Velocidade de Fase e Velocidade de Grupo
A velocidade de propagação de uma onda harmônica de comprimento de onda
λ, freqüência f, freqüência angular ω e número de onda k, cujo módulo é dado por:
v = λf =
ω
k
é chamada velocidade de fase. Para discutir o que entendemos por velocidade de
grupo, vamos considerar o exemplo da onda constituída pela superposição de duas
ondas harmônicas de mesma amplitude A, mas de freqüências angulares ω’ e ω muito
próximas uma da outra e números de onda k’ e k também muito próximos um do outro,
cuja equação pode ser escrita:
y( x, t ) = A [sen (k ' x − ω' t ) + sen(kx − ωt )]
Pela mesma expressão trigonométrica usada acima, temos:
 (k '−k ) x − (ω'−ω) t 
 (k '+k ) x − (ω'+ω) t 
y( x, t ) = 2A cos 
sen 


2
2




e como ω’ e ω são quase iguais, podemos tomar ω’ + ω ≈ 2ω e k’ + k ≈ 2k e ficamos
com:
 (k '−k ) x − (ω'−ω) t 
y( x, t ) = 2A cos 
 sen (kx − ωt )
2


Esta expressão descreve um movimento ondulatório com amplitude modulada.
Este movimento está representado, na Fig.16, pela linha contínua.
Matematicamente, o movimento ondulatório é descrito pelo fator:
sen (kx − ωt )
e tem, portanto, freqüência f dada por:
f=
ω
2π
Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria
Por outro lado, a amplitude modulada está representada, na Fig.16, pela linha
pontilhada. Matematicamente, a amplitude é descrita pelo fator:
 (k '−k ) x − (ω'−ω) t 
2A cos 

2


e tem freqüência f’, muito menor do que f, dada por:
f' =
ω'−ω
4π
Pela expressão matemática de y(x,t) podemos ver que esta amplitude
modulada corresponde a um movimento ondulatório que se propaga com uma
velocidade, chamada de velocidade de grupo, com módulo:
vG =
ω'−ω
k'−k
O movimento ondulatório descrito por y(x,t) é como uma seqüência de pulsos.
Um único pulso (Fig.17) pode ser construído superpondo-se um grande número
de ondas harmônicas de comprimentos de onda e freqüências diferentes.
Se o módulo da velocidade de propagação é independente da freqüência,
dizemos que o meio pelo qual se propagam as ondas é um meio não dispersivo.
Nesse caso, todas as ondas que compõem o pulso se deslocam com a mesma
velocidade e a velocidade de grupo, que corresponde à velocidade do pulso, é igual à
velocidade de fase, que corresponde à velocidade de cada onda componente. Num
meio dispersivo, cada onda harmônica que compõe o pulso se desloca com uma
velocidade de módulo diferente e o módulo da velocidade do pulso pode não ser igual
a qualquer um dos módulos das velocidades de fase.
Uma onda harmônica que se estende de − ∞ a + ∞ é caracterizada por um só
comprimento de onda e uma só freqüência. Uma onda como essa não é adequada
para transmitir informação porque informação implica alguma coisa com um começo e
um fim. Uma informação pode ser codificada por uma seqüência de pulsos e, portanto,
viaja com uma velocidade igual à velocidade de grupo que é, no caso de um meio não
dispersivo, idêntica à velocidade de fase.
Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria