Aula Teórica nº 17
LEM-2006/2007
Prof. responsável: Mário Pinheiro
Campos Eléctricos de origem não Electrostática
Considere-se um condutor fechado sobre si próprio percorrido por uma corrente de

densidade J . Se calcularmos o trabalho ao longo da linha de corrente (linha do vector

J ) , tem-se
[1]


Contudo sabemos através da lei de Ohm que J = σ c E e , pelo que as linhas de corrente
coincidem com as l. de f. do campo (se o meio for homogéneo) e portanto ter-se-à
 
E e .dp ≠ 0
∫
também
o que é um absurdo pois o campo é conservativo. Isto significa
(
)
que não é possível estabelecer uma corrente eléctrica num circuito apenas com campos
de origem electrostática, conservativos portanto. Para que haja uma corrente eléctrica
num circuito fechado é preciso que em algum ponto do circuito se introduza um campo
de origem não electrostática, a que iremos chamar campo aplicado, não conservativo, e
que seja responsável pela circulação das cargas no circuito fechado.
[2]
Quando se introduz dois eléctrodos1 de natureza diferente numa solução electrolítica,
vai existir um movimento de cargas de sinais contrários (catiões-iões positivos 2 e
aniões-carga positiva3) para cada um dos eléctrodos e esta reacção química pode ser tida

em conta, do ponto de vista eléctrico através da introdução do campo E a , não

conservativo, com rotE a ≠ 0 portanto.
1
Um eléctrodo (palavra inventada por Michael Faraday e composta de duas palavras gregas elektron e
hodos, que significa caminho) é um condutor eléctrico utilizado para fazer uma conexão com um
condutor não-metálico, tal como um electrólito, vácuo, semicondutor.
2
É um ião carregado positivamente (por ex., H+) e que se dirige para o cátodo. O cátodo é o eléctrodo
para onde se dirigem os electrões numa célula electrolítica, num tubo de descarga ou num diodo. O fluxo
de electrões é sempre do anodo para o cátodo no exterior da célula ou dispositivo e do cátodo para o
anodo no interior. No interior de uma célula galvânica são os iões que transportam os electrões mas o
sentido é o mesmo que o referido anteriormente.
3
É um ião carregado negativamente (por ex. SO4-) e que se dirige para o anodo.
49
Bateria de Bagdad - É possível que esta seja bateria mais
antiga inventada pelo Homem e decoberta em Khuyut
Rabbou’a, perto de Bagdad, Iraque.
Fig. - Esquema de uma célula
galvânica. (extraída da
Wikipédia)
[3]

Como só existe campo E a entre os terminais4 (+) e (-) de uma bateria, a f.e.m. de um
circuito com uma bateria coincide com a f.e.m. da bateria:
 
E = ∫ E a .dp .
−+
(
)

Note-se que como E a é não conservativo, é preciso agora especificar que o trabalho é
calculado por um caminho no interior da bateria.
Trabalho realizado pelo campo Ea


Considere-se uma força F e um deslocamento elementar dp . O trabalho elementar de


F no deslocamento dp é dado por
4
Também se diz bornes.
50
[4]


Seja agora a força elementar dF devida à acção do campo aplicado E a sobre uma carga
elementar dq:
[5]
Então se tivermos agora um condutor de volume V percorrido por uma corrente de


densidade J e onde existam campos aplicados E a , o trabalho por unidade de tempo
realizado pelos campos aplicados para movimentar as cargas no circuito é dado por
[6]
Trabalho realizado pelo Campo Electrostático

O trabalho realizado pelo campo electrostático E e , isto é, o integral
e 
(
E
∫ ∫ ∫ .J )dv
V

Há-de ser obviamente nulo, pois o campo E e não realiza trabalho a movimentar as
cargas num circuito eléctrico fechado.

Para isso, vamos começar por calcular a divergência do produto VJ :
[7]
51
Falta-nos aqui prova ainda que em corrente estacionária não há descontinuidade da

componente normal do vector J através da superfície de separação entre dois meios:
J 2n − J1n = 0
Assim, no caso que estavamos a estudar de um condutor percorrido por uma corrente
(meio 1), envolto por um exterior sem corrente (meio 2),
[8]
Ora no integral
∫ ∫ VJ n dS , este J
S
n

é a componente normal do J sobre a superfície, pelo
que J n = 0 . Está provado assim que
e 
.J )dv = 0
∫ ∫ ∫ (E
V
[9]
52
Vamos agora provar que em regime estacionário não há descontinuidade da componente

normal do vector J através da superfície de separação de dois meios.
[10]
Apliquemos agora esta relação ao cilindro elementar com bases dS1 e dS2 em cada um
dos meios e de altura dh infinitesimal:
[11]
O fluxo através da superfície lateral é desprezível pois a altura dh pode ser tão pequena
quanto quisermos. A única condição é que as bases estejam cada uma no seu meio, mas
como a espessura da superfície de separação tende para zero, também dh → 0 .
Escolhendo agora uma única normal à superfície:
[12]
Efeito de Joule
dτ
dQ
=
dt
dt
As cargas eléctricas no seu movimento colidem com os átomos e moléculas do
condutor, transferindo energia cinética dos electrões para energia elástica do meio,
produzindo libertação de calor.
A relação anterior é conhecida por lei de Joule. O trabalho por unidade de tempo

realizado pelo campo eléctrico E a movimentar as cargas eléctricas é igual à potência
dissipada sob a forma de calor por efeito de Joule.
A lei de Ohm local, toma agora a forma:




J = σ c E = σ c (E e + E a )
Pois localmente as cargas são movimentadas pelos dois campos.
53
[13]
Seja agora um troço de condutor de comprimento l e secção S, e considere-se ainda um
filamento de secção dS e comprimento elementar dl. A potência dissipada sob a forma
de calor no elemento de volume dv=dl.dS é dada por
[14]
Por último, se integrarmos agora sobre toda a secção, podemos escrever por fim:
[15]
54
Seja agora uma resistência eléctrica R percorrida por uma intensidade de corrente i, já
vimos anteriormente que a d.d.p. aos seus terminais é ∆ V = Ri (lei de Ohm integral).
[16]
55