UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE – Faculdade de Engenharia
Transmissão de calor
3º ano
Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu
1
Aula 7 * 3.6 Superfícies Estendidas


Balanço de energia para uma face
Alhetas com secção uniforme








Alheta que perde calor por convecção pela sua
extremidade
Alheta com a extremidade isolada
Alheta com temperatura prescrita na sua extremidade
Alheta com comprimento infinito
Eficiência da alheta
Desempenho da alheta
Comprimento adequado da alheta
Transferência de Calor em Configurações
Usuais
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2
3.6 Superfícies Estendidas
O termo superfície estendida é comummente usado
em referência a um sólido onde há transferência de
energia por condução no interior de suas fronteiras e
transferência de energia por convecção (e/ou
radiação) entre suas fronteiras e a vizinhança.
Em diversas condições de engenharia usam-se
superfícies estendidas para aumentar a eficiência de
troca de calor, quer na colecta de energia (colectores
solares) quer na sua dissipação (motores).
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3
3.6 Superfícies Estendidas
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4
3.6 Superfícies Estendidas
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5
3.6 Superfícies Estendidas
O principio físico que justifica o uso das alhetas é simples.
Baseando-se na Lei de Newton pode-se escrever:
Q  hAs Ts  T 
Onde:
h – é o coeficiente de troca de calor por Convecção;
As – é a área superficial;
Ts – é a temperatura superficial;
T∞ - é a temperatura do fluído ambiente.
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6
3.6 Superfícies Estendidas
Para aumentar a dissipação de calor pode-se aumentar h, As e
a diferença das temperaturas.
O aumento de h pode se conseguir com o aumento da
velocidade do fluido (convecção forçada).
Aumentar a diferença de temperaturas pode-se conseguir com
o abaixamento da temperatura ambiente.
A forma mais fácil de se conseguir o aumento da dissipação de
calor é aumentando a área superficial.
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7
3.6 Superfícies Estendidas
Condução Estacionária transmissão de calor através de uma alheta
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8
3.6 Superfícies Estendidas
Exemplos de funcionamento de alhetas
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9
3.6 Superfícies Estendidas
Alguns tipos de alhetas
Alheta
longitudinal de
perfil
rectangular
Alheta
longitudinal
de perfil
triangular
Tubo
cilíndrico
com alheta
radial de
perfil
rectangular
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Pino cónico
truncado
10
3.6 Superfícies Estendidas
Supondo que a base da alheta esteja a uma
temperatura superior à do meio ambiente. Numa
secção de comprimento elementar Δx localizada
no meio da alheta tem-se energia entrando por
condução, no material desse elemento, e por outro
lado energia saindo também por condução e não
se pode esquecer da parcela que sai para o meio
ambiente por convecção.
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11
3.6.1 Balanço de energia para uma face
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12
3.6.1 Balanço de energia para uma face
As hipóteses a serem usadas são:
 Regime permanente e ausência de fontes internas;
 Temperatura constante do fluído longe da alheta;
 As propriedades térmicas do material não variam com a
temperatura;
 As alhetas são finas, assim pode-se modelar a situação como
unidimensional;
 O Coeficiente de transferência de calor por convecção é
constante ao longo da alheta;
 A temperatura da superfície da base da alheta é a mesma que a
da superfície primária.
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13
3.6.1 Balanço de energia para uma face
Calor que entra
por condução
no elemento
em x
Calor que sai por
condução o
elemento em x +
Δx
Calor que sai
por
convecção
do elemento
Q cond, x  Q cond, x  dx  Q conv
(3.54)
Onde:
Q conv  hAs T  T 
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14
3.6.1 Balanço de energia para uma face
Substituindo e dividindo-se por Δx obtém-se:
dQ cond
A
 h s T  T   0
x
x
(3.55)
Calculando-se o limite quando Δx → 0 obtém-se:
(3.56)
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15
3.6.1 Balanço de energia para uma face
Da lei de Fourier para a condução obtém-se:
dT
Q cond  kAc
dx
(3.57)
Substituindo em 3.56 chega-se a:
ou
d 2T  1 dAc  dT  1 h dAs 

(T  T )  0
 
 
2
dx
 Ac dx  dx  Ac k dx 
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(3.58)
16
3.6.2 Alhetas com secção uniforme
P  2w  2t
Ac  wt
P  D
Ac  D 2 4
Daqui, depreende-se que:
dAc
0
dx
e
dAs
p
dx
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17
3.6.2 Alhetas com secção uniforme
Então a equação geral transforma-se em:
d 2T hp
T  T   0

2
dx
kAc
(3.59)
Fazendo:
 x   T ( x)  T
(3.60)
Então:
d dT

dx dx
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(3.61)
18
3.6.2 Alhetas com secção uniforme
Assumindo que:
hP
m 
kAc
2
(3.62)
A equação fica:
d 2
2
m   0
2
dx
(3.63)
A solução geral desta equação de segunda ordem é:
 ( x)  C1e  C2e
mx
 mx
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(3.64)
19
3.6.2 Alhetas com secção uniforme
Uma das condições é a temperatura na base (x=0)
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 (0)  Tb  T   b
20
3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
As alhetas, na prática, são expostas ao ambiente e,
portanto, a condição de contorno adequada para a ponta
da alheta é a convecção, que também inclui os efeitos da
radiação. A equação da alheta pode ainda ser resolvida,
neste caso, utilizando a convecção na ponta da alheta
como a segunda condição de contorno, mas a análise
torna-se complexa e resulta em expressões da
distribuição da temperatura e da transferência de calor
complicadas.
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21
3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
Em geral, a área da ponta da alheta é uma
pequena fração da área total da superfície da
mesma, assim, as complexidades envolvidas na
solução da equação, dificilmente podem justificar
uma melhora na exactidão.
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22
3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
Para determinar as constantes C1 e C2 na Equação 3.64, é
necessário estabelecer as condições de contorno.
Q b  Q f
hAc T ( L)  T 
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23
3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
dT
hAc T ( L)  T   kAc
dx
(3.65)
xL
ou
h ( L)  k
d
dx
(3.66)
xL
dai:
 b  C1  C2


e:

h C1emL  C2e mL  km C2e mL  C1emL
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(3.67)

(3.68)
24
3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
logo, a distribuição das temperaturas é dada por:

cosh m( L  x)  (h mk ) sinh m( L  x)

b
cosh mL  (h mk ) sinh mL
(3.69)
O calor perdido pela alheta calcula-se de:
dT
Q f  Q b  kAc
dx
 kAc
x 0
d
dx
(3.70)
x 0
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25
3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
Que resulta em:
sinh mL  (h mk ) cosh mL
Q f  hPkAc b
cosh mL  (h mk ) sinh mL
(3.71)
Uma outra forma que integra as perdas de calor por convecção
é:
Q f   hT ( x)  T  dAs
Af
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(3.72)
26
3.6.2.2 Alheta com extremidade isolada
As alhetas não são susceptíveis de ser tão longas
que a sua temperatura se aproxime da temperatura
ambiente na ponta. Uma situação mais realista é a
transferência de calor da ponta da alheta ser
desprezada dado que a transferência de calor da
alheta é proporcional à sua superfície e a superfície
da ponta da alheta é geralmente uma fracção
insignificante da área total da alheta. A ponta da
alheta pode ser considerada como isolada.
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27
3.6.2.2 Alheta com extremidade isolada
A condição de contorno na ponta da alheta pode ser expressa
por:
d
dx
0
(3.73)
x L
então:
C1emL  C2emL  0
(3.74)
O perfil de temperaturas toma o seguinte aspecto:
 cosh m( L  x)

b
cosh mL
(3.75)
O calor dissipado pela alheta avalia-se de:
Q f  hPkAc b tanh mL
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(3.76)
28
3.6.2.2 Alheta com extremidade isolada
Quando se refere a uma alheta cuja extremidade se encontra
isolada, é muito frequente usar-se o conceito de comprimento
corrigido Lc que permite usar as expressões relativas à alheta
com convecção no seu extremo, com um erro não superior a 8%.
Lc  L 
Ac
p
(3.77)
Usando as relações próprias de Ac e p para alhetas de secção
rectangular e circular os comprimentos corrigidos ficam
respectivamente :
Lc,rectangular  L 
t
2
Lc,circular  L 
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D
4
29
3.6.2.2 Alheta com extremidade isolada
O comprimento corrigido
Lc é definido como o
comprimento de uma
alheta com o extremo
isolado, que transfere o
mesmo calor que uma
alheta de comprimento L
com convecção no
extremo.
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30
3.6.2.3 Alheta com temperatura prescrita
na sua extremidade
Se a temperatuira da alheta no seu extremo for
medida, igual a TL a segunda condição de
contorno pode ser dada como: em X = L, θ = θL.
  L  T  L
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31
3.6.2.3 Alheta com temperatura prescrita
na sua extremidade
Da condição de contorno resulta:
(3.78)
 ( L)   L
O perfil de temperaturas é dado por:
 ( L  b ) sinh mx  sinh m( L  x)

