12
2.
2.1.
POTÊNCIAS E
RAÍZES
POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS
Vimos anteriormente alguns aspectos históricos das potências e dos logaritmos,
bem como alguns processos que levaram à construção dos mesmos. Passaremos a seguir
a um desenvolvimento mais formal da teoria das potências com o objetivo de termos
condições de dar uma noção intuitiva do significado de uma potência de expoente
irracional.
Sejam
a ∈ R *+ , e n ∈ N * . A potência an é definida como o produto de n
fatores iguais ao número a, ou seja,
an = a.a.a.a. ... .a
n fatores
O número a é chamado de base e n expoente da potência an.
Propriedades
Sejam m, n ∈ N*, a, b ∈ R+*.
A 1) a m . a n = a m + n
(Propriedade Fundamental)
m
A2) a = a m − n se m > n
n
a
A3) ( a m ) n = a m .n
A 4) ( a . b ) n = a n . b n
n
n
A5)  a  = a
n
 b
b
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
13
Intuitivamente, é fácil observar que:
n+ m
a n .a m = (a.a. ...a )(a.a ...a) = 1
a.a.
...a
424
3 = a
1
424
3 1
424
3
n fatores
m fatores
n + m fatores
Uma demonstração rigorosa da Propriedade Fundamental e das demais
propriedades é feita utilizando o processo da indução.
O objetivo agora é estender a definição para potência com expoentes inteiros. Para
tal é preciso definir a0 e a-n, onde n ∈ N .
Faremos isso de modo que a Propriedade Fundamental seja preservada, isto é, que
a 0 . a n = a 0+ n = a n
(I)
a −n . a n = a −n+n = a 0
(II)
De ( I ) observamos que é conveniente definir:
a0 = 1
De modo semelhante, admitindo que a0 = 1 em ( II ), chegamos á conclusão que
a−n
deve ser igual a
1
an
.
Resumindo temos a seguinte
Definição
Sejam, a ∈ R *+
 0
a = 1

e n ∈ N * . Definimos: a n = a. a n −1

1
a − n = n
a

Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
14
Observações
1) Se n < 0, a n =
1
a −n
.
2) Se a < 0 e n ∈ Z, fazem sentido as definições de an, a0 e de a.-n. .
Por exemplo, ( −3) 5 = ( −3)( −3)( −3)( −3)( −3)
( −3) − 2 =
1
( −3)
2
=
1
( −3)( −3)
( −3) 0 = 1
É fácil verificar que se a < 0 temos an > 0, se n é par e an < 0 se n é ímpar. Entretanto,
como veremos posteriormente, para a teoria das funções exponenciais e logarítmicas
definições de potências com base negativa não são convenientes, já que não podem ser
estendidas de modo geral a expoentes fracionários.
3) Não faz sentido a expressão a − n =
1
an
para a = 0.
4) Não definimos 0 0 . Devemos observar que não é conveniente definir 0 0 como sendo
igual a 1; pois, se pensamos por um lado, que estamos estendendo para a = 0 a
expressão a 0 = 1, a ∈ R *+ , por outro lado, não estamos estendendo a expressão
0 n = 0.0.0...0, n ∈ N * para n = 0. A inconveniência de definir 0 0 como sendo 1 pode
ser vista com mais precisão no estudo de limite de funções no Cálculo Diferencial onde
se mostra que 0 0 é uma “indeterminação”
As propriedades A1, A2,..., A5, vistas anteriormente são válidas também para
números inteiros. Temos, portanto,
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
15
Propriedades
Sejam a, b ∈ R +* . Para quaisquer m, n ∈ Z, tem-se:
B1) a m .a n = a m + n
(Propriedade Fundamental)
m
B2) a = a m − n
n
a
B3) ( a m ) n = a m .n
B4) ( a .b )n = a n .b n
n
n
B5)  a  = a
n
 b
b
Considerando as propriedades Ai dadas anteriormente para números naturais não
nulos, apresentaremos as demonstrações de Bi.
B1 ) a m .a n = a m + n , a ∈ R +* , ∀ m, n ∈ Z.
D]
Vamos analisar os seguintes casos:
i) m > 0 e n > 0 ( este caso recai em A 1 )
ii) m < 0 e n < 0
Temos que −m > 0 e −n > 0. Assim, utilizando a definição e a propriedade A1, temos:
aman =
a
1
1
−m
−n
a
=
1
a
−m
a
−n
=
1
a
− m− n
=
1
a
− (m + n)
= a m+ n
iii) m > 0 e n < 0 ( portanto −n > 0 )
Se m > −n temos por A 2 que a m a n = a m
1
a
−n
= a m− ( − n) = a m+ n
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
16
Se m = −n,
Se m < −n, a m a n =
am
a
=
−n
1
−n
a
=
1
a
− n− m
=
1
a
− (m+ n)
= a m+ n
am
iv) m = 0 ou n = 0
a 0 a m = 1.a m = a = a m + 0
B2)
am
= a m − n , a ∈ R +* , m, n ∈ Z,
an
D]
am
a
n
= am .
1
a
n
= a m a − n = a m− n
n
B3) ( a m ) = a m .n , a ∈ R +* , m, n ∈ Z
D] Vamos analisar os seguintes casos:
i) m > 0 e n > 0 ( este caso recai em A 3 )
ii) m < 0 e n < 0
Temos que −m > 0 e −n > 0. Assim,
(a m ) n =  a −1m 
n
=
1
 1 
 −m 
a 
−n
=
1
  1
  
