UNIVERSIDADE DOS AÇORES
Aplicações da Matemática
Curso: Bioinformática
2º Ano 1º Semestre
Ficha 1.
1. Seja f(t) a temperatura (em graus Celsius) de um líquido no tempo t (em horas).
Abaixo encontram-se questões típicas sobre f(t) e a sua derivada. Associe cada
questão ao método de resolução apropriado.
Questões:
(1) Qual a temperatura do líquido após 6 horas?
(2) Quando é que a temperatura sobe a uma média de 6 graus por hora?
(3) Em quantos graus a temperatura aumentou durante as primeiras 6 horas?
(4) Quando é que a temperatura do líquido é apenas de 6 graus?
(5) Com que rapidez a temperatura do líquido varia após 6 horas?
(6) Qual a taxa média do aumento da temperatura durante as primeiras 6 horas?
Métodos de resolução:
(a) Calcular f(6).
(b) Considerar a equação f(t) = 6 e resolver em ordem a t.
(c) Calcular
f ( 6) − f ( 0 )
6
.
(d) Calcular f ‘(6).
(e) Encontrar o valor de t para o qual f ‘ (t) = 6.
(f) Calcular f(6) – f(0).
2. Suponha que o peso em gramas de um tumor canceroso após t semanas é dado por
w(t) = 0.1t2.
Qual é a taxa média de crescimento do tumor durante a 5ª semana?
Qual é a taxa de crescimento do tumor no tempo t = 4?
3. Uma partícula move-se em linha recta de forma que a sua posição (em pés) no
tempo t (segundos) é dada por s(t) = t2 + 3t + 2 . Considere como ponto de
referência a posição da partícula no instante t = 0.
3.1. Qual a velocidade da partícula no instante 6 segundos ?
3.2. Quando t = 6 a partícula move-se na direcção do ponto de referência? Justifique.
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3.3. Qual é a velocidade da partícula quando ela se encontra a 6 pés do ponto de
referência?
4. Suponha que 5 mg de uma droga é introduzida na corrente sanguínea. Seja f(t) a
quantidade de droga presente na corrente sanguínea após t horas. Interprete f(3) = 2
e f ‘(3) = -0.5. Estime o número de miligramas da droga existente na corrente
sanguínea após 3 horas e meia.
5. Suponha que é derramado lixo orgânico num lago no tempo t = 0 e que o conteúdo
de oxigénio do lago no tempo t é dado pelo gráfico seguinte:
Descreva o gráfico em termos físicos. Indique o significado do ponto de inflexão em
t=b.
6. Ao meio-dia a temperatura de uma criança é de 38.3ºC e está subindo com uma taxa
crescente. Às 13 horas a criança recebe medicação. Após as 14 horas a temperatura
ainda está aumentando, porém com uma taxa decrescente. A temperatura atinge o
seu valor máximo de 39.4ºC às 15 horas e decresce para 37.7ºC às 17 horas. Esboce
um possível gráfico que traduza a temperatura em função do tempo.
7. Sejam x e y funções de t diferenciáveis e relacionadas pela equação fornecida.
Utilize diferenciação implícita para determinar
dy
dt
em termos de x, y e
dx
dt
.
7.1. x4 + y4 =1
7.2. 3xy – 3x2 = 4
7.3. x2 + 2xy = y3
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8. Sob certas condições a pressão P e o volume V de um gás (por exemplo o oxigénio)
satisfazem a equação P
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V
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= K, em que K é uma constante. Suponha que num
dado momento o volume de gás é de 4 litros, a pressão é de 200 unidades e que a
pressão está aumentando com uma taxa de 5 unidades por segundo. Determine (em
relação ao tempo) a taxa com que o volume está variando.
9. O volume de um tumor cancerígeno esférico é dado por V = π x3 / 6, onde x é o
diâmetro do tumor. Um oncologista estima que o diâmetro está aumentando com
uma taxa de 0.4 mm por dia, quando o diâmetro está em 10mm. Com que rapidez o
volume está aumentando nesse momento?
10. A quantidade de anestésico A que um certo hospital utiliza em cada semana é função
do número S de operações cirúrgicas realizadas em cada semana. por outro lado, S é
uma função da população P da área servida pelo hospital, enquanto que P é uma
função do tempo t.
10.1. Escreva os símbolos das derivadas que representam as seguintes quantidades:
Taxa de crescimento da população; taxa de variação do uso de anestésico em
relação à população; taxa de variação das operações cirúrgicas em relação à
população; taxa de variação do uso de anestésico em relação ao número de
operações cirúrgicas.
10.2. Escreva uma expressão do tipo regra da cadeia que traduza a taxa de variação do
uso de anestésico em relação ao tempo, em termos de três derivadas.
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