b
sinh mL
(3.79)
O calor dissipado pela alheta é calculado de:
cosh mL   L b
Q f  hPkAc b
sinh mL
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(3.80)
32
3.6.2.4 Alheta com comprimento infinito
Para a alhetas suficientemente longas com
secção transversal constante (Ac=constante), a
temperatura da alheta no seu extremo tenderá
para a temperatura ambiente T∞ e portanto θ
tenderá para zero. Isto é:
  L   T  L   T  0
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33
3.6.2.4 Alheta com comprimento infinito
Da condição de contorno resulta:
 ( L)  0
(3.81)
O perfil de temperaturas é dado por

 e  mx
b
(3.82)
O calor dissipado pela alheta é calculado de:
Q f  hPkAc b
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(3.83)
34
3.6.2.4 Alheta com comprimento infinito
Variação de
temperatura ao
longo de uma alheta
longa circular de
secção constante.
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35
3.6.3. Eficiência da alheta
Transferência de
calor real e ideal em
uma alheta.
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37
3.6.3. Eficiência da alheta
Eficiência
da
alheta
Calor realmente transferido pela alheta
=
=
a
Calor que seria transferido se toda alheta
estivesse à temperatura da base
Para o caso da alheta com extremidade isolada pode-se escrever:
hPkA b tanh mL tanh mL
a 

hPL b
mL
(3.84)
Se as alhetas forem suficientemente delgadas para o fluxo de
calor ser considerado unidimensional pode-se escrever:
mL 
hP
h(2 z  2t )
L
L
kA
kzt
(3.85)
Onde: z – é a profundidade da alheta e t - a sua espessura
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38
3.6.3. Eficiência da alheta
Partindo do principio que a alheta é suficientemente delgada
2z>>2t, escreve-se:
mL 
2hz
2h
L
L
ktz
kt
(3.86)
Multiplicando o numerador e denominador por L(1/2) obtém-se:
mL 
2h 3 2
L
kLt
Lt é a área do perfil da alheta que define-se como Am= Lt, assim:
mL 
2h 3 2
L
kAm
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(3.87)
39
3.6.3. Eficiência da alheta
Para uma situação
em que se tem um
arranjo de várias
alhetas, tem de se
tomar em conta as
áreas, com e sem
alhetas, para se
fazer o cálculo da
eficiência do arranjo.
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40
3.6.3. Eficiência da alheta
Q t
Q t
t   
Qmax hAt b
(3.88)
Sendo:
At  NAa  Ab
(3.89)
Ou por outra:
NAa
1 a 
t  1 
At
(3.90)
Onde:
N - é o número de alhetas
Aa = Af - área da alheta
Ab – área da superfície primária
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41
3.6.3. Eficiência da alheta
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42
3.6.3. Eficiência da alheta
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43
3.6.4. Desempenho da alheta
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44
3.6.4. Desempenho da alheta
Em alguns casos um método válido de avaliar o desempenho de
uma alheta é comparar o calor transferido com a alheta com
aquele que seria transferido sem a alheta. A razão entre as
quantidades é:
Q com alheta  a Aa h b Aa

 a
(3.91)

Q
hA 
A
sem alheta
b b
b
Onde Aa é a área superficial total da alheta Ab a área da base da
alheta. Para a alheta de extremidade isolada pode-se escrever:
Aa  pL e
Ab  A
Qcom alheta tanh mL

