GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS: IMPRESSÕES DE ESTUDANTES EM
UM PRIMEIRO CONTATO
Viviane Aparecida Bagio
Universidade Federal do Paraná
[email protected]
Emerson Rolkouski
Universidade Federal do Paraná
[email protected]
Resumo
Este artigo tem como objetivo descrever as impressões de estudantes de um curso de
Licenciatura em Matemática no seu primeiro contato com Geometrias não-euclidianas. A
apresentação deste assunto se deu na forma de uma oficina com o auxilio de softwares
computacionais em que foram tratadas com maior enfoque as Geometrias Hiperbólica e
Esférica.
Palavras-chave: Educação Matemática. Geometrias Não Euclidianas. Formação de
Professores.
Introdução
Atualmente as discussões sobre as Geometrias Não Euclidianas tem se
intensificado, uma vez que, em diversos estados (Rio Grande do Sul1 e Espírito Santo2,
por exemplo, propõe o ensino de fractais em suas diretrizes) da federação brasileira esse
conteúdo foi inserido na grade de ensino da Educação Básica.
Um dos estados que inseriu esse conteúdo em sua grade curricular foi o Paraná.
Os estudos das Diretrizes Curriculares da Educação do Estado do Paraná (DCE/PR) se
iniciaram em 2003 e, a versão oficial foi publicada em 2008. Desde então, diversas
discussões vêm sendo travadas sobre a construção das Diretrizes e, em particular, sobre
o impacto da inserção desse conteúdo.
1
Disponível em: <http://www.educacao.rs.gov.br/dados/refer_curric_vol3_2.pdf>. Acesso em:
09 abr. 2014
2
Disponível em:
<http://www.educacao.es.gov.br/download/SEDU_Curriculo_Basico_Escola_Estadual.pdf>. Acesso em:
09. Abr. 2014.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
No Paraná, os conteúdos englobados pelas Geometrias Não Euclidianas são:
Geometria Topológica, Geometria Projetiva, Geometria Hiperbólica, Geometria Fractal
e Geometria Esférica (ou Elíptica).
Diversos estudos, como por exemplo, Santos (2009) e Caldatto (2011), relatam
que os professores da rede não estavam devidamente preparados para o ensino deste
conteúdo em sala de aula. Indagamo-nos se, professores em formação, já haviam tido
contato com Geometrias Não Euclidianas e quais seriam suas primeiras impressões
quando expostos ao tema. Desta forma, procuramos um caso particular na formação
desses professores para compreender quais as suas primeiras impressões ao se deparar
com as Geometrias Não Euclidianas.
O evento descrito neste artigo ocorreu numa turma do curso de Licenciatura em
Matemática, da Universidade Federal do Paraná (UFPR), durante a disciplina de
Geometria Dinâmica (ministrada no quarto período do curso) na qual a primeira autora
desse trabalho atuava como estagiária de Prática de Docência e o segundo autor como
professor da disciplina.
As Geometrias Não Euclidianas
Nessa seção faremos uma breve incursão sobre alguns aspectos teóricos das Geometrias
Não Euclidianas, que serviram de suporte par a construção das sequências aplicadas em
sala de aula e que possibilitaram a coleta de dados para essa pesquisa
As Geometrias Não Euclidianas apareceram no século XIX na tentativa de
provar que o quinto postulado de Euclides era um teorema, podendo ser deduzido a
partir dos outros quatro postulados.
Os cinco primeiros postulados de Euclides são:
•
•
•
•
•
Postulado I: Por dois pontos distintos passa uma única reta
Postulado II: Um segmento retilíneo pode sempre ser prolongado.
Postulado III: Existe uma única circunferência com centro e raio dados.
Postulado IV: Todos os ângulos retos são iguais.
