Manoel S. D’Agrella Filho
Corpo de massa m
N
F
Vamos pensar em um objeto que esteja sob a
ação de uma força F, como mostrado na
figura ao lado. Para que o objeto se mova, é
necessário que:
F > Fat,max
Fat,max = sN
Fat
P= mg
Se o corpo não se
move, então a força
de atrito e a força
aplicada paralela à
superfície se
equivalem.
s – coeficiente de atrito estático
Onde, Fat,max é a força de atrito máxima que
age no objeto.
Se o objeto se mover, a força de atrito cai
rapidamente e a nova força de atrito será:
Fk = kN
k – coeficiente de atrito cinético

Um bloco repousa sobre um piso. (a) Qual a
intensidade da Força de atrito que o piso exerce
sobre ele? (b) Se agora aplicarmos ao bloco uma força
horizontal de 5 N, sem que ele se mova, qual será a
intensidade da força de atrito que age sobre ele? (c)
Se o valor máximo da força de atrito estático que age
sobre o bloco for de 10 N, o bloco se moverá quando
o módulo da força aplicada horizontalmente for de
8N? (d) E se a intensidade for de 12N? (e) Qual a
intensidade da força de atrito no item (c)?
Podemos ter uma situação em que várias forças estão
sendo aplicadas no material. Neste sentido, dizemos
que um corpo está em equilíbrio estático se:
1- A soma vetorial de todas as forças externas que agem
sobre o corpo for nula:
 Fi = 0
2- A soma vetorial de todos os torques externos que agem
sobre o corpo, medidos em relação a qualquer ponto
possível, também for nula
 i = 0
x
Y
Z
Equilíbrio das forças
Equilíbrio dos torques
Fres,x = 0
res,x = 0
Fres,y = 0
 res,y = 0
Fres,z = 0
 res,z = 0
Ponto de apoio
F1
P
F2

Barra sujeita a ação de duas forças F1 e F2 de
sentidos opostos e de mesma magnitude, como
mostrado na figura ao lado. P representa o ponto de
apoio:

1- A condição de equilíbrio das forças é atendida;

2- A condição de equilíbrio dos torques não é
atendida e a barra irá girar.
A figura fornece seis vistas superiores de uma haste uniforme
sobre a qual duas ou mais forças atuam perpendicularmente.
Se as intensidades das forças forem ajustadas adequadamente
(mas mantendo valores não nulos), em que situações a haste
pode estar em equilíbrio estático?

Na Figura ao lado, uma
viga uniforme, de
comprimento L e massa m
= 1,8 kg, está em repouso
com suas extremidades
sobre duas balanças. Um
bloco uniforme, com
massa M = 2,7 kg, está em
repouso sobre a viga, com
seu centro a uma distância
L/4 da extremidade
esquerda da viga. Quais
são as leituras das
balanças?
A figura acima nos fornece uma vista superior de uma haste
uniforme em equilíbrio estático. (a) É possível encontrar a
intensidade das forças desconhecidas F1 e F2 equilibrando as
forças? (b) Se você quiser encontrar a intensidade da força F2
usando uma única equação, onde você deveria posicionar um eixo de
rotação? Qual é o valor de sua intensidade? (c) Qual é a intensidade
da força F1?
Na figura ao lado, uma haste AC de 5 kg
é mantida em repouso contra uma
parede e a haste. A haste uniforme tem
1 m de comprimento e o ângulo  =
30. (a) se você tivesse que encontrar a
intensidade da força T que a corda
exerce sobre a haste usando uma única
equação, em qual dos pontos indicados
deveria ser posicionado o eixo de
rotação? Com essa escolha de eixo e
torques positivos no sentido antihorário, qual o sinal (b) do torque p
devido ao peso da haste e (c) do torque
c devido à força com que a corda
traciona a haste? (d) A intensidade c é
maior, menor ou igual à intensidade de
p ?
Observem que para resolvermos
este tipo de problema, o
número de incógnitas tem que
igual ao número de equações.
•
•
•
De modo geral, os sólidos (ex.: um sólido
metálico) formam estruturas cristalinas e os
átomos são mantidos unidos por forças interatômicas: o reticulado formado é extremamente
rígido.
Entretanto, mesmo os corpos rígidos, quando
submetidos a uma tensão grande, eles podem
se comportar de maneira elástica.
Ex.: uma mesa com um dos pés mais curto que
os outros, acaba ficando do mesmo
comprimento que os outros se um peso
suficientemente grande for colocado sobre ela.
Um cilindro sujeito a uma tensão
de tração se alonga de um
comprimento L.
Tensão = Força por
unidade de área:
=F/A

