GABARITO
01)
Vf
= Vi − Ve
a) Por definição temos que a diagonal D vale:
√
√
D = a 3 ⇒ D = 4 3cm
Vf
=
6000m3 − 1800m3
Vf
=
4200m3
b) A área da lateral é dada pela soma das áreas dos quatro
Desta forma:
lados que a compõe:
Al = 4 · a2 ⇒ Al = 4 · (4cm)2 ⇒ Al = 64cm2
30 · 20 · h =
4200
600h =
4200
c) O cubo tem seis lados, portanto:
h =
7m
At = 6 · a2 ⇒ Al = 6 · (4cm)2 ⇒ Al = 96cm2
Resposta: letra C
02) Sendo as dimensões de um paralelepı́pedo a, b, c, e tendo as
05) Sabendo que o volume de um cubo é dado por V = a3 ,
dimensões b = a + 2 e c = a + 4. Por definição tem-se:
temos que:
√
D
=
35
=
p
a2 + (a + 2)2 + (a + 4)2
p
a2 + a2 + 4a + 4 + a2 + 8a + 16
35
=
3a2 + 12a + 20
0
=
3a2 + 12a − 15
0
=
a2 + 4a − 5
√
3
√
3
V
=
a
3375
=
a
15
=
a
(÷3)
Desta forma a área lateral é:
Resolvendo a equação de 2o grau, temos que a0 = 1 e a00 = −5.
Al
=
4 · a2
Como dimensão não pode ser negativa, concluimos que a = 1.
Al
=
4 · 225
Al
=
900cm2
Logo, b = a + 1 ⇒ b = 3 e c = a + 4 ⇒ c = 5.
Resposta: 1, 3, 5
Resposta: letra B
06) A área total do sólido obtido é dada pela soma dos quadrados de lado 1 que formam a figura. Portanto:
3
03) O volume de um cubo é dado por V = a e a diagonal por
√
D = a 3. Portanto:
D
√
2 3
√
a 3
√
a 3⇒a=2
=
=
At
=
(8 + 5) · 6 · 1
At
=
13 · 6
At
=
78cm2
Resposta: letra C
e
V
=
a3
V
=
23 = 8
07) I. VERDADEIRA
• Diagonal da base: D = 1
• Aresta: Pelo Teorema de Pitágoras√temos que 12 =
1
2
a2 + a2 . Assim 2a2 = 1 ⇒ a = √ =
2
2
√ !2
2
2
1
2
• Área da face: Af = a =
= =
2
4
2
Resposta: V = 8cm3
04) Basta calcular o volume inicial (Vi ) e diminuir do volume
evaporado (Ve ):
3
• Volume do cubo (V): V = a =
Vi
=
30m · 20m · 10m
Vi
=
6000m3
Ve
=
1800m3
Sistema de Ensino Energia
√ !3
√
√
2 2
2
2
=
=
2
8
4
√
√
2 1
2
• Soma dos valores (S): S = 1 +
+ +
2
2
4
√
√
√
4+2 2+2+ 2
6+3 2
S=
=
≈ 2, 56
4
4
1
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
Como 1m3 = 1000 litros, conclui-se que Vt = 12, 8 litros.
II. FALSA
Do item I temos que a aresta e o volume do cubo são irracionais.
Resposta: letra C
III. FALSA
Produto
valores (P):
√
√ dos quatro
2
1
2
2 1
·1·
· =
= ≈ 0, 12
P =
2
4 2
16
8
IV. VERDADEIRA
Valores ordenados:
Perceba
que:
√
2
2
1
=
1
√2
2
2
=
combate de incêndios:
√
√ !
2 1
2
1,
, ,
2 2 4
√
√
2
4
1
2
11) Basta calcular h baseado no volume de água destinada ao
2
=
2
18m3
=
3m · 4m · h
18m3
18m3
12m2
1, 33m
=
12m2 · h
= h
≈ h
Portanto, a altura deve ser de pelo menos 1, 5m.
Resposta: letra B
Resposta: letra B
08) Primeiramente calcula-se o volume lı́quido até a altura de
12) Sendo a aresta do menor cubo igual a ”a”, então:
8cm e subtrai do volume evaporado:
Vi = 60 · 40 · 8 = 19200
V = a3
Vf = 19200 − 1200 = 18000
Mas como o volume do cubo miaor é Vm = 2V , temos que:
Desta forma:
√
Vm = 2 · a3 = a 3 2
60 · 40 · hf
=
2400hf
=
hf
18000
Resposta: letra D
18000
18000
=
= 7, 5
2400
13) Sabendo que as arestas representam a uma progressão aritimética então:
Logo, a altura da caixa está entre 7, 0 e 7, 6.
