Transmissão de Calor
Resumo de formulas e tabelas de Condução
João Luís Toste de Azevedo
Outubro de 2007
Resistências térmicas de paredes
Geometria
Parede plana Casca cilíndrica
’
R [mK/W]
ln(De Di )
2πkL
ln(De Di )
2πk
D j ln(De Di )
L
kA
R [K/W]
(1)
L
k
R” [m2K/W]
Casca esférica
(1 Di ) − (1 De )
2πk
(2)
[(1 Di ) − (1 De )]D 2j (2)
Convecção
em superfície
1
hA
1 (2)
hπD j
1
h
2k
2k
k
2k
Raio crítico [m]
h
h
1) por unidade de comprimento de cilindro; 2) Resistência definida em relação à área j.
Distribuição de temperatura em sólidos com fontes de calor uniforme q&
Parede plana com temperaturas impostas Ts1 em x=0 e Ts2 em x=L.
T (x ) =
q& L2
2k
⎛ x 2 ⎞ Ts ,2 − Ts ,1 x Ts ,1 + Ts ,2
⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ +
+
L
2
2
⎝ L ⎠
Caso com superfície adiabática em x=0 ou r=0 e convecção na superfície x=L ou r=R.
Parede plana
T (x ) =
Cilíndro
q& L2 ⎛ x 2 ⎞
q&L
⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + T∞ +
h
2k ⎝ L ⎠
Esfera
2 ⎞
q& R 2 ⎛
⎜1 − r ⎟ + T∞ + q& R
T (r ) =
4 k ⎜⎝ R 2 ⎟⎠
2h
T (r ) =
2 ⎞
q& R 2 ⎛
⎜1 − r ⎟ + T∞ + q& R
6 k ⎜⎝
3h
R 2 ⎟⎠
Rendimento de Alhetas
Configurações de superfícies estendidas consideradas:
- Alhetas planas e pinos (secção circular) com diferentes perfis caracterizados por:
t
y=
2
y
A
x
r
l
D
r=
2
Formulário de Condução de Calor
3
t ⎛x⎞
⎜ ⎟
2⎝ l ⎠
2
C
D
D⎛x⎞
r= ⎜ ⎟
2⎝l⎠
D⎛x⎞
r= ⎜ ⎟
2⎝l⎠
2
t ⎛x⎞
y= ⎜ ⎟
2⎝ l ⎠
t ⎛x⎞ 2
y= ⎜ ⎟
2⎝ l ⎠
y=
B
1
D⎛x⎞ 2
r= ⎜ ⎟
2⎝l⎠
2
Toste Azevedo, 10/2000
Alheta y = (t/2)(x/ l )n
Config. n Parâmetro u
Pino r = (D/2)(x/ l )n
n Parâmetro u
A
0
u = l 2h kt
0
u = l 4h kD
B
1
u = 2l 2h kt
1
2
u = (4 3)l 4h kD
C
3
2
u = 4l 2h kt
1
u = 2l 4h kD
D
2
u = 2l 2h kt
2
u = (2 3)l 4h kD
Rendimento
função do parâmetro u
tgh (u )
η=
u
2 ∗ I1 (u )
η=
u ∗ I 0 (u )
η=
η=
4 * I 2 (u )
u * I1 (u )
2
1+ 1+ u2
O rendimento definido pelas expressões acima encontra-se representado em função do
parâmetro l h kt para as alhetas planas e l h kD para os pinos (secção circular) na
tabela A1.
- Alhetas tipo anilha em tubos. Consideram-se alhetas com espessura constante ou de
secção triangular conforme os esquemas (ambas com espessura na base t).
dr
r1
r2
t
r1
Ac
r2
O rendimento destas alhetas depende da sua largura l = R 2 − R 1 e da razão entre o raio
exterior da alheta (R2) e do raio interior desta igual ao raio do tubo (R1).