Quando aplicamos uma força F a um corpo,
dizemos que aplicamos uma tensão , definida
por:

=F/A

 - Força por área – unidade de pressão:
SI: 1 pascal – 1 N/m2
cgs: 1 Bar – 1x10-6 dina/cm2

Entretanto, podemos ter tração ou compressão.



A tensão produz uma deformação específica,
ou deformação por unidade de comprimento
original :


Deformação específica = L/L = 
A experiência nos diz que a tensão é
proporcional à deformação específica:

 = F/A  L/L
A constante de proporcionalidade é chamada de módulo
de elasticidade.
 A variação linear entre a deformação específica e a
tensão é chamada de Lei de Hooke:

 = F/A = módulo de elasticidade x L / L


Nós vimos um exemplo de tensão de tração,
entretanto, a lei de Hooke é válida também
quando o material está sujeito a uma tensão de
cisalhamento ou, então, quando uma esfera
sólida está sob tensão hidrostática uniforme.
x / L = Deformação
específica
V / V = Deformação
específica

Vamos tentar compreender melhor o que acontece
na tensão de tração (ou compressão):
Tensão de escoamento é a
tensão na qual deixa de ser
válida a lei de Hooke da
linearidade entre tensão e
deformação específica:
Vale a lei de Hooke
F/A  L/L

Quando a lei de Hooke prevalece:


 = F/A = E L/L,
onde E é o módulo de elasticidade, também
chamado de módulo de Young
Cada material vai se comportar de um modo particular sob
tensão e terá o seu próprio módulo de Young (E), uma
resistência máxima à ruptura (Su) e uma tensão de
escoamento (Sy).
A força atua no plano da área e não
mais perpendicular a ela.
A deformação específica é x / L e o
módulo de elasticidade é chamado de:
Módulo de Cisalhamento ou
Módulo de Rigidez
 - Ciências da Terra
G – Engenharia
 = F / A =  x / L
As rochas estão com freqüência sob o efeito de cisalhamento.

No caso de um corpo sob tensão
hidrostática, a tensão é a pressão
(P) que o corpo sofre:

P = Força por unidade de área.

Deformação específica = V / V = 


Módulo de Incompressibilidade:
K – Física da Terra

Pressão hidrostática – P é
igual em todos os sentidos e
é negativa
P = -K 

Define-se também o Módulo de Compressibilidade
(B):

B = 1/K

Módulo de compressibilidade do aço é de 16 x 10
N/m2

Módulo de compressibilidade da água é de 2,2 x 10 9
N/m2
10


Um terremoto acontece na Crosta e no Manto
Superior quando as tensões tectônicas excedem a
resistência das rochas e uma falha (colapso)
ocorre.
Uma vez acontecido o terremoto, ondas sísmicas
se propagam por deformação elástica das rochas
por onde elas viajam.
Velocidade das ondas longitudinais:
 = {[K + (4/3)] / } 1/2
K é o módulo de incompressibilidade;
 é o módulo de rigidez (ou cisalhamento);
 é a densidade.
Velocidade das ondas transversais:
 = ( / ) ½
 é o módulo de rigidez ou cisalhamento.
Como o módulo de rigidez nos líquidos é zero, as ondas
transversais não se propagam em meio líquido.


