ESPELHOS E LENTES
Embora para os povos primitivos os espelhos tivessem propriedades mágicas, origem de
lendas e crendices que estão presentes até hoje, para a física são apenas superfícies polidas
que produzem reflexões regular. A forma geométrica da superfície determina as
propriedades do espelho.
ESPELHOS PLANOS
Fig 1. Uma fonte luminosa pontual O, chamada objeto, está a uma distância p de um espelho
plano. Raios luminosos provenientes de O são refletidos pelo espelho. Se o olho de um
observador intercepta alguns dos raios refletidos, ele tem a impressão de que existe uma fonte
luminosa pontual I atrás do espelho, a uma distância i. A fonte fictícia I é uma imagem virtual
do objeto O.
1
2
Fig 2. A figura ao lado
mostra dois raios. O raio
Ob é perpendicular ao
espelho e o raio Oa fazendo
um ângulo arbitrário  com
a normal à superfície do
espelho.
Os triângulos aOba e aIba têm um lado comum e os três ângulos iguais, de modo
que os lados horizontais têm o mesmo comprimento. Logo,
Ib  Ob
onde Ib e Ob são as distâncias entre o espelho e a imagem e entre o espelho e o
objeto, respectivamente. Por convenção, as distâncias dos objetos são
consideradas positivas e as distâncias de imagens virtuais são consideradas
negativas. Assim, as distâncias p e i são relacionadas por:
i   p (espelho plano)
3
Fig. 3 – Um feixe estreito de raios provenientes de O penetra no
olho depois de ser refletido pelo espelho. Apenas uma pequena
região do espelho, nas vizinhanças do ponto a, está envolvida
nesta reflexão. A luz parece se originar em um ponto I atrás do
espelho.
Formação da Imagem de um Objeto – Espelho Plano
Fig. 4
A razão entre a altura da imagem e a altura do objeto, em qualquer
situação de formação de imagem, denomina-se ampliação, m; ou
seja;
hi
m
ho
Para um espelho plano m = 1.
i
ou m  
p
(ampliação)
4
IMAGENS – ESPELHOS PLANOS
A imagem de qualquer figura ou objeto em um espelho plano é formada pela imagem de cada um de
seus pontos.
Fig. 5
Podemos concluir que as imagem das figuras acima são:
• Direta (não é invertida) e igual (de mesma altura) em relação ao objeto
• Virtual, isto é, formada pelos prolongamentos dos raios refletidos pelo espelho.
5
IMAGENS – ESPELHOS PLANOS
Figura 6
6
7
Associação de Espelhos – os espelhos planos podem ser associados, isto é, colocados lada a
lado em ângulos ou dispostos paralelamente entre si. Essas associações podem deslocar ou
multiplicas o número de imagens de um objeto.
Fig. 7
Atividades – Montagens com espelhos planos
1) Associação de espelhos – dois espelhos iguais (dispostos com um livro);
2) Caleidoscópio – três tiras retangulares iguais de espelhos dispostos na forma de prisma triangular.
3) Imagem aprisionada – três espelhos, retangulares ou quadrados, dispostos perpendicularmente entre si.
4) Periscópio – dois espelhos planos retangulares iguais, dispostos em ângulo de 45o .
8
ESPELHO ESFÉRICO
–
é qualquer superfície ou calota esférica
espelhada. Se a parte espelhada for interna, o espelho é côncavo; se for
externa, o espelho é convexo. O espelho côncavo pode ser obtido
encurvando um espelho plano para dentro e o convexo para fora (ver
figuras abaixo).
Alguns elementos dos espelhos esféricos
C: centro de curvatura: centro de curvatura da esfera que contém a calota;
V: vértice: centro geométrico da calota;
r: raio de curvatura: raio da calota esférica (distância entre C e V);
S: eixo principal: reta que contém C e V;
S’: eixo secundário: reta qualquer que contém C, mas não passa por V.
Fig.8
9
Fig.9 Espelho côncavo
No espelho côncavo temos
imagem mais afastada e
maior do que no espelho
plano.
Fig.10 Espelho convexo
No espelho convexo temos
imagem mais próxima e
menor do que no espelho
plano.
10
Fig.11
Fig.11
Fig.11 (a) Em um espelho côncavo, a luz paralela
incidente é trazida para o foco real em F, no lado R do
espelho. (b) Em um espelho convexo, a luz paralela
incidente parece divergir de um foco virtual em F, no lado
V do espelho.
11
O ponto F é chamado de foco do espelho (ou ponto focal), e sua
distância até o centro do espelho é a distância focal f do espelho.
Para o espelho côncavo dizemos que o foco é real (situado do lado
R) e para o espelho convexo dizemos que o foco é virtual (situado
do lado V). A distância focal f do espelho côncavo é considerada
uma grandeza positiva, enquanto a do espelho convexo é
considerada uma grandeza negativa.
Para ambos os espelhos, a distância focal f está relacionada ao raio
de curvatura r (positivo para o espelho côncavo e negativo para o
espelho convexo) por:
f r
1
2
(espelho esférico)
12
Relação entre a distância p do objeto ao espelho, a distância i da imagem ao
espelho e a distância focal f, que é
1 1 1
 