 a
−m 
−n


=
1
 1
 
 a
m.n


=



1

1

a
iii) m > 0 e n < 0
(a m ) n =
1
(a )
m −n
=
1
a
− mn
= a mn
iv) m < 0 e n > 0
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
m.n
= a m.n
17
Temos que −m > 0 e n > 0. Vamos portanto aplicar
 1 

 a −m 
n. ( a m ) = 
n
n
=
1
(a )
−m n
=
1
a
A5 e A3
para −m e
= a mn
− mn
v) m = 0 ou n = 0
(a 0 ) n = 1 n = 1 = a 0 = a 0.n
Análogo para n = 0
B4) ( a .b )n = a n .b n , a, b ∈ R +* , n ∈ Z
D]
i) n > 0 (recai em A 4 )
ii) n < 0
Neste caso −n > 0. Podemos aplicar A 4 para −n:
(ab) n =
1
(ab)
−n
=
1
a
−n
.b
−n
=
a
1
1
−n
−n
b
= a nbn
iii) n = 0
(ab) 0
= 1 = a 0 b0
n
a n , a, b ∈ * , n ∈ Z
 a
R+
B5)   = n
 b
b
D]
 a
 
 b
2.2.
n

= a

1

b
n
n
1
= (a)  
 b
n
n
= (a ) ( b − 1 ) = a n b − n = a n
1
n
bn
=
an
bn
RAÍZES E POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
18
p
aq ,
Nosso objetivo agora é definir a potência
p, q ∈ Z, q ≠ 0. Para isto é
necessário introduzir a definição e alguns resultados referentes à raiz n-ésima de um
número.
Definição
Sejam a > 0 e n ∈ N * . Chama-se raiz n-ésima de a, o
número real positivo b tal que bn = a .
Notação: b = n a
Observações
1) Pela definição,
1 a = a.
2) Por convenção
2a =
a
3) Se a < 0 pode-se definir
na,
no caso em que n é ímpar: n a é o número real b tal
que b n = a . Neste caso, b < 0. Por exemplo,
3
− 8 = −2 pois
trabalhando com os números reais, que a definição de
na
( − 2 ) 3 = −8 .
É claro,
não faz sentido se n é par e
a < 0, pois não existe um número real b tal que b n = a , a < 0 e b n > 0 . Assim,
−4
não faz sentido em R.
4) Se a = 0, definimos
n0=0
e a definição anterior pode ser estendida da seguinte
forma: Se a ≥ 0 , b ≥ 0 e b n = a então
n
a = b.
Propriedades
Sejam a, b ∈ R+, m, n, p ∈ N*
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
19
R 1)
n
a .n b =
n
a
=
b
R 2)
n
R 3)
( a)
n
mn
R 4)
n
R 5)
m
n
=
n
a .b
a
, se b ≠ 0.
b
n
am
a = m.n a
am =
p .n
a p .m
R 1 ) n a . n b = n a.b , a, b ∈ R+, m ∈ N*
D] Sejam x = n a e y = n b . Então x n = a e y n = b . Daí
a.b = x n y n = ( x. y )
Como x. y ≥ 0 , então x. y = n ab , ou seja,
n
R2 )
n
a
=
b
n
n
n
a n b = x. y = n ab .
a