AB = a, AE = a + 4 e EH = a + 8
Resposta: letra C
Desta forma, tirando-se os valores das faces onde o bloco foi
09) Basta descobrir como o volume é alterado ao se multiplicar
apoiado temos:
suas dimensões por 2, 5. Sendo as dimensões da pedra representadas por a, b, c, temos:
a · a · (a + 8)
• Volume original da pedra: Vo = a · b · c
a2 + 8a
• Volume final da pedra:
Vf = a · 2, 5 · b · 2, 5 · c · 2, 5
Vf = a · b · c · (2, 5)3
Vf = Vo · (2, 5)3
=
a · (a + 4) · (a + 2)
= a2 + 6a + 8
2a
=
8
a
=
4
Portanto, as arestas do bloco medem AB = 4, AE − 4 = 4 e
Portanto, o preçoda pedra será dada por:
EH = 12 e o volume do bloco é dado por:
P = 200 · (2, 5)3 = 200 · 15, 625 = 3125
V
Resposta: letra E
=
4cm · 4cm · 12cm
=
192cm3
=
1, 92 · 104 m3
10) Precisamos calcular a soma dos volumes dos cubinhos imerComo 1m3 = 1000 litros, então: V = 0, 192 litros.
sos na água. Sabendo que 4cm = 0, 04m, temos:
Vt = 200 · (0, 04)3 = 0, 0128m3
Sistema de Ensino Energia
Resposta: letra C
2
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
14) Basta calcular o volume da barra no formato de parale-
fundo é menor.
lepı́pedo. Como seu valor é igual ao da barra cúbica, temos:
Portanto, sabendo que o volume é de 8m3 e a altura é de 1m,
temos:
Ac = Ap = 18 · 3 · 4 = 216
Ac = a3
a
216
√
216
=
a
=
a·a·a·1
=
8m3
a2
=
8
a
=
=
√
2 2
6
O custo do revestimento será:
Resposta: letra B
15)
01. VERDADEIRO
Sendo x = 8, as dimensões da caixa são (20 − 16), (30 − 16) e
8. Portanto o volume é dado por: V = 4 · 14 · 8 = 448cm
P
=
√
√
(2 2)2 · 30 + 4 · (2 2 · 40)
P
=
240 + 448
P
=
688
3
Resposta: letra D
02. VERDADEIRO
Sendo x = 3, as dimensões da caixa são (20 − 6), (30 − 6) e 3. 19) Como o volume do bloco e do orifı́cio são iguais, então o
Portanto a área da base é dada por: Ab = 14 · 24 = 336cm2
volume do orifı́cio é dado por:
04. FALSO
V =
Sendo x = 1, as dimensões da caixa são (20 − 2), (30 − 2) e 1.
Portanto o volume é dado por: V = 18 · 28 · 1 = 504cm3
803
512 · 103
=
= 256 · 103
2
2
Portanto,
80 · L2
=
O volume da caixa considerando x é:
L2
=
V = (20 − 2x) · (30 − 2x) · x
L2
=
08. FALSO
2
V = (600 − 40x − 60x + 4x ) · x
L =
V = 4x3 − 100x2 + 600x
L =
Constituindo uma função do terceiro grau.
L =
L =
Resposta: 03
256 · 103
256 · 103
80
3200
√
3200
√
26 · 2 · 52
√
23 · 5 2
√
40 2
Resposta: letra B
16) Por definição o produto das três dimensões indicadas resulta na medida do volume.
20) Sabendo o volume de água perdida é de 20000 litros, então:
Resposta: letra B
20 · 10 · h =
20000
17) Como o copo está com 80% de sua capacidade, então restam
200 · h =
20000
2cm do copo sem água. Portanto, ao se inclinar o copo, a água
h =
irá percorrer os 2cm restantes antes de derramar formando
100 litros
Como 1000L = 1m3 , então:
assim um triângulo isósceles de lados iguais a 4cm.
Como o ângulo da água em relação ao copo é o mesmo do copo
h =
o
em relação ao chão, então α = 45 .
=
Resposta: letra A
=
18) Para que o custo do revestimento seja mı́nimo, a base do
100
1000
1
10
0, 1m3
Resposta: letra C
tanque deve ser quadrada, já que o custo para se revestir o
Sistema de Ensino Energia
3
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
Já as raı́zes de (24 − 2x) · x2 = 512 são:
√
√
x = 8, x0 = 8 − 4 3 e x00 = 4(2 − 3).
21) Sendo o volume do prisma 1080 litros e sabendo que
1m3 = 1000 litros, temos:
V =
1080
= 1, 08m3
1000
08. FALSO
Não, os perı́metros se mantêm iguais.
Portanto,
16. FALSO
V
=
1, 5m · 0, 8m · h
Não, pois uma das raı́zes da equação será 14 e se x = 14 então
1, 08m3
1, 08m3
1, 2m2
90cm = 0, 9m
=
1, 2m2 · h
o lado da base da caixa seria zero, o que é impossı́vel.
= h
32. FALSO
= h
Sendo o volume dado por:
V = (20 − x)2 · x, então
Resposta: letra B
484 = (20 − x)2 · x
22) Sendo o volume de água adicionada igual a 500 litros e
Resposta: 02
sabendo que 1000L = 1m3 , então:
V =
24)
500
= 0, 5m3
1000
01. VERDADEIRO
Como o prisma é reto e tem base quadrada, as faces do mesmo
Como com 500 litros a altura da água sobe 10cm e sendo a
serão retangulares.
aresta da base ”a”, então:
02. FALSO
0, 1 · a2 = 0, 5
√
a = 5m
Portanto, como a altura do depósito é 2m, temos:
√
V = 2 · a · a = 2 · a2 = 2 · ( 5)2 = 2 · 5 = 10
Pela figura é possı́vel ver que partem 3 arestas de casa vértice
e portanto 6 de dois vértices consecutivos.
Resposta: letra C
04. FALSO
23)
01. FALSO
Suponha x = 1.
Neste caso a área da superfı́cie é As =
2
(22) + 4(1 · 22) = 572 e o volume V = 222 · 1 = 484
Agora suponha x = 6.