O rendimento da alheta é dado pela expressão seguinte:
⎡ I1 (u1 )K1 (u 2 ) + I1 (u 2 )K1 (u1 ) ⎤
2
η=
onde
2 ⎢ I (u )K (u ) + I (u )K (u ) ⎥
u1 1 − (R 2 R 1 ) ⎣ 0 1 1 2
1 2
0 1 ⎦
[
u1 =
]
l 2h / kt
ou u1 = R 1 2h / kt e u 2 = R 2 2h / kt ou u 2 = u1 (R 2 R 1 )
(R 2 R 1 − 1)
Os valores deste rendimento são apresentados em função do parâmetro l h kt na tabela
A1. Na página da disciplina encontra-se a folha de cálculo onde estas funções foram
calculadas (É necessário activar a Analysis Tool Pack)
Formulário de Condução de Calor
3
Toste Azevedo, 10/2000
1.0
y (x)
0.9
x
(b)
0.8
0.7
(c)
0.6
hf
t
(a)
(d)
0.5
(e)
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
1.0
2.0
3.0
1.0
(a)
0.9
5.0
4.0
5.0
x
t/2
(b)
0.8
L
(c)
0.7
(d)
0.6
hf
4.0
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
1.0
2.0
3.0
Gráficos extraídos de Gardner, 1945 – Notar que o argumento inclui o factor 2 omitido no Incropera
Formulário de Condução de Calor
4
Toste Azevedo, 10/2000
1.0
ri
0.8
L
t
0.6
ro
hf
ro
=1
ri
0.4
1.4
0.2
1.6
3
1.8
2
4
0.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
1.0
0.9
xe
xb L
t
0.8
x
0.7
0.6
hf
0.5
0.4
xe /x
b
0.3
4.0
0.2
3.0
=1
.0
2.0
0.1
0.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Gráficos extraídos de Gardner, 1945 – Notar que o argumento inclui o factor 2 omitido no Incropera
O ultimo gráfico diz respeito a alhetas de secção variável que é deduzido com perfil hiperbólico.
Formulário de Condução de Calor
5
Toste Azevedo, 10/2000
Distribuição de temperatura em alhetas (com condição de fluxo nulo na extremidade)
Alhetas de secção constante
θ(x ) cosh(m(l − x )) cosh(u (1 − x / l ))
=
=
sendo para alheta plana e pino cilindrico:
cosh(ml )
cosh(u )
θb
e = t = cons tan te u = l 2h kt e com d=D=constante, u = l 4h kD
Alhetas de secção variável terminando em vértice com área nula.
Neste caso o referencial x tem origem na extremidade da alheta.
A espessura ou diâmetro variam da seguinte forma:
n
n
⎛x⎞
⎛x⎞
e = t ⎜ ⎟ ou d = D⎜ ⎟
⎝l⎠
⎝l⎠
onde t é a espessura da alheta na base e D é o diâmetro do pino na base da alheta.
I u x/l
θ(x ) I 0 2 m x
⎛x⎞
u = 2l 2h kt
e = t⎜ ⎟
=
= 0
I 0 (u )
θb
I 0 2m l
⎝l⎠
(
(
⎛x⎞
d = D⎜ ⎟
⎝l⎠
⎛x⎞
e = t⎜ ⎟
⎝l⎠
3
1
2
2
)
)
(
)
)
(
3
3
I 0 ⎛⎜ 4 mx 4 ⎞⎟
3
I 0 u (x / l ) 4
θ(x )
⎝
⎠
=
=
u = (4 3)l 4h kD
3
θb
I 0 (u )
I 0 ⎛⎜ 4 ml 4 ⎞⎟
⎝ 3
⎠
1
1 I ⎛ 4 mx 4 ⎞
1
⎟
I1 u (x / l ) 4
θ(x ) ⎛ l ⎞ 4 1 ⎜⎝
⎠
u = 4l 2h kt
=⎜ ⎟
=
1
θb
⎝ x ⎠ I ⎛⎜ 4ml 14 ⎞⎟ I1 (u ) * (x / l ) 4
1
⎝
⎠
1
1 I ⎛ 2 mx 2 ⎞
⎟