Postulado V: Se uma reta r corta duas outras retas s e t (no mesmo plano) de
modo que a soma dos ângulos interiores ( e ) de um mesmo lado de r é menor
que dois retos, então s e t, quando prolongadas suficientemente, se cortam
daquele lado de r. (figura 1)
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Figura 1: Representação do V postulado de Euclides
s


t
r
Fonte: Os Autores (2014)
Alguns matemáticos, visando a simplificar o enunciado desse postulado
propuseram outros. O mais conhecido é de autoria de John Playfair, em 1745:
Axioma de Playfair: Por um ponto P fora de uma reta r pode-se traçar uma
única reta s paralela à reta dada. (figura 2)
Figura 2: Representação do axioma de Playfair
Fonte: Os Autores (2014)
A ideia de que o postulado V poderia ser dedutível dos demais, segundo os
matemáticos da época, viria do fato de que ele não possuía uma compreensão tão
simples como os demais e, porque Euclides o utilizou somente a partir da proposição
293. As 28 primeiras proposições são válidas para qualquer outra geometria onde os
quatro primeiros postulados são verdadeiros. Na geometria euclidiana é impossível
provar a proposição 29 sem o 5º postulado.
Atualmente
diversas
geometrias
não
euclidianas
foram
estudadas
e
aperfeiçoadas. As que estão presentes na Educação Básica, geralmente, são: a
Geometria Topológica, a Geometria Projetiva, a Geometria Fractal a Geometria
Hiperbólica e a Geometria Esférica.
A Geometria Topológica é o estudo de determinadas propriedades de figuras
geométricas que se mantém depois de determinadas transformações, ou seja,
...estuda as propriedades das figuras geométricas que persistem
mesmo quando as figuras são submetidas a deformações tão drásticas
3
iguais.
Proposição 29: Quando uma reta corta duas paralelas, formam-se ângulos correspondentes
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e todas as suas propriedades métricas e projetivas são perdidas. De
fato, em uma transformação topológica, as propriedades métricas,
como forma e tamanho, podem ser destruídas, mas propriedades como
interior e exterior, ou vizinhança não são. (SILVA; LEIVAS, 2012,
p.2)
Sobre a Geometria Fractal, ela foi estudada por Benoit Mandelbrot, a partir de
diversas construções geométricas (como a Poeira de Cantor, o Triângulo de Sierpinski e
o Floco de Neve de Koch) e recebeu esse nome em meados de 1980. Ela está
relacionada com a geometria da natureza em que as irregularidades e a grandeza de
detalhes fazem parte do contexto; a geometria euclidiana seria incapaz de descrever um
brócolis ou uma samambaia, por exemplo. Ela é composta por diversas características 4 e
está ligada à teoria do caos.
A Geometria Projetiva está associada aos conceitos de ponto de fuga, linha do
horizonte, perspectivas (cônica, isométrica, cavaleira) e projeções (cônica, cônica
ortogonal, cilíndrica oblíqua). Esses conceitos estão presentes principalmente no campo
da Arte.
A Geometria Hiperbólica e a Geometria Esférica normalmente são tratadas em
comparação com a Geometria Euclidiana, uma vez que a primeira nega e a segunda
toma por inexistente o postulado das paralelas. Juntas, as três Geometrias introduzem o
conceito de curvatura5 de uma superfície (Na Geometria Hiperbólica a curvatura é
negativa, na Euclidiana é zero e na Esférica é positiva). Na figura 3, temos um exemplo
da curvatura nestas três Geometrias:
4
As características da Geometria Fractal são: autossimilaridade (uma parte se parece com o
todo), complexidade infinita, dimensão fractal, simplicidade na lei de formação e estrutura fina.
5
A curvatura gaussiana em um ponto de uma superfície indica, de certo modo, o quanto essa
superfície afasta-se de seu plano tangente em uma vizinhança desse ponto.
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Figura 3: Curvatura de um espaço
Fonte: http://ciencia.hsw.uol.com.br/a-forma-do-espaco2.htm
A Geometria Hiperbólica foi estudada por Lobachevsky (1793-1856) e Bolyai
(1802-1860) sem que um soubesse dos estudos do outro e, publicada primeiramente por
Lobachevsky. Esta geometria realiza uma negação do postulado das paralelas. Nela,
temos como um de seus modelos que uma reta é uma corda euclidiana, sem as
extremidades e é construída a partir de diâmetros ou de um arco ortogonal, ou seja, arco
de um círculo que é ortogonal ao círculo euclidiano (considerado como o plano
hiperbólico), conforme a figura 4, abaixo:
Figura 4: Retas na geometria hiperbólica
Fonte: COUTINHO, 2001, p. 45
A soma dos ângulos internos de um triângulo não é constante e é menor que
180°. O postulado das paralelas, nesta Geometria, fica reescrito da seguinte forma:
Postulado das paralelas na Geometria Hiperbólica: Por um ponto fora de
uma reta, podem ser traçadas pelo menos duas retas que não encontram a reta dada.
