HABILIDADE DE VISUALIZAÇÃO COM ALUNOS DA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA EM GEOMETRIA
ESPACIAL
José Carlos Pinto Leivas
Centro Universitário Franciscano, Brasil
[email protected], [email protected]
RESUMO
O artigo trata de uma pesquisa que aborda o tema visualização, envolvendo dez
alunos da disciplina Educação Matemática, em uma Licenciatura em Matemática
de uma universidade do estado do Rio Grande do Sul, na qual o pesquisador é o
próprio docente. Foi feito um estudo de caso, por meio da aplicação de atividades
organizadas, com o objetivo de avaliar a habilidade de visualização de relações
geométricas no espaço tridimensional, a fim de responder se é possível
desenvolver tal habilidade pelo grupo investigado. O tema visualização vem sendo
utilizado na investigação em Educação Matemática, tendo sido caracterizado
como importante tema de pesquisa, envolvendo estudos curriculares, a partir da
criação de grupo de estudos junto ao Grupo de Psicologia da Educação
Matemática (PME). O papel da imaginação visual ou visualização, como uma
construção mental, na resolução de problemas, é algo já comprovado por
pesquisadores como Presmeg, Arcavi, Leivas, Fischbein, dentre outros. Os
resultados da pesquisa comprovaram que é possível desenvolver a habilidade de
percepção visual ou visualização mediante aplicação das atividades.
Palavras-chave: visualização, geometria espacial, ensino superior.
ABSTRACT
This article deals with a research that addresses the theme visualization involving
ten students in a Mathematics Education course at a University in the state of Rio
Grande do Sul, Brazil, where the researcher is the teacher. We conducted a study
case through the application of organized activities with the objective of
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evaluating the ability to visualization the geometric relationships in three
dimensional space in order to answer if it´s possible to develop such skill by the
group investigated. The theme visualization has been used in research in
mathematics education, has been characterized as an important research topic,
involving curriculum studies, from the creation of a study group with the Group of
Psychology of Mathematics Education (PME). The role of imagery or
visualization, as a mental construction, problem solving is something proven by
researchers as Presmeg, Arcavi, Leivas, Fischbein, among others. The research
results proved that it´s possible to develop the ability of visual perception or view
of the activities implemented.
Keywords: visualization, spatial geometry, higher education.
1
Introdução
É frequente o uso das palavras visual, visualidade, visualizar e visualização, quando
queremos dizer que algo foi percebido pelo órgão da visão. Buscamos no dicionário
(Dicionário eletrônico Houaiss - versão 1.0 - dezembro de 2001) os significados dessas
palavras e destacamos a seguir.
- Visual, adjetivo de dois gêneros, “que é efeito de imagens mentais expressivas”.
- Visualidade, substantivo feminino, “qualidade ou estado de ser visual ou visível”; ou ainda,
“imagem mental ou pictórica; visualização”.
- Visualizar, como verbo transitivo direto é o ato de “tornar visual, convertendo (algo
abstrato) em imagem mental”. Os exemplos de uso citados no dicionário são: “para visualizar
esta análise, apresentarei os seguintes gráficos; visualizemos este raciocínio sob a forma de
um esquema”. Uma segunda definição que o dicionário apresenta é: “formar uma imagem
visual mental de (algo que não existe ou que não está diante dos olhos); imaginar”.
- Visualização, substantivo feminino, “ato ou efeito de visualizar”; “capacidade ou ato de
formar na mente imagens visuais de coisas que não estão à vista, ou a imagem daí resultante;
visualidade”; “conversão de conceitos em formas visíveis”.
Esses termos a muito deixaram de ter apenas a concepção simplista de percepção como
órgão da visão e visualização passou a ser considerado objeto de pesquisa junto a educadores
matemáticos. A partir dos anos 70, pesquisas, envolvendo metodologias tanto qualitativas
quanto quantitativas ocuparam espaço no Grupo de Psicologia da Educação Matemática –
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PME. A partir dos anos 90, o grupo considerou-o um campo significativo e o incorporou a
questões de currículo, o que foi reforçado com o advento da Geometria Dinâmica.
A visualização desempenha um importante papel em pesquisas, por exemplo, na
resolução de problemas, como pode ser percebido “O papel da imaginação visual ou
visualização na resolução de problemas matemáticos permanece uma questão atual em
pesquisas educacionais” (STYLIANOU, 2001, 232, apud PRESMEG, 2006, p. 228).
Por sua vez, Arcavi (2003) afirma que, a visualização pode desempenhar o papel de
ajustar o que cremos como "errado" em nossas intuições e harmonizá-lo com a correção opaca
e “gelada” do argumento simbólico. Outro papel que desempenha é num contexto simbólico,
em que a solução visual para um dado problema é capaz de nos envolver com conceitos e
significados, os quais podem facilmente ser contornados por essa solução simbólica.