Neste caso a área da superfı́cie é
As = (12)2 + 4(6 · 22) = 432 e o volume V = 122 · 6 = 864
Conforme está representado, o plano P 1 contém os vértices 1,
2 e 3, mas não o 4; e o plano P 2 contém os vértices 1, 2 e 4,
02. VERDADEIRO
mas não o 3.
O volume da figura é dado por
V = (24 − x) · (24 − x) · x
08. VERDADEIRO
2
V = (24 − x) · x
04. FALSO
Para encontrar as raı́zes de 4 · (x − 8) · (x2 + 16) temos que:
x − 8 = 0 ⇒ x = 8, ou
x2 + 16 = 0, mas x2 + 16 > 0, ∀x ∈ R.
Sistema de Ensino Energia
4
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
16. VERDADEIRO
b) O plano definido por B, C e D1 passa por A1 . Como a
Para que o volume seja primo é necessário que o lado da base
diagonal AB1 é perpendicular a A1 B e ortogonala BC, já que
seja 1 e portanto a altura será necessariamente igual a 2.
é perperdicular a B1 C1 , é paralelo a BC. Logo a diagonal AB
32. VERDADEIRO
São seis faces do primas e como o mesmo tem 8 vértices, sobram
é perpendicular
ao plano e a distância é:
√
AB
2 2 √
=
= 2
2
2
√
Resposta: 2cm
quatro para formar pirâmides. Portanto o total de pirâmides é
dado por T = 4 · 6 = 24 pirâmides.
27) O volume é dado por:
√
a3 · 2
V =
12
√
√
(3 2)3 · 2
V =
12
V = 9
Resposta: 57
25) Pelo Teorema de Pitágoras, temos que a aresta ”a” da base
vale:
a2 + a2
=
√
(6 2)2
2a2
=
36 · 2
2
=
a
a
36
√
=
36 = 6
Como h corresponde a
6·
h =
Resposta: 9cm3
28)
2
da aresta:
3
2
3
12
3
h = 4
h =
Novamente, pelo Teorema de Pitágora é possı́vel obter o
apótema do prisma:
ap2
=
ap2
=
ab + h2
Os pontos B, C, E e F são os baricentros das faces laterais,
2
então suas distâncias ao vértice da pirâmide é sempre
de
3
VH.
9 + 16
√
25 = 5
ap =
Portanto a área do prisma é:
6·5
2
A = a +4
2
A = 36 + 60 = 96
A e D são pontos médios das arestas da base as quais pertencem. Aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo
retângulo AGD:
AD =
Resposta: 96m2
V B = 2BH. Assim:
√
BC
VB
BC
2
2
=
⇒ √ = ⇒ BC =
2
AD
VH
3
3
2
Portanto a!área vale:
√ 2
2
2
A=
=
3
9
a) Temos que na pirâmide formada por ABCD1 , DD1 é a altura relativa a base ABC. Portanto, o volume corresponde a:
1 AB · BC
1 4
4
·
· DD1 = · · 2 =
3
2
3 2
3
4 3
cm
3
Sistema de Ensino Energia
√
√
5 2
2
0, 25 + 0, 25 =
=
10
2
Sendo B o baricentro do triângulo equilátero V AD, então
26)
Resposta:
√
Resposta: letra D
5
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
• Área total (St ):
29) Primeiro calcula-se o raio da circunferência circunscrita:
x2
= R2 + R2
x2
=
√
St = a2 + 4 a ·
√
St = a2 + a2 · 3
√
St = (1 + 3) · a2
2R2
2
x
= R2
2
√
2
x·
=R
2
3·a
4
!
Resposta: letra B
Sabendo R, calcula-se a altura h da pirâmide:
(2x)2
x2
4x2 −
2
r
2
x
4x2 −
2
r
8x2 − x2
2r
7
x·
2
=
31) Primeiramente encontra-se os valores de al = l = a. Para
R2 + h2
isso precisa-se do valor da apótema da pirâmide (ap):
2
=
h
=
h
=
h
s 2
√
a
ap2 = a2 + h2 ⇒ ap =
+ (3 2)2
2
Portanto,
2
√
a
a2
a2
a2
a = ap +
⇒ a2 =
+ (3 2)2 +
⇒ a2 =
+ 18
2
4
4
2
⇒ a2 = 36 ⇒ a = 6
2
=
h
1
Portanto, V = · x2 · x
3
r
√
x3 · 14
7
=
2
6
2
01. VERDADEIRA
Resposta: letra B
30) Cálculo do raio da circunferência circunscrita:
D2 = a2 + a2 ⇒ D =
R2 + R2
=
a2
2R2
=
R
=
a2√
a 2
2
√
36 + 36 ⇒ D =
√
√
72 ⇒ D = 6 2
02. VERDADEIRA
Cálculo da altura da pirâmide:
h2 +
√ !2
a 2
2
2
√
√
√
a
a = ap +
⇒ ap = 36 − 9 ⇒ ap = 27 ⇒ ap = 3 3
2
Portanto
√ !
a área
lateral vale:
√
a · ap
6·3 3
Al = 4
⇒ Al = 36 3cm2
⇒ Al = 4
2
2
2
= a2
v
u
u
h = ta2 −
√ !2
a 2
2
04. VERDADEIRA
√
√
Ab · h
36 · 3 2
V =
=
= 36 2
3
3
r
h =
h =
a2
√2
a 2
2
√
Como a apótema da pirâmide vale
2
08. FALSA
√
Sendo Ab = 36 e Al = 36 3, então Al > Ab .
