Centro Federal de Educação Tecnológica
Unidade de Nova Iguaçu
Ensino de Graduação
Matemática
Exercícios de Cálculo 3
Curvas Parametrizadas
Lista 2
1) Uma curva parametrizada α : I ⊂ R → Rn suave é dita SIMPLES quando para todo t1 6= t2 ∈
I = (a, b) tivermos α(t1 ) 6= α(t2 ), ( (A curva não possui interseções, isto é, possui uma única
reta tangente em cada ponto do intervalo I ). Diga quais das curvas abaixo são simples:
• a) α(t) = (sen(3t)cos(t), sen(3t)sen(t)) onde I = [ π4 , 3π
4 ];
3
• b) α(t) = (t2 , t3 − t) onde I = [ −3
2 , 2 ];
• c) α(t) = (2t − πsen(t), 2 − πcos(t)) onde I = [0, 2π];
• d) α(t) = (t − π2 sen(t), tcos(t), sen(t)cos(t)) onde I = [−π, π];
• e) α(t) = (t, 1, cos(t)) onde t ∈
R.
2) Para cada item abaixo, esboce o traço da parametrização dada, (escolha um intervalo I apropriado).
√
√
√
a) α(t) = ( 2cos(t), 2sen(t), 2);
b) α(t) = (tcos(t), tsen(t));
c) α(t) = (tcos(t), tsen(t), t);
d) α(t) = (t, t, et );
e) α(t) = (t + 2, et+2 );
f) α(t) = (t, 1, cos(t));
g)α(t) = (t − 1, t2 + 3t + 2);
h)α(t) = (t, t, 1t ).
3) Escreva as equações paramétricas das curvas abaixo. Tente deduzir, pelas equações paramétricas
qual o traço da curva.
a) α(t) = (πcos(2t), πsen(2t));
e) α(t) = (t, t3 );
b) α(t) = (1 + cos(et ), −1 + sen(et ), 1);
f) α(t) = (t3 , t3 , t3 );
c) α(t) = ( 12 sen(t), 12 cos(t));
g) α(t) = (2 + cos(t), 1 − 2sen(t));
d) α(t) = (tcos(t), tsen(t), t);
h) α(t) = (2cos(t), 3sen(t));
4) A curva parametrizada α(t) = (cos(t), 1 + sen(t), 2 − 2sen(t)) com I = [0, 2π) é uma curva
que está contida na interseção de duas superfícies bem conhecidas, (trabalhadas em sala). Diga
quais são estás superfícies.
p
5) Para as curvas α(t) = (t, 1 − t2 ) e β(t) = (t2 , t3 − t) Determine em qual ponto coincidem, para
I = [2, 2]. Escreva a equação das retas tangentes à cada curva neste ponto e diga qual o ângulo
entre elas. (Cuidado com este ponto na segunda curva! São três retas tangentes).
6) Escreva as equações paramétricas de uma elipse de eixos maior a e eixo menor b.
1
7) Dada uma parametrização α : I ⊂ R → Rn e uma função real bijetora β : J ⊂ R → I denimos
uma reparametrização da curva como sendo a aplicação α ◦ β : J ⊂ R → Rn
Note que o traço não se altera quando fazemos reparametrizações. Para as curvas abaixo, encontre
uma reparametrização que mude sua orientação e o tempo para percorrer todo o trajeto.
• a) α(t) = (sen(3t)cos(t), sen(3t)sen(t)) onde I = [ π4 , 3π
4 ];
3
• b) α(t) = (t2 , t3 − t) onde I = [ −3
2 , 2 ];
• c) α(t) = (2t − πsen(t), 2 − πcos(t)) onde I = [0, 2π];
• d) α(t) = (t − π2 sen(t), tcos(t), sen(t)cos(t)) onde I = [−π, π];
• e) α(t) = (t, 1, cos(t)) onde t ∈
R.
8) Determine as equações das duas retas tangentes ao traço da parametrização
α(t) = (2t − πsen(t), 2 − πcos(t)) I = [0, 2π]
no ponto em que ela se intercepta, determine o ângulo entre elas.
3) Calcule o comprimento das curvas abaixo:
a) α(t) = 2tcos(t)~i + 2tsen(t)~j +
√ √
4 2( t)3 ~
k
3
onde t ∈ [0, 2π];
b) α(t) = et cos(t)~i + et sen(t)~j onde t ∈ [0, π];
c) α(t) = t2~i + (sen(t) − tcos(t))~j + (cos(t) + tsen(t))~k onde t ∈ [0, π];
√
d) α(t) = ( 2.t, et , e−t ) onde t ∈ [0, 1];
2