θ(x ) ⎛ l ⎞ 2 1 ⎜⎝
⎠ = I1 u x l u = 2l 4h kD
=⎜ ⎟
1
θb
⎝ x ⎠ I ⎛⎜ 2ml 2 ⎞⎟ I1 (u ) * x l
1
⎝
⎠
(
⎛x⎞
d = D⎜ ⎟
⎝l⎠
)
(
)
1 + u2 − 1
⎛ x ⎞ θ(x ) ⎛ x ⎞
e = t⎜ ⎟
u = 2l 2h kt
= ⎜ ⎟ onde r =
2
⎝l⎠
⎝ l ⎠ θb
2
r
1 + u2 − 1
⎛ x ⎞ θ(x ) ⎛ x ⎞
u = (2 3)l 4h kD
d = D⎜ ⎟
= ⎜ ⎟ onde r =
2
⎝l⎠
⎝ l ⎠ θb
2
r
Alheta de espessura constante em anel
⎛
⎞⎞
x⎛R
θ(r ) ⎡ K1 (u 2 )I 0 (u ) + I1 (u 2 )K 0 (u ) ⎤
onde u = r 2h / kt ou u = u1 ⎜⎜1 + ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ ⎟⎟
=⎢
⎥
l ⎝ R1
θb
⎠⎠
⎣ K1 (u 2 )I 0 (u1 ) + I1 (u 2 )K 0 (u1 )⎦
⎝
com u1 =
l 2h / kt
ou u1 = R 1 2h / kt e u 2 = R 2 2h / kt ou u 2 = u1 (R 2 R 1 )
(R 2 R 1 − 1)
Formulário de Condução de Calor
6
Toste Azevedo, 10/2000
Tabela A1 - Rendimento de alhetas.
Alheta tipo anilha com espessura constante
r2/r1=1
r2/r1=1.5
r2/r1=2
r2/r1=3
r2/r1=5
r2/r1=10
l h kt
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
1.000
0.993
0.974
0.944
0.905
0.860
0.813
0.764
0.716
0.670
0.627
0.587
0.550
0.516
0.485
0.457
0.431
0.408
0.387
0.368
0.350
0.334
0.319
0.305
0.293
0.281
0.271
0.261
0.251
0.243
0.235
1.000
0.992
0.968
0.932
0.886
0.835
0.780
0.726
0.674
0.624
0.579
0.537
0.499
0.465
0.434
0.407
0.382
0.360
0.339
0.321
0.305
0.290
0.276
0.263
0.252
0.241
0.232
0.223
0.214
0.207
0.199
Formulário de Condução de Calor
1.000
0.991
0.964
0.922
0.871
0.813
0.754
0.696
0.640
0.589
0.542
0.499
0.461
0.428
0.397
0.370
0.346
0.325
0.306
0.288
0.273
0.258
0.246
0.234
0.223
0.213
0.204
0.196
0.188
0.181
0.175
1.000
0.989
0.956
0.907
0.846
0.781
0.714
0.651
0.592
0.538
0.490
0.447
0.410
0.377
0.347
0.322
0.299
0.279
0.261
0.245
0.231
0.218
0.206
0.196
0.186
0.177
0.169
0.162
0.155
0.149
0.143
7
1.000
0.986
0.945
0.885
0.813
0.737
0.663
0.594
0.531
0.476
0.428
0.386
0.350
0.318
0.291
0.267
0.247
0.228
0.212
0.198
0.185
0.174
0.164
0.155
0.147
0.139
0.132
0.126
0.121
0.115
0.111
1.000
0.981
0.928
0.852
0.765
0.677
0.594
0.521
0.457
0.402
0.356
0.316
0.283
0.254
0.230
0.209
0.191
0.175
0.162
0.150
0.139
0.130
0.122
0.114
0.107
0.101
0.096
0.091
0.086
0.082
0.079
Pinos secção circular
Alhetas planas
r=R(x/l)2
r=R(x/l)
r=R(x/l)1/2
r=R
y=(t/2)(x/l)
1.000
0.996
0.983
0.963
0.938
0.908
0.877
0.845
0.812
0.781
0.750
0.721
0.693
0.666
0.642
0.618
0.596
0.575
0.556
0.537
0.520
0.503
0.488
0.473
0.459
0.446
0.434
0.422
0.411
0.400
0.390
1.000
0.993
0.974
0.945
0.908
0.866
0.823
0.779
0.736
0.696
0.658
0.623
0.591
0.561
0.534
0.508
0.485
0.464
0.445
0.426
0.410
0.394
0.380
0.366
0.353
