Biologia Estrutural
Ondas e Lei de Bragg
Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr.
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© 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.
Resumo
Fenômenos Ondulatórios
Pulso de Ondas
Ondas
Onda Eletromagnética
Radiação Eletromagnética
Interferência
Representação Matemática de Ondas
Lei de Bragg
Referências
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Fenômenos Ondulatórios
Fenômenos ondulatórios são comuns na
natureza, desde de exemplos bucólicos,
como uma onda formada num lago,
devido a ação da queda de uma pedra,
a fenômenos não tão óbvios, como a
propagação de ondas eletromagnéticas.
A representação gráfica, normalmente
satisfatória para os propósitos da
interação da radiação eletromagnética
com cristais, faz uso de funções
periódicas, como a função senoidal,
representada ao lado.
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Pulso de Ondas
Podemos pensar em ondas como a propagação de energia, caso essa propagação
ocorra em um meio material, como o ar, teremos ondas mecânicas, se as ondas
propagam-se no vácuo teremos ondas eletromagnéticas. As ondas sonoras são ondas
mecânicas e podem propagar-se em meios sólidos, líquidos e gasosos. Na figura
abaixo temos a propagação de um pulso de uma onda em um meio material, uma
corda. O pulso de uma onda é a propagação da pertubação através do meio.
Fonte: http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/ondas1/ondulatorio.html
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Ondas
Caracterizamos as ondas mecânicas periódicas, ou ondas periódicas, pela oscilação
dos átomos e moléculas que compõem o meio, onde a onda se propaga. A freqüência
da onda (f) é a freqüência de oscilação do átomos e moléculas do meio. O período, T
= 1 / f, é o tempo que leva para um átomo ou molécula particular passar por um ciclo
completo do movimento de oscilação. O comprimento de onda (λ) é a distância, entre
dois átomos, que oscilam em fase, ao longo da direção de propagação da onda
mecânica. Na representação abaixo temos a variação da amplitude em função da
posição x.
A
λ
x
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Ondas
A amplitude de uma onda caracteriza a grandeza física que varia com o tempo de
forma periódica, normalmente representada graficamente no eixo y do gráfico. A
amplitude pode ser o campo elétrico, o deslocamento, a intensidade entre outras
grandezas físicas. O período da onda abaixo é de 0,00227 s, o que representa uma
onda de freqüência f = 1/T = 440,5 Hz, a amplitude da onda é 1. Na representação
abaixo temos a variação da amplitude em função do tempo t.
A
Τ=0,00227s
t(s)
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Ondas
Temos uma relação simples entra o comprimento de onda, velocidade de propagação
da onda (v) e a freqüência da onda (f), que é dada por:
v = f.λ
Por exemplo: Consideremos uma onda do mar que aproxima-se da praia com
velocidade de 1,8 m/s e um comprimento de onda de 2,4 m. Com qual freqüência a
onda atinge a praia?
Solução: f = v / λ = (1,8 m/s) / (2,4 m) = 0,75 s-1 ou 0,75 Hz .
O Hertz é a unidade de medida de freqüência, e é representado por Hz.
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Ondas
Vamos considerar outro exemplo. A figura abaixo mostra uma onda. Qual é o seu
comprimento de onda? Se a frequência for de 12 Hz, qual é a sua velocidade de
propagação?
6m
Solução: O comprimento de onda é de 3 m. Vemos claramente na figura que num
total de 6 m a onda repete-se duas vezes. Com λ=3 m, temos que a velocidade de
propagação (v) é dada como segue: v = fλ = 12 Hz. 3m = 36 m/s .
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Onda Eletromagnética
São constituídas de campos elétricos (E) e magnéticos (B) oscilantes, propagandose com velocidade constante. Exemplos: raios X, radiação gama, ondas de rádio,
ondas luminosas, radiação ultravioleta, radiação infravermelha. Como não temos,
necessariamente, a oscilação de átomos e moléculas na onda eletromagnética, a
mesma pode propagar-se no vácuo, o que não acontece com ondas mecânicas.
E
x
B
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Onda Eletromagnética
E
λ
x
B
Comprimento de onda
λf=c
Velocidade da luz
freqüência
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Radiação Eletromagnética
Para ondas eletromagnéticas deslocando-se no vácuo temos:
8
λf = c = 3 .10 m/s
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Radiação Eletromagnética
Comprimento de onda (m)
Outras unidades
10-15
10-12
1,24 MeV
10-11
0,1 Å
10-10
1,0 Å
10-9
10 Å = 1 nm
10-8
100 Å
10-7
1000 Å
4000 Å
Radiação
Raios gama e raios X
Ultravioleta
Luz visível
7000 Å
10-6
1 µm
10-5
10 µm
10-4
100 µm
10-3
1 mm
10-2
1 cm
10-1
10 cm
1
300 MHz
10
30 MHz
102
3 MHz
103
1 km
Infravermelha
Ondas de rádio
Fonte: Okuno, E., Caldas, I. L., Chow, C. Física para ciências biológicas e biomédicas. Editora Harbra, 1982, pg. 3.