, a, b ∈ R+, b ≠ 0, n ∈ N*
b
D] Sejam x = n a e y = n b . Então x n = a e y n = b . Daí
a x n  x
=
= 
b y n  y
Como
R3)
x
x
≥ 0,
=
y
y
( a)
n
m
=
n
a
. Portanto,
b
n
a
n
b
=n
n
a
.
b
a m , a ∈ R+, n, m ∈ N*
D] Seja x = n a . Então x n = a e x m =
( a)
n
m
. Temos
( ) m = x nm = ( x m ) n ⇒ x m = n a m = ( n a ) m
am = xn
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20
R4 )
mn
a =
m .n
a , a ∈ R+, n, m ∈ N*
D] Sendo x = n a e y =
m
x , temos x n = a e y m = x
( ) n = x n ⇒ y mn = x n ⇒ y = mn x n ,
ym = x ⇒ ym
ou seja,
mn
R5 )
n
am =
p .n
a = y=
mn
xn =
mn
a
a p .m , a ∈ R+, n, m, p ∈ N*
D]
n
( ) p = (a m ) p ⇒ x np = a mp ⇒ x = pn a pm
am = x ⇒ xn = am ⇒ xn
A definição da raiz n-ésima de um número real positivo nos permite estender a
noção de potência de um número real positivo de modo a incluir expoentes fracionários
da forma m/n, m, n ∈ Z, n > 0. Queremos dar esta definição de modo a conservar as
propriedades anteriores de potências. Por exemplo, análogo à propriedade B3 desejamos
que:
n
 m
 m
  .n
 a n  = a n  = a m




Assim sendo devemos ter:
m
an
= n am
Definição
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21
Dado o número real positivo a e o número racional
m
,
n
m , n ∈ Z , n > 0, então definimos
m
an
= n am
Observações
1) Em particular,
1
n
a
=na.
m
m
2) Se a = 0 e
> 0, podemos considerar 0 n = n 0 m = 0 .
n
3) Se a < 0 e n é ímpar então a expressão
m
an
= n a m também está definida.
Propriedades
Sejam a, b ∈ R*+ , m, n, p, q ∈ Z, n > 0, q > 0.
C1 )
C2 )
m
an
m
an
a
C3 )
.a
p
q
p
q
=a
=a
p
m
q


a n 


C 4 ) ( a.b)
 a
C5 )  
 b
m
n
m p
−
n q
=a


m
n
m p
+
n q
=
=
m p
.
n q
m
an
m
an
m
bm
, sendo a ≠ 0
m
.b n
, sendo b ≠ 0
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
22
1
Como caso particular de C 2 temos
a
C1)
p
m
q
a n .a
=a
m p
+
n q
−
=a
p
q
p
q
.
, a ∈ R +* , m, n, p, q ∈ Z, n > 0, q > 0
D]
m
an
.a
p
q
= n am
q
ap =
qn
a qm
=a
C2)
m
an
a
p
q
=a
m p
−
n q
qn
qm + pn
qn
a pn =
=a
qn
a qm a pn =
qn
a qm + pn =
m p
+
n q
, a ∈ R +* , m, n, p, q ∈ Z, n > 0, q > 0
D] A demonstração é semelhante à anterior, utilizando R 2 ), R 5 ) e B 2 ).
p
m
q
 
an
C3) 