Qsem alheta
hA kP
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(3.92)
(3.93)
45
3.6.4. Desempenho da alheta
A taxa de transferência de calor para uma alheta suficientemente
longa consegue-se substituindo na fórmula anterior a de
transferência de calor para essa situação dada pela Equação 3.82
Q com alheta
 alheta longa  

Qsem alheta
Aa hpkb
kp

hAb b
hAb
(3.94)
Para determinar a taxa de transferência de calor de uma região
alhetada tem de se ter em consideração a parte da superfície que
não está alhetada bem como a área das alhetas.
  hA    hA 
Q  Q  Q
a ,tot
ñ alh
alh
ñ alh b
 h Añ alh   alh Aalh  b
alh
alh b
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(3.95)
46
3.6.4. Desempenho da alheta
A eficácia global para uma
região alhetada é dada pela
seguinte equação:
Q total alheta
 alheta,total  
Qtotal sem alheta

h Añ alh   alh Aalh  b
hAsem alheta b
(3.95)
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47
3.6.5 Comprimento adequado da alheta
Devido a perda gradual
de temperatura ao longo
da alheta, a região perto
do extremo da alheta
contribui em pouco ou
em nada para a
transferência de calor.
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48
3.6.5 Comprimento adequado da alheta
Para se ter a sensibilidade do comprimento adequado de uma
alheta, compara-se o calor transferido pela alheta de
comprimento finito com o de uma de comprimento infinito às
mesmas condições, que é dado pela expressão seguinte:
hpkAa  b tanh mL
Q com alheta
 alheta longa  

 tanh mL
Qsem alheta
hpkAa  b
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(3.97)
49
Exemplo 7.1
Se o valor do coeficiente de convecção for grande a alheta pode originar uma
redução na transferência de calor porque a resistência à condução representa
então um impedimento maior ao fluxo de calor que a resistência a convecção.
Considere-se uma alheta de aço inoxidável em forma de pino com k = 16
W/m·ºC, L=10 cm, d = 1 cm exposta a uma situação de transferência de calor
por convecção, de água em ebulição onde h = 5000 W/m2 oC
Solução

Q
tanh mL
   com alheta 
Qsem alheta
hA kP




 5000 110  2 41 2

tanh 
10 10  2

2
2
 16 110


12
 5000 110  2 2 

2 
 (4)(16) (110 ) 







 1,13

Um pino relativamente grande aumenta a área de transferência de calor em
13% somente.
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50
3.7 Transferência de Calor em
Configurações Usuais
Até agora, foi considerada a transferência de calor em
geometrias simples, como grandes paredes planas,
cilindros longos e esferas. Isso ocorreu porque a
transferência de calor em geometrias pode ser
aproximada a unidimensional e soluções analíticas
simples podem ser facilmente obtidas. Mas muitos
problemas na prática, são de duas ou três dimensões e
envolvem geometrias bastante complicadas para as
quais não há soluções simples disponíveis.
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51
3.7 Transferência de Calor em
Configurações Usuais
Uma importante classe de problemas de transferência de calor
para os quais soluções simples são obtidas, engloba aquelas
que envolvem duas superfícies mantidas a temperaturas
constantes T1 e T2. A taxa constante de transferência de calor
entre as duas superfícies é expresso como:
Q  Sk T1  T2 
(W)
(3.96)
Onde: S é o factor de forma de condução, que tem a dimensão
de comprimento, e k é a condutividade térmica do meio entre as
superfícies. O factor de forma de condução depende somente da
geometria do sistema.
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52
3.7.1 Factor de Forma de Condução
(1) Cilindro isotérmico de
(2) Cilindro vertical isotérmico, de
comprimento L, enterrado em um
comprimento L, enterrado em um
meio semi-infinito (L>> D e z> 1.5D) meio semi-infinito (L>> D)
2 L
S
ln  4 z D 
2 L
S
ln  4 L D 
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53
3.7.1 Factor de Forma de Condução
(3) Dois cilindros isotérmicos
(4) Fila de cilindros isotérmicos
paralelos colocados num meio infinito paralelos equidistantes enterrados
(L>> D1, D2, z)
num meio semi-infinito (L>> D, Z e
W> 1.5D) (por cilindro)
2 L
S
2
2
2


