MUROS, PRÉDIOS E ESCADAS
Cícero de Oliveira Holmer, São Paulo – SP
♦ Nível Avançado.
Há um clássico problema de máximos e mínimos cujo enunciado envolve um
prédio (tão alto quanto se queira) e um muro de altura h, à uma distância d deste
prédio. Pretende-se colocar uma escada, apoiada no muro, a partir do solo e
alcançando o prédio, conforme o esquema:
h
d
Pergunta-se então o seguinte: Qual é o comprimento mínimo da escada?
Vamos montar um modelo, considerando um triângulo retângulo ABC e um
retângulo APQR inscrito neste triângulo:
C
Q
R
θ
B
P
A
Sendo PQ = a, QR = b e m( ABˆ C ) = θ , temos:
a
b
+
BC = BQ + QC =
Assim,
.
senθ cos θ
a. cos θ b ⋅ senθ
+
f ' (θ ) = −
sen 2θ
cos 2 θ
BC = f (θ )
Para termos BC mínimo, é preciso que f ' (θ ) = 0, isto é, −
⇔
b ⋅ senθ a ⋅ cos θ
sen 3θ a
a
=
⇔
= ⇔ tgθ = 3
2
2
3
b
sen θ
cos θ
cos θ b
(I).
e
a ⋅ cos θ b ⋅ senθ
+
=0
sen 2θ
cos 2 θ
Pelo teorema de Pitágoras,
BC 2 = BA2 + AC 2 ⇔ BC 2 = ( BP + PA) 2 + ( AR + RC) 2 =
2
 a

= 
+ b  + ( a + b ⋅ tgθ ) 2 . Como BC deve ser mínimo, de (I), temos:
 tgθ

2


2


2
2

a
 a

+ b  +  a + b ⋅ 3  =  3 a 2 ⋅ b + b  +  a + 3 a ⋅ b 2  =
BC 2 = 





b 

 3 a

 b

= a ⋅ 3 a ⋅ b2 + 2 ⋅ b ⋅ 3 a2 ⋅ b + b2 + a2 + 2 ⋅ a ⋅ 3 a ⋅ b2 + b ⋅ 3 a2 ⋅ b =
3
3
= a 2 + 3 ⋅ a ⋅ 3 a ⋅ b 2 + 3 ⋅ b ⋅ 3 a 2 ⋅ b + b 2 =  3 a 2 + 3 b 2  ⇔ BC =  3 a 2 + 3 b 2  .




3
 3 h 2 + 3 d 2  .


Vamos agora considerar uma situação com valores numéricos (talvez você possa
aproveitar melhor o que vem a seguir tendo em mãos papel, caneta e, se possível,
uma boa calculadora).
A partir de um triângulo retângulo bem conhecido, de lados 3, 4 e 5, e outro
triângulo semelhante, por exemplo o de lados 9, 12 e 15, podemos montar a figura:
Portanto, o comprimento mínimo da escada deve ser
C
10 m
9m
Q
5m
3m
B
4m
P
8m
A
Formulamos, então, o seguinte problema: Se o muro tem 3 metros de altura, a
distância do muro ao prédio é igual a 8 metros e a escada tem 15 metros de
comprimento, poderíamos afirmar que a distância do pé da escada ao muro é igual
a 4 metros?
Vejamos:
O menor comprimento possível da escada é de
metros.
(
3
( 9 + 4)
32 + 3 8 2 =
3
3
)
3
Pode-se verificar que 3 9 + 4 < 15, e isto quer dizer que há duas maneiras
distintas de posicionarmos a escada e, portanto, existem duas distâncias possíveis
do pé da escada ao muro. Vamos então, novamente, montar um modelo:
C
15
Q
3
B
P
X
8
A
Uma solução possível, claro, é x = 4 metros. Busquemos a outra solução:
15 ⋅ x
BP BA
x
x+8
=
⇔
=
⇔ BQ =
15
BQ BC
BQ
x+8
∆PBQ ~ ∆ABC , logo
No ∆BPQ temos
2
 15 ⋅ x 
4
3
2
x = BQ − 3 ⇔ x = 
 − 9 ⇔ x + 16 ⋅ x − 152 ⋅ x + 144 ⋅ x + 576 = 0
 x+8
Aplicando-se o algoritmo de Briot-Ruffini, obtemos:
2
2
2
2
1
1
16
20
–152
–72
144
–144
576
0
4
Assim, a outra solução é raiz de x 3 + 20 x 2 − 72 x − 144 = 0.
É possível mostrar que essa equação tem duas raízes reais negativas e uma raiz
real positiva, que é aproximadamente 4,3274534… e pode ser escrita como


 − 1567 



arccos

4
154 154 

− 5  (ver por exemplo [3] para um método de
 154 ⋅ cos
3
3





resolução de equações do terceiro e quarto graus).
Assim, as possíveis distâncias do pé da escada ao muro, são de 4 metros e de



1567 



arccos −
4 
 154 ⋅ 154  5  4,3274534... metros.
− =
⋅  154 . cos
3 
3





Referências Bibliográficas
[1] Piskunov N., Cálculo Diferencial e Integral, Tomos I e II, Ed. Mir 1977
[2] Demidovitch B., Problemas e Exercícios de Análise Matemática, Ed. Mir
1978
[3] Moreira, C.G., Uma solução das equações do terceiro e quarto graus, RPM
25, pp. 23-28.