22ª aula
Sumário:
Princípio de Pascal. Princípio de Arquimedes. Dinâmica de fluidos: fluxo laminar e
fluidos não viscosos. Equação de continuidade.
Princípio de Pascal
A atmosfera exerce uma pressão sobre todos os corpos nela imersos, incluindo
outros fluidos. Ora a pressão adicional externa que se exerce sobre um fluido é
transmitida, sem redução a todos os pontos desse fluido, o que é conhecido por
Princípio de Pascal, que foi formulado no século XVII. Numa piscina com água, a
pressão à superfície é a pressão atmosférica, P0. A uma profundidade h a pressão é,
como sabemos já da aula anterior, P = P0 + ρ g h. Se a pressão atmosférica variar e
passar a ser P'0, também a pressão à profundidade h varia, passando a ser
P' = P'0 + ρ g h. A variação de pressão ocorrida na atmosfera transmitiu-se na mesma
exacta medida a todos os pontos da água da piscina. Se se quiser aumentar de ∆P a
pressão da corrente sanguínea na ponta do dedo do pé, esse aumento pode ser realizado
em qualquer ponto dos vasos sanguíneos.
Fica pois claro que uma pressão externa aplicada a um fluido encerrado num
recipiente é transmitida sem diminuição a todos os pontos do fluido e às paredes do
recipiente que o contém. O princípio de Pascal tem uma aplicação muito útil no
elevador hidráulico que se representa na Fig. 22.1.
A
F
A'
F'
Figura 22.1
Do lado esquerdo aplica-se uma força de intensidade F sobre um êmbolo de área
pequena A. A pressão adicional que, por esta via, se exerce no fluido é
P=
F
A
(22.1)
Este acréscimo de pressão vai aparecer no lado direito, o que se traduz no aparecimento
de uma força de intensidade F' que o fluido exerce sobre o êmbolo de área grande A', tal
que
F'
P=
.
(22.2)
A'
Tem-se pois que
1
donde
F F'
=
A A'
F' =
(22.3)
A'
F.
A
(22.4)
A razão F ' / F é denominada "vantagem mecânica".
Princípio de Arquimedes
Quando um corpo se encontra imerso num fluido (num líquido, por exemplo),
fica sujeito a uma força vertical, dirigida de baixo para cima, de valor igual ao peso do
volume de fluido que é deslocado pela presença do corpo. Esta lei, conhecida por
Princípio de Arquimedes, já tem mais de dois mil anos!
Quando um corpo está imerso num líquido este exerce sobre o corpo forças que,
em cada ponto do corpo, são o produto da pressão pela área elementar em torno desse
ponto. A direcção da força é a da perpendicular à superfície do corpo nesse mesmo
ponto. O princípio de Arquimedes refere-se à resultante de todas estas forças
elementares (representadas do lado esquerdo da Fig. 22.2) ou seja à força de impulsão
I representada no lado direito da Fig. 22.2.
I
V
Figura 22.2
A intensidade da força de impulsão é
I = ρ gV
(22.5)
onde ρ é a densidade do fluido e V o volume de fluido deslocado pela corpo imerso. Se
o corpo flutua, o seu peso iguala a força de impulsão. É a força de impulsão a
responsável pela flutuação dos barcos. Mas atenção! Para que um barco flutue não é
apenas necessário que o peso e a impulsão se compensem. É indispensável, além disso,
que o momento das duas forças seja nulo (caso contrário o barco volta-se).