0.342
0.331
0.320
0.310
0.301
0.293
1.000
0.991
0.966
0.928
0.880
0.828
0.775
0.723
0.674
0.628
0.586
0.549
0.515
0.484
0.457
0.432
0.409
0.389
0.370
0.353
0.338
0.323
0.310
0.298
0.287
0.276
0.267
0.258
0.249
0.241
0.234
1.000
0.987
0.950
0.895
0.830
0.762
0.695
0.632
0.576
0.526
0.482
0.444
0.410
0.380
0.355
0.332
0.311
0.293
0.277
0.263
0.250
0.238
0.227
0.217
0.208
0.200
0.192
0.185
0.179
0.172
0.167
1.000
0.993
0.974
0.944
0.905
0.861
0.814
0.765
0.717
0.671
0.628
0.588
0.551
0.517
0.486
0.458
0.432
0.409
0.388
0.369
0.351
0.335
0.320
0.307
0.294
0.282
0.272
0.262
0.252
0.244
0.236
Toste Azevedo, 10/2000
2
y=(t/2)(x/l) y=(t/2)(x/l).5
1.000
0.990
0.962
0.920
0.868
0.812
0.756
0.701
0.651
0.605
0.563
0.526
0.492
0.462
0.435
0.411
0.389
0.370
0.352
0.335
0.321
0.307
0.294
0.283
0.272
0.262
0.253
0.244
0.236
0.228
0.221
1.000
0.987
0.951
0.898
0.838
0.776
0.716
0.662
0.613
0.569
0.530
0.495
0.465
0.437
0.413
0.391
0.371
0.353
0.337
0.322
0.308
0.295
0.284
0.273
0.263
0.253
0.245
0.237
0.229
0.222
0.215
y=t/2
1.000
0.981
0.931
0.865
0.797
0.732
0.673
0.621
0.576
0.535
0.500
0.469
0.441
0.416
0.393
0.373
0.355
0.338
0.323
0.309
0.297
0.285
0.274
0.264
0.254
0.246
0.237
0.230
0.223
0.216
0.210
Condução de calor transiente no interior de corpos de dimensão finita
Distribuição de temperatura em placa de área infinita, cilindro de comprimento infinito e
esfera considerando o corpo a uma temperatura inicial Tinicial trocando calor por
convecção (com coeficiente h) com um fluido a temperatura não perturbada Too.
Apresentam-se as soluções analíticas obtidas pelo método da separação das variáveis. As
soluções são apresentadas em termos adimensionais utilizando θ/ θi =(T-Too)/(Ti-Too), e
os números adimensionais de Fourier e de Biot:
αt
hL
Fo = 2 onde L é uma dimensão característica.
Bi =
k
L
Para baixos números de Fourier (~<0,2) a solução (que é representada por um somatório)
pode ser aproximada pelo primeiro termo. Adicionalmente para valores baixos do número
de Biot (Bi<0.05) os gradientes internos de temperatura são inferiores a 3% permitindo
desprezá-los e calcular a evolução da temperatura por:
⎡ hAt ⎤
θ
θ
= exp ⎢−
= exp[− Bi * Fo] ou
⎥
θi
θi
⎣ ρcV ⎦
onde A é a área de transferência de calor e V o volume do sólido.
Outro parâmetro indicado nas soluções é a energia transferida em relação ao máximo
possível ρcVθi definido para este caso por Q/QI=(1-θ)
Placa de área infinita.
Solução analítica para placa de espessura 2L.
