Uma Década em Busca da
Simetria da Natureza
S. F. Novaes
IFT/UNESP
O que é simetria
• Houaiss:
[Do grego summetría, 'justa proporção‘]
Conformidade, em medida, forma e posição relativa, entre as partes
dispostas em cada lado de uma linha divisória, um plano médio, um
centro ou eixo
• Aurélio:
[Do grego symmetría, ‘justa proporção’]
Correspondência, em grandeza, forma e posição relativa, de partes
situadas em lados opostos de uma linha ou plano médio, ou, ainda, que
se acham distribuídas em volta de um centro ou eixo
• Físicos:
Um sistema físico possui uma simetria se pudermos fazer uma mudança
no sistema de tal forma que, após a mudança, o sistema permaneça
inalterado.
Mudança no sistema = operação ou transformação de simetria
Sistema Inalterado
= invariante sob esta transformação
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
2
Simetria na Natureza
Favo de Abelhas
Borboleta
Corpo Humano
Flocos de Neve
Agosto/2005
Nanotubo
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Buckyball Cabono
3
Simetria e Civilização
Escher
Quilt
Ovos Ucranianos
Arte Islâmica
Agosto/2005
Pintura
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4
Partenon
Chartres
ch
Ba
Taj Mahal
Agosto/2005
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Michelangelo
5
Simetria em Biologia
Jodie Foster
Agosto/2005
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6
A simetria às vezes é aparente
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
7
Leonardo da Vinci já havia notado isto...
Detalhe de como
desenhar uma face humana
Agosto/2005
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8
A diferença é nítida
Agosto/2005
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9
Simetrias Geométricas
• Translação
• Rotação
• Reflexão
• Reflexão + Translação
Agosto/2005
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Um pouco de história
• 1596: Johannes Kepler
– Em Mysterium Cosmographicum sugere que as órbitas dos planetas
fossem definidas pelos sólidos platônicos.
• 1600-1800: Vários
– Trabalhos sobre a simetria dos cristais.
• 1687: Isaac Newton
– Em Principia a primeira lei estabelece a consevação do momento
devido a invariância translacional (homogeneidade do espaço).
• 1860: Louis Pasteur
– Descobre a conexão entre a actividade óptica e a estrutura das
moléculas.
• 1878: Arthur Cayley
– Conceito abstrato de grupo.
• 1893: Sophus Lie e Friedrich Engel
– Publicam Theorie der Transformationsgruppen.
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12
• 1886-1904: FitzGerald, Lorentz, Larmor e Poincaré
– Introduzem as transformação de Lorentz que deixam as equações de
Maxwell invariante. O grupo de Lorentz com as translações espaçotempo é chamado de grupo de Poincaré.
• 1905: Einstein
– Fornece as hipóteses físicas que estão por trás das transformações de
Lorentz, criando a teoria da Relatividade Especial.
• 1918: Emmy Noether
– Demonstra que simetrias estão relacionadas a leis de conservação.
• 1918: Hermann Weyl
– Introduz a teoria de unificação clássica entre a gravitação e o
eletromagnetismo que inclui a invariância de gauge (calibre) que leva à
conservação da carga elétrica.
• 1927-28 Fritz London e Weyl
– Introduzem as transformações de gauge na teoria quântica.
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• 1929: Hans Bethe
– Deriva o separação dos níveis atômicos que advém da simetria dos
campo nos cristais.
• 1930: Eugene Wigner
– Estuda os efeitos da simetria das configurações moleculares no
espectro de vibração.
• 1931: Eugene Wigner
– Introduz a simetria de reversão temporal (T) na teoria quântica.
• 1931: Linus Pauling
– Estuda a teoria das ligações químicas utilizando a simetria dos orbitais.
• 1935: V. Fock
– Deriva o espectro do átomo de Hidrogênio a partir da simetria SO(4).