Dinâmica de fluidos: fluxo laminar e fluidos não viscosos
Como dissemos no início da aula anterior, para descrever o movimento de um
fluido, em princípio poder-se-iam aplicar as leis de Newton a cada partícula do fluido,
entendendo-se por “partícula” uma porção de fluido contido num volume pequeno. Ora,
2
tal análise exaustiva além de ser difícil ou mesmo impossível de levar a cabo seria
pouco útil em virtude do manancial de informação que teria de ser analisada…
A alternativa é olhar para grandezas como a velocidade, a pressão, etc. Além
disso, para manter o formalismo a níveis matemáticos elementares é necessário
considerar algumas simplificações. A primeira aproximação consiste no chamado fluxo
laminar, assim designado por oposição ao chamado fluxo turbulento. Tem-se fluxo
laminar quando camadas adjacentes de fluido deslizam suavemente umas sobre as
outras. O movimento do fluido é representável por linhas de corrente, como as que se
mostram na Fig. 22.3
Figura 22.3
Em regime de fluxo laminar as linhas de corrente não se entrelaçam, o que significa que
as várias “lâminas” de fluido se sobrepõem mas sem se misturarem. O mesmo já não
sucede com o regime de fluxo turbulento. Este é a situação que se observa quando, por
exemplo, há um obstáculo no caminho de um fluido em escoamento laminar. Os
remoinhos que então se criam indicam mistura das várias linhas de corrente que antes se
não tocavam.
Figura 22.4
Além de considerarmos a situação da Fig. 22.3 vamos ainda supor que:
-
o fluido não é viscoso; isto significa que não há atrito interno ou, por outras
palavras, não há dissipação de energia enquanto o fluido escoa.
o fluxo é estacionário: num dado ponto a velocidade e a pressão são sempre as
mesmas (não variam ao longo do tempo)
o fluxo é irrotacional (uma pequena pá colocada num qualquer ponto não roda,
apenas se desloca)
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Equação de continuidade
Claro que a velocidade de uma partícula do fluido não é sempre a mesma. Ao
longo de um tubo por onde um fluido escoa a velocidade pode variar. Esta variação da
velocidade ao longo de uma linha de corrente é uma situação geral. Sabemos que
quando um tubo estreita a velocidade do fluido é maior (quando se rega com uma
mangueira, a diminuição da secção de saída da água, que é controlada com o dedo, faz
aumentar a velocidade da água que assim atinge uma distância maior.
A Fig. 22.5 mostra um tubo ao longo do qual está a escoar um fluido,
considerando que a velocidade é a mesma em qualquer ponto de uma dada secção recta
do tubo: assim, a velocidade do fluido em qualquer dos pontos da secção recta de área
A1 é v1 ; em qualquer ponto dos pontos da secção recta de área A2 é v2 , etc.
1
A1
v1
2
A2
v2
Figura 22.5
No intervalo de tempo ∆t o fluido avançou de uma distância ∆ 1 = v1∆t a partir da
secção recta de área A1. Por outro lado, avançou ∆ 2 = v 2 ∆t a partir do ponto da secção
recta de área A2. Ora, o fluido de trás "empurra" todo o fluido à frente pelo que a massa
de fluido contido no volume V1 = A1 ∆ 1 tem de ser igual à massa de fluido no volume
V2 = A2 ∆ 2 . Esta igualdade das massas exprime-se por
ρ 1 A1 ∆
1
= ρ 2 A2 ∆
2
(22.6)
ou ainda,
ρ1 A1 v1 = ρ 2 A2 v 2 ,
(22.7)
sendo ρ 1 e ρ 2 as densidades do fluido em 1 e 2, respectivamente. A equação anterior é
designada equação de continuidade. Esta equação escreve-se de forma mais simples no
caso do fluido ser incompressível. Nesta situação, a densidade não varia e, portanto,
tem-se
A1 v1 = A2 v 2 .
(22.8)
A equação de continuidade para fluidos incompressíveis tem muitas aplicações práticas.
Vejamos uma relativa à circulação sanguínea no corpo humano. O sangue na artéria
aorta, cujo raio é 0,01 m, flui com velocidade 0,3 m/s. Nos vasos capilares, cujo raio é
4 × 10 −6 m o sangue flui com velocidade 5 × 10 −4 m/s. A equação anterior permite-nos
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fazer uma estimativa do número de vasos capilares no corpo humano. A área total dos
capilares é o número n de capilares a multiplicar pela área de cada um. Tem-se então
π (10 −2 ) × 3 × 10 −1 = nπ 4 × (10 −6 ) × 5 × 10 −4
2
2
(22.9)
donde se obtém n ≈ 4 × 10 9 . Há cerca de quatro mil milhões de capilares no ser humano!
A2
A1
aorta
capilares
Figura 22.6
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