∞
θ
⎛ x⎞
= ∑ C n exp(− ζ n2 Fo )cos⎜ ζ n ⎟
θ i n =1
⎝ L⎠
onde:
4 sin (ζ n )
Cn =
e ζn é uma solução de ζ n tan (ζ n ) = Bi
2ζ n + sin (2ζ n )
A energia transferida em relação ao máximo possível ρc2Lθi é obtida de:
∞
4 sin (ζ n )
sen(ζ n )
Q
θ sen(ζ n )
= 1−
= 1− ∑
exp(− ζ n2 Fo )
Qi
θi ζ n
ζn
n =1 2ζ n + sin (2ζ n )
Em ambas as equações ζn são as raízes da equação ζ n tg(ζ n ) = Bi e o valor para n=1
encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot.
Para Fo < 0,24 erro inferior a 1% para aproximação pelo primeiro termo:
θ ⎛
θ ⎛
x⎞
x⎞ θ
⎜ Bi, Fo, ⎟ = 0 (Bi, Fo ) * ⎜ Bi, ⎟
θi ⎝
θ0 ⎝ L ⎠
L ⎠ θi
onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro da placa (x/L=0).
A figura P1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura P2 a parcela θ/θ0
A figura P3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série.
A figura P4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo.
Formulário de Condução de Calor
8
Toste Azevedo, 10/2000
Cilindro de comprimento infinito.
Dimensão característica raio do cilindro R
Distribuição de temperatura
∞
2 J 1 (ζ n )
θ
⎛ r⎞
=∑
exp(− ζ n2 Fo )J 0 ⎜ ζ n ⎟
2
2
θ i n =1 ζ n (J 0 (ζ n ) + J 1 (ζ n ))
⎝ R⎠
Fracção de energia transferida
∞
2 J 1 (ζ n )
2 J (ζ )
θ J 1 (ζ n )
Q
= 1− 2
= 1− ∑
exp(− ζ n2 Fo ) 1 n
2
2
θi ζ n
ζn
Q0
n =1 ζ n (J 0 (ζ n ) + J 1 (ζ n ))
Em ambas as equações ζn são as raízes da equação ζ n J1 (ζ n ) / J 0 (ζ n ) = Bi e o valor para
n=1 encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot.
Para Fo < 0,21 o primeiro termo permite um erro inferior a 1%:
θ ⎛
θ ⎛
r⎞
r⎞ θ
⎜ Bi, Fo, ⎟ = 0 (Bi, Fo ) * ⎜ Bi, ⎟
θi ⎝
θ0 ⎝ R ⎠
R ⎠ θi
onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro do cilindro (r=0).
A figura C1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura C2 a parcela θ/θ0
A figura C3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série.
A figura C4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo.
Esfera
θ
θi
θ
θi
⎛ r⎞
sen⎜ ζ n ⎟
4[sen(ζ n ) − ζ n cos(ζ n )]
⎝ R⎠
exp − ζ n2 Fo
=∑
r
2ζ n − sin (2ζ n )
n =1
ζn
R
2
∞
4[sen(ζ n ) − ζ n cos(ζ n )]
exp − ζ n2 Fo
= 1. − 3 * ∑
ζ n ∗ [2ζ n − sin (2ζ n )]
n =1
∞
(
)
(
)
Distribuição de temperatura
Fracção de energia transferida
Em ambas as equações ζn são as raízes da equação 1.−ζ n cot g(ζ n ) = Bi e o valor para n=1
encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot.
Para Fo < 0,18 o primeiro termo permite um erro inferior a 1%:
θ⎛
r ⎞ θ0
(Bi, Fo) * θ ⎛⎜ Bi, r ⎞⎟
⎜ Bi, Fo, ⎟ =
θi ⎝
θ0 ⎝
R ⎠ θi
R⎠
onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro da esfera (r=0).
A figura C1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura C2 a parcela θ/θ0
A figura C3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série.
A figura C4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo.
Formulário de Condução de Calor
9
Toste Azevedo, 10/2000
Tabela A2 –Primeira raíz da equação característica e primeiro coeficiente da série.