• 1936: Werner Heisenberg
– Introduz a conjugação de carga (C) como operação de simetria
conectando partículas e anti-partículas.
Agosto/2005
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• 1939: Eugene Wigner
– Estuda as representações unitárias do grupo de Poincaré e establece a
classificação de todas as equações de onda relativísticas e as
propriedades de transformação dos campos quânticos.
• 1954: C. N. Yang e Mills:
– Introduzem as transformações locais de isospin como simetrias
internas, ou seja, transformações dos operadores de campo que
dependes do ponto do espaço-tempo.
• 1956-7: C. N. Yang e T. D. Lee
– Propõe que as interações fracas quebram a paridade
• 1959-61: Heisenberg, Goldstone e Nambu
– Sugerem que o estado de mais baixa energia (vácuo) de teorias de
campos relativísticas possa quebrar a simetria da Hamiltoniana. A
existência do bosons de Goldstone seria uma conseqüencia. No
entanto, em 1964, Higgs mostrou que através da quebra espontânea
de simetria esses bosons desaparecem e as partículas vetoriais tornamse massivas.
Agosto/2005
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• 1961-62: Murray Gell-Mann e Yuval Neeman
– Propõe o grupo SU(3) como a simetria das partículas (Eightfold Way).
Em 1964 Gell-Mann and Zweig propõe um novo conjunto de partículas,
os quarks, que são organizados segundo o SU(3).
• 1964: J. W. Cronin e W. L. Fitch
– Demonstram experimentalmente que as interações fracas podem
quebrar a simetria de CP (Conjugação de carga e Paridade).
• 1967-68: S. L. Glashow, S. Weinberg e A. Salam
– Mostram que as interações electofracas podem ser descritas por um
teoria baseada no grupo SU(2) X U(1).
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Simetrias em Física
A
Invariância sob algum tipo de
transformação (T)
B
Um objeto é simétrico se
pudermos fazer uma certa
transfomação e ele permanecer
exatamente o mesmo depois da
operação (Weyl)
T
A
B
T
Agosto/2005
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Estrutura de Grupo
Fechamento
Identidade
A
B
C
D
Associativa
Inversa
Agosto/2005
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Alguns Grupos Comuns
Elementos
Operação
Identidade
Inversa
Inteiros – Z
Adição
0
-x
Reais – R*, exceto 0
Multiplicação
1
1/x
Matrizes det=1 – SL(n)
Multipl. Matriz
Matriz 1
X-1
Matrizes Unitárias – U(n)
Multipl. Matriz
Matriz 1
Xh
Matrizes Ortogonais – O(n) Multipl. Matriz
Matriz 1
XT
NB: Inteiros dotados de Multiplicação não é um grupo: 1/x não é inteiro
Agosto/2005
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Rotações: grupo O(2)
⎛ cos θ
R(θ ) = ⎜⎜⎜
⎜⎝ − sin θ
sin θ ⎞
⎟⎟
cos θ ⎟⎟⎠
RT = R−1
• Fechamento: se X, Y ∈ G então X.Y ∈ G.
R(α ).R( β ) = R(θ )
• Associativa: se X, Y, Z ∈ G então X.(Y.Z) = (X.Y).Z
R(α ). [ R( β ).R(γ ) ] = [ R(α ).R( β ) ] .R(γ )
• Identidade: existe um elemento I ∈ G / I.X = X.I = X
R(θ ).R(0) = R(0).R(θ ) = R(θ )
• Inversa: para todo X ∈ G existe U ∈ G / X.U = U.X = I.
R(θ ).R(−θ ) = R(−θ ).R(θ ) = R(0)
Agosto/2005
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Emmy (Amalia) Noether
• Alemã, estudou em Göttingen (Hilbert, Klein, Minkowski)
vindo a se tornar a mais importante matemática de todos
os tempos.
• Judia, foge em 1934 do nazismo para os EUA vindo
falecer no ano seguinte aos 57 anos.
