Escola Secundária/3 de Santa Maria da Feira
Ficha de Trabalho de Matemática A
11º Ano
Sucessões
FT-13
Sucessões monótonas
u n  é crescente (em sentido estrito) se e só se, para todo o n  /N:
Uma sucessão
( u n1
 u n  0,  n  / N )
u n  é decrescente (em sentido estrito) se e só se, para todo o n  /N:
Uma sucessão
( u n1
u n1  u n
 u n  0,  n  / N )
u n  é constante se e só se, para todo o n  /N:
Uma sucessão
( u n1
u n1  u n
u n1  u n
 u n  0,  n  / N )
u n  é monótona (em sentido estrito) se e só se, para todo o n  /N, a sucessão for crescente ou
Uma sucessão
decrescente (em sentido estrito).
Nota: se
u n1  u n ou u n1  u n ,  n  / N , a sucessão u n  diz-se monótona crescente ou monótona decrescente
em sentido lato.
Sucessões limitadas
Uma sucessão
u n  diz-se minorada se e só se:
 m  , n  / N : m  u n
Uma sucessão
u n  diz-se majorada se e só se:
 M  , n  / N : u n  M
Uma sucessão
u n  diz-se limitada se e só se:
Nota:
- Se uma sucessão
sucessão:
u n  é monótona crescente, então, o primeiro termo é um minorante do conjunto dos termos da
u1  un ,  n  / N .
- Se uma sucessão
sucessão:
 m, M  , n  / N : m  u n  M
u n  é monótona decrescente, então, o primeiro termo é um majorante do conjunto dos termos da
u n  u1 ,  n  / N .
Progressões aritméticas
u n  é uma progressão aritmética se existe um número real r tal que un1  un  r,
Uma sucessão
 n/ N .
Ao número r chama-se razão da progressão aritmética.
O termo geral,
O termo geral,
sendo
u n , de uma progressão aritmética, de razão r, é dado por: u n  u1  n  1r,  n  / N
u n , de uma progressão aritmética, de razão r, é dado por: u n  u k  n  k r, n  k ,  n  / N ,
u k um termo qualquer.
u1  u n
n
2
Soma de termos consecutivos de uma p.a., desde u p até u n (incluindo os extremos): S  u p  u p 1  ...  u n
A soma, Sn, dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por:
S
u p  un
2
Sn 
 n  p  1
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Monotonia de uma progressão aritmética
Sendo
que:
• se
• se
• se
u n 
uma progressão aritmética, sabe-se que
un1  un  r , sendo r uma constante. Então, pode-se concluir
r  0 , a sucessão u n  é estritamente crescente;
r  0 , a sucessão u n  é estritamente decrescente;
r  0 , a sucessão u n  é constante.
Progressões geométricas
u n  de termos não nulos é uma progressão geométrica se existe um número real r tal que
Uma sucessão
u n1
 r,  n  / N
un
.
Ao número r chama-se razão da progressão geométrica.
O termo geral,
u n , de uma progressão geométrica, de razão r, é dado por: u n  u1 .r n1 ,  n  / N
O termo geral,
u n , de uma progressão geométrica, de razão r, é dado por: u  u .r nk , n  k ,  n  / N , sendo
n
k
u k um termo qualquer.
A soma, Sn, dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, de razão r ≠ 1, é dada por:
S n  u1 
1 rn
, r 1
1 r
Soma de termos consecutivos de uma p.g., desde u p até
S  up 
u n (incluindo os extremos): S  u p  u p1  ...  un
1  r n p 1
, r 1
1 r
Monotonia de uma progressão geométrica
A monotonia de uma progressão geométrica depende do 1º termo e da razão.
Seja
u n  uma progressão geométrica de razão r:
• Se
r  0 , u n  não é monótona porque os termos são alternadamente positivos e negativos.
• Se
0  r  1 e u1  0
Exemplos:


−8, −4, −2, −1, ...  r 
4, 8, 16, 32, ...
• Se r  1 ,
• Se
1

e u1  8 
2

r  2 e u1  4
u n  é constante.
0  r  1 e u1  0
Exemplos:
r  1 e u1  0 , u n  é monótona crescente.
ou
ou
r  1 e u1  0 , u n  é monótona decrescente.
1


