Matrizes - Matemática II - 2004/05
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Matriz em forma de escada
Seja A = [aij ]i=1;:::;m uma matriz real de tipo m
n:
j=1;:::;n
A matriz A está em forma de escada (ou em escada de linhas) se, para cada linha
i 2 f1; 2; :::; mg ; se veri…ca:
Caso 1 A linha i é nula
Então, para todo o r > i; a linha r é nula.
Caso 2 A linha i não é nula
Se ais é o primeiro elemento não nulo da linha i (denominado o pivot); então para
todo o l > i e para todo o c
s; alc = 0.
A matriz A = [aij ]i=1;:::;m está na forma condensada (ou em escada de linhas reduzida)
j=1;:::;n
se está em forma de escada e, para cada linha i 2 f1; 2; :::; mg se veri…cam:
1. O pivot é a identidade;
2. Se ais é o pivot, então para todo o l < i; als = 0.
Exemplos:
2
2
6
1. A matriz 4 0
0
2
1
6
2. A matriz 4 0
0
2
0
19 0
0
4
3 0
0
0
0 1
0
1
19
2
3
4
0
0
0
1 0
3
3
7
6 5 está em forma de escada.
2
0
0
3
2
3
2
1
2
3
7
5 está em forma condensada.
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
Tipo I Trocar duas linhas;
Tipo II Multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
Tipo III Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar.
Observação: Podem-se de…nir operações elementares análogas sobre as colunas.
Matrizes - Matemática II - 2004/05
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Exemplos:
2
2 2 4
3
2
2 2 4
3
6
7
6
7
6 0 0 0 7
6 0 1 1 7
!
7
6
7
1. Tipo I: 6
6 2 5 7 7 L2 $ L4 6 2 5 7 7 :
4
5
4
5
0 1 1
0 0 0
2
2
3
3
1 1 2
2 2 4
6
6
7
7
6 0 1 1 7 1!6 0 1 1 7
6
7
7
2. Tipo II: 6
6 2 5 7 7 2 L2 6 2 5 7 7 :
4
5
4
5
0 0 0
0 0 0
2
3
2
1 1 2
1
6
7
6
6 0 1 1 7
!6 0
7
3. Tipo III: 6
2L1 + L3 6
6 2 5 7 7 L3
6 0
4
5
4
0 0 0
0
1 2
3
7
1 1 7
7 L3
3 3 7
5
0 0
2
1 1 2
3
6
7
0 1 1 7
!6
6
7
3L2 + L3 6
7
4 0 0 0 5
0 0 0
Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa
matriz em forma de escada.
Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa
matriz condensada.
Característica da matriz
A característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas de uma qualquer
matriz em forma de escada que possa ser obtida de A através de operações elementares. A
característica de uma matriz A abrevia-se por carA:
Exemplos:
2
2 2 4
3
6
7
6 0 1 1 7
6
7 = 2, pois por meio de operações elementares (ver exemplo anterior)
1. car 6
7
2
5
7
4
5
0 0 0
2
3
1 1 2
6
7
6 0 1 1 7
7
obtém-se 6
6 0 0 0 7 ; que está em forma de escada e tem duas linhas não nulas.
4
5
0 0 0
2. 8m; n 2 N; carOm
tica 0)
n
= 0: (Só a matriz nula, de qualquer tipo, tem caracterís-