p i f
(espelho esférico)
Fig. 12 - Um objeto puntiforme O forma uma imagem puntiforme real I, por
reflexão em um espelho esférico côncavo.
13
Prova: Da figura 12 (teorema: um ângulo externo de
um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos
opostos) temos ;
   
e
ac

p
    2
ac

r
     2
ac

i
f  12 r
De (1) e (2), ficamos com
1 1 1
 
p i f
(espelho esférico)
(1)
(2)
14
1 1 2
 p  i  r  r   i  p

Das equações 
 1 1  1  p   i  f
 p i f
O tamanho do objeto, ou da imagem, medidos perpendicular
ao eixo central do espelho é chamado de altura. Na figura 5,
os comprimentos das setas O e I representa a altura ho do
objeto e a altura hi da imagem. A razão entre estas alturas é a
amplitude lateral m produzida pelo espelho. Por convenção, a
amplitude lateral sempre inclui um sinal (+), se a imagem
tem a mesma orientação do objeto; e um sinal (-) se a
orientação é contrária. Logo,
hi
m
ho
ou
i
m
(amplitude lateral)
p
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Fig. 13 – (a) Um objeto O, na margem interna ao ponto focal de um espelho côncavo,
e sua imagem virtual I. (b) o objeto no ponto focal F. (c) O objeto além do ponto focal,
e sua imagem real I.
Como traçar os Raios – Espelho Côncavo e Convexos
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Podemos localizar graficamente a imagem de qualquer ponto fora do eixo, traçando quaisquer dois
dos quatros raios especiais (veja os raios 1, 2, 3, 4 na figura abaixo):
I - Um raio paralelo ao eixo central se reflete passando pelo ponto focal (raio 1 em (a)).
II - Uma raio que passa pelo ponto focal se reflete paralelo ao eixo central (raio 2 em (a)).
III – Um raio que passa pelo centro de curvatura C se reflete retornando pelo mesmo caminho (raio 3 em (b).
IV – Um raio que tem seu ponto de reflexão na interseção do espelho com o eixo central, centro do espelho, se
reflete simetricamente, em relação ao eixo central (raio 4 em (b).
Fig. 14 – Em (a) e (b) Quatro raios podem ser desenhados para determinar a imagem de um objeto num espelho
côncavo. Para a posição mostrada no objeto, a imagem é real, invertida, e menor do que o objeto. Em (c) e (d) Quatro
raios podem ser desenhados para determinar a imagem de um objeto num espelho convexo. A imagem é sempre virtual,
com a mesma orientação do objeto, e menos do que o objeto.
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Superfícies Refratoras Esféricas
Vamos examinar imagens formadas pela refração dos raios luminosos em interfaces esféricas.
A luz será emitida por um objeto pontual O em um meio de índice de refração n1 e incidirá
em uma interfase esférica com um meio de índice de refração n2. Nosso principal interesse é
determinar se o raio luminoso, depois de refratado na interface, formarão uma imagem real
ou virtual, e isto depende dos valores relativos dos índices de refração e da geometria da
situação em questão.
Espelhos Esféricos
As imagens reais se formam do mesmo lado
do espelho em que se encontra o objeto,
enquanto as imagens virtuais se formam do
lado oposto.
1 1
1
2
 