Interferência
Quando temos duas ou mais ondas, viajando no mesmo meio independentemente,
podemos ter situações onde elas passam uma através da outra. Temos a soma das
ondas, que pode resultar numa interferência construtiva, as amplitudes das ondas
somam-se, como na figura abaixo.
Tempo = 0
Tempo = 1
Tempo = 2
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Interferência
Interferência
construtiva
Interferência
destrutiva
Analisando-se a interferência construtiva
de ondas senoidais, como representado
nas figuras ao lado, temos que duas
ondas em fase, ondas 1 e 2, onde seus
máximos e mínimos coincidem e a onda
apresenta o mesmo comprimento de onda,
o resultado da soma das duas e uma onda
com a amplitude resultante igual à soma
das amplitudes das ondas 1 e 2. No caso
de interferência destrutiva temos as ondas
fora
de
fase,
exatamente
meio
comprimento de onda, onde o máximo da
onda 1 coincide com o mínimo da onda 2,
o resultado da soma é uma onda de
amplitude zero.
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Representação Matemática de
Ondas
Podemos representar matematicamente ondas, e consequentemente, fenômenos
ondulatórios, por meios de funções periódicas como seno e coseno, ou combinações
dessas funções. A onda ao lado pode ser representada pela seguinte função:
E1 (t) = A . sen ( ω.t) , onde A indica a amplitude da onda, ω é a freqüência angular ( ω
= 2π.f ), onde f é a freqüência.
E(t)
A
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t
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Representação Matemática de
Ondas
Vamos considerar a soma de duas ondas
(E1 e E2), ambas com mesma freqüência,
mas com amplitudes 2 u. a. e 3 u. a.,
respectivamente, como representado ao
lado, u.a. é unidade de amplitude, para
deixarmos de uma forma geral.
E1 (t) = 2.sen(ω.t)
2 u. a.
3 u. a.
E1 (t) = 2.sen(ω.t)
E2 (t) = 3.sen(ω.t)
E(t) =
E1(t) + E2(t) =
E(t) =
2.sen(ω.t ) + 3.sen(ω.t) =
5. sen(ω.t)
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E2 (t) = 3.sen(ω.t)
E(t) = 5. sen(ω.t)
5 u. a.
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Representação Matemática de
Ondas
Consideremos agora uma segunda onda (onda 2) com a mesma amplitude A,
comprimento de onda λ e deslocada um ângulo de fase α, em relação a onda 1.
Podemos representar matematicamente a onda 2 por meios da seguinte função:
E2 (t) = A . sen ( ω.t + α), onde A indica a amplitude da onda, ω é a freqüência angular
ω = 2π.f , onde f é a freqüência, α indica a fase da onda.
E(t)
A
t
α
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Representação Matemática de
Ondas
Uma onda com comprimento de onda
constante (λ) é caracterizada por duas
quantidades, a amplitude (A) e o ângulo
de fase (α). Essas duas quantidades
caracterizam um vetor de módulo (A), no
plano complexo, que faz um ângulo (α)
com o eixo dos reais. Quantidades
complexas (Z) são representadas no plano
complexo, onde o eixo x é chamado de
eixo real, e o eixo y eixo complexo.
Z = a + ib = A.cos(α) + A.sen(α) =
= A. [cos(α) + sen(α) ]
= A. eiα, onde i é o número
complexo i = (-1)1/2
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Eixo Imaginário
b
A
Z = a + ib
α
a
Eixo Real
Z = A.ei.α
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Representação Matemática de
Ondas
Eixo imaginário
E(t)
E2
α
E1
t
Eixo
Real
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α
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Representação Matemática de
Ondas
Eixo imaginário
E(t)
E1 (t) = A.sen(ω.t)
E2
E2 (t) = E1ei.α
α
E1
t
Eixo
Real
α
A somatória das duas ondas pode ser representada como
segue:
E(t) =
E1(t) + E2(t) = E1[1 + ei.α]
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Lei de Bragg
Considere um conjunto de planos
paralelos de um retículo cristalino,
como mostrado na figura ao lado,
com distância interplanar (d).