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Sendo assim, um teorema que decorre deste postulado é que, se existem duas
retas passando por um ponto e não interceptando uma reta dada, então, existem infinitas
retas com essa propriedade.
A Geometria Esférica foi estudada por Riemann (1826-1866) e nela ocorre a
inexistência do postulado das paralelas. Uma reta nesta geometria é uma circunferência
máxima (construída com o maior raio da esfera) e ela é a interseção da superfície
esférica com um plano passado pelo seu centro, conforme as figuras 5 e 6:
Figura 5: Reta na geometria esférica
Fonte:
http://wchaverri.wordpress.com/formas/esfer
a/
Figura 6: Reta passando por P
Fonte: http://www.bienasbm.ufba.br/M29.pdf
Nesse caso, a soma dos ângulos internos de um triângulo não é constante e é
maior que 180° e varia até 540°. Na Geometria Esférica, o postulado das paralelas é o
seguinte:
Postulado das paralelas na Geometria Esférica: Por um ponto P qualquer,
fora de uma reta r, nenhuma reta que passa por P é paralela a ela.
Nas figuras 7 e 8, abaixo, temos as retas paralelas nas três geometrias descritas e,
também, a soma dos ângulos internos do triângulo em cada uma delas:
Figura 7: A soma dos ângulos internos de um triângulo nas Geometrias Euclidiana, Hiperbólica e
Esférica
Fonte: BERLINGHOFF & GOUVEA, 2010, p. 201
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Figura 8: Axioma das paralelas nas Geometrias Euclidiana, Hiperbólica e Esférica
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm35/nao_euclideanas.htm
Uma das relações interdisciplinares que podem ser realizadas a partir da
Geometria Esférica ocorre com relação à geometria da superfície da Terra, onde os
meridianos são semirretas, a linha do Equador é uma reta, os pólos são antípodas6 e os
paralelos são circunferências menores (não constituindo uma reta nesta geometria),
como nas figuras 9 e 10 a seguir:
Figura 6: Globo terrestre
Fonte: http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo3/imagens/globo-terre.gif
6
Pontos antípodas são aqueles que estão a uma distância igual ao diâmetro da esfera e pertencem
à mesma reta (ou circunferência) como é o caso dos pólos norte e sul.
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Figura 7: Paralelos e Meridianos
Fonte: http://latitude0.files.wordpress.com/2009/06/7a0daparalelos2be2bmeridianos.jpg?w=531&h=319
Apresentação e análise dos dados
Apresentaremos os comentários dos alunos presentes. Do total de 15 alunos
matriculados, onze deixaram sua impressão sobre o conteúdo de Geometrias Não
Euclidianas. Dos alunos que se manifestaram sobre as Geometrias Não Euclidianas,
optamos por considerar apenas nove comentários, uma vez que, dois desses alunos
matriculados são do curso de Bacharelado em Expressão Gráfica e, estamos
considerando os alunos da Licenciatura em Matemática. Os alunos participantes não
foram mencionados, mas os identificaremos por Ax onde A significa aluno e x um
número aleatório atribuído a ele. Abaixo temos os comentários:
“As Geometrias não Euclidianas, causam um impacto em tudo que apenas havia
conhecido para a Geometria, dentro do ensino. Através dela conseguimos ver um outro
lado do mundo matemático, mas vemos o quanto não conhecemos do que talvez usamos
diariamente e de maneira indireta. Para o ensino superior é indispensável adquirir esse
conhecimento, e para melhor desenvolvimento do ensino básico. Deixando essas
geometrias mais atrativas e acessível aos alunos e fazendo com que haja mais interesse
no aprendizado desse assunto”. (A1)
“Minha primeira impressão é que pode ser um pouco complicado no começo,
pois perdemos algumas noções básicas sobre a geometria euclidiana, como a noção de
reta por exemplo. Mas acredito sim que poderia ser incluído no ensino básico, pois
poderíamos nos preparar e conhecer desde cedo, além de que é um assunto
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extremamente interessante, e nos faz pensar como muita coisa pode mudar dependendo