3·a
, então:
2
Soma: 07
• Volume (V):
√
√
2
2 a 2
3
V =a ·
=a ·
6
6
Sistema de Ensino Energia
6
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
32) Primeiro calcula-se o volume da pirâmide de gelo. Para isso 36)
é necessário obter a altura da pirâmide:
√ !2
√
8
2
⇒ ap2 = 100 − 32 ⇒ ap = 2 17
ap2 = 102 −
2
√ !2
√ 2
8 2
(2 17) =
+ h2 ⇒ h2 = 68 − 32 ⇒ h = 6
2
√
(8 2)2 · 6
Portanto, V =
= 256cm3
3
Sabendo que a altura da pirâmide vale 137m e sua apótema
179m, então, o apótema da base (apb ) é dado por:
1792 = 1372 + ap2b
Como o volume da água ao derreter é aproximadamente 9%
1792 − 1372 = ap2b
√
1792 − 1372 = apb
menor, então:
V = 256 · 0, 91 ≈ 233cm3
Portanto o lado l da base da pirâmide vale:
√
l = 2 · apb = 2 1792 − 1372
Resposta: letra D
Logo,
√
Ab = (2 1792 − 1372 )2 ⇒ Ab = 4(1792 − 1372 ) = 53088m2
33) Como o perı́metro da base quadrada é 24cm então a aresta
da base vale:
24
l=
= 6cm
4
Resposta: letra D
Do enunciadi temos que:
h
2
2l
= ⇒h=
⇒h=4
l
3
3
37)
Portanto o volume da pirâmide é: V =
62 · 4
= 48cm3
3
Resposta: letra B
√
√
√
8· 2
2 2
23 · 2
=
=
V =
12
12
3
34) Volume do cubo: Vc = 123 = 1728
Como o volume da pirâmide é um nono do volume do cubo,
Resposta: letra A
temos que:
Vc
1728
Vp=
=
= 192
9
9
2
Logo: Vp =
38) Primeiro encontra-se a apótema da pirâmide:
√
ap2 = 12 + 12 ⇒ ap = 2
2
a ·h
12 · h
576
⇒ 192 =
⇒h=
⇒h=4
3
3
144
Portanto, a área lateral vale: Al = 4 ·
Resposta: letra D
√ !
√
2 2
=4 2
2
Resposta: letra D
35) Ao se realizar a secção descrita no exercı́cio, chegamos a
duas pirâmides semelhantes, portanto:
39)
h2
42
=
144
64
64h2 = 42 · 144 ⇒ 4h2 = 144 ⇒ h2 = 36 ⇒ h = 6
Resposta: 06
Sistema de Ensino Energia
7
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
01. VERDADEIRA
64. VERDADEIRA
√
Área da base: Ab = (3 2)2 = 9 · 2 = 18u2
Sabendo que V = 8, A = 11 e F = 5, então:
V −A+F =2
8 − 11 + 5 = 2
02. VERDADEIRA
Primeiro encontra-se a apótema da pirâmide:
Soma : 83
40) Como a superfı́cie do telhado é igual a superfı́cie lateral
da pirâmide e sabendo que a mesma é formada por quatro
√ !2
3 2
ap = 4 −
2
18
ap2 = 16 −
4
32 − 9
2
ap =
r 2
23
ap =
2
triângulos de base 8 e altura x, temos, por Pitágoras:
Portanto a altura da pirâmide, vale:
Como são necessários um lote para cada m2 e sendo 10 lo-
2
2
x2 = 32 + 42
2
a2b +
!2
ap =
r
23
2
x2 = 9 + 16
√
x = 25
x=5
Portanto, A =
2
h
4(8 · 5)
= 80m2
2
tes desperdiçados então serão necessários 90 lotes.
√ !2
3 2
=
+ h2
2
r !2
√ !2
23
3 2
2
−
h =
2
2
23
9
h2 =
−
2
2
14
2
h =
2
h2 = 7
√
h = 7u
Resposta: letra A
41)
Conforme a figura, temos que o hexágono que forma a base
04. FALSA
pode ser dividido em
√ seis triângulos equiláteros de lado 3. Por3 3
tanto, sendo h =
:
2
 √
√
√
3 3
·3
9
3
27
3
2
 ⇒ Ab = 6 ·
Ab = 6 · 
⇒ Ab =
2
4
2
Área lateral
 q da pirâmide:
√ 
√
23
√
√
23
 2 · 3 2
Al = 4 
 = 2 · 3 2 · √ = 6 23u2
2
2
08. FALSA
Portanto,
√
O volume
vale:
√ da pirâmide
√
√ 3
(3 2)2 · 7
Vp =
= 6 7u
3
V =
27 3
2
3
· 10
√
√
270 3
⇒V =
⇒V =4 3
6
Resposta: letra C
16. VERDADEIRA
Volume do paralelepı́pedo de mesma base e altura da pirâmide:
√
√
√
√
a 3
Vpa = (3 2)2 · 7 = 18 7u3
42) Por definição, ap =
. Como do enunciado temos que
2
√
√ 3
3 2
Vp
6 7u
1
ap =
, então:
Portanto,
= √
=
4 √
√
√
√
√
Vpa
3
18 7u3
a 3
3 2
6 2
6 6
6
=
⇒a= √ ⇒a=
⇒a=
2
4
12
2
4 3
32. FALSA
√ !2
√
√
√
√
6
6 3
3 3
Altura da pirâmide: h = 7u
Portanto, At =
· 3=
=
r
2
4
2
23
Altura de cada uma das faces: ap =
u
2
Resposta: letra C
Sistema de Ensino Energia
8
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
√ !
