Objetivos
• Estudo da equação de Euler para fluido sem
viscosidade.
Fenômenos de Transporte
• Estudo da equação de Bernoulli para
escoamento permanente.
Escoamento Incompressível de
Fluidos Não Viscosos
• Definição das linhas de energia e piezométrica
Prof. M. Sc. Lúcio P. Patrocínio
2
Análise Diferencial
Introdução
Características
• Contribui com as equações de Navier-Stokes para um
fluido incompressível e viscosidade constante.
• Métodos de análise do movimento de um
fluido
• Necessita de modelos computacionais complexos para
modelar fenômenos simples.
– Estimativa dos efeitos globais: Equações
Integrais.
• Equação de Euler: Simplicação das equações de
Navier-Stokes para escoamento não viscoso.
– Análise de uma região infinitesimal do
escoamento: Análise diferencial.
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
3
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
4
Equação de Euler em Coordenadas de
Linhas de Corrente
Equação de Euler
1 ∂p
• Teorema do Momento Linear
ρ ∂s
r
r
DV
ρ
= ρg − ∇p
Dt
= −V
∂V
∂s
• Aplicável a
– Fluido invíscido
– Escoamento incompressível
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
5
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
6
1
Equação de Euler em Coordenadas de
Linhas de Corrente
Equação de Euler em Coordenadas de
Linhas de Corrente
• Equação de Euler na direção da linha de corrente
• Equação de Euler na direção normal a linha de corrente
para escoamento permanente
1 ∂p
∂Z ∂V
∂V
−
−g
=
+V
ρ ∂s
∂s
∂t
∂s
1 ∂p
∂Z V 2
+g
=
ρ ∂n
R
∂n
• Eq. De Euler para regime permanente e desprezando
forças de campo
• Eq. De Euler normal a linha de corrente para regime
permanente em um plano horizontal
1 ∂p
∂V
= −V
ρ ∂s
∂s
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
1 ∂p V 2
=
ρ ∂n R
7
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
Exemplo 01
8
Exemplo 01
• A vazão de ar na condição-padrão, em um duto plano,
deve ser determinada pela instalação de tomadas de
pressão em uma curva.
• O duto tem 0,3 m de altura por 0,1 m de largura.
• O raio interno da curva é 0,25 m.
• Se a diferença de pressão medida entre as tomadas é
de 40 mm de coluna de água, estime a vazão em
volume.
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
9
Equação de Bernoulli
10
Equação de Bernoulli
• Obtida pela integração da eq. De Euler ao
longo da linha de corrente para escoamento
permanente.
• Restrições
– Escoamento em regime permanente
– Escoamento incompressível
P V2
+
+ gz = constante
ρ 2
– Escoamento sem atrito
– Escoamento ao longo de uma linha de
corrente.
• Bastante restrita.
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
11
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
12
2
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
• Onde usar?
• Outras Restrições
– Nenhum trabalho de eixo
– Regiões onde o escoamento do fluido
apresenta viscosidade desprezível.
– Nenhuma transferência de calor devido ao
atrito (conversão de energia mecânica em
térmica).
– Regiões distantes de paredes sólidas (fora da
camada limite)
– Fora das esteiras de corpos em movimento
ao longo de um fluido.
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
13
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
14
Equação de Bernoulli
Observações
Outra forma
• Equação descrevendo a carga total
• A equação de Bernoulli pode ser deduzida da
equação integral da 1ª. Lei da Termodinâmica.
p+
• Quando o escoamento é irrotacional , o valor da
eq. De Bernoulli permanece constante entre
dois pontos de linhas de corrente distintas.
ρV 2
2
+ ρgz = constante
– p = pressão estática (termodinâmica)
– ρV²/2 = pressão dinâmica
– ρgz = pressão hidrostática
– P + ρV²/2 = pressão de estagnação
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
15
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
Exemplo 02
Exemplo 03
Água aspergida no Ar
Descarga de água de um tanque grande
•
A água escoa de uma mangueira ligada a uma
tubulação de água à pressão manométrica de
400 kPa.
• Um tanque grande aberto para a
atmosfera é preenchido com água até
uma altura de 5 m da saída da torneira.
•
Uma criança coloca o polegar para cobrir a
maior parte da saída da mangueira, fazendo
com que surja um fino jato de água à alta
velocidade.
• Uma torneira próxima à parte inferior
do tanque é aberta, e a água escoa
para fora da torneira de maneira suave.
•
Se a mangueira for mantida para cima, qual é a
altura máxima que pode ser atingida pelo jato?
• Determine a velocidade da água na
saída.
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
17
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
16
18
3
Exemplo 04
Exemplo 05
Tubo de Pitot
•
•
Escoamento através de um sifão
Um tubo de Pito é inserido em um escoamento de ar (na condiçãopadrão) para medir a velocidade do escoamento.
O tubo é inserido apontando para montante dentro do escoamento,
de modo que a pressão captada pela sonda é a pressão de
estagnação.
•
A pressão estática é medida no mesmo local do escoamento com
uma tomada de pressão na parede.
•
Se a diferença de pressão é de 30 mm de mercúrio, determine a
velocidade do escoamento.
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
19
•
Um tubo em U atua como um sifão de água.
•
A curvatura no tubo está 1 m acima da
superfície da água.
•
A saída do tubo está 7 m abaixo da superfície
da água.
•
A água sai pela extremidade inferior do sifão
como um jato livre para a atmosfera.
•
Determine a velocidade do jato livre e a
pressão absoluta mínima da água na
curvatura.
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
Equação de Bernoulli
Exemplo 05
Outra forma
Escoamento em um bocal
• Ar escoa em regime permanente e com baixa
velocidade através de um bocal horizontal que o
descarrega para a atmosfera.
• Equação descrevendo a carga total
p V2
+
+z=H
ρg 2 g
• Na entrada do bocal, a área é 0,1 m² e, na saída, 0,02
m².
Temos:
21
− H = Altura de carga total
p V2
+
+ z = linha de energia
ρg 2 g
p
− LP =
+ z = linha piezométrica
ρg
− LE =
• Determine a pressão manométrica necessária na
entrada do bocal para produzir uma velocidade de saída
de 50 m/s.
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
20
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
22
Referências
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
23
•
BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. Rio de
Janeiro: LTC, 2006.
•
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e
Aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
•
FOX, R.; McDONALD, A. T. Introdução a Mecânica dos Fluidos. 3ª. Ed.
Rio de Janeiro: Ed. Guanabara, 1988.
•
POTTER, M.C.;SCOTT, E. P. Ciências Térmicas: Termodinâmica,
mecânica dos fluidos e transmissão de calor. São Paulo:Thomson
Learning, 2007.
•
STREETER, V. L.; WYLIE, E. B. Mecânica dos Fluidos. 7ª.ed. São Paulo:
McGraw-Hill, 1982.
Esc. Incompressível de Fluidos Não Viscosos - Prof. Lúcio P. Patrocínio
24
4