da região (plano, espaço) em que você está trabalhando”. (A2)
“A impressão que eu tinha a respeito das Geometrias Não-Euclidianas, antes de
ter essas aulas, era de uma matéria difícil e complexa. Mas com essas aulas, consegui
perceber que é um assunto prazeroso e útil de aplicar em salas de aula. E a Geometria
Não-Euclidiana deve ser utilizada sim em salas de aula, tanto no ensino superior como
no ensino básico, pois assim os alunos podem realmente visualizar as Geometrias,
montar e criar suas respectivas formas tanto em softwares, como em materiais
concretos, pois assim os alunos tem mais vontade de estudar tal assunto”. (A3)
“Acho que vai ajudar bastante aos futuros estudantes de ensino médio,
fundamental e superior, a compreender retas paralelas na circunferência. Na minha
visão, não compreendi muito bem por falta de aula, mas é bastante interessante no
ponto de vista geométrico”. (A4)
“Sobre a utilidade para o ensino superior é muito útil, pois há aplicações em
diversas áreas, além da matemática, física e áreas abstratas. Para o ensino
médio/básico, seria algo que deve ser citado, mas não mostrado ou demonstrado, para
entender as não-euclidianas é necessário entender as euclidianas. Esta área é
importante sim, mas é uma área bem específica, por isso acredito que no ensino básico
deve apenas ser citado”. (A5)
“Ao se tratar de Geometria Não-Euclidiana, foi um tema que não foi abordado
na escola. É uma geometria interessante de se passar aos alunos, nas várias formas de
ser explorado com softwares e materiais manipuláveis”. (A6)
“Minha primeira impressão sobre as Geometrias Não Euclidianas foi
“assustadora”, estamos tão acostumados com a geometria euclidiana que as não
euclidianas parecem estar fora do comum. É difícil pensar em um triângulo com as
somas dos ângulos internos maiores que 180º. Mas o que ficou mais confuso foi as
definições de paralelas. Mas, apesar de tudo foi legal aprender algo diferente. Acho
que ensinar isso no ensino básico confundiria muito até a cabeça das crianças”. (A7)
“Minha primeira impressão sobre as Geometrias não Euclidianas foi
fascinante, por causa dos trabalhos apresentados em aula que usavam essa geometria.
Fiquei um pouco confusa a respeito da definição de retas paralelas na geometria
hiperbólica que diz que existe uma infinidade de retas paralelas a inicial. Espero
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aceitar isso como verdade logo. Seria interessante apresentar esse conteúdo nas
escolas, de uma forma que não venha confundir a mente dos alunos”. (A8)
“As Geometrias Não-Euclidianas não seria útil para o ensino básico, pois
acredito que irá confundir os alunos. No ensino superior, essa geometria também não
seria útil, porém interessante. E de primeira impressão, achei completamente confuso”.
(A9)
Na sequência, apresentamos algumas análises que decorrem do depoimento dos
alunos. Essas análises vêm da concordância ou não do ensino desse conteúdo e algumas
preocupações que esse conteúdo carrega, conforme observamos nas tabelas 1 e 2:
Tabela 1: Geometrias Não Euclidianas no ensino
ALUNOS
INTERPRETAÇÃO
A FAVOR
CONTRA
NÃO SE
MANIFESTOU
Geometrias Não
A1; A2; A3; A4;
Euclidianas na
A8; A5
A7; A9
A6
-
A2; A7; A8; A9;
Educação Básica
Geometrias Não
A1; A3; A4; A5
Euclidianas no
A6
Ensino Superior
Fonte: A Autora (2014)
Tabela 2: Ensino de Geometrias não Euclidianas
Preocupações relacionadas ao ensino de
ALUNOS
Geometrias Não Euclidianas
Como ensinar Geometrias Não Euclidianas
A3; A6
Geometria Euclidiana antes da Não Euclidiana
A5
Fonte: A Autora (2014)
Tendo em vista que a amostra era pequena, não foi possível agrupar as falas em
mais categorias. Por outro lado, os resultados indicam que nenhum dos alunos ouviu
falar das Geometrias Não-Euclidianas, além de terem sido realizados comentários que a
caracterizavam como interessante e útil, por um lado, a inútil e confusa de outro.