=a
m p
.
n q
, a ∈ R +* , m, n, p, q ∈ Z, n > 0, q > 0
D]
 m
a n 




p
q
 m
q  n 
= a 


p
=q
(
n
am
=a
m
n
C4) ( a .b) =
m
m
n
a .b n
)
p
mp
nq
=
q n
=a
(a m ) p
=
q n
a mp =
mp
nq
, a, b ∈ R +* , m, n ∈ Z, n > 0
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
nq
a mp =
23
D]
m
n
(ab) = (ab) = a b = a
 a
C5)  
b
m
n
=
m
an
m
bn
n
m
n
m
m
n
m n
b
m
=a
m m
nbn
, a, b ∈ R +* , m, n ∈ Z, n > 0
D] A demonstração é semelhante à anterior, utilizando B5 ) e R 2 ).
Provaremos a seguir alguns resultados que serão necessários para se estender a
definição de potências com expoente real.
Proposição 2.1
Sejam a ∈ R *+ − {1}, m, n ∈ N.
i) Se 0 < a < 1 e n < m então an > am.
ii) Se a > 1 e n < m então an < am.
D]
i) a < 1 e a > 0 ⇒ a.a < a ⇒ a 2 < a ⇒ a.a 2 < a.a ⇒ a 3 < a 2 .
Continuando com este processo obtemos
a m < a m-1
e usando a transitividade temos
a m < a m-1 < a m-2 < a m − 3 < ... < a < 1
Se m > n, m = n + k., k ∈ N*.
Assim,
a m = a n + k < a (n + k) − 1 < a (n + k) − 2 < ...< a (n + k) − k = a n
ii) Análogo ao item anterior
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
24
Proposição 2.2
Sejam a ∈ R *+ − {1}, m, n ∈ Z.
i) Se 0 < a < 1 e n < m então an > am.
ii) Se a > 1 e n < m então an < am.
D]
ii) Existem três casos a considerar.
1. Se n > 0 e m > 0 recaímos na Proposição 2.1.
2. Se n < 0 e m < 0 então −n > 0 e −m > 0. Como n < m então −m < −n. Segue da
Proposição 2.1 que
a −m < a −n ⇒
1
am
<
1
an
⇒
1
am
−
1
an
<0⇒
an − am
a na m
<0.
Sendo a m > 0 e a n > 0 , podemos concluir que a n < a m .
3. Se n < 0 e m > 0 ( análogo para o caso n > 0 e m < 0 ), temos que é crescente a
sequência de potências com expoente negativos (item 2), isto é,
. ..a −3 < a −2 < a −1 < 1
e também a sequência de potências com expoentes positivos (Proposição 2.1 ), ou seja,
1 < a < a2 < a3 <. . .
logo,
a n < . . . < a −3 < a − 2 < a − 1 < 1 < a < a 2 < a 3 < . . . < a m ,
portanto,
an < am.
i) Análogo ao item ii)
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
25
Proposição 2.3
Se n ∈ N * e 0 < a < b então
n
n
a <
b.
D]
Da definição de raiz n-ésima e lembrando que a >0 e b > 0, temos
n
a = x ⇔ xn = a
e
n
b = y ⇔ yn = b
Por hipótese, b − a > 0; logo, y n − x n > 0 . Daí,
y n − x n = (y − x)(y n − 1 + y n − 2 x + y n − 3 x 2 + . . .+ x n − 1 ) > 0
e como a expressão do segundo parêntesis da desigualdade acima é positiva, temos que
y − x > 0, ou equivalentemente,
n
a <nb.
Proposição 2.4
Sejam a ∈ R+* − {1}, p, q ∈ Q, onde p =
r
m
, q = , r,s,m,n ∈ Z, n > 0, s > 0
s
n
i) Se p < q e a > 1 então a p < a q .
ii) Se p < q e 0 < a < 1 então a p > a q .
D]
i) Sendo k = m.m.c { n, s }, existem r’, s’∈ Z tais que
p=
p<q⇒
r′
m′
e q =
k
k
r′ m′
<
⇒ r ′ < m ′ ⇒ a r′ < a m′ ⇒ k a r′ < k a m′ ⇒
k
k
a
r′
k
<a
m′
k
⇒ a p < aq
ii) Análogo ao item i)
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
26
2.3.
POTÊNCIAS COM EXPOENTES IRRACIONAIS
De posse da definição e das propriedades das potências com expoente racional de
um número real a > 0, nosso objetivo agora e estender a definição de ax para x ∈ R,
ou seja, estabelecer o significado de ax quando x ∈ R - Q.
Como definir, por exemplo, 2
Sendo
2
?
2 um número irracional, 2
2
não tem significado se considerarmos
apenas as definições vistas até aqui. O desenvolvimento sistemático da teoria das
