Física II
Aluno: Vinícius Bortoloti Ruiz
n° USP: 8549174
Exercício:
26.39) Em um espectrômetro de massa, um íon de 24Mg monovalente tem massa igual a
3,983 x 10-26 kg e é acelerado através de uma diferença de potencial de 2,50 kV. Ele entra,
então, em uma região onde é defletido por um campo magnético de 557 G.
(a) Determine o raio de curvatura da órbita do íon.
(b) Qual é a diferença entre os raios das órbitas dos íons 26Mg e 24Mg? Considere que a
razão entre massas seja de 26:24.
Introdução teórica:
Quando uma partícula carregada se move através de uma região com campo magnético, a
força magnética na partícula é sempre perpendicular à sua velocidade. Portanto, a força
magnética varia a direção da velocidade, mas não seu módulo, o que nos indica que as
forças magnéticas não realizam trabalho nas partículas e não
variam a energia cinética delas.
No caso em que a velocidade de uma partícula carregada é
perpendicular a um campo magnético uniforme, como
indicado na Figura 1, a partícula se move em órbita circular,
sendo que a força magnética fornece a força centrípeta
necessária para o movimento circular. Para relacionar o raio
do círculo ao campo magnético e à rapidez da partícula, podese usar a Segunda Lei de Newton. Sendo v a velocidade, a
força magnética em uma partícula de carga q é
,
onde os vetores são representados em negrito. Como v e B
Figura 1: Partícula carregada com
velocidade perpendicular ao
campo magnético uniforme.
são perpendiculares, o módulo da força resultante é |F| = q.v.B. Segundo a Segunda Lei de
Newton:
Onde m é a massa da partícula.
Espectrômetro de massa
O espectrômetro de massa é um aparelho projetado por
Francis William Aston em 1919 com o objetivo de medir as
massas de isótopos. As medidas realizadas nos permitem
determinar a presença de isótopos e sua abundância na
natureza, como no caso do Mg, onde foi observado que, na
Terra, o Magnésio natural consiste de 78,7% de 24Mg,
10,1% de 25Mg e 11,2% de 26Mg, sendo que esses isótopos
tem razão aproximada de 24:25:26.
Pode-se observar um desenho esquemático de um
espectrômetro de massa na Figura 2 ao lado. Íons positivos
Figura 2: Desenho esquemático de
são formados bombardeando átomos com raios X ou com
um espectrômetro de massa.
um feixe de elétrons. Os íons são acelerados por um campo
elétrico e entram em um campo magnético uniforme. Se os
íons positivos partem do repouso e se movem através de uma diferença de potencial ∆V, a
energia cinética dos íons quando entram no campo magnético é igual à perda de energia
potencial q|∆V|:
|
√
|
Resolução:
Dados do exercício:
= 3,983 x 10-26 kg
∆V = 2,50 kV
B = 557 G = 557.10-4 T
q = 1.602.10-19 C
Para se entender melhor o que pede o exercício, utilizamos o esquema da Figura 2 acima.
(a)
Aplicando a Segunda Lei de Newton a um íon no espectrômetro de massa, segundo a
Equação 1, temos que:
Segundo a Equação 2, aplicando o Teorema do Trabalho – Energia Cinética para relacionar a
velocidade de um íon que entra num campo magnético com a diferença de energia
potencial pela qual é acelerado, temos:
√
Substituindo
da Equação 2 na Equação 1, temos:
√
√
Para efeito da análise dimensional, temos:
Equação 1:
[ ]
[
]
Equação 2:
[ ]
[
]
Com a substituição:
[ ]
*
(
) +
[ ]
*(
) +
Substituindo os dados do exercício na equação acima (Equação 3), temos:
√
(
Resposta:
(b)
Sabe-se que a diferença entre os raios de 24Mg e 26Mg é:
)
Portanto, utilizando-se da Equação 3:
√
√
√
(√
)
√
Utilizamos agora o fato de que a razão entre massas é de 26:24, ou seja,
(√
√
√
)
√
(√
√
√
(√
)
)
Substituindo os valores:
(√
√
(
Resposta:
)
)