• Teorema de Noether:
• A toda simetria contínua deve corresponder uma lei de convervação.
• A toda lei de conservação deve corresponder uma simetria contínua
Simetria
Simetria
Agosto/2005
Leide
deConserva
Conservação
Lei
ção
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• Simetria contínua:
– Transformação cujo parâmetro pode variar continuamente,
e.g. o ângulo de uma rotação.
• Lei de conservação:
– Existe uma grandeza física mensurável que não se altera em qualquer
processo físico.
Simetria Contínua ⇒ Lei de Conservação
Translação Temporal ⇒ Conservação da Energia
Translação Espacial ⇒ Conservação do Momento
Rotação ⇒ Conservação do Momento Angular
– O teorema é válido também para simetrias que não envolvam
transformações do espaço-tempo:
carga elétrica, número bariônico, número leptônico, etc.
Agosto/2005
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Energia
Química
Elétrica
Potencial
Cinética
Agosto/2005
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Vida
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Tempo e Energia
12
10
8
6
g
h
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
mgh < mGh
A invariância com
respeito à translação
temporal dá origem à
lei de Conservação da
Energia
Agosto/2005
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Espaço e Momento
A invariância das leis da
Física com respeito à
translação espacial dá
origem à lei de
Conservação do
Momento
Agosto/2005
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Rotação e Momento Angular
A invariância das leis da
Física com respeito à
rotação espacial dá
origem à lei de
Conservação do
Momento Angular
Agosto/2005
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Além do Espaço-Tempo
– O Teorema de Noether é válido também para transformações internas,
i.e. que não dependem do espaço-tempo.
– Conservação da carga elétrica: relacionada a uma transformação de
fase da função de onda
– Na Mecânica Quântica, se ψ é a amplitude de algum processo,
|ψ|2 representa a probabilidade que este processo ocorra
– Quando alguém faz uma transformação de fase em ψ,
ψ → ψ ' = ei ∆ ψ
Isto não altera o módulo ao quadrado que é a
probabilidade do evento ocorrer:
2
ψ ' = ψ ' ψ ' = ψ (e .e
†
†
−i∆
+ i∆
)ψ = ψ
2
A invariância por transformação de fase leva à
conservação da carga elétrica.
Agosto/2005
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Reflexão: Uma simetria discreta
O Taj Mahal é simétrico pela
transformação de reflexão, ou seja
possui uma invariância sob reflexão
• Como se comportariam as leis
da Física em um mundo
refletido no espelho?
• Esquerda-Direita é uma
simetria da Natureza?
• Ou, como diria Alice:
“Peharps Looking-glass milk
isn’t good to drink”.
Through the Looking Glass
Lewis Carroll
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
28
Quiralidade: Nem Tudo É Simétrico
As mãos direita e esquerda (humanas)
são imagens especulares
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
29
Mais Exemplos
– Pasteur descobriu a quiralidade dos
cristais de ácido tartárico
– Glucose existe nas formas
• D (dextro, direito)
• L (levo, esquerda).
– Apenas a D-glucose é encontrada em
seres vivos.
– Todos aminoácidos naturais (exceto a
glicina) são quirais (imagens especulares)
– A vida na terra é constituída apenas de
aminoácidos esquerdos (E). A razão disto
ainda permanece um mistério!
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
30
De Volta à Física...
• Tres outras simetria são importantes:
– Paridade (P): reversão de todas as coordenadas espaciais
• Inversão do espaço
NB: Reflexão é a inversão apenas da direção perpendicular ao espelho
– Reversão Temporal (T): fazer o tempo andar “para trás”
• Inversão do tempo
– Conjugação de Carga (C): trocar matéria por anti-matéria
• Inversão da Carga
• Até 1957 acreditava-se que as leis da Física fossem
invariantes por P e que nenhum experimento pudesse
distinguir ou privilegiar “direita” ou “esquerda”.
