MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO
Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas - ICEB
Departamento de Matemática - DEMAT
Mestrado Profissional em Educação Matemática - Seleção 2008
Prova 2: Conhecimentos Matemáticos
CPF: ___________________________
Observe os seguintes pontos:
• Não se identifique (nem mesmo indiretamente, por exemplo, via
menção a características de seu memorial ou área de interesse);
• Coloque na folha de resposta apenas o número de seu CPF;
• A prova deve ser concluída em até 3 horas;
• Por favor, escreva a caneta. Entregue apenas sua folha de
1ª Questão) a) Mostre que em todo triângulo isósceles sempre temos duas alturas congruentes.
b) A recíproca é verdadeira ? Isto é, se duas alturas de um triângulo são congruentes, então o
triângulo é isósceles ? Justifique !
2ª Questão) Da Geometria Analítica Plana, sabemos que a fórmula para calcularmos a distância
de um ponto P ( x0 , y0 ) a uma reta r: ax + by + c = 0 é dada por:
d(P,r)=
│ ax0+ by0+ c │
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Öa2+b2
a) Descreva a “idéia” de como se demonstra tal resultado, isto é, enuncie os passos que devem ser
seguidos para que obtenhamos a fórmula (mas não é necessária uma demonstração formal !);
b) Calcule a distância do ponto P ( 1 , 3 ) à reta r: 3x + 4y – 5 = 0 seguindo os passos que você
descreveu acima e compare com o resultado obtido utilizando-se a fórmula.
3ª Questão) Considere um recipiente de água, em forma de um cone reto,
de altura H e
volume V. Suponha que, neste recipiente, seja despejada uma certa quantidade de água até a
metade de sua altura. Pede-se:
a) Calcule o volume da água despejada em função de V;
b) Supondo, agora, que o cone é eqüilátero, calcule seu volume V em função de H.
4ª Questão) “O IBGE divulgou dia 05/10/2007 os resultados da Contagem da População 2007...
A população brasileira estimada em 2007 foi de aproximadamente 190 milhões de habitantes.”
(fonte: www.ibge.gov.br)
Com base nestes dados e considerando uma taxa de crescimento populacional média de
1,4% ao ano, pede-se:
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a) Escreva a função matemática P(t) que forneça a população brasileira P daqui a t anos, a partir
de 2007, explicando o significado de cada elemento em sua lei de formação;
b) Obtenha o tempo mínimo necessário (na forma logarítmica), a partir de 2007, para que a
população brasileira seja de 200 milhões de habitantes.
5ª Questão) Um retângulo está inscrito na região delimitada pelos eixos coordenados e pela reta
r, conforme figura abaixo. Pede-se:
y
4
(x, y)
0
x
8
r
a) A equação reduzida de r, identificando seus coeficientes angular e linear;
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b) Encontre as coordenadas (x , y) que fornecem a área máxima do retângulo.
6ª Questão) Dada a função real f(x) = 1 / x , pede-se:
a) Determine seu domínio, sua imagem, suas raízes e esboce seu gráfico;
b) Calcule a área limitada pelo gráfico da função f(x) e pelo eixo x, entre os números x = e e
x = e 2.
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