a
Gabarito da 2
1
o
Avaliação de Matemática do 2
o
Bimestre
ano de Informática, 5 de julho de 2012
Q1. (2,5) Na gura abaixo, os segmentos
AE
e
CD
são alturas do triângulo
ABC .
(a) (0,5) Assinale V (verdadeiro) nas alternativas que apresentam uma consequência correta das
informações dadas e F (falso) nos casos contrários.
( V )
α
e
β
são ângulos retos;
∆ABC ;
CD são
de BC e D
( F ) P é o baricentro de
( V ) Os segmentos
AE
( F ) E é ponto médio
e
cevianas do triângulo
é ponto médio de
ABC ;
BA.
x, y , z , u, v , w.
Solução.
Como AE e CD são alturas, os ângulos α, β , u e v são todos retos. No ∆ABE ,
◦
◦
◦
◦
◦
teremos 80 + 90 + y = 180 , assim, y = 10 . Analogamente, em ∆CBD , teremos x = 10 . No
◦
◦
◦
◦
∆ADP , teremos 10 + 90 + w = 180 , assim, w = 80 . Finalmente, z é suplementar de w, logo
z = 180◦ − w = 180◦ − 80◦ = 100◦ .
◦
◦
◦
◦
Conclusão: u = v = 90 , x = y = 10 , z = 100 e w = 80 .
(b) (1,0) Calcule
(c) (0,5) Classique os ângulos citados no item anterior como agudos, retos ou obtusos.
Solução.
u
e
v
são retos,
x, y
e
w
são agudos,
(d) (0,5) Dentre os ângulos citados no item
b,
z
é obtuso.
há pares de ângulos complementares e também pares
de ângulos suplementares. Quais são eles?
Solução.
Os ângulos
u
e
complementares, assim como
v
y
são suplementares, assim como
e
w.
z
e
w.
Os ângulos
x
e
w
são
2
Q2. José, irmão de Josias, decidiu vender cachorros-quentes (com hífen!)
em um carrinho.
Antes de
começar, porém, resolveu realizar uma pesquisa de mercado para determinar que preço adotar. A
pesquisa constatou que, se o preço em reais do cachorro-quente é
quentes vendidos mensalmente,
N (x),
x,
então o número de cachorros-
é aproximado pela fórmula:
N (x) = 5 000 − 500x
Seja
R(x)
a receita obtida em um mês, ou seja, o total de dinheiro arrecadado pelas vendas. Com
base nesses dados:
(a) De acordo com a pesquisa, quantos cachorros-quentes serão vendidos se o preço for R$ 3,00?
Solução. Se
x=3
então
N (x) = N (3) = 5 000 − 500 · 3 = 3 500.
(b) Qual a fórmula da receita mensal em função do preço?
Solução.
A receita é dada pela multiplicação do número de unidades vendidas pelo preço de
R(x) = N (x) · x = (5 000 − 500x)x = 5 000x − 500x2 . Assim,
venda de cada produto. Assim,
R(x) = −500x2 + 5 000x.
(c) Qual deve ser o preço do cachorro-quente para que José obtenha a receita máxima?
(Não
estamos aqui considerando os custos!)
o
Solução. A receita é uma função do 2
grau do preço,
R(x) = −500x2 + 5 000x.
Assim, o preço
será dado pelo x do vértice:
xv = −
−5 000
b
=
= 5.
2a
2 · (−500)
Logo, o preço deve ser de R$ 5,00.
(d) Qual o valor máximo possível para a receita mensal?
Solução.
O valor máximo da receita é o y do vértice, em que
y = R(x).
Poderíamos então
aplicar a fórmula
∆
.
2a
xv na
yv = −
Em lugar disso, é mais fácil substituir o valor de
fórmula da receita. Teremos:
R(xv ) = (5 000 − 500xv )xv = (5 000 − 500 · 5) · 5 = 2 500 · 5 = 12 500.
Assim, a receita máxima é de R$ 12 500,00.
(e) Esboce o gráco de
R(x)
marcando as raízes e o ponto correspondente à receita máxima, com
suas duas coordenadas.
Solução. <O esboço será uma parábola de concavidade voltada pra baixo, cortando o eixo
nos valores
x
x = 0 (origem) e x = 10, devendo ser nela marcado o vértice (xv , yv ) = (5, 12 500).>
3
Q3. Resolva as equações e inequações:
(a)
x + 7x − 8 < 0
(b)
6x2 + 6x − 12
x + 2x ≥
3
(c)
x5 + 10x4 + 9x3 = 0
(d)
x(x + 4) = −3
(e)
(x − 1)(x + 4) ≥ 0
(f )
(x + 2)(4 − x2 ) ≥ 0
2
2
4
Q4. Josias, irmão de José, é dono de uma barraca de pipoca que vende o saquinho de pipoca a R$ 2,50.
O custo total para produzir cada saquinho de pipoca é de R$ 0,50 e, fora esse custo, a barraca tem
um custo xo mensal de R$ 400,00. Considere as seguintes notações:
• x:
o número de saquinhos de pipoca vendidos em um mês.
• R(x):
a receita total mensal.
• C(x):
o custo total mensal.
• L(x):
o lucro total mensal.
Com base nesses dados:
R(x), C(x) e L(x) (como funções de x).
R(x) = 2,5x, C(x) = 0,5x + 400, L(x) = R(x) − C(x) = 2x − 400
(a) Determine as fórmulas de
Solução.
(b) Determine qual deve ser a venda mínima para que a barraca de Josias dê lucro.
Solução. A condição é que
L(x) > 0,
ou seja, basta resolver a inequação:
2x − 400 > 0
2x > 400
400
= 200
x>
2
Assim, para ter lucro, Josias precisa vender mais que
200
saquinhos, ou seja, pelo menos
201.
(c) Em determinado mês, Josias teve lucro de R$ 800,00. Quantos saquinhos foram vendidos nesse
mês?
Solução.
L(x) = 800
2x − 400 = 800
2x = 400 + 800
2x = 1200
1200
x=
2
x = 600
Assim, nesse mês foram vendidos
600
saquinhos.
BOA PROVA!