• Surpresa: o decaimento radiativo beta quebra P!
– Nosso mundo pode ser distinguido do mundo do outro lado do espelho.
• Alice talvez não estivesse completamente maluca!
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
31
Decaimento Beta
2
n → p + e− + ν e
1
C. S. Wu colocou Co60 em um forte campo magnético e observou no
decaimento beta deste núcleo que:
Eletrons são emitidos na direção oposta ao campo magnético
Portanto a situação 1 é aquela que ocorre na natureza.
A configuração especular 2 não é observada na natureza.
NB:
Agosto/2005
A direção de emissão do elétron é revertida no espelho
enquanto o campo magnético permanece inalterado (pseudo-vetor).
Simetrias – S. F. Novaes
32
“Comunicação Extra-terrestre”
e
Suponha que tivéssemos uma
comunicação apenas por telefone (i.e.
não visual) com nosso Marciano de
“mão simétrica”.
Como poderíamos explicar a ele que nós
humanos estendemos a mão direita
para nos cumprimentarmos?
E= ⊗
~=D
O Marciano diria: “Mão direita?!?!”
direita
Seria impossível explicar isto ao Marciano antes de 1957!
Todas as leis da Física conhecidas até então (gravitação, eletricidade,
magnetismo, nuclear) são simétricas por reflexão (invariantes por P).
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
33
Encontro Extra-terrestre
Suponha que venhamos a nos encontrar
com nosso amigo Marciano e que ele
nos estenda a mão esquerda
para nos cumprimentar.
• CUIDADO! Não estenda a mão!
Certamente ele é feito de anti-matéria!
ria
– A interação fraca conserva a simetria combinada CP
(com poucas exceções)
– Portanto, o Marciano só poderia ter se enganado caso as
partículas emitidas fossem pósitrons, em um mundo composto
de anti-matéria.
ria
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
34
Um pouco mais de C, P e T
•
1956: C.N Yang and T.D. Lee mostraram que não havia evidência
de que Paridade fosse conservada nas interações fracas.
•
1957: Experimentos mostraram que a Paridade e a Conjugação de
Carga era na realidade violada pelas interações fracas.
•
Mas a operação combinada CP permanecia uma simetria dessas
interações, apesar de não serem conservadas separadamente.
•
Teorema CPT: um dos princípios básico da Teoria Quântica de
Campos diz que a combinação CPT é uma simetria exata da
Natureza:
Uma anti-partícula é inditinguível da imagem refletida
de uma partícula viajando para o passado.
•
Portanto, a invariância temporal T deveria ser também conservada
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
35
Violação de
• 1964: J. W. Cronin e V. L. Fitch no
Brookhaven National Laboratory
observaram que o decaimento do kaons
neutros (K0) violavam a simetria de CP.
K L0 → π 0 π 0 π 0 (21%);
K S0 → π + π − (69%);
•
π + π − π 0 (13%);
π 0 π 0 (31%);
π + π − (0.2%);
π 0 π 0 (0.1%)
π + π − π 0 (0.00003%)
Portanto, com a reverção da direção do tempo não seria possível
reverter algumas reações envolvendo certas partículas.
Agosto/2005
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36
Matéria X Antimatéria
Universo inicialmente continha uma igual quantidade de matéria e
anti-matéria.
• Porque hoje em dia temos muito mais matéria do que anti-matéria?
• Algum mecanismo durante sua evolução deve ter favorecido a
assimetria matéria – anti-matéria.