4
z

D

D
1
1
2
cosh 

2
D
D

1 2

2 L
S
2 z 
 2w
ln 
sinh

w 
D
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54
3.7.1 Factor de Forma de Condução
(5) Cilindro isotérmico de
(6) Cilindro isotérmico de
comprimento L num plano intermédio comprimento L no centro de uma
de uma parede infinita (z> 0,5D)
barra quadrada sólida do mesmo
comprimento
2 L
S
ln  8 z  D 
S
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2 L
ln 1, 08 w D 
55
3.7.1 Factor de Forma de Condução
(7) Cilindro excêntrico isotérmico de
comprimento L em um cilindro do
mesmo comprimento (L> D2)
(8) Grande parede plana
2 L
S
2
2
2


D

D

4
z
1
1
2
cosh 

2
D
D

1 2

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S
A
L
56
3.7.1 Factor de Forma de Condução
(9) Camada cilíndrica
(10) Passagem de fluxo quadrada
para a b  1, 4
2 L
S
0,93ln  0,948 a b 
2 L
S
ln  D2 D1 
para a b  1, 41
2 L
S
0, 785ln  a b 
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57
3.7.1 Factor de Forma de Condução
(11) Camada esférica
S
2 D1 D2
D2  D1
(12) Disco enterrado num meio
infinito paralelamente a superfície
(z>>D)
S  4D
 S  2D quando z  D 
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58
3.7.1 Factor de Forma de Condução
(13) Canto entre duas paredes
adjacentes de espessura igual
(14) Canto entre três paredes
adjacentes de espessura igual
S  0,15L
S  0,54w
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59
3.7.1 Factor de Forma de Condução
(15) Esfera isotérmica enterrada num
meio semi-infinito
S
(16) Esfera isotérmica enterrada em
um meio semi-infinito a T2 cuja
superfície encontra-se isolada
2 D
1  0, 25D z
S
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2 D
1  0, 25D z
60
Exemplo 7.2
Um tanque cilíndrico 0,6 m de diâmetro e 1,9 m de comprimento,
contendo gás natural liquefeito (GNL) a -160 ° C é colocado no
centro de uma barra quadrada sólida de 1,9 m de comprimento,
1,4 m x 1,4 m de secção, feita de um material isolante com k =
0,0006 W/m °C. Se a temperatura da superfície externa da barra
for de 20 °C, determinar a taxa de transferência de calor para o
tanque. Determinar também a temperatura de GNL após um mês.
Considere a massa específica e o calor específico do GNL , 425
kg/m3 e 3,475 kJ / kg° C, respectivamente.
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61
Exemplo 7.2 (Solução I)
Um tanque cilíndrico contendo gás natural liquefeito (GNL) é
colocado no centro de uma barra quadrada sólida. Devem ser
determinadas a taxa de transferência de calor para o tanque e a
temperatura do GNL ao fim de um mês.
Pressupostos: 1 O regime é permanente. 2 A transferência de
calor é bidimensional (sem alteração no sentido axial). 3 A
condutividade térmica da barra é constante. 4 A superfície do
tanque está a mesma temperatura que o gás natural liquefeito.
Propriedades: A condutividade térmica da barra é dada k =
0,0006 W /m°C. A massa específica e o calor específico do GNL
são 425 kg/m3 e 3,475 kJ/kg°C, respectivamente,
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Exemplo 7.2 (Solução II)
Análise: O factor de forma para esta configuração é dado na
Figura (6)
20C
S
2 L
2 (1,9 m)

 12,92 m
1, 4 m 
 1, 08w 

ln 
ln
1,
08


0, 6 m 
 D 

-160C
D = 0,6 m
1,4 m
L = 1,9 m
O calor transferido determina-se de:
Q  Sk (T1  T2 )  (12,92 m)(0,0006 W/m C) 20  (160) C  1, 395 W
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Exemplo 7.2 (Solução III)
A massa de GNL é dada por:
D3
(0, 6 m)3
3
m  V  
 (425 kg/m )
 48, 07 kg
6
6
O calor transferidopelo tanque no período de um mês:
Q  Qt  (1,395 W)(30  24  3600 s)  3615840 J
A temperatura do gás natural ao fim de um mês calcula-se de:
Q  mC p (T1  T2 )
3615840 J  (48,07 kg)(3475 J/kg.C) (160)  T2  C
T2  -138, 4C
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