43) Por definição a área total de um tetraedro regular é dada
3l2 3
√
√
3 · ap · l = 2 ·
2
por At = a2 · 3. Como pelo enunciado, At = 6 3, temos:
√
√
√
√
2
2
2
a · 3=6 3⇒a =6⇒a= 6
ap · l = √
l 3
2
√
l
3
√
√ √
ap =
⇒ ap = l 3
a· 6
6· 6
6
l
Como h =
, então: h =
= =2
3
3
3
Por Pitágoras temos que:
√ !2
Resposta: letra A
l
·
3
(ap)2 =
+ 62
2
√ !2
44)
√ 2
l· 3
(l 3) =
+ 62
2
9l2
= 36 ⇒ l = 4
4
Portanto, o √
volume da pirâmide vale:
√
3 · 42 · 3 6
· ⇒ V = 48 3 ⇒ V ≈ 83cm3
V =
2
3
Do enunciado temos que A1 = 2A2 . Portanto:
V1 = 2A2 · h1 e V2 = A2 · 100.
Como V1 = V2 , temos:
Resposta: 83
2A2 · h1 = A2 · 100
h1 = 50m
47)
Portanto, por Pitágoras:
√
x2 = 1202 + 502 ⇒ x = 16900 ⇒ x = 130m
Resposta: letra C
01. VERDADEIRA
45)
V H é a altura dos triângulos isósceles V AC e V BD, então H é
o ponto médio das diagonais BD e AC, logo H, projeção ortogonal do vértice da pirâmide sobre a base, é o centro dessa base.
02. VERDADEIRA
bc
1, 1b · 1, 1c · 1, 1
V1 =
e V2 =
3
3
bc
Portanto, 1, 331
= 1, 331V0
3
Logo, o volume aumentou em 33, 1%
Por Pitágoras:
√
35 3
ap =
2
Portanto,
(ap)2 = (ab )2 + h2
√ !2 2
35 3
35
=
+ h2
2
2
√ !2 2
35 3
35
2
h =
−
2
2
2
2
35
·
3
35
h2 =
−
4
4 r
√
35 2
2 · 352
352
2
h =
⇒h=
⇒h=
4
2
2
√
35 2
Resposta:
m
2
04. VERDADEIRA
b + c = 8 ⇒ b = 8 − c. Portanto, Spiso = c(8 − c) = −c2 + 8c.
−8
E Spiso atinge valor máximo para c =
= 4m.
−2
Desta forma, c = b e o piso tem a forma de um quadrado.
08. VERDADEIRA
22 · 1
4
V =
= m3
3
3
16. FALSA
O triângulo V HM é isósceles, logo nenhum ponto da barraca
46) Seja o lado da base
√ da pirâmide igual a l, então a área da
3l2 3
base é dada por
.
2
6 · ap · l
A área lateral da pirâmide é dada por
= 3 · ap · l.
2
Do enunciado temos que:
Sistema de Ensino Energia
será projetado pelos raios solares num ponto do solo fora da
região coberta.
Soma: 15
9
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
48) De acordo com o enunciado, temos:
20 · 8 ·
80
·h =
100
128h =
h =
50) Sabendo que o nı́vel da água subiu 0, 4cm então a massa do
objeto imerso é igual ao volume de um paralelepı́pedo de base
256
retangular com lados 70cm e 50cm, e altura 0, 4cm:
256
V = 70cm · 50cm · 0, 4cm = 1400cm3
2
Resposta: letra B
Resposta: letra A
49) O peso total da peça será:
51)
P = 25 · 18 · 18 · 0, 93 = 7522g
Sabendo que o peso a ser obtido é 6603g então o peso dos 8
cubos vale:
Pc = 7533 − 6603 = 930g
930
Vtotal =
= 1000cm3
0, 93
Desta forma cada cubo tem volume (V):
1000
V =
= 125cm3
8
√
Portanto, a3 = 125 ⇒ a = 3 125 ⇒ a = 5cm
Serão necessários para fabricar a caixa:
M = 2(25 · 5) + 2(16 · 25) + 1(16 · 5) = 1210cm2
Resposta: letra D
Sistema de Ensino Energia
Resposta: letra A
10
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
52) Primeiro calcula-se o volume de água utilizado:
V = 28 · 25 · 25 − 700cm3
08. FALSO
Como 1m3 correspondem a 1000 litros, então o aquário conti-
Como 1cm3 = 1mL, temos que serão necessários 700 gra- nha 192000 litros. Portanto a quantidade de alimento é dada
por:
mas de água para fabricar o microship.
30 ·
Resposta: letra E
192000
= 19, 2 · 30 = 576
10000
16. FALSO
a
53) Do enunciado temos que a pirâmide retirada possui base
2
a
e altura . Portanto:
2
a a
·
1
a
188
a3 − · 2 2 ·
=
3
2
2
3
3
188
a
a3 −
=
48
3
a3 = 64
a =
Volume da região A1 :
5·5
V1 =
· 12 = 150m3
2
Volume da região A2 :
V2 = 5 · 1 · 12 = 60m3
Volume total:
Vt = V1 + V2 = 150 + 60 = 210m3
Portanto, Vr = 210000 − 192000 = 18000.