Nesse sentido, o advento e avanço da Geometria Dinâmica tornou-se uma ferramenta
auxiliar de relevância inquestionável para o desenvolvimento de habilidades visuais e
comprovação daquilo que Fischbein (1987) afirmou sobre intuição ou conhecimento intuitivo
como sendo um tipo de cognição que se refere às afirmações autoevidentes, as quais
ultrapassam fatos observados, uma vez que “o principal atributo do conhecimento intuitivo é
o sentimento de uma certeza direta e este é produzido, em primeiro lugar, pela impressão de
autoevidência.” (p. 21).
Para Piaget e Inhelder (1971), o termo visualização é usado quando, ao se criar um
arranjo espacial incluindo uma concepção matemática, há uma imagem visual na mente da
pessoa, orientando sua criação. Para Presmeg (2006), visualização é usada para incluir
processos de construção e transformação de imagens visuais, mentais e todas as construções
de uma natureza espacial que podem ser implicadas ao fazer matemática.
Utilizaremos, neste trabalho, o termo visualização como “sendo um processo de formar
imagens mentais, com a finalidade de construir e comunicar determinado conceito
matemático, com vistas a auxiliar na resolução de problemas analíticos ou geométricos.”
(LEIVAS, 2009, p. 22). Entendemos que a habilidade de visualização pode ser desenvolvida
em qualquer nível de escolaridade, inclusive, com alunos do ensino superior que argumentam
não a possuírem. Para muitos desses, o estudo de Geometria se encontra fora de seu alcance,
com o que não concordamos e iremos, com esta pesquisa, comprovar que ela pode ser
desenvolvida ou construída.
Presmeg (2006) salienta que, no PME-18, em 1994, cinco das 16 pesquisas
categorizadas como Geometrical and Spatial Thinking, junto ao grupo de discussão sobre
visualização, tratavam sobre pesquisas envolvendo visualização no currículo. Dessa forma,
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integramos o assunto em nossas pesquisas, especialmente na formação inicial e continuada de
professores de Matemática. Acreditamos que o pensamento visual pode representar um
facilitador para a aprendizagem matemática em suas diversas áreas do conhecimento, não
somente em Geometria, à qual se refere o presente artigo.
2
A pesquisa
A pesquisa foi realizada com dez alunos da Licenciatura em Matemática, durante a
ocorrência da disciplina Educação Matemática, da qual o pesquisador é docente, levada a
efeito em janeiro de 2012. Dois alunos haviam cursado um semestre de Geometria Plana e
dois outros também um semestre de Geometria Espacial; os demais não tinham cursado
nenhuma disciplina. Apresenta uma das características apontadas por Lüdke e André (1986),
para classificá-la como pesquisa qualitativa, a qual, em educação, “tem o ambiente natural
como sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal elemento; os dados
coletados são predominantemente descritivos; a preocupação com o processo é muito maior
do que com o produto [...]” (p.11).
Um dos objetivos da disciplina é: desenvolver atividades utilizando recursos materiais e
metodológicos para a Educação Geométrica no Ensino Médio. Para alcançar esse objetivo, o
professor organizou uma unidade didática assim distribuída:
- construção de sólidos geométricos com materiais alternativos ou manipuláveis;
- uso de softwares para a elaboração de aulas de Geometria, Trigonometria e Geometria
Analítica para o Ensino Médio.
Entende o pesquisador que, para desenvolver tal unidade e atingir seu objetivo,
atividades investigativas envolvendo visualização espacial são fundamentais, uma vez que os
alunos, em geral, têm grande dificuldade de perceber relações espaciais. Na crença de que a
habilidade de visualização pode ser construída ou desenvolvida, após as primeiras aulas
utilizando alguns materiais concretos para caracterizar prismas, e com o objetivo de:
avaliar a habilidade de visualizar relações geométricas no espaço tridimensional
em alunos da Licenciatura em Matemática,
o pesquisador elaborou a seguinte questão de pesquisa:
é possível desenvolver em alunos da Licenciatura em Matemática a habilidade de
visualização?
A fim de responder à questão de pesquisa, foram elaboradas atividades investigativas
em grau crescente de dificuldades, partindo de interpretações de representações gráficas de
objetos tridimensionais até chegar a cortes em sólidos geométricos. Para Goldenberg (apud
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ABRANTES et al., 1999, p.47), os estudiosos de currículos que envolvem investigações
devem ser bem compreendidos pelos professores.
Se for certo que grande parte da aprendizagem dos alunos deve surgir das
investigações que eles próprios realizam, então os alunos devem aprender a ser bons
investigadores. É uma coisa que não deve ser deixada ao acaso, devendo antes
constituir uma parte do currículo cuidadosamente planejada.
Assim, entendemos ser pertinente a realização de uma pesquisa investigativa com
alunos da Licenciatura em Matemática e, particularmente, na disciplina Educação
Matemática.