Incidindo sobre este conjunto de
planos paralelos temos raios X de
comprimento de onda λ. Podemos
analisar a difração de raios X como
se fosse resultado da reflexão dos
raios X pelos planos. Para que
ocorra difração num dado ângulo θ
é necessário que as ondas
difratada
sofram
interferência
construtiva.
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θ
θ
d
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Lei de Bragg
Analisemos a diferença de caminho
ótico dos feixes 1 e 2, indicados na
figura. O feixe 2 percorre a distância
A + B a mais que o feixe 1. Assim,
para que as ondas dos feixes 1 e 2
sofram interferência construtiva, a
diferença de caminho ótico entre elas
deve ser um número inteiro de
comprimentos de onda.
1
1
2
2
θ
θ
θ
θ
θ
A d B
θ
d
θ
A + B = 2.A = 2 d.sen θ
d
d.sen θ
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Lei de Bragg
A diferença de caminho ótico (2 d.sen
θ ) tem que ser um número inteiro de
comprimento de onda (n.λ), onde n é
inteiro, assim temos:
1
1
2
2
θ
θ
2 d.sen θ = n.λ (Lei de Bragg)
θ
θ
θ
A d B
θ
d
θ
d
d.sen θ
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Aplicação da Lei de Bragg
Num experimento típico de difração de raios X, temos a fonte de radiação o cristal e
detector, como mostrado no diagrama esquemático abaixo. Normalmente os ângulos de
difração são expressos em relação ao feixe incidente, ou seja, 2 θ.
r
o
t
c
e
t
De
2θ
θ
Fonte de raios X
θ
Cristal
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Aplicação da Lei de Bragg
Ao coletarmos dados de difração de raios X de um cristal, usando-se uma geometria
como a mostrada no slide anterior teremos picos de difração para todos os ângulos 2θ
que satisfaçam à lei de Bragg. Se graficarmos a intensidade da radiação difratada
contra o ângulo de espalhamento (2θ), teremos um gráfico com o seguinte aspecto.
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Aplicação da Lei de Bragg
Equipamentos que medem o padrão de difração de raios X são chamados de
difratômetros. Há uma grande variedade de tipos e formas de difratômetro de raios X,
dependendo do tipo de experimento que se deseja realizar. A figura abaixo mostra um
difratômetro de pó, usado para amostras policristalinas.
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Aplicação da Lei de Bragg
No caso de colocarmos um filme fotográfico para registrar a imagem de difração de
raios X, como mostrado no diagrama abaixo, teremos um padrão de difração de raios X
bidimensional, quanto mais distante o ponto de difração de raios X do ponto central da
figura (feixe direto) maior o ângulo de espalhamento (2θ).
2θ
Feixe de raios X
θ
θ
Cristal
Feixe
direto
Filme fotográfico ou placa de imagem
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Aplicação da Lei de Bragg
Consideremos um cristal cúbico primitivo com parâmetro de cela unitária a = 4 Å.
Determine a posição angular, das 4 primeiras linhas de difração de raios X desse cristal,
sabendo-se que o comprimento de onda da radiação incidente é 1,54 Å.
a=4Å
Pela lei de Bragg temos: 2 d.sen θ = n.λ , determinaremos para n=1,2,3 e 4. Isolando-se
o ângulo θ na lei de Bragg temos:
sen θ = n.λ/2.d
θ = arcsen (n.λ/2.d )
Sabemos o comprimento de onda (λ) e a distância interplanar (a = 4 Å), variando-se
o n de 1 a 4 teremos os ângulos de difração.
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Aplicação da Lei de Bragg
Para n = 1 temos:
θ = arcsen (n.λ/2.d ) = arcsen (1.1,54/2.4) = arcsen (0,1925 ) = 11,10 °
Para n = 2 temos:
θ= arcsen (n.λ/2.d ) = arcsen (2.1,54/2.4) = arcsen (0,385 ) = 22,64 °
Para n = 3 temos:
θ= arcsen (n.λ/2.d ) = arcsen (3.1,54/2.4) = arcsen (0,5775 ) = 35,28 °
Para n = 4 temos:
θ= arcsen (n.λ/2.d ) = arcsen (4.1,54/2.4) = arcsen (0,77 ) = 50,35 °
n
1
2
4
4
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θ (° )
11,10
22,64
35,28
50,35
2. θ (° )
22,20
45,28
70,56
100,70
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Referências
Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: SpringerVerlag.
Rhodes, G. (2000). Crystallography Made Crystal Clear. 2nd ed.San Diego: Academic
Press.
Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide.
2nd ed. New York: John Wiley & Sons.
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