•
•
1967: Andrei Sakharov colocou 3 condições que permitiriam que
isto ocorresse:
– Proton deveria ser instável, isto é deveria decair
– Deveria haver interações violando C e CP
– Universo deveria sofrer uma expansão muito rápida
10.000.000.001
10.000.000.000
anti-quarks
quarks
Nós
fótons
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
37
Interlúdio: Um alerta contra o pré-conceito
• 400 A.C.: Platão
– Segundo Platão a forma do mundo devia ser a de uma perfeita esfera,
e todo movimento devia realizar-se em círculos perfeitos e com
velocidade uniforme (Timaeu 33B-34B)
• 310 A.C.: Aristarco de Samos
Ele supunha serem imóveis as estrelas fixas e o Sol, e a Terra girar
em círculo em torno do Sol ... (Arquimedes. O Contador de Areia)
– Essa hipótese foi repelida em favor do dogma circular de Platão,
até Kepler mostrar que as órbitas eram elípticas e não circulares.
– A ilusão e pré-conceito do círculo atrasou a evolução da
Astronomia por dois milênios!
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
38
Física de Partículas: Anos 50
Σ0
e+
p
Λ
KL
Σ+
ΞK-
µ
π+
νe
K0
Σ-
p
n
∆++
Ξ0
π0
π-
KS
Λ
K+
n
νe
1669: Brand - Fósforo (P)
e-
+ 200 anos: Medeleev (63 elementos)
Escândio, Gálio, Germâmio, etc: preditos
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
39
Modelo a Quarks
• 1962: Murray Gell-Mann e George Zweig
– Introduziram o modelo a quarks:
– Bárions (proton, neutron, etc) e mésons (pion, kaon, etc)
seriam compostos de partículas mais fundamentais, os quarks.
quarks
– Haveria 3 “sabores” de quarks: up, down e strange.
– Os quarks teriam spin ½ e carga 2/3, –1/3 e –1/3.
– Barions seriam compostos de 3 quarks:
proton = u + u + d
neutron = u + d + d
– Mesons seriam compostos de um par quark-antiquark
pion = ū + d
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
40
SU(3) e o Óctuplo Caminho
• Quarks e Antiquarks pertencem a representação
3 e 3 do grupo SU(3)
d
S=0
S= –1
s
u
Q=2/3
s
u
d
Q= –1/3
Tripleto
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
Anti-Tripleto
41
Octeto Mesônico
• 3⊗3=8⊕1
K0
d
u
K+
s
⊗
=
π+
π0
π-
η’
⊕
η
s
u
d
K-
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
K0
42
Decupleto Bariônico
• 3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1
d
∆
u
d
u
d
u
Σ*
=
s
⊕ ...
Ξ*
s
s
1962
Gell-Mann
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
Ω- = (sss)
1964
AGS, BNL
43
1974: Quark Charm = SU(4)
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
44
Da Tabela Periódica às Partículas
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
45
Princípio de Gauge
• Teorema de Noether:
• Se uma ação é invariante sob um grupo de transformações (simetria), então
existe uma ou mais quantidades conservadas (constantes de movimento)
associadas a estas transformações:
Simetria ⇒ Leis de Conservação
Translação Temporal ⇒ Energia
Translação Espacial ⇒ Momento
Rotação ⇒ Momento Angular
– Impondo que um dado sistema de partículas seja invariante sob uma
dada transformação (simetria), seria possivel determinar a forma da
interação entre estas partículas?
Simetria ⇒ Dinâmica ?
– Isto é verdade no caso da Eletrodinâmica Quântica (QED):
• A existência e algumas propriedades do fóton são conseqüencia do
princípio de invariância sob transformações locais do grupo U(1)
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
46
Podemos generalizar este princípio?
– 1964:
1964 Salam and Ward inventaram o princípio de gauge como a base
para se construir Teoria Quântica de Campos para partículas
interagentes:
“Nosso postulado básico é que deva ser possivel gerar os termos de interação
forte, fraca e eletromagnética (com todas as suas propriedades de simetria
corretas e com algumas indicações de suas intensidades relativas) fazendo
transformações de gauge locais nos termos de energia cinética em uma
Lagrangeana livre para todas as partículas”
• Esta idéia pode ser colocada em prática para as interações fracas e fortes
depois que novos ingredientes foram inventados/descobertos:
• Interações Fracas: o fato de ser uma interação de curto alcance requer
que os campos de gauge sejam massivos. Isto exige a introdução de um
novo conceito: a quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs.
