e determine os valores próprios de A.
b) Encontre o espaço próprio de A associado a cada valor próprio. Calcule o coseno
do menor ângulo entre as direções próprias da transformação linear T .
c) Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invertı́vel P , i.e. escreva todas as
entradas de D e P , tal que P −1 AP = D.
Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar!
6
Problema 6 (2.5 valores)
a) Usando coordenadas homogéneas, determine a matriz A3×3 , que representa a transformação do quadrado mais escuro, no quadrado mais claro, sabendo que o primeiro
sofreu uma rotação (no sentido positivo) num ângulo π/4 em torno do seu vértice
(1, 1).
b) Mostre que a matriz de rotação R3×3 que roda vectores em θ relativamente ao
semi-eixo positivo dos zz é invertı́vel e determine R−1 .
c) Verifique que tanto R, como R−1 , são matrizes ortogonais.
Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar!
7
Problema 7 (2 valores)
Considere a transformação linear
T : P2 → P2
no espaço linear P2 dos polinómios reais de variável real de grau menor ou igual a 2
definida por
p(t) 7→ 2t2 p00 (t) − tp0 (t) + p(t)
onde p0 e p00 representam a primeira e a segunda derivada de p, respectivamente.
a) Fixando a base canónica Bc dos polinómios reais de variável real de grau menor ou
igual a 2 , tanto no espaço de partida como no espaço de chegada, calcule a matriz
que representa T nesta base.
b) Determine bases para o núcleo e para a imagem da transformação linear T . Diga,
justificando se T é invertı́vel e/ou sobrejectiva.
Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar!
8