4
Resposta: 07
Desta forma, a2 + a = 16 + 4 = 20
55) Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
Resposta: letra C
a2 + a2
=
√
(6 2)2
2a2
=
36 · 2
2
=
a
=
36
√
36 = 6
54)
a
√
√
Portanto, D2 = 62 + (6 2)2 ⇒ D = 6 3
Resposta: letra A
01. VERDADEIRO
56) O volume de madeira (Vm ) é dado pelo volume total (Vt )
A área lateral (A
l ) total é dada por:
5·5
Al = 2
+ 5 + 6 · 12 + 12 = 119m2
2
menos o volume do cubo vazio (Vc ):
Vm = Vt − Vc = 123 − 83 = 1216cm3
02. VERDADEIRO
Resposta: letra D
A área revestida (A
r ):
√
5·5
Ar = 2
+ 5 + 12 · 1 + 5 · 2 · 12 = 131, 85m2
2
57) Pelo Teorema de Pitágoras, sendo a diagonal D:
√
( 33)2
A área do azulejo (Ar ):
33
Az = (0, 2)2 = 0, 04m2
33 − P E 2
= P E 2 + D2
=
P E 2 + D2
= D2 ,
ou
Portanto, N = 131, 85 ÷ 0, 04 ≈ 3300
D2
=
(4P E)2 + (4P E)2
04. VERDADEIRO
D2 = 32P E 2
Primeiro calcula-se o volume da região A1 :
5·5
V1 =
· 12 = 150m3
Portanto, 32P E 2 = 33 − P E 2 ⇒ P E = 1. Logo:
2
Como o aquário está com 192m3 de água, temos que a região V = (4cm)3 = 64cm3
A2 está preenchida com 42m3 . Desta forma o nı́vel de água em
Resposta: 64cm3
seu ponto mais razo é:
n · 5 · 12 = 42 ⇒ n = 0, 7m = 70cm
Sistema de Ensino Energia
11
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
58) O volume total dos ingredientes é dado por:
Como a altura da pirâmide é 6cm e a da coluna de água 8cm,
Vt = 5 · 40 · 60 + (60 · 40 · 5) · 0, 25
então ao se puxar a pirâmide 4cm, apenas 2 saem da água.
Vt = 12000 + 3000
Ou seja,
Vt = 15000cm
3
1
3
da pirâmide, que ao sair da água faz com que
2
3
da
pirâmide fique para fora da água.
Volume das barras !
hexagonais:
√
2· 3
V =6· 2·
· 10
2
V = 103, 8
Resposta: letra A
62)
15000
≈ 144.
103, 8
Portanto, N =
Resposta: letra A
Pelo Teorema de Pitágoras:
59) Primeiro encontra-se o valor da aresta da base hexagonal:
!
√
√
a2 · 3
·6
6·
= 1728 3
4
36a2
4
a
=
=
=
Ab
=
=
D2
=
D
1728
√
8 3
22 + 2 2
4+4
√
√
=
8=2 2
Novamente, pelo Teorema de Pitágoras:
Logo,
Al
D2
√
√
6(6 · 8 3) = 288 3
√ √
√
6(8 3)2 3
= 288 3
4
h2
=
h2
=
h =
√
22 − ( 2)2
4−2
√
2
Portanto, α = 45o e o ângulo AEC = 2 · α = 90o .
Resposta: letra B
Resposta: letra A
60) O volume do prisma regular é dado por:
√ !
√
a2 3
·2 =
6·
3
4
√
√
3a2 · 3 =
3
√
1
3
2
a = √ =
3
3
√
√
3
Portanto, Al = 6 · 2 ·
=4 3
3
63) Área da base da pirâmide:
h2
=
(3L)2 −
3L
2
2
9L2
9L2 −
4
r
√
3·L 3
3 · 9 · L2
=
h =
4
2
√
√
3·L 3 1
3 · L2 3
Ab = L ·
· =
2
2
4
h2
=
Resposta: letra D
Volume da √
pirâmide (Vp ):
L2 3
Vp = 3 ·
· hp
4
61) Volume da pirâmide:
32 · 6
Vp =
= 18cm3
6
Volume da √
pirâmide (Vh ):
2
L 3
·h
Vh = 6 ·
4
Portanto o volume total é:
Vt = 182cm3 + 18cm3 = 200cm3
Portanto,
√
√
L2 3
3 · L2 3
6·
· hl = 2 ·
· hp ⇒ hl = hp
4
4
Desta forma a altura da água com a pirâmide vale:
a2 · h =
200
25 · h =
200
h =
Resposta: letra D
8cm
Sistema de Ensino Energia
12
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
64) Volume (V ) do cubo de arestra a:
Vp =
3
V =a
V
72
=
= 36
2
2
Resposta: letra B
Volume da pirâmide (Vp ):
1
a3
a·a
·a· =
Vp =
2
3
6
Portanto, Vp =
68) Área letral:
V
6
Resposta: letra C
Al
=
2·π·r·h
Al
=
2·π·2·5
Al
=
20π
Área total:
65)
Tomando o lado ABCD da pirâmide como base, temos:
5 1
Ab = 25 − 2 5 · ·
2 2
25
Ab = 25 −
2
25
Ab =
2
Portanto, Vp =
= Al + 2 · Ab
At
=
20π + 2π · 22
At
=
28π
Volume do cilindro:
Vc
= π · 22 · 5
Vc
=
1
125
25
·5· =
2
3
6
69) Sendo a secção meridiana um quadrado, então o diâmetro
da base é igual a altura do cilindro:
Al = 2πr · h =
625 3
cm
6
2πr2
=
2
=
r
r
66) Pelo Teorema de Pitágoras:
h2 = 152 −
20π
Resposta: Al = 20πm2 , At = 28πm2 , Vc = 20πm3
Desta forma o volume do sólido é:
625 3
125
=
cm
Vs = 125 −
6
6
Resposta:
At
10
2
40π
40π
20
√
√
=
20 = 2 5
Portanto, a área total é:
2
h2 = 225 − 25
√
√