As duas primeiras atividades tiveram como objetivo verificar se o grupo investigado
interpretava representações gráficas de dois objetos constituídos de pilhas de cubos, os quais
poderiam ser observados de diferentes pontos, a fim de intuir os cubos que eram visíveis e os
que não eram ao observador. A atividade três consistia em apresentar quatro objetos espaciais
em que nem todas as arestas ou linhas eram representadas, para que os alunos as
representassem por linhas tracejadas. Essa atividade diferenciava-se das duas anteriores, por
serem linhas contínuas e não por peças acopladas umas às outras, ou seja, pilhas de cubos e
tinha como objetivo verificar se os alunos percebiam partes invisíveis em uma representação
de objeto espacial.
As atividades quatro e cinco consistiram de sete pilhas de cubos, com indicativos de
diferentes vistas laterais ou frontais, as quais os alunos deveriam observar e desenhar daquela
posição indicada. As pilhas eram constituídas de quantidades e posições diferentes de cubos.
Por outro lado, as atividades seis e sete percorriam um caminho inverso, isto é, eram dadas
vistas laterais, frontal e de topo, e solicitado que o aluno fizesse um desenho representando o
empilhamento. Além disso, era perguntado se eles consideravam serem suficientes as três
vistas e se precisariam de um número maior delas.
A atividade oito era constituída de um cubo interseccionado por um plano paralelo à sua
base e a nove, de um prisma reto de base hexagonal, interseccionado por planos e semiplanos
perpendiculares a sua base. Em cada caso, foram fornecidas alternativas de representações dos
cortes, para que o aluno identificasse qual delas correspondia ao corte efetuado.
Na atividade 10, era fornecido um cubo interseccionado por um plano paralelo à base.
Nessa atividade, eram solicitadas as representações de linhas invisíveis obtidas pelo corte,
nomeação dos elementos, desenho das partes obtidas e respectivas nomenclaturas, bem como
um desenho em separado da região determinada.
A coleta de dados foi feita a partir dos registros realizados pelo grupo de alunos
envolvidos, bem como os do próprio investigador, para a organização de uma espécie de
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diário de campo ou de bordo para, posteriormente, realizar a respectiva análise. De acordo
com Fiorentini e Lorenzato (2006, p.119), “a organização do diário de bordo pode variar de
um pesquisador a outro”. Além disso, para os mesmos autores, os diários podem conter uma
perspectiva descritiva, a qual “atém-se à descrição de tarefas e atividades, de eventos, de
diálogos, de gestos e atitudes, de procedimentos didáticos, do ambiente e da dinâmica da
prática, do próprio comportamento do observador etc.”. (p. 119).
No início das atividades, as quais tiveram uma duração de quatro horas, todas realizadas
em um mesmo dia, o investigador forneceu material impresso em que constava a numeração
da atividade e espaço destinado para a resposta solicitada a cada uma, o qual os alunos
devolveriam ao final. Os alunos se identificaram, porém, para preservar suas identidades,
serão nomeados aqui por letras maiúsculas, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.
Para a realização da atividade, o investigador apresentava questão por questão em uma
projeção e deixava um tempo para os alunos a visualizarem, solicitando que não discutissem
com os colegas as prováveis soluções e que as registrassem no material fornecido. Após todos
concluírem uma das atividades, mediava debate entre os estudantes a respeito da forma como
tinha sido visualizada a questão, apontando erros, acertos e diversidade de soluções. Em
seguida era proposta outra atividade da sequência e repetido o procedimento.
Registramos o fato que, nos dois encontros que antecederam à aplicação da pesquisa,
foram realizadas construções de sólidos e seus esqueletos, utilizando materiais concretos:
madeira, palitos, barbante e canudos. A partir de tais construções, os alunos faziam
representações em papel para retomada de conceitos, nomenclatura e propriedades. Assim,
buscamos uma primeira tentativa de busca de aquisição de habilidades visuais a partir do
material concreto a fim de passar para a abstração e a consequente aquisição do que
entendemos por visualização como construção mental.
3
Análise dos dados
A seguir faremos a análise dos dados fornecidos pelos investigados e pelos registros do
investigador.
Atividade 1
Como já dissemos, essa atividade teve como objetivo verificar de que forma os alunos
interpretavam representações de pilhas de cubos, todos de mesmas dimensões. O investigador
fez a apresentação da figura 1, a seguir, em uma projeção em PowerPoint.
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Figura 1: pilha de 14 cubos1
Oito alunos responderam corretamente haver na pilha um total de 14 cubos. Um aluno
não estava presente e o aluno G respondeu 21 cubos. Ao ser questionado do porquê de sua
resposta, o mesmo disse que compreendera “cubo quadrado” ou “região quadrada”. Ele
contou o número de regiões quadradas, percebendo a existência de sete fileiras com três
elementos em cada uma delas e, portanto, concluiu haver 21 objetos.
