Assunto: Progressão Geométrica (PG)
Professor: Daniel Ferretto
2
1. (Fuvest) Dadas as sequências 𝑎𝑛 = 𝑛2 + 4𝑛 + 4, 𝑏𝑛 = 2𝑛 , 𝑐𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 e 𝑑𝑛 =
𝑏𝑛+1
𝑏𝑛
, definidas
para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações:
I. 𝑎𝑛 é uma progressão geométrica;
II. 𝑏𝑛 é uma progressão geométrica;
III. 𝑐𝑛 é uma progressão aritmética;
IV. 𝑑𝑛 é uma progressão geométrica.
São verdadeiras apenas
a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) I e III.
d) II e IV.
e) III e IV.
2. (Espcex) Na figura abaixo temos uma espiral formada pela união de infinitos semicírculos cujos
centros pertencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a 1 e
o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo anterior, o comprimento da espiral é
igual a
a) π .
b) 2 π .
c) 3 π .
d) 4 π .
e) 5 π .
3. (Uepg) Uma P.A. e uma P.G., crescentes, cada uma com três termos, têm a mesma razão.
Sabe-se que a soma dos termos da P.A. adicionada à soma dos termos da P.G. é igual a 31, o
primeiro termo da P.G. é igual a 1 e as razões são iguais ao primeiro termo da P.A. Nessas
condições, assinale o que for correto.
01) O termo médio da P.A. é um número ímpar.
02) A soma dos termos da P.A. é 18.
04) O último termo da P.G. é 9.
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08) A soma dos termos da P.G. é 16.
16) A razão vale 3.
4. (Ufrgs) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo.
Na etapa 1, há um único quadrado com lado 1. Na etapa 2, esse quadrado foi dividido em nove
quadrados congruentes, sendo quatro deles retirados, como indica a figura. Na etapa 3 e nas
seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. Nessas
condições, a área restante, na etapa 5, é
125
a) 729
125
b) 2187
625
c) 729
625
d) 2187
625
e) 6561
5. (Fgv)
a) Um sábio da Antiguidade propôs o seguinte problema aos seus discípulos:
“Uma rã parte da borda de uma lagoa circular de 7,5 metros de raio e se movimenta saltando
em linha reta até o centro. Em cada salto, avança a metade do que avançou no salto anterior.
No primeiro salto avança 4 metros. Em quantos saltos chega ao centro?”
b) O mesmo sábio faz a seguinte afirmação em relação à situação do item A:
“Se o primeiro salto da rã é de 3 metros, ela não chega ao centro.”
Justifique a afirmação.
6. (Uem) Seja r um número inteiro positivo fixado. Considere a sequência numérica definida por
𝑎1 = 𝑟
{𝑎
e assinale o que for correto.
𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎1
01) A soma dos 50 primeiros termos da sequência (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , ⋯ ) é 2500𝑟.
02) A sequência (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎4 , 𝑎8 , 𝑎16 , ⋯ ) é uma progressão geométrica.
04) A sequência (𝑎1 , 𝑎3 , 𝑎5 , 𝑎7 , 𝑎9 , ⋯ ) é uma progressão aritmética.
08) O vigésimo termo da sequência (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎4 , 𝑎8 , 𝑎16 , ⋯ ) é 220 𝑟.
16) A soma dos 30 primeiros termos da sequência (𝑎2 , 𝑎4 , 𝑎6 , 𝑎8 , 𝑎10 , ⋯ ) é 930𝑟.
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7. (Ufsj) Sabendo que a soma do 2º, 3º e 4º termos de uma progressão geométrica (PG) é igual a
140 e que a soma dos 8º, 9º e 10º termos é 8960, é CORRETO afirmar que
a) a razão dessa PG é 10.
b) seu primeiro termo é 14.
c) a razão dessa PG é 2.
d) o quinto termo dessa PG é 320.
8. (Ufrgs) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e os triângulos sombreados são triângulos
1
semelhantes tais que as alturas correspondentes formam uma progressão geométrica de razão 2.
Se o perímetro do triângulo ABC é 1, a soma dos perímetros dos quatro triângulos sombreados é
9
a) 8.
b)
c)
d)
e)
11
8
13
.
.
8
15
.
8
17
8
.
9. (Uel) A figura a seguir representa um modelo plano do desenvolvimento vertical da raiz de uma
planta do mangue. A partir do caule, surgem duas ramificações da raiz e em cada uma delas
surgem mais duas ramificações e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical de uma
ramificação, dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é sempre a metade do
comprimento da ramificação anterior.
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Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação é de h1  1 m , qual o comprimento
vertical total da raiz, em metros, até h10 ?
1
1
1
1
a) 2 (1 − 210 )
b) 2 (1 − 29 )
1
c) 2 (1 − 210 )
1
d) 2 (1 − 1010 )
1
e) 2 (1 − 29 )
10. (Ufsc) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) O valor de x na equação 3 + 5 + 7 + ⋯ + 𝑥 = 440 sabendo que as parcelas do primeiro
membro formam uma progressão aritmética, é 41.
02) Segundo o Larousse Cultural, Hórus é o deus-falcão do Egito Antigo, com muitas atribuições
e locais de culto. Na ideologia antiga, Hórus foi confundido com o céu ou assimilado ao Sol
(disco solar ladeado por duas grandes asas). No papiro de Rhind ficou registrado que a
1 1 1
1
1
1
sequência das frações dos olhos do deus Hórus era (2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64). O valor numérico da
soma dos termos desta sequência é 1.
5
04) O primeiro termo da progressão geométrica em que 𝑎3 = 15 e 𝑎6 = 9 é 135.
08) As sequências (4, 7, 10, ...) e (5, 10, 15, ...) são duas progressões aritméticas com 50 termos
cada uma. A quantidade de termos que pertencem a ambas as sequências é 15.
Gabarito:
1. E
2. B
3. 02 + 04 + 16 = 22
4. E
5. a) n = 4
b) lim Sn 
n
3
1
1
2
 6.
6. 02 + 04 + 16 = 22
7. C
8. D
9. C
10. 01 + 04 = 05
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