(
(
(
(
(
ª
ª
) 1 Parcial
(x) 2 Parcial
) Recuperação
( ) Exame Final/Certificação
) Exercícios
( ) Prova Modular
) Avaliação Substitutiva
) Aproveitamento Extraordinário de Estudos
Disciplina: Cálculo I
Professor: Grupo de Cálculo I
Turma:
Data:
Nota:
Alunos (as):
Trabalho de Cálculo I (Engenharias)
Período: 2010-2
Taxas de Variação Relacionadas
Introdução:
Quando bombeamos ar para dentro de um balão, tanto o volume como o raio do balão
crescem, e suas taxas de crescimento estão relacionadas. Mais é muito mais fácil medir
diretamente a taxa de crescimento do volume do que a do raio. Em um problema de taxas
relacionadas, o objetivo é calcular a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa
de variação da outra (que pode ser medida mais facilmente). O procedimento é achar uma
equação que relacione as duas grandezas e então usar a Regra da Cadeia para diferenciar
ambos os lados em relação ao tempo.
Vamos mostrar um exemplo para facilitar a compreensão:
Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma
taxa de 100 cm3 / s . Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é
50 cm ?
Solução: Vamos começar identificando duas coisas:
a informação dada:
a taxa de crescimento do volume do ar é 100 cm3 / s
e o que foi pedido:
a taxa de crescimento do raio quando o diâmetro é 50 cm .
Para expressar matematicamente essas grandezas vamos introduzir a seguinte
notação: V é o volume do balão e r é o seu raio.
A chave está em lembrar-se de que taxas de variação são derivadas. Neste problema, o
volume e o raio são ambos funções do tempo t . A taxa de crescimento do volume em
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dV
dr
, e a taxa de crescimento do raio é
. Podemos,
dt
dt
portanto, reapresentar o que foi dado e pedido como a seguir:
relação ao tempo é a derivada
dV
= 100 cm3 / s .
dt
dr
quando r = 25 cm .
Pedido:
dt
Dado:
Para conectar
dV
dr
e
primeiro relacionamos V e r pela fórmula para o volume de
dt
dt
uma esfera:
4
V = .π .r 3
3
Para usar a informação dada, diferenciamos cada lado dessa equação em relação a t .
Para diferenciar o lado direito precisamos usar a Regra da Cadeia:
dV dV dr
dV
dr
=
. ⇒
= 4πr 2 .
dt
dr dt
dt
dt
Agora isolamos a grandeza desconhecida:
dr
1 dV
=
.
dt 4πr 2 dt
Se colocarmos r = 25 e
dV
= 100 nessa equação, obteremos:
dt
dr
1
dr
1
=
.100 ⇒
=
2
dt 4π (25)
dt 25π
O raio do balão está crescendo a uma taxa de
1
cm / s
25π
Objetivos:
Com base no problema de taxas relacionadas fornecido resolva o que está sendo
solicitado.
Obs.: No trabalho deve constar: folha de rosto, breve fundamentação teórica,
desenvolvimento (manuscrito) e conclusão.
Número de alunos por equipe: até 3 alunos
Peso: 20% da 2º. Parcial
Data de entrega: até 30/11/2010
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Alguém da equipe apresenta os nomes da equipe e recebe o número da questão.
N°
Problemas de Taxas de Variação Relacionadas
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