Embora G apresente deficiência auditiva, o investigador o acompanha muito de perto,
articulando as palavras de modo a que ele possa fazer a leitura labial. Consideramos, ainda,
haver a projeção do solicitado. Percebemos que o aluno ainda não tem clareza sobre os
conceitos de cubo e quadrado. Os demais alunos justificaram suas formas de percepção visual
da questão. A representação dada na figura 1.1, a seguir, em que são coloridas faces,
principalmente as superiores, de um cubo de cada coluna da pilha, favorece o
desenvolvimento da habilidade de visualização e pode ser obtida facilmente utilizando um
software de Geometria Dinâmica, por exemplo.
Figura 1.1: pilha de cubos com faces coloridas.
Observamos que, ao colorir as faces superiores de cada cubo, a visualização dos
mesmos em cada coluna se torna mais evidente, facilitando a contagem do número deles no
empilhamento.
Atividade 2
Esta atividade, similar à anterior, teve o mesmo objetivo, sendo fornecida a figura 2, a
seguir.
1
Algumas das atividades foram adaptadas de Alsina, Burgués e Fortuny (1997).
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Figura 2: pilha constituída de 36 cubos.
Novamente, os mesmos oito alunos responderam corretamente; um aluno não
respondeu, pois chegou após a realização da atividade e o aluno C respondeu que havia um
total de 45 cubos no empilhamento. Questionado oralmente sobre a forma como obteve esse
valor, respondeu:
C: Entendi que havia três filas na horizontal, constituídas de cinco objetos cada uma, adicionei
com o número existente na segunda fila.
C entendeu que havia filas na vertical e não percebeu que eram sobrepostas, por
exemplo, a de trás, com três cubos em cada coluna. Na realidade, deveria ter percebido serem
duas sobre a horizontal e mais a inferior. É importante chamar a atenção para o aluno G, o
qual, na atividade um, havia respondido errado, por ter feito confusão entre o conceito de
cubo e de quadrado. O aluno, dessa feita, respondeu a esta atividade de forma correta.
Atividade 3
Com esta atividade pretendíamos verificar como os alunos percebem a representação de
objetos tridimensionais, não mais por empilhamentos que favorecem a percepção de linhas de
contato entre os diversos cubos. Aqui se fazia necessária a percepção de linhas ocultas na
figura, as quais os investigados precisariam representar. Com essa atividade, trabalhamos o
conceito de visualização como imagem mental, segundo Leivas (2009). Piaget e Inhelder
(1971) afirmam que uma representação pode ser feita quando a imagem mental do objeto é
formada após sua ausência. Os alunos foram orientados a representar as linhas ocultas, por
meio de tracejadas, a partir da projeção da representação de um cubo, primeiramente, apenas
pelas arestas visíveis e, em seguida, as arestas invisíveis por linhas tracejadas.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 3: objetos tridimensionais sem algumas arestas.
Dos nove alunos que realizaram a atividade, oito acertaram as arestas invisíveis das
representações (a) e (b); apenas um aluno acertou a representação na (c) e cinco na (d). O
aluno C apresentou dificuldades em suas representações e acrescentou uma aresta inexistente
na (a). Na (b), criou uma aresta visível e acrescentou prolongamento da figura por linhas
tracejadas, mostrando que não visualizou o objeto tridimensional representado, ou seja, um
prisma reto de base triangular assentado sobre uma face lateral. Repetiu o erro em (d).
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Considerando que em aulas que precederam a investigação foram feitas construções de
prismas utilizando palitos, representações dessas construções, discussão sobre nomenclatura e
propriedades de prismas, conclui-se que tais construções com materiais concretos não foram
suficientes para visualização na passagem ao semiconcreto para alguns desses alunos.
Figura 4: representações das arestas pelo aluno C.
Quanto à representação (c) da figura 4, observamos que C não percebeu que se tratava
de uma parte de uma superfície cilíndrica obtida pela interseção com um plano perpendicular
à sua base passando pelo diâmetro. Assim, não identificou a semicircunferência que se
encontra na parte de trás da representação como sendo paralela à da parte da frente.
Por outro lado, como apenas o aluno A representou corretamente, o investigador
considera que a questão pode não ter sido bem apresentada ou, ainda, que os alunos não
conseguiram sair de representações de sólidos retilíneos para curvilíneos. A figura 5, a seguir,
ilustra a representação correta feita pelo aluno A.
Figura 5: representação das linhas invisíveis feitas pelo aluno A.
A atividade mostrou que é necessário desenvolver tarefas de representação em objetos
tridimensionais de linhas que não são vistas pelo observador. Além disso, também são
necessárias atividades de identificação dessas linhas em representações já elaboradas. Com
isso, entendemos que ao interpretar a representação do objeto em sua ausência, em Geometria
Espacial, é um passo intermediário para a abstração e pode ser construída de forma suave até
a aquisição da habilidade de visualização.
