Matemática 3
III) cos x = cos(60o – y)
cos x = cos60o . cos y + sen60o . sen y
Módulo 5
(1+ 3 ) cos y 1
3
= cos y +
sen y
2
2
2
FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
PARA
cos y + 3 cos y = cos y + 3 sen y
cos y = sen y
y = 45o
SALA
Lembrando:
• sen(a + b) = sena . cosb + cosa . senb
• A soma dos ângulos internos de um quadrilátero
convexo é 360°.
• Quatro termos de uma PA de razão r, pode ser representada por (a1; a1 + r; a1 + 2r; a1 + 3r).
I.
IV) x = 60o – y
x = 60o – 45o
x = 15o
Portanto |x – y| = 30o
Considere o quadrilátero abaixo:
Resposta correta: E
3.
Lembrando:
tgA + tgB
1 − tgA . tgB
•
tg(A + B) =
•
tg45° = 1
I.
Como A = 20° e B = 25°, temos que A + B = 45°
II. tg(A + B) =
tgA + tgB
tgA + tgB
⇒
⇒ tg(45°) =
1 − tgA . tgB
1 − tgA . tgB
1
tg A + tg B = 1 – tg A . tg B ⇒ tg A + tg B + tg A . tg B = 1
45º + 45° + r + 45° + 2r + 45° + 3r = 360°
6r + 180° = 360°
6r = 180°
r = 30°
III. Da expressão (1 + tgA) . (1 + tgB), temos:
(1 + tgA)(1 + tgB) =
= 1 + tgB + tgA + tgA . tgB = 1 + 1 = 2
1
II. Como r = 30°, então os ângulos são:
Aˆ = 45°, Bˆ = 75°, Cˆ = 105°, Dˆ = 135°
Resposta correta: B
2 2 2
=
2
4
• Pela redução ao perímetro quadrante, sabemos
que sen 45° = sen 135°.
• sen 75° = sen(45° + 30°) = sen 45° . cos 30° +
2
3
2 1
6+ 2
+ cos 45° . sen 30°=
.
. =
+
2
2
2 2
4
• Pela redução ao primeiro quadrante, sabemos
que sen 75° = sen 105°
III. • sen 45° =
4.
Lembrando:
• Dada uma PG infinita de razão q (0 < q < 1). Assim
temos que a soma dos termos da PG é dada pela rea
lação: Sm = 1
1− q
•
sen(A + B) = senA . cosB + senB . cosA
π π π
+ +
+ .... x representa a soma dos termos
3 6 12
π
1
6
de uma PG infinita de razão q = = . Assim:
π 2
3
π
π
a
2π
x= 1 = 3 = 3 =
= 120°
1− q 1− 1 1
3
2 2
x=
I.
IV. Assim temos que:
sen45º + sen45° + sen75° + sen105° + sen135° =
=
2 2
6+ 2
2+ 6 2 2
+
+
+
=
4
4
4
4
=
6 2 +2 6 3 2 + 6
=
4
2
Resposta correta: C
2.
A soma dos ângulos é igual a 180o.
I) x + y + 120o = 180o
x + y = 60o
II)
cos x 1+ 3
=
cos y
2
cos x =
(1 + 3 )
cos y
2
II. Pelo mesmo raciocínio de x, podemos encontrar y.
Veja:
π
π
a1
5π
4
4
=
= =
= 225°
y=
1− q 1− 4 1
4
5 5
x = 60o – y
PRÉ-VESTIBULAR
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VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 3
1
III) cos340o = cos20o
III. Finalmente, sen(x + y) = sen(120° + 225°) = sen45°,
como 345° tá no quarto quadrante, reduzindo para o
primeiro, temos 15°, então: sen345° = sen(15°) =
sen(45° – 30°) = sen45° . cos30° – cos45° . sen30° =
=
2 1
2
3
2
6
. −
.