• Interações Forte: o fato das interações possuirem grande constante de
acoplamento requer outro novo ingrediente. Com a descoberta da liberdade
assintótica foi possível descreve-la perturbativamente a pequenas distâncias.
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
47
Simetria Quebrada
•
Simetrias exatas levam a leis de conservação
exatas.
•
Há situações nas quais o sistema é invariante
por uma transformação mas o estado de
energia mais baixa (vácuo) não é.
– Exemplo clássico: Ferromagnetismo.
• Altas temperaturas (T > Tc , fase paramagnética):
Sistema é completamente desordenado.
Vácuo é invariante por rotações em 3 D [SO(3)]
• Baixas temperaturas (T < Tc, fase ferromagnética):
Magnetização espontânea Æ spins se alinham
Vácuo não é invariante apenas por SO(2)
•
Agosto/2005
A simetria é quebrada!
Simetrias – S. F. Novaes
48
Um Exemplo Mecânico
Ω = 2/3
m ω2R sin θ cos θ
ω
θ
θ
m ω2R sin θ
Ω=1
θ
mg
mg sin θ
θ
Ω=
(
ω 2R
Ω=2
g
)
1
sin θ cos θ −
=0
Ω
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
49
Qual a simetria da Natureza?
• A Natureza é a grande avalista de nossas teorias
G = O(3)
– Schwinger (1957)
Tripleto de Campos: (V+, V-, V0)
V± : bosons fracos; V0: fóton
G = SU(2)
– Bludman (1958)
V± , V0 : bosons fracos (V – A)
Predice a existência de Correntes Neutras
G = SU(2) ⊗ U(1)
– Glashow (1961)
1961
– Salam, Ward (1964)
1964
– Weinberg (1967)
1967
– Salam (1968)
1968
Agosto/2005
Bosons de Gauge: W1, W2, W3, and B
W± = (W1, W2) : bosons fracos carregados
Z0 and Fóton = (W3, B )
Prediz Neutral Current
Massa de W± e Z0 colocada à mão
Mesma estrutura de gauge
QES + Mecanismo de Higgs
Massa preserva a invariância de gauge invariance
Simetrias – S. F. Novaes
50
As Cores: SU(3) Dinâmico
– 1964-66 Greenberg, Han, e Nambu:
Introduziram o conceito de carga de “cor” para os quarks
– Teoria de Grupos agora descreve a dinâmica, ou seja,
R
a interação entre os quarks: SU(3) COR
G
• Barions: um quark de cada cor
• Mesons: uma cor e uma anti-cor
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
B
51
Confinamento e Liberdade Assintóptica
– As cores são confinadas
• Partículas coloridas (quarks)
não são observadas livres
• Todas as partículas livres são “brancas”:
3 cores ou cor-anticor
Criação Par
Quark-antiquark
p
Agosto/2005
π
Simetrias – S. F. Novaes
52
A Aventura Continua...
Mecânica Terrestre
Mecânica Celeste
+
N
Eletricidade
−
Magnetismo
S
γ
γ
νe
p
n
Eletromagnetismo
Força Fraca
Gravitação Universal
Inércia e Massa Gravitacional
(Newton, 1687)
Eletromagnetismo
Ondas Eletromagnéticas (fóton)
(Maxwell, 1860)
Eletrofraca
Bosons Intermediários W, Z
(Weinberg-Salam, 1967)
e-
Explorar distâncias cada vez menores
revela simetrias cada vez mais profundas
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
53
http://www.ift.unesp.br/users/novaes/
Agosto/2005
Simetrias – S. F. Novaes
54
http://hep.ift.unesp.br/SPRACE/
FIM