Entendemos que não foram criados arranjos espaciais pelos alunos, até este momento,
como afirmaram ser necessário para a visualização Piaget e Inhelder (1971), não havendo,
ainda, uma imagem mental dos objetos tridimensionais representados no plano, com a
concepção matemática necessária, o que já seria desejado para alunos do ensino superior.
Atividade 4
Com essa atividade, pretendíamos verificar se os alunos conseguiam transferir e
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manipular mentalmente as diversas vistas de um sólido para representá-las no plano e, assim,
ir construindo a visualização completa do objeto, mesmo não estando ele presente. Também
queríamos induzi-los a perceberem a necessidade de três vistas, para definir completamente a
imagem mental de um objeto espacial. Para alcançar o objetivo, o investigador apresentou
duas pilhas iguais, constituídas de cinco cubos, e indicou qual era a posição do observador
com uma flecha, a fim de que fossem construídas as vistas laterais.
Figura 6: vista lateral de um empilhamento.
Projetamos a figura 6 aos alunos para exemplificar o conceito de vista lateral, com a
flecha indicando a posição do observador, o empilhamento de cubos à esquerda e a respectiva
vista à direita. Em seguida, foram indicados os empilhamentos (a) e (b), constantes da figura
7, para os alunos construírem as vistas laterais indicadas pelas flechas.
(a)
(b)
Figura 7: empilhamentos para construção de vistas laterais.
Dos nove alunos que responderam ao solicitado na atividade, três deles erraram,
indicando a dificuldade de perceber a projeção de um objeto espacial no plano. Os estudantes
C e I fizeram o mesmo tipo de representação do empilhamento. Podemos perceber a falta de
compreensão da seta indicando a posição do observador, uma vez que, ao serem indagados
sobre suas representações, afirmaram acreditar que havia um cubo escondido completamente
e que estavam percebendo o empilhamento de cima, o que pode justificar a criação de um
quadrado superior no centro, nesse caso. (figura 8)
Figura 8: representação da vista do empilhamento (a) feita por C e I.
O aluno D parece, a exemplo dos dois anteriores, ter visualizado o empilhamento de
cima, pois identifica os quatro quadrados de acordo com esse posicionamento. O curioso é a
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forma de representar sua vista do empilhamento de forma inclinada, não se posicionando
frontalmente ao objeto (figura 9).
Figura 9: representação da vista do empilhamento (a) feita por D.
As representações das vistas laterais feitas por C e I não possuem significados, não
sendo possível identificar o que perceberam, uma vez que C representa quatro quadrados,
quando deveriam ser apenas três (figura 10 à esquerda). Representa um quadrado num plano
superior, à esquerda, e um, à direita, no centro, esse mostrando uma inversão na sua
visualização. Algo similar ocorre com a representação incompleta feita por I, à direita.
Figura 10: representações feitas por C e I da vista do empilhamento (b).
Por outro lado, D identifica os três quadrados vistos, segundo a posição do observador.
Entretanto, não os representa corretamente, apresenta o mesmo tipo de inversão das
representações anteriores, indicando o terceiro quadrado à direita e não à esquerda dos outros
dois colocados verticalmente. Além disso, o dispõe ao lado do superior e não do inferior.
(figura 11)
Figura 11: Rrepresentações feitas por D da vista do empilhamento (b).
Podemos considerar que, de alguma forma, o que indicou Arcavi (2003) está sendo
corroborado, uma vez que a visualização até então está desempenhando aquele papel que o
autor indicou, ou seja, de ajustar os aspectos errados oriundos de uma intuição primária e
auxiliar na solução dos problemas de representação de vistas, produzindo significados a partir
do simbolismo de tais representações para os alunos.
Atividade 5
Esta atividade dá prosseguimento a quatro, com o mesmo objetivo, investigando se os
alunos percebem o número necessário e suficiente de vistas de um objeto espacial para sua
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representação exata. Foram apresentados cinco empilhamentos de cubinhos, os três primeiros
iguais e os outros dois diferentes desses, mas iguais entre si e solicitado que os alunos
desenhassem as vistas frontal, lateral e superior, indicadas pelas flechas, como na figura 12.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 12: empilhamentos para representação de vistas.
Dos nove respondentes, houve cinco acertos em relação ao empilhamento (a) e, após a
apresentação do empilhamento (b), dois alunos retificaram a primeira representação. O aluno
J fez sua representação, dispondo três quadrados empilhados e dois à direita desses,
invertendo a posição, como se estivesse olhando o empilhamento do lado oposto ao solicitado,
isto é, frontalmente. Ao se dar conta, na representação do empilhamento (b), assim se
expressou:
J: não levei em consideração a reta, e sim o ângulo que avistava da cadeira. O certo seria o
último quadrado, do lado direito. Só notei o erro quando foi proposta a figura (b).
