Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas
(EPGE/FGV)
Análise II
Professor: Rubens Penha Cysne
Monitor: David Turchick
27 de Abril de 2006
Lista de Exercícios 4 - Parte 1
Otimização Condicionada II
Data de Entrega: Sexta Feira dia 05 de Maio, em sala de aula
Obs - Apenas os exercícios asteriscados, de…nidos em sala até a última
aula antes da data de entrega, precisam ser entregues por escrito.
1 - Use o teorema de Kuhn e Tucker para demonstrar o interessante princípio de …nanças: "Se o risco é favorável do ponto de vista atuarial, então o
indivíduo avesso ao risco sempre aceitará um pouco do mesmo". Do ponto
de vista de seguro, isto se lê sob a forma: "Se o seguro não é justo do ponto
de vista atuarial, o indivíduo avesso ao risco não fará seguro total".
Sugestão: Assuma que o indivíduo tem função utilidade de Bernoulli u(:)
e que o mesmo é avesso ao risco. Trabalhe com dois ativos, o primeiro sempre
pagando 1 u.m., em qualquer estado da natureza, e o outro pagando a u. m. ,
ambos por unidade monetária investida. a é uma variável aleatória de…nida
no espaço de medida ( ; z; ): Traduza a idéia de "risco favorável do ponto
de vista atuarial" como um valor esperado do ativo com risco superior ao
retorno do ativo sem incerteza, ou seja:
Z
ad > 1
(1)
Assuma que o indivíduo tem uma renda normalizada igual a y unidades
monetárias e que o mesmo não possa se endividar nos ativos considerados,
ou seja, se corresponde à fração da renda aplicada no ativo com risco,
0
1
1
(2)
Desta forma o indivíduo escolhe de forma a maximizar:
Z
f ( ; y) = u( ya + (1
)y) (da)
sujeito a (2). Nestes termos, o exercício resume-se a provar uma a…rmativa
a respeito de (qual?).
2 - Minimize f (x1 ; x2 ) = x21 2x1 + x22 + 1
sujeito a x1 + x2 0 e x21 4 0
3) Formule e resolva um exercício original (de sua autoria) de maximização condicionada, sob a forma de desigualdade. Em termos da simbologia
de…nida em sala, trabalhe maximizando f : U ! R; U um convexo não
vazio do Rn , f côncava, sujeita a m restrições sob a forma de desigualdade
gi (x)
0; g : U ! R; i = 1; 2; :::,m. Trabalhe com: a)n = 2; m = 1;
b)n = 2; m = 2; c)n = 2; m = 3 (faz sentido?). Detalhe todas as etapas
da utilização do teorema de Kuhn e Tucker. Em todos os casos, trabalhe
com casos nos quais vale a condição de Slater (que deve ser checada). Em
seguida, dê um exemplo em qualquer um dos três casos no qual não valha a
condição de Slater. Mostre o que ocorre quando se tenta utilizar o teorma
de Kuhn e Tucker.
4) Resolva os exercícios 4 (página 222) e 7 (página 227) do livro texto.
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