Capítulo 6 – VALORES e VECTORES
PRÓPRIOS (conclusão)
Capı́tulo 6 - 27a Aula, 17/Dez/2008 – p. 1/7
Outra caracterização das matrizes invertı́veis
Proposição: Seja A ∈ Mn×n (K). Tem-se:
A é invertível sse A não tem o valor próprio zero.
Capı́tulo 6 - 27a Aula, 17/Dez/2008 – p. 2/7
Matrizes Semelhantes
Sejam A, B ∈ Mn×n (K). Dizemos que
A e B são semelhantes se existe uma matriz
invertível P ∈ Mn×n (K) tal que
D EFINIÇ ÃO:
P −1 AP = B.
Capı́tulo 6 - 27a Aula, 17/Dez/2008 – p. 3/7
Matrizes Semelhantes
Proposição: Se A, B ∈ Mn×n (K) são
semelhantes então os seus polinómios
característicos são iguais.
(Consequentemente, A e B têm os mesmos
valores próprios e com iguais multiplicidades
algébricas.)
Capı́tulo 6 - 27a Aula, 17/Dez/2008 – p. 4/7
Matrizes Diagonalizáveis
Seja A ∈ Mn×n (K). Dizemos que A é
uma matriz diagonalizável se A é semelhante a
uma matriz diagonal, isto é, se existe uma matriz
invertível P ∈ Mn×n (K) e uma matriz diagonal
D ∈ Mn×n (K) tais que
D EFINIÇ ÃO:
P −1 AP = D.
Capı́tulo 6 - 27a Aula, 17/Dez/2008 – p. 5/7
Caracterização das matrizes Diagonalizáveis
Teorema: Seja A ∈ Mn×n (K). São equivalentes
as afirmações:
1. A é diagonalizável.
2. A tem n vectores próprios linearmente
independentes.
3. A soma das multiplicidades geométricas dos
valores próprios de A é igual a n.
Capı́tulo 6 - 27a Aula, 17/Dez/2008 – p. 6/7
Exemplos/Exercı́cios
Seja A =

1

 1

0
1 0


1 0 

0 0
∈ M3×3 (R).
– Justifique que A é diagonalizável e determine
uma matriz invertível P tal que
P
−1
AP =

0

 0

0

0
0
2

0 
.
0
0
Exercícios Propostos: 6.1, 6.2, 6.7(a), 6.10,
6.17, 6.30, 6.32, 6.33, 6.34.
Capı́tulo 6 - 27a Aula, 17/Dez/2008 – p. 7/7