O aluno D fez a mesma representação de J, porém completando, na segunda coluna,
com um terceiro quadrado pontilhado na parte superior, marcando com um x o da esquerda
para indicar que estava errado e, portanto, corrigindo, escrevendo ao lado de sua
representação, como na figura 13, a seguir.
Figura 13: vista do empilhamento (a), feita por D.
Quanto aos empilhamentos seguintes, houve a seguinte sequência de acertos nas
representações das vistas: (b) teve sete acertos; (c) teve oito acertos; (d) e (e) nove acertos,
mostrando que a sequência permitiu aos estudantes desenvolverem convenientemente o
processo visual do objeto e as respectivas vistas lateral, frontal e superior. Cabe notar que os
últimos dois empilhamentos tinham um número maior de cubos e um grau de diversificação
de posicionamentos mais complexo entre eles, bem como no (c), em que a vista era a oposta
da frontal.
Portanto, houve com essa atividade uma comprovação daquilo que Fischbein (1987)
afirmou, uma vez que o conhecimento intuitivo autoevidente está se transformando em uma
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forma de cognição, pois ao ultrapassarem as observações, os alunos conseguiram ir formando
imagens mentais sobre o empilhamento.
As atividades seis e sete, analisadas a seguir, buscavam verificar se os alunos
desenvolviam visualização a partir de empilhamentos de cubos, pelas representações das
vistas lateral, frontal e de topo, percorrendo o caminho inverso, por assim dizer, ou seja,
foram fornecidas as três vistas de um empilhamento e solicitado que os alunos o desenhassem.
Para Alsina, Burgués e Fortuny (1997), os estímulos visuais são relevantes no momento em
que desejamos evoluir no processo de construção de imagens mentais. Essa afirmação
aproxima-se do que Leivas (2009) define como visualização. “A percepção visual exige o
desenvolvimento de uma série de habilidades, entre elas se destacam o saber ver e o saber
interpretar” (ALSINA; BURGUÉS; FORTUNY, 1997, p. 61). Dessa forma, acreditamos que
os estímulos visuais empregados nas atividades precedentes, tendo auxiliado, mesmo que
ainda de forma incompleta, a construção de imagens mentais de objetos espaciais,
possibilitaria verificarmos o avanço no saber ver e saber interpretar tais objetos.
Atividade 6
Foram apresentadas as vistas de frente ou frontal, de lado e de topo, como na figura 14,
e solicitado que os alunos fizessem um desenho do empilhamento de cubinhos
correspondente.
Figura 14: vistas fornecidas para a atividade 6.
A partir dessa atividade, estavam presentes dez alunos. Representaram corretamente o
empilhamento sete alunos. A aluna D, que vinha apresentando dificuldades em sua habilidade
de visualização, fez a representação correta, demonstrando, assim, que estava adquirindo tal
habilidade. Outro demonstrativo de crescimento nos aspectos visuais foi comprovado na
representação feita pelo aluno B, pois, além de acertar, também indicou, na quase totalidade,
as linhas invisíveis com tracejados, dessa forma, reiterando o preconizado por Alsina,
Burgués e Fortuny (1997), uma vez que indica certo saber ver e representar.
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Figura 15: representação do empilhamento, feito por B.
Atividade 7
Nessa atividade, além de fornecer três vistas para representar o empilhamento (figura
16), o investigador perguntava se as três eram suficientes. Além disso, perguntava, também,
se haveria necessidade de um número maior delas.
Figura 16: vistas fornecidas para a atividade 7.
Apenas quatro dos dez alunos fizeram representações coerentes do empilhamento, de
acordo com as vistas fornecidas. Concluímos que o grau de dificuldade para visualização
ainda é presente em empilhamentos mais complexos, como o indicado. Entretanto, foi
interessante observar que alguns consideraram a vista lateral a partir das representações da
atividade 5, (a) e (b), obtidas da parte de trás do empilhamento. Isso parece indicar que a
construção visual mental está sendo adquirida pelo aluno.
Oito alunos afirmaram que as três vistas eram suficientes para representar corretamente
o empilhamento e o aluno G, em vez de responder sim ou não, fez uma conta qualquer,
associando ao “sudoku”, segundo ele. Em relação ao questionamento se poderia ser fornecido
um número menor de vistas, apenas seis alunos responderam corretamente, sendo que o
mesmo aluno G apresentou outra conta. Algumas justificativas dos alunos foram:
A: Não, com uma vista a menos, poderíamos ter muitos outros desenhos.
C: não, pois as três vistas são as mínimas e necessárias.
D: Não, pois teria a base apenas de dois lados; no meu ponto de vista, fica mais completo
com as três.
E: Não, pois faltariam dados para construir o empilhamento.
F: Sim, se o topo não fosse fornecido, teríamos o mesmo desenho.