 r  e u1  8 
2


r  2 e u1  4
8, 4, 2, 1, ...
−4, −8, −16, −32, ...
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Exercícios
1. A Joana vai regar um laranjal levando um balde de água de um poço até ao pé de cada
laranjeira. As 20 árvores encontram-se em linha e com uma distância entre si de 8 metros.
O poço encontra-se a 10 metros da 1ª árvore. Calcula quantos metros percorreu a Joana no
final do trabalho, sabendo que este se inicia e termina junto ao poço.
2. A Rita resolveu fazer economias.
Na 1ª semana pôs 2,50€ no mealheiro e decidiu que em cada semana poria mais 0,50€ que na semana anterior.
a) Quanto colocou no mealheiro na 10ª semana?
b) Que economias tinha ao fim dessas dez semanas?
c) Se continuasse durante um ano, quanto teria economizado?
3. Numa progressão aritmética,
b11 
11
71
e b18  .
5
10
a) Determina a expressão do termo geral da progressão.
b) Indica um termo de
4. Calcula
bn  entre 99 e 100.
a50 de uma progressão aritmética an  , sabendo que: a35  9 e a45  17 .
5. Um operário da construção civil foi contratado para colocar azulejos num grande prédio. No seu primeiro dia de
trabalho o operário colocou 250 azulejos. À medida que a sua experiência ia aumentando, o chefe de equipa verificava
que o operário colocava em cada dia mais 20 azulejos do que no dia anterior.
a) Mostra que
Pn  230  20n , n  1 é um modelo linear que descreve a situação.
b) Calcula quantos azulejos colocou o operário no trigésimo dia de trabalho.
c) Calcula quantos dias terão passado até que a experiência do operário lhe permitisse colocar 450 azulejos num dia.
d) Quantos azulejos colocou no total o operário passados 20 dias de trabalho?
6. Sabendo que numa progressão aritmética
a) Determina
u1 ;
b) Escreve o termo geral de
7. Sendo
u n  ,
u 2  u 4  10 e u5  u8  15 .
u n  .
an  uma progressão aritmética, em que
1
a1  12 e r   . Quantos termos teremos que somar, a partir
2
do 1º termo (inclusive) para obtermos 55.
8. Um equipamento de escritório custou 1000€.
Sabe-se que desvaloriza 20% por ano.
Qual será o valor do equipamento com 5 anos de uso?
Se construísse uma sucessão com os valores do equipamento ao fim do 1ºano de uso, 2ºano de uso, …, os termos desta
sucessão poderiam fazer parte de uma progressão. De que tipo de progressão se trataria?
9. Numa progressão geométrica, o 3º termo é 12 e o 9º é 768.
a) Determina o 1º termo e a razão.
b) Calcula a soma de 10 termos consecutivos, a partir do 5º (inclusive).
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10. Um estudante em férias foi para Londres e arranjou um trabalho de três horas por dia durante o mês de Agosto.
As propostas para o vencimento eram as seguintes:
- 350 libras pagas no fim do mês;
ou
- trabalhar sem ganhar nos primeiros 15 dias e no 16º dia receber 1 centésima da libra, no 17º dia 2 centésimas da libra
e assim sucessivamente, duplicando o vencimento do dia anterior todos os dias até ao fim do mês.
Qual é a proposta mais vantajosa para o estudante?
11. Uma cliente maçadora aborrecia sempre a sua costureira com pedidos insistentes de descontos.
Certa vez, tratava-se de um vestido que custava 65€, e a costureira, já farta, disse-lhe: “Pois então leve o vestido e
pague-me só os 10 botões do vestido: 20 cêntimos pelo primeiro botão, 40 cêntimos pelo segundo botão, 80 cêntimos
pelo terceiro botão, e assim sucessivamente.
Encantada, a cliente aceitou logo a proposta. Quem foi a esperta?
12. Numa progressão aritmética
bn  , sabe-se que o primeiro termo é 2, a razão é 3 e a soma dos n primeiros termos
é 737.
a) Quantos termos estamos a somar?
b) Classifica a sucessão quanto à monotonia.
c) Define a progressão por recorrência.
13. De uma progressão geométrica decrescente, sabe-se que
1
u1  3 e u 3  .
3
a) Determina a razão da progressão.
b) Escreve a expressão do termo geral.
c) Prova que, para qualquer n  / N , se verifica a condição
0  un  3 .
14. Num teatro a plateia está disposta em anfiteatro, aumentando de cada fila para a seguinte sempre o mesmo
número de lugares.
A 6ª fila tem 30 lugares e a última, a fila 28ª, tem 74 lugares.
a) Quantos lugares tem a 1ª fila?
b) Determina uma expressão que permite calcular o número de lugares de cada fila.
c) Quantos lugares tem a plateia?
15. Em Janeiro, a Susana recebeu 100 euros da sua madrinha; no mês seguinte recebeu mais 10 euros do que no mês
anterior e assim sucessivamente.
Do pai recebeu em Janeiro 1 euro, em Fevereiro 2 euros e em cada mês recebe o dobro do que recebeu no mês
anterior.
a) Há algum momento em que a Susana recebe quantias iguais de cada um?
b) Determina a quantia que recebe de cada um ao fim de um ano. A Susana acha que o pai lhe dá pouco dinheiro em
relação à madrinha! Terá razão?
16. O pai do Miguel, em cada aniversário do filho, dá-lhe um número de euros igual à idade do filho. No dia em que, no
mealheiro, o Miguel tiver 153€, qual será a sua idade?
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