p i
f
r
m
hi
i

ho
p
m positivo – imagem direta
m negativo – imagem invertida
Obs: espelho plano m = 1.
Interfases Esféricas
As imagens formadas por refração em uma
interfase são virtuais quando se encontram do
mesmo lado (meio) do objeto e reais quando
se encontram do lado oposto.
n1
n
n  n1
 2  2
p
i
r
m
hi
n1i

h0
n2 p
Obs: para superfície refletora plana
n1
n2

0
p
i
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Fig. 15 – Seis modos pelos os quais uma imagem pode ser formar por refração em uma superfície esférica de
raio r e centro de curvatura C. A superfície separa um meio de índice de refração n1 de um meio de índice de
refração n2. O objeto pontual O está sempre no meio de índice de n1, à esquerda da superfície. A superfície
“amarela” é q que possui maior índice de refração. Imagem reais são formadas nos casos (a) e (b), em (c), (d),
(e) e (f) são formadas imagens virtuais.
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Lentes Delgadas
Uma lente é um corpo transparente limitado por duas superfícies refratoras cujos eixos
centrais coincidem. Vamos nos limitar ao caso de lentes delgadas, isto é, de lentes nas quais a
distância objeto p, a distância da imagem i e os raios de curvatura r1 e r2 das duas superfícies
da lente são muito maiores que a espessura da lente.
Propriedades das lentes
A propriedade característica de uma lente do tipo mostrado na figura abaixo é que
todo raio paralelo ao eixo da lente que passa para o outro lado da lente converge
para o ponto F2 e forma uma imagem real nesse ponto. Tal lente é chamada de
lente convergente. O ponto F1 é chamado de primeiro foco, o ponto F2 é o
segundo foco (foco real) e a distância f é chamada distância focal.
Fig.16
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A figura abaixo mostra uma lente divergente; dois raios paralelos que incidem sobre a lente
divergente depois da refração. Os focos de uma lente divergente (ou negativa) estão em
posições invertidas em relação aos focos de uma lente convergente.
Fig.17
 Relação entre p, i e f – lentes delgadas
Fig.18
Fig.18 Os dois ângulos  são iguais, os dois ângulos  também são iguais. Os dois triângulos retângulos OQE
e IQ’E são semelhantes, os triângulos EAF2 e IQ’F2 também são semelhantes. As razões entre os lados
correspondentes dos triângulos semelhantes são iguais. Logo,
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ho
h
h
h
h
h
i
i f
  i ou i  
e o   i ou i  
p
i
ho
p
f
i f
ho
f
(1)
Igualando (1) e (2), temos
(2)
i i f i

 1
p
f
f
(3)
Dividindo (3) por i, ficamos com
1 1 1
 
p i
f
(relação objeto-imagem - lente delgada)
De acordo com (1), temos
i
m
p
(ampliação - lente delgada)
Pelo exposto acima, vimos que as equações fundamentais para as lentes delgadas
são correspondente as obtidas para espelhos esféricos.
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A equação do fabricante de lentes é dada por
1 1
1
 (n  1)   
f
 r1 r2 
As regras de sinais apresentados abaixo podem ser usadas para as superfícies
refletoras e refratoras planas e esféricas:
1. A distância do objeto p é positiva quando o objeto está do lado dos raios
incidentes sobre a superfície (objeto real) e negativa no caso contrario;
2. A distância da imagem i é positiva quando a imagem está do lado dos raios
que emergem da superfície (imagem real) e negativa caso contrário;
3. O raio de curvatura r é positivo quando o centro de curvatura está do lado
dos raios que emergem da superfície e negativo no caso contrário;
4. A ampliação m é positiva quando a imagem é direta e negativa quando ela é
invertida.