Placa plana
Bi
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
100
∞
ζ1
C1
0.0998
0.1410
0.1732
0.1987
0.2217
0.2425
0.2615
0.2791
0.2956
0.3111
0.3779
0.4328
0.4801
0.5218
0.5932
0.6533
0.7051
0.7506
0.7910
0.8274
0.8603
1.0769
1.1925
1.2646
1.3138
1.3496
1.3766
1.3978
1.4149
1.4289
1.4961
1.5202
1.5325
1.5400
1.5552
1.5708
1.0017
1.0033
1.0049
1.0066
1.0082
1.0098
1.0114
1.0130
1.0145
1.0160
1.0237
1.0311
1.0382
1.0450
1.0580
1.0701
1.0814
1.0919
1.1016
1.1107
1.1191
1.1795
1.2102
1.2287
1.2402
1.2479
1.2532
1.2570
1.2598
1.2620
1.2699
1.2717
1.2723
1.2727
1.2731
1.2733
Formulário de Condução de Calor
Cilindro
ζ1
Esfera
C1
0.1412
0.1995
0.2439
0.2814
0.3142
0.3438
0.3708
0.3960
0.4195
0.4417
0.5376
0.6170
0.6856
0.7465
0.8516
0.9408
1.0185
1.0873
1.1490
1.2048
1.2558
1.5995
1.7887
1.9081
1.9898
2.0490
2.0937
2.1286
2.1566
2.1795
2.2881
2.3261
2.3455
2.3572
2.3809
2.4048
10
1.0025
1.0050
1.0075
1.0099
1.0124
1.0148
1.0173
1.0197
1.0222
1.0246
1.0365
1.0483
1.0598
1.0712
1.0932
1.1143
1.1346
1.1539
1.1725
1.1902
1.2071
1.3384
1.4191
1.4698
1.5029
1.5253
1.5411
1.5526
1.5611
1.5677
1.5919
1.5973
1.5993
1.6002
1.6015
1.6018
ζ1
C1
0.1730
0.2445
0.2989
0.3450
0.3852
0.4217
0.4550
0.4860
0.5150
0.5423
0.6608
0.7593
0.8448
0.9208
1.0528
1.1656
1.2644
1.3525
1.4320
1.5044
1.5708
2.0288
2.2889
2.4556
2.5704
2.6537
2.7165
2.7654
2.8044
2.8363
2.9857
3.0372
3.0632
3.0788
3.1102
3.1416
1.0030
1.0060
1.0090
1.0120
1.0149
1.0179
1.0209
1.0239
1.0268
1.0298
1.0445
1.0592
1.0737
1.0880
1.1164
1.1441
1.1713
1.1978
1.2236
1.2488
1.2732
1.4793
1.6227
1.7201
1.7870
1.8338
1.8674
1.8921
1.9106
1.9249
1.9781
1.9898
1.9942
1.9962
1.9990
2.0000
Toste Azevedo, 10/2000
Gráficos de solução para placa plana
P1
θo
θi
Fo=αt/L2
P1 – Variação de temperatura no centro de placa em função de Bi e Fo (Fo>0,24)
P2 – Diferença de temperatura numa posição na placa em relação à diferença no centro.
Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)
Erro de 1% para Fo < 0,24.
Formulário de Condução de Calor
11
Toste Azevedo, 10/2000
P3
θo
θi
P3 – Variação da temperatura no centro de placa para baixo nº Fourier.
P4
P4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode
acumular em função do tempo (expresso por Bi2Fo).
Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)
Formulário de Condução de Calor
12
Toste Azevedo, 10/2000
Gráficos de solução para cilindro
C1
θo
θi
C1 – Variação de temperatura no centro de cilindro em função de Bi e Fo (Fo>0,21)
Fo=αt/R2
C2
θo
θi
C2 – Diferença de temperatura numa posição do cilindro em relação à diferença no
centro.
Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)
Erro de 1% para Fo < 0,21.