h = 200 = 10 2µm
√
Como 1µm = 10−6 m temos que h = 10−5 2m
At
=
2πr · h + 2πr2
At
=
40π + 20π
At
=
60π
Resposta: 60πm2
Resposta: letra C
70)
67)
Primeiro calcula-se o volume inicial do cilindro:
Vi = π(3, 6)2 · 15 = 194, 4πcm3
Como a altura do poliedro DEF V tem a mesma altura das
pirâmides. Como a base DEF é metade da base de uma das
Valor da altura (h):
AB
h
= tg45o ⇒
= 1 ⇒ h = 7, 2
BC
7, 2
pirâmides, temos que:
Sistema de Ensino Energia
13
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
Como o ocopo está inclinado 45o temos que o volume de água
Vp =
derramada2 é metade do 2volume do cilindro de altura h:
π·r ·h
π · 3, 6 · 7, 2
Vd =
=
= 46, 6πcm3
2
2
3, 5
2
2
· π · 142 ≈ 435πm3
Resposta: 05 → equivalente a letra E
Portanto, tirando-se a razão entre volume derramado (Vd ) e
volume inicial (Vi ) temos que:
Vd
46, 6π
=
≈ 0, 24
Vi
194, 4π
74) VI = 52 · π · 12 = 300cm2
VII = 42 · π · h = VI
Desta forma:
Resposta: letra D
52 · π · 12
71) I - VERDADEIRA Basta diminuir o volume da região do
cı́rculo maior do volume da do menor:
VM = π · (1, 4)2 · 0, 15 = 0, 294πcm3
Vm = π · (0, 9)2 · 0, 15 = 0, 1215πcm3
=
42 · π · h
25 · π · 12 = 16 · π · h
300
= h
16
75
= h
4
AtI = AlI + 2AbI
Portanto, Vs = VM − Vm = 0, 1725πcm3 .
AtI = 2 · π · 5 · 12 + 2 · 52 · π
AtI = 170πcm2
II - FALSA Basta subtrair os volumes das moedas:
V1 = π · (1, 4)2 · 0, 15 = 0, 294πcm3
AtII = AlII + 2AbII
75
+ 2 · 42 · π
AtII = 2 · π · 4 ·
4
AtII = 182πcm2
V0,5 = π · (1, 1)2 · 0, 3 = 0, 363πcm3
Portanto, V = V0,5 − V1 = 0, 069πcm3 . Logo, serão necessários
0, 069πcm3 a mais de metal na moeda de 0, 50 e não na de 1, 00.
III - VERDADEIRA Área do cı́rculo maior (AM ):
182π
91
AtII
=
=
AtI
170π
85
Resposta: letra E
AM = (1, 4)2 · π = 1, 96πcm2
75) Tome o raio do copo r = 1. Então:
Área do cı́rculo menor (Am ):
Vc = π · r2 · 12
Am = (0, 9)2 · π = 0, 81πcm2
Vc = π · 12 · 12 = 12π
Área entre os cı́rculos (As ):
Portanto, o volume o lı́quido na lata é: Vl = π · r2 · 12
As = AM − Am = 1, 15πcm2
Vl = π · 22 · 12 = 48π
Portanto, As − Am = 1, 15π − 0, 81π = 0, 34πcm2 .
Desta forma, o volume total da lata é:
Vt = 60π
Resposta: letra B
π · 22 · x = 60π
60π
= 15
x=
4π
72) Sendo o cilindro equilátero, então a secção meridiana é um
quadrado de lado l:
√
l2 = 81 ⇒ l = 81 = 9
Resposta: letra A
76) Nestas condições temos que:
h
2 · π · r2 = h ⇒ r2 =
e h2 = 2 · π · r
2π
Portanto, o raio da base do cilindro (r) vale:
9
r=
2
Portanto:
2
h
h2
V =π·
·π·r =π· 2 ·2·π·r
2π
4π
2h2 · r
h2 · r
V =
=
4
2
Desta forma, Al = 2 · π · r · 2 · r = 81πcm2
Resposta: letra B
Resposta: letra A
73) O volume dos Pelamis é dado por:
Sistema de Ensino Energia
Portanto,
14
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
77) Tirando-se a região da tampa (Vt ) é possı́vel encontrar a 80) Para encontrar a área do rótulo é necessário conhecer o raio
área não ocupada pelo vidro do perfume (Vp ):
2
2
do recipiente:
3
Vp = π · r · h = π · 3 · 10 = 90 · 3, 14 = 282, 6cm
V
Vt = π · r2 · h = π · 12 · 3 = 3π ≈ 9, 5cm3
=
192π
π · r2 · h =
192π
2
π · r · 12
2
Vcaixa = 6 · 13 = 468cm
3
r
192π
192π
=
12π
= 16
√
=
16
r
=
r2
r2
Portanto:
V = Vcaixa − Vp − Vt = 468 − 282, 6 − 9, 5 ≈ 176cm3
=
4
Resposta: letra D
Portanto, a área do rótulo vale:
Ar = 2π · r · h
78) Volume total do cilindro:
Ar = 2π · 4 · 12 = 96π
Vc = π · r · h
Vc = π · 102 · 30 = 3000πcm3
Resposta: letra A
Volume de água do cilindro:
81) Sendo V o volume do concreto, temos que:
Va = π · r · h
30
= 3000cm3
Va = π · 10 ·
π
V = π · r12 · h − π · r22 · h
V = 3, 1 · (1, 2)2 · 4 − 3, 1 · 12 · 4
Volume do bracelete:
V = 17, 856 − 12, 4 V = 5, 456m3
2
Como a densidade do ouro é de
19, 2g/cm3 e sua massa é 288g, então:
Logo o preço a ser cobrado é de: P = 10 · 5, 456 = 54, 56.