J: Não, pois teria ângulos que não seriam visualizados.
Mesmo tendo acertado a representação, F justifica erroneamente. Por outro lado, mesmo
errando as representações, os alunos C, D, J justificaram corretamente. Podemos concluir que
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o processo em andamento está sendo eficiente, que estão ocorrendo as construções mentais,
além das representações, considerando o conjunto das atividades até o momento realizadas.
Nas atividades seguintes, buscamos verificar se os alunos conseguiram adquirir ou
aprimorar a habilidade de visualização e aplicá-la em cortes realizados em prismas. Nas
atividades oito e nove, foram fornecidos, respectivamente, cortes num cubo e num prisma reto
de base hexagonal e alternativas para os alunos identificarem qual seria a correta. Dessa
forma, o investigador poderia verificar o grau de compreensão sobre a visualização, agora não
mais com empilhamentos, os quais, em nossa opinião, foram facilitadores para o início do
desenvolvimento dessa habilidade.
Atividade 8
Foi apresentado um prisma reto cortado por um plano, perpendicular à sua base,
passando por um vértice e por uma aresta dessa base, como ilustrado na figura 17, e cinco
alternativas, cada uma com duas partes obtidas pelo corte, para ser identificada a correta.
Figura 17: cubo cortado por um plano e alternativas de partes da separação.
O investigador utilizou o recurso fornecido pelo Cabri 3D, para girar a figura em
diversas posições, a fim de que os alunos pudessem analisar, sob diversos pontos de vista, e
decidir qual seria a alternativa correta, em consonância ao afirmado por Arcavi (2003),
segundo o qual a visualização pode desempenhar o relevante papel de ajuste à intuição em
termos de correções de erros oriundos dessa e de representações simbólicas iniciais. Assim,
utilizamos as tecnologias, para auxiliar no desenvolvimento ou aquisição da habilidade de
visualização.
Sete alunos responderam que a alternativa C é correta; dois, que é a E e um não
respondeu. Consideramos que o objetivo foi alcançado, uma vez que 70% dos investigados
conseguiram visualizar corretamente as partes obtidas pelo corte.
Atividade 9
A figura 18 ilustra o sólido cortado duplamente por um plano e um semiplano em três
partes e as alternativas correspondentes para a terna de partes correspondentes, aumentando o
grau de dificuldade para a visualização, em relação à atividade oito.
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Figura 18: cubo cortado em três partes e alternativas de partes.
De forma similar ao feito anteriormente, no momento da apresentação do sólido para os
alunos escolherem a terna, o investigador utilizou o dinamismo do Cabri 3D, para fazer girar
o sólido, a fim de que todos pudessem escolher a melhor posição para sua visualização,
considerando que cada indivíduo desenvolveu sua forma peculiar de observação, como
analisado nas atividades com as vistas dos empilhamentos.
Em relação à atividade anterior, houve um incremento no número de alternativas
corretas, uma vez que apenas um aluno não acertou; todos os outros indicaram a
representação da letra E, acertadamente, demonstrando que houve uma aquisição considerável
na habilidade visual desses alunos. Para completar a pesquisa, foi proposta a atividade a
seguir.
Atividade 10
No desenho a seguir, (figura 19) temos um cubo ABCDA´B´C´D, cortado por um plano,
paralelo à sua base, passando pelos pontos médios (P, Q, R e S) das arestas laterais.
Figura 19: cubo cortado por um plano paralelo à base.
Pretendemos, com a atividade, formalizar alguns conceitos utilizados informalmente nas
atividades precedentes, bem como verificar se a habilidade de visualização foi desenvolvida e
o objetivo previsto pelo investigador plenamente atingido, muito embora, com a atividade
anterior, isso já tenha sido comprovado. Ao apresentar a figura, o investigador propôs as
seguintes questões:
a) Represente, por linhas tracejadas, as linhas invisíveis da figura.
b) Nomeie as arestas da base e as arestas laterais do cubo.
c) Desenhe, separadamente, as partes em que o cubo foi dividido pelo plano.
d) Nomeie as faces laterais de uma dessas partes.
e) Faça um desenho perfeito, com régua e compasso, da região obtida pela intersecção do
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plano com o cubo [considere o cubo maciço]. Como ela se chama?
Os 10 alunos fizeram corretamente os desenhos com todas as linhas invisíveis
tracejadas, demonstrando, com isso, terem compreendido plenamente como deve ser feita a
representação plana de um objeto tridimensional; nomearam corretamente tanto as arestas da
base quanto as laterais. Os desenhos das duas partes do cubo foram feitos adequadamente,
inclusive, com as representações corretas das arestas invisíveis. Surgiram algumas
dificuldades em nomear as faces laterais do cubo.
Em relação ao item e) houve dificuldade, primeiramente, porque, embora o investigador
tenha solicitado previamente trazerem instrumentos de desenho, apenas dois alunos o fizeram.