Formulário de Condução de Calor
13
Toste Azevedo, 10/2000
C3
θo
θi
C3 – Variação da temperatura no centro do cilindro para baixo nº Fourier.
C4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode
acumular em função do tempo (expresso por Bi2Fo).
Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)
Formulário de Condução de Calor
14
Toste Azevedo, 10/2000
Gráficos de solução para esfera
E1
θo
θi
E1 – Variação de temperatura no centro de esfera em função de Bi e Fo (Fo>0,18)
Fo=αt/R2
E2
θo
θi
E2 – Diferença de temperatura numa posição da esfera em relação à diferença no centro.
Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)
Erro de 1% para Fo < 0,18.
Formulário de Condução de Calor
15
Toste Azevedo, 10/2000
C3
θo
θi
E3 – Variação da temperatura no centro da esfera para baixo nº Fourier.
E4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode
acumular em função do tempo (expresso por Bi2Fo).
Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)
Formulário de Condução de Calor
16
Toste Azevedo, 10/2000
Distribuição de temperatura e fluxo de calor na superfície em sólidos semi-infinitos.
A distribuição de temperatura em sólidos semi-infinitos inicialmente com valor uniforme
Ti é definida com base na equação fronteira imposta na superfície.
Temperatura
Convecção com coeficiente h com fluído a T∞
imposta Ts
2
T T − Ts = erf ⎛⎜ x ⎞⎟ T − T∞ = erf ⎛⎜ x ⎞⎟ + exp⎛⎜ x + h α t ⎞⎟erfc⎛⎜ x + h α t ⎞⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜2 α t
Ti − Ts
k ⎟⎠
k 2 ⎟⎠
⎝ 2 αt ⎠ Ti − T∞
⎝2 α t ⎠
⎝2 α t
⎝
k (Ts − Ti )
⎛h α t ⎞
⎛ h 2α t ⎞
⎟
q ′′ = h(T∞ − Ti ) exp⎜⎜ 2 ⎟⎟erfc⎜⎜
⎟
πα t
⎝ k ⎠
⎝ k ⎠
• erf – Função Erro e erfc=1-erf Complementar
A solução do caso com convecção é apresentada sob forma gráfica na figura seguinte:
(Notar que se usa uma definição diferente da do Incropera que considera (T-Ti)/(T∞-Ti))
q ′′ =
q"
No caso de fluxo imposto a distribuição de temperatura ao longo do tempo é dada por:
2q ′′ α t π
⎛ − x 2 ⎞ q ′′x
⎛ x ⎞
⎟⎟ −
⎟⎟
T − Ti =
exp⎜⎜
erfc⎜⎜
k
⎝2 α t ⎠
⎝ 4α t ⎠ k
Tabela 3 - Função erro (utilizada em soluções de transientes)
0.02
0.06
0.10
0.14
0.18
0.22
0.26
0.30
0.34
0.38
0.42
0.46
0.50
0.022565
0.067622
0.112463
0.156947
0.200936
0.244296
0.286900
0.328627
0.369365
0.409009
0.447468
0.484655
0.520500
0.52
0.56
0.60
0.64
0.68
0.72
0.76
0.80
0.84
0.88
0.92
0.96
1.00
(
0.537899
0.571616
0.603856
0.634586
0.663782
0.691433
0.717537
0.742101
0.765143
0.786687
0.806768
0.825424
0.842701
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.10
2.20
)
0.842701
0.880205
0.910314
0.934008
0.952285
0.966105
0.976348
0.983790
0.989091
0.992790
0.995322
0.997021
0.998137
2.25
2.35
2.45
2.55
2.65
2.75
2.85
2.95
3.05
3.15
3.25
3.35
3.45
0.998537
0.999111
0.999469
0.999689
0.999822
0.999899
0.999944
0.999970
0.999984
0.999992
0.999996
0.999998
0.999999
erf ( y) ≈ 1. − 1.5577 × exp − 0.7182 × (y + 0.7856)2 com erro inferior a 1%.
Formulário de Condução de Calor
17
Toste Azevedo, 10/2000