=
−
=
2 2
2
2
4
4
2− 6
4
cos
Resposta correta: B
5.
A soma das áreas é:
cos a . sen b
cos a . sen b
S=2.
+ 2 . sen a cos b + 2 .
2
2
S = 2sen a cos b + 2 sen b cos a
S = 2(sen a cos b + sen b cos a)
S = 2sen(a + b)
π
S = 2sen
6
1
S=2.
2
S=1
360o – 340o = 20o
Desta maneira:
E = sen200o . sen310o + cos340o . cos 50o
E = – sen20o . (– sen50o) + cos20o cos50o
E = cos50o . cos20o + sen50o sen20o
E = cos (50o – 20o)
E = cos30o
3
2
E =
Resposta correta: A
∴ 2 3 . E = 2 3 .
2 3 E = 3
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
Resposta correta: C
Sabemos que:
I) sen200o = – sen20o
2.
Calculando tg[(x – y) + (y – z)]:
tg x − y + tg y − z
tg x − y + y − z =
1 − tg x − y . tg y − z
b g b g
g b g
b g b g
tgb x − y g + tgb y − zg
tgb x − zg =
1 − tgb x − y g . tgb y − zg
a−b
b−a
e tgb y − zg =
, então:
Como tgb x − y g =
a+b
a+b
b
sen
20o
a−b
b−a
+
a
b
a
+
+b
tg y − z =
a−b
b−a
1−
.
a+b
a+b
0
a+b
tg x − z =
a−b b−a
1−
2
a+b
200o
200o – 180o = 20o
o
o
II) sen310 = – sen50
b g
b g b g
b g
b gb g
b g
tg (x – y) = 0
sen
Resposta correta: E
50o
3.
P = sen 40° − cos 40° ∴ sen 40° ⋅ cos 20°− sen 20° ⋅ cos 40° ⇒
sen 20°
cos 20°
logo: P2 – 1 ∴
1
cos 20°
2
⇒ tg 20°
2
360o – 310o = 50o
PRÉ-VESTIBULAR
sen 20° ⋅ cos 20°
sen (40°−20° )
sen 20°
1
∴
∴
⇒
sen 20° ⋅ cos 20° sen 20° ⋅ cos 20° cos 20°
310o
2
3
2
Resposta correta: C
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VOLUME 2
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MATEMÁTICA 3
− 1∴
1 − cos2 20° sen2 20°
∴
cos2 20°
cos2 20°
4.
Temos que:
2sen θ − 60o = cos θ + 60o
h
d
d
h
b
2(senθcos60° – sen60°cosθ) = cosθcos60° – senθ . sen60°
F
GH
2 senθ .
I
JK
1
3
1
3
−
cos θ = cos θ . − senθ .
2
2
2
2
e
j
e
e
e
je
je
b
g
sen20°
4 sen20°
E=
sen20°
E=4
j
j
j
1+ 2 3 2 − 3
senθ
=
cos θ
2+ 3 2− 3
tgθ =
g
2sen10° cos 10°
4 sen 30° − 10°
E=
2senθ + 3 senθ = cos θ + 2 3 cos θ
senθ 2 + 3 = cos θ 1 + 2 3
b
4 sen30° cos 10° − cos 30° sen10°
E=
2senθ − 2 3 cos θ = cos θ − 3 senθ
g
2 sen30° cos 10°− cos 30° sen10° x 2
x2
sen10° cos 20°
E=
Resposta correta: D
8.
2− 3 +4 3 −6
4−3
Observe a figura:
tgθ = −4 + 3 3
Comparando com tgθ = a + b 3 , teremos a = –4 e b = 3
Resposta correta: B
5.
