Lista 3 - Álgebra Linear - 2015
Professor: Marcelo Muniz Alves
Turma: Matemática Diurno
Data: 25/08/2015
1. Exercı́cios numéricos do livro (“Um curso de Geometria Analı́tica e Álgebra Linear”):
2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4 ;
2.2.5, 2.2.6 (b) (d);
2.2.7 (c) (d), 2.2.8.
2. Na primeira lista de exercı́cios, você provou que se


2/3 −1/3 −1/3
P = −1/3 2/3 −1/3
−1/3 −1/3 2/3
então
P = MDM −1
onde




1 −1 −1
0 0 0
1  , D =  0 1 0 .
M = 1 0
1 1
0
0 0 1
(a) Use a equação P = MDM −1 para calcular o determinante de P . A matriz P tem
inversa?
(b) Calcule os determinantes de M e M −1 .
3. Sejam A, B matrizes reais n × n. Prove, ou dê um contra-exemplo.
(a) Se det(A) = 1 então A = In .
(b) se det(A) = 0 então A = 0 (matriz nula n × n).
(c) Para todo α ∈ R existe pelo menos uma matriz A tal que det(A) = α.
(d) det(AB) = det(BA).
(e) det(A + B) = det(A) + det(B).
(f) det(αA) = αn det(A).
4. Sejam A, B matrizes reais n × n. Prove que
(a) Se det(AB) = 0 então det(A) = 0 ou det(B) = 0.
1
(b) Se A tem inversa então det(A−1 ) =
.
det(A)
(c) Se A2 = A então det(A) = 0 ou det(A) = 1.
(d) Se existe k inteiro positivo tal que Ak = 0 (matriz nula) então det(A) = 0.
5. Seja A matriz real n × n.
(a) Mostre que se A2 = I então det(A) = ±1. Dê exemplos de matrizes 2 × 2 tais que
A 6= I mas A2 = I.
(b) Mostre que se n é ı́mpar então não existe matriz A tal que A2 = −I.
Encontre um exemplo de matriz 2 × 2 tal que A2 = −I.
6. mais exercı́cios do livro: 2.2.20, 2.2.21, 2.2.23.
7. Encontre os autovalores e autoespaços correspondentes





2 0 3 0
7
0 −3
2


−9 −2 3  , 0 3 4 2 , 0
0 0 1 3
18 0 −8
0
0 0 0 5
para as matrizes a seguir.

3 4
2
−1
1 1 ,
.
1 2
0 1
8. Para cada matriz abaixo,
(i) determine se é diagonalizável ou não,
(ii) caso seja diagonalizável, encontre uma matriz P tal que P AP −1 seja uma matriz
diagonal.


−1 14 −10
cos(2α) sen(2α)
2 1
, −2 15 −10
,
sen(2α) − cos(2α)
0 2
−2 14 −9
9. Mostre que se A é uma matriz n × n diagonalizável, com n autovalores distintos, então
seu determinante é o produto de seus autovalores.
10. (sequência de Fibonacci ) A sequência de Fibonacci f0 , f1 , f2 , . . . , é definida recursivamente por f0 = f1 = 1, e fi+1 = fi + fi−1 para i ≥ 1. Os primeiros 10 termos são 1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
(a) Verifique que vale a equação matricial
fi+1
1 1
fi
=
fi
1 0
fi−1
para todo i ≥ 1.
1 1
(b) Determine os autovalores da “matriz de Fibonacci” F =
e autovetores cor1 0
respondentes.
(c) O item anterior mostra que existe uma matriz invertı́vel P tal que P F P −1 é diagonal
(por quê?). Usando o fato que (P F P −1)n = P F n P −1 , para todo n ≥ 1, calcule a
potência n-ésima de F e obtenha a seguinte fórmula para o n-ésimo termo fn da
sequência:
√
√
(1 + 5)n − (1 − 5)n
√
fn =
.
2n 5
11. Use a ideia de escrever as entradas do produto de duas matrizes como produtos de linhas
por colunas para mostrar que
(a) Ei (α)−1 = Ei (1/α)
(b) Ei,j (α)−1 = Ei,j (−α)