Vb = 288 · 19, 2 ≈ 5530cm3
Resposta: letra D
• FALSA 3000 + 5530 < 3000π
82) Basta encontrar as relações entre área e volume de cada
2
• FALSA Vb = π · 10 · h = 5530
55, 30
5530
=
= 17, 61
h=
100π
π
tanque:
• Tanque 1:
• VERDADEIRA Como 1cm3 = 0, 001 litro, então temos
A1 = 2 · π · r · h = 2 · 3 · 2 · 6 = 72m2
V1 = π · r2 · h = 3 · 22 · 6 = 72m3
que V = 3000 · 0, 001 = 3 litros
Resposta: letra C
• Tanque 2:
A2 = 2 · π · r · h = 2 · 3 · 2 · 8 = 96m2
79) Área lateral da região semicircular:
2πr
As =
· 1000
2
2π6
As =
· 1000 = 6000πm3
2
V2 = π · r2 · h = 3 · 22 · 8 = 96m3
• Tanque 3:
Área lateral da região retangular:
A3 = 2 · π · r · h = 2 · 3 · 3 · 8 = 144m2
3
Ar = 2(4 · 1000) = 8000m
V3 = π · r2 · h = 3 · 32 · 8 = 216m3
Área total a ser pintada:
At = As + Ar = 6000 · 3, 14 + 8000 = 26840m2
Portanto, o número de galões é G =
Relações:
26840
= 1342.
20
R1 =
A1
=1
V1
R2 =
A2
=1
V2
R3 =
A3
2
=
V3
3
Resposta: letra D
Resposta: letra E
Sistema de Ensino Energia
15
Matemática D - Extensivo - V. 6
GABARITO
83) Do enunciado temos que:
V = π · r2 · h = 4 · π · r2
Volume dos latões:
Vl = π · (0, 5)2 · 1 = 0, 25πm3
4
Portanto, h = 4 e Al = (π · r2 · h) = 2π · r · h
3
Portanto, o número de latões é: L =
6
3
Desta forma, r = =
4
2
200π
= 800.
0, 25π
Resposta: letra B
2 · 32 · 4
2·r·h
12
I - FALSA A∆ =
=
=
=6
2
2
2
87) Sendo 1 litro = 1000cm3 , temos que o volume do cilindro
II - VERDADEIRA (AC)2 = h2 + (2r)2
√
√
AC = 42 + 32 = 25 = 5
é:
Portanto, P∆ = 4 + 5 + 3 = 12
h
4
2r
3
III - FALSA cosα =
= e cosβ =
=
AC
5
AC
5
4 3
8
Portanto, + = ≈ 1, 6
5 5
5
Vc
=
π · r2 · h
1000
=
π · r2 · 20
r 50 =
50
=
π
Resposta: letra B
π · r2
r
Resposta: letra E
84) Volume do cilindro interno:
88) Volume do copo:
V1 = π · r2 · h1
Vc = π · r2 · h
Vc = π · 22 · 4 = 16πcm3
Volume do cilindro externo:
V2 = π · (R2 − r2 ) · h2
h1
V2 = π · (2r2 − r2 ) ·
3
1
V2 = π · r2 · h1 ·
3
Portanto, o volume do cilindro externo tem
do cilindro interno.
Como metade do volume do copo é 8πcm3 temos que:
V20 = 20 · 8π = 160π
Volume da leiteira:
Vl = π · r2 · h
Vl = π · 42 · 20 = 320π
1
da capacidade
3
Desta forma, para encher os vinte copos é necessário metade
1
T = 30 + 30 · = 40min
3
do volume da leiteira.
Resposta: letra A
Resposta: letra C
85) Do enunciado temos:
89) Volume total do botijão:
V1 + V2 + V3 = 52500cm3
Vt = π · r2 · h
π · R2 · 25 + π · (2R)2 · 25 + π · (4R)2 · 25 = 52500
Vt = π · 202 · 60 = 24000πcm3
525π · R2 = 52500cm3
52500
R2 =
525π
10
R= √
π
Como três refeições diárias para dez pessoas são o mesmo
que duas refeições diárias para 15 pessoas, temos:
24000π
D=
= 24 dias
1000π
Portanto, substituindo:
Resposta: letra A
V3 = π · R2 · 25
100
V3 = π ·
· 25
π 3
V3 = 2500cm
90)
V = π · 42 · 3 = 48π
Resposta: letra B
86) Volume do túnel:
Resposta: letra E
Vt = 100 · 2 · π = 200πm3
Sistema de Ensino Energia
16
Matemática D - Extensivo - V. 6