potências com expoente irracional é um processo que envolve resultados avançados para
os nossos propósitos. Entretanto, é possível estender de maneira intuitiva o significado
dessas potências. Por exemplo, tomando-se a sequência de valores racionais
( 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ... )
que se aproxima do irracional
(2
1,4
(I)
2 , construímos a sequência
)
; 2 1,41 ; 2 1,414 ; 2 1,4142 ; 2 1,41421 ; ...
que se aproxima de um número real que definimos como 2
Tanto mais próximo o número r estiver de
2
(II)
.
2 , mais próximo 2 r estará de 2
2
.
Observemos que a sequência ( I ) é crescente e formada por valores maiores que
2.
Poderíamos também nos aproximar de
2 pela sequência
( 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; ... )
( III )
que é decrescente e formada por valores maiores que 2 , obtendo assim a sequência
(2
; 21,42 ; 21,415 ; 21,4143 , ...
)
que se aproxima do mesmo número real chamado de 2
2
1,5
( IV )
.
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
27
O procedimento descrito acima pode ser utilizado para definir ax, onde
a ∈ R *+ - {1} e x ∈ R - Q .
Para isso, suponhamos, por exemplo, a > 1, x ∈ R − Q e consideremos duas
sequências de números racionais: uma crescente formada por números menores que x:
( r1 ,
r2 , r3 , ..., rn ,...
)
e outra decrescente formada por números maiores que x:
( s1 ,
s2 , s3 , s4 , ..., sn ,...)
ambas se aproximando de x:
_________________________________________________________________
r1
r2
r3
r4
r5
r6..... x.... s6
s5
s4
s3
Pode-se provar que as duas sequências
(a
r1
)
, a r2 , a r3 , a r4 , ...
e
(a
s1
)
, a s2 , a s3 , a s4 , ...
tendem a um único número real que definimos por ax
Usando o mesmo procedimento definimos ax para 0 < a < 1.
Observações
1) Se x é um número irracional positivo então definimos 0x = 0.
2) Se x é um número irraconal definimos 1x = 1.
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
s2
s1
28
3) Se a < 0 e x é um número irracional ( x ∈ R − Q ), a potência ax não está definida.
Todos os resultados vistos para potências com expoentes racionais são estendidos
para potências com expoentes irracionais. Assumiremos válidos os seguintes resultados:
Propriedades
Sejam a, b ∈ R +* , x, y ∈ R.
P1) a x .a y = a x + y
P2)
ax
= ax− y
ay
P3) ( a x ) = a x . y
y
P4) (a. b) = a x b x
x
x
ax
 a
P5)   = x
 b
b
P6) x < y e a > 1
⇒ ax < a y
P7) x < y e 0 < a < 1 ⇒ ax > ay
P8) a ∈ R +* , a ≠ 1: ax = ay ⇔ x = y
P9) a ∈ R +* , a ≠ 1 e y>0: ∃! t∈R / at =y
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
29
2.4.
EXERCÍCIOS
2.1. Calcule:
a)
 1
3 . 
 27 
3
b) (0,25)
c)
n
1
4.
−
1
2
(0,125)
−
1
2.
32
20
4
n+2
+ 2 2n+2
2.2 Supostas definidas, simplifique as seguintes expressões:
a) x 3 . x −1/ 2 .
x 3/2
x 2 . x −3
c) (b 4 − 2b 2 + 1).
e)
b) (1 + a 1/ 3 ).(1 − a 1/ 3 + a 2 / 3 )
2 2 n +1 − 4 n
b −2
b 2 − b −2
−1
d)
1
1 

−
 .( x − 1 )
 1 − x − 0 ,5 1 − x −1 
f) 
2 2n
 a 1/ 2 + 1 a 1/ 2 − 1
4 
g)  1/ 2
+ 1/ 2
−

 a − 1 a + 1 a − 1
3n + 2 − 3n
3n +1 + 3n −1
−3
h)
x 1/ 2 + 1
x + x 1/ 2 + 1
÷
1
x 1,5 − 1
2.3. Se x 1/ 2 + x −1/ 2 = 3 , calcule:
a) x + x −1
b) x 2 + x −2
2.4. Resolva as seguintes equações:
a)
3
x+4 = 2
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.
30
x+2 = x
b)
c)
d)
4
x2 + 4x + 3 = 4 x + 1
x + 1 = 2x + 1
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.