Uma haste de aço estrutural possui um raio R de 9,5
mm e um comprimento L de 81 cm. Uma força F de
62 kN a estica ao longo de seu comprimento. Quais os
valores da tensão sobre a haste, do alongamento e da
deformação específica da haste?
Eaço = 200x109 N/m2

A figura acima mostra a curva de tensão x deformação
específica para o quartzito. Quais são o módulo de
Young (E) e a resistência de escoamento aproximada
para este material?
Pretende-se construir um túnel de 150 m de comprimento, 7,2
m de altura e 5,8 m de largura (com um teto horizontal), 60 m
abaixo do nível do solo (veja figura abaixo). O teto do túnel
deve ser suportado inteiramente por colunas de aço de seção
quadrada, cada uma com uma área de seção transversal de
960 cm2. A massa específica do material do solo é de 2,8
g/cm3. (a) Qual a massa total do material que as colunas
devem suportar? (b) Quantas colunas são necessárias para
manter a tensão de compressão em cada coluna com um valor
igual à metade da sua resistência máxima à ruptura? g= 9,8
m/s2; resistência máxima (Su) à ruptura do aço = 400x106
N/m2.

Quando ocorre uma ruptura na litosfera,
são geradas vibrações sísmicas que se
propagam em todas as direções na forma
de ondas. O mesmo ocorre, por exemplo,
quando explosivos são detonados. São
estas ondas sísmicas que causam danos
perto do epicentro e que podem ser
registradas em sismógrafos no mundo
todo.
Geração de um sismo por acúmulo e
liberação de esforços em uma ruptura. A
crosta terrestre está sujeita a tensões (a)
compressivas neste exemplo, que se
acumulam lentamente, deformando as
rochas (b); quando o limite de resistência
é atingido, ocorre uma ruptura com um
deslocamento abrupto, gerando vibrações
que se propagam em todas as direções (c).
Geralmente, o deslocamento (ruptura) se
dá em apenas uma parte de uma fratura
maior pré-existente (falha geológica). O
ponto inicial da ruptura é chamado
hipocentro ou foco do tremor, e sua
projeção na superfície é o epicentro. Nem
todas as rupturas atingem a superfície.
Deslocamento de 1,70 m na horizontal e 1,30 m na vertical
A ruptura que causou o terremoto foi
muito rápida e durou cerca de 5
segundos. Entretanto, foram geradas
ondas sísmicas que passaram pela
estação, a 1930 km, durante mais de 20
minutos. Isto ocorre porque há vários
tipos de ondas sísmicas com
velocidades de propagação diferentes e
que percorreram trajetórias distintas.
Argentina abala São Paulo. (a) Registro na estação sismográfica de
Valinhos, SP, de um sismo ocorrido na fronteira Argentina/Bolívia (2301-1997) com magnitude 6.4. (b) O movimento do chão é descrito
pelos três componentes: Z (vertical, positivo para cima), NS (positivo
para Norte) e EW (positivo para Leste). As ondas P e S chegam 230 s e
410 s, respectivamente, após a ocorrência do terremoto.


A primeira movimentação do chão
(chegando a 230 s após a ocorrência do
terremoto) é um deslocamento de 0,03
mm para cima e para Leste. Nesta
primeira onda não há vibração na
direção NS. Como as ondas estavam se
propagando de Oeste para Leste (do
epicentro para a estação) e chegaram na
estação vindo de baixo para cima,
vemos que as vibrações nesta primeira
onda são paralelas à direção de
propagação.
Esta primeira onda é, portanto,
longitudinal e chama-se onda P
(primária).
Quase 200 s após a chegada da onda P, o chão sofre um deslocamento
0,07 mm no sentido Norte. Esta segunda onda tem vibração
perpendicular à direção de propagação e é chamada onda
transversal ou onda S (secundária).
Os dois tipos principais de ondas sísmica são:
- Ondas P - movimentam as partículas do solo
comprimindo-as e dilatando-as. O movimento das
partículas é paralelo à direção de propagação da onda.
O som é uma onda P.
- Ondas S - movimentam as partículas do solo
perpendicularmente à direção de propagação da onda.