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Conclusões
Estas foram as principais impressões relatadas pelos alunos participantes desse
estudo. Certamente que a maneira que apresentamos os conteúdos tem influencia direta
nos resultados obtidos. Procuramos ser bastante intuitivos no início e aos poucos
formalizávamos os conceitos juntamente com os alunos, como preconizam estudos da
área de Educação Matemática. No entanto, percebemos algumas falhas didáticas, em
particular pelo pouco tempo que destinamos a alguns conceitos que se mostraram
complexos.
Importante ressaltar que nenhum dos alunos relatou ter ouvido o nome deste
conteúdo antes, mesmo para os que residem no estado do Paraná, em que o currículo
prevê este ensino desde o ano de 2008.
Outra preocupação dos discentes vem do fato de como ensinar esse conteúdo,
uma vez que, como foi relatado por um aluno (A7) “estamos tão acostumados com a
geometria euclidiana que as não euclidianas parecem estar fora do comum”. Essa
preocupação pode ser suprida nas características do conhecimento caracterizado,
apresentado por Richit e Maltempi, onde nos preocupamos com os conhecimentos
matemático, tecnológico e pedagógico. Ou seja, o ensino deste conteúdo deve ser
perpassado pela matemática, pois “é uma geometria interessante de se passar aos alunos,
nas várias formas de ser explorado com softwares e materiais manipuláveis” (A11), sem
se esquecer de uma preparação do professor “de uma forma que não venha confundir a
mente dos alunos”. (A8)
A partir das Geometrias Não Euclidianas “conseguimos ver um outro lado do
mundo matemático, mas vemos o quanto não conhecemos do que talvez usamos
diariamente e de maneira indireta” (A1). Quanto à sua utilidade, “para o ensino superior
é muito útil, pois há aplicações em diversas áreas, além da matemática, física e áreas
abstratas” (A10).
O que podemos concluir é que o seu ensino é bem aceito por esses alunos, desde
que o professor tenha cautela em relacionar essas geometrias à euclidiana e, também
que os alunos compreendam as definições da geometria euclidiana, principalmente os
conceitos de paralelas.
Acreditamos, que, embora o presente estudo tenha sido realizado com poucos
alunos, traz alguns elementos que podem contribuir para a prática do professor da
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Educação Básica e Superior, na medida em que nos auxilia a refletir sobre que conceitos
devem-se ensinar dentre dessas geometrias que podem ser assimilados pelos alunos dos
diversos níveis de ensino. Além disso, observa-se a importância de se refletir sobre
metodologias adequadas em sua abordagem para se evitar o impacto negativo de alguns
conceitos aparentemente complexos.
Referências
BERLINGHOFF, William P; GOUVÊA, Fernando Q. A matemática através dos
tempos: um guia fácil e prático para professores e entusiastas. Tradução: Elza
Gomide e Helena Castro. São Paulo: Editora Blucher, 2008.
CALDATTO, Marlova Estela. O processo coletivo de elaboração das Diretrizes
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COUTINHO, Lázaro. Convite às geometrias não-euclidianas. 2. ed. Rio de Janeiro:
Interciência, 2001.
KALEFF, A. M.; NASCIMENTO, R. S. Atividades introdutórias às geometrias nãoeuclidianas: o exemplo da geometria do táxi. Boletim GEPEM. Rio de Janeiro, n. 44,
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RICHIT, Adriana; MALTEMPI, Marcus Vinicius. Pesquisas em Formação Inicial e
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ROBOLD, A. I. Geometria não euclidiana. In: EVES, H. Tópicos de história da
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SANTOS, Talita Secorun dos. A inclusão das Geometrias Não-Euclidianas no
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SILVA, Erilúcia Souza da; LEIVAS, José Carlos Pinto. Um Estudo sobre
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In: XVI EBRAPEM - Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em
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ULBRA-RS, 2012.