Assim, foi recomendado que esboçassem um rascunho da figura resultante da interseção. Em
segundo lugar, poucos alunos representaram a região limitada pelo polígono fronteiriço,
demonstrando, ainda, conflitos conceituais entre polígonos e regiões poligonais.
Um aluno não nomeou a região e nem a representou; um segundo aluno chamou-a de
losango e o representou como um quadrado, indicando que era uma “vista de cima”; um
terceiro aluno denominou-o retângulo e o representou coerentemente como um polígono.
Cinco alunos denominaram-no quadrado e representaram o polígono correspondente; dois
deles fizeram um quadrado, de fato, como polígono em verdadeira grandeza; outro
representou aproximadamente um quadrado, mas indicando que “os lados são iguais” e dois
colocaram no polígono o símbolo para ângulo reto. Apenas um aluno denominou-o de
quadrado, porém sombreou a região quadrada e, um único, além de sombrear a região,
denominou-a de PQRS em que as letras representavam os vértices do polígono fronteira dessa
região.
Dessa forma, a atividade permite perceber que os aspectos visuais, que esperávamos que
fossem alcançados com a sequência de atividades, foram obtidos. Porém, há conflitos
cognitivos com nomenclatura de quadriláteros e com distinção entre curva e superfície, o que
ocorre, inclusive, em livros didáticos.
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Conclusões
A pesquisa comprovou que habilidades visuais podem ser criadas, desenvolvidas ou
aprimoradas em estudantes de uma Licenciatura em Matemática. Até a atividade quatro, os
investigados apresentaram várias dificuldades de interpretação e visualização nas
representações de objetos espaciais de uso frequente em Geometria e no próprio dia-a-dia,
quando foram utilizados empilhamentos de cubos.
Particularmente, na atividade três, consideramos não haver, ainda, a concepção mental
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sobre tais representações no plano, quando linhas invisíveis necessitam ser representadas, a
fim de caracterizar os objetos fidedignamente. Observamos, na figura 20, à esquerda, feita
pelo aluno I, que o mesmo dá continuidade com uma linha pontilhada no lado esquerdo
superior e não representa a inferior. Entretanto, representa como aresta (inexistente), no lado
direito, com linha tracejada. Na figura 20, à direita, o aluno J faz algo similar e representa
uma aresta invisível na parte de trás da figura num patamar acima daquele em que deveria
citar.
.
Figura 20: representações de linhas invisíveis por dois alunos.
O aluno I ainda não consegue realizar corretamente as representações das projeções ou
vistas nas atividades quatro e cinco, mas J o faz, inclusive, com a análise de sua solução feita
anteriormente. Ambos chegam à atividade 10 fazendo as representações corretamente, tendo o
mesmo ocorrido com os nove alunos que a realizaram.
Alsina, Burgués e Fortuny (1997), mostra a importância do uso de representações planas
das formas e relações dimensionais para comunicar e expressar informações espaciais: “Há
distintos tipos de representações. Cada uma delas é importante para ressaltar um aspecto,
porém é necessário utilizar várias para desenvolver e completar a percepção do espaço” (p.
66). Entendemos que a sequência de atividades empregada nos permitiu avaliar que a
habilidade de visualização pode ser desenvolvida para o estabelecimento de relações
geométricas, no espaço tridimensional, com o grupo de alunos investigados e, assim, o
objetivo foi atingido.
Referências
ALSINA, C.; BURGUÉS, C.; FORTUNY, J.M.. Invitacion a la Didactica de la Geometria.
Madrid: Editorial Sínteses, S.A.. 1997.
ARCAVI, A. .The Role of Visual Representations . In: Educational Studies in Mathematics
52: 215–241, 2003.. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 2003;
FISCHBEIN, E. Intuition in science and mathematics: an educational approach. Dordrecht:
Reidel, 1987.
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ABRANTES, P., PONTE, J.P. da, FONSECA, H., BRUNHEIRA, L. (org.). Investigações
matemática na aula e no currículo. Lisboa, Portugal: Associação de Professores de
Matemática, 1999. pp.35-49.
LEIVAS, J. C. P. Imaginação, Intuição e Visualização: a riqueza de possibilidades da
abordagem geométrica no currículo de cursos de licenciatura de matemática. 2009. Tese
(Doutorado em Educação) – Universidade Federal do Paraná. Curitiba, 2009, 294 p.
LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. E.D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São
Paulo: EPU, 1986.
PIAGET, J.; INHELDER, B.. Mental imagery and the child. London: Routledge&Kegan
Paul, 1971.
PRESMEG, N.. Research on visualization in learning and teaching mathematics. In:
GUTIERREZ, A.; BOERO, P. (Ed.). Handbook of research on the psychology of
mathematics education: past, present and future. Rotterdam: Sense Publishers, 2006. p. 205235.