As velocidades das ondas P e S dependem
essencialmente do meio onde elas passam. Elas
podem ser expressas pelas constantes elásticas e a
densidade do meio em que elas se propagam:



 = [(K + 4/3 ) / ] ½,
onde  é a velocidade da onda P, K é o módulo
volumétrico (de incompressibilidade),  é o módulo de
rigidez (de cisalhamento) e  é a densidade.
O som que se propaga no ar é uma onda P, da mesma
forma que as vibrações em um meio líquido. Nestes
meios o módulo de rigidez é zero ( = 0) e a
velocidade da onda P se torna igual a:

 = [K/ ]
½

Na propagação das ondas transversais, como o
movimento das partículas é perpendicular ao
deslocamento da onda, o meio sofre cisalhamento
vertical. Assim, a velocidade da onda S () depende
intrinsecamente do módulo de rigidez e da densidade
do meio em que se propaga:


 = ( / )½
As ondas transversais precisam de um meio sólido
para se propagar (tensões de cisalhamento). Portanto,
as ondas S não se propagam em meios líquidos e
gasosos (onde  = 0), mas só em sólidos.
Uma comparação das fórmulas que fornecem as
velocidades das ondas P e S, mostram que a
velocidade da onda P é maior do que a da onda S
e, portanto, chega primeiro.
 = [(K + 4/3 ) / ] ½,
 = ( / )½
As ondas superficiais Rayleigh é
uma combinação de vibrações P e
SV contidas no plano vertical.
Isto produz um movimento das
partículas no sentido retrógrado
em torno de uma elipse.
As ondas superficiais Love
correspondem a superposições de
ondas SH e SV, com vibrações
horizontais e perpendiculares a
propagação da onda. As ondas
Love, em geral, apresentam
velocidades maiores do que as
ondas Rayleigh.
Lei de Snell que rege a reflexão e a refração das ondas. Quando a
onda passa de um meio de menor velocidade para outro meio de
maior velocidade, o raio de onda se afasta da normal à interface (a).
Quando a onda passa para um meio com velocidade menor, ela se
aproxima da normal à interface (b). No caso das ondas sísmicas,
parte da energia da onda incidente P (ou S) pode se transformar em
ondas S (ou P), sempre obedecendo à lei de Snell (c).
Lei de Snell em uma sucessão de camadas horizontais.
Quando a velocidade aumenta linearmente com a profundidade (a),
os tempos de percurso formam uma curva (b) e as trajetórias dos
raios sísmicos são arcos de circunferência (c).

A sismologia de reflexão e a de refração são
amplamente usadas na investigação de estruturas de
sub-superfícies das camadas de rocha no interior da
Terra. O método consiste na emissão de ondas
sísmicas geradas artificialmente através do impacto
de explosões, tiros de ar comprimido, impactos
mecânicos ou vibradores. Essas ondas penetram a
certas profundidades no interior da Terra, que serão
maiores à medida que a energia liberada no impacto
for maior. Durante esse trajeto, as ondas irão
atravessar diferentes camadas geológicas que
apresentam características físicas diferentes e, por
essa razão, vão sofrer reflexão e refração. Parte da
energia contida numa onda será refletida na
interface entre duas camadas geológicas. O restante
seguirá seu caminho, mas segundo um ângulo
diferente, pois sofreu refração.
As ondas sísmicas são detectadas por instrumentos capazes de
perceber os movimentos do solo por ocasião de sua passagem. Esses
instrumentos são chamados geofones (sismômetros), ou hidrofones
quando são usados nos oceanos ou lagos. O registro das ondas é feito
pelos sismógrafos. Os sismógrafos, como indicado pelo próprio
nome, “escrevem” o registro em papel (sismograma). Entretanto, as
versões modernas fornecem registros digitais, cujos dados estão
prontos para serem analisados ou produzir os sismogramas.
Dependendo dos objetivos da pesquisa, pode-se optar por analisar as
ondas refletidas (método sísmico de reflexão) ou as ondas refratadas
(método sísmico de refração). No primeiro caso as sucessivas
reflexões irão fornecer mais detalhes das camadas geológicas, sendo,
portanto, o método mais empregado na prospecção de
hidrocarbonetos (petróleo e gás). No método de refração, as ondas
viajam grandes distâncias antes de serem detectadas pelos geofones,
por isso contêm informações de grandes áreas, mas com menos
detalhes
FIM