6.
tg x + tg y ⇒ sen x + sen y ⇒ sen x ⋅ cos y + sen y ⋅ cos x ⇒
cos x
cos x ⋅ cos y
cos y
1
1
⇒ sen (x + y) ⋅
⋅
⇒ sen( x + y ) ⋅ sec x ⋅ sen y
cos x cos y
I)
Resposta correta: D
x2 = 302 + 202 ∴ x =
II) Calculando y:
FG 1 IJ
H 6K
23.400
y = 30 26
III) Calculando α pela lei dos cossenos no ΔACD:
:
(130)2 = (10 13 )2 + (30 26 )2 − 2 ⋅10 13 ⋅ 30 26 ⋅ cos α
13 .2
16900 = 1300 + 23.400 – 600 ⋅ 13 ⋅
2
6
2 ⋅ cos α = 1
então:
cos α =
1
= 1
6
2
1
E = 1−
2
1
E=
2
E+3.
Sendo E =
E=
9.
E=
1
3
−
, então:
sen10° cos 10°
F 1 cos 10°
GH 2
Desenvolvendo a equação:
2
π
π
cos θ −
− cos θ +
=
2
2
7
FG
H
−
FG
H
IJ
K
cos θ.cos
1 cos 10° − 3sen10°
sen10° cos 10°
2 .
2
∴ α = 45°
2
Resposta correta: B
Resposta correta: C
7.
2 ⋅ cos α
2 cos α = 7800
7800
= 1 . Como E = sen x + cos x
6
1300 ∴ x = 10 13
y2 = 302 + 1502 ∴y = 900
+
22500
Elevando cada membro da relação sen²x + cos²x = 1 ao
cubo temos:
(sen²x + cos²x)³ = 1³
(sen²x)³ + 3(sen²x)²cos²x + 3sen²x(cos²x)² + (cos²x)³ = 1
sen6x + cos6x + 3sen²xcos²x (sen²x + cos²x) = 1
sen6x + cos6x + 3 ⋅ (sen x ⋅ cos x) ⋅ 1. Como sen x ⋅ cos x =
1
, então:
6
sen6x + cos6x + 3 .
Calculando x:
IJ
K
LM
N
cos θ . 0 + sen θ . 1 − cos θ . 0 − sen θ . 1 =
sen θ + sen θ =
I
JK
OP
Q
π
π
π
π
2
+ sen θ . sen − cos θ.cos − sen θ . sen
=
2
2
2
2
7
2
7
2
7
2
7
1
senθ =
7
3
sen10°
2
2senθ =
sen10° cos 10°
Resposta correta: A
PRÉ-VESTIBULAR
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VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 3
3
Considerando o triângulo EFQ:
10. I. Temos a figura abaixo:
F
⇒ tg β =
2 1
=
4 2
⇒ tg θ =
2
1
=
6 3
2
β
E
4
Q
Considerando o triângulo EFG:
• tgα =
F
6
x
18 + 6
24
→ tgβ =
• tg(α + β =
x
x
• α=β
2
II. Como α = β, temos que :
2
→ x2 = 72 → x = 6 2
2 ≅ 1, 4 , temos que 6 2 = 6.1,4 = 8, 4
Resposta correta: A
11. Observe o triângulo:
Desta maneira:
α + β + θ = α + (β + θ)
F
α + β + θ = 45° +
α + β + θ = 90°
π
α+β+θ=
2
2
β
α
3
P
3
Q
3
G
12. Desenvolvendo a equação:
tg(θ – 45°) + tg(θ + 45°) = 2
tg θ − tg 45°
tg θ + tg45°
+
=2
1 + tg θ . tg 45° 1 − tg θ . tg 45°
tg θ − 1
tg θ + 1
+
=2
1 + tg θ . 1 1 − tg θ . 1
F
2
=1
2
α = 45°
⇒ tg α =
2
4
tg θ − 1
tg θ + 1
+
=2
1 + tg θ
1 − tg θ
(tg θ − 1)(1 − tg θ) + (tg θ + 1)2
2(1 + tg θ)(1 − tg θ)
=
(1 + tg θ)(1 − tg θ)
(1 + tg θ)(1 − tg θ)
α
2
45°
Resposta correta: D
θ
Considerando o triângulo EFP:
E
G
1 1
+
tg(θ + β) = 3 2
1 1
1− .
3 2
2+3
6
tg(θ + β) =
1
1−
6
5
tg(θ + β) = 6
5
6
tg(θ + β) = 1
θ + β = 45°
24
12 x
→
= 2
→ x 2 = 2x 2 − 72 →
x
x − 36
E
6
Calculando o valor de tg(θ + β):
tgθ + tgβ
tg(θ + β) =
1 − tgθ . tgβ
6
2 . tgα
24
x →
=
→
tg(α + β) = tg(2α) =
x 1 − 36
1 − tg2α
x2
12
2
x
24
24 12
→
= 2x
→
=
¨→
. 2
x
x
x x − 36
x − 36
x2
2.
III. Como
θ
E
P
tg θ – tg2θ –1 + tg θ + tg2θ + 2tg θ + 1 = 2(1 – tg2θ)
4tg θ = 2 – 2tg2θ
2tg2θ + 4tg θ –2 = 0
PRÉ-VESTIBULAR
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VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 3
tg2θ + 2tgθ –1 = 0
Δ = 22 – 4 . 1.(–1)
Δ=8
tg θ =
−2 + 8
2
tg θ =
−2 + 2 2
2
tg θ = −1 +
ou
tg θ =
−2 − 8
2
tg θ =
−2 − 2 2
2
tg θ = −1 −
2
2
3π
, então tg θ > 0 (3º quadrante)
Como π < 0 <
2
tg θ = –1 +
tg θ =
2
1
3
tg(α + β) = 6
tg(α + β) =
Resposta correta: A
15. Desenvolvendo a equação:
π
π
sen θ −
+ cos θ +
= 1 + cos(2θ)
6
3
2
IJ
K
π
5
π
sena .cos
5
π
sen a −
5
FG
H
IJ
K
π
π
π
π
− sen cos θ + cos θ cos − senθ sen = 1 + cos(4θ)
6
6
3
3
3 1
1
3
− cos θ + cos θ −
senθ = 1 + cos(4θ)
2
2
2
2
cos(4θ) = −1
4θ = 180°
θ = 45°
senθ
2 −1
π
, temos:
5
π
π
π 2
sen =
cos − cos θ +
5
5
5 5
π 2
− cos a . sen =
5
5
2
π
= , como a = θ + , então
5
5
13. Considerando a = θ +
FG
H
IJ
K
senθ . cos
Resposta correta: A
sen θ +
FG
H
FG
H
IJ
K
Desta maneira:
tg²θ + sec ²θ = tg²45 + sec ² + sec ²45°
FG IJ
H K
π
πI 2
F
senG θ +
H 5 − 5 JK = 5
tg²θ + sec ²θ = 1 +
FG 2 IJ
H 2K
tg²θ + sec ²θ = 1 +
4
2
2
tg²θ + sec ²θ = 3
Resposta correta: D
2
5
Calculando cos θ:
sen2θ + cos2θ = 1
sen θ =
FG 2 IJ
H 5K
2
+ cos2 θ = 1
4
25
25 − 4
cos2 θ =
25
21
cos2 θ =
25
Desta maneira:
cos2 θ = 1 −
25 cos2θ = 25 .
21
25
25 cos2θ = 21
Resposta correta: A
14. Da equação 3x2 – 6x + 2 = 0, temos:
b
c
II) x’ . x’’ =
I) x’ + x’’ = −
a
a
−( −6)
2
tgα . tgβ =
tgα + tgβ =
3
3
tgα + tbβ = 2
Calculando tg(α + β):
tg α + tg β
tg(α + β) =
1 − tgα . tg β
tg(α + β) =
2
1−
2
3
PRÉ-VESTIBULAR
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